MAGICZNY KWADRAT

Chiny uważane są za kolebkę magicznych kwadratów. W Chinach istnieje nauka Feng Shui, która stwierdza, że ​​kolor, kształt i fizyczne rozmieszczenie każdego elementu w przestrzeni wpływa na przepływ Qi, spowalniając go, przekierowując lub przyspieszając, co bezpośrednio wpływa na poziom energii mieszkańców. Aby poznać tajemnice świata, bogowie wysłali cesarzowi Yu najstarszy symbol, plac Lo Shu (rzeka Lo).

MAGICZNY PLAC LO SHU

Legenda głosi, że około cztery tysiące lat temu z wzburzonych wód rzeki Luo wyłonił się duży żółw Shu. Ludzie składający ofiary rzece zobaczyli żółwia i natychmiast rozpoznali w nim bóstwo. Rozważania starożytnych mędrców wydały się cesarzowi Yu na tyle rozsądne, że nakazał uwiecznić wizerunek żółwia na papierze i zapieczętować go swoją cesarską pieczęcią. W przeciwnym razie skąd wiedzielibyśmy o tym wydarzeniu?

Ten żółw był naprawdę wyjątkowy, ponieważ miał dziwny wzór kropek na skorupie. Kropki zaznaczono w sposób uporządkowany, co doprowadziło starożytnych filozofów do wniosku, że kwadrat z liczbami na skorupie żółwia służy za model przestrzeni – mapę świata sporządzoną przez mitycznego założyciela cywilizacji chińskiej, Huanga Di. W rzeczywistości suma liczb w kolumnach, wierszach i obu przekątnych kwadratu jest taka sama M = 15 i jest równa liczbie dni w każdym z 24 cykli języka chińskiego rok słoneczny.

Liczby parzyste i nieparzyste występują naprzemiennie: 4 liczby parzyste (zapisane od dołu do góry w kolejności malejącej) znajdują się w czterech rogach, a 5 liczb nieparzystych (zapisanych od dołu do góry w kolejności rosnącej) tworzy krzyżyk pośrodku kwadratu. Pięć elementów krzyża odzwierciedla ziemię, ogień, metal, wodę i las. Suma dowolnych dwóch liczb oddzielonych środkiem jest równa liczbie Ho Ti, tj. dziesięć.

Liczby parzyste(Symbole Ziemi) Lo Shu oznaczono na ciele żółwia w postaci czarnych kropek, czyli symboli Yin, a liczb nieparzystych (symbole Nieba) - w postaci białych kropek, czyli symboli Yang. Ziemia 1 (lub woda) jest poniżej, ogień 9 (lub niebo) jest powyżej. Możliwe, że współczesny wizerunek cyfry 5, umieszczonej w centrum kompozycji, wynika z chińskiego symbolu dualności Yang i Yin.

MAGICZNY PLAC Z KHAJURAHO


Pokój wschodni

Magia Josepha Rudyarda Kiplinga, który stworzył wizerunki Mowgliego, Bagheery, Baloo, Shere Khana i oczywiście Tabaki, rozpoczęła się w przededniu XX wieku. Pół wieku wcześniej, w lutym 1838 roku, młody brytyjski oficer Inżynierów Bengalskich, T.S. Bert, zainteresowany rozmową służby niosącej jego palankin, zboczył z trasy i natknął się na starożytne świątynie w indyjskich dżunglach.

Na stopniach świątyni Vishvanatha funkcjonariusz znalazł napis świadczący o starożytności budowli. Po krótkim czasie energiczny generał dywizji A. Cunningham sporządził szczegółowe plany Khajuraho. Rozpoczęły się wykopaliska, których kulminacją było sensacyjne odkrycie 22 świątyń. Świątynie wznosili maharadżowie z dynastii Chandel. Po upadku ich królestwa dżungla pochłonęła zabudowania na tysiąc lat. Kwadrat czwartego rzędu, znaleziony wśród wizerunków nagich bogów i bogiń, był niesamowity.

Sumy tego kwadratu nie tylko w rzędach, kolumnach i przekątnych pokrywały się i były równe 34. Zbiegały się także wzdłuż łamanych przekątnych powstałych podczas składania kwadratu w torus i to w obu kierunkach. W przypadku takich czarów liczb takie kwadraty nazywane są „diabelskimi” (lub „pandiagonalnymi” lub „nasik”).

Oczywiście oznaczało to coś niezwykłego zdolności matematyczne ich twórcy, lepsi od kolonialistów. Co nieuchronnie czuli ludzie w białych hełmach.

MAGICZNY PLAC DURERA

Słynny niemiecki artysta z początku XVI wieku Albrecht Durer stworzył pierwszy w sztuce europejskiej magiczny kwadrat 4x4. Suma liczb w dowolnym rzędzie, kolumnie, po przekątnej, a także, co zaskakujące, w każdej ćwiartce (nawet w centralnym kwadracie), a nawet suma liczb w rogach wynosi 34. Dwie środkowe liczby w dolnym rzędzie wskazują datę powstania obrazu (1514). Poprawiono środkowe kwadraty pierwszej kolumny – liczby są zniekształcone.

Na zdjęciu z okultystycznym skrzydlatym myszem Saturnem magiczny kwadrat składa się ze skrzydlatych inteligentnych Jowiszy, które są sobie przeciwne. Kwadrat jest symetryczny, ponieważ suma dowolnych dwóch liczb w nim zawartych, umieszczonych symetrycznie względem jego środka, jest równa 17. Jeśli dodasz cztery liczby uzyskane w wyniku ruchu rycerza szachowego, otrzymasz 34. Naprawdę , ten plac ze swoim nienagannym porządkiem odzwierciedla melancholię, która ogarnęła artystę.

Poranny sen.

Europejczykom zdumiewające kwadraty liczbowe zapoznał bizantyjski pisarz i językoznawca Moschopoulos. Jego praca była specjalnym esejem na ten temat i zawierała przykłady magicznych kwadratów autora.

SYSTEMATYZACJA KWADRATÓW MAGICZNYCH

W połowie XVI wieku. W Europie pojawiły się prace, w których kwadraty magiczne pojawiały się jako obiekty badań matematycznych. Potem pojawiło się wiele innych dzieł, w szczególności tak znanych matematyków, założycieli nowoczesna nauka, jak Stiefel, Baschet, Pascal, Fermat, Bessy, Euler, Gauss.

Magiczny, czyli kwadrat magiczny, to kwadratowa tabela wypełniona n 2 liczbami w taki sposób, że suma liczb w każdym wierszu, każdej kolumnie i na obu przekątnych jest taka sama. Definicja jest warunkowa, ponieważ starożytni również nawiązywali znaczenie, na przykład, do koloru.

Normalna nazywany magicznym kwadratem wypełnionym liczbami całkowitymi od 1 do n 2. Normalne magiczne kwadraty istnieją dla wszystkich rzędów z wyjątkiem n = 2, chociaż przypadek n = 1 jest trywialny - kwadrat składa się z pojedynczej liczby.

Nazywa się sumą liczb w każdym rzędzie, kolumnie i przekątnej magiczna stała M. Magiczna stała normalnego magicznego kwadratu zależy tylko od n i jest określona wzorem

M = n (n 2 + 1) /2

Pierwsze wartości magicznych stałych podano w tabeli

Jeśli suma liczb w kwadracie jest równa tylko w wierszach i kolumnach, wówczas nazywa się to półmagiczne. Nazywa się magiczny kwadrat asocjacyjny Lub symetryczny, jeśli suma dowolnych dwóch liczb znajdujących się symetrycznie względem środka kwadratu jest równa n 2 + 1.

Jest tylko jeden normalny kwadrat trzeciego rzędu. Znało go wiele osób. Układ liczb na kwadracie Lo Shu jest podobny do symbolicznych oznaczeń duchów w Kabale i znaków astrologii indyjskiej.

Znany również jako kwadrat Saturna. Niektóre tajne stowarzyszenia w średniowieczu widzieli w nim „Kabałę dziewięciu komór”. Niewątpliwie cień zakazanej magii miał duże znaczenie dla utrwalenia jego obrazów.

Miał duże znaczenie w średniowiecznej numerologii, często używany jako amulet lub pomoc w wróżeniu. Każda komórka odpowiada mistycznej literze lub innemu symbolowi. Znaki te, czytane razem według określonej linii, przekazywały okultystyczne przesłania. W komórkach kwadratu umieszczano liczby składające się na datę urodzenia, a następnie odczytywano je w zależności od znaczenia i położenia liczb.

