W tym artykule omówiono porównywanie ułamków. Tutaj dowiemy się, który ułamek jest większy, a który mniejszy, zastosujemy regułę i przyjrzymy się przykładom rozwiązań. Porównajmy ułamki zwykłe i równe różne mianowniki. Porównajmy ułamek zwykły z liczbą naturalną.

Porównywanie ułamków o tych samych mianownikach

Porównując ułamki o tych samych mianownikach pracujemy tylko z licznikiem, czyli porównujemy ułamki danej liczby. Jeśli istnieje ułamek 3 7, to ma 3 części 1 7, to ułamek 8 7 ma 8 takich części. Innymi słowy, jeśli mianownik jest taki sam, porównuje się liczniki tych ułamków, to znaczy 3 7 i 8 7 porównuje się z liczbami 3 i 8.

Jest to zgodne z zasadą porównywania ułamków o tych samych mianownikach: spośród istniejących ułamków o tych samych wykładnikach ułamek o większym liczniku uważa się za większy i odwrotnie.

Sugeruje to, że należy zwrócić uwagę na liczniki. Aby to zrobić, spójrzmy na przykład.

Przykład 1

Porównaj podane ułamki 65 126 i 87 126.

Rozwiązanie

Ponieważ mianowniki ułamków są takie same, przechodzimy do liczników. Z liczb 87 i 65 widać, że 65 to mniej. Opierając się na zasadzie porównywania ułamków o tych samych mianownikach, wiemy, że 87 126 jest większe niż 65 126.

Odpowiedź: 87 126 > 65 126 .

Porównywanie ułamków o różnych mianownikach

Porównanie takich ułamków można skorelować z porównaniem ułamków o tych samych wykładnikach, ale jest różnica. Teraz musisz sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika.

Jeśli istnieją ułamki o różnych mianownikach, aby je porównać, musisz:

  • znajdź wspólny mianownik;
  • porównać ułamki.

Przyjrzyjmy się tym działaniom na przykładzie.

Przykład 2

Porównaj ułamki 5 12 i 9 16.

Rozwiązanie

Przede wszystkim konieczne jest sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika. Odbywa się to w ten sposób: znajdź LCM, czyli najmniejszy wspólny dzielnik, 12 i 16. Ta liczba to 48. Do pierwszego ułamka należy dodać dodatkowe czynniki 5 12, liczbę tę oblicza się z ilorazu 48: 12 = 4, dla drugiego ułamka 9 16 – 48: 16 = 3. Zapiszmy wynik w ten sposób: 5 12 = 5 4 12 4 = 20 48 i 9 16 = 9 3 16 3 = 27 48.

Po porównaniu ułamków otrzymujemy, że 20 48< 27 48 . Значит, 5 12 меньше 9 16 .

Odpowiedź: 5 12 < 9 16 .

Istnieje inny sposób porównywania ułamków o różnych mianownikach. Odbywa się to bez sprowadzania do wspólnego mianownika. Spójrzmy na przykład. Aby porównać ułamki a b i c d, sprowadzamy je do wspólnego mianownika, a następnie b · d, czyli iloczyn tych mianowników. Wtedy dodatkowymi czynnikami ułamków będą mianowniki sąsiedniego ułamka. Będzie to zapisane jako a · d b · d i c · b d · b . Stosując regułę o identycznych mianownikach mamy, że porównanie ułamków zostało zredukowane do porównania iloczynów a · d i c · b. Stąd otrzymujemy regułę porównywania ułamków o różnych mianownikach: jeśli a · d > b · c, to a b > c d, ale jeśli a · d< b · c , тогда a b < c d . Рассмотрим сравнение с разными знаменателями.

Przykład 3

Porównaj ułamki 5 18 i 23 86.

Rozwiązanie

W tym przykładzie a = 5, b = 18, c = 23 i d = 86. Następnie należy obliczyć a·d i b·c. Wynika z tego, że a · d = 5 · 86 = 430 i b · c = 18 · 23 = 414. Ale 430 > 414, to dany ułamek 5 18 jest większy niż 23 86.

Odpowiedź: 5 18 > 23 86 .

Porównywanie ułamków o tych samych licznikach

Jeśli ułamki mają te same liczniki i różne mianowniki, wówczas porównania można dokonać zgodnie z poprzednim punktem. Wynik porównania można uzyskać poprzez porównanie ich mianowników.

