Skoro tu trafiłeś, prawdopodobnie widziałeś już tę formułę w podręczniku

i zrób taką minę:

Przyjacielu, nie martw się! Właściwie wszystko jest po prostu oburzające. Na pewno wszystko zrozumiesz. Tylko jedna prośba – przeczytaj artykuł powoli, staraj się zrozumieć każdy krok. Napisałem tak prosto i przejrzyście, jak to możliwe, ale nadal musisz zrozumieć ideę. I pamiętaj o rozwiązaniu zadań z artykułu.

Co to jest funkcja złożona?

Wyobraź sobie, że przeprowadzasz się do innego mieszkania i dlatego pakujesz rzeczy do dużych pudeł. Załóżmy, że musisz zebrać kilka drobnych przedmiotów, na przykład szkolne przybory piśmiennicze. Jeśli po prostu wrzucisz je do ogromnego pudełka, zgubią się między innymi. Aby tego uniknąć, najpierw umieszcza się je np. w torbie, którą następnie wkłada się do dużego pudełka, po czym je zamyka. Ten „złożony” proces przedstawiono na poniższym schemacie:

Wydawałoby się, co ma z tym wspólnego matematyka? Tak, pomimo tego, że funkcja złożona jest tworzona DOKŁADNIE W TYM SAMYM SPOSOBIE! Tylko my „pakujemy” nie notesy i długopisy, ale \(x\), natomiast „opakowania” i „pudełka” są różne.

Na przykład weźmy x i „spakujmy” go w funkcję:


W rezultacie otrzymujemy oczywiście \(\cos⁡x\). To jest nasza „torba rzeczy”. Teraz włóżmy to do „pudełka” – spakujmy na przykład w funkcję sześcienną.


Co się stanie na końcu? Tak, zgadza się, w pudełku będzie „worek rzeczy”, czyli „cosinus X do sześcianu”.

Powstały projekt jest złożoną funkcją. Od prostego różni się tym KILKA „wpływów” (pakietów) jest przykładanych do jednego X z rzędu i okazuje się, że „funkcja z funkcji” - „opakowanie w opakowaniu”.

W kurs szkolny Rodzajów tych „pakietów” jest bardzo niewiele, tylko cztery:

„Spakujmy” teraz X najpierw do funkcji wykładniczej o podstawie 7, a następnie do funkcji trygonometrycznej. Otrzymujemy:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Teraz „spakujmy” X dwukrotnie funkcje trygonometryczne, najpierw w , a następnie w:

\(x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

Proste, prawda?

Teraz sam napisz funkcje, gdzie x:
- najpierw jest „upakowany” w cosinus, a następnie w funkcję wykładniczą o podstawie \(3\);
- najpierw do potęgi piątej, a następnie do stycznej;
- pierwszy do logarytmu o podstawie \(4\) , a następnie do potęgi \(-2\).

Odpowiedzi na to zadanie znajdziesz na końcu artykułu.

Czy możemy „spakować” X nie dwa, ale trzy razy? Bez problemu! I cztery, i pięć, i dwadzieścia pięć razy. Oto na przykład funkcja, w której x jest „upakowane” \(4\) razy:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Ale takich formuł nie znajdziemy w praktyce szkolnej (uczniowie mają więcej szczęścia – ich może być bardziej skomplikowana☺).

„Rozpakowywanie” złożonej funkcji

Spójrz jeszcze raz na poprzednią funkcję. Czy potrafisz ustalić sekwencję „pakowania”? W co X zostało wepchnięte najpierw, w co potem i tak dalej, aż do samego końca. To znaczy, która funkcja jest zagnieżdżona w której? Weź kartkę papieru i napisz, co myślisz. Można to zrobić za pomocą łańcuszka ze strzałkami tak jak pisaliśmy powyżej lub w inny sposób.

Teraz poprawna odpowiedź brzmi: najpierw x zostało „upakowane” do \(4\)-tej potęgi, następnie wynik został spakowany do sinusa, a to z kolei zostało umieszczone w logarytmie o podstawie \(2\) , a na koniec całą tę konstrukcję upchnięto w potęgę piątkową.

Oznacza to, że musisz rozwinąć sekwencję W ODWROTNEJ KOLEJNOŚCI. A tu podpowiedź jak to zrobić prościej: od razu spójrz na X – powinieneś od niego zatańczyć. Spójrzmy na kilka przykładów.

Oto przykładowa funkcja: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Patrzymy na X – co dzieje się z nim najpierw? Zabrane mu. I wtedy? Przyjmuje się tangens wyniku. Kolejność będzie taka sama:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Inny przykład: \(y=\cos⁡((x^3))\). Przeanalizujmy - najpierw podnieśliśmy X do sześcianu, a następnie obliczyliśmy cosinus wyniku. Oznacza to, że sekwencja będzie następująca: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Zwróć uwagę, funkcja wydaje się być podobna do pierwszej (gdzie zawiera obrazy). Ale to jest zupełnie inna funkcja: tutaj w sześcianie jest x (czyli \(\cos⁡((x·x·x)))\), a tam w sześcianie jest cosinus \(x\) ( to znaczy \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Różnica ta wynika z różnych sekwencji „pakowania”.