Wśród pandiagonalnych, jak się je nazywa, diabelskich kwadratów magicznych, wyróżnia się symetryczne - idealne. Diabelski kwadrat pozostaje diabelski, jeśli go obrócisz, odbijesz, przestawisz rząd z góry na dół i odwrotnie, przekreślisz kolumnę po prawej lub lewej stronie i przypiszesz ją po przeciwnej stronie. W sumie jest pięć transformacji, schemat tej ostatniej pokazano na rysunku

Istnieje 48 diabelskich kwadratów 4x4 z precyzją obrotu i odbicia. Jeśli weźmiemy pod uwagę również symetrię w odniesieniu do torycznych tłumaczeń równoległych, wówczas pozostaną tylko trzy zasadniczo różne diabelskie kwadraty 4x4:

Claude F. Bragdon, słynny amerykański architekt, odkrył, że łącząc kolejno komórki tylko parzystą lub tylko nieparzystą liczbą magicznych kwadratów na linii przerywanej, w większości przypadków otrzymujemy elegancki wzór. Wzór, który wymyślił dla kratki wentylacyjnej w suficie Izby Handlowej w Rochester w stanie Nowy Jork, gdzie mieszkał, został zbudowany z magicznej przerywanej linii talizmanu Lo-Shu. Bragdon użył „magicznych linii” jako wzorów do projektów tkanin, okładki książek, dekoracje architektoniczne i ozdobne nakrycia głowy.

Jeśli ułożysz mozaikę identycznych diabelskich kwadratów (każdy kwadrat musi ściśle przylegać do swoich sąsiadów), otrzymasz coś w rodzaju parkietu, na którym liczby w dowolnej grupie komórek 4x4 utworzą diabelski kwadrat. Liczby w czterech komórkach, następujące po sobie, niezależnie od tego, jak są ułożone – pionowo, poziomo czy ukośnie – zawsze sumują się do stałej kwadratowej. Współcześni matematycy nazywają takie kwadraty „idealnymi”.

PLAC ŁACIŃSKI

Kwadrat łaciński to rodzaj nieregularnego kwadratu matematycznego wypełnionego n różne symbole w taki sposób, aby w każdym wierszu i w każdej kolumnie pojawiło się wszystkich n znaków (każdy raz).

Kwadraty łacińskie istnieją dla dowolnego n. Dowolny kwadrat łaciński jest tabliczką mnożenia (tablicą Cayleya) quasigrupy. Nazwa „kwadrat łaciński” pochodzi od nazwiska Leonharda Eulera, który w tabeli zamiast cyfr użył liter łacińskich.

Nazywa się dwa kwadraty łacińskie prostokątny, jeśli wszystkie uporządkowane pary symboli (a, b) są różne, gdzie a jest symbolem w jakiejś komórce pierwszego kwadratu łacińskiego, a b jest symbolem w tej samej komórce drugiego kwadratu łacińskiego.

Ortogonalne kwadraty łacińskie istnieją dla dowolnego rzędu z wyjątkiem 2 i 6. Ponieważ n jest potęgą liczby pierwszej, istnieje zbiór n–1 parami ortogonalnych kwadratów łacińskich. Jeśli w każdej przekątnej kwadratu łacińskiego wszystkie elementy są różne, nazywa się taki kwadrat łaciński przekątna. Pary ortogonalnych przekątnych kwadratów łacińskich istnieją dla wszystkich rzędów z wyjątkiem 2, 3 i 6. Kwadrat łaciński jest często spotykany w problemach z planowaniem, ponieważ liczby nie powtarzają się w rzędach i kolumnach.

Nazywa się kwadrat złożony z par elementów dwóch ortogonalnych kwadratów łacińskich Plac grecko-łaciński. Takie kwadraty są często używane do konstruowania kwadratów magicznych i w złożonych problemach planowania.

Badając kwadraty grecko-łacińskie, Euler udowodnił, że kwadraty drugiego rzędu nie istnieją, ale znaleziono kwadraty 3, 4 i 5 rzędów. Nie znalazł ani jednego kwadratu rzędu 6. Postawił hipotezę, że nie ma kwadratów parzystego rzędu, których nie można podzielić przez 4 (tj. 6, 10, 14 itd.). W 1901 roku Gaston Terry brutalnie potwierdził hipotezę dotyczącą 6. rzędu. Jednak w 1959 roku hipoteza została obalona przez E. T. Parkera, R. C. Bowesa i SS Shrickherda, którzy odkryli grecko-łaciński kwadrat rzędu 10.

POLYMINO ARTHUR CLARKE


Poliomino – pod względem złożoności z pewnością należą do kategorii najtrudniejszych kwadratów matematycznych. Tak pisze o nim pisarz science fiction A. Clark – poniżej fragment książki „Ziemskie imperium”. Oczywiste jest, że Clark mieszkając na swojej wyspie, mieszkał na Cejlonie - a jego filozofia oddzielenia od społeczeństwa jest sama w sobie interesująca, zainteresował się rozrywką, której uczy babcia chłopca, i przekazał ją nam. Wolimy to opis na żywo istniejące systematyzacje, które być może oddają istotę, ale nie ducha gry.

„Jesteś już wystarczająco dużym chłopcem, Duncan, i będziesz w stanie zrozumieć tę grę... jednakże to znacznie więcej niż tylko gra”. Wbrew słowom swojej babci, gra nie zrobiła na Duncanie wrażenia. Cóż, co można zrobić z pięciu białych plastikowych kwadratów?

„Przede wszystkim” – kontynuowała babcia – „trzeba sprawdzić, ile różnych wzorów można ułożyć z kwadratów”.

– Czy mają leżeć na stole? – zapytał Duncan.

– Tak, powinni kłamać, dotykając się. Nie można nakładać się na siebie jednego pola z drugim.

Duncan zaczął układać kwadraty.

„No cóż, mogę umieścić je wszystkie w linii prostej” – zaczął. „W ten sposób… A potem mogę przestawić dwie części i otrzymać literę L… A jeśli złapię drugą krawędź, otrzymam literę Ty...”

Chłopiec szybko wymyślił pół tuzina kombinacji, potem więcej i nagle odkrył, że powtarzają te już istniejące.

- Może jestem głupi, ale to wszystko.

Duncanowi brakowało najprostszej figury - krzyża, do stworzenia którego wystarczyło rozłożyć cztery kwadraty po bokach piątego, centralnego.

„Większość ludzi zaczyna od krzyża” – uśmiechnęła się babcia. „Moim zdaniem zbyt pochopnie stwierdziłeś, że jesteś głupi”. Lepiej się zastanów: czy mogą istnieć jakieś inne liczby?

Koncentrując się na kwadratach, Duncan znalazł jeszcze trzy figurki i przestał szukać.

„To już definitywnie koniec” – powiedział z przekonaniem.

– Co można powiedzieć o takiej postaci?

Po lekkim przesunięciu kwadratów babcia złożyła je w kształt garbatej litery F.

- A oto kolejny.

Duncan poczuł się jak kompletny idiota, a słowa babci działały jak balsam na jego zawstydzoną duszę:

– Jesteś po prostu świetny. Pomyśl tylko, że przegapiłem tylko dwa kawałki. A łączna liczba cyfr wynosi dwanaście. Nie więcej i nie mniej. Teraz znasz je wszystkie. Jeśli będziesz szukać wieczności, nigdy nie znajdziesz innej.

Babcia zamiatała pięć białych kwadratów w kąt i rozłożyła na stole tuzin jasnych, wielobarwnych plastikowych elementów. Było to tych samych dwanaście postaci, ale w gotowej formie, a każda składała się z pięciu kwadratów. Duncan był już gotowy zgodzić się z tym, że w rzeczywistości nie istniały żadne inne postacie.

Ale skoro babcia ułożyła te wielokolorowe paski, oznacza to, że gra toczy się dalej, a na Duncana czeka kolejna niespodzianka.

– Teraz, Duncan, słuchaj uważnie. Liczby te nazywane są „pentamino”. Nazwa pochodzi od greckie słowo„penta”, co oznacza „pięć”. Wszystkie figury mają równą powierzchnię, ponieważ każda składa się z pięciu identycznych kwadratów. Jest zatem dwanaście cyfr, pięć kwadratów, Całkowita powierzchnia będzie równa sześćdziesięciu kwadratom. Prawidłowy?

