Znak średniej arytmetycznej. Wyznaczanie wartości średniej, zmienności i formy rozkładu. Opisowe statystyki. Czy może się zdarzyć, że średnia arytmetyczna zrówna się ze średnią geometryczną?

Temat średniej arytmetycznej i geometrycznej jest zawarty w programie matematyki dla klas 6-7. Ponieważ akapit jest dość łatwy do zrozumienia, szybko przechodzi, a wniosek jest rok szkolny uczniowie zapominają o tym. Ale wiedza z podstawowych statystyk jest potrzebna do zdanie egzaminu, a także do międzynarodowych egzaminów SAT. Tak i za Życie codzienne rozwinięte myślenie analityczne nigdy nie boli.

Jak obliczyć średnią arytmetyczną i geometryczną liczb

Załóżmy, że istnieje szereg liczb: 11, 4 i 3. Średnia arytmetyczna to suma wszystkich liczb podzielona przez liczbę podanych liczb. Oznacza to, że w przypadku liczb 11, 4, 3 odpowiedź będzie 6. Jak uzyskać 6?

Rozwiązanie: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Mianownik musi zawierać liczbę równą liczbie liczb, których średnia ma być znaleziona. Suma jest podzielna przez 3, ponieważ istnieją trzy wyrazy.

Teraz musimy zająć się średnią geometryczną. Załóżmy, że istnieje szereg liczb: 4, 2 i 8.

Średni liczby geometryczne wywoływany jest iloczyn wszystkich podanych liczb, który znajduje się pod pierwiastkiem o stopniu równym liczbie podanych liczb, czyli w przypadku liczb 4, 2 i 8 odpowiedź wynosi 4. Oto jak to się stało:

Rozwiązanie: ∛(4 × 2 × 8) = 4

W obu wariantach uzyskano całe odpowiedzi, jako przykład wzięto liczby specjalne. Nie zawsze tak jest. W większości przypadków odpowiedź musi być zaokrąglona lub pozostawiona u nasady. Na przykład dla liczb 11, 7 i 20 średnia arytmetyczna wynosi 12,67, a średnia geometryczna 1540. A dla liczb 6 i 5 odpowiedzi wyniosą odpowiednio 5,5 i √30.

Czy może się zdarzyć, że średnia arytmetyczna zrówna się ze średnią geometryczną?

Oczywiście, że może. Ale tylko w dwóch przypadkach. Jeśli istnieje szereg liczb składający się tylko z jedynek lub zer. Warto również zauważyć, że odpowiedź nie zależy od ich liczby.

Dowód z jednostkami: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (średnia arytmetyczna).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (średnia geometryczna).

Dowód z zerami: (0 + 0) / 2=0 (średnia arytmetyczna).

√(0 × 0) = 0 (średnia geometryczna).

Nie ma innej opcji i nie może być.

Istota i znaczenie wartości średnich.

Wartości bezwzględne i względne.

Typy grupowania.

W zależności od zadań rozwiązanych za pomocą grupowania rozróżnia się następujące typy:

Typologiczne

Strukturalny

Analityczny

Głównym zadaniem typologicznej jest klasyfikacja zjawisk społeczno-gospodarczych poprzez identyfikację grup jednorodnych pod względem relacji jakościowych.

W tym przypadku jednorodność jakościowa jest rozumiana w tym sensie, że w odniesieniu do badanej własności wszystkie jednostki całości podlegają temu samemu prawu rozwoju. Na przykład: grupowanie przedsiębiorstw sektorów gospodarczych.

Wartość bezwzględna jest wskaźnikiem wyrażającym wymiary zjawiska społeczno-gospodarczego.

Wartość względna w statystyce jest wskaźnikiem wyrażającym ilościowy związek między zjawiskami. Uzyskuje się ją dzieląc jedną wartość bezwzględną przez drugą. całkowita wartość. Wartość, z którą porównujemy, nazywa się podstawa lub baza porównawcza.

Wartości bezwzględne są zawsze nazywane wartościami.

Wartości względne wyrażone są we współczynnikach, procentach, ppm itp.

Wartość względna pokazuje, ile razy lub o ile procent porównywana wartość jest większa lub mniejsza niż podstawa porównania.

W statystykach istnieje 8 rodzajów wartości względnych:

Średnie są jedną z najczęstszych statystyk podsumowujących. Ich celem jest scharakteryzowanie za pomocą jednej liczby populacji statystycznej składającej się z mniejszości jednostek. Średnie wartości są ściśle związane z prawem duże liczby. Istota tej zależności polega na tym, że przy dużej liczbie obserwacji losowe odchylenia od statystyk ogólnych znoszą się nawzajem i średnio wyraźniej ujawnia się statystyczna prawidłowość.

Korzystanie z metody średni rozwiązano następujące główne zadania:

1. Charakterystyka poziomu rozwoju zjawisk.

2. Porównanie dwóch lub więcej poziomów.

3. Badanie relacji zjawisk społeczno-gospodarczych.

4. Analiza rozkładu zjawisk społeczno-gospodarczych w przestrzeni.

Aby rozwiązać te problemy, metodologia statystyczna opracowała różne rodzaje średnich.

Aby wyjaśnić metodologię obliczania średniej arytmetycznej, stosujemy następującą notację:

X - znak arytmetyczny

X (X1, X2, ... X3) - warianty określonej cechy

n - liczba jednostek populacji

Średnia wartość cechy

W zależności od danych początkowych średnią arytmetyczną można obliczyć na dwa sposoby:

1. Jeżeli dane z obserwacji statystycznych nie są pogrupowane lub warianty zgrupowane mają te same częstości, oblicza się prostą średnią arytmetyczną:

2. Jeżeli częstotliwości zgrupowane w danych są różne, oblicza się średnią ważoną arytmetyczną:

Liczba (częstotliwości) wariantów

Suma częstotliwości

Średnia arytmetyczna jest obliczana inaczej w serii zmienności dyskretnej i przedziałowej.

W dyskretnych szeregach warianty cech są mnożone przez częstotliwości, te iloczyny są sumowane, a otrzymana suma produktów jest dzielona przez sumę częstotliwości.