Istnieje zasada porównywania ułamków o tych samych licznikach : Z dwóch ułamków o tych samych licznikach większy jest ułamek o mniejszym mianowniku i odwrotnie.

Spójrzmy na przykład.

Przykład 4

Porównaj ułamki 54 19 i 54 31.

Rozwiązanie

Mamy, że liczniki są takie same, co oznacza, że ​​ułamek o mianowniku 19 jest większy niż ułamek o mianowniku 31. Jest to zrozumiałe na podstawie reguły.

Odpowiedź: 54 19 > 54 31 .

W przeciwnym razie możemy spojrzeć na przykład. Są dwa talerze, na których jest 1 2 ciasta i kolejne 1 16 ann. Jeśli zjesz 1 2 ciasta, będziesz pełny szybciej niż tylko 1 16. Stąd wniosek jest taki, że największy mianownik o równych licznikach jest najmniejszy przy porównywaniu ułamków.

Porównywanie ułamka zwykłego z liczbą naturalną

Porównanie ułamka zwykłego z liczbą naturalną jest równoznaczne z porównaniem dwóch ułamków o mianownikach zapisanych w postaci 1. Aby uzyskać bardziej szczegółowy wygląd, poniżej znajduje się przykład.

Przykład 4

Należy dokonać porównania pomiędzy 63 8 a 9 .

Rozwiązanie

Konieczne jest przedstawienie liczby 9 jako ułamka 9 1. Następnie musimy porównać ułamki 63 8 i 9 1. Następnie następuje redukcja do wspólnego mianownika poprzez znalezienie dodatkowych czynników. Następnie widzimy, że musimy porównać ułamki o tych samych mianownikach 63 8 i 72 8. W oparciu o regułę porównania 63< 72 , тогда получаем 63 8 < 72 8 . Значит, заданная дробь меньше целого числа 9 , то есть имеем 63 8 < 9 .

Odpowiedź: 63 8 < 9 .

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Zasady porównania zwykłe ułamki zależą od rodzaju ułamka (właściwy, niewłaściwy, mieszany) i od mianownika (tego samego lub innego) porównywanych ułamków.

W tej sekcji omówiono opcje porównywania ułamków zwykłych, które mają te same liczniki i mianowniki.

Reguła. Aby porównać dwa ułamki zwykłe o tych samych mianownikach, należy porównać ich liczniki. Większy (mniejszy) to ułamek, którego licznik jest większy (mniejszy).

Na przykład porównaj ułamki:

Reguła. Aby porównać ułamki właściwe o jednakowych licznikach, należy porównać ich mianowniki. Większy (mniejszy) to ułamek, którego mianownik jest mniejszy (większy).

Na przykład porównaj ułamki:

Porównywanie ułamków właściwych, niewłaściwych i mieszanych

Reguła. Ułamki niewłaściwe i mieszane są zawsze większe niż jakikolwiek ułamek właściwy.

Ułamek właściwy jest z definicji mniejszy od 1, zatem ułamki niewłaściwe i mieszane (te, które zawierają liczbę równą lub większą od 1) są większe od ułamka właściwego.

Reguła. Z dwóch frakcje mieszane większy (mniejszy) to ten, którego cała część ułamka jest większa (mniejsza). Gdy całe części ułamków mieszanych są równe, większa (mniejsza) jest ta, która ma większą (mniejszą) część ułamkową.

Zasady porównywania ułamków zwykłych zależą od rodzaju ułamka (ułamek właściwy, niewłaściwy, mieszany) oraz od mianowników (takich samych lub różnych) porównywanych ułamków. Reguła. Aby porównać dwa ułamki zwykłe o tych samych mianownikach, należy porównać ich liczniki. Większy (mniejszy) to ułamek, którego licznik jest większy (mniejszy). Na przykład, porównaj ułamki:

Porównywanie ułamków właściwych, niewłaściwych i mieszanych.

Reguła. Ułamki niewłaściwe i mieszane są zawsze większe niż jakikolwiek ułamek właściwy. Ułamek właściwy jest z definicji mniejszy od 1, zatem ułamki niewłaściwe i mieszane (te, które zawierają liczbę równą lub większą od 1) są większe od ułamka właściwego.