- Hmm, tak.

- Słuchaj dalej. Sześćdziesiąt to cudowna okrągła liczba, którą można ułożyć na kilka sposobów. Najłatwiej jest pomnożyć dziesięć przez sześć. To pudełko ma taką powierzchnię: może pomieścić dziesięć kwadratów w poziomie i sześć w pionie. Dlatego wszystkie dwanaście postaci powinno się w nim zmieścić. Prosta, jak złożona zagadka obrazkowa.

Duncan spodziewał się złapania. Babcia uwielbiała paradoksy werbalne i matematyczne i nie wszystkie były zrozumiałe dla jej dziesięcioletniej ofiary. Ale tym razem nie było paradoksów. Dno pudełka wyłożono sześćdziesięcioma kwadratami, co oznacza... Stop! Pole jest obszarem, ale figury mają różne kształty. Spróbuj umieścić je w pudełku!

- To zadanie pozostawiam Tobie. niezależna decyzja" - oświadczyła babcia, widząc, jak ze smutkiem przesunął pentomino po dnie pudełka. - Uwierz mi, można je zebrać. "

Wkrótce Duncan zaczął mocno wątpić w słowa swojej babci. Z łatwością udało mu się zmieścić w pudełku dziesięć figurek, a raz udało mu się wcisnąć jedenastą. Jednak zarysy niewypełnionej przestrzeni nie pokrywały się z zarysami dwunastej figury, którą chłopiec obracał w dłoniach. Był krzyż, a pozostała postać przypominała literę Z...

Po kolejnych pół godzinach Duncan był już na skraju rozpaczy. Babcia była pogrążona w dialogu ze swoim komputerem, ale od czasu do czasu spoglądała na niego z zainteresowaniem, jakby chciała powiedzieć: „To nie jest takie proste, jak myślałeś”.

W wieku dziesięciu lat Duncan był zauważalnie uparty. Większość jego rówieśników już dawno zrezygnowałaby z prób. (Dopiero kilka lat później zdał sobie sprawę, że babcia z wdziękiem spędzała z nim czas test psychologiczny.) Duncan wytrzymał prawie czterdzieści minut bez pomocy z zewnątrz...

Następnie babcia wstała od komputera i pochyliła się nad puzzlami. Jej palce przesuwały kształty U, X i L...

Dno pudełka było całkowicie wypełnione! Wszystkie elementy układanki zostały wzięte właściwe miejsca.

– Oczywiście, że znałeś odpowiedź z góry! – Duncan przecedził urażony.

- Odpowiedź? – zapytała babcia. „Jak myślisz, na ile sposobów można umieścić pentomino w tym pudełku?”

Oto pułapka. Duncan kręcił się przez prawie godzinę, nie znajdując rozwiązania, chociaż w tym czasie wypróbował co najmniej sto opcji. Myślał, że jest tylko jeden sposób. Czy mogłoby być ich... dwanaście? Albo więcej?

- Jak myślisz, ile może być sposobów? – Babcia zapytała ponownie.

„Dwadzieścia” – wypalił Duncan, myśląc, że teraz babcia nie będzie miała nic przeciwko.

- Spróbuj ponownie.

Duncan wyczuwał niebezpieczeństwo. Zabawa okazała się o wiele bardziej przebiegła, niż mu się wydawało, a chłopak mądrze postanowił nie ryzykować.

„Właściwie to nie wiem” – powiedział, kręcąc głową.

„A ty jesteś wrażliwym chłopcem” – babcia znów się uśmiechnęła. „Intuicja to niebezpieczny przewodnik, ale czasami nie mamy innego”. Mogę cię zadowolić: nie da się tutaj odgadnąć prawidłowej odpowiedzi. Pentomino można umieścić w tym pudełku na ponad dwa tysiące różnych sposobów. Dokładniej dwa tysiące trzysta trzydzieści dziewięć. I co na to powiesz?

Jest mało prawdopodobne, że babcia go oszukiwała. Ale Duncan był tak sfrustrowany niemożnością znalezienia rozwiązania, że ​​nie mógł powstrzymać się od wyrzucenia:

- Nie wierzę!

Helen rzadko okazywała irytację. Kiedy Duncan obraził ją w jakiś sposób, po prostu stała się zimna i zdystansowana. Jednak teraz babcia tylko się uśmiechnęła i postukała w coś na klawiaturze komputera.

– Spójrz tutaj – zaproponowała.

Na ekranie pojawił się zestaw dwunastu wielobarwnych pentomino, wypełniających prostokąt o wymiarach dziesięć na sześć. Kilka sekund później został on zastąpiony innym obrazem, na którym postacie najprawdopodobniej znajdowały się w innym miejscu (Duncan nie był tego pewien, ponieważ nie pamiętał pierwszej kombinacji). Wkrótce obraz zmienił się ponownie, potem znowu i znowu... Trwało to, dopóki babcia nie przerwała programu.

„Nawet przy dużej szybkości komputer będzie potrzebował pięciu godzin, aby przejść przez wszystkie metody” – wyjaśniła babcia. „Możesz mi wierzyć na słowo: wszystkie są inne”. Gdyby nie komputery, wątpię, czy ludzie znaleźliby wszystkie sposoby poprzez zwykłe wyliczanie opcji.

Duncan przez długi czas wpatrywał się w dwanaście zwodniczo prostych postaci. Powoli trawił słowa babci. Było to pierwsze odkrycie matematyczne w jego życiu. To, co tak pochopnie uważał za zwykłą dziecięcą zabawę, nagle zaczęło otwierać się przed nim nieskończone ścieżki i horyzonty, choć nawet najbardziej utalentowane dziesięcioletnie dziecko z trudem wyczułoby bezgraniczność tego wszechświata.

Ale wtedy radość i podziw Duncana były bierne. Prawdziwa eksplozja intelektualnej przyjemności nastąpiła później, kiedy samodzielnie odkrył swoją pierwszą metodę układania pentomino. Przez kilka tygodni Duncan wszędzie nosił ze sobą plastikowe pudełko. Wszystko czas wolny wydawał tylko na pentomino. Postacie staną się osobistymi przyjaciółmi Duncana. Nazywał je literami, które przypominały, chociaż w niektórych przypadkach podobieństwo było więcej niż odległe. Pięć cyfr – F, I, L, P, N – było niespójnych, ale pozostałych siedem powtarzało sekwencję alfabetu łacińskiego: T, U, V, W, X, Y, Z.

Pewnego dnia, w stanie geometrycznego transu lub geometrycznej ekstazy, która nigdy się nie powtórzyła, Duncan w niecałą godzinę znalazła pięć możliwości stylizacji. Być może nawet Newton, Einstein czy Chen Tzu w chwilach prawdy nie czuli się bliżej bogów matematyki niż Duncan Mackenzie.

Wkrótce sam, bez podpowiedzi babci, zorientował się, że pentomino można umieścić w prostokącie o różnych rozmiarach boków. Duncan dość łatwo znalazł kilka opcji dla prostokątów 5 na 12 i 4 na 15. Potem przez cały tydzień męczył się, próbując zmieścić dwanaście cyfr w dłuższym i węższym prostokącie 3 na 20. Raz po raz zaczął wypełniać zdradziecką przestrzeń i ... zdobądź dziury w prostokącie i „dodatkowe” figury.

Zdruzgotany Duncan odwiedził babcię, gdzie czekała na niego nowa niespodzianka.

„Cieszę się z twoich eksperymentów” – powiedziała Helen. „Zbadałeś wszystkie możliwości, próbując wyprowadzić ogólny wzór”. To jest to, co zawsze robią matematycy. Ale mylisz się: istnieją rozwiązania dla prostokąta trzy na dwadzieścia. Jest ich tylko dwóch, a jeśli znajdziesz jednego, będziesz mógł znaleźć drugi.

Zainspirowany pochwałami swojej babci, Duncan z nową energią kontynuował swoje „polowanie na pentomino”. Po kolejnym tygodniu zaczął rozumieć, jaki ciężar nie do uniesienia nałożył na swoje ramiona. Liczba sposobów, na jakie można było ułożyć dwanaście figurek, była po prostu zadziwiająca dla Duncana. Co więcej, każda figurka miała cztery pozycje!

I znowu przyszedł do swojej babci, opowiadając jej o wszystkich swoich trudnościach. Gdyby istniały tylko dwie opcje dla prostokąta o wymiarach 3 na 20, ile czasu zajęłoby ich znalezienie?