Rozważ przykład obliczenia średniej arytmetycznej w szeregu dyskretnym:

W szeregach przedziałowych wartość cechy podawana jest, jak wiadomo, w postaci przedziałów, dlatego przed obliczeniem średniej arytmetycznej konieczne jest przejście z szeregu przedziałowego na dyskretny.

Jako opcje dla Xi używany jest środek odpowiednich przedziałów. Są one definiowane jako połowa sumy dolnej i górnej granicy.

Jeżeli przedział nie ma dolnej granicy, to jego środek definiuje się jako różnicę między górną granicą a połową wartości kolejnych przedziałów. W przypadku braku górnych granic środek przedziału definiuje się jako sumę dolnego ograniczenia i połowy wartości poprzedniego przedziału. Po przejściu do szeregu dyskretnego dalsze obliczenia prowadzone są zgodnie z omówioną powyżej metodą.

Jeśli waga fi są podane nie w wartościach bezwzględnych, ale względnych, wówczas wzór na obliczenie średniej arytmetycznej będzie następujący:

pi - względne wartości struktury, pokazujące, jaki procent stanowi częstość wariantów w sumie wszystkich częstotliwości.

Jeżeli względne wartości struktury podane są nie w procentach, ale w udziałach, to średnia arytmetyczna zostanie obliczona według wzoru:

Oznaczać

Oznaczać- charakterystyka numeryczna zbioru liczb lub funkcji (w matematyce); - pewna liczba zawarta między najmniejszą a największą z ich wartości.

Podstawowe informacje

Punktem wyjścia do powstania teorii średnich było badanie proporcji przez szkołę Pitagorasa. Jednocześnie nie dokonano ścisłego rozróżnienia między pojęciami średniej i proporcji. Znaczący impuls do rozwoju teorii proporcji z arytmetycznego punktu widzenia dali greccy matematycy - Nikomach z Geras (koniec I - początek II wne) i Pappus z Aleksandrii (III wne). Pierwszym etapem rozwoju pojęcia średniej jest etap, w którym średnia zaczęła być uważana za centralny element proporcji ciągłej. Ale pojęcie średniej jako centralnej wartości progresji nie pozwala wyprowadzić pojęcia średniej w odniesieniu do ciągu n terminów, niezależnie od kolejności, w jakiej następują one po sobie. W tym celu konieczne jest odwołanie się do formalnego uogólnienia średnich. Kolejnym etapem jest przejście od proporcji ciągłych do progresji - arytmetycznej, geometrycznej i harmonicznej ( język angielski).

Po raz pierwszy w historii statystyki powszechne stosowanie średnich wiąże się z nazwiskiem angielskiego naukowca W. Petty'ego. W. Petty był jednym z pierwszych, którzy starali się nadać wartości średniej znaczenie statystyczne, wiążąc ją z kategoriami ekonomicznymi. Ale opisu pojęcia wartości średniej, jej alokacji, Petty nie przedstawił. A. Quetelet uważany jest za twórcę teorii średnich. Jako jeden z pierwszych konsekwentnie rozwijał teorię średnich, starając się stworzyć dla niej matematyczne podstawy. A. Quetelet wyróżnił dwa rodzaje średnich - średnie rzeczywiste i średnie arytmetyczne. Właściwie średnie reprezentują rzecz, liczbę, naprawdę istniejącą. Właściwie średnie lub przeciętne statystyczne należy wyprowadzić ze zjawisk o tej samej jakości, identycznych w ich wewnętrzne znaczenie. Średnie arytmetyczne to liczby, które dają możliwie najbliższy obraz wielu liczb, różnych, choć jednorodnych.

Każdy rodzaj średniej może być średnią prostą lub średnią ważoną. Prawidłowość wyboru formy przeciętnej wynika z materialnego charakteru przedmiotu badań. Proste formuły uśredniania są używane, jeśli poszczególne wartości uśrednionej cechy się nie powtarzają. Gdy w badaniach praktycznych poszczególne wartości badanej cechy występują kilkakrotnie w jednostkach badanej populacji, to częstość powtarzania wartości poszczególnych cech występuje we wzorach obliczeniowych średnich mocy. W tym przypadku nazywa się je formułami średniej ważonej.

Hierarchia średnich w matematyce

średnia wartość funkcji jest pojęciem definiowanym na wiele sposobów.
- Dokładniej, ale na podstawie dowolnych funkcji, średnie Kołmogorowa są określane dla zbioru liczb.
  - moc średnia - szczególny przypadek Kołmogorowa oznacza ϕ (x) = x α (\displaystyle \phi (x)=x^(\alfa)) . Średnie różnych stopni są połączone nierównością dotyczącą średnich. Najczęstsze przypadki szczególne:
    1. średnia arytmetyczna (α = 1 (\displaystyle \alpha=1));
    2. średnia kwadratowa (α = 2 (\displaystyle \alpha =2));
    3. średnia harmoniczna (α = − 1 (\displaystyle \alpha =-1));
    4. przez ciągłość jako α → 0 (\displaystyle \alfa \to 0), średnia geometryczna jest rozszerzona, która jest również średnią Kołmogorowa dla ϕ (x) = log ⁡ x (\displaystyle \phi (x)=\log x)
Średnia ważona jest uogólnieniem wartości średniej dla przypadku dowolnej kombinacji liniowej:
- Arytmetyczna średnia ważona.
- Średnia ważona geometryczna.
- Średnia ważona harmoniczna.
średnia chronologiczna - uogólnia wartości atrybutu dla tej samej jednostki lub populacji jako całości, zmieniając się w czasie.
średnia logarytmiczna zdefiniowana jako a ¯ = a 1 − a 2 ln ⁡ (a 1 / a 2) (\textstyle (\bar (a))=(\frac (a_(1)-a_(2))(\ ln (a_(1)/a_(2))))) , stosowane w ciepłownictwie
średnia logarytmiczna, określona w izolacji elektrycznej zgodnie z GOST 27905.4-88, jest zdefiniowana jako logarytm a = log a 1 + log a 2 + . . . + . . . log a n a 1 + a 2 + . . . + a n (\textstyle log(\bar (a))=(\frac (\log a_(1)+loga_(2)+...+...loga_(n))(a_(1)+a_( 2)+...+a_(n)))) (logarytm w dowolnej podstawie)

W teorii prawdopodobieństwa i statystyce

Główny artykuł: Metryki Centrum Dystrybucyjnego

średnie nieparametryczne - moda, mediana.
średnia wartość zmiennej losowej jest taka sama jak wartość oczekiwana zmienna losowa. W rzeczywistości - średnia wartość jego funkcji dystrybucji.