Ostatni przykład (z ważna informacja w nim): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Oczywiste jest, że tutaj najpierw wykonali operacje arytmetyczne na x, a następnie obliczyli sinus wyniku: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). I to jest ważny punkt: pomimo tego, że operacje arytmetyczne same w sobie nie są funkcjami, tutaj działają również jako sposób „pakowania”. Zagłębmy się nieco w tę subtelność.

Jak powiedziałem powyżej, w prostych funkcjach x jest „pakowane” raz, a w funkcjach złożonych - dwa lub więcej. Co więcej, dowolna kombinacja prostych funkcji (czyli ich suma, różnica, mnożenie lub dzielenie) również jest prosta funkcja. Na przykład \(x^7\) jest prostą funkcją, podobnie jak \(ctg x\). Oznacza to, że wszystkie ich kombinacje są prostymi funkcjami:

\(x^7+ ctg x\) - proste,
\(x^7· łóżko x\) – proste,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – proste itp.

Jeśli jednak do takiej kombinacji zostanie zastosowana jeszcze jedna funkcja, stanie się ona funkcją złożoną, ponieważ będą dwa „pakiety”. Zobacz schemat:



OK, śmiało. Zapisz sekwencję funkcji „zawijania”:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Odpowiedzi znajdują się ponownie na końcu artykułu.

Funkcje wewnętrzne i zewnętrzne

Dlaczego musimy zrozumieć zagnieżdżanie funkcji? Co nam to daje? Faktem jest, że bez takiej analizy nie będziemy w stanie wiarygodnie znaleźć pochodnych funkcji omówionych powyżej.

Aby przejść dalej, będziemy potrzebować jeszcze dwóch koncepcji: funkcji wewnętrznych i zewnętrznych. To bardzo prosta rzecz, zresztą analizowaliśmy je już powyżej: jeśli pamiętamy naszą analogię na samym początku, to funkcja wewnętrzna to „pakiet”, a funkcja zewnętrzna to „pudełko”. Te. to, w co X jest najpierw „owinięte”, jest funkcją wewnętrzną, a to, w co „owinięta” jest funkcja wewnętrzna, jest już funkcją zewnętrzną. Cóż, jasne jest dlaczego – jest na zewnątrz, to znaczy na zewnątrz.

W tym przykładzie: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), funkcja \(\log_2⁡x\) jest funkcją wewnętrzną i
- zewnętrzny.

A w tym: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) jest wewnętrzne i
- zewnętrzny.

Wykonaj ostatnią praktykę analizy funkcji złożonych i przejdźmy wreszcie do tego, od czego wszyscy zaczęliśmy – znajdziemy pochodne funkcji złożonych:

Wypełnij puste miejsca w tabeli:


Pochodna funkcji zespolonej

Brawo dla nas, w końcu dotarliśmy do „szefa” tego tematu – a właściwie pochodnej złożona funkcja, a konkretnie do tej bardzo okropnej formuły z początku artykułu.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Ta formuła brzmi następująco:

Pochodna funkcji zespolonej jest równa iloczynowi pochodnej funkcji zewnętrznej po stałej funkcji wewnętrznej i pochodnej funkcji wewnętrznej.

I od razu spójrz na diagram analizy „słowo po słowie”, aby zrozumieć, co jest czym:

Mam nadzieję, że określenia „pochodna” i „produkt” nie sprawią żadnych trudności. „Funkcja złożona” - już to rozwiązaliśmy. Haczyk tkwi w „pochodnej funkcji zewnętrznej względem stałej funkcji wewnętrznej”. Co to jest?

Odpowiedź: Jest to zwykła pochodna funkcji zewnętrznej, w której zmienia się tylko funkcja zewnętrzna, a funkcja wewnętrzna pozostaje taka sama. Nadal nie jest jasne? OK, użyjmy przykładu.

Miejmy funkcję \(y=\sin⁡(x^3)\). Jasne jest, że funkcją wewnętrzną jest tutaj \(x^3\), a funkcją zewnętrzną
. Znajdźmy teraz pochodną zewnętrza względem stałego wnętrza.

Ta lekcja poświęcona jest tematowi „Różniczkowanie funkcji zespolonych. Problem z praktyki przygotowania do Jednolitego Egzaminu Państwowego z matematyki.” W tej lekcji omówimy różnicowanie złożonych funkcji. Tworzona jest tabela pochodnych funkcji złożonej. Ponadto rozważono przykład rozwiązania problemu z praktyki przygotowania do jednolitego egzaminu państwowego z matematyki.