„Jeśli pozwolisz, odpowiem ci” – powiedziała babcia. „Gdybyś zachowywał się jak bezmózgi komputer, szukając prostych kombinacji i poświęcając każdej sekundzie sekundę, musiałbyś...” Tutaj celowo zrobiła pauzę. „Potrzebowałbyś ponad sześciu milionów… tak, ponad sześciu milionów lat.

Ziemski czy tytaniczny? To pytanie natychmiast pojawiło się w umyśle Duncana. Ale jaka jest różnica?

„Ale różnisz się od bezmózgiego komputera” – kontynuowała babcia. „Od razu widzisz wyraźnie nieodpowiednie kombinacje i dlatego nie musisz tracić czasu na ich sprawdzanie”. Spróbuj ponownie.

Duncan usłuchał, już bez entuzjazmu i wiary w sukces. I wtedy przyszedł mu do głowy genialny pomysł.

Karl od razu zainteresował się pentomino i przyjął wyzwanie. Zabrał pudełko z figurkami od Duncana i zniknął na kilka godzin.

Kiedy Karl do niego zadzwonił, jego przyjaciel wyglądał na nieco zdenerwowanego.

– Czy jesteś pewien, że ten problem naprawdę ma rozwiązanie? - on zapytał.

- Absolutnie pewny. Jest ich dwóch. Naprawdę nie znalazłeś przynajmniej jednego? Myślałem, że jesteś świetny z matematyki.

„Wyobraź sobie, potrafię to rozgryźć, dlatego wiem, ile pracy wymaga Twoje zadanie”. Musimy sprawdzić... milion miliardów możliwych kombinacji.

– Skąd wiedziałeś, że jest ich tak dużo? – zapytał Duncan, zadowolony, że przynajmniej udało mu się sprawić, że przyjaciel podrapał się po głowie w zakłopotaniu.

Karl zerknął w bok na kartkę papieru wypełnioną diagramami i liczbami.

– Jeśli wykluczysz niedopuszczalne kombinacje i weźmiesz pod uwagę symetrię i możliwość rotacji… otrzymasz silnię… całkowitą liczbę permutacji… nadal nie zrozumiesz. Lepiej pokażę ci sam numer.

Przyniósł do aparatu kolejną kartkę papieru, na której szczegółowo przedstawiono imponujący ciąg liczb:

1 004 539 160 000 000.

Duncan nie miał pojęcia o silniach, ale nie miał wątpliwości co do dokładności obliczeń Karla. Bardzo podobał mu się ten długi numer.

„Więc zamierzasz zrezygnować z tego zadania?” – zapytał ostrożnie Duncan.

- Co wiecej! Chciałem tylko pokazać, jakie to trudne.

Twarz Karla wyrażała ponurą determinację. Po tych słowach zemdlał.

Następnego dnia Duncan przeżył jeden z największych wstrząsów w swoim chłopięcym życiu. Wymizerowana twarz Karla z przekrwionymi oczami patrzyła na niego z ekranu. Miało wrażenie, że spędził bezsenną noc.

„No cóż, to wszystko” – oznajmił zmęczonym, ale triumfującym głosem.

Duncan nie mógł uwierzyć własnym oczom. Wydawało mu się, że szanse na sukces są znikome. Nawet sam się o tym przekonał. I nagle... Przed nim leżał prostokąt o wymiarach trzy na dwadzieścia, wypełniony wszystkimi dwunastoma figurkami pentomino.

Następnie Karl zmienił miejsce i odwrócił elementy na końcach, wychodząc Środkowa część nietknięty. Jego palce drżały lekko ze zmęczenia.

„To jest drugie rozwiązanie” – wyjaśnił – „A teraz idę spać”. Dobranoc lub Dzień dobry– jest tak, jak chcesz.

Upokorzony Duncan długo patrzył na przyciemniony ekran. Nie wiedział, w którą stronę Karl się poruszał, szukając rozwiązania zagadki. Wiedział jednak, że jego przyjaciel wyszedł zwycięsko. Wbrew wszystkiemu.

Nie zazdrościł przyjacielowi zwycięstwa. Duncan za bardzo kochał Karla i zawsze cieszył się z jego sukcesów, choć sam często znajdował się po stronie przegrywających. Ale w dzisiejszym triumfie mojego przyjaciela było coś innego, coś niemal magicznego.

Duncan po raz pierwszy dostrzegł siłę intuicji. Spotkał się z tajemniczą zdolnością umysłu do przełamania faktów i odrzucenia przeszkadzającej logiki. W ciągu kilku godzin Karl wykonał kolosalną pracę, przewyższając najszybszy komputer.

Następnie Duncan dowiedział się, że wszyscy ludzie mają takie zdolności, ale korzystają z nich niezwykle rzadko – być może raz w życiu. U Karla dar ten nabrał wyjątkowego rozwoju... Od tego momentu Duncan zaczął poważnie traktować rozumowanie przyjaciela, nawet te najbardziej śmieszne i oburzające z punktu widzenia zdrowego rozsądku.

To było dwadzieścia lat temu. Duncan nie pamiętał, gdzie podziały się plastikowe kawałki pentomino. Być może pozostali przy Karlu.

Dar Babci stał się ich nowym wcieleniem, teraz w postaci kawałków wielobarwnego kamienia. Niesamowity, miękki różowy granit pochodził ze wzgórz Galileo, obsydian z płaskowyżu Huygens, a pseudomarmur z grzbietu Herschel. A wśród nich... Duncan w pierwszej chwili pomyślał, że się myli. Nie, tak właśnie jest: był to najrzadszy i najbardziej tajemniczy minerał Tytana. Moja babcia zrobiła kamienny krzyż pentomino z tytanitu. Tego niebiesko-czarnego minerału ze złotymi inkluzjami nie da się z niczym pomylić. Duncan nigdy wcześniej nie widział tak dużych kawałków i mógł się tylko domyślać, jaki był ich koszt.

„Nie wiem, co powiedzieć” – wymamrotał. „Co za piękność”. Widzę to po raz pierwszy.

Uścisnął szczupłe ramiona babci i nagle poczuł, że drżą, a ona nie mogła powstrzymać drżenia. Duncan trzymał ją delikatnie w ramionach, aż jej ramiona przestały się trząść. W takich chwilach słowa nie są potrzebne. Duncan zrozumiał wyraźniej niż wcześniej: był ostatnią miłością w zdewastowanym życiu Helen Mackenzie. A teraz odlatuje, zostawiając ją samą ze wspomnieniami.

DUŻY KWADRAT MAGICZNY

Trójkąt Pascala (trójkąt arytmetyczny) znał chiński matematyk z XIII wieku, Yang Hui. Zostawił zestawienie metod rozwiązywania równań 4 i wyższe stopnie, istnieją zasady rozwiązywania pełnego równanie kwadratowe, sumowanie progresji, techniki konstruowania magicznych kwadratów. Udało mu się skonstruować magiczny kwadrat szóstego rzędu, a ten ostatni okazał się niemal asocjacyjny (w nim tylko dwie pary centralnie przeciwnych liczb nie dają sumy 37).

Benjamin Franklin skonstruował kwadrat o wymiarach 16x16, który oprócz stałej sumy 2056 we wszystkich rzędach, kolumnach i przekątnych miał jeszcze jedną dodatkową właściwość. Jeżeli z kartki papieru wytniemy kwadrat 4x4 i umieścimy ten arkusz na dużym kwadracie tak, że w tę szczelinę wpadnie 16 komórek większego kwadratu, to suma liczb, które pojawią się w tej szczelinie, niezależnie od tego, gdzie ją umieścimy , będzie taki sam - 2056.

Najcenniejsze w tym kwadracie jest to, że dość łatwo jest go przekształcić w idealny kwadrat magiczny, natomiast zbudowanie idealnego kwadratu magicznego nie jest łatwym zadaniem. Franklin nazwał ten kwadrat „najbardziej czarującą magią ze wszystkich magicznych kwadratów, jakie kiedykolwiek stworzyli czarodzieje”.

Durer Albrecht (1471-1528), niemiecki malarz, rysownik, rytownik, teoretyk sztuki.

uczył się u swojego ojca.
Ojciec, jubiler, chciał zaangażować syna do pracy w warsztacie jubilerskim, ale Albrecht nie wyraził żadnej chęci. Kochał i ciągnęło go do malarstwa.

