W przemiany tożsamości wyrażenia trygonometryczne Można zastosować następujące techniki algebraiczne: dodawanie i odejmowanie identycznych wyrazów; wyjęcie wspólnego czynnika z nawiasów; mnożenie i dzielenie przez tę samą wielkość; stosowanie skróconych wzorów na mnożenie; przydział pełny kwadrat; rozkład trójmian kwadratowy przez mnożniki; wprowadzenie nowych zmiennych w celu uproszczenia przekształceń.

Konwertując wyrażenia trygonometryczne zawierające ułamki, możesz skorzystać z właściwości proporcji, redukując ułamki lub sprowadzając ułamki do wspólnego mianownika. Dodatkowo można zastosować wyodrębnienie całej części ułamka, mnożąc licznik i mianownik ułamka przez ten sam rozmiar, a także, jeśli to możliwe, wziąć pod uwagę jednorodność licznika lub mianownika. Jeśli to konieczne, możesz przedstawić ułamek jako sumę lub różnicę kilku prostszych ułamków.

Ponadto, stosując wszystkie niezbędne metody konwersji wyrażeń trygonometrycznych, należy stale brać pod uwagę zakres dopuszczalnych wartości konwertowanych wyrażeń.

Spójrzmy na kilka przykładów.

Przykład 1.

Oblicz A = (sin (2x – π) cos (3π – x) + sin (2x – 9π/2) cos (x + π/2)) 2 + (cos (x – π/2) cos ( 2x – 7π /2) +
+ grzech (3π/2 – x) grzech (2x –5π/2)) 2

Rozwiązanie.

Ze wzorów redukcyjnych wynika:

grzech (2x – π) = -sin 2x; cos (3π – x) = -cos x;

grzech (2x – 9π/2) = -cos 2x; cos (x + π/2) = -sin x;

cos (x – π/2) = grzech x; cos (2x – 7π/2) = -sin 2x;

grzech (3π/2 – x) = -cos x; grzech (2x – 5π/2) = -cos 2x.

Skąd, na podstawie wzorów dodawania argumentów i głównej tożsamości trygonometrycznej, otrzymujemy

A = (grzech 2x cos x + cos 2x grzech x) 2 + (-sin x grzech 2x + cos x cos 2x) 2 = grzech 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) =
= grzech 2 3x + sałata 2 3x = 1

Odpowiedź 1.

Przykład 2.

Przekształć wyrażenie M = cos α + cos (α + β) · cos γ + cos β – sin (α + β) · sin γ + cos γ na iloczyn.

Rozwiązanie.

Ze wzorów na dodawanie argumentów i wzorów na przeliczanie sum funkcje trygonometryczne do produktu po odpowiednim pogrupowaniu, jakim dysponujemy

M = (cos (α + β) cos γ – sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) cos ((β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) (cos ((β – γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) 2cos ((β – γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) cos ((β – γ)/2) – (α + ( β + γ)/2)/2) =

4cos ((β + γ)/2) cos ((α + β)/2) cos ((α + γ)/2).

Odpowiedź: M = 4cos ((α + β)/2) · cos ((α + γ)/2) · cos ((β + γ)/2).

Przykład 3.

Pokaż, że wyrażenie A = cos 2 (x + π/6) – cos (x + π/6) cos (x – π/6) + cos 2 (x – π/6) przyjmuje jeden dla wszystkich x z R i to samo znaczenie. Znajdź tę wartość.

Rozwiązanie.

Oto dwa sposoby rozwiązania tego problemu. Stosując pierwszą metodę, wyodrębniając cały kwadrat i korzystając z odpowiednich podstawowych wzorów trygonometrycznych, otrzymujemy

A = (cos (x + π/6) – cos (x – π/6)) 2 + cos (x – π/6) cos (x – π/6) =

4sin 2 x sin 2 π/6 + 1/2(cos 2x + cos π/3) =

Grzech 2 x + 1/2 · sałata 2x + 1/4 = 1/2 · (1 – cos 2x) + 1/2 · sałata 2x + 1/4 = 3/4.