Jaki jest symbol średniej arytmetycznej?

Powiedzmy, że suma to wielka epsilon...

Ksenia

Średnia arytmetyczna to granica, wokół której grupowane są poszczególne wartości obserwowanych i badanych cech, średnia arytmetyczna jest ilorazem dzielenia sumy wartości dowolnego atrybutu przez liczbę elementów w populacji. W statystyce średnia arytmetyczna jest zwykle oznaczana przez poszczególne wartości cechy (lub poszczególnych wyników eksperymentu) - przez x1, x2, x3 itd., a łączna liczba cech (lub liczba eksperymentów) wynosi n.
Na w dużych ilościach pomiary, dodatnie i ujemne błędy losowe występują równie często. Według wielu pomiarów, dowolny wielkość fizyczna można określić jego średnią arytmetyczną. Wielokrotne pomiary umożliwiają również ustalenie dokładności pomiaru, zarówno dla wyniku końcowego, jak i dla poszczególnych pomiarów, czyli znalezienie granic, w których znajduje się wynik wartości mierzonej.
Przy n pomiarach pewnej wielkości otrzymujemy n różnych jej wartości. Najbliżej prawdziwej wartości zmierzonej wartości będzie średnia arytmetyczna wszystkich pomiarów.
Jeżeli oznaczymy poszczególne pomiary jako a\, az, a3, ..an, to wartość średnią arytmetyczną wartości mierzonej określa wzór:
P
n - w + ag + - + D „ _ \ 1 a, -
a _ ------------------
=Y-^
^JP
Wartości poszczególnych pomiarów różnią się od średniej arytmetycznej a0 o następujące wartości:
Wartości bezwzględne różnic (Da ^ Dag, ...) między średnią arytmetyczną wartości mierzonej a wartością poszczególnych pomiarów nazywane są błędami bezwzględnymi poszczególnych pomiarów. Średnią arytmetyczną błędów bezwzględnych wszystkich pomiarów, niezbędną do wyznaczenia względnego błędu pomiaru i zarejestrowania wyniku końcowego, oblicza się według wzoru:
^-. (2)
Ten błąd nazywany jest średnim bezwzględnym błędem pomiaru. Biorąc jeden znak błędów absolutnych, świadomie przyjmujemy największy możliwy błąd.

Co to jest średnia arytmetyczna? Jak znaleźć średnią arytmetyczną?

Wzór na średnią arytmetyczną?

Alex-89

Średnia arytmetyczna kilku liczb to suma tych liczb podzielona przez ich liczbę.

x cf - średnia arytmetyczna

S - suma liczb

n to liczba liczb.

Na przykład musimy znaleźć średnią liczby arytmetyczne 3, 4, 5 i 6.

Aby to zrobić, musimy je zsumować i podzielić otrzymaną kwotę przez 4:

(3 + 4 + 5 + 6) : 4 = 18: 4 = 4,5.

Alsu - sh

Jako matematyk interesują mnie pytania na ten temat.

Zacznę od historii problemu. O wartościach średnich myślano od czasów starożytnych. Średnia arytmetyczna, średnia geometryczna, średnia harmoniczna. Koncepcje te zostały zaproponowane w starożytnej Grecji przez pitagorejczyków.

A teraz pytanie, które nas interesuje. Co jest rozumiane przez średnia arytmetyczna kilku liczb:

Tak więc, aby znaleźć średnią arytmetyczną liczb, musisz dodać wszystkie liczby i podzielić otrzymaną kwotę przez liczbę wyrażeń.

Istnieje formuła:

Przykład. Znajdź średnią arytmetyczną liczb: 100, 175, 325.

Użyjmy wzoru na znalezienie średniej arytmetycznej trzech liczb (tzn. zamiast n będzie 3; musisz dodać wszystkie 3 liczby i podzielić otrzymaną kwotę przez ich liczbę, czyli przez 3). Mamy: x=(100+175+325)/3=600/3=200.

Odpowiedź: 200.

Arytmetyka jest uważana za najbardziej elementarną gałąź matematyki i zajmuje się badaniem prostych operacji na liczbach. Dlatego też bardzo łatwo jest znaleźć średnią arytmetyczną. Zacznijmy od definicji. Średnia arytmetyczna to wartość, która pokazuje, która liczba jest najbliższa prawdzie w kilku kolejnych czynnościach tego samego typu. Na przykład podczas biegu na sto metrów za każdym razem pojawia się osoba inny czas, ale średnia wartość będzie na przykład w ciągu 12 sekund. Znalezienie średniej arytmetycznej sprowadza się więc do sekwencyjnego zsumowania wszystkich liczb z pewnego szeregu (wyników przebiegu) i podzielenia tej sumy przez liczbę tych przebiegów (próby, liczby). W formie formuły wygląda to tak:

Sarif = (X1+X2+..+Xn)/n

Średnia arytmetyczna jest średnią kilku liczb.

Na przykład między liczbami 2 i 4 średnia liczba wynosi 3.

Wzór na znalezienie średniej arytmetycznej to:

Musisz dodać wszystkie liczby i podzielić przez liczbę tych liczb:

Na przykład mamy 3 liczby: 2, 5 i 8.

Znalezienie średniej arytmetycznej:

X=(2+5+8)/3=15/3=5

Zakres średniej arytmetycznej jest dość szeroki.

Na przykład, znając współrzędne dwóch punktów segmentu, możesz znaleźć współrzędne środka tego segmentu.

Na przykład współrzędne segmentu: (X1,Y1,Z1)-(X2,Y2,Z2).

