Poznaj Liść

Wynalazca Leaf wymyślił urządzenie do przesyłania liczb. Jego urządzenie przesyłało wiadomości w postaci łańcucha krótkich i długich sygnałów. W swoich notatkach Listik oznaczał krótki sygnał cyfrą „0”, a długi sygnał cyfrą „1”. Przesyłając liczby, dla każdej cyfry używał następującego kodu:

Liczba 12, składająca się z cyfr 1 i 2, została zapisana przez Leafa do transmisji w następujący sposób:

Urządzenie przekazało tę wiadomość za pomocą łańcucha sygnałów: trzech krótkich, jednego długiego, dwóch krótkich, jednego długiego i jednego krótkiego.

Liczba 77 według systemu Listik została zakodowana w następujący sposób:

Kodowanie informacji

Kodowanie to tłumaczenie informacji na formę dogodną do transmisji lub przechowywania.

Na przykład teksty są kodowane za pomocą liter i znaków interpunkcyjnych. Co więcej, to samo nagranie można zakodować na różne sposoby: po rosyjsku, po angielsku, po chińsku...

Liczby są kodowane za pomocą cyfr. Liczby, do których jesteśmy przyzwyczajeni, nazywane są arabskimi. Czasami używane są cyfry rzymskie. W takim przypadku zmienia się sposób kodowania informacji. Na przykład 12 i XII to różne sposoby zapisu tej samej liczby.

Muzykę można kodować za pomocą znaków specjalnych - nut. Znaki drogowe to zakodowane komunikaty kierowane do kierowców i pieszych za pomocą piktogramów.

Produkty w sklepie oznaczone są kodem kreskowym, który zawiera informacje o produkcie i jego producencie.

Kod kreskowy to ciąg czarno-białych pasków kodujących informację w formie wygodnej do odczytania przez urządzenia techniczne. Dodatkowo pod kodem kreskowym można umieścić kod w postaci ciągu cyfr.

Informacje są zawsze przechowywane i przesyłane w formie kodów. Nie można po prostu przechowywać informacji bez nośnika. W ten sam sposób nie można po prostu przechowywać i przekazywać informacji: zawsze ma ona jakąś formę, to znaczy jest zakodowana.

Kodowanie binarne

Kodowanie binarne to kodowanie informacji za pomocą zer i jedynek. W przypadku technologii komputerowej ta metoda prezentacji informacji okazała się bardzo wygodna.

Faktem jest, że komputery zbudowane są na elementach, które mogą znajdować się w dwóch możliwych stanach. Jeden taki stan jest oznaczony cyfrą 0, drugi cyfrą 1.

Przykładem urządzenia binarnego jest zwykła żarówka. Może znajdować się w jednym z dwóch stanów: włączony (stan 1) lub wyłączony (stan 0).

Można zbudować pamięć elektryczną na żarówkach i przechowywać w niej np. liczby za pomocą kodu binarnego Liść.

Do zapisania każdej cyfry dziesiętnej potrzebne są cztery żarówki. W ten sposób możesz zapamiętać cyfrę 6:

Ustawiliśmy przełączniki w żądanej pozycji - i poszliśmy napić się herbaty! Jeżeli zasilanie nie zostanie wyłączone, informacje zostaną zapisane.

Żarówki oczywiście nie nadają się do produkcji komputerów: są duże, szybko się przepalają, są drogie (w końcu potrzeba ich miliony) i mocno nagrzewają otoczenie.

W nowoczesnych komputerach jako element pamięci wykorzystuje się urządzenie elektroniczne - tranzystor.

Tranzystor może przepuszczać prąd przez siebie (stan 1) lub nie (stan 0).

Był czas, gdy każdy tranzystor był produkowany osobno i miał znaczne rozmiary.

Obecnie tranzystory, podobnie jak inne elementy elektroniczne, produkowane są w sposób podobny do drukowania zdjęć. Jeden mikroukład wielkości paznokcia, można „odcisnąć” kilka milionów tranzystorów.

Kod używany przez Leaflet do kodowania wiadomości jest w rzeczywistości używany do pracy z liczbami na komputerze.

W przypadku kodowania binarnego nie musisz w ogóle patrzeć na tę tabelę, ale pamiętaj o prostej zasadzie konwersji kodu binarnego na cyfrę dziesiętną.

Jednostka w kodzie znajdująca się na pierwszym miejscu po prawej stronie podaje liczbę
lo 1, na drugim - 2, na trzecim - 4, na czwartym - 8. Aby otrzymać cyfrę dziesiętną, liczby się sumuje. Na przykład kod „0101” jest tłumaczony na liczbę 5 (suma liczb 4 i 1).

Tę samą zasadę można zastosować podczas dekodowania. Na przykład liczba 6 jest zapisywana jako suma liczb 4 i 2, co oznacza, że ​​​​jej kod będzie wynosić „0110”.

Tabliczka z liczbami zapisanymi w systemie liczbowym stosowanym w starożytnym Babilonie. Około 1700 roku p.n.e Odszyfrowany w 1945 r

Systemy liczbowe

Kod Listik i kodowanie liczbowe

Poprzednia lekcja pokazała, jak zapisywać liczby za pomocą zer i jedynek. Kody liści każdą cyfrę numery cztery dwójkowy oznaki.

Zatem liczbę 102 zapisuje się kodem Listik, używając 12 znaków binarnych:

Kody liści osobno każdą z 10 cyfr i używa do tego 4 cyfr binarnych. Ale cztery znaki binarne mogą zakodować nie 10, ale 16 wartości:

Okazuje się, że 6 kodów Leaf (czyli ponad połowa z 10) poszło na marne!

Czy można kodować bardziej ekonomicznie?

Jest to możliwe, jeśli to kodujesz nie liczby(z którego pobierany jest numer) i natychmiast liczby! Tak więc liczbę 102 przy tej metodzie kodowania można zapisać nie dwunastoma, ale tylko siedmioma znakami binarnymi (zachowujemy 5 cyfr):

Takie kodowanie zostanie omówione w tej lekcji. Ale zacznijmy po kolei.

Dziesiętny system liczbowy

Jak wiadomo, liczby buduje się z cyfr, a cyfr jest tylko dziesięć, oto one:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Jak pisać duże liczby, używając tylko dziesięciu cyfr? Zobaczymy to teraz, ale najpierw zapamiętaj definicję:

Nazywa się metoda zapisywania liczb systemu liczbowego.

Słowo naukowe martwy rachunek, zgodne ze słowem „obliczenia”, oznacza już „sposób zapisywania liczb”. Ale matematycy uważali, że to wyrażenie notacja brzmi lepiej. Nieważne, my też opanujemy to dwuwyrazowe określenie! Teraz sobie z tym poradzimy systemu liczbowego, do którego jesteśmy przyzwyczajeni.

Spójrz na liczbę 253. W tym wpisie pierwsza liczba po prawej stronie (tzw mała cyfra) oznacza „trzy jednostki”, pięć oznacza „pięć dziesiątek”, a dwa ( najbardziej znacząca cyfra) - "dwieście".

Okazuje się: 253 = 2,100 + 5,10 + 3,1.

My mówimy: „dwieście pięćdziesiąt trzy”. Oznacza to liczbę uzyskaną przez dodanie:

dwieście (2·100 = dwieście),

pięć dziesiątek (5,10 = pięćdziesiąt) I

trzy jednostki (3 1 = trzy).

Widzimy, że znaczenie cyfry w zapisie liczbowym zależy od pozycje, w którym znajduje się cyfra. Pozycje liczb nazywane są inaczej cyfry liczby.

Cyfra mniejsza oznacza jednostki:

Druga cyfra od prawej oznacza dziesiątki:

Trzecia cyfra od prawej oznacza setki:

Widzimy, że udział cyfry w liczbie rośnie od prawej do lewej.