Od norymberskiego artysty Wolgemuta Dürer opanował nie tylko malarstwo, ale także grawerowanie na drewnie.
Zainspirowany twórczością artysty Martina Schongauera, którego nigdy nie spotkał, Albrecht dużo podróżował i studiował, studiował, studiował wszędzie...

Ale nadszedł czas, kiedy Albrecht musiał się ożenić. A potem wybrał Agnes Frey, córkę przyjaciela ojca, ze starej i szanowanej rodziny norymberskiej. Małżeństwo z Agnessą było bezdzietne, a małżonkowie różnili się charakterem, co nie było zbyt szczęśliwe w rodzinie.

Niemniej jednak otworzył własną firmę i znaczną część swoich rycin stworzył w swoim warsztacie.
W Wenecji krążyły pogłoski o jego miłości do obu płci... Być może Dürer praktykował miłość homoseksualną ze swoim drogim przyjacielem, znawcą literatury starożytnej, Pirkheimerem.

Długie, kręcone włosy, lekcje tańca, strach przed zarażeniem się kiłą w Wenecji i kupnem lekarstw na tę chorobę w Holandii, eleganckie stroje, drobnostka próżności we wszystkim, co dotyczy jego urody i wygląd, melancholia, narcyzm i ekshibicjonizm, kompleks Chrystusowy, bezdzietne małżeństwo, uległość żonie, czuła przyjaźń z libertynem Pirkheimerem, którego sam w październikowym liście z 1506 roku zaproponował żartobliwie kastrację -

Wszystko to łączy się u Dürera z czułą opieką nad matką i braćmi, z wieloletnią ciężką pracą, częstymi narzekaniami na biedę, choroby i nieszczęścia, które rzekomo go prześladowały.

Bądź wierny Bogu!
Zdrowiej
I życie wieczne w niebie
Jak najczystsza Dziewica Maryja.
Albrecht Durer mówi ci:
Pokutuj za swoje grzechy
Zanim ostatni dzień post
I zamknij usta diabłu,
Pokonasz złego.
Niech Pan Jezus Chrystus Ci pomoże
Utwierdź się w dobroci!
Częściej myśl o śmierci
O pochówku waszych ciał.
To przeraża duszę
Odwraca uwagę od zła
I grzeszny świat,
Od ucisku ciała
I podszepty diabła...

Kiedy Koberger opublikował w 1498 r"Apokalipsa",

Dürer stworzył 15 drzeworytów, które przyniosły mu europejską sławę. Znajomość szkoły weneckiej wywarła silny wpływ na styl malarski artysty.
W Wenecji artysta zamawiał dzieła niemieckich kupców „Święto Wianków Różowych” a potem pojawiły się inne propozycje, obrazy, które pozostawiły niezatarte wrażenie różnorodnością kolorów i tematów.

Sam cesarz Maksymilian I

był pod wielkim wrażeniem twórczości Albrechta Durera.
Dürer pozostawał wierny poglądom „ikonoklastów”, jednak w późniejszych pracach A. Dürera część badaczy odnajduje sympatię dla protestantyzmu.

Pod koniec życia Dürer dużo pracował jako malarz, w tym okresie stworzył najgłębsze dzieła, które świadczą o jego znajomości sztuki holenderskiej.

Jeden z najważniejszych obrazów ostatnie lata — dyptyk "Czterej Apostołowie", który artysta podarował Radzie Miejskiej w 1526 roku.

W Holandii Dürer padł ofiarą nieznanej choroby (prawdopodobnie malarii), na którą cierpiał do końca życia.

Albrech skomponował tzw. magiczny kwadrat, przedstawiony na jednym z jego najdoskonalszych rycin -"Melancholia". zasługa Durera polega na tym, że udało mu się tak dopasować do narysowanego kwadratu liczby od 1 do 16, że sumę 34 otrzymano nie tylko przez dodanie liczb w pionie, poziomie i ukośnie, ale także we wszystkich czterech ćwiartkach, w środkowy czworobok, a nawet po dodaniu czterech rogów komórek. Dürerowi udało się także zawrzeć w tabeli rok powstania ryciny „„(1514).


W twórczości Albrechta Durera znajdują się trzy słynne drzeworyty przedstawiające mapy półkuli południowej i północnej gwiaździste niebo oraz wschodnia półkula Ziemi, która jako pierwsza w historii została wydrukowana metodą typograficzną.

W 1494 roku ukazała się książka Sebastiana Branta pod symbolicznym tytułem"Statek głupców" (Das Narrenschiff oder das Schiff von Narragonia).
Podczas obowiązkowych podróży po Renie dla czeladnika cechowego Dürer wykonał kilka rycin sztalugowych w duchu późnego gotyku, ilustracje do „Statku głupców” S. Branta,

którym flota przepływa morze. Wokół jest mnóstwo głupców. Tutaj śmieją się z głupich marynarzy i statków Imperium.

Uważa się, że oprócz A. Dürera nad projektem pracowało jednocześnie kilku rysowników i rzeźbiarzy... Malarstwo „Statek głupców”- napisał słynny artystaHieronim Bosch.

Rysunek Durera „Statek głupców”

Wyżej po prawej stronie głupcy na wozie, poniżej statek otoczony łodziami płynie po morzu, a na statku i w łodziach znajdują się wszyscy głupcy.
Wiele ilustracji do „Statku głupców”, jak zauważają komentatorzy, ma MAŁY POWIĄZEK Z TREŚCIĄ SAMEJ KSIĄŻKI.
Jak się okazuje, sama książka Branta została wybrana jedynie jako powód, pretekst do publikacji duża liczba ryciny (sto szesnaście) na temat „Statek głupców”.

Mieć Albrechta Durera i taki obraz jak „Święto Wszystkich Świętych” (Ołtarz Landauera) 1511. Kunsthistorisches Museum, Wiedeń. Obraz ten przyniósł także artyście wielką sławę.




Miedzioryt „Melancholia I” autorstwa najsłynniejszego artysty zachodnioeuropejskiego renesansu Albrechta Durera owiana tajemnicą, pełna symboli i alegorii. W niewiarygodnie małych rozmiarach swojego dzieła niezrównany mistrz grawerowania zdołał zaszyfrować tak wiele tajnych znaczeń i przekazów, które wciąż prowadzą krytyków sztuki w ślepy zaułek. Różne wersje odpowiedzi na te tajemnice znajdują się w dalszej części recenzji.


Albrecht Dürer (niem. Albrecht Dürer, 1471-1528) – niemiecki malarz i grafik, pierwszy teoretyk sztuki, jeden z największych mistrzów północnego renesansu, był trzecim dzieckiem w rodzinie osiemnastu urodzonych i ośmiorga pozostałych przy życiu dzieci. Ojciec, złotnik, od dzieciństwa starał się wprowadzić syna w rzemiosło jubilerskie, z którego sam zarabiał na życie.



Jednak wbrew jego oczekiwaniom, w wieku piętnastu lat młody Albrecht został uczniem Michaela Wolgemuta, czołowego norymberskiego artysty, malarza i znakomitego rytownika. Od niego sumienny uczeń otrzymał wiedzę i umiejętności, które wykorzystywał przez całą swoją karierę. ścieżka twórcza. Ponadto to właśnie drzeworyty i miedzioryty przyniosły młodemu artyście pierwszy sukces. Później stał się innowatorem w tej technice. Oh obrazy O Durerze nie trzeba wspominać – to arcydzieła sztuki światowej.


Znajomość Dürera z astronomii, matematyki i nauki przyrodnicze były niesamowite. Tworzył mapy rozgwieżdżonego nieba, obserwując ciała niebieskie z dachu własnego domu, na którym mieściło się małe obserwatorium. Obliczył wartości kwadratu magicznego, stworzonego po raz pierwszy w Europie i stworzył prace teoretyczne na temat sztuki.

„Melancholia I”

https://static.kulturologia.ru/files/u21941/durer-006.jpg" alt=" Fragment ryciny „Melancholia I”. Autor: A. Durer. ¦ Foto: kaplyasveta.ru." title="Fragment ryciny „Melancholia I”.

W centrum kompozycji widzimy kobietę ze skrzydłami i wieńcem, uosabiającą Logikę – to Muza Durera. Siedząc nieruchomo na werandzie, pogrążona jest w melancholijnych zamyśleniach i smutku: choć kobieta ma skrzydła, nie jest w stanie przebić się przez zasłonę tajemnicy Wszechświata. Wszystko, co dzieje się wokół, dzieje się bez jej udziału. To ją przygnębia i wprawia w melancholijny nastrój.

https://static.kulturologia.ru/files/u21941/durer-007.jpg" alt="Fragment ryciny „Melancholia I”. Autor: A. Durer. ¦ Zdjęcie: kaplyasveta.ru." title="Fragment ryciny „Melancholia I”.