Rozwiązując problem w drugi sposób, rozważ A jako funkcję x od R i oblicz jego pochodną. Po przekształceniach otrzymujemy

А´ = -2cos (x + π/6) grzech (x + π/6) + (sin (x + π/6) cos (x – π/6) + cos (x + π/6) grzech (x + π/6)) – 2cos (x – π/6) sin (x – π/6) =

Grzech 2(x + π/6) + grzech ((x + π/6) + (x – π/6)) – grzech 2(x – π/6) =

Grzech 2x – (grzech (2x + π/3) + grzech (2x – π/3)) =

Grzech 2x – 2sin 2x · cos π/3 = grzech 2x – grzech 2x ≡ 0.

Stąd na podstawie kryterium stałości funkcji różniczkowalnej na przedziale wnioskujemy, że

A(x) ≡ (0) = cos 2 π/6 - cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x € R.

Odpowiedź: A = 3/4 dla x € R.

Główne techniki dowodzenia tożsamości trygonometrycznych to:

A) zredukowanie lewej strony tożsamości do prawej poprzez odpowiednie przekształcenia;
B) zmniejszenie prawej strony tożsamości do lewej;
V) zredukowanie prawej i lewej strony tożsamości do tej samej formy;
G) zmniejszając do zera różnicę między lewą i prawą stroną udowadnianej tożsamości.

Przykład 4.

Sprawdź, że cos 3x = -4cos x · cos (x + π/3) · cos (x + 2π/3).

Rozwiązanie.

Przekształcając prawą stronę tej tożsamości za pomocą odpowiednich wzorów trygonometrycznych, mamy

4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3) =

2cos x (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) – (x + 2π/3))) =

2cos x (cos (2x + π) + cos π/3) =

2cos x · cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) – cos x = cos 3x.

Prawa strona tożsamości jest zredukowana do lewej.

Przykład 5.

Udowodnić, że sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ = 2, jeśli α, β, γ są kątami wewnętrznymi pewnego trójkąta.

Rozwiązanie.

Biorąc pod uwagę, że α, β, γ są kątami wewnętrznymi pewnego trójkąta, otrzymujemy to

α + β + γ = π, a zatem γ = π – α – β.

grzech 2 α + grzech 2 β + grzech 2 γ – 2cos α · sałata β · cos γ =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π – α – β) – 2cos α · cos β · cos (π – α – β) =

Sin 2 α + grzech 2 β + grzech 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α – β) · (cos (α + β) =

Sin 2 α + grzech 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α – β) (cos (α + β) =

1/2 · (1 – cos 2α) + ½ · (1 – cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) = 2.

Udowodniono pierwotną równość.

Przykład 6.

Udowodnij, że aby jeden z kątów α, β, γ trójkąta był równy 60°, konieczne i wystarczające jest, aby sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Rozwiązanie.

Warunek tego problemu polega na udowodnieniu zarówno konieczności, jak i wystarczalności.

Najpierw udowodnijmy konieczność.

Można to wykazać

grzech 3α + grzech 3β + grzech 3γ = -4cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2).

Zatem biorąc pod uwagę, że cos (3/2 60°) = cos 90° = 0, otrzymujemy, że jeśli jeden z kątów α, β lub γ jest równy 60°, to

cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0, a zatem sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Udowodnijmy teraz adekwatność określony warunek.

Jeżeli sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0, to cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0, a zatem

albo cos (3α/2) = 0, albo cos (3β/2) = 0, albo cos (3γ/2) = 0.

Stąd,

lub 3α/2 = π/2 + πk, tj. α = π/3 + 2πk/3,

lub 3β/2 = π/2 + πk, tj. β = π/3 + 2πk/3,

lub 3γ/2 = π/2 + πk,

te. γ = π/3 + 2πk/3, gdzie k ϵ Z.