Systemy liczbowe, w których zależy udział cyfry w liczbie pozycje nazywane są liczby w rekordzie systemy liczb pozycyjnych.

Jak widzieliśmy, znany nam system liczbowy jest pozycyjny. Zauważ, że w podstawa opiera się na liczbie 10 – liczbie użytych cyfr.

Najniższa cyfra oznacza liczbę jednostek w liczbie, druga od prawej - liczbę dziesiątek (1,10). Trzeci pokazuje setki (10,10), czwarty tysiące (10,100) i tak dalej.

Liczymy w jednostkach, jednostki sumują się do dziesiątek (dziesięć jednostek zastępuje się jedną dziesiątką), dziesiątki sumują się do setek (dziesięć dziesiątek zamienia się na sto) i tak dalej.

Liczba 10 jest podstawą zwykłego systemu liczbowego i dlatego jest tak nazywana system dziesiętny lub system liczbowy według podstawa 10.

Przyjrzyj się jeszcze raz, jak wpis 2789 przekłada się na liczbę.

Liczbę uzyskuje się przez dodanie depozyty numery w nim zawarte:

Udział każdej cyfry uzyskuje się poprzez pomnożenie tej cyfry przez współczynnik zależny od pozycji, związany z podstawą systemu.

Mnożniki pozycji obliczane są według następującej reguły:

1. Mnożnik pierwszej (prawej) pozycji jest równy 1 .

2. Mnożnik każdej kolejnej pozycji otrzymujemy poprzez pomnożenie podstawy układu (liczby 10 ) przez mnożnik poprzedniej pozycji.

Nazwiemy mnożniki pozycji wagi pozycyjne, Lub skale pozycyjne.

Liczba jest równa kwocie depozytów. Udział jest równy iloczynowi liczby i wagi pozycyjnej. Waga pierwszej pozycji wynosi 1, drugiej - 10, trzeciej - 100 i tak dalej. Oznacza to, że wagę każdej pozycji (z wyjątkiem pierwszej) oblicza się z wagi poprzedniej poprzez pomnożenie przez podstawę układu. Waga pierwszej pozycji jest równa jeden.

Tak to jest: mnożyli, dodawali i nie podejrzewali! Okazuje się, że zapisujemy liczby system liczb pozycyjnych oparty na dziesięciu! Dlaczego podstawa naszego układu jest równa 10? Cóż, jest to zrozumiałe: w końcu mamy 10 palców, wygodnie jest liczyć, zginając je w kolejności.

Ale w przypadku komputera, jak już wiesz, system binarny jest bardziej znany notacja pozycyjna oparta na podstawie dwójkowej.

Binarny system liczbowy

W systemie binarnym są tylko dwie cyfry:

Jeśli w systemie dziesiętnym wagi pozycji uzyskuje się przez pomnożenie przez dziesięć, to w systemie dwójkowym uzyskuje się je przez pomnożenie przez dwa:

Okazuje się: 1011 2 = 1· 2 · 4 + 0· 2 · 2 + 1· 2 · 1 + 1· 1 .

W systemie binarnym liczy się je jako jedynki, jedynki dodaje się do dwójek (dwie jedynki zastępuje się jedną dwójką), dwójki dodaje się do czwórek (dwie dwójki zastępuje się jedną czwórką) i tak dalej.

Jeśli chcesz wyjaśnić, w jakim systemie zapisano liczbę, poniżej dodano do niej podstawę systemu:

1011 2 - liczba zapisana jest w systemie binarnym.

Przeliczenie go na system dziesiętny nie jest trudne, wystarczy wykonać operacje mnożenia i dodawania:

1011 2 = 1 2 · 4 + 0· 2 · 2 + 1· 2 · 1 + 1· 1 =

1,8 + 0,4 + 1,2 + 1,1 = 11 10 .

Konwersja z systemu binarnego na dziesiętny

W systemie binarnym wkład jednego na pierwszym miejscu po prawej stronie to liczba 1, na drugim - 2, na trzecim - 4, na czwartym - 8 i tak dalej. Udział zer jest oczywiście zerowy niezależnie od ich pozycji.

Otrzymujemy następującą regułę:

Aby dokonać konwersji z systemu binarnego na system dziesiętny, należy nad każdą cyfrą binarną zapisać wagę jej pozycji i dodać liczby zapisane nad cyframi.

10111 2 = 16 + 4 + 2 + 1 = 23 10 .

Inny przykład, liczba 100110:

100110 2 = 32 + 4 + 2 = 38 10 .

Konwersja z systemu dziesiętnego na binarny

Aby dokonać konwersji z systemu dziesiętnego na binarny, zastosujemy ten sam schemat z wagami pozycji:

Załóżmy, że musimy przekonwertować liczbę 26 na system binarny.Wybieramy początek liczby binarnej (najbardziej znacząca cyfra) zgodnie ze schematem. 32 to dużo, więc zacznijmy od 16:

Część pierwotnej liczby, czyli 16, została zakodowana, pozostaje jedynie zakodować 26 – 16 = 10. Weźmy 8 (największa możliwa waga pozycyjna):

Pozostaje tylko zakodować 10 – 8 = 2. Cztery to dużo. Piszemy do pozycji 0 i bierzemy 2:

Zakodowaliśmy całą liczbę, co oznacza, że ​​ostatnia cyfra musi wynosić zero:

Okazuje się: 26 10 = 11010 2.

Zasadę konwersji z systemu dziesiętnego na system binarny można sformułować w następujący sposób.

Aby lepiej zrozumieć ten algorytm, popracuj na stole testowym. Naciśnij przycisk Resetowanie, Wybierz numer. Następnie naciśnij przycisk Początek: Zobaczysz, jak Tester krok po kroku wykonuje algorytm konwersji binarnej.

Uwaga: w zapisie algorytmu podświetlona jest pozycja, która zostanie wykonana Po naciśnięcie przycisku Początek. Na przykład, jeśli element jest podświetlony „Powtarzaj, aż liczba spadnie do zera”, a następnie po kliknięciu Początek Testujący sprawdzi, czy aktualna liczba wynosi zero i zdecyduje, czy kontynuować powtórzenie.

(Współpracuj z Testerem na stronie aplikacji elektronicznej.)

Systemy pozycjonowania z innymi podstawami

Wasia uwielbia system dziesiętny, jego komputer uwielbia system dwójkowy, a ciekawscy matematycy uwielbiają różne systemy liczb pozycyjnych, ponieważ za podstawę można przyjąć dowolną liczbę, a nie tylko 2 lub 10.

Weźmy jako przykład potrójny system liczbowy.

Trójskładnikowy system liczbowy

Jak można się domyślić, system liczb trójskładnikowych wykorzystuje trzy cyfry:

W systemie trójskładnikowym liczy się je jako jednostki, jedynki dodaje się do trójek (trzy jedynki zastępuje się jedną trójką), trójki dodaje się do dziewiątek (trzy trójki zastępuje się jedną dziewiątką) i tak dalej.

Co ciekawe, w 1958 r. pod przewodnictwem N.P. Brusentsov na Moskiewskim Uniwersytecie Państwowym stworzył komputer „Setun”, który pracował z liczbami nie w systemie binarnym, ale w systemie liczbowym potrójnym! Pierwszy prototyp „Setuni” pokazano na zdjęciu:

Konwersja z trójkowego na dziesiętny

Oznaczmy na schemacie udziały pozycyjne cyfr w trójskładnikowym systemie liczbowym:

Aby dokonać konwersji na system dziesiętny, dodajemy liczby pomnożone przez ich wagi pozycyjne (pozycje z cyframi zerowymi można oczywiście pominąć):

10212 3 = 1 81 + 2· 9 + 1· 3 + 2· 1 = 104 10 .

W systemie binarnym zrobiliśmy to bez mnożenia (mnożenie przez 1 nie ma sensu). W systemie trójskładnikowym występuje liczba 2, dlatego odpowiadające jej wagi pozycyjne należy podwoić.