Rycina o wymiarach 23,9 x 18,8 centymetra jest przesycona detalami i przedmiotami. Można tu zobaczyć klepsydrę i zegar słoneczny, wagę, dzwonek, kompas, kulę, wielościan, rzeźbiony magiczny kwadrat, a także narzędzia budowlane.

A najciekawszym założeniem rosyjskiej krytyczki sztuki Paoli Volkovej jest wersja: rycina przedstawia nie skrzydlatą kobietę, ale samego Albrechta Durera ze skrzydłami anioła, co jednak jest całkiem naturalne.

Magiczny kwadrat

https://static.kulturologia.ru/files/u21941/durer-004.jpg" alt="Fragment ryciny „Melancholia I”. Autor: A. Durer. ¦ Zdjęcie: kaplyasveta.ru." title="Fragment ryciny „Melancholia I”.

Wersja pierwsza: artysta postanowił stworzyć kilka prac odzwierciedlających melancholię, dlatego zaczął numerować swoje prace. Ale jak wiadomo, Dürer nie miał już kontynuacji serii rycin poświęconych Melancholii.

Druga wersja opierała się na ówczesnej nauce psychologicznej, która głosiła, że ​​istnieją trzy typy ludzi melancholijnych. Niektórzy z nich byli kreatywni ludzie, z rozwiniętą wyobraźnią, inni to politycy i naukowcy, z rozwiniętym umysłem, a jeszcze inni to ludzie religii i filozofowie, z rozwiniętą intuicją. Dlatego Durer, który uważał się za osobę melancholijną, pisze na rycinie: MELENCOLIA I.

Według trzeciej wersji: „I” nie jest wcale cyfrą rzymską, ale łacińską literą „i”. A w połączeniu z melancholią oznacza „Uciekaj, melancholii”.

I to ostatnie, najbardziej prawdopodobne. Ponieważ technika grawerowania wykonywana jest w odbiciu lustrzanym, Durer popełnił błąd przy pisaniu nazwiska, co nie było pierwszym przypadkiem w jego praktyce. Zamiast litery „A” – ostatniej litery, zaczął pisać literę „M”. Aby naprawić swój błąd, postanowił w ten sposób wyjść z obecnej sytuacji.

„Melancholia I” to ostatnia z serii trzech słynnych „rycin mistrzowskich” Dürera i jego ukochanego dzieła. Pierwsze dwa to „Hieronim w celi” i „Rycerz, śmierć i diabeł”.
We wszystkich trzech występuje postać: rycerz, św. Hieronim, skrzydlata kobieta. Zdaniem wielu krytyków sztuki, w tych trzech pracach artysta opisał odmienne stany duszy ludzkiej.

Więcej o dziele „Rycerz, śmierć i diabeł” można dowiedzieć się z recenzji:

">

XIII Konferencja Naukowo-Praktyczna Uczniów

„Magiczne kwadraty”

Uczniowie klasy 8 „A”.

Liceum PTP

Szołochowa Anna

Szef Anokhin M.N.


Historia powstania mojej pracy…………………………………………………2

Magiczny kwadrat .................................................. ....................3

Historycznie znaczące magiczne kwadraty ...............4-5

PLAC ZNALEZIONY W KHAJURAHO (INDIE).......6

Magiczny kwadrat Yang Hui (Chiny)........................................... ..7

Plac Albrechta Dürera........................................... ............... 8

Kwadraty Henry’ego E. Dudeneya i Allana W. Johnsona Jr.....9

Magiczny kwadrat diabła...........................10-11

ZASADY BUDOWANIA KWADRATÓW MAGICZNYCH.....12

RYSOWANIE KWADRATÓW MAGICZNYCH...........................13-15

Stworzenie magicznego kwadratu Albrechta Durera. .....17-18

Sudoku............................................................ ..................................19-21 Kakuro........................................... ..................................22-23

BANK ZADAŃ .................................................. ....................24-25

Wnioski .................................................. ..................................26 Literatura.............. .................................................. ........... 27

Historia powstania mojej pracy .

Wcześniej nawet nie myślałem, że można coś takiego wynaleźć. Z magicznymi kwadratami po raz pierwszy zetknęłam się w pierwszej klasie w podręczniku, były najprostsze.

Kilka lat później pojechałem z rodzicami nad morze i poznałem dziewczynę, która interesowała się sudoku. Ja też chciałam się uczyć, a ona wyjaśniła, jak to zrobić. Bardzo spodobała mi się ta aktywność i stała się ona moim tak zwanym hobby.

Po zaproponowaniu udziału w konferencji naukowo-praktycznej od razu wybrałem temat „Magiczne kwadraty”. W pracy tej zawarłem materiał historyczny, odmiany i zasady tworzenia gry-zagadki.
Magiczny kwadrat.

Magiczny lub magiczny kwadrat to kwadratowa tabela wypełniona n liczbami, tak że suma liczb w każdym rzędzie, w każdej kolumnie i na obu przekątnych jest taka sama. Magiczny kwadrat wypełniony cały liczby od 1 do n.

Kwadraty magiczne istnieją dla wszystkich rzędów z wyjątkiem n=2, choć przypadek n=1 jest trywialny – kwadrat składa się z jednej liczby.

Suma liczb w każdym rzędzie, kolumnie i po przekątnej. Zwany magiczna stała, M. Magiczna stała normalnego magicznego kwadratu zależy tylko od n i jest określona wzorem.

Zamówienie nr

Pierwsze wartości magicznych stałych podano w poniższych tabelach.

Historycznie znaczące magiczne kwadraty.

W starożytnej chińskiej książce „Zhe-kim” („Księga permutacji”) istnieje legenda, że ​​​​cesarz Nu, który żył 4 tysiące lat temu, widział świętego żółwia na brzegu rzeki. Na jej skorupie widniał wzór w postaci białych i czarnych kółek (ryc. 1). Jeśli zastąpisz każdą cyfrę liczbą wskazującą, ile zawiera okręgów, otrzymasz tabelę.

Ten stół ma cudowną właściwość. Dodajmy liczby z pierwszej kolumny: 4+3+8=15.Ten sam wynik otrzymamy dodając liczby z drugiej i trzeciej kolumny. Uzyskuje się go również przez dodanie liczb z dowolnej z trzech linii. Co więcej, tę samą odpowiedź 15 otrzymamy, jeśli dodamy liczby każdej z dwóch przekątnych: 4+5+6=8+5+2=15.

Chińczycy prawdopodobnie wpadli na tę legendę, gdy odkryli, że układ liczb od 1 do 9 ma tak niezwykłą właściwość. Nazwali rysunek „lo-shu” i zaczęli uważać go za magiczny symbol i używać go w zaklęciach. Dlatego teraz nazywa się dowolną kwadratową tabelę złożoną z liczb i posiadającą tę właściwość magiczny kwadrat.

Ryc.1


PLAC ZNALEZIONY W KHAJURAHO (INDIE).

Najwcześniejszy unikalny magiczny kwadrat odkryto w inskrypcji z XI wieku w indyjskim mieście Khajuraho.

Jest to pierwszy magiczny kwadrat, należący do szeregu tzw. „diabelskich” kwadratów.

Magiczny kwadrat Yang Hui (Chiny)

W XIII wieku matematyk Yang Hui podjął problem metod konstruowania magicznych kwadratów. Jego badania kontynuowali następnie inni chińscy matematycy. Yang Hui rozważał magiczne kwadraty nie tylko trzeciego, ale także wyższego rzędu.

Niektóre z jego kwadratów były dość skomplikowane, ale zawsze podawał zasady ich budowy. Udało mu się skonstruować magiczny kwadrat szóstego rzędu.

Suma liczb na dowolnym poziomie, pionie i ukośnej wynosi 34. Sumę tę można znaleźć także we wszystkich narożnych kwadratach 2x2, w centralnym kwadracie (10+11+6+7), w kwadracie narożnych komórek (16+13+4+1), w kwadratach zbudowanych „ruchem rycerskim” (2+8 +9+15 i 3+5+12+14), prostokąty utworzone przez pary środkowych komórek po przeciwnych stronach (3+2+15+14 i 5+8+9+12).Większość dodatkowych symetrii to ponieważ suma dowolnych dwóch centralnie symetrycznie położonych liczb wynosi 17.
Kwadraty autorstwa Henry'ego E. Dudeneya i Allana W. Johnsona Jr.