Temat: Pochodna

Lekcja: Różniczkowanie funkcji zespolonej. Zadanie praktyczne przygotowujące do egzaminu Unified State Exam z matematyki

Złożonyfunkcjonować już rozróżniliśmy, ale argument był funkcja liniowa, czyli wiemy jak różniczkować funkcję . Na przykład, . Teraz w ten sam sposób znajdziemy pochodne funkcji zespolonej, gdzie zamiast funkcji liniowej może istnieć inna funkcja.

Zacznijmy od funkcji

Zatem znaleźliśmy pochodną sinusa z funkcji zespolonej, gdzie argumentem sinusa była funkcja kwadratowa.

Jeśli chcesz znaleźć wartość pochodnej w określonym punkcie, to ten punkt należy podstawić do znalezionej pochodnej.

Zatem w dwóch przykładach widzieliśmy, jak działa reguła różnicowanie złożony Funkcje.

2.

3. . Przypomnijmy Ci to.

7.

8. .

Tym samym na tym etapie zakończymy tabelę różniczkowania funkcji zespolonych. Dalej oczywiście będzie to jeszcze bardziej uogólnione, ale teraz przejdźmy do konkretnych problemów dotyczących pochodnej.

W praktyce przygotowań do egzaminu Unified State Exam proponuje się następujące zadania.

Znajdź minimum funkcji .

OZ: .

Znajdźmy pochodną. Przypomnijmy, że .

Przyrównajmy pochodną do zera. Kropka jest zawarta w ODZ.

Znajdźmy przedziały znaku stałego pochodnej (przedziały monotoniczności funkcji) (patrz rys. 1).

Ryż. 1. Przedziały monotoniczności funkcji .

Spójrzmy na punkt i dowiedzmy się, czy jest to punkt ekstremalny. Wystarczającym znakiem ekstremum jest to, że pochodna zmienia znak podczas przechodzenia przez punkt. W tym przypadku pochodna zmienia znak, co oznacza, że ​​​​jest punktem ekstremalnym. Ponieważ pochodna zmienia znak z „-” na „+”, to jest to punkt minimalny. Znajdźmy wartość funkcji w punkcie minimalnym: . Narysujmy diagram (patrz ryc. 2).

Ryc.2. Ekstremum funkcji .

Na przedziale - funkcja maleje, na - funkcja rośnie, ekstremum jest unikalne. Najniższa wartość funkcja akceptuje tylko w punkcie .

Na lekcji przyjrzeliśmy się różniczkowaniu funkcji zespolonych, zebraliśmy tabelę i przyjrzeliśmy się zasadom różniczkowania funkcji zespolonej oraz podaliśmy przykład wykorzystania pochodnej z praktyki przygotowania do egzaminu Unified State Exam.

1. Algebra i początek analizy, klasa 10 (w dwóch częściach). Poradnik dla instytucje edukacyjne (poziom profilu) wyd. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra i początek analizy, klasa 10 (w dwóch częściach). Książka problemowa dla instytucji edukacyjnych (poziom profilu), wyd. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra i rachunek różniczkowy dla klasy 10 ( instruktaż dla uczniów szkół i klas kl dogłębne studium matematyka).-M.: Edukacja, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Zaawansowane studiowanie algebry i Analiza matematyczna.-M.: Edukacja, 1997.

5. Zbiór problemów z matematyki dla kandydatów do szkół wyższych (pod red. M.I. Skanavi) - M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Symulator algebraiczny.-K.: A.S.K., 1997.

7. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina Algebra i początki analizy. Klasy 8-11: Podręcznik dla szkół i klas z pogłębioną nauką matematyki (materiały dydaktyczne) - M.: Bustard, 2002.

8. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Zagadnienia algebry i zasady analizy (podręcznik dla uczniów klas 10-11 szkół ogólnokształcących) - M.: Prosveshchenie, 2003.

9. Karp A.P. Zbiór problemów algebry i zasad analizy: podręcznik. dodatek dla klas 10-11. z głębią badane Matematyka.-M.: Edukacja, 2006.

10. Glazer G.I. Historia matematyki w szkole. Klasy 9-10 (podręcznik dla nauczycieli).-M.: Edukacja, 1983

Dodatkowe zasoby internetowe

2. Portalu Nauki przyrodnicze ().

Zrób to w domu

Nr 42.2, 42.3 (Algebra i początki analizy, klasa 10 (w dwóch częściach). Zeszyt zadań dla placówek kształcenia ogólnego (poziom profilu) pod red. A. G. Mordkovicha. - M.: Mnemosyne, 2007.)

Decydować zadania fizyczne lub przykładów z matematyki jest całkowicie niemożliwe bez znajomości pochodnej i metod jej obliczania. Pochodna jest jednym z najważniejszych pojęć w analizie matematycznej. Postanowiliśmy poświęcić dzisiejszy artykuł temu fundamentalnemu tematowi. Co to jest pochodna, jaka jest jej fizyczna i znaczenie geometryczne jak obliczyć pochodną funkcji? Wszystkie te pytania można połączyć w jedno: jak rozumieć pochodną?