Konwersja z systemu dziesiętnego na trójskładnikowy

Załóżmy, że musimy przekonwertować liczbę 196 na system trójskładnikowy. Wybieramy początek liczby trójskładnikowej zgodnie ze schematem. 243 to dużo, co oznacza, że ​​zaczynamy od 81 i cyfry 2 (2 81< 196):

Część pierwotnej liczby, czyli 162 = 2 81, została zakodowana, pozostało zakodować 196 – 162 = 34. Weźmy 27 i liczbę 1 (liczba 2 daje 54, czyli za dużo):

Pozostaje zakodować 34 – 1,27 = 7. Pozycja o wadze 9 daje za dużo, wpisujemy w nią 0 i przyjmujemy pozycję o wadze 3 i cyfrę 2:

Pozostaje tylko zakodować 7 – 2 3 = 1. To jest dokładnie wartość pozostałej dolnej cyfry:

Okazuje się: 196 10 = 21021 3.

Systemy pozycyjne: podstawowe zasady

Sformułujmy ogólne zasady konstruowania liczb w systemach liczb pozycyjnych.

Numer zapisuje się cyfrowo, na przykład:

Aby określić wartość liczby, należy pomnożyć liczby przez wagi ich pozycji i dodać wyniki.

Pozycje są numerowane od prawej do lewej. Waga pierwszej pozycji wynosi 1.

Wagę każdej kolejnej pozycji oblicza się z wagi poprzedniej poprzez pomnożenie przez podstawę układu.

Okazuje się, że ciężar drugiej pozycji jest zawsze równy podstawie układu.

Podstawa systemu pokazuje liczbę cyfr używanych w tym systemie. Zatem w systemie o podstawie 10 jest dziesięć cyfr, w systemie o podstawie 5 jest to pięć cyfr.

Spójrzmy na przykład. Jeżeli wpis

oznacza liczbę w systemie o podstawie 5, to jest ona równa

3242 5 = 3 125 + 2· 25 + 4· 5 + 2· 1 = 447 10 .

Ten sam zapis o podstawie 6 oznacza liczbę

3242 6 = 3 216 + 2· 36 + 4· 6 + 2· 1 = 746 10 .

Niepozycyjne systemy liczbowe

Systemy liczb pozycyjnych nie pojawiły się od razu; ludzie prymitywni oznaczali liczbę jednych obiektów taką samą liczbą innych (liczyli kamykami, patyczkami, kośćmi).

Stosowano także wygodniejsze metody liczenia: nacięcia na patyku, linie na kamieniu, węzły na linie.

Czasami współcześni ludzie również używają tego systemu liczbowego, odnotowując na przykład liczbę dni, które minęły.

To jest przykład niepozycyjny system liczb jednostkowych: używany do liczenia jeden liczbę (kamień, kij, kość, kreska, węzeł...), a wkład tej liczby nie zależy od jej miejsca (pozycji), zawsze jest równy jednej jednostce.

Oczywiste jest, że korzystanie z systemów liczb pozycyjnych jest znacznie wygodniejsze.

Działania na liczbach

Operacje na liczbach w systemie pozycyjnym o dowolnej podstawie wykonuje się dokładnie tak samo, jak w systemie dziesiętnym: opierają się na tablicach dodawania i mnożenia cyfr odpowiednich systemów liczbowych.

Byłoby dziwne, gdyby w różnych systemach trzeba było dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić na różne sposoby! Przecież we wszystkich systemach liczbowych liczby są zbudowane w ten sam sposób, co oznacza, że ​​operacje na nich muszą być wykonywane w ten sam sposób.

Spójrzmy na kilka przykładów.

Dodatek

5 + 7 = 12. W najmniej znaczącej cyfrze zapisujemy 2, a do kolejnej cyfry dodajemy jedynkę.

Zbudujmy tabelę dodawania ósemkowego:

Zgodnie z tabelą dodawania 5 + 7 = 14 8. W najmniej znaczącej cyfrze zapisujemy 4, a do kolejnej cyfry dodajemy jedynkę.

Odejmowanie

Do drugiej cyfry bierzemy 1, a od liczby 15 odejmujemy 7. Podobnie w systemie ósemkowym:

Bierzemy 1 w drugiej cyfrze i odejmujemy 7 od liczby 15 8. Korzystając z tabeli dodawania w wierszu 7, znajdujemy liczbę 15. Numer odpowiedniej kolumny daje wynik różnicy - liczbę 6.

Jest to prawdopodobnie wygodne w użyciu dla pająków
ósemkowy system liczbowy!

Mnożenie

2,7 =14. Piszemy 4, a 1 trafia do „umysłu” (dodaj do kolejnej cyfry). 4,7 = 28. Zapisujemy 9 (8 plus 1 z „umysłu”) i 2 przenosimy do następnej cyfry.

Zbudujmy ósemkową tabliczkę mnożenia:

2,7 = 16 8 . Piszemy 6, a 1 trafia do „umysłu” (dodajemy do kolejnej cyfry). 4,7= 34 8 . Piszemy 5 (4 plus 1 z „umysłu”) i przesuwamy 3 do następnej cyfry.

Dział

3.5< 17 < 4·5, поэтому первая цифра результата - 3. Из 17 вычитаем 5·3 = 15. К разности 2 приписываем цифру 5, получается 25. 25 = 5 ·5. Из 25 вычитаем 25=5·5, получается 0 - деление закончено.

W tabliczce mnożenia w wierszu 5 znajdujemy odpowiednią liczbę 17 8 = 5 3:

Oznacza to, że pierwszą cyfrą wyniku jest 3. Od 17 8 odejmujemy 17 8 = 5,3. Do różnicy 0 przypisujemy ostatnią cyfrę 5. 5 = 5 1. Od 5 odejmujemy 5, otrzymujemy 0 - dzielenie jest zakończone.

pytania

1. Zdefiniuj pojęcie „system liczbowy”.

2. Zdefiniuj pojęcie „system liczb pozycyjnych”.

3. Wyjaśnij zasady konstruowania liczb w systemie dziesiętnym na przykładzie liczby 548.

4. Co nazywa się wagą pozycji? Podaj nam algorytm znajdowania wagi pozycji. Jaka jest waga trzeciej pozycji od prawej strony w zapisie dziesiętnym liczby? A binarnie? A w trójskładnikowym?

5. Co oznacza kategoria? Jakie miejsce w liczbie dziesiętnej 1532 zajmuje cyfra 5?

6. Jak nazywa się wkład figury? Jaki jest udział liczby 7 w liczbie 1745 10? A wkład liczby 4 w liczbę 1432 5?

7. Zdefiniuj pojęcie „baza systemu liczb pozycyjnych”. W jaki sposób podstawa systemu jest powiązana z liczbą cyfr w tym systemie? Ile cyfr jest w systemie pięcioargumentowym? A w systemie szesnastkowym? A co w przypadku systemu bazowego 25?

8. Gdzie w zapisie liczby znajduje się najniższa cyfra? A najstarszy?

9. Wyjaśnij algorytm konwersji liczby binarnej na system dziesiętny i wykonaj ten algorytm dla liczby 101101 2.

10. Wyjaśnij algorytm konwersji liczby dziesiętnej na system binarny i wykonaj ten algorytm dla liczby 50 10.

11. Jak zamienić liczbę z dowolnego systemu pozycyjnego na system dziesiętny? Zbuduj wyjaśnienie na przykładzie układu o podstawie 4.

Zadania domowe

Opcja 1. Wykonywane bez komputera, „na papierze”

1. Przeczytaj łamańce językowe, zastępując liczby binarne liczbami dziesiętnymi:

Zjadłem dobrze zrobione
100001 2 tarty,
Tak, wszystko z twarogiem.