Reguła. Z dwóch ułamków mieszanych ten, którego cała część ułamka jest większa (mniejsza), jest większa (mniejsza). Gdy całe części ułamków mieszanych są równe, większa (mniejsza) jest ta, która ma większą (mniejszą) część ułamkową.

Na przykład, porównaj ułamki:

Podobnie jak w przypadku porównywania liczb naturalnych na osi liczbowej, większy ułamek znajduje się na prawo od mniejszego ułamka.

Porównywać można nie tylko liczby pierwsze, ale także ułamki zwykłe. W końcu ułamek to taka sama liczba, jak na przykład liczby naturalne. Wystarczy znać zasady porównywania ułamków.

Porównywanie ułamków o tych samych mianownikach.

Jeśli dwa ułamki mają te same mianowniki, wówczas łatwo jest je porównać.

Aby porównać ułamki o tych samych mianownikach, należy porównać ich liczniki. Ułamek, który ma większy licznik, jest większy.

Spójrzmy na przykład:

Porównaj ułamki \(\frac(7)(26)\) i \(\frac(13)(26)\).

Mianowniki obu ułamków są takie same i równe 26, więc porównujemy liczniki. Liczba 13 jest większa niż 7. Otrzymujemy:

\(\frac(7)(26)< \frac{13}{26}\)

Porównywanie ułamków o równych licznikach.

Jeżeli ułamek ma takie same liczniki, to większy jest ułamek o mniejszym mianowniku.

Zasadę tę można zrozumieć, podając przykład z życia. Mamy ciasto. Może nas odwiedzić 5 lub 11 gości. Jeśli przyjdzie 5 gości, to ciasto pokroimy na 5 równych części, a jeśli przyjdzie 11 gości, to podzielimy je na 11 równych części. Zastanów się teraz, w jakim przypadku na jednego gościa przypadałby większy kawałek ciasta? Oczywiście gdy przyjedzie 5 gości, bułka z masłem będzie większa.

Albo inny przykład. Mamy 20 cukierków. Możemy dać cukierki po równo 4 przyjaciołom lub podzielić cukierek po równo pomiędzy 10 znajomych. W którym przypadku każdy przyjaciel będzie miał więcej cukierków? Oczywiście, gdy podzielimy się tylko pomiędzy 4 znajomych, ilość cukierków dla każdego znajomego będzie większa. Sprawdźmy ten problem matematycznie.

\(\frac(20)(4) > \frac(20)(10)\)

Jeśli wcześniej rozwiążemy te ułamki, otrzymamy liczby \(\frac(20)(4) = 5\) i \(\frac(20)(10) = 2\). Otrzymujemy, że 5 > 2

Jest to zasada porównywania ułamków o tych samych licznikach.

Spójrzmy na inny przykład.

Porównaj ułamki o tym samym liczniku \(\frac(1)(17)\) i \(\frac(1)(15)\) .

Ponieważ liczniki są takie same, ułamek o mniejszym mianowniku jest większy.

\(\frac(1)(17)< \frac{1}{15}\)

Porównywanie ułamków zwykłych o różnych mianownikach i licznikach.

Aby porównać ułamki o różnych mianownikach, należy je skrócić do , a następnie porównać liczniki.

Porównaj ułamki \(\frac(2)(3)\) i \(\frac(5)(7)\).

Najpierw znajdźmy wspólny mianownik ułamków. Będzie równa liczbie 21.

\(\begin(align)&\frac(2)(3) = \frac(2 \times 7)(3 \times 7) = \frac(14)(21)\\\\&\frac(5) (7) = \frac(5 \times 3)(7 \times 3) = \frac(15)(21)\\\\ \end(align)\)

Następnie przechodzimy do porównywania liczników. Zasada porównywania ułamków o tych samych mianownikach.

\(\begin(align)&\frac(14)(21)< \frac{15}{21}\\\\&\frac{2}{3} < \frac{5}{7}\\\\ \end{align}\)

Porównanie.

Ułamek niewłaściwy jest zawsze większy od ułamka właściwego. Ponieważ ułamek niewłaściwy jest większy od 1, a ułamek właściwy jest mniejszy od 1.

Przykład:
Porównaj ułamki \(\frac(11)(13)\) i \(\frac(8)(7)\).

Ułamek \(\frac(8)(7)\) jest niewłaściwy i jest większy niż 1.