Z faktu, że α, β, γ są kątami trójkąta, mamy

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Zatem dla α = π/3 + 2πk/3 lub β = π/3 + 2πk/3 lub

γ = π/3 + 2πk/3 ze wszystkich kϵZ odpowiednie jest tylko k = 0.

Wynika z tego, że albo α = π/3 = 60°, albo β = π/3 = 60°, albo γ = π/3 = 60°.

Stwierdzenie zostało udowodnione.

Nadal masz pytania? Nie wiesz, jak uprościć wyrażenia trygonometryczne?
Aby uzyskać pomoc korepetytora zarejestruj się.
Pierwsza lekcja jest darmowa!

stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.

Do rozwiązania niektórych problemów przyda się tabela tożsamości trygonometrycznych, która znacznie ułatwi transformację funkcji:

Najprostsze tożsamości trygonometryczne

Iloraz dzielenia sinusa kąta alfa przez cosinus tego samego kąta jest równy tangensowi tego kąta (wzór 1). Zobacz także dowód poprawności transformacji najprostszych tożsamości trygonometrycznych.
Iloraz dzielenia cosinusa kąta alfa przez sinus tego samego kąta jest równy cotangensowi tego samego kąta (wzór 2)
Sekans kąta jest równy jedności podzielonej przez cosinus tego samego kąta (wzór 3)
Suma kwadratów sinusa i cosinusa tego samego kąta jest równa jeden (wzór 4). zobacz także dowód sumy kwadratów cosinusa i sinusa.
Suma jedności i tangens kąta jest równa stosunkowi jedności do kwadratu cosinusa tego kąta (wzór 5)
Jeden plus cotangens kąta jest równy ilorazowi jedności przez sinus kwadrat tego kąta (wzór 6)
Iloczyn stycznej i cotangensu tego samego kąta jest równy jeden (wzór 7).

Zamiana kątów ujemnych funkcji trygonometrycznych (parzystych i nieparzystych)

Aby pozbyć się wartości ujemnej miara stopnia kąta przy obliczaniu sinusa, cosinusa lub tangensa można skorzystać z następujących przekształceń trygonometrycznych (tożsamości) opartych na zasadach parzystych lub nieparzystych funkcji trygonometrycznych.


Jak widać, cosinus i sieczna wynosi nawet funkcjonować , sinus, tangens i cotangens są funkcjami nieparzystymi.

Sinus kąta ujemnego jest równy ujemna wartość sinus tego samego kąta dodatniego (minus sinus alfa).
Cosinus minus alfa da tę samą wartość, co cosinus kąta alfa.
Tangens minus alfa jest równy minus tangens alfa.

Wzory na redukcję kątów podwójnych (sinus, cosinus, tangens i cotangens kątów podwójnych)

Jeśli chcesz podzielić kąt na pół lub odwrotnie, przejść od kąta podwójnego do kąta pojedynczego, możesz użyć następujących tożsamości trygonometrycznych:


Konwersja podwójnego kąta (sinus podwójnego kąta, cosinus podwójnego kąta i tangens podwójnego kąta) w singlu występuje przez następujące zasady:

Sinus podwójnego kąta równy dwukrotności iloczynu sinusa i cosinusa pojedynczego kąta

Cosinus podwójnego kąta równa różnicy między kwadratem cosinusa pojedynczego kąta a kwadratem sinusa tego kąta

Cosinus podwójnego kąta równy dwukrotności kwadratu cosinusa pojedynczego kąta minus jeden

Cosinus podwójnego kąta równy jeden minus podwójny sinus kwadrat pojedynczy kąt

Tangens kąta podwójnego jest równy ułamkowi, którego licznik jest dwukrotnością tangensu pojedynczego kąta, a mianownik jest równy jeden minus tangens kwadratu pojedynczego kąta.