101000 2 myszy szły,
Nieśli 101000 2 grosze,
A 10 2 myszy są bardziej płaskie
Nieśli 10 2 grosze.

2. Rozwiązuj zagadki z literami binarnymi:

3. Wykonaj obliczenia i zapisz odpowiedź w zapisie dziesiętnym:

1) 100 2 5 8 =

2) 100 3 + 100 5 =

3) 10 9 10 100 – 10 900 =

4) 33 4 + 44 5 =

5) 15 6 + 51 8 =

4. Zamień podane liczby na podane systemy liczbowe:

Opcja 2. Wykonywane na komputerze

1. Zapisz wyrażenie arytmetyczne, aby rozwiązać następujący problem i obliczyć odpowiedź:

Nasza mądra dziewczynka Malwina
Opiekuje się Pinokiem
I kupiłam mu to
Czego najbardziej potrzebuje:
10 2 okładki, 11 2 linie
I za 111 2 ruble naklejki.
Na okładkach - Barmaley,
Cena każdego wynosi 101 2 rubli.
Na linijkach, które kupiłem,
101010 2 ruble wystarczyły.
Ile kosztowały zakupy?
Poświęć pół minuty na przemyślenie tego.

2. Spróbuj użyć standardowego programu Kalkulator, aby przekonwertować liczby z wiersza na zwykły zapis dziesiętny ( Pogląd- Inżynieria, Kosz- binarna reprezentacja liczby, grudzień- dziesiętna reprezentacja liczby). Zapisz algorytmy konwersji liczb za pomocą kalkulatora z postaci binarnej na dziesiętną i odwrotnie, z postaci dziesiętnej na binarną.

Opcja 3. Dla ciekawskich

1. Udowodnić, że wpisanie 10 w dowolnym systemie liczb pozycyjnych oznacza liczbę równą podstawie tego systemu.

2. Wyznacz podstawę systemu liczb pozycyjnych B dla każdej równości:

1) 10 B = 50 10 ;

2) 11 B = 6 10 ;

3) 100 B = 64 10 ;

4) 101 B = 26 10 ;

5) 50 B = 30 10 ;

6) 99 B = 909 10 ;

7) 21 B = 15 6 ;

8) 10 2· B = 100 B ;

9) 12 2· B = 22 B ;

10) 14 B· B = 104 B .

p WYRÓWNIJ="JUSTIFYFIKUJ">3. System liczb szesnastkowych wykorzystuje 16 cyfr. Pierwsze dziesięć cyfr pokrywa się z systemem dziesiętnym, a ostatnie są oznaczone literami alfabetu łacińskiego:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Oznaczający

Przeliczmy np. liczbę A8 16 na system dziesiętny:

A8 16 = 10 16 + 8· 1 = 168 10 .

W każdym zadaniu znajdź wartość liczby X:

1) 25 16 = X 10 ; 4) 170 10 = X 16 ;

2) AB 16 = X 10 ; 5) 2569 10 = X 16 ;

3) FD 16 = X 10 ; 6) 80 32 = X 16 .

4. Wykonaj poniższe zadania.

1) Znajdź wagę trzeciej pozycji w zapisie liczbowym, jeśli wiadomo, że waga drugiej pozycji wynosi 7. Pozycje numeruje się od prawej do lewej.

2) System liczbowy wykorzystuje 5 cyfr. Znajdź wagę czwartej pozycji od prawej strony w zapisie liczby.

3) Liczbę zapisuje się w postaci dwóch jednostek: 11. W jakim systemie liczbowym jest zapisana, jeśli w systemie dziesiętnym jest równa 21?

4) W pewnym systemie liczbowym liczba wygląda jak 100. Z ilu cyfr korzysta ten system liczbowy, jeśli w systemie dziesiętnym liczba wynosi 2500?

5) Dwie liczby zapisuje się jako 100, ale w układach o różnych podstawach. Wiadomo, że podstawa pierwszego układu jest dwukrotnie większa od podstawy drugiego. Która liczba jest większa i o ile razy?

6) Znajdź podstawę układu, jeśli wiadomo, że liczba 101 zapisana w tym systemie oznacza liczbę dziesiętną 37.

7) W jakim systemie liczbowym, aby podwoić liczbę, należy dodać zero po prawej stronie jej zapisu?

8) Mnożenie przez 10 w systemie dziesiętnym oznacza dodanie zera po prawej stronie liczby. Sformułuj regułę mnożenia przez 10 B w systemie z podstawą B.

5. Sformułuj algorytm konwersji liczby z systemu dziesiętnego na system liczbowy trójskładnikowy.

6. Konstruować tabliczki dodawania i mnożenia dla czwartorzędowego systemu liczbowego. Korzystając z tych tabel, wykonaj następujące operacje na liczbach w kolumnie (pozostających w czwartorzędowym systemie liczbowym):

1. a) 1021 4 + 333 4;

b) 3333 4 + 3210 4 ;

2. a) 321 4 – 123 4;

b) 1000 4 – 323 4;

3. a) 13 4 ·12 4 ;

b) 302 4 ·23 4 ;

4. a) 1123 4:13 4 ;

b) 112003 4:101 4.

7. Konstruować tabliczki dodawania i mnożenia w systemie binarnym. Korzystając z tych tabel, wykonaj następujące operacje na liczbach w kolumnie (pozostających w systemie liczb binarnych):

1. a) 1001 2 + 1010 2 ;

b) 10111 2 + 1110 2 ;

2. a) 1110 2 – 101 2;

b) 10000 2 – 111 2;

3. a) 101 2 ·11 2 ;

b) 1110 2 101 2 ;

4. a) 1000110 2:101 2;

b) 100000100 2:1101 2 .

Warsztat

Na stronach aplikacji elektronicznej współpracujemy z wykonawcą Coderem.

Ćwiczenia zawierają następujące grupy zadań:

Do dziesiętnego

1. Od binarnego do dziesiętnego

2. Od trójskładnikowego do dziesiętnego

3. Od pięciokrotnego do dziesiętnego

4. Od szesnastkowego do dziesiętnego

Od dziesiętnego

1. Z systemu dziesiętnego na binarny

2. Od dziesiętnego do trójkowego

3. Od dziesiętnego do pięcioarowego

4. Od dziesiętnego do szesnastkowego

Klasa testowa 1

2. 1101 2 = ? 10

3. 11101 2 = ? 10

Klasa testowa 2

10. 1001 2 = ? 16

Materiał dla nauczycieli

Pozycyjne systemy liczbowe

W systemie liczb pozycyjnych liczba jest zapisywana jako ciąg znaków specjalnych:

a n n–1 ... A 2 A 1 (1)

Symbolika ja zwany w liczbach. Oznaczają porządkowe ilości policzalne, zaczynające się od zera i kończące się wartością o jeden mniejszą od liczby. Q zwany podstawa systemy liczbowe. To znaczy, jeśli Q- podstawa, wówczas wartości cyfr leżą w przedziale (łącznie z granicami).

Nazywa się położenie cyfry w liczbie (1). pozycja, Lub wypisać.

Uwaga 1: Na tych stronach preferowany jest termin „stanowisko”. Po pierwsze, słowo „pozycja” dobrze wpisuje się w koncepcję „systemu liczb pozycyjnych”, po drugie, określenie „waga pozycyjna” lub „waga pozycji” brzmi lepiej, wyraźniej i prościej niż „waga bitowa” czy „waga miejsca”. Jednakże nauczyciel może i powinien od czasu do czasu przypominać uczniom, że „pozycja” i „ranga” są terminami równoważnymi.

Uwaga 2. Podana w tekstach studenckich definicja systemu liczb pozycyjnych nie jest do końca dokładna. Samo uzależnienie wkładu danej osoby od stanowiska nie wystarczy. Na przykład w rzymskim systemie liczbowym wkład cyfry zależy również od pozycji (liczby IV i VI są różne), ale system ten nie jest pozycyjny. Za ścisłą definicję można uznać cały zbiór zasad konstruowania liczby, podany w tym kontekście nauczycielowi (czyli wraz z faktem zależności pozycyjnej definicja obejmuje: skończoność zbioru cyfr oraz regułę znalezienie liczby na podstawie jej zapisu).