\(1 < \frac{8}{7}\)

Ułamek \(\frac(11)(13)\) jest poprawny i jest mniejszy niż 1. Porównajmy:

\(1 > \frac(11)(13)\)

Otrzymujemy, \(\frac(11)(13)< \frac{8}{7}\)

Powiązane pytania:
Jak porównać ułamki zwykłe o różnych mianownikach?
Odpowiedź: musisz doprowadzić ułamki do wspólnego mianownika, a następnie porównać ich liczniki.

Jak porównać ułamki?
Odpowiedź: Najpierw musisz zdecydować, do jakiej kategorii należą ułamki: mają wspólny mianownik, mają wspólny licznik, nie mają wspólnego mianownika i licznika, lub masz ułamek właściwy i niewłaściwy. Po sklasyfikowaniu ułamków zastosuj odpowiednią regułę porównania.

Na czym polega porównywanie ułamków o tych samych licznikach?
Odpowiedź: Jeśli ułamki mają takie same liczniki, większy jest ułamek o mniejszym mianowniku.

Przykład 1:
Porównaj ułamki \(\frac(11)(12)\) i \(\frac(13)(16)\).

Rozwiązanie:
Ponieważ nie ma identycznych liczników i mianowników, stosujemy zasadę porównania z różnymi mianownikami. Musimy znaleźć wspólny mianownik. Wspólnym mianownikiem będzie 96. Sprowadźmy ułamki do wspólnego mianownika. Pomnóż pierwszy ułamek \(\frac(11)(12)\) przez dodatkowy współczynnik 8, a drugi ułamek \(\frac(13)(16)\) pomnóż przez 6.

\(\begin(align)&\frac(11)(12) = \frac(11 \times 8)(12 \times 8) = \frac(88)(96)\\\\&\frac(13) (16) = \frac(13 \times 6)(16 \times 6) = \frac(78)(96)\\\\ \end(align)\)

Porównujemy ułamki z licznikami, ułamek z większym licznikiem jest większy.

\(\begin(align)&\frac(88)(96) > \frac(78)(96)\\\\&\frac(11)(12) > \frac(13)(16)\\\ \\end(wyrównaj)\)

Przykład nr 2:
Porównać ułamek właściwy z jednym?

Rozwiązanie:
Każdy ułamek właściwy jest zawsze mniejszy od 1.

Zadanie 1:
Syn i ojciec grali w piłkę nożną. Syn trafił w bramkę 5 razy na 10 podejść. A tata trafił w bramkę 3 razy na 5 podejść. Czyj wynik jest lepszy?

Rozwiązanie:
Syn trafił 5 razy na 10 możliwych podejść. Zapiszmy to jako ułamek \(\frac(5)(10)\).
Tata trafił 3 razy z 5 możliwych podejść. Zapiszmy to jako ułamek \(\frac(3)(5)\).

Porównajmy ułamki. Mamy różne liczniki i mianowniki, sprowadźmy je do jednego mianownika. Wspólnym mianownikiem będzie liczba 10.

\(\begin(align)&\frac(3)(5) = \frac(3 \times 2)(5 \times 2) = \frac(6)(10)\\\\&\frac(5) (10)< \frac{6}{10}\\\\&\frac{5}{10} < \frac{3}{5}\\\\ \end{align}\)

Odpowiedź: Tata ma lepszy wynik.


W tym artykule omówimy porównanie liczb mieszanych. Najpierw dowiemy się, które liczby mieszane nazywane są równymi, a które nierównymi. Następnie podamy regułę porównywania nierównych liczb mieszanych, która pozwala dowiedzieć się, która liczba jest większa, a która mniejsza, i rozważyć przykłady. Na koniec przyjrzymy się porównaniu liczb mieszanych z liczbami naturalnymi i ułamkami zwykłymi.

Nawigacja strony.

Liczby mieszane równe i nierówne

Najpierw musisz wiedzieć, które liczby mieszane nazywane są równymi, a które nierównymi. Podajmy odpowiednie definicje.

Definicja.

Równe liczby mieszane- Są to liczby mieszane, które mają równe części całkowite i części ułamkowe.

Innymi słowy, dwie liczby mieszane są uważane za równe, jeśli ich wpisy są dokładnie takie same. Jeżeli zapis liczb mieszanych jest inny, wówczas takie liczby mieszane nazywane są nierównymi.