Cotangens kąta podwójnego jest równy ułamkowi, którego licznikiem jest kwadrat cotangensu pojedynczego kąta minus jeden, a mianownik jest równy dwukrotności cotangensu pojedynczego kąta

Wzory na uniwersalne podstawienie trygonometryczne

Poniższe wzory przeliczeniowe mogą być przydatne, gdy trzeba podzielić argument funkcji trygonometrycznej (sin α, cos α, tan α) przez dwa i sprowadzić wyrażenie do wartości połowy kąta. Z wartości α otrzymujemy α/2.

Formuły te nazywane są wzory uniwersalnego podstawienia trygonometrycznego. Ich wartość polega na tym, że wyrażenie trygonometryczne za ich pomocą sprowadza się do wyrażenia tangensa połowy kąta, niezależnie od funkcji trygonometrycznych ( sinco tg ctg) znajdowały się początkowo w wyrażeniu. Następnie równanie ze tangensem połowy kąta jest znacznie łatwiejsze do rozwiązania.

Tożsamości trygonometryczne dla transformacji półkątowych

Poniżej wzory transformacja trygonometryczna połowę wartości kąta do całej jego wartości.
Wartość argumentu funkcji trygonometrycznej α/2 sprowadza się do wartości argumentu funkcji trygonometrycznej α.

Wzory trygonometryczne na dodawanie kątów

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

grzech (α + β) = grzech α cos β + grzech β cos α

grzech (α - β) = grzech α cos β - grzech β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

Tangens i cotangens sumy kątów alfa i beta można przekonwertować, korzystając z następujących zasad konwersji funkcji trygonometrycznych:

Tangens sumy kątów jest równy ułamkowi, którego licznik jest sumą tangensa pierwszego i tangensa drugiego kąta, a mianownik to jeden minus iloczyn tangensu pierwszego kąta i tangensa drugiego kąta.

Tangens różnicy kątów jest równy ułamkowi, którego licznik jest równy różnicy między tangensem zmniejszanego kąta a tangensem odejmowanego kąta, a mianownik to jeden plus iloczyn stycznych tych kątów.

Cotangens sumy kątów jest równy ułamkowi, którego licznik jest równy iloczynowi kotangensów tych kątów plus jeden, a mianownik jest równy różnicy między kotangensem drugiego kąta i kotangensem pierwszego kąta.

Kotansa różnicy kątów jest równy ułamkowi, którego licznik jest iloczynem kotangentów tych kątów minus jeden, a mianownik jest równy sumie kotangentów tych kątów.

Dane tożsamości trygonometryczne Jest wygodny w użyciu, gdy trzeba obliczyć na przykład tangens 105 stopni (tg 105). Jeśli przedstawisz to jako tg (45 + 60), możesz użyć podanego identyczne przekształcenia tangens sumy kątów, a następnie po prostu podmień tabelaryczne wartości stycznej 45 i stycznej 60 stopni.

Wzory na przeliczenie sumy lub różnicy funkcji trygonometrycznych

Wyrażenia reprezentujące sumę postaci sin α + sin β można przekształcić za pomocą następujących wzorów:

Wzory na kąt potrójny - przeliczenie sin3α cos3α tan3α na sinα cosα tanα

Czasami konieczne jest przekształcenie potrójnej wartości kąta, aby argumentem funkcji trygonometrycznej stał się kąt α zamiast 3α.
W tym przypadku można skorzystać ze wzorów transformacji potrójnego kąta (tożsamości):

Wzory na przeliczanie iloczynów funkcji trygonometrycznych

Jeśli zachodzi potrzeba przekształcenia iloczynu sinusów pod różnymi kątami, cosinusów pod różnymi kątami, a nawet iloczynu sinusa i cosinusa, można skorzystać z następujących tożsamości trygonometrycznych:


W takim przypadku iloczyn funkcji sinus, cosinus lub stycznej pod różnymi kątami zostanie przeliczony na sumę lub różnicę.

Wzory na redukcję funkcji trygonometrycznych

Musisz skorzystać z tabeli redukcji w następujący sposób. W wierszu wybieramy interesującą nas funkcję. W kolumnie znajduje się kąt. Na przykład sinus kąta (α+90) na przecięciu pierwszego rzędu i pierwszej kolumny dowiadujemy się, że sin (α+90) = cos α.