Środek tego odcinka oznaczamy współrzędnymi X3,Y3,Z3.

Oddzielnie znajdujemy punkt środkowy dla każdej współrzędnej:

Piękna polana

Średnia arytmetyczna to liczby zsumowane i podzielone przez ich liczbę, odpowiedzią jest średnia arytmetyczna.

Na przykład: Katia włożyła 50 rubli do skarbonki, Maxim 100 rubli, a Sasha włożyła do skarbonki 150 rubli. 50 + 100 + 150 = 300 rubli w skarbonce, teraz dzielimy tę kwotę przez trzy (trzy osoby wpłacają pieniądze). Więc 300: 3 = 100 rubli. Te 100 rubli będzie średnią arytmetyczną, każdy z nich włożony do skarbonki.

Oto prosty przykład: jedna osoba je mięso, inna osoba je kapustę, a arytmetyczna oznacza, że oboje jedzą gołąbki.

W ten sam sposób obliczana jest średnia pensja ...

Średnia arytmetyczna to średnia z podanego...

Tych. po prostu mamy liczbę sztyftów o różnych długościach i chcemy poznać ich średnią wartość..

Logiczne jest, że w tym celu łączymy je, uzyskując długi kij, a następnie dzielimy na wymaganą liczbę części.

Oto średnia arytmetyczna.

Tak powstaje wzór: Sa=(S(1)+..S(n))/n..

Ptasiek2014

Średnia arytmetyczna to suma wszystkich wartości i podzielona przez ich liczbę.

Na przykład liczby 2, 3 , 5, 6 . Musisz je dodać 2+ 3+ 5 + 6 = 16

Podziel 16 przez 4 i uzyskaj odpowiedź 4.

4 to średnia arytmetyczna tych liczb.

Azamatik

Średnia arytmetyczna to suma liczb podzielona przez liczbę tych samych liczb. Znalezienie średniej arytmetycznej jest bardzo łatwe.

Jak wynika z definicji, musimy wziąć liczby, zsumować je i podzielić przez ich liczbę.

Podajmy przykład: podane są liczby 1, 3, 5, 7 i musimy znaleźć średnią arytmetyczną tych liczb.

najpierw dodaj te liczby (1+3+5+7) i uzyskaj 16
otrzymany wynik dzielimy przez 4 (liczba): 16/4 i otrzymujemy wynik 4.

Tak więc średnia arytmetyczna liczb 1, 3, 5 i 7 wynosi 4.

Średnia arytmetyczna - średnia wartość spośród podanych wskaźników.

Można go znaleźć, dzieląc sumę wszystkich wskaźników przez ich liczbę.

Na przykład mam 5 jabłek o wadze 200, 250, 180, 220 i 230 gramów.

Średnia waga 1 jabłka jest następująca:

szukamy całkowitej wagi wszystkich jabłek (suma wszystkich wskaźników) - to jest 1080 gram,
podziel całkowitą wagę przez liczbę jabłek 1080:5 = 216 gramów. To jest średnia arytmetyczna.

Jest to najczęściej używany wskaźnik w statystyce.

Zielony czebureczek

Znamy to ze szkoły. Ktokolwiek miał dobrego nauczyciela matematyki, za pierwszym razem pamiętał tę prostą czynność.

Przy ustalaniu średniej arytmetycznej należy dodać wszystkie dostępne liczby i podzielić przez ich liczbę.

Na przykład kupiłem w sklepie 1 kg jabłek, 2 kg bananów, 3 kg pomarańczy i 1 kg kiwi. Ile średnio kilogramów kupiłem owoce.

7/4 = 1,8 kilograma. To będzie średnia arytmetyczna.

Bemont epu

Pamiętam jak zdałem końcowy sprawdzian z matematyki

Więc tam trzeba było znaleźć średnią arytmetyczną.

Dobrze, że mili ludzie podpowiadał, co robić, w przeciwnym razie kłopoty.

Na przykład mamy 4 liczby.

Dodajemy liczby i dzielimy przez ich liczbę (w tym przypadku 4)

Na przykład liczby 2,6,1,1. Dodaj 2+6+1+1 i podziel przez 4 = 2,5

Jak widać, nic skomplikowanego. Zatem średnia arytmetyczna jest średnią wszystkich liczb.

Uzyskiwany przez dodanie wszystkich członków serii liczb i podzielenie sumy przez liczbę członków. Na przykład wartość arytmetyczna 7, 20, 152 i 305 to 484/4 = 121. Jednak średnia wartość nie pozwala nam ocenić rozrzutu liczb. porównaj: średnia geometryczna.

Biznes. Słownik. - M.: „INFRA-M”, Wydawnictwo „Ves Mir”. Graham Bets, Barry Brindley, S. Williams i inni. Wydanie ogólne: doktor nauk ekonomicznych Osadchaya I.M.. 1998 .

Zobacz, co „ŚREDNIA ARYTMETYCZNA” znajduje się w innych słownikach:

- (średnia arytmetyczna) Suma N liczb x1 x2,...,xN podzielona przez N, wyrażona wzorem (Σixi)/N. Średnią arytmetyczną można obliczyć dla dowolnego skończony ciąg N liczb, gdzie mogą być dodatnie, równe zero lub ... ... Słownik ekonomiczny

- (średnia arytmetyczna) Średnia wartość uzyskana przez dodanie wszystkich członków szeregu liczbowego i podzielenie sumy przez liczbę członków, na przykład średnia arytmetyczna 7, 20, 107 i 350 wynosi 484/4 = 121. Jednak , średnia wartość nie pozwala na ocenę ... ... Słownictwo finansowe

Średnia arytmetyczna- aritmetinis vidurkis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Średnia arytmetyczna; Średnia arytmetyczna; średnia arytmetyczna vok. arytmetyka Mittelwert, m; arytmetyka Mittel, n rus. średnia arytmetyczna, n; średnia arytmetyczna, n … Fizikos terminų žodynas

średnia arytmetyczna (wartość wyniku pomiarów geodezyjnych)- 3.7.2 średnia arytmetyczna (wartość wyniku pomiarów geodezyjnych) Wyznaczenie wartości wielkości geodezyjnej z wielokrotnych równie dokładnych pomiarów, otrzymanej ze wzoru gdzie jest wynikiem pojedynczego pomiaru, n jest liczbą pomiarów. Źródło …