Geometryczne i fizyczne znaczenie pochodnej

Niech będzie funkcja k(x) , określone w określonym przedziale (a, b) . Punkty x i x0 należą do tego przedziału. Kiedy zmienia się x, zmienia się sama funkcja. Zmiana argumentu - różnica w jego wartościach x-x0 . Różnicę tę zapisuje się jako delta x i nazywa się to przyrostem argumentu. Zmiana lub przyrost funkcji to różnica między wartościami funkcji w dwóch punktach. Definicja pochodnej:

Pochodna funkcji w punkcie jest granicą stosunku przyrostu funkcji w danym punkcie do przyrostu argumentu, gdy ten ostatni dąży do zera.

W przeciwnym razie można to zapisać w następujący sposób:

Jaki jest sens znajdowania takiej granicy? A oto co to jest:

pochodna funkcji w punkcie jest równa tangensowi kąta pomiędzy osią OX a styczną do wykresu funkcji w danym punkcie.


Znaczenie fizyczne pochodna: pochodna drogi po czasie jest równa prędkości ruchu prostoliniowego.

Rzeczywiście, od czasów szkolnych wszyscy wiedzą, że prędkość to szczególna ścieżka x=f(t) i czas T . Średnia prędkość w określonym przedziale czasu:

Aby poznać prędkość ruchu w danym momencie t0 musisz obliczyć limit:

Zasada pierwsza: ustaw stałą

Stałą można wyjąć ze znaku pochodnej. Co więcej, należy to zrobić. Rozwiązując przykłady z matematyki, przyjmuj to z reguły - Jeśli możesz uprościć wyrażenie, pamiętaj o uproszczeniu go .

Przykład. Obliczmy pochodną:

Zasada druga: pochodna sumy funkcji

Pochodna sumy dwóch funkcji jest równa sumie pochodnych tych funkcji. To samo dotyczy pochodnej różnicy funkcji.

Nie będziemy podawać dowodu tego twierdzenia, ale raczej rozważymy praktyczny przykład.

Znajdź pochodną funkcji:

Zasada trzecia: pochodna iloczynu funkcji

Pochodną iloczynu dwóch funkcji różniczkowalnych obliczamy ze wzoru:

Przykład: znajdź pochodną funkcji:

Rozwiązanie:

Ważne jest, aby porozmawiać tutaj o obliczaniu pochodnych funkcji złożonych. Pochodna funkcji zespolonej jest równa iloczynowi pochodnej tej funkcji po argumencie pośrednim i pochodnej argumentu pośredniego po zmiennej niezależnej.

W powyższym przykładzie spotykamy się z wyrażeniem:

W tym przypadku argumentem pośrednim jest 8x do potęgi piątej. Aby obliczyć pochodną takiego wyrażenia, najpierw obliczamy pochodną funkcji zewnętrznej względem argumentu pośredniego, a następnie mnożymy przez pochodną samego argumentu pośredniego względem zmiennej niezależnej.

Zasada czwarta: pochodna ilorazu dwóch funkcji

Wzór na wyznaczenie pochodnej ilorazu dwóch funkcji:

O instrumentach pochodnych próbowaliśmy od zera porozmawiać dla manekinów. Temat ten nie jest tak prosty, jak się wydaje, więc uważaj: przykłady często zawierają pułapki, dlatego należy zachować ostrożność przy obliczaniu pochodnych.

W przypadku jakichkolwiek pytań na ten i inne tematy, możesz skontaktować się z obsługą studencką. W krótkim czasie pomożemy Ci rozwiązać najtrudniejszy test i zrozumieć zadania, nawet jeśli nigdy wcześniej nie wykonywałeś obliczeń pochodnych.

Bardzo łatwe do zapamiętania.

No cóż, nie odchodźmy daleko, przyjrzyjmy się temu od razu funkcja odwrotna. Która funkcja jest odwrotnością funkcja wykładnicza? Logarytm:

W naszym przypadku podstawą jest liczba:

Taki logarytm (czyli logarytm z podstawą) nazywa się „naturalnym” i używamy dla niego specjalnego zapisu: zamiast tego piszemy.

Czemu to jest równe? Oczywiście, .

Pochodna logarytmu naturalnego jest również bardzo prosta:

Przykłady:

  1. Znajdź pochodną funkcji.
  2. Jaka jest pochodna funkcji?

Odpowiedzi: Wystawca i naturalny logarytm- funkcje są wyjątkowo proste pod względem pochodnych. Funkcje wykładnicze i logarytmiczne na dowolnej innej podstawie będą miały inną pochodną, ​​którą przeanalizujemy później, po zapoznaniu się z zasadami różniczkowania.

Zasady różnicowania

Zasady czego? Znowu nowy termin, znowu?!...

Różnicowanie to proces znajdowania pochodnej.

To wszystko. Jak inaczej można nazwać ten proces jednym słowem? Nie pochodna. Matematycy nazywają różniczkę tym samym przyrostem funkcji. Termin ten pochodzi od łacińskiego słowa Differentia – różnica. Tutaj.