Wykonywane dla wszystkich wartości argumentów (od obszar ogólny definicje).

Uniwersalne wzory podstawieniowe.

Dzięki tym wzorom łatwo jest przekształcić dowolne wyrażenie zawierające różne funkcje trygonometryczne jednego argumentu w wymierne wyrażenie jednej funkcji tg (α/2):

Wzory na przeliczanie sum na iloczyny i produktów na sumy.

Wcześniej powyższe wzory służyły uproszczeniu obliczeń. Obliczali za pomocą tablic logarytmicznych, a później - suwaka logarytmicznego, ponieważ logarytmy najlepiej nadają się do mnożenia liczb. Dlatego każde oryginalne wyrażenie zostało sprowadzone do postaci wygodnej dla logarytmizacji, czyli iloczynów Na przykład:

2 grzech α grzech B = sałata (α - B) - sałata (α + B);

2 sałata α sałata B = sałata (α - B) + sałata (α + B);

2 grzech α sałata B = grzech (α - B) + grzech (α + B).

gdzie jest kąt, dla którego w szczególności

Z powyższego można łatwo uzyskać wzory na funkcję styczną i cotangens.

Wzory na redukcję stopni.

grzech 2 α = (1 - cos 2α)/2;

cos 2 α = (1 + cos 2 α)/2;

grzech 3α = (3 grzechyα - grzech 3α )/4;

sałata 3 a = (3 sałataα + co 3α )/4.

Stosując te wzory, równania trygonometryczne można łatwo sprowadzić do równań o mniejszych potęgach. W ten sam sposób wyprowadza się wzory redukcyjne na więcej wysokie stopnie grzech I sałata.

Wyrażanie funkcji trygonometrycznych poprzez jedną z nich tego samego argumentu.

Znak przed pierwiastkiem zależy od położenia kąta ćwiartkowego α .


Zależności pomiędzy podstawowymi funkcjami trygonometrycznymi – sinus, cosinus, tangens i cotangens– pytają wzory trygonometryczne. A ponieważ istnieje wiele powiązań między funkcjami trygonometrycznymi, wyjaśnia to obfitość wzorów trygonometrycznych. Niektóre wzory łączą funkcje trygonometryczne tego samego kąta, inne - funkcje wielokrotnego kąta, inne - pozwalają na zmniejszenie stopnia, czwarte - wyrażają wszystkie funkcje poprzez tangens połowy kąta itp.

W tym artykule wymienimy w kolejności wszystkie podstawowe wzory trygonometryczne, które wystarczą do rozwiązania zdecydowanej większości problemów trygonometrycznych. Dla ułatwienia zapamiętywania i wykorzystania pogrupujemy je według przeznaczenia i wpiszemy do tabel.

Nawigacja strony.

Podstawowe tożsamości trygonometryczne

Podstawowe tożsamości trygonometryczne zdefiniować zależność pomiędzy sinusem, cosinusem, tangensem i cotangensem jednego kąta. Wynikają one z definicji sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensu, a także koncepcje okręgu jednostkowego. Pozwalają wyrazić jedną funkcję trygonometryczną w kategoriach dowolnej innej.

Szczegółowy opis tych wzorów trygonometrycznych, ich wyprowadzenie i przykłady zastosowania można znaleźć w artykule.

Formuły redukcyjne




Formuły redukcyjneśledzić od właściwości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa, czyli odzwierciedlają właściwość okresowości funkcji trygonometrycznych, właściwość symetrii, a także właściwość przesunięcia o zadany kąt. Te wzory trygonometryczne pozwalają przejść od pracy z dowolnymi kątami do pracy z kątami w zakresie od zera do 90 stopni.

W artykule można zapoznać się z uzasadnieniem tych formuł, mnemoniczną zasadą ich zapamiętywania oraz przykładami ich zastosowania.