Termin ten ma inne znaczenia, patrz średnie znaczenie. W matematyce i statystyce średnia arytmetyczna jest jedną z najczęstszych miar tendencji centralnej, która jest sumą wszystkich obserwowanych wartości podzieloną przez ich ... ... Wikipedia

przeciętny- 3,1 średnia arytmetyczna; średnia arytmetyczna / średnia: Suma wartości podzielona przez ich liczbę. [ISO 3534 1:1993, 2.26] Źródło ... Słownik-odnośnik terminów dokumentacji normatywnej i technicznej

Średnia wartość charakteryzująca dowolną grupę obserwacji jest obliczana poprzez dodanie liczb z tego szeregu, a następnie podzielenie otrzymanej sumy przez liczbę zsumowanych liczb. Jeśli w grupie znajduje się jeden lub więcej numerów, ... ... terminy medyczne

ŚREDNIA LICZBA, ŚREDNIA ARYTMETYCZNA- (średnia arytmetyczna) średnia wartość charakteryzująca dowolną grupę obserwacji; oblicza się, dodając liczby z tego szeregu, a następnie dzieląc otrzymaną sumę przez liczbę zsumowanych liczb. Jeśli jedna lub więcej cyfr, ... ... Objaśniający słownik medycyny

- (średnia) Pojedyncza liczba reprezentująca szereg liczb; oznaczać. Zobacz: średnia arytmetyczna; Średnia geometryczna; mediana. Biznes. Słownik. M.: INFRA M, Wydawnictwo ... ... Słowniczek pojęć biznesowych

- (średnia) 1. Jedna liczba reprezentująca szereg liczb; oznaczać. Zobacz: średnia arytmetyczna; Średnia geometryczna; mediana. 2. Sposób podziału strat w ubezpieczeniach majątkowych… Słownictwo finansowe

Termin ten ma inne znaczenia, patrz średnie znaczenie.

Przeciętny(w matematyce i statystyce) zbiory liczb - suma wszystkich liczb podzielona przez ich liczbę. Jest to jedna z najczęstszych miar tendencji centralnej.

Zaproponowali ją (wraz ze średnią geometryczną i średnią harmoniczną) pitagorejczycy.

Szczególnymi przypadkami średniej arytmetycznej są średnia (populacji ogólnej) i średnia próbki (prób).

Wstęp

Oznacz zbiór danych X = (x 1 , x 2 , …, x n), to średnia próbki jest zwykle oznaczana poziomym paskiem nad zmienną (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) , wymawiane „ x z myślnikiem”).

Grecka litera μ oznacza średnią arytmetyczną całej populacji. Dla zmiennej losowej, dla której określono wartość średnią, μ jest średnia prawdopodobieństwa lub matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej. Jeśli zestaw X jest zbiorem liczb losowych o średniej prawdopodobieństwa μ, to dla dowolnej próbki x i z tej kolekcji μ = E( x i) to oczekiwanie tej próbki.

W praktyce różnica między μ i x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) polega na tym, że μ jest typową zmienną, ponieważ można zobaczyć próbkę, a nie całą populację. Dlatego, jeśli próbka jest reprezentowana losowo (w kategoriach teorii prawdopodobieństwa), to x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) (ale nie μ) można traktować jako zmienną losową o rozkładzie prawdopodobieństwa na próbce ( rozkład prawdopodobieństwa średniej).

Obie te wielkości oblicza się w ten sam sposób:

X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\suma _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

Jeśli X jest zmienną losową, to oczekiwanie matematyczne X można uznać za średnią arytmetyczną wartości w powtarzanych pomiarach wielkości X. Jest to przejaw prawa wielkich liczb. Dlatego do oszacowania nieznanych oczekiwań matematycznych wykorzystywana jest średnia z próby.

W algebrze elementarnej udowodniono, że średnia n+ 1 cyfry powyżej średniej n liczby wtedy i tylko wtedy, gdy nowa liczba jest większa niż stara średnia, mniejsza wtedy i tylko wtedy, gdy nowa liczba jest mniejsza niż średnia i nie zmienia się wtedy i tylko wtedy, gdy nowa liczba jest równa średniej. Więcej n, tym mniejsza różnica między nową i starą średnią.

Należy zauważyć, że dostępnych jest kilka innych „średnich”, w tym średnia potęgowa, średnia Kołmogorowa, średnia harmoniczna, średnia arytmetyczno-geometryczna i różne średnie ważone (np. średnia ważona arytmetycznie, średnia ważona geometrycznie, średnia ważona harmonicznymi) .

Przykłady

W przypadku trzech liczb musisz je dodać i podzielić przez 3:

x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)

W przypadku czterech liczb musisz je dodać i podzielić przez 4:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

Lub łatwiej 5+5=10, 10:2. Ponieważ dodaliśmy 2 liczby, co oznacza, że ile liczb dodamy, dzielimy przez tyle.

Ciągła zmienna losowa

Dla wartości o ciągłym rozkładzie f (x) (\displaystyle f(x)) średnia arytmetyczna w przedziale [ a ; b ] (\displaystyle ) jest definiowany przez całkę oznaczoną:

F(x) [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

Niektóre problemy z używaniem średniej

Brak solidności

Główny artykuł: Solidność w statystykach

Chociaż średnia arytmetyczna jest często używana jako średnie lub trendy centralne, koncepcja ta nie ma zastosowania do solidnych statystyk, co oznacza, że na średnią arytmetyczną duży wpływ mają „duże odchylenia”. Warto zauważyć, że dla rozkładów o dużej skośności średnia arytmetyczna może nie odpowiadać pojęciu „średniej”, a wartości średniej ze statystyk odpornych (np. mediana) mogą lepiej opisywać trend centralny.