Wyprowadzając wszystkie te reguły, użyjemy na przykład dwóch funkcji i. Będziemy również potrzebować wzorów na ich przyrosty:

W sumie jest 5 zasad.

Stała jest usuwana ze znaku pochodnej.

Jeśli - jakaś stała liczba (stała), to.

Oczywiście ta zasada działa również w przypadku różnicy: .

Udowodnijmy to. Niech tak będzie, albo prościej.

Przykłady.

Znajdź pochodne funkcji:

  1. w pewnym momencie;
  2. w pewnym momencie;
  3. w pewnym momencie;
  4. w tym punkcie.

Rozwiązania:

  1. (pochodna jest taka sama we wszystkich punktach, ponieważ jest to funkcja liniowa, pamiętasz?);

Pochodna produktu

Tutaj wszystko jest podobne: wprowadźmy nową funkcję i znajdźmy jej inkrementację:

Pochodna:

Przykłady:

  1. Znajdź pochodne funkcji i;
  2. Znajdź pochodną funkcji w punkcie.

Rozwiązania:

Pochodna funkcji wykładniczej

Teraz twoja wiedza jest wystarczająca, aby dowiedzieć się, jak znaleźć pochodną dowolnej funkcji wykładniczej, a nie tylko wykładniki (zapomniałeś już, co to jest?).

Więc gdzie jest jakaś liczba.

Znamy już pochodną funkcji, więc spróbujmy sprowadzić naszą funkcję do nowej podstawy:

Do tego użyjemy prosta zasada: . Następnie:

Cóż, zadziałało. Teraz spróbuj znaleźć pochodną i nie zapominaj, że ta funkcja jest złożona.

Stało się?

Tutaj sprawdź sam:

Wzór okazał się bardzo podobny do pochodnej wykładnika: jak był, pozostaje taki sam, pojawił się tylko czynnik, który jest tylko liczbą, a nie zmienną.

Przykłady:
Znajdź pochodne funkcji:

Odpowiedzi:

To po prostu liczba, której bez kalkulatora nie da się obliczyć, czyli nie da się jej już zapisać w prostej formie. Dlatego zostawiamy to w tej formie w odpowiedzi.

    Zauważ, że tutaj jest iloraz dwóch funkcji, dlatego stosujemy odpowiednią regułę różniczkowania:

    W tym przykładzie iloczyn dwóch funkcji:

Pochodna funkcji logarytmicznej

Tutaj jest podobnie: znasz już pochodną logarytmu naturalnego:

Dlatego, aby znaleźć dowolny logarytm o innej podstawie, na przykład:

Musimy sprowadzić ten logarytm do podstawy. Jak zmienić podstawę logarytmu? Mam nadzieję, że pamiętasz tę formułę:

Dopiero teraz zamiast tego napiszemy:

Mianownik jest po prostu stałą (liczbą stałą, bez zmiennej). Pochodną otrzymuje się bardzo prosto:

Pochodne wykładnicze i funkcje logarytmiczne prawie nigdy nie pojawiają się na jednolitym egzaminie państwowym, ale nie zaszkodzi ich poznać.

Pochodna funkcji zespolonej.

Co to jest „funkcja złożona”? Nie, to nie jest logarytm ani arcustangens. Funkcje te mogą być trudne do zrozumienia (chociaż jeśli logarytm wydaje ci się trudny, przeczytaj temat „Logarity” i wszystko będzie dobrze), ale z matematycznego punktu widzenia słowo „złożony” nie oznacza „trudny”.

Wyobraź sobie mały przenośnik taśmowy: dwie osoby siedzą i wykonują pewne czynności z niektórymi przedmiotami. Przykładowo, pierwszy zawija tabliczkę czekolady w opakowanie, a drugi zawiązuje ją wstążką. W rezultacie powstał obiekt złożony: tabliczka czekolady owinięta i przewiązana wstążką. Aby zjeść tabliczkę czekolady, należy wykonać kroki w odwrotnej kolejności.

Stwórzmy podobny potok matematyczny: najpierw znajdziemy cosinus liczby, a następnie podniesiemy wynikową liczbę do kwadratu. Dostajemy więc liczbę (czekoladę), znajduję jej cosinus (opakowanie), a następnie podnoszę do kwadratu to, co otrzymam (przewiązuję wstążką). Co się stało? Funkcjonować. To jest przykład funkcji złożonej: gdy, aby znaleźć jej wartość, wykonujemy pierwszą akcję bezpośrednio ze zmienną, a następnie drugą akcję z tym, co wynika z pierwszej.

Innymi słowy, funkcja złożona to funkcja, której argumentem jest inna funkcja: .

Dla naszego przykładu .