Pozycje są numerowane od prawej do lewej. Nazywa się numer znajdujący się na pierwszej pozycji najmłodszy ostatnia cyfra numeru - starszy.

Z każdą pozycją jest powiązana liczba, którą nazwiemy jej wagą ( waga stanowiska).

Wagi pozycji są określane przez następującą regułę rekurencyjną:

1. Waga najniższej pozycji wynosi 1.

2. Wagę każdej kolejnej pozycji oblicza się z wagi poprzedniej poprzez pomnożenie przez podstawę układu.

Pozwalać Q- podstawa systemu liczbowego. Następnie obowiązuje zasada obliczania wag pozycyjnych w ja można zapisać krócej jako wzór na powtarzanie:

1. w 1 = 1.

2. w ja = w ja-1 · Q(dla wszystkich I > 1).

W systemie liczb pozycyjnych wpis

a n n–1 ... A 2 A 1 (1)

oznacza liczbę N, równa sumie iloczynów cyfr i ich wag pozycyjnych:

N= jakiś· w n + jakiś-1 · w n–1 + ... + A 2 · w 2 + A 1 · w 1 . (2)

Iloczyn cyfry i jej wagi pozycyjnej (tj. ja· w ja) zadzwonimy wkład pozycyjny liczb.

Wzór (2) jest podstawą zasad przeliczania liczb z jednego systemu na drugi, proponowanych w tekstach dla studentów.

W systemie dziesiętnym liczby zapisuje się przy użyciu dziesięciu znaków arabskich: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Wagi pozycyjne tego układu to: ..., 1000, 100, 10, 1.

4627 10 = 4 1000 + 6 100 + 2 10 + 7 1.

W systemie liczb binarnych liczby zapisuje się przy użyciu dwóch znaków arabskich: 0 i 1. Wagi pozycyjne tego systemu to: ..., 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1.

Na przykład rekord 10101 jest „odszyfrowywany” w następujący sposób:

10101 2 = 1,16 + 0,8 + 1,4 + 0,2 + 1,1.

Zauważ, że z rekurencyjnej reguły obliczania wag wynika to w ja = q ja–1 i dlatego zapis (2) jest odpowiednikiem tradycyjnego zapisu w postaci wielomianu potęgowego:

N= jakiś· qn–1 + jakiś-1 · qn–2 + ... + A 2 · Q + A 1 . (3)

Udowodnimy to przez indukcję. Podstawa indukcyjna Na I= 1 jest sprawdzane bezpośrednio: w 1 = Q 0 = 1.

Hipoteza indukcyjna: niech stwierdzenie będzie prawdziwe dla niektórych N:

w n = qn–1 .

Udowodnijmy, że będzie to prawdą także dla N + 1.
Oznacza to, że udowadniamy zasadność równości:

w n+1 = qn.

Rzeczywiście, w n+1 = w n· Q(przez rekursywną definicję wagi pozycji) i w n = qn–1 według hipotezy indukcyjnej. Okazało się:

w n+1 = w n· Q = qn-1 · Q = qn.

Udowodnimy, że dowolną liczbę można przedstawić w postaci (1) (Twierdzenie 1) w sposób unikalny (Twierdzenie 2).

Twierdzenie 1 (istnienie). Jakikolwiek numer M można przedstawić w postaci (1) dla dowolnego Q > 1.

Dowód. Udowodnimy to przez indukcję. Dla M = 0
I M= 1 łatwo jest skonstruować pożądaną reprezentację - są to odpowiednio 0 i 1 (dla dowolnego Q> 1). Powiedzmy, że udało nam się przedstawić liczbę M w formie (1). Znajdźmy zatem reprezentację dla M+ 1. W tym celu wystarczy przeliczyć sumę

jakiś qn–1 + jakiś-1 · qn–2 + ... + A 2 · Q + A 1 + 1, aby utworzyć (1).

Jeśli A 1 < (Q–1), wówczas żądaną reprezentację uzyskuje się poprzez zastąpienie cyfry A 1 os A " 1 = A 1 + 1.

Jeśli A 1 = (Q–1), otrzymujemy przeniesienie jedynki na następującą pozycję:

jakiś qn F–1 + jakiś-1 · qn–2 + ... + (A 2 + 1) Q + 0.

Następnie argumentujemy w podobny sposób. Jeśli A 2 < (Q–1), wówczas żądaną reprezentację uzyskuje się poprzez zastąpienie cyfry A 2 os A " 2 = A 2 + 1. Jeśli A 2 = (Q–1), zatem A Zastępujemy 2 zerem i przesuwamy jedynkę na następną pozycję.

Albo na niektórych I < N dokończymy budowę, albo dostaniemy wpis 1000...0 - jeden i N zera po prawej stronie. Dowód jest kompletny.

Przed Twierdzeniem 2 udowodnimy lemat.

Lemat. Udział każdej niezerowej cyfry we wpisie (1) przekracza sumę udziałów cyfr znajdujących się po jej prawej stronie.

a n n–1 ... A 2 A 1 . (1)

Dowód. Udowodnijmy to każdemu N > 1:

jakiś qn–1 > jakiś-1 · qn–2 + ... + A 2 · Q+ A 1 .

Liczby ja leżą w przedziale , co oznacza, że ​​wystarczy udowodnić nierówność z najmniejszą niezerową cyfrą po lewej stronie i maksymalną cyfrą po prawej stronie:

q n–1 > ( Q-1) · qn–2 + ... + (Q-1) · Q + (Q–1).

Po prawej stronie wyjmujemy mnożnik ( Q–1) poza nawiasem:

(Q-1) · qn–2 + ... + (Q-1) · Q + (Q–1) =

= (Q-1)·( qn–2 + ... + Q + 1).

Sumę postępu geometrycznego w ostatnim nawiasie obliczamy korzystając ze znanego wzoru:

(Q-1)·( qn–2 + ... + Q + 1) =

= (Q-1)·( qn–1 –1)/(Q–1) = qn–1 – 1.

Otrzymujemy oczywistą nierówność, która dowodzi lematu:

q n–1 > qn–1 – 1.

Twierdzenie 2 (wyjątkowość). Liczba w postaci (1) jest reprezentowana w unikalny sposób.

Dowód. Z lematu wynika, że ​​liczby, które mają różną liczbę cyfr w zapisie (nieistotne zera po lewej stronie nie są brane pod uwagę) nie mogą być równe: liczba o większej liczbie cyfr jest zawsze większa. Więc musisz to tylko udowodnić, jeśli ja nie równe b ja dla wszystkich I od 1 do N, potem zapisy

a n n–1 ... A 2 A 1 (4)

b n b n–1 ... B 2 B 1 (5)

nie może reprezentować tej samej liczby.

Przejrzyjmy wpisy (4) i (5) od lewej do prawej, szukając niedopasowanych liczb. Pozwól im być k I b k Odpuść sobie k – b k = D.

NA k-miejsce na nagraniu, w którym była różnica D· q k-1 . Różnicę tę należy zrekompensować wkładami pozycji znajdujących się po prawej stronie. Jest to jednak niemożliwe, ponieważ zgodnie z lematem suma wkładów pozycji znajdujących się po prawej stronie jest zawsze mniejsza niż udział aktualnej pozycji. Twierdzenie zostało udowodnione.

Zamień na dziesiętny

Aby przekonwertować liczby z systemu radix Q do systemu dziesiętnego możesz użyć wzoru (2), wykonując w nim mnożenia i dodania.