Jeśli do kwadratowej macierzy n x n wprowadzi się nieściśle naturalną serię liczb, wówczas ten magiczny kwadrat nie jest tradycyjny. Poniżej znajdują się dwa takie magiczne kwadraty, wypełnione głównie liczbami pierwszymi. Pierwszy (ryc. 3) ma rząd n=3 (kwadrat Dudeneya); drugi (ryc. 4) (rozmiar 4x4) to kwadrat Johnsona. Obydwa powstały na początku XX wieku.

Ryc.3 Ryc.4

Magiczny kwadrat diabła- magiczny kwadrat, w którym suma liczb wzdłuż połamanych przekątnych (przekątnych, które powstają podczas składania kwadratu w torus) w obu kierunkach.

Takie kwadraty są również nazywane pandiagonalny .

Istnieje 48 diabelskich magicznych kwadratów 4x4 z precyzją obrotu i odbicia. Jeśli weźmiemy również pod uwagę ich dodatkową symetrię - toryczne tłumaczenia równoległe, wówczas pozostaną tylko 3 znacząco różne kwadraty:

Ryż. 5 rys. 6


Udowodniono jednak, że (ryc. 7) najprostsze permutacje liczb dają pierwsze dwa kwadraty (ryc. 5, 6). Oznacza to, że trzecia opcja to podstawowy diaboliczny kwadrat, z którego można zbudować wszystkie pozostałe za pomocą różnych przekształceń.

Kwadraty pandiagonalne istnieją dla rzędu nieparzystego n>3, dla dowolnego rzędu podwójnej parzystości n=4k (k=1,2,3...) i nie istnieją dla rzędu parzystości pojedynczej n=4k+2 (k=1,2, 3...) .

Kwadraty pandiagonalne czwartego rzędu mają szereg dodatkowych właściwości, dla których są nazywane doskonały. Nie ma doskonałych kwadratów pandiagonalnych o nieparzystym porządku. Wśród kwadratów pandiagonalnych o parzystości większej niż 4 znajdują się kwadraty doskonałe.

Istnieje 3600 pandiagonalnych kwadratów piątego rzędu. Biorąc pod uwagę toryczne tłumaczenia równoległe, istnieje 144 różnych pandiagonalnych kwadratów. Poniżej pokazano jeden z nich.

ZASADY BUDOWANIA KWADRATÓW MAGICZNYCH

Zasady konstruowania magicznych kwadratów dzielą się na trzy kategorie w zależności od tego, czy kolejność kwadratów jest nieparzysta, równa podwójnej liczbie nieparzystej, czy równa czterokrotności liczby nieparzystej. Metoda ogólna Konstrukcja wszystkich placów jest nieznana, chociaż powszechnie stosuje się różne schematy.

Znalezienie wszystkich magicznych kwadratów rzędu n jest możliwe tylko dla n=3,4, dlatego bardzo interesujące są szczegółowe procedury konstruowania magicznych kwadratów dla n>4. Najprostsza konstrukcja dotyczy kwadratu magicznego nieparzystego rzędu. Musisz umieścić liczbę w komórce ze współrzędnymi (x, y).

Jeszcze łatwiej jest to skonstruować w następujący sposób: weź macierz n x n. Wewnątrz niej wbudowany jest schodkowy romb. W nim komórki od lewej do góry wzdłuż przekątnych są wypełnione sekwencyjną serią liczb. Określana jest wartość centralnej komórki C.

Następnie w rogach magicznego kwadratu wartości będą następujące: prawa górna komórka C-1; dolna lewa komórka C+1; prawy dolny komórka C-n; lewa górna komórka C+n.

RYSOWANIE MAGICZNYCH KWADRATÓW.

Jak powstają magiczne kwadraty?

Stworzenie magicznego kwadratu „Lo-Shu”.

Zadanie: Kwadrat 3x3 składający się z liczb od 1 do 9, tak że sumy liczb w każdym rzędzie, kolumnie i po przekątnej są równe.

Rozwiązanie: Rozwiążmy problem bez uciekania się do przeglądania kolejno wszystkich permutacji 9 cyfr w 9 komórkach (liczba takich układów wynosi 362880). Pomyślmy tak. Suma wszystkich liczb od 1 do 9: 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45. Oznacza to, że w każdym wierszu i w każdej kolumnie suma liczb powinna być równa: 45:3=15. Ale jeśli zsumujesz wszystkie liczby w drugiej kolumnie i rzędzie oraz na obu przekątnych, wówczas każda liczba pojawi się raz, z wyjątkiem środkowej, która pojawi się cztery razy. Oznacza to, że jeśli oznaczymy liczbę centralną przez x, to musi zachodzić równość 4*15=3x+3*15. Stąd x=5, czyli liczba 5 powinna znajdować się na środku tabeli.

Zwróćmy teraz uwagę, że cyfra 9 nie może pojawić się w rogu tabeli, powiedzmy w lewym górnym rogu. Przecież wtedy w przeciwległym rogu znajdowałaby się liczba 1, a dla pierwszego wiersza i kolumny pozostałaby jedna kombinacja - liczby 4 i 2. Oznacza to, że 9 znajduje się pośrodku niektórych zewnętrznych wierszy lub kolumn ( u nas, w środku pierwszego rzędu). Pozostałe dwie liczby w tym wierszu to 4 i 2, a trzecia liczba w środkowej kolumnie powinna wynosić 15-9-5=1. Liczby 8 i 6 powinny znajdować się w tej samej linii co 1. W ten sposób magiczny kwadrat jest prawie wypełniony i łatwo jest znaleźć miejsce dla pozostałych liczb. Rezultatem jest kwadrat „Lo-Shu”.

Oczywiście za 9 można wybrać inne trzy miejsca, a po wybraniu miejsca na tę liczbę istnieją dwie możliwości umieszczenia liczb 4 i 2. W sumie otrzymujesz 4 * 2 = 8 różnych magicznych kwadratów trójki wiersze i trzy kolumny (lub, jak mówią matematycy, kwadraty trzeciego rzędu). Wszystkie te kwadraty można uzyskać na „Lo-Shu” poprzez obrót kwadratu o 180,90 lub 270. Możliwa jest również opcja odbicia lustrzanego.


Kwadrat

„Lo-Shu”

4

9

2

3

5

7

8

1

6

Tworzenie magicznego kwadratu

Albrechta Durera.

Zadanie : Utwórz magiczny kwadrat 4x4 z liczb od 1 do 16, tak aby sumy liczb w każdym rzędzie, kolumnie i po przekątnej były równe.

Rozwiązanie: Suma wszystkich liczb od 1 do 16: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16=136. Oznacza to, że w każdym wierszu i w każdej kolumnie suma liczb powinna być równa: 136:4 = 34. Ale jeśli zsumujesz wszystkie liczby, po drugie, w kolumnie i rzędzie oraz po obu przekątnych, wówczas każda liczba pojawi się raz, z wyjątkiem liczb środkowych, które pojawią się dwukrotnie. Będą to liczby 10,11,6,7. Następnie dostarczymy pozostałe liczby 1,2,3,4,5,8,9,12,13,14,15,16 do pozostałych komórek

Plac Albrechta Durera
Sudoku.

W tłumaczeniu z japońskiego „su” oznacza „cyfrę”, a „doku” oznacza „stojący samotnie”.

Nie trzeba zgadywać ani zagłębiać się w książki - wystarczy logika i uważność!

Zadanie: W puste komórki wpisz cyfry od 1 do 9 tak, aby liczba nie powtarzała się w żadnym rzędzie, żadnej kolumnie i w każdym z 9 bloczków 3x3.

Rozwiązanie: krok 1

Spójrzmy na podświetlony wiersz. Brakuje tylko dwóch liczb: 1 i 2. Spójrzmy na pierwszą pustą komórkę po prawej stronie. Czy możemy tam umieścić 1? NIE. Ponieważ w tej kolumnie jest już 1 i te liczby nie mogą się w tej kolumnie powtórzyć. Oznacza to, że w tej komórce możemy zmieścić tylko 2. Zrobimy to. Teraz wystarczy, że wpiszemy cyfrę 1 w ostatnią, pustą komórkę w tym wierszu i wiersz będzie gotowy.