Definicja.

Nierówne liczby mieszane są liczbami mieszanymi, których oznaczenia są różne.

Podane definicje pozwalają na szybkie określenie, czy dane liczby mieszane są równe, czy nie. Na przykład liczby mieszane i liczby równe, ponieważ ich oznaczenia są całkowicie takie same. Liczby te mają równe części całkowite i równe części ułamkowe. I liczby mieszane i są nierówne, ponieważ mają nierówne części całkowite. Inne przykłady nierównych liczb mieszanych to i , a także i .

Czasami konieczne jest sprawdzenie, która z dwóch nierównych liczb mieszanych jest większa od drugiej, a która mniejsza. Przyjrzymy się, jak to się robi w następnym akapicie.

Porównanie liczb mieszanych

Porównywanie liczb mieszanych można sprowadzić do porównywania ułamków zwykłych. Aby to zrobić, wystarczy zamienić liczby mieszane na ułamki niewłaściwe.

Dla przykładu porównajmy liczbę mieszaną z liczbą mieszaną, przedstawiając je w formie ułamki niewłaściwe. Mamy i. Zatem porównanie pierwotnych liczb mieszanych sprowadza się do porównania ułamków o różnych mianownikach i . Od tego czasu.

Porównywanie liczb mieszanych poprzez porównywanie równych ułamków nie jest najlepszym rozwiązaniem. O wiele wygodniej jest używać poniższych zasada porównywania liczb mieszanych: większa jest liczbą mieszaną, której część całkowita jest większa, ale jeśli części całkowite są równe, wówczas większa jest liczba mieszana, której część ułamkowa jest większa.

Przyjrzyjmy się, jak porównuje się liczby mieszane zgodnie z podaną regułą. Aby to zrobić, spójrzmy na rozwiązania przykładów.

Przykład.

Która z liczb mieszanych i większa?

Rozwiązanie.

Części całkowite porównywanych liczb mieszanych są równe, więc porównanie sprowadza się do porównania części ułamkowych i . Od tego czasu . Zatem liczba mieszana jest większa niż liczba mieszana.

Odpowiedź:

Porównanie liczby mieszanej i naturalnej

Zastanówmy się, jak porównać liczbę mieszaną i Liczba naturalna.

To jest sprawiedliwe reguła porównania pomieszane numery z liczbą naturalną: jeżeli część całkowita liczby mieszanej jest mniejsza od danej liczby naturalnej, to liczba mieszana jest mniejsza od danej liczby naturalnej, a jeżeli część całkowita liczby mieszanej jest większa lub równa danej liczbie mieszanej, to liczba mieszana jest większa od danej liczby naturalnej.

Przyjrzyjmy się przykładom porównania liczby mieszanej i naturalnej.

Przykład.

Porównaj liczby 6 i .

Rozwiązanie.

Cała część liczba mieszana to 9. Ponieważ jest większa od liczby naturalnej 6, to .

Odpowiedź:

Przykład.

Biorąc pod uwagę liczbę mieszaną i liczbę naturalną 34, która liczba jest mniejsza?

Rozwiązanie.

Cała część liczby mieszanej jest mniejsza niż 34 (11<34 ), поэтому .

Odpowiedź:

Liczba mieszana jest mniejsza niż 34.

Przykład.

Porównaj liczbę 5 i liczbę mieszaną.

Rozwiązanie.

Część całkowita tej liczby mieszanej jest równa liczbie naturalnej 5, zatem ta liczba mieszana jest większa niż 5.

Odpowiedź:

Podsumowując ten punkt, zauważamy, że każda liczba mieszana jest większa niż jeden. To stwierdzenie wynika z reguły porównywania liczby mieszanej z liczbą naturalną, a także z faktu, że część całkowita dowolnej liczby mieszanej jest większa niż 1 lub równa 1.

Porównanie liczby mieszanej i ułamka zwykłego

Najpierw porozmawiajmy o porównanie liczby mieszanej i ułamka właściwego. Każdy ułamek właściwy jest mniejszy niż jeden (patrz ułamki właściwe i niewłaściwe), zatem każdy ułamek właściwy jest mniejszy od dowolnej liczby mieszanej (ponieważ każda liczba mieszana jest większa niż 1).