Możemy z łatwością wykonać te same kroki w odwrotnej kolejności: najpierw podnieś wynik do kwadratu, a następnie szukam cosinusa otrzymanej liczby: . Łatwo się domyślić, że wynik prawie zawsze będzie inny. Ważna cecha funkcji złożonych: gdy zmienia się kolejność działań, zmienia się funkcja.

Drugi przykład: (to samo). .

Akcja, którą wykonamy jako ostatnia, zostanie wywołana funkcja „zewnętrzna”., oraz czynność wykonaną jako pierwsza – odpowiednio funkcję „wewnętrzną”.(są to nazwy nieformalne, używam ich jedynie w celu wyjaśnienia materiału prostym językiem).

Spróbuj sam określić, która funkcja jest zewnętrzna, a która wewnętrzna:

Odpowiedzi: Oddzielenie funkcji wewnętrznej i zewnętrznej jest bardzo podobne do zmiany zmiennych: na przykład w funkcji

  1. Jaką czynność wykonamy jako pierwszą? Najpierw obliczmy sinus, a dopiero potem sześcian. Oznacza to, że jest to funkcja wewnętrzna, ale zewnętrzna.
    A oryginalną funkcją jest ich skład: .
  2. Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
    Badanie: .
  3. Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
    Badanie: .
  4. Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
    Badanie: .
  5. Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
    Badanie: .

Zmieniamy zmienne i otrzymujemy funkcję.

Cóż, teraz wyodrębnimy naszą tabliczkę czekolady i poszukamy pochodnej. Procedura jest zawsze odwrotna: najpierw szukamy pochodnej funkcji zewnętrznej, następnie mnożymy wynik przez pochodną funkcji wewnętrznej. W odniesieniu do pierwotnego przykładu wygląda to tak:

Inny przykład:

Sformułujmy więc w końcu oficjalną zasadę:

Algorytm znajdowania pochodnej funkcji zespolonej:

Wydaje się to proste, prawda?

Sprawdźmy na przykładach:

Rozwiązania:

1) Wewnętrzne: ;

Zewnętrzny: ;

2) Wewnętrzne: ;

(Tylko nie próbuj już tego ciąć! Spod cosinusa nic nie wychodzi, pamiętasz?)

3) Wewnętrzne: ;

Zewnętrzny: ;

Od razu widać, że jest to funkcja złożona na trzech poziomach: w końcu jest to już sama w sobie funkcja złożona i wyodrębniamy z niej również korzeń, to znaczy wykonujemy trzecią akcję (włóż czekoladę do opakowania i ze wstążką w teczce). Ale nie ma powodu się bać: nadal „rozpakowujemy” tę funkcję w tej samej kolejności, co zwykle: od końca.

Oznacza to, że najpierw różnicujemy pierwiastek, potem cosinus, a dopiero potem wyrażenie w nawiasach. A potem to wszystko mnożymy.

W takich przypadkach wygodnie jest ponumerować działania. To znaczy wyobraźmy sobie to, co wiemy. W jakiej kolejności wykonamy czynności, aby obliczyć wartość tego wyrażenia? Spójrzmy na przykład:

Im później akcja zostanie wykonana, tym bardziej „zewnętrzna” będzie odpowiednia funkcja. Sekwencja działań jest taka sama jak poprzednio:

Tutaj zagnieżdżenie jest zazwyczaj 4-poziomowe. Ustalmy kierunek działania.

1. Radykalne wyrażenie. .

2. Korzeń. .

3. Sinus. .

4. Kwadrat. .

5. Łączenie wszystkiego w jedną całość:

POCHODNA. KRÓTKO O NAJWAŻNIEJSZYCH RZECZACH

Pochodna funkcji- stosunek przyrostu funkcji do przyrostu argumentu dla nieskończenie małego przyrostu argumentu:

Podstawowe pochodne:

Zasady różnicowania:

Stała jest usuwana ze znaku pochodnej:

Pochodna sumy:

Pochodna produktu:

Pochodna ilorazu:

Pochodna funkcji złożonej:

Algorytm znajdowania pochodnej funkcji zespolonej:

  1. Definiujemy funkcję „wewnętrzną” i znajdujemy jej pochodną.
  2. Definiujemy funkcję „zewnętrzną” i znajdujemy jej pochodną.
  3. Mnożymy wyniki pierwszego i drugiego punktu.

Jeśli trzymać się definicji, to pochodna funkcji w punkcie jest granicą stosunku przyrostu funkcji Δ y do przyrostu argumentu Δ X:

Wszystko wydaje się być jasne. Ale spróbuj użyć tego wzoru do obliczenia, powiedzmy, pochodnej funkcji F(X) = X 2 + (2X+ 3) · mi X grzech X. Jeśli zrobisz wszystko z definicji, to po kilku stronach obliczeń po prostu zaśniesz. Dlatego istnieją prostsze i skuteczniejsze sposoby.

Na początek zauważamy, że z całej różnorodności funkcji możemy wyróżnić tzw. Funkcje elementarne. To względne proste wyrażenia, których pochodne zostały już dawno obliczone i wymienione w tabeli. Takie funkcje są dość łatwe do zapamiętania - wraz z ich pochodnymi.