N= jakiś· w n + jakiś-1 · w n–1 + ... + A 2 · w 2 + A 1 · w 1 (2)

Konwersja z systemu binarnego polega wyłącznie na dodawaniu (ponieważ nie trzeba mnożyć przez 1). Otrzymujemy w ten sposób sformułowaną w Czytelni regułę tłumaczeniową:

Aby dokonać konwersji z systemu binarnego na system dziesiętny, należy nad każdą cyfrą binarną zapisać wagę jej pozycji i dodać liczby zapisane nad cyframi.

I tak na przykład dla liczby 10111 otrzymujemy:

10111 2 = 16 + 4 + 2 + 1 = 23 10

Ogólna zasada przenoszenia z Q-ary na system dziesiętny brzmi następująco:

Aby przenieść z Q-ary na system dziesiętny, należy zapisać wagę jego pozycji nad każdą cyfrą i znaleźć sumę iloczynów cyfr według ich wag pozycyjnych (to znaczy znaleźć sumę wkładów pozycyjnych).

I tak na przykład dla liczby 10212 3 otrzymujemy:

Dodajemy liczby pomnożone przez ich wagi pozycyjne (pozycje z cyframi zerowymi można oczywiście pominąć):

10212 3 = 1 81 + 2· 9 + 1· 3 + 2· 1 = 104 10 .

Przenieść do Q-osobisty

Aby przekonwertować liczby z systemu dziesiętnego na system podstawowy Q W dalszym ciągu będziemy opierać się na wzorze (2):

N= jakiś· w n + jakiś-1 · w n–1 + ... + A 2 · w 2 + A 1 · w 1 . (2)

Algorytm tłumaczenia.

I. Powtarzaj, aż liczba spadnie do zera:

1. Znajdź pierwszą pozycję od lewej, której waga nie jest większa niż aktualna liczba. Wpisz maksymalną możliwą liczbę w pozycję, w której jej udział pozycyjny (iloczyn liczby przez wagę) nie przekracza aktualnej liczby.

2. Zmniejsz obecną liczbę o wkład skonstruowanej pozycji.

II. Wpisz zera w miejsca niezajęte przez skonstruowane liczby.

Na każdej pozycji pobierana jest maksymalna możliwa cyfra, ponieważ zgodnie z lematem wkładu tej cyfry nie można zrekompensować cyframi znajdującymi się po prawej stronie. Algorytm będzie działał ze względu na udowodnione istnienie (Twierdzenie 1) i jednoznaczność (Twierdzenie 2) reprezentacji liczby w postaci (1).

Dla układu binarnego otrzymujemy wersję algorytmu podaną w materiałach studenckich.

Aby dokonać konwersji do formatu binarnego, należy zbudować szablon z wagami cyfr binarnych:

Liczba jest konwertowana przy użyciu następującego algorytmu:

I. Powtarzaj, aż liczba spadnie do zera:

1. Na pierwszą pozycję po lewej stronie wpisz 1, którego waga nie jest większa niż aktualna liczba.

2. Zmniejsz obecną liczbę o wagę zbudowanej jednostki.

II. Wpisz zera w miejsca niezajęte przez jedynki.

W praktyce ta metoda tłumaczenia okazuje się znacznie prostsza i szybsza niż tradycyjny algorytm znajdowania reszt.

Przy konwersji z systemu dziesiętnego na system trójskładnikowy należy wziąć pod uwagę zarówno same wagi pozycyjne, jak i ich podwojenie. Do szybkiego tłumaczenia można zbudować tabelę, której wiersze odpowiadają pozycjom cyfr, kolumny - cyfrom, a komórki - udziałom cyfry w liczbie, w zależności od jej pozycji w liczbie nagrywać:

pozycja 729

pozycja 243

pozycja 81

pozycja 27

pozycja 9

pozycja 3

pozycja 1

Powiedzmy, że udział liczby 2 w pozycji 243 to liczba 486, a w pozycji 9 liczba 18.

Aby dokonać konwersji do systemu trójskładnikowego, należy przeglądać tabelę wiersz po wierszu, szukając największej liczby, która nie przekracza aktualnej wartości.

Przykładowo przeliczmy na system trójskładnikowy liczbę 183. Odpowiednia wartość znajduje się w trzecim wierszu i pierwszej kolumnie:

pozycja 729

pozycja 243

pozycja 81

pozycja 27

pozycja 9

pozycja 3

pozycja 1

Oznacza to, że liczba trójskładnikowa zaczyna się od cyfry 2:

183 10 = 202?? 3

Dla liczby 21–18 = 3 tabela ma dokładne znaczenie, tłumaczenie jest zakończone:

183 10 = 20210 3 .

W przypadku systemów z większą podstawą odpowiednie stoły będą oczywiście większe. Jako ostatni przykład zbudujmy tabelę do konwersji na system liczb szesnastkowych:

Załóżmy, że musimy zamienić liczbę 4255 na postać szesnastkową.Szukamy w tabeli (od lewej do prawej w rzędach, zaczynając od góry) pierwszej liczby, która nie będzie większa niż pierwotna liczba 4255:

Pierwszą cyfrę 1 otrzymujemy na pozycji 4096:

Pozostaje zakodować 4255 – 4096 = 159.

Pomijamy linię 256 (odpowiednią liczbą będzie 0), a w linii 16 znajdujemy odpowiednią wartość 144:

Otrzymujemy liczby na pozycjach 256 i 16:

Pozostaje zakodować 159 – 144 = 15. Wiadomo, że jest to wartość najniższej cyfry:

Okazuje się: 4255 10 = 109F 16.

Działania na liczbach

Sekcja ta została przedstawiona w materiale studenckim schematycznie, w sposób wprowadzający.

Można temu tematowi poświęcić osobną, dużą i dość interesującą lekcję, ale materiału jest już dużo – trudno ogarnąć ogrom!

W prostej, wprowadzającej wersji pokazano, że operacje na liczbach w dowolnym systemie liczbowym wykonuje się dokładnie w taki sam sposób, jak w systemie dziesiętnym. Byłoby dziwnie, gdyby było inaczej, ponieważ liczby we wszystkich systemach pozycyjnych są zbudowane według tych samych zasad, co oznacza, że ​​działania na nich należy wykonywać w ten sam sposób.

Sekcja jest uzupełniona zadaniami domowymi z opcji 3. Ćwiczenia te można polecić dociekliwym studentom jako zadania indywidualne.

Notacja to sposób zapisywania liczb przy użyciu danego zestawu znaków specjalnych (cyfr).

Nazywa się zapisywanie liczby w jakimś systemie liczbowym kod numeryczny.

Zwykle nazywa się osobną pozycję na obrazie liczby wypisać, a numer pozycji jest liczbą cyfrową. Liczba cyfr w liczbie nazywana jest głębią bitową i pokrywa się z jej długością.

Istnieją systemy pozycyjne i niepozycyjne .

W układach niepozycyjnych martwy rachunek waga figury nie zależy od pozycji, które ona zalicza do liczby. I tak na przykład w rzymskim systemie liczbowym w liczbie XXXII (trzydzieści dwa) waga cyfry X na dowolnej pozycji wynosi po prostu dziesięć.

Przykładem niepozycyjnego systemu liczbowego jest system rzymski. Liczby stosowane w systemie rzymskim to: I(1), V(5), X(10), L(50), C(100), D(500), M(1000).
Rozmiar liczby w systemie liczb rzymskich definiuje się jako sumę lub różnicę cyfr liczby. Jeśli mniejsza liczba znajduje się na lewo od większej, wówczas jest ona odejmowana, jeśli po prawej stronie, jest dodawana.
Przykład:

CCXXXII=232
IX = 9

W systemach pozycyjnych martwy rachunek zmienia się waga każdej cyfry w zależności od jego pozycji w ciągu cyfr reprezentujących liczbę.
Każdy system pozycyjny charakteryzuje się podstawą.
Podstawą systemu liczb pozycyjnych jest liczba różnych znaków lub symboli używanych do reprezentowania liczb w danym systemie.
Za podstawę można przyjąć dowolną liczbę naturalną - dwa, trzy, cztery, szesnaście itd. Dlatego możliwa jest nieskończona liczba systemów pozycyjnych.