Formuły dodawania

Wzory trygonometryczne dodatek pokazać, jak funkcje trygonometryczne sumy lub różnicy dwóch kątów wyrażają się w postaci funkcji trygonometrycznych tych kątów. Wzory te służą jako podstawa do wyprowadzenia następujących wzorów trygonometrycznych.

Wzory na liczbę podwójną, potrójną itp. kąt



Wzory na liczbę podwójną, potrójną itp. kąt (nazywane są również wzorami na wiele kątów) pokazują, jak funkcje trygonometryczne liczby podwójnej, potrójnej itp. kąty () wyrażane są w postaci funkcji trygonometrycznych pojedynczego kąta. Ich wyprowadzenie opiera się na wzorach dodawania.

Bardziej szczegółowe informacje zebrano w artykule wzory na liczbę podwójną, potrójną itp. kąt.

Wzory na półkąty

Wzory na półkąty pokaż, jak funkcje trygonometryczne połowy kąta wyrażają się w postaci cosinusa całego kąta. Te wzory trygonometryczne wynikają ze wzorów na podwójny kąt.

Ich wnioski i przykłady zastosowania można znaleźć w artykule.

Wzory na redukcję stopni


Wzory trygonometryczne na zmniejszanie stopni mają na celu ułatwienie przejścia od naturalnych potęg funkcji trygonometrycznych do sinusów i cosinusów pierwszego stopnia, ale pod wieloma kątami. Innymi słowy, pozwalają one zredukować potęgi funkcji trygonometrycznych do pierwszej.

Wzory na sumę i różnicę funkcji trygonometrycznych


Główny cel wzory na sumę i różnicę funkcji trygonometrycznych jest przejście do iloczynu funkcji, co jest bardzo przydatne przy upraszczaniu wyrażeń trygonometrycznych. Wzory te są również szeroko stosowane w rozwiązywaniu równania trygonometryczne, ponieważ pozwalają na rozkład na czynniki sumy i różnicy sinusów i cosinusów.

Wzory na iloczyn sinusów, cosinusów i sinusa przez cosinus


Przejście od iloczynu funkcji trygonometrycznych do sumy lub różnicy odbywa się za pomocą wzory na iloczyn sinusów, cosinusów i sinusa przez cosinus.

Uniwersalne podstawienie trygonometryczne

Nasz przegląd podstawowych wzorów trygonometrycznych uzupełniamy wzorami wyrażającymi funkcje trygonometryczne w postaci tangensa kąta połówkowego. Wezwano tę wymianę uniwersalne podstawienie trygonometryczne. Jego wygoda polega na tym, że wszystkie funkcje trygonometryczne są wyrażane racjonalnie w postaci tangensa półkąta bez pierwiastków.

Bibliografia.

  • Algebra: Podręcznik dla 9 klasy. średnio szkoła/Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; wyd. S. A. Telyakovsky - M.: Edukacja, 1990. - 272 s.: chory - ISBN 5-09-002727-7
  • Bashmakov M. I. Algebra i początki analizy: Podręcznik. dla klas 10-11. średnio szkoła - wyd. 3. - M.: Edukacja, 1993. - 351 s.: il. - ISBN 5-09-004617-4.
  • Algebra i początek analizy: Proc. dla klas 10-11. ogólne wykształcenie instytucje / A. N. Kołmogorow, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i inni; wyd. A. N. Kołmogorowa - wyd. 14 - M.: Edukacja, 2004. - 384 s.: chory - ISBN 5-09-013651-3.
  • Gusiew V. A., Mordkovich A. G. Matematyka (podręcznik dla rozpoczynających naukę w technikach): Proc. zasiłek.- M.; Wyższy szkoła, 1984.-351 s., il.

Prawa autorskie należą do mądrych studentów

Wszelkie prawa zastrzeżone.
Chronione prawem autorskim. Żadna część witryny, w tym materiały wewnętrzne i wygląd, nie może być powielana w jakiejkolwiek formie ani wykorzystywana bez uprzedniej pisemnej zgody właściciela praw autorskich.