Pochodne funkcji elementarnych

Funkcje elementarne to wszystkie funkcje wymienione poniżej. Pochodne tych funkcji trzeba znać na pamięć. Co więcej, ich zapamiętanie wcale nie jest trudne - dlatego są elementarne.

Zatem pochodne funkcji elementarnych:

Nazwa Funkcjonować Pochodna
Stały F(X) = C, C ∈ R 0 (tak, zero!)
Potęga z wykładnikiem wymiernym F(X) = X N N · X N − 1
Zatoka F(X) = grzech X sałata X
Cosinus F(X) = sałata X −grzech X(minus sinus)
Tangens F(X) = tg X 1/co2 X
Cotangens F(X) = ctg X − 1/grzech 2 X
Naturalny logarytm F(X) = log X 1/X
Logarytm dowolny F(X) = log A X 1/(X ln A)
Funkcja wykładnicza F(X) = mi X mi X(nic się nie zmieniło)

Jeśli funkcję elementarną pomnoży się przez dowolną stałą, wówczas łatwo obliczyć pochodną nowej funkcji:

(C · F)’ = C · F ’.

Ogólnie rzecz biorąc, stałe można wyjąć ze znaku pochodnej. Na przykład:

(2X 3)’ = 2 · ( X 3)’ = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Oczywiście funkcje elementarne można ze sobą dodawać, mnożyć, dzielić - i wiele więcej. Tak pojawią się nowe funkcje, już nie szczególnie elementarne, ale też zróżnicowane według pewnych zasad. Zasady te zostały omówione poniżej.

Pochodna sumy i różnicy

Niech zostaną podane funkcje F(X) I G(X), których pochodne są nam znane. Na przykład możesz wziąć funkcje elementarne omówione powyżej. Następnie możesz znaleźć pochodną sumy i różnicy tych funkcji:

  1. (F + G)’ = F ’ + G ’
  2. (F − G)’ = F ’ − G ’

Zatem pochodna sumy (różnicy) dwóch funkcji jest równa sumie (różnicy) pochodnych. Terminów może być więcej. Na przykład, ( F + G + H)’ = F ’ + G ’ + H ’.

Ściśle mówiąc, w algebrze nie ma pojęcia „odejmowania”. Istnieje koncepcja „elementu negatywnego”. Dlatego różnica F − G można przepisać jako sumę F+ (-1) G, i wtedy pozostaje tylko jeden wzór - pochodna sumy.

F(X) = X 2 + grzech x; G(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Funkcjonować F(X) jest sumą dwóch funkcji elementarnych, zatem:

F ’(X) = (X 2 + grzech X)’ = (X 2)’ + (grzech X)’ = 2X+ cosx;

Podobnie rozumujemy dla funkcji G(X). Tylko, że są już trzy terminy (z punktu widzenia algebry):

G ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Odpowiedź:
F ’(X) = 2X+ cosx;
G ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Pochodna produktu

Matematyka jest nauką logiczną, więc wiele osób uważa, że ​​jeśli pochodna sumy jest równa sumie pochodnych, to pochodna iloczynu strajk">równy iloczynowi pochodnych. Ale chuj! Pochodną iloczynu oblicza się według zupełnie innego wzoru. Mianowicie:

(F · G) ’ = F ’ · G + F · G ’

Przepis jest prosty, jednak często się o nim zapomina. I nie tylko uczniowie, ale także studenci. Rezultatem są nieprawidłowo rozwiązane problemy.

Zadanie. Znajdź pochodne funkcji: F(X) = X 3 cosx; G(X) = (X 2 + 7X− 7) · mi X .

Funkcjonować F(X) jest iloczynem dwóch elementarnych funkcji, więc wszystko jest proste:

F ’(X) = (X 3 szt X)’ = (X 3)’, bo X + X 3 (kos X)’ = 3X 2 szt X + X 3 (− grzech X) = X 2 (3kos X − X grzech X)

Funkcjonować G(X) pierwszy czynnik jest nieco bardziej skomplikowany, ale ogólny schemat to się nie zmienia. Oczywiście pierwszy czynnik funkcji G(X) jest wielomianem, a jego pochodna jest pochodną sumy. Mamy:

G ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · mi X)’ = (X 2 + 7X− 7)’ · mi X + (X 2 + 7X− 7) ( mi X)’ = (2X+ 7) · mi X + (X 2 + 7X− 7) · mi X = mi X· (2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · mi X = X(X+ 9) · mi X .

Odpowiedź:
F ’(X) = X 2 (3kos X − X grzech X);
G ’(X) = X(X+ 9) · mi X .

Należy pamiętać, że na ostatni krok pochodna jest faktoryzowana. Formalnie nie trzeba tego robić, ale większość pochodnych nie oblicza się samodzielnie, ale w celu sprawdzenia funkcji. Oznacza to, że dalej pochodna zostanie zrównana z zerem, zostaną określone jej znaki i tak dalej. W takim przypadku lepiej jest rozłożyć wyrażenie na czynniki.