Przykładami systemów liczb pozycyjnych są binarny, dziesiętny, ósemkowy, szesnastkowy itp.

D dziesiętny system liczbowy.

W system ten ma 10 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ale informację przekazuje nie tylko liczba, ale także miejsce, w którym ta liczba się znajduje (czyli jej pozycja). Prawa cyfra liczby oznacza liczbę jednostek, druga od prawej - liczbę dziesiątek, kolejna - liczbę setek itd.

Przykład:
333 10 = 3*100 + 3*10+3*1 = 300 + 30 + 3

Binarny system liczbowy.

W tym systemie są tylko dwie cyfry - 0 i 1. Podstawą systemu jest liczba 2. Najbardziej na prawo cyfra liczby pokazuje liczbę jedynek, kolejna cyfra pokazuje liczbę dwójek, kolejna cyfra pokazuje liczbę z czwórek itp. System liczb binarnych pozwala zakodować dowolną liczbę naturalną - przedstawić ją jako ciąg zer i jedynek.

Przykład:
1011 2 = 1*2^3 + 0*2*2+1*2^1+1*2^0 =1*8 + 1*2+1=11 10


System liczb ósemkowych. Ten system liczbowy składa się z 8 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Aby zamienić np. liczbę 611 (ósemkową) na system dwójkowy, należy każdą cyfrę zastąpić jej odpowiednikiem triada binarna (trzy cyfry). Łatwo zgadnąć, że aby przekonwertować wielocyfrową liczbę binarną na system ósemkowy, należy rozbić ją na triady od prawej do lewej i zastąpić każdą triadę odpowiednią cyfrą ósemkową.

Przykład:

6118 =011 001 001 2

1 110 011 101 2 =1435 8 ​​​​(4 triady)

Szesnastkowy system liczbowy.
Zapisywanie liczby w systemie ósemkowym jest dość zwarte, ale w systemie szesnastkowym jest jeszcze bardziej zwarte. Pierwsze 10 z 16 cyfr szesnastkowych to zwykłe liczby 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ale pozostałe 6 cyfr to pierwsze litery alfabetu łacińskiego: A, B, C , D, E, F. Konwersja z systemu szesnastkowego na binarny i odwrotnie odbywa się w taki sam sposób, jak w przypadku systemu ósemkowego.

Konwersja liczb całkowitych na inne systemy liczbowe

Liczba całkowita o podstawie 10 jest konwertowana na system liczbowy o podstawie 2 poprzez kolejne dzielenie liczby przez podstawę 2, aż do uzyskania reszty. Pozostałości powstałe z dzielenia i ostatni iloraz zapisuje się w kolejności odwrotnej do otrzymanej podczas dzielenia. Wygenerowana liczba będzie liczbą o podstawie N2.

Zamiana liczb na system dziesiętny przeprowadza się poprzez zestawienie szeregu potęgowego z podstawą systemu, z którego przeliczana jest liczba. Następnie obliczana jest wartość sumy.

a) Przetłumacz 10101101 s.s.

101011012 = 1*2^7+ 0*2^6+ 1*2^5+ 0*2^4+ 1*2^3+ 1*2^2+ 0*2^1+ 1*2^0 = 173

b) Przetłumacz 7038.

7038 = 7*8^2+ 0*8^1+ 3*8^0= 451

c) Przetłumacz B2E16.

B2E16 = 11*16^2+ 2*16^1+ 14*16^0= 2862

Istnieją pozycyjne i niepozycyjne systemy liczbowe.

W niepozycyjnych systemach liczbowych waga cyfry (tj. jej udział w wartości liczby) nie zależy od jej stanowiska pisząc numer. Zatem w rzymskim systemie liczbowym w liczbie XXXII (trzydzieści dwa) waga liczby X na dowolnej pozycji wynosi po prostu dziesięć.

W systemach liczb pozycyjnych waga każdej cyfry zmienia się w zależności od jej pozycji (pozycji) w ciągu cyfr reprezentujących liczbę. Na przykład w liczbie 757,7 pierwsze siedem oznacza 7 setek, drugie - 7 jednostek, a trzecie - 7 dziesiątych jednostki.

Już sam zapis liczby 757,7 oznacza skrócony zapis wyrażenia

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7 . 10 2 + 5 . 10 1 + 7 . 10 0 + 7 . 10 -1 = 757,7.

Każdy system liczb pozycyjnych charakteryzuje się tym, że podstawa.

Za podstawę systemu można przyjąć dowolną liczbę naturalną - dwa, trzy, cztery itd. Stąd, możliwych niezliczonych systemów pozycjonowania: binarny, trójskładnikowy, czwartorzędowy itp. Zapisywanie liczb w każdym systemie liczbowym z podstawą Q oznacza skrócone wyrażenie

A n-1 Q n-1 +a n-2 Q n-2 + ... +a 1 Q 1 +a 0 Q 0 +a -1 Q -1 + ... +a -M Q -M ,

Gdzie A I - liczby systemu liczbowego; N I M - liczba odpowiednio cyfr całkowitych i ułamkowych. Na przykład:

Jakich systemów numerycznych używają specjaliści do komunikacji z komputerem?

Oprócz dziesiętnych powszechnie stosowane są systemy o podstawie będącej całkowitą potęgą liczby 2, a mianowicie:

    dwójkowy(używane są cyfry 0, 1);

    ósemkowy(używane są cyfry 0, 1, ..., 7);

    szesnastkowy(dla pierwszych liczb całkowitych od zera do dziewięciu stosuje się cyfry 0, 1, ..., 9, a dla kolejnych liczb - od dziesięciu do piętnastu - symbole A, B, C, D, E, F jako cyfry).

Warto zapamiętać zapis w tych systemach liczbowych dla pierwszych dwóch dziesiątek liczb całkowitych:

Ze wszystkich systemów liczbowych szczególnie proste i dlatego System liczb binarnych jest interesujący pod względem technicznym w komputerach.

Rozdział 4. Podstawy arytmetyki komputerów

4.1. Co to jest system liczbowy?

Istnieją pozycyjne i niepozycyjne systemy liczbowe.

W niepozycyjnych systemach liczbowych waga cyfry (tj. jej udział w wartości liczby) nie zależy od jej stanowiska pisząc numer. Zatem w rzymskim systemie liczbowym w liczbie XXXII (trzydzieści dwa) waga liczby X na dowolnej pozycji wynosi po prostu dziesięć.

W systemach liczb pozycyjnych waga każdej cyfry zmienia się w zależności od jej pozycji (pozycji) w ciągu cyfr reprezentujących liczbę. Na przykład w liczbie 757,7 pierwsze siedem oznacza 7 setek, drugie - 7 jednostek, a trzecie - 7 dziesiątych jednostki.

Już sam zapis liczby 757,7 oznacza skrócony zapis wyrażenia

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7 . 10 2 + 5 . 10 1 + 7 . 10 0 + 7 . 10 -1 = 757,7.

Każdy system liczb pozycyjnych charakteryzuje się tym, że podstawa.

Za podstawę systemu można przyjąć dowolną liczbę naturalną - dwa, trzy, cztery itd. Stąd, możliwych niezliczonych systemów pozycyjnych: binarny, trójskładnikowy, czwartorzędowy itp. Zapisywanie liczb w każdym systemie liczbowym z podstawą Q oznacza skrócone wyrażenie

A n-1 Q n-1 +a n-2 Q n-2 + ... +a 1 Q 1 +a 0 Q 0 +a -1 Q -1 + ... +a -M Q -M ,

Gdzie A I - liczby systemu liczbowego; N I M - liczba odpowiednio cyfr całkowitych i ułamkowych.
Na przykład:

4.2. Jak generowane są liczby całkowite w systemach liczb pozycyjnych?

W każdym systemie liczbowym cyfry są uporządkowane według ich znaczenia: 1 jest większe od 0, 2 jest większe od 1 itd.