Klasycznym przykładem jest obliczenie średniego dochodu. Średnia arytmetyczna może zostać błędnie zinterpretowana jako mediana, co może prowadzić do wniosku, że osób z wyższymi dochodami jest więcej niż w rzeczywistości. „Średni” dochód jest interpretowany w taki sposób, że dochody większości ludzi są zbliżone do tej liczby. Ten „przeciętny” (w sensie średniej arytmetycznej) dochód jest wyższy niż dochód większości ludzi, ponieważ wysoki dochód z dużym odchyleniem od średniej powoduje, że średnia arytmetyczna jest mocno przekrzywiona (w przeciwieństwie do tego mediana dochodu „opiera się” taki przekrzywienie). Jednak ten „średni” dochód nie mówi nic o liczbie osób w pobliżu mediany dochodu (i nie mówi nic o liczbie osób w pobliżu dochodu modalnego). Jeśli jednak pojęcia „średnia” i „większość” potraktuje się lekko, można błędnie wywnioskować, że większość ludzi ma dochody wyższe niż w rzeczywistości. Np. raport o „przeciętnych” dochodach netto w Medinie w stanie Waszyngton, liczony jako średnia arytmetyczna wszystkich rocznych dochodów netto mieszkańców, da zaskakująco duża liczba z powodu Billa Gatesa. Rozważ próbkę (1, 2, 2, 2, 3, 9). Średnia arytmetyczna wynosi 3,17, ale pięć z sześciu wartości jest poniżej tej średniej.

Odsetki składane

Główny artykuł: ROI

Jeśli liczby zwielokrotniać, ale nie zginać, musisz użyć średniej geometrycznej, a nie średniej arytmetycznej. Najczęściej taki incydent ma miejsce przy obliczaniu zwrotu z inwestycji w finanse.

Na przykład, jeśli zapasy spadły o 10% w pierwszym roku i wzrosły o 30% w drugim roku, to niepoprawne jest obliczanie „średniego” wzrostu w ciągu tych dwóch lat jako średniej arytmetycznej (-10% + 30%) / 2 = 10%; poprawną średnią w tym przypadku podaje złożona roczna stopa wzrostu, od której roczny wzrost wynosi tylko około 8,16653826392% ≈ 8,2%.

Powodem tego jest to, że procenty mają za każdym razem nowy punkt wyjścia: 30% to 30% od liczby mniejszej niż cena na początku pierwszego roku: jeśli akcje rozpoczęły się od 30 USD i spadły o 10%, są warte 27 USD na początku drugiego roku. Jeśli cena akcji wzrośnie o 30%, pod koniec drugiego roku będzie warta 35,1 USD. Średnia arytmetyczna tego wzrostu wynosi 10%, ale ponieważ akcje wzrosły tylko o 5,1 USD w ciągu 2 lat, średni wzrost o 8,2% daje końcowy wynik 35,1 USD:

[30 zł (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 zł (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 zł. Jeśli w ten sam sposób użyjemy średniej arytmetycznej 10%, nie otrzymamy rzeczywistej wartości: [30 zł (1 + 0,1) (1 + 0,1) = 36,3 zł.

Odsetki składane na koniec roku 2: 90% * 130% = 117% , czyli łączny wzrost o 17%, a średni roczny procent składany wynosi 117% ≈ 108,2% (\displaystyle (\sqrt (117\%)) \ok 108,2\%) , czyli średni roczny wzrost o 8,2%.

Wskazówki

Główny artykuł: Statystyki miejsc docelowych

Przy obliczaniu średniej arytmetycznej jakiejś zmiennej, która zmienia się cyklicznie (na przykład fazy lub kąta), należy zachować szczególną ostrożność. Na przykład średnia 1° i 359° wyniesie 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°. Ta liczba jest nieprawidłowa z dwóch powodów.

Po pierwsze, miary kątowe są zdefiniowane tylko dla zakresu od 0° do 360° (lub od 0 do 2π mierzone w radianach). Tak więc tę samą parę liczb można zapisać jako (1° i -1°) lub jako (1° i 719°). Średnie każdej pary będą różne: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2))= 0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\circ )) .
Po drugie, w tym przypadku wartość 0° (odpowiednik 360°) byłaby geometrycznie najlepszą średnią, ponieważ liczby odbiegają mniej od 0° niż od jakiejkolwiek innej wartości (wartość 0° ma najmniejszą wariancję). Porównywać:
- liczba 1° odbiega od 0° tylko o 1°;
- liczba 1° odbiega od obliczonej średniej 180° o 179°.

Wartość średnia dla zmiennej cyklicznej, obliczona według powyższego wzoru, zostanie sztucznie przesunięta względem średniej rzeczywistej na środek zakresu liczbowego. Z tego powodu średnią oblicza się w inny sposób, a mianowicie liczbę o najmniejszej wariancji (punkt środkowy) wybiera się jako wartość średnią. Ponadto zamiast odejmowania używana jest odległość modulo (tj. odległość obwodowa). Na przykład, odległość modułowa pomiędzy 1° a 359° wynosi 2°, a nie 358° (na kole pomiędzy 359° a 360°==0° - jeden stopień, pomiędzy 0° a 1° - również 1°, łącznie - 2 °).

Oznaczać

Oznaczać- charakterystyka numeryczna zbioru liczb lub funkcji (w matematyce); - pewna liczba zawarta między najmniejszą a największą z ich wartości.

Podstawowe informacje

Po raz pierwszy w historii statystyki powszechne stosowanie średnich wiąże się z nazwiskiem angielskiego naukowca W. Petty'ego. W. Petty był jednym z pierwszych, którzy starali się nadać wartości średniej znaczenie statystyczne, wiążąc ją z kategoriami ekonomicznymi. Ale opisu pojęcia wartości średniej, jej alokacji, Petty nie przedstawił. A. Quetelet uważany jest za twórcę teorii średnich. Jako jeden z pierwszych konsekwentnie rozwijał teorię średnich, starając się stworzyć dla niej matematyczne podstawy. A. Quetelet wyróżnił dwa rodzaje średnich - średnie rzeczywiste i średnie arytmetyczne. Właściwie średnie reprezentują rzecz, liczbę, naprawdę istniejącą. W rzeczywistości średnie lub średnie statystyczne powinny pochodzić ze zjawisk o tej samej jakości, identycznych w ich wewnętrznym znaczeniu. Średnie arytmetyczne to liczby, które dają możliwie najbliższy obraz wielu liczb, różnych, choć jednorodnych.

Hierarchia średnich w matematyce

średnia wartość funkcji jest pojęciem definiowanym na wiele sposobów.
- Dokładniej, ale na podstawie dowolnych funkcji, średnie Kołmogorowa są określane dla zbioru liczb.
  - średnia potęgowa jest szczególnym przypadkiem środków Kołmogorowa dla ϕ (x) = x α (\displaystyle \phi (x)=x^(\alpha )) . Średnie różnych stopni są połączone nierównością dotyczącą średnich. Najczęstsze przypadki szczególne:
    1. średnia arytmetyczna (α = 1 (\displaystyle \alpha=1));
    2. średnia kwadratowa (α = 2 (\displaystyle \alpha =2));
    3. średnia harmoniczna (α = − 1 (\displaystyle \alpha =-1));
    4. przez ciągłość jako α → 0 (\displaystyle \alfa \to 0), średnia geometryczna jest rozszerzona, która jest również średnią Kołmogorowa dla ϕ (x) = log ⁡ x (\displaystyle \phi (x)=\log x)
Średnia ważona jest uogólnieniem wartości średniej dla przypadku dowolnej kombinacji liniowej:
- Arytmetyczna średnia ważona.
- Średnia ważona geometryczna.
- Średnia ważona harmoniczna.
średnia chronologiczna - uogólnia wartości atrybutu dla tej samej jednostki lub populacji jako całości, zmieniając się w czasie.
średnia logarytmiczna zdefiniowana jako a ¯ = a 1 − a 2 ln ⁡ (a 1 / a 2) (\textstyle (\bar (a))=(\frac (a_(1)-a_(2))(\ ln (a_(1)/a_(2))))) , stosowane w ciepłownictwie
średnia logarytmiczna, określona w izolacji elektrycznej zgodnie z GOST 27905.4-88, jest zdefiniowana jako logarytm a = log a 1 + log a 2 + . . . + . . . log a n a 1 + a 2 + . . . + a n (\textstyle log(\bar (a))=(\frac (\log a_(1)+loga_(2)+...+...loga_(n))(a_(1)+a_( 2)+...+a_(n)))) (logarytm w dowolnej podstawie)

W teorii prawdopodobieństwa i statystyce

Główny artykuł: Metryki Centrum Dystrybucyjnego

średnie nieparametryczne - moda, mediana.
średnia wartość zmiennej losowej jest taka sama, jak matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej. W rzeczywistości - średnia wartość jego funkcji dystrybucji.

Symbol

Termin ten ma inne znaczenia, patrz Symbol (znaczenia).

Symbol(starogrecki σύμβολον - “ (konwencjonalny) znak, sygnał„”) jest znakiem, obrazem jakiegoś przedmiotu lub zwierzęcia, wskazującym jakość przedmiotu; umowny znak wszelkich pojęć, idei, zjawisk 2.

Czasami znak i symbol różnią się od siebie, ponieważ w przeciwieństwie do znaku, symbolowi przypisuje się głębszy wymiar społeczno-normatywny (duchowy).

Fabuła

Pojęcie symbolu jest ściśle związane z takimi kategoriami jak: obraz artystyczny, alegoria i porównanie. Na przykład w dobie późnego antyku krzyż stał się symbolem chrześcijaństwa[ nieautorytatywne źródło?]. W nowoczesne czasy Swastyka stała się symbolem narodowego socjalizmu.

F. I. Girenok zwrócił uwagę na to, że we współczesnej kulturze różnica „między znakiem a symbolem” została zatarta, a specyfika symbolu wskazuje na to, co nadrzeczywistość.

A.F. Losev zdefiniował symbol jako „istotną tożsamość idei i rzeczy”. Każdy symbol zawiera obraz, ale nie jest do niego sprowadzony, ponieważ zakłada obecność pewnego znaczenia, nierozerwalnie połączonego z obrazem, ale nie identycznego z nim. Obraz i znaczenie tworzą dwa elementy symbolu, niepojęte bez siebie. Dlatego symbole istnieją jako symbole (a nie jako rzeczy) tylko w ramach interpretacji.

W XX wieku neokantowski Cassirer uogólnił pojęcie symbolu i odniósł się do „form symbolicznych” szerokiej klasy zjawisk kulturowych, takich jak język, mit, religia, sztuka i nauka, poprzez które człowiek organizuje chaos wokół jego. Wcześniej nawet Kant przekonywał, że sztuka jako intuicyjny sposób przedstawiania ma charakter symboliczny.

Zainteresowany, co dokładnie oznacza pentagram wpisany w krąg promieni słonecznych

Wujek Nikita

Po przeczytaniu odpowiedzi innych od razu widać, że ludzie natychmiast widzą symbol Diabła w pentagramie))) Ludzie nie chcą wiedzieć, ich strach przed Szatanem zastępuje ich wiedzę.
Pentagram, a także w kole - starożytny znak ochronny. A właściwy pentagram stoi na dwóch końcach. Jak widzę na zdjęciu, na zdjęciu nie ma odwróconego pentagramu. Po prostu stylizowali prosty pentagram w okrąg, coś w rodzaju promieni, macek, płomieni (?)
Teoretycznie jest to nie tylko znak ochronny, ale także symbol zwycięstwa duchowego nad materialnym. To są cztery pierwiastki alchemiczne plus eter.

A odwrócony pentagram po prostu symbolizuje coś przeciwnego - zwycięstwo materiału nad duchowym. Ogólnie rzecz biorąc, nie należy mylić satanizmu z kultem diabła. To są dwie różne rzeczy i ludzie lubią wszystko chować pod jednym pędzlem, bo nie mają wiedzy, ale są lęki, domysły, domysły i fantazje.

Samotna wrona

Najsłynniejszy mag XX wieku, Aleister Crowley, zinterpretował odwrócony pentagram jako ducha przedstawionego w postaci promieni słonecznych, który ożywia materię-Ziemię. Inni ezoterycy twierdzą, że odwrócony pentagram przelewa energię z nieba na ziemię i dlatego jest symbolem tendencji materialistycznych, podczas gdy regularny pentagram kieruje energię w górę, będąc symbolem duchowych poszukiwań ludzkości.

Och, masoni mają tak wiele różnych symboli...
Najprawdopodobniej jest to coś kabalistycznego.
A dlaczego interesują Cię satanistyczne symbole? ! Wyrzuć to z głowy - i to wszystko, jak mówią.

Przede wszystkim w równ. W praktyce należy posługiwać się średnią arytmetyczną, którą można obliczyć jako prostą i ważoną średnią arytmetyczną.

Średnia arytmetyczna (CA)-n najczęstszy rodzaj medium. Stosuje się go w przypadkach, gdy wielkość atrybutu zmiennej dla całej populacji jest sumą wartości atrybutów jego poszczególnych jednostek. Zjawiska społeczne charakteryzują się addytywnością (sumowaniem) wolumenów zmiennego atrybutu, co określa zakres SA i wyjaśnia jego występowanie jako wskaźnika generalizującego, na przykład: ogólny fundusz wynagrodzeń to suma wynagrodzeń wszystkich pracowników.

Aby obliczyć SA, musisz podzielić sumę wszystkich wartości cech przez ich liczbę. SA jest używany w 2 formach.

Rozważmy najpierw prostą średnią arytmetyczną.

1-CA prosty (forma początkowa, definiująca) jest równa prostej sumie poszczególnych wartości uśrednionej cechy, podzielonej przez całkowitą liczbę tych wartości (stosowane, gdy istnieją niezgrupowane wartości indeksu cechy):

Wykonane obliczenia można podsumować następującym wzorem:

(1)

gdzie - średnia wartość atrybutu zmiennej, czyli prosta średnia arytmetyczna;

oznacza sumowanie, czyli dodawanie poszczególnych cech;

x- indywidualne wartości atrybutu zmiennej, które nazywamy wariantami;

n - liczba jednostek ludności

Przykład 1, należy obliczyć średnią wydajność jednego robotnika (ślusarza), jeśli wiadomo, ile części wyprodukował każdy z 15 robotników, tj. biorąc pod uwagę liczbę ind. wartości cech, szt.: 21; 20; 20; 19; 21; 19; osiemnaście; 22; 19; 20; 21; 20; osiemnaście; 19; 20.

SA proste oblicza się według wzoru (1), szt.:

Przykład 2. Obliczmy SA na podstawie danych warunkowych dla 20 sklepów wchodzących w skład spółki handlowej (tabela 1). Tabela 1

Podział sklepów firmy handlowej "Vesna" według powierzchni handlowej, m.in. M

numer sklepu		numer sklepu

Aby obliczyć średnią powierzchnię sklepu ( ) należy zsumować powierzchnie wszystkich sklepów i wynik podzielić przez liczbę sklepów:

Tym samym średnia powierzchnia sklepu dla tej grupy przedsiębiorstw handlowych wynosi 71 mkw.

Dlatego, aby ustalenie SA było proste, konieczne jest podzielenie sumy wszystkich wartości danego atrybutu przez liczbę jednostek, które mają ten atrybut.

gdzie f 1 , f 2 , … ,f n – waga (częstotliwość powtarzania tych samych cech);

jest sumą iloczynów wielkości cech i ich częstotliwości;

to całkowita liczba jednostek populacji.

- SA ważone - Zśrodek opcji, które powtarzają się różną liczbę razy lub mają różne wagi. Wagi to liczba jednostek w różne grupy agregaty (te same opcje są łączone w grupę). SA ważone – średnia zgrupowanych wartości x 1 , x 2 , .., x n – obliczony:

(2)

Gdzie X- opcje;

f- częstotliwość (waga).

Ważony SA jest ilorazem sumy iloczynów wariantów i odpowiadających im częstotliwości przez sumę wszystkich częstotliwości. Częstotliwości ( f) występujące w formule SA są zwykle nazywane waga, w wyniku czego SA obliczone z uwzględnieniem wag nazywamy SA ważonym.

Technikę obliczania ważonego SA zilustrujemy na przykładzie rozważanego powyżej przykładu 1. W tym celu grupujemy dane początkowe i umieszczamy je w tabeli.

Średnia zgrupowanych danych jest określana w następujący sposób: najpierw warianty są mnożone przez częstotliwości, następnie dodawane są iloczyny i otrzymana suma jest dzielona przez sumę częstotliwości.

Zgodnie ze wzorem (2) ważone SA to szt.:

Podział pracowników do opracowania części

dane podane w poprzednim przykładzie 2 można łączyć w jednorodne grupy, które przedstawiono w tabeli. Stół

Dystrybucja sklepów Vesna wg powierzchni handlowej, mkw. m

Tak więc wynik jest taki sam. Będzie to jednak już arytmetyczna średnia ważona.

W poprzednim przykładzie obliczyliśmy średnią arytmetyczną, pod warunkiem, że znane są częstotliwości bezwzględne (liczba sklepów). Jednak w niektórych przypadkach nie ma częstotliwości bezwzględnych, ale znane są częstotliwości względne lub, jak się je powszechnie nazywa, częstotliwości, które pokazują proporcję lub odsetek częstości w całej populacji.

Przy obliczaniu wykorzystania ważonego SA częstotliwości pozwala uprościć obliczenia, gdy częstotliwość jest wyrażona w dużych, wielocyfrowych liczbach. Obliczenia wykonuje się w ten sam sposób, jednak ponieważ średnia wartość jest zwiększana 100 razy, wynik należy podzielić przez 100.

Wtedy wzór na arytmetyczną średnią ważoną będzie wyglądał następująco:

gdzie d- częstotliwość, tj. udział każdej częstotliwości w całkowitej sumie wszystkich częstotliwości.

(3)

W naszym przykładzie 2 najpierw określamy udział sklepów według grup w całkowitej liczbie sklepów firmy „Wiosna”. Tak więc dla pierwszej grupy ciężar właściwy odpowiada 10%
. Otrzymujemy następujące dane Tabela 3