9

2

3

7

4

5

8

3

1

4

6

7

6

8

5

3

7

8

3

6

5

1

4

2

9

4

7

3

1

5

8

5

1

4

8

7

6

5

1

8

4

4

8

3

1

3

7

4

5

2

Przyjrzyjmy się wybranej kolumnie: w niej też brakuje tylko dwóch cyfr – 2 i 7. Nie możemy wpisać cyfry 7 w pierwszą pustą komórkę od góry tej kolumny, gdyż w wierszu przecinającym kolumnę znajduje się już cyfra 7. Ale możemy wpisać to pod numerem 2 i właśnie to robimy! A dla liczby 7 jest tylko jedna pusta

komórka w tej kolumnie jest drugą komórką od dołu. Możesz wpisać w nim cyfrę 7 - kolumna jest wypełniona!

9

2

3

7

4

5

8

3

1

4

6

7

6

8

5

3

7

8

3

6

5

1

4

2

9

4

7

3

1

5

8

5

1

4

2

8

7

6

5

1

8

4

4

8

7

3

1

3

7

9

4

5

2

Cóż, teraz spójrzmy na centralny blok komórek: pozostała w nim tylko jedna pusta komórka, to znaczy brakuje tylko jednej liczby. Przyjrzyjmy się uważnie – to jest liczba 9, gdyż wszystkie pozostałe liczby są już na swoim miejscu. Znów wpisujemy w komórkę cyfrę 9... i znów „rozglądamy się” - i znowu mamy jeden wiersz i jedną kolumnę. W którym brakuje dwóch cyfr. Co dalej? Odpowiedź znajdziemy sami - krok 1, krok 2...

9

2

3

7

4

5

8

3

1

4

6

7

6

8

5

3

7

8

3

6

5

1

4

2

9

4

7

3

1

5

8

5

1

4

2

8

7

6

5

1

8

4

4

8

7

3

1

3

7

9

4

5

2

Numery danych.

1

9

2

3

6

7

8

4

5

8

3

5

1

2

4

6

9

7

6

4

7

8

9

5

2

3

1

7

8

3

6

5

1

4

2

9

9

2

6

4

7

3

1

5

8

5

1

4

2

8

9

7

6

3

2

6

9

5

1

8

3

7

4

4

5

8

7

3

2

9

1

6

3

MAGICZNY PLAC DURERA

Magiczny kwadrat, odtworzony przez niemieckiego artystę Albrechta Durera w rycinie „Melancholia”, jest znany wszystkim badaczom magicznych kwadratów.

Kwadrat ten jest szczegółowo opisany tutaj. Najpierw pokażę rycinę „Melancholia” (ryc. 1) i przedstawiony na niej magiczny kwadrat (ryc. 2).

Ryż. 1

Ryż. 2

Teraz pokażę ten kwadrat w jego zwykłej formie (ryc. 3):

16

3

2

13

5

10

11

8

9

6

7

12

4

15

14

1

Ryż. 3

Co ciekawe, dwie środkowe cyfry w ostatniej linijce kwadratu (są podświetlone) oznaczają rok powstania ryciny – 1514.

Uważa się, że trafił na ten plac, który tak zafascynował Albrechta Durera Zachodnia Europa na początku z Indii XVIwiek. W Indiach plac ten był znany w Iwiek naszej ery. Uważa się, że magiczne kwadraty wynaleźli Chińczycy, gdyż najwcześniejsza wzmianka o nich znajduje się w chińskim rękopisie napisanym 4000-5000 lat p.n.e. Tak stare są magiczne kwadraty!

Rozważmy teraz wszystkie właściwości tego niesamowitego kwadratu. Ale zrobimy to na innym placu, do którego grupy należy plac Durera. Oznacza to, że kwadrat Dürera otrzymuje się z kwadratu, który teraz rozważymy, poprzez jedną z siedmiu głównych transformacji kwadratów magicznych, a mianowicie obrót o 180 stopni. Wszystkie 8 kwadratów tworzących tę grupę ma właściwości, które zostaną teraz wymienione, tylko we właściwości 8 dla niektórych kwadratów słowo „rząd” zostanie zastąpione słowem „kolumna” i odwrotnie.

Główny plac tej grupy można zobaczyć na ryc. 4.

1

14

15

4

12

7

6

9

8

11

10

5

13

2

3

16

Ryż. 4

Wymieńmy teraz wszystkie właściwości tego słynnego placu.

Właściwość 1 . Kwadrat ten jest łączny, to znaczy dowolna para liczb rozmieszczonych symetrycznie względem środka kwadratu daje w sumie 17 = 1+ N 2 .

Własność 2. Suma liczb znajdujących się w narożnych komórkach kwadratu jest równa magicznej stałej kwadratu - 34.

Własność 3. Suma liczb w każdym narożnym kwadracie 2x2, a także w środkowym kwadracie 2x2, jest równa magicznej stałej kwadratu.

Właściwość 4. Magiczna stała kwadratu jest równa sumie liczb po przeciwnych stronach dwóch środkowych prostokątów 2x4, a mianowicie: 14+15+2+3=34, 12+8+9+5=34.

Własność 5. Magiczna stała kwadratu jest równa sumie liczb w komórkach zaznaczonych ruchem szachowego rycerza, czyli: 1+6+16+11=34, 14+9+3+8, 15+5+ 2+12=34 i 4+10+13 +7=34.

Własność 6. Magiczna stała kwadratu jest równa sumie liczb w odpowiednich przekątnych kwadratów narożnych 2x2 sąsiadujących z przeciwległymi wierzchołkami kwadratu. Na przykład w narożnych kwadratach 2x2, które są podświetlone na ryc. 4, suma liczb w pierwszej parze odpowiednich przekątnych: 1+7+10+16=34 (jest to zrozumiałe, ponieważ liczby te znajdują się na głównej przekątnej samego kwadratu). Suma liczb drugiej pary odpowiednich przekątnych: 14+12+5+3=34.

Własność 7. Magiczna stała kwadratu jest równa sumie liczb w komórkach oznaczonych ruchem podobnym do ruchu skoczka szachowego, ale z wydłużoną literą G. Pokazuję te liczby: 1+9+8+16= 34, 4+12+5+13=34, 1+2 +15+16=34,4+3+14+13=34.

Właściwość 8. W każdym rzędzie kwadratu znajduje się para sąsiednich liczb, których suma wynosi 15, oraz kolejna para sąsiednich liczb, których suma wynosi 19. W każdej kolumnie kwadratu znajduje się para sąsiednich liczb, czyli których suma wynosi 13, i kolejna para również sąsiednich liczb , których suma wynosi 21.

Właściwość 9. Sumy kwadratów liczb w dwóch zewnętrznych rzędach są sobie równe. To samo można powiedzieć o sumach kwadratów liczb w dwóch środkowych rzędach. Widzieć:

1 2 + 14 2 + 15 2 + 4 2 = 13 2 + 2 2 + 3 2 + 16 2 = 438

12 2 + 7 2 + 6 2 + 9 2 = 8 2 + 11 2 + 10 2 + 5 2 = 310

Liczby w kolumnach kwadratu mają podobną właściwość.

Właściwość 10. Jeśli w rozpatrywany kwadrat wpiszemy kwadrat o wierzchołkach pośrodku boków (ryc. 5), to:

a) suma liczb znajdujących się wzdłuż jednej pary przeciwległych boków wpisanego kwadratu jest równa sumie liczb znajdujących się wzdłuż drugiej pary przeciwległych boków, a każda z tych sum jest równa magicznej stałej kwadratu;

b) sumy kwadratów i sumy kostek wskazanych liczb są równe:

12 2 + 14 2 + 3 2 + 5 2 = 15 2 + 9 2 + 8 2 + 2 2 = 374

12 3 + 14 3 + 3 3 + 5 3 = 15 3 + 9 3 + 8 3 + 2 3 = 4624

Ryż. 5

Są to właściwości magicznego kwadratu na ryc. 4.

Należy zaznaczyć, że w kwadracie asocjacyjnym, jakim jest omawiany kwadrat, można także dokonywać takich przekształceń, jak przestawianie symetrycznych wierszy i/lub kolumn. Na przykład na ryc. 6 przedstawia kwadrat uzyskany z kwadratu z ryc. 4, przestawiając dwie środkowe kolumny.



Ocena:
Powiązane publikacje

Publikacje