Przesunięcie liczby 1 oznacza zastąpienie jej liczbą 2, przesunięcie liczby 2 oznacza zastąpienie jej liczbą 3 itd. Duży postęp cyfrowy(na przykład cyfry 9 w systemie dziesiętnym) oznacza zastąpienie go wartością 0. W systemie binarnym, w którym używane są tylko dwie cyfry, 0 i 1, promowanie 0 oznacza zastąpienie go 1, a promowanie 1 oznacza zastąpienie go 0.

Liczby całkowite w dowolnym systemie liczbowym są generowane przy użyciu Regulamin konta [44 ]:

Stosując tę ​​zasadę, zapisujemy pierwsze dziesięć liczb całkowitych

    binarnie: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;

    w układzie trójskładnikowym: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;

    w systemie pinarnym: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;

    w systemie ósemkowym: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

4.3. Jakich systemów numerycznych używają specjaliści do komunikacji z komputerem?

Oprócz dziesiętnych powszechnie stosowane są systemy o podstawie będącej całkowitą potęgą liczby 2, a mianowicie:

    dwójkowy(używane są cyfry 0, 1);

    ósemkowy(używane są cyfry 0, 1, ..., 7);

    szesnastkowy(dla pierwszych liczb całkowitych od zera do dziewięciu stosuje się cyfry 0, 1, ..., 9, a dla kolejnych liczb - od dziesięciu do piętnastu - symbole A, B, C, D, E, F jako cyfry).

Warto zapamiętać zapis w tych systemach liczbowych dla pierwszych dwóch dziesiątek liczb całkowitych:

Ze wszystkich systemów liczbowych szczególnie proste i dlatego System liczb binarnych jest interesujący pod względem technicznym w komputerach.

4.4. Dlaczego ludzie używają systemu dziesiętnego, a komputery systemu binarnego?

Ludzie wolą system dziesiętny prawdopodobnie dlatego, że od czasów starożytnych liczą na palcach, a ludzie mają dziesięć palców u rąk i nóg. Ludzie nie zawsze i nie wszędzie używają systemu dziesiętnego. Na przykład w Chinach przez długi czas używano pięciocyfrowego systemu liczbowego.

Komputery korzystają z systemu binarnego, ponieważ ma on wiele zalet w porównaniu z innymi systemami:

    do jego realizacji potrzebujemy urządzenia techniczne o dwóch stanach stabilnych(jest prąd - nie ma prądu, namagnesowany - nie namagnesowany itp.), A nie na przykład z dziesiątką - jak w systemie dziesiętnym;

    reprezentacja informacji tylko przez dwa stany niezawodnie I odporny na hałas;

    Może zastosowanie aparatu algebry Boole'a przeprowadzać logiczne przekształcenia informacji;

    Arytmetyka binarna jest znacznie prostsza niż arytmetyka dziesiętna.

Wada systemu binarnego - szybki wzrost liczby cyfr potrzebne do pisania liczb.

4,5. Dlaczego komputery używają również ósemkowych i szesnastkowych systemów liczbowych?

System binarny, wygodny dla komputerów, jest niewygodny dla ludzi ze względu na swoją objętość i nietypową notację.

Konwersja liczb z systemu dziesiętnego na binarny i odwrotnie odbywa się za pomocą maszyny. Aby jednak profesjonalnie posługiwać się komputerem, trzeba nauczyć się rozumieć słowo maszyna. Dlatego opracowano systemy ósemkowy i szesnastkowy.

Liczby w tych systemach są prawie tak samo łatwe do odczytania jak dziesiętne, wymagają odpowiednio trzech (ósemkowych) i czterech (szesnastkowych) razy mniej cyfr niż w systemie binarnym (wszak cyfry 8 i 16 to odpowiednio trzecia i czwarta potęga liczby 2) .

Na przykład:


Na przykład,

4.6. Jak przekonwertować liczbę całkowitą z systemu dziesiętnego na dowolny inny system liczb pozycyjnych?

Przykład: Przekonwertujmy liczbę 75 z systemu dziesiętnego na binarny, ósemkowy i szesnastkowy:

Odpowiedź: 75 10 = 1 001 011 2 = 113 8 = 4B 16.

4.7. Jak przekonwertować właściwy ułamek dziesiętny na dowolny inny system liczb pozycyjnych?

Aby zamienić poprawny ułamek dziesiętnyF do systemu liczbowego o podstawieQ niezbędnyF pomnożyć przezQ , zapisany w tym samym systemie dziesiętnym, a następnie pomnóż część ułamkową otrzymanego iloczynu ponownie przezQ, itd., aż część ułamkowa kolejnego iloczynu osiągnie wartość zero lub zostanie osiągnięta wymagana dokładność przedstawienia liczby F VQ -system ic. Reprezentuje część ułamkową liczbyF w nowym systemie numeracyjnym pojawi się ciąg całych części powstałych dzieł, zapisanych w kolejności ich otrzymania i przedstawionych w jednym Q -cyfra. Jeśli wymagana jest dokładność tłumaczenia liczbyF wynosik miejsc dziesiętnych, wówczas maksymalny błąd bezwzględny jest równyQ -(k+1) / 2.

Przykład. Przekonwertujmy liczbę 0,36 z systemu dziesiętnego na binarny, ósemkowy i szesnastkowy:

4.8. Jak przekonwertować liczbę z postaci binarnej (ósemkowej, szesnastkowej) na dziesiętną?

Konwersja liczby na system dziesiętnyX , napisane wQ -arny system liczbowy (Q = 2, 8 lub 16) w postaciX Q = (a N A n-1 ... A 0 ,A -1 A -2 ... A -M ) Q sprowadza się do obliczenia wartości wielomianu

X 10 = za N Q N +a n-1 Q n-1 + ... +a 0 Q 0 +a -1 Q -1 +a -2 Q -2 + ... +a -M Q -M


stosując arytmetykę dziesiętną.

Przykłady:

4.9. Tabela podsumowująca konwersje liczb całkowitych z jednego systemu liczbowego na inny

Rozważmy tylko te systemy liczbowe, które są używane w komputerach - dziesiętny, binarny, ósemkowy i szesnastkowy. Mówiąc konkretnie, weźmy dowolną liczbę dziesiętną, na przykład 46, i dla niej wykonamy wszystkie możliwe tłumaczenia sekwencyjne z jednego systemu liczbowego na drugi. Kolejność tłumaczeń zostanie ustalona zgodnie z rysunkiem:

Na tym rysunku zastosowano następującą notację:

    podstawy systemów liczbowych są zapisane w kółko;

    strzałki wskazują kierunek tłumaczenia;

    liczba obok strzałki wskazuje numer seryjny odpowiedniego egzemplarza w tabeli podsumowującej 4.1.

Na przykład: oznacza konwersję z formatu binarnego na szesnastkowy, o numerze seryjnym 6 w tabeli.

Tabela podsumowująca konwersje liczb całkowitychdwaSekcje- teorie statystyki... statystyki, Informatyka jako dyscypliny... KR (elektroniczny wersja publikacje). „....EP Statystyki mikroekonomiczne: Podręcznik. dodatek. - M.: Delo, 2000. ...magazyn. Internet- Strony internetowe Rosstatu...

  • „tworzenie otwartych baz danych zasobów informacyjnych”

    Raport

    Publikacje referencyjne. Bibliograficzny korzyści. Rozdział 1. Publikacje referencyjne... procedury pojednawcze. Internet-wersja magazyn zapewnia dostęp... URSS / Internet-sklep składa się zzdwa działy: ... Specjaliści ds. zarządzania Informatyka i telekomunikacja...