Jeśli są dwie funkcje F(X) I G(X), I G(X) ≠ 0 na interesującym nas zbiorze, możemy zdefiniować nową funkcję H(X) = F(X)/G(X). Dla takiej funkcji można również znaleźć pochodną:

Nie słaby, co? Skąd wziął się minus? Dlaczego G 2? I tak! To jedna z najbardziej skomplikowanych receptur – bez butelki nie da się tego obejść. Dlatego lepiej przestudiować to na konkretnych przykładach.

Zadanie. Znajdź pochodne funkcji:

W liczniku i mianowniku każdego ułamka znajdują się funkcje elementarne, zatem wystarczy nam wzór na pochodną ilorazu:


Zgodnie z tradycją rozłóżmy licznik na czynniki – to znacznie uprości odpowiedź:

Funkcja złożona niekoniecznie jest formułą o długości pół kilometra. Wystarczy np. przyjąć funkcję F(X) = grzech X i zastąp zmienną X, powiedzmy, dalej X 2 + ln X. Ułóży się F(X) = grzech ( X 2 + ln X) - jest to funkcja złożona. Ma również pochodną, ​​ale nie będzie można jej znaleźć, korzystając z reguł omówionych powyżej.

Co powinienem zrobić? W takich przypadkach zastąpienie zmiennej i wzoru na pochodną funkcji zespolonej pomaga:

F ’(X) = F ’(T) · T', Jeśli X zostaje zastąpiony przez T(X).

Z reguły sytuacja ze zrozumieniem tego wzoru jest jeszcze bardziej smutna niż w przypadku pochodnej ilorazu. Dlatego też lepiej jest to wyjaśnić na konkretnych przykładach, z dokładnym opisem każdego kroku.

Zadanie. Znajdź pochodne funkcji: F(X) = mi 2X + 3 ; G(X) = grzech ( X 2 + ln X)

Zauważ, że jeśli w funkcji F(X) zamiast wyrażenia 2 X+ 3 będzie łatwe X, to otrzymujemy funkcję elementarną F(X) = mi X. Dlatego dokonujemy zamiany: niech 2 X + 3 = T, F(X) = F(T) = mi T. Pochodnej funkcji zespolonej szukamy korzystając ze wzoru:

F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (mi T)’ · T ’ = mi T · T ’

A teraz – uwaga! Wykonujemy odwrotną zamianę: T = 2X+ 3. Otrzymujemy:

F ’(X) = mi T · T ’ = mi 2X+ 3 (2 X + 3)’ = mi 2X+ 3 2 = 2 mi 2X + 3

Przyjrzyjmy się teraz funkcji G(X). Jasne, że trzeba go wymienić X 2 + ln X = T. Mamy:

G ’(X) = G ’(T) · T’ = (grzech T)’ · T’ = sałata T · T ’

Odwrotna wymiana: T = X 2 + ln X. Następnie:

G ’(X) = sałata ( X 2 + ln X) · ( X 2 + ln X)’ = cos ( X 2 + ln X) · (2 X + 1/X).

To wszystko! Jak widać z ostatniego wyrażenia, całe zadanie sprowadza się do obliczenia sumy pochodnej.

Odpowiedź:
F ’(X) = 2 · mi 2X + 3 ;
G ’(X) = (2X + 1/X) bo ( X 2 + ln X).

Bardzo często na moich lekcjach zamiast terminu „pochodna” używam słowa „pierwsza”. Na przykład skok sumy jest równy sumie kresek. Czy to jest jaśniejsze? Cóż, to dobrze.

Zatem obliczenie pochodnej sprowadza się do pozbycia się tych samych kresek według zasad omówionych powyżej. Jak ostatni przykład Wróćmy do potęgi pochodnej z wykładnikiem wymiernym:

(X N)’ = N · X N − 1

Niewiele osób o tym wie w tej roli N może dobrze działać liczba ułamkowa. Na przykład korzeń jest X 0,5. A co jeśli pod korzeniem kryje się coś fantazyjnego? Ponownie wynikiem będzie złożona funkcja - lubią nadawać takie konstrukcje testy i egzaminy.

Zadanie. Znajdź pochodną funkcji:

Najpierw przepiszemy pierwiastek jako potęgę z wykładnikiem wymiernym:

F(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

Teraz dokonujemy zamiany: niech X 2 + 8X − 7 = T. Pochodną wyznaczamy korzystając ze wzoru:

F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (T 0,5)’ · T’ = 0,5 · T−0,5 · T ’.

Zróbmy odwrotną zamianę: T = X 2 + 8X− 7. Mamy:

F ’(X) = 0,5 · ( X 2 + 8X− 7) −0,5 · ( X 2 + 8X− 7)’ = 0,5 · (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

Na koniec powrót do korzeni: