Kalkulator rozwiązuje całki z opisem działań SZCZEGÓŁOWYM w języku rosyjskim i za darmo!

Rozwiązywanie całek nieoznaczonych

Jest to usługa internetowa w jeden krok:

Rozwiązywanie całek oznaczonych

Jest to usługa internetowa w jeden krok:

Wprowadź wyrażenie całkowe (funkcja całkowa)
Wprowadź dolną granicę całki
Wprowadź górną granicę całki

Rozwiązywanie całek podwójnych

Wprowadź wyrażenie całkowe (funkcja całkowa)

Rozwiązywanie całek niewłaściwych

Wprowadź wyrażenie całkowe (funkcja całkowa)
Wprowadź górny obszar integracji (lub + nieskończoność)
Wprowadź dolny obszar integracji (lub - nieskończoność)

Rozwiązywanie całek potrójnych

Wprowadź wyrażenie całkowe (funkcja całkowa)
Wprowadź dolną i górną granicę dla pierwszego obszaru integracji
Wprowadź dolną i górną granicę dla drugiego obszaru integracji
Wprowadź dolną i górną granicę trzeciego obszaru całkowania

Dzięki tej usłudze możesz sprawdzić swoje obliczenia za poprawność

Możliwości

Obsługuje wszystkie możliwe funkcje matematyczne: sinus, cosinus, wykładnik, tangens, cotangens, pierwiastki kwadratowe i sześcienne, potęgi, wykładniki i inne.
Istnieją przykłady wprowadzania, zarówno dla całek nieoznaczonych, jak i dla niewłaściwych i określonych.
Poprawia błędy we wprowadzanych wyrażeniach i oferuje własne opcje wprowadzania danych.
Rozwiązanie numeryczne całek oznaczonych i niewłaściwych (w tym całki podwójnej i potrójnej).
Wsparcie Liczby zespolone, a także różne parametry (w całce możesz określić nie tylko zmienną całkującą, ale także inne zmienne parametryczne)

Całki złożone

Artykuł ten kończy temat całek nieoznaczonych i obejmuje całki, które uważam za dość złożone. Lekcja powstała na wielokrotne prośby odwiedzających, którzy wyrazili chęć przeanalizowania na stronie trudniejszych przykładów.

Zakłada się, że czytelnik tego tekstu jest dobrze przygotowany i wie, jak zastosować podstawowe techniki integracyjne. Manekiny i osoby, które nie są zbyt pewne w całkach, powinny zapoznać się z pierwszą lekcją - Całka nieoznaczona. Przykłady rozwiązań, gdzie można opanować temat niemal od zera. Bardziej doświadczeni studenci mogą zapoznać się z technikami i metodami integracji, z którymi nie spotkałem się jeszcze w moich artykułach.

Jakie całki zostaną uwzględnione?

Najpierw rozważymy całki z pierwiastkami, do rozwiązania których sukcesywnie używamy wymiana zmienna I całkowanie przez części. Oznacza to, że w jednym przykładzie połączono dwie techniki na raz. I nawet więcej.

Wtedy poznamy ciekawe i oryginalne metoda redukcji całki do samej siebie. Sporo całek rozwiązuje się w ten sposób.

Trzecim wydaniem programu będą całki ułamków zespolonych, które przelatywały obok kas w poprzednich artykułach.

Po czwarte, zostaną przeanalizowane dodatkowe całki z funkcji trygonometrycznych. W szczególności istnieją metody, które pozwalają uniknąć czasochłonnego uniwersalnego podstawienia trygonometrycznego.

(2) W funkcji całkowej dzielimy licznik przez mianownik, wyraz po wyrazie.

(3) Korzystamy z własności liniowości Nie określona całka. W ostatniej całce od razu umieść funkcję pod znakiem różniczkowym.

(4) Bierzemy pozostałe całki. Należy pamiętać, że w logarytmie można używać nawiasów zamiast modułu, ponieważ .

(5) Wykonujemy zamianę odwrotną, wyrażając „te” z zamiany bezpośredniej:

Studenci masochistyczni mogą rozróżnić odpowiedź i otrzymać oryginalną całkę, tak jak właśnie to zrobiłem. Nie, nie, sprawdziłem we właściwym sensie =)

Jak widać, podczas rozwiązania musieliśmy zastosować nawet więcej niż dwie metody rozwiązywania, dlatego aby poradzić sobie z takimi całkami potrzebne są pewne umiejętności integracji i spore doświadczenie.

W praktyce oczywiście pierwiastek kwadratowy jest bardziej powszechny, oto trzy przykłady niezależna decyzja:

Przykład 2

Znajdź całkę nieoznaczoną

Przykład 3

Znajdź całkę nieoznaczoną

Przykład 4

Znajdź całkę nieoznaczoną

Te przykłady są tego samego typu, więc pełne rozwiązanie na końcu artykułu będzie dotyczyć tylko Przykładu 2; Przykłady 3-4 mają te same odpowiedzi. Jakiego zamiennika użyć na początku decyzji, myślę, że jest oczywiste. Dlaczego wybrałem przykłady tego samego typu? Często spotykane w swojej roli. Być może częściej, po prostu coś takiego .

Ale nie zawsze, gdy pod arcustangensem, sinusem, cosinusem, wykładnikiem i innymi funkcjami znajduje się pierwiastek funkcja liniowa, musisz użyć kilku metod na raz. W wielu przypadkach można „łatwo wysiąść”, to znaczy natychmiast po wymianie uzyskuje się prostą całkę, którą można łatwo przyjąć. Najłatwiejszym z zaproponowanych powyżej zadań jest Przykład 4, w którym po zamianie otrzymuje się stosunkowo prostą całkę.

Redukując całkę do siebie

Dowcipna i piękna metoda. Przyjrzyjmy się klasyce gatunku:

Przykład 5

Znajdź całkę nieoznaczoną

Pod pierwiastkiem znajduje się dwumian kwadratowy, a próba zintegrowania tego przykładu może przyprawić czajniczek o ból głowy na wiele godzin. Całkę taką rozbiera się na części i sprowadza do siebie. W zasadzie nie jest to trudne. Jeśli wiesz jak.

Oznaczmy rozważaną całkę literą łacińską i rozpocznijmy rozwiązanie:

Całkujmy przez części:

(1) Przygotuj funkcję całkową do podziału wyraz po członie.

(2) Dzielimy funkcję całkową wyraz po wyrazie. Może nie dla wszystkich jest to jasne, ale opiszę to bardziej szczegółowo:

(3) Korzystamy z własności liniowości całki nieoznaczonej.

(4) Weź ostatnią całkę („długi” logarytm).

Spójrzmy teraz na sam początek rozwiązania:

I na koniec:

Co się stało? W wyniku naszych manipulacji całka została zredukowana do samej siebie!

Przyrównajmy początek i koniec:

Przejdź na lewą stronę ze zmianą znaku:

I przesuwamy oba na prawą stronę. W rezultacie:

Stała, ściśle rzecz biorąc, powinna była zostać dodana wcześniej, ale dodałem ją na końcu. Gorąco polecam przeczytać, jaki jest rygor tutaj:

Notatka: Ściślej, końcowy etap rozwiązania wygląda następująco:

Zatem:

Stała może zostać ponownie wyznaczona przez . Dlaczego można go przeznaczyć? Bo nadal to akceptuje każdy wartości i w tym sensie nie ma różnicy między stałymi i.
W rezultacie:

Podobna sztuczka ze stałą renotacją jest szeroko stosowana w równania różniczkowe. I tam będę rygorystyczny. I tutaj dopuszczam taką dowolność tylko po to, żeby nie wprowadzać Was w niepotrzebne rzeczy i skupić uwagę właśnie na samym sposobie integracji.

Przykład 6

Znajdź całkę nieoznaczoną

Kolejna typowa całka dla rozwiązania niezależnego. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji. Odpowiedź z poprzedniego przykładu będzie się różnić!

Jeśli pod pierwiastek kwadratowy usytuowany trójmian kwadratowy, to rozwiązanie i tak sprowadza się do dwóch analizowanych przykładów.

Rozważmy na przykład całkę . Wszystko, co musisz zrobić, to najpierw wybierz cały kwadrat:
.
Następnie przeprowadzana jest zamiana liniowa, która odbywa się „bez żadnych konsekwencji”:
, co daje całkę . Coś znajomego, prawda?

Lub ten przykład z dwumianem kwadratowym:
Wybierz cały kwadrat:
A po podstawieniu liniowym otrzymujemy całkę, którą również rozwiązujemy za pomocą omówionego już algorytmu.

Przyjrzyjmy się dwóm bardziej typowym przykładom redukcji całki do samej siebie:
– całka wykładnicza pomnożona przez sinus;
– całka wykładnicza pomnożona przez cosinus.

W wymienionych całkach po częściach będziesz musiał całkować dwukrotnie:

Przykład 7

Znajdź całkę nieoznaczoną

Całka to wykładniczy pomnożony przez sinus.

Całkujemy przez części dwukrotnie i redukujemy całkę do samej siebie:

W wyniku podwójnego całkowania przez części całka została zredukowana do siebie. Przyrównujemy początek i koniec rozwiązania:

Przesuwamy go na lewą stronę zmieniając znak i wyrażamy naszą całkę:

Gotowy. Jednocześnie wskazane jest czesanie prawej strony, tj. usuń wykładnik z nawiasów i umieść sinus i cosinus w nawiasach w „pięknej” kolejności.

Wróćmy teraz do początku przykładu, a dokładniej do całkowania przez części:

Oznaczyliśmy wykładnik jako. Powstaje pytanie: czy to wykładnik należy zawsze oznaczać przez ? Niekoniecznie. W rzeczywistości w rozważanej całce zasadniczo nie ma znaczenia, co mamy na myśli mówiąc , mogliśmy pójść inną drogą:

Dlaczego jest to możliwe? Ponieważ wykładniczy zamienia się w siebie (zarówno podczas różniczkowania, jak i całkowania), sinus i cosinus wzajemnie zamieniają się w siebie (znowu zarówno podczas różniczkowania, jak i całkowania).

Oznacza to, że możemy również oznaczyć funkcję trygonometryczną. Ale w rozważanym przykładzie jest to mniej racjonalne, ponieważ pojawią się ułamki. Jeśli chcesz, możesz spróbować rozwiązać ten przykład drugą metodą; odpowiedzi muszą się zgadzać.

Przykład 8

Znajdź całkę nieoznaczoną

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Zanim podejmiesz decyzję, zastanów się, co w tym przypadku korzystniej jest oznaczyć jako , funkcję wykładniczą czy trygonometryczną? Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

I oczywiście nie zapominaj, że większość odpowiedzi w tej lekcji można dość łatwo sprawdzić poprzez różniczkowanie!

Rozważane przykłady nie były najbardziej złożone. W praktyce całki występują częściej, gdy stała występuje zarówno w wykładniku, jak i w argumencie funkcji trygonometrycznej, na przykład: . Wiele osób będzie zdezorientowanych taką całką i ja często się mylę. Faktem jest, że prawdopodobieństwo pojawienia się ułamków w roztworze jest duże, a przez nieostrożność bardzo łatwo coś stracić. Ponadto istnieje duże prawdopodobieństwo błędu w znakach, należy pamiętać, że wykładnik ma znak minus, co powoduje dodatkową trudność.

Na ostatnim etapie wynik jest często podobny do tego:

Nawet pod koniec rozwiązania powinieneś zachować szczególną ostrożność i poprawnie zrozumieć ułamki:

Całkowanie ułamków złożonych

Powoli zbliżamy się do równika lekcji i zaczynamy rozważać całki ułamków. Powtórzę: nie wszystkie są super skomplikowane, po prostu z tego czy innego powodu przykłady w innych artykułach były trochę „nie na temat”.

Kontynuując temat korzeni

Przykład 9

Znajdź całkę nieoznaczoną

W mianowniku pod pierwiastkiem znajduje się trójmian kwadratowy plus „dodatek” w postaci „X” na zewnątrz pierwiastka. Całkę tego typu można rozwiązać za pomocą podstawienia standardowego.

My decydujemy:

Zamiana tutaj jest prosta:

Spójrzmy na życie po wymianie:

(1) Po podstawieniu sprowadzamy wyrazy pod pierwiastkiem do wspólnego mianownika.
(2) Wyciągamy go spod korzenia.
(3) Licznik i mianownik zmniejsza się o . Jednocześnie w katalogu głównym uporządkowałem terminy w dogodnej kolejności. Przy pewnym doświadczeniu kroki (1), (2) można pominąć, wykonując ustnie skomentowane czynności.
(4) Wynikowa całka, jak pamiętacie z lekcji Całkowanie niektórych ułamków, jest rozstrzygane metoda pełnej ekstrakcji kwadratowej. Wybierz cały kwadrat.
(5) Całkując otrzymujemy zwykły „długi” logarytm.
(6) Wykonujemy odwrotną wymianę. Jeśli początkowo , to z powrotem: .
(7) Ostateczne działanie ma na celu wyprostowanie wyniku: pod korzeniem ponownie sprowadzamy terminy do wspólnego mianownika i usuwamy je spod korzenia.

Przykład 10

Znajdź całkę nieoznaczoną

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Tutaj do pojedynczego „X” dodawana jest stała, a zamiana jest prawie taka sama:

Jedyne, co musisz zrobić dodatkowo, to wyrazić „x” z przeprowadzanej wymiany:

Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Czasami w takiej całce pod pierwiastkiem może znajdować się dwumian kwadratowy, nie zmienia to sposobu rozwiązania, będzie jeszcze prościej. Poczuj różnicę:

Przykład 11

Znajdź całkę nieoznaczoną

Przykład 12

Znajdź całkę nieoznaczoną

Krótkie rozwiązania i odpowiedzi na końcu lekcji. Należy zauważyć, że przykład 11 jest dokładnie taki Całka dwumianowa, którego sposób rozwiązania został omówiony na zajęciach Całki funkcji niewymiernych.

Całka nierozkładalnego wielomianu drugiego stopnia do potęgi

(wielomian w mianowniku)

Rzadsze, ale jednak znalezione w praktyczne przykłady rodzaj całki.

Przykład 13

Znajdź całkę nieoznaczoną

Wróćmy jednak do przykładu ze szczęśliwą liczbą 13 (szczerze mówiąc, nie zgadłem). Ta całka jest również jedną z tych, które mogą być dość frustrujące, jeśli nie wiesz, jak rozwiązać.

Rozwiązanie zaczyna się od sztucznej transformacji:

Myślę, że wszyscy już rozumieją, jak podzielić licznik przez mianownik.

Powstałą całkę dzieli się na części:

Dla całki postaci ( – Liczba naturalna) wycofane nawracający formuła redukcyjna:
, Gdzie – całka stopnia niższego.

Sprawdźmy słuszność tego wzoru dla rozwiązanej całki.
W tym przypadku: , , korzystamy ze wzoru:

Jak widać odpowiedzi są takie same.

Przykład 14

Znajdź całkę nieoznaczoną

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. W przykładowym roztworze dwukrotnie z rzędu zastosowano powyższy wzór.

Jeśli poniżej stopnia jest niepodzielny kwadratowy trójmian, następnie rozwiązanie sprowadza się do dwumianu poprzez wyodrębnienie idealnego kwadratu, na przykład:

A co jeśli w liczniku znajduje się dodatkowy wielomian? W tym przypadku stosuje się tę metodę niepewne współczynniki, a całkę rozkłada się na sumę ułamków. Ale w mojej praktyce jest taki przykład nigdy nie spotkany, więc pominąłem ten przypadek w artykule Całki funkcji ułamkowo-wymiernych, pominę to teraz. Jeśli nadal spotykasz taką całkę, spójrz do podręcznika - tam wszystko jest proste. Nie sądzę, że wskazane jest uwzględnianie materiału (nawet prostego), prawdopodobieństwo spotkania, które dąży do zera.

Całkowanie złożonych funkcji trygonometrycznych

Przymiotnik „złożony” w większości przykładów jest w dużej mierze warunkowy. Zacznijmy od stycznych i cotangensów wysokie stopnie. Z punktu widzenia stosowanych metod rozwiązywania tangens i cotangens to prawie to samo, więc omówię więcej o stycznej, co oznacza, że zademonstrowana metoda rozwiązywania całki obowiązuje również w przypadku cotangensu.

W powyższej lekcji przyjrzeliśmy się uniwersalne podstawienie trygonometryczne rozwiązać pewien typ całek funkcje trygonometryczne. Wadą uniwersalnego podstawienia trygonometrycznego jest to, że jego użycie często skutkuje uciążliwymi całekami i trudnymi obliczeniami. W niektórych przypadkach można uniknąć uniwersalnego podstawienia trygonometrycznego!

Przyjrzyjmy się jeszcze jednemu przykład kanoniczny, całka jedności podzielona przez sinus:

Przykład 17

Znajdź całkę nieoznaczoną

Tutaj możesz zastosować uniwersalne podstawienie trygonometryczne i uzyskać odpowiedź, ale istnieje bardziej racjonalny sposób. Dostarczę kompletne rozwiązanie z komentarzami do każdego kroku:

(1) Używamy wzoru trygonometrycznego na sinus podwójnego kąta.
(2) Wykonujemy sztuczna transformacja: W mianowniku dziel i mnóż przez.
(3) Korzystając ze znanego wzoru w mianowniku, przekształcamy ułamek na styczną.
(4) Podnosimy funkcję pod znak różniczkowy.
(5) Weź całkę.

Para proste przykłady dla rozwiązania niezależnego:

Przykład 18

Znajdź całkę nieoznaczoną

Uwaga: Pierwszym krokiem powinno być skorzystanie ze wzoru redukcyjnego i ostrożnie wykonaj czynności podobne do poprzedniego przykładu.

Przykład 19

Znajdź całkę nieoznaczoną

Cóż, to bardzo prosty przykład.

Kompletne rozwiązania i odpowiedzi znajdują się na końcu lekcji.

Myślę, że teraz nikt nie będzie miał problemów z całkami:
i tak dalej.

Jaka jest idea metody? Pomysł jest taki, że używając przekształceń, wzory trygonometryczne w całce organizuj tylko styczne i pochodną tangensa. Oznacza to, że mówimy o wymianie: . W przykładach 17-19 faktycznie użyliśmy tego zastąpienia, ale całki były tak proste, że poradziliśmy sobie z równoważnym działaniem - podciągając funkcję pod znak różniczkowy.

Podobne rozumowanie, jak już wspomniałem, można przeprowadzić dla kotangensu.

Istnieje także przesłanka formalna zastosowania powyższego zastąpienia:

Suma potęg cosinusa i sinusa jest ujemną liczbą całkowitą Liczba parzysta , Na przykład:

dla całki – liczba całkowita ujemna PARZYSTA.

! Notatka : jeśli podcałka zawiera TYLKO sinus lub TYLKO cosinus, to całkę również przyjmuje się dla ujemnego stopnia nieparzystego (najprostsze przypadki są w Przykładach nr 17, 18).

Przyjrzyjmy się kilku bardziej znaczącym zadaniom opartym na tej regule:

Przykład 20

Znajdź całkę nieoznaczoną

Suma potęg sinusa i cosinusa: 2 – 6 = –4 jest liczbą całkowitą ujemną PARZYSZĄ, co oznacza, że całkę można sprowadzić do stycznych i jej pochodnej:

(1) Przekształćmy mianownik.
(2) Korzystając ze znanego wzoru, otrzymujemy .
(3) Przekształćmy mianownik.
(4) Używamy wzoru .
(5) Podnosimy funkcję pod znak różniczkowy.
(6) Wykonujemy wymianę. Bardziej doświadczeni uczniowie mogą nie dokonywać zamiany, ale nadal lepiej jest zastąpić styczną jedną literą – ryzyko pomyłki jest mniejsze.

Przykład 21

Znajdź całkę nieoznaczoną

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie.

Trzymaj się, rundy mistrzostw zaraz się rozpoczną =)

Często podcałka zawiera „mieszankę”:

Przykład 22

Znajdź całkę nieoznaczoną

Całka ta początkowo zawiera styczną, co od razu prowadzi do znanej już myśli:

Sztuczną transformację pozostawię na samym początku i pozostałe kroki bez komentarza, gdyż wszystko zostało już omówione powyżej.

Para twórcze przykłady dla rozwiązania niezależnego:

Przykład 23

Znajdź całkę nieoznaczoną

Przykład 24

Znajdź całkę nieoznaczoną

Tak, w nich oczywiście można obniżyć potęgi sinusa i cosinusa i zastosować uniwersalne podstawienie trygonometryczne, ale rozwiązanie będzie znacznie wydajniejsze i krótsze, jeśli zostanie przeprowadzone poprzez styczne. Pełne rozwiązanie i odpowiedzi na końcu lekcji

Znalezienie całki nieoznaczonej (zbiór funkcji pierwotnych lub „pierwszych pochodnych”) oznacza rekonstrukcję funkcji ze znanej pochodnej tej funkcji. Odrestaurowany zestaw funkcji pierwotnych F(X) + Z dla funkcji F(X) uwzględnia stałą całkowania C. Według szybkości ruchu punkt materialny(pochodna) można przywrócić prawo ruchu tego punktu (pierwotna pochodna); w zależności od przyspieszenia ruchu punktu – jego prędkości i prawa ruchu. Jak widać, integracja to szerokie pole działań fizyków Sherlocka Holmesa. W ekonomii wiele pojęć jest reprezentowanych za pomocą funkcji i ich pochodnych, dlatego na przykład możliwe jest przywrócenie wielkości produktów wytworzonych w odpowiednim czasie przy użyciu wydajności pracy w określonym momencie (pochodna).

Znalezienie całki nieoznaczonej zajmuje sporo czasu duża liczba podstawowe wzory całkowe. Ale proces znalezienia tego jest znacznie trudniejszy niż samo zastosowanie tych formuł. Cała złożoność nie dotyczy całkowania, ale doprowadzenia wyrażenia całkowalnego do postaci umożliwiającej znalezienie całki nieoznaczonej za pomocą powyższych podstawowych wzorów. Oznacza to, że aby rozpocząć praktykę integracji, musisz aktywować to, czego się nauczyłeś Liceum umiejętności transformacji ekspresji.

Nauczymy się znajdować całki za pomocą własności i tablica całek nieoznaczonych z lekcji dotyczącej podstawowych pojęć z tego tematu (otwiera się w nowym oknie).

Istnieje kilka metod znajdowania całki, z których metoda zastępowania zmiennych I całkowanie metodą części- obowiązkowy zestaw dżentelmena dla każdego, kto pomyślnie zdał matematykę wyższą. Jednak bardziej przydatne i przyjemne jest rozpoczęcie nauki całkowania metodą rozwinięcia, w oparciu o dwa poniższe twierdzenia o własnościach całki nieoznaczonej, które tutaj powtarzamy dla wygody.

Twierdzenie 3. Stały współczynnik całki można odjąć od znaku całki nieoznaczonej, tj.

Twierdzenie 4. Całka nieoznaczona sumy algebraicznej skończoną liczbą funkcje jest równa sumie algebraicznej całek nieoznaczonych tych funkcji, tj.

(2)

Dodatkowo przy całkowaniu przydatna może być zasada: jeżeli wyrażenie całki zawiera czynnik stały, to wyrażenie funkcji pierwotnej mnoży się przez odwrotność współczynnika stałego, czyli

(3)

Ponieważ ta lekcja jest wprowadzeniem do rozwiązywania problemów związanych z integracją, ważne jest, aby zwrócić uwagę na dwie rzeczy, które albo już istnieją etap początkowy lub nieco później mogą Cię zaskoczyć. Zaskoczenie wynika z faktu, że całkowanie jest operacją odwrotną do różniczkowania, a całkę nieoznaczoną słusznie można nazwać „pierwotną”.

Pierwsza rzecz, która nie powinna Cię dziwić podczas integracji. W tabeli całek istnieją wzory, które nie mają odpowiedników wśród wzorów tabeli pochodnych . Są to następujące formuły:

Można jednak upewnić się, że pochodne wyrażeń po prawej stronie tych wzorów pokrywają się z odpowiednimi całkami.

Druga rzecz, która nie powinna dziwić przy integracji. Chociaż pochodna dowolnej funkcji elementarnej jest również funkcją elementarną, to Całki nieoznaczone niektórych funkcji elementarnych nie są już funkcjami elementarnymi . Przykładami takich całek mogą być następujące:

Do rozwijania technik całkowania przydadzą się umiejętności: skracania ułamków, dzielenia wielomianu w liczniku ułamka przez jednomian w mianowniku (aby otrzymać sumę całek nieoznaczonych), zamieniania pierwiastków na potęgi, mnożenia jednomianu przez wielomian, podnosząc do potęgi. Umiejętności te potrzebne są do przekształceń całki, w wyniku których powinna powstać suma całek znajdujących się w tabeli całek.

Łączne znajdowanie całek nieoznaczonych

Przykład 1. Znajdź całkę nieoznaczoną

Rozwiązanie. W mianowniku całki widzimy wielomian, w którym x jest kwadratem. Jest to prawie pewny znak, że można zastosować całkę tablicową 21 (w rezultacie arcus tangens). Z mianownika usuwamy współczynnik dwa (istnieje taka właściwość całki - współczynnik stały można wyjąć poza znak całki; wspomniano o tym powyżej jako Twierdzenie 3). Rezultat tego wszystkiego:

Teraz mianownikiem jest suma kwadratów, co oznacza, że możemy zastosować wspomnianą całkę tabelarską. Wreszcie otrzymujemy odpowiedź:

Przykład 2. Znajdź całkę nieoznaczoną

Rozwiązanie. Ponownie stosujemy Twierdzenie 3 - właściwość całki, na podstawie której ze znaku całki można wyjąć stały współczynnik:

Do funkcji całkowej stosujemy wzór 7 z tabeli całek (zmiennej do potęgi):

Redukujemy powstałe ułamki i mamy ostateczną odpowiedź:

Przykład 3. Znajdź całkę nieoznaczoną

Rozwiązanie. Stosując najpierw Twierdzenie 4, a następnie Twierdzenie 3 o właściwościach, otrzymujemy tę całkę jako sumę trzech całek:

Wszystkie trzy otrzymane całki są tabelaryczne. Korzystamy ze wzoru (7) z tabeli całek dla N = 1/2, N= 2 i N= 1/5, a następnie

łączy wszystkie trzy dowolne stałe, które zostały wprowadzone kiedy znalezienie trzech całki. Dlatego w podobnych sytuacjach należy wprowadzić tylko jedną dowolną stałą całkowania.

Przykład 4. Znajdź całkę nieoznaczoną

Rozwiązanie. Gdy mianownik całki zawiera jednomian, możemy podzielić licznik przez mianownik wyraz po wyrazie. Oryginalna całka została zamieniona na sumę dwóch całek:

Aby zastosować całkę stołową, przekształcamy pierwiastki w potęgi i oto ostateczna odpowiedź:

Kontynuujemy wspólne znajdowanie całek nieoznaczonych

Przykład 7. Znajdź całkę nieoznaczoną

Rozwiązanie. Jeśli przekształcimy całkę, podnosząc dwumian do kwadratu i dzieląc licznik przez mianownik, wówczas całka pierwotna stanie się sumą trzech całek.

Zacznijmy studiować temat ” Całka nieoznaczona”, a także szczegółowo przeanalizujemy przykłady rozwiązań najprostszych (i nie tak prostych) całek. Jak zwykle ograniczymy się do minimum teorii, która jest w licznych podręcznikach, a naszym zadaniem jest nauczyć się rozwiązywać całki.

Co musisz wiedzieć, aby skutecznie opanować materiał? Aby sobie poradzić z rachunkiem całkowym, trzeba umieć znaleźć pochodne na poziomie minimum, na poziomie średniozaawansowanym. Nie będzie to strata doświadczenia, jeśli masz na swoim koncie kilkadziesiąt, a jeszcze lepiej, setki niezależnie znalezionych instrumentów pochodnych. Przynajmniej nie należy mylić zadań mających na celu rozróżnienie najprostszych i najczęstszych funkcji.

Wydawałoby się, co mają z tym wspólnego pochodne, skoro artykuł dotyczy całek?! To jest ta rzecz. Faktem jest, że znajdowanie pochodnych i znajdowanie całek nieoznaczonych (różniczkowanie i całkowanie) to dwie wzajemnie odwrotne czynności, takie jak dodawanie/odejmowanie czy mnożenie/dzielenie. Zatem bez umiejętności i doświadczenia w znajdowaniu instrumentów pochodnych niestety nie można posunąć się do przodu.

W związku z tym będziemy potrzebować następujących informacji materiały dydaktyczne: Tabela instrumentów pochodnych I Tabela całek.

Jaka jest trudność w nauce całek nieoznaczonych? Jeśli w pochodnych obowiązuje ściśle 5 zasad różniczkowania, tabela pochodnych i dość jasny algorytm działania, to w całkach wszystko jest inne. Istnieją dziesiątki metod i technik integracji. A jeśli metoda integracji została początkowo wybrana niepoprawnie (tj. nie wiesz, jak rozwiązać), całkę można „kłuć” dosłownie przez kilka dni, jak prawdziwą łamigłówkę, próbując rozgryźć różne techniki i sztuczki. Niektórzy nawet to lubią.

Swoją drogą dość często słyszeliśmy od studentów (nie humanistycznych) opinię w stylu: „Nigdy nie interesowałem się rozwiązaniem granicy czy pochodnej, ale całki to zupełnie inna sprawa, to jest fascynujące, zawsze jest jakieś chęć „zhakowania” całki zespolonej. Zatrzymywać się. Dość czarnego humoru, przejdźmy do tych całek nieokreślonych.

Ponieważ istnieje wiele sposobów rozwiązania tego problemu, od czego w takim razie czajniczek powinien zacząć badanie całek nieoznaczonych? Naszym zdaniem w rachunku całkowym istnieją trzy filary, czyli swego rodzaju „oś”, wokół której kręci się wszystko inne. Przede wszystkim powinieneś dobrze rozumieć najprostsze całki (ten artykuł).

Następnie musisz szczegółowo przepracować lekcję. TO NAJWAŻNIEJSZA TECHNIKA! Być może nawet najważniejszy artykuł ze wszystkich artykułów na temat całek. I po trzecie, zdecydowanie powinieneś przeczytać całkowanie metodą części, ponieważ integruje szeroką klasę funkcji. Jeśli opanujesz przynajmniej te trzy lekcje, nie będziesz już mieć dwóch. Być może zostanie Ci wybaczone to, że nie wiesz Całki funkcji trygonometrycznych, całki ułamków, Całki funkcji ułamkowo-wymiernych, całki funkcji niewymiernych (pierwiastki), ale jeśli „wpadniesz w kłopoty” z metodą wymiany lub metodą integracji na części, będzie bardzo, bardzo źle.

Zacznijmy więc prosto. Spójrzmy na tabelę całek. Podobnie jak w przypadku pochodnych, zauważamy kilka zasad całkowania i tablicę całek niektórych funkcji elementarnych. Każda całka tabelaryczna (a właściwie każda całka nieoznaczona) ma postać:

Od razu zrozumiemy oznaczenia i terminy:

– ikona integralna.

– funkcja całkowa (zapisana literą „s”).

– ikona mechanizmu różnicowego. Wkrótce sprawdzimy, co to jest. Najważniejsze jest to, że podczas pisania całki i rozwiązania ważne jest, aby nie zgubić tej ikony. Będzie zauważalna wada.

– wyrażenie całkowe lub „wypełnienie” całki.

– funkcja pierwotna funkcjonować.

– . Nie ma potrzeby być mocno obciążonym terminami; najważniejszą rzeczą jest to, że w każdej całce nieoznaczonej do odpowiedzi dodaje się stałą.

Rozwiązanie całki nieoznaczonej oznacza znalezieniepęczek funkcje pierwotne z danej całki

Spójrzmy jeszcze raz na wpis:

Spójrzmy na tabelę całek.

Co się dzieje? Posiadamy lewe części przemienić się do innych funkcji: .

Uprośćmy naszą definicję:

Rozwiąż całkę nieoznaczoną - oznacza to PRZEKSZTAŁCENIE go w niezdefiniowaną (aż do stałej) funkcję , stosując pewne zasady, techniki i tabelę.

Weźmy na przykład całkę stołową . Co się stało? Notacja symboliczna ewoluowała w wiele prymitywnych funkcji.

Podobnie jak w przypadku pochodnych, aby nauczyć się znajdować całki, nie trzeba wiedzieć, czym z teoretycznego punktu widzenia jest funkcja całkowa lub pierwotna. Wystarczy po prostu przeprowadzić przekształcenia według pewnych zasad formalnych. Tak na wszelki wypadek Nie trzeba wcale rozumieć, dlaczego całka zamienia się w . Możesz przyjąć tę i inne formuły za oczywiste. Wszyscy korzystają z energii elektrycznej, ale niewiele osób zastanawia się, w jaki sposób elektrony przemieszczają się w przewodach.

Ponieważ różniczkowanie i całkowanie są operacjami przeciwstawnymi, dla każdej poprawnie znalezionej funkcji pierwotnej prawdziwe jest następujące stwierdzenie:

Innymi słowy, jeśli różniczkujesz poprawną odpowiedź, musisz otrzymać oryginalną funkcję całkową.

Wróćmy do tej samej całki tabelarycznej .

Sprawdźmy słuszność tej formuły. Bierzemy pochodną prawej strony:

jest pierwotną funkcją całkową.

Nawiasem mówiąc, stało się jaśniejsze, dlaczego stała jest zawsze przypisana do funkcji. Po zróżnicowaniu stała zawsze zwraca się do zera.

Rozwiąż całkę nieoznaczoną- to znaczy znaleźć pęczek wszyscy funkcje pierwotne, a nie tylko jedna funkcja. W rozważanym przykładzie tabelarycznym , , , itd. – wszystkie te funkcje są rozwiązaniami całki. Rozwiązań jest nieskończenie wiele, więc napiszemy to krótko:

Zatem każdą całkę nieoznaczoną można dość łatwo sprawdzić. Jest to pewna kompensacja dużej liczby całek różnych typów.

Przejdźmy do rozważenia konkretnych przykładów. Zacznijmy, podobnie jak przy badaniu pochodnej, od dwóch zasad całkowania:

– stała C można (i należy) usunąć ze znaku całki.

– całka z sumy (różnicy) dwóch funkcji jest równa sumie (różnicy) dwóch całek. Zasada ta obowiązuje przez dowolną liczbę terminów.

Jak widać zasady są w zasadzie takie same jak w przypadku instrumentów pochodnych. Czasem się tak nazywają właściwości liniowe całka.

Przykład 1

Znajdź całkę nieoznaczoną.

Wykonaj kontrolę.

Rozwiązanie: Wygodniej jest przekonwertować go w ten sposób.

(1) Zastosuj regułę . Zapominamy zapisać ikonę różnicową dx pod każdą całką. Dlaczego pod każdym? dx– to pełnoprawny mnożnik. Jeśli opiszemy to szczegółowo, pierwszy krok należy zapisać w ten sposób:

(2) Zgodnie z regułą przenosimy wszystkie stałe poza znaki całek. Należy pamiętać, że w ostatniej kadencji tg 5 to stała, również ją usuwamy.

Dodatkowo na tym etapie przygotowujemy korzenie i moce do integracji. Podobnie jak w przypadku różnicowania, pierwiastki należy przedstawić w formie . Przesuń pierwiastki i potęgi znajdujące się w mianowniku w górę.

Notatka: W przeciwieństwie do pochodnych, pierwiastki z całek nie zawsze powinny być redukowane do postaci i przesuń stopnie w górę.

Na przykład, - jest to gotowa całka stołowa, która została już obliczona przed tobą, i wszelkiego rodzaju chińskie sztuczki, takie jak całkowicie niepotrzebne. Podobnie: – to także całka tablicowa, nie ma sensu przedstawiać ułamka w postaci . Uważnie przestudiuj tabelę!

(3) Wszystkie nasze całki są tabelaryczne. Transformację przeprowadzamy za pomocą tabeli, korzystając ze wzorów: , I

Dla funkcja zasilania - .

Należy zauważyć, że całka tabelaryczna wynosi szczególny przypadek wzory na funkcję potęgową: .

Stały C wystarczy dodać raz na końcu wyrażenia

(zamiast umieszczać je po każdej całce).

(4) Otrzymany wynik zapisujemy w bardziej zwartej formie, gdy wszystkie potęgi mają postać

ponownie przedstawiamy je w postaci pierwiastków i resetujemy potęgi z ujemnym wykładnikiem z powrotem do mianownika.

Badanie. Aby dokonać sprawdzenia należy rozróżnić otrzymaną odpowiedź:

Otrzymałem oryginał całka, czyli całka została znaleziona poprawnie. To, z czego tańczyli, jest tym, do czego powrócili. Dobrze, gdy historia z całką kończy się w ten sposób.

Od czasu do czasu istnieje nieco inne podejście do sprawdzania całki nieoznaczonej, gdy nie jest to pochodna, ale różniczka jest pobierana z odpowiedzi:

W rezultacie otrzymujemy nie funkcję całkową, ale wyrażenie całkowe.

Nie bój się koncepcji mechanizmu różnicowego.

Różniczka to pochodna pomnożona przez dx.

Dla nas ważne nie są jednak niuanse teoretyczne, ale to, co dalej z tą różnicą zrobić. Różnica jest widoczna w następujący sposób: ikona D usuwamy go, umieszczamy liczbę pierwszą po prawej stronie nad nawiasem, dodajemy współczynnik na końcu wyrażenia dx :

Otrzymany oryginał całka, czyli całka została znaleziona poprawnie.

Jak widać, różnica sprowadza się do znalezienia pochodnej. Podoba mi się drugi sposób sprawdzania mniej, ponieważ muszę dodatkowo narysować duże nawiasy i przeciągnąć ikonę różnicową dx do końca kontroli. Chociaż jest to bardziej poprawne, „bardziej szanowane” czy coś.

Tak naprawdę o drugiej metodzie weryfikacji można było przemilczeć. Nie chodzi o metodę, ale o to, że nauczyliśmy się otwierać mechanizm różnicowy. Ponownie.

Różnica objawia się w następujący sposób:

1) ikona D usunąć;

2) po prawej stronie nad nawiasem stawiamy kreskę (oznaczenie pochodnej);

3) na końcu wyrażenia podajemy współczynnik dx .

Na przykład:

Pamiętaj to. Ta technika będzie nam potrzebna już wkrótce.

Przykład 2

Kiedy znajdujemy całkę nieoznaczoną, ZAWSZE staramy się to sprawdzić Co więcej, istnieje ku temu świetna okazja. Nie wszystkie rodzaje problemów w matematyce wyższej są darem z tego punktu widzenia. To nie ma znaczenia, że często zadania testowe nie jest wymagana żadna weryfikacja, nikt jej nie sprawdza i nic nie stoi na przeszkodzie, aby przeprowadzić ją na projekcie. Wyjątek można zrobić tylko wtedy, gdy nie ma wystarczającej ilości czasu (na przykład podczas testu lub egzaminu). Osobiście zawsze sprawdzam całki, a brak sprawdzania traktuję jako hackerską robotę i źle wykonane zadanie.

Przykład 3

Znajdź całkę nieoznaczoną:

. Wykonaj kontrolę.

Rozwiązanie: Analizując całkę widzimy, że pod całką mamy iloczyn dwóch funkcji, a nawet potęgowanie całego wyrażenia. Niestety na polu bitwy integralnej NIE dobre i wygodne wzory na całkowanie iloczynu i ilorazu Jak: Lub .

Dlatego też, gdy podany jest iloczyn lub iloraz, zawsze warto sprawdzić, czy możliwe jest przekształcenie całki w sumę? Rozważany przykład dotyczy przypadku, gdy jest to możliwe.

Najpierw przedstawimy kompletne rozwiązanie, komentarze będą poniżej.

Otrzymałem oryginał całka, co oznacza, że całka została znaleziona poprawnie.

Podczas testowania zawsze wskazane jest „spakowanie” funkcji do pierwotnej postaci, w tym przypadku wyjęcie jej z nawiasów i zastosowanie skróconego wzoru na mnożenie w odwrotny kierunek: .

Przykład 4

Znajdź całkę nieoznaczoną

Wykonaj kontrolę.

To jest przykład, który możesz sam rozwiązać. Odpowiedź i pełne rozwiązanie znajdują się na końcu lekcji.

Przykład 5

Znajdź całkę nieoznaczoną

. Wykonaj kontrolę.

W w tym przykładzie całka jest ułamkiem. Kiedy widzimy ułamek w całce, pierwszą myślą powinno być pytanie: „Czy można w jakiś sposób pozbyć się tego ułamka lub przynajmniej go uprościć?”

Zauważamy, że w mianowniku znajduje się pojedynczy pierwiastek z „X”. Człowiek w polu nie jest wojownikiem, co oznacza, że licznik po mianowniku możemy podzielić przez mianownik:

Nie komentujemy działań z potęgami ułamkowymi, gdyż były one wielokrotnie omawiane w artykułach o pochodnej funkcji.

Jeśli nadal zastanawia Cię taki przykład jak

i w żadnym wypadku nie pojawia się prawidłowa odpowiedź,

Należy również pamiętać, że w rozwiązaniu brakuje jednego kroku, a mianowicie zastosowania reguł , . Zwykle, mając pewne doświadczenie w rozwiązywaniu całek, zasady te są uważane za oczywisty fakt i nie są szczegółowo opisywane.

Przykład 6

Znajdź całkę nieoznaczoną. Wykonaj kontrolę.

To jest przykład, który możesz sam rozwiązać. Odpowiedź i pełne rozwiązanie znajdują się na końcu lekcji.

Ogólnie rzecz biorąc, sprawy nie są takie proste w przypadku ułamków w całkach, dodatkowy materiał na temat całkowania ułamków niektórych typów można znaleźć w artykule: Całkowanie niektórych ułamków. Ale zanim przejdziesz do powyższego artykułu, musisz zapoznać się z lekcją: Metoda podstawieniowa w całce nieoznaczonej. Chodzi o to, że podciągnięcie funkcji pod metodę różnicową lub metodę zastępowania zmiennych kluczowy punkt w badaniu tego tematu, ponieważ występuje on nie tylko „w czystych zadaniach metody zastępowania”, ale także w wielu innych typach całek.

Rozwiązania i odpowiedzi:

Przykład 2: Rozwiązanie:

Przykład 4: Rozwiązanie:

W tym przykładzie użyliśmy skróconego wzoru na mnożenie

Przykład 6: Rozwiązanie:

Nazywa się funkcję F(x) różniczkowalną w zadanym przedziale X funkcja pierwotna funkcji f(x) lub całka z f(x), jeśli dla każdego x ∈X zachodzi równość:

F " (x) = f(x). (8.1)

Znajdowanie wszystkich funkcji pierwotnych dla danej funkcji nazywa się jej integracja. Funkcja całki nieoznaczonej f(x) na danym przedziale X jest zbiorem wszystkich funkcji pierwotnych dla funkcji f(x); Przeznaczenie -

Jeżeli F(x) jest jakąś funkcją pierwotną funkcji f(x), to ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

gdzie C jest dowolną stałą.

Tabela całek

Bezpośrednio z definicji otrzymujemy główne własności całki nieoznaczonej oraz listę całek tabelarycznych:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=stała)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

Lista całek tabelarycznych

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (m ≠ -1)

3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = mi x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = arctan x + C

8. = arcsin x + C

10. = - ctg x + C

Zmienna wymiana

Aby zintegrować wiele funkcji, użyj metody zastępowania zmiennych lub substytucje, co pozwala na redukcję całek do postaci tabelarycznej.

Jeżeli funkcja f(z) jest ciągła na [α,β], to funkcja z =g(x) ma ciągłą pochodną i α ≤ g(x) ≤ β, to

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

Ponadto po całkowaniu po prawej stronie należy dokonać podstawienia z=g(x).

Aby to udowodnić, wystarczy zapisać całkę pierwotną w postaci:

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

Na przykład:

Metoda całkowania przez części

Niech u = f(x) i v = g(x) będą funkcjami ciągłymi . Następnie, zgodnie z pracą,

d(uv))= udv + vdu lub udv = d(uv) - vdu.

Dla wyrażenia d(uv) funkcją pierwotną będzie oczywiście uv, więc wzór jest spełniony:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Ta formuła wyraża regułę całkowanie przez części. Prowadzi to do całkowania wyrażenia udv=uv"dx do całkowania wyrażenia vdu=vu"dx.

Załóżmy, że chcesz znaleźć ∫xcosx dx. Postawmy u = x, dv = cosxdx, więc du=dx, v=sinx. Następnie

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x grzech x - ∫sin x dx = x grzech x + cosx + C.

Zasada całkowania przez części ma bardziej ograniczony zakres niż podstawienie zmiennych. Ale istnieją całe klasy całek, na przykład

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax i inne, które są obliczane precyzyjnie poprzez całkowanie przez części.

Określona całka

Pojęcie całki oznaczonej wprowadza się w następujący sposób. Niech będzie zdefiniowana funkcja f(x) na przedziale. Podzielmy odcinek [a, b] na N części przez punkty a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x ja = x i - x i-1. Nazywa się sumą postaci f(ξ i)Δ x i suma całkowa, a jego granica przy λ = maxΔx i → 0, jeśli istnieje i jest skończona, nazywa się określona całka funkcje f(x) z A zanim B i jest oznaczony:

F(ξ i)Δx i (8,5).

W tym przypadku wywoływana jest funkcja f(x). całkowalne na przedziale, nazywane są liczby a i b dolna i górna granica całki.

Następujące właściwości są prawdziwe dla całki oznaczonej:

4), (k = stała, k∈R);

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

Ostatnia właściwość nazywa się twierdzenie o wartości średniej.

Niech f(x) będzie ciągłe na . Wtedy na tym odcinku jest całka nieoznaczona

∫f(x)dx = F(x) + C

i ma miejsce Wzór Newtona-Leibniza, łącząc całkę oznaczoną z całką nieoznaczoną:

F(b) - F(a). (8.6)

Interpretacja geometryczna: całka oznaczona to pole trapezu krzywoliniowego ograniczone od góry krzywą y=f(x), prostymi x = a i x = b oraz odcinkiem osi Wół.

Całki niewłaściwe

Nazywa się całki o granicach nieskończonych i całki funkcji nieciągłych (nieograniczonych). nie twoje. Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju - Są to całki po nieskończonym przedziale, zdefiniowane w następujący sposób:

Jeżeli ta granica istnieje i jest skończona, to nazywa się ją zbieżna całka niewłaściwa z f(x) na przedziale [a,+ ∞) i wywoływana jest funkcja f(x). całkowalne w nieskończonym przedziale[a,+ ∞). W przeciwnym razie mówimy, że całka jest nie istnieje lub jest rozbieżny.

Całki niewłaściwe na przedziałach (-∞,b] i (-∞, + ∞) definiuje się podobnie:

Zdefiniujmy pojęcie całki funkcji nieograniczonej. Jeśli f(x) jest ciągłe dla wszystkich wartości X odcinek , z wyjątkiem punktu c, w którym f(x) ma wówczas nieskończoną nieciągłość Całka niewłaściwa drugiego rodzaju k(x) od a do b kwota nazywa się:

jeśli te granice istnieją i są skończone. Przeznaczenie:

Przykłady obliczeń całkowych

Przykład 3.30. Oblicz ∫dx/(x+2).

Rozwiązanie. Oznaczmy t = x+2, wówczas dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

Przykład 3.31. Znajdź ∫ tgxdx.

Rozwiązanie.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Niech t=cosx, wtedy ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Przykład3.32 . Znajdź ∫dx/sinx

Rozwiązanie.

Przykład3.33. Znajdować .

Rozwiązanie. = .

Przykład3.34 . Znajdź ∫arctgxdx.

Rozwiązanie. Całkujmy przez części. Oznaczmy u=arctgx, dv=dx. Wtedy du = dx/(x 2 +1), v=x, skąd ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; ponieważ
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Przykład3.35 . Oblicz ∫lnxdx.

Rozwiązanie. Stosując wzór na całkowanie przez części, otrzymujemy:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Wtedy ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx – ∫dx + C= xlnx – x + C.

Przykład3.36 . Oblicz ∫e x sinxdx.

Rozwiązanie. Oznaczmy u = e x, dv = sinxdx, następnie du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. Całkę ∫e x cosxdx całkujemy także przez części: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Mamy:
∫ mi x cosxdx = mi x sinx - ∫ mi x sinxdx. Otrzymaliśmy relację ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, z czego 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

Przykład 3.37. Oblicz J = ∫cos(lnx)dx/x.

Rozwiązanie. Ponieważ dx/x = dlnx, to J= ∫cos(lnx)d(lnx). Zastępując lnx przez t, dochodzimy do całki stołowej J = ∫ kosztdt = sint + C = sin(lnx) + C.

Przykład 3.38 . Oblicz J = .

Rozwiązanie. Biorąc pod uwagę, że = d(lnx), podstawiamy lnx = t. Wtedy J = .