Skrócone wzory wyrażeń są bardzo często stosowane w praktyce, dlatego warto nauczyć się ich wszystkich na pamięć. Do tego momentu będzie nam wiernie służyć, co polecamy wydrukować i mieć zawsze przed oczami:
Pierwsze cztery formuły ze skompilowanej tabeli skróconych wzorów na mnożenie umożliwiają podniesienie do kwadratu i sześcianu sumy lub różnicy dwóch wyrażeń. Piąty służy do krótkiego pomnożenia różnicy i sumy dwóch wyrażeń. Natomiast szósty i siódmy wzór służą do pomnożenia sumy dwóch wyrażeń a i b przez ich niepełny kwadrat różnicy (tak nazywa się wyrażenie w postaci a 2 −a b+b 2) i różnicę dwóch wyrażenia aib przez niepełny kwadrat ich sumy (odpowiednio a 2 + a·b+b 2 ).
Warto osobno zauważyć, że każda równość w tabeli jest tożsamością. To wyjaśnia, dlaczego skrócone wzory na mnożenie nazywane są również skróconymi tożsamościami na mnożenie.
Podczas rozwiązywania przykładów, zwłaszcza gdy wielomian jest rozłożony na czynniki, FSU jest często używany w postaci z zamienioną lewą i prawą stroną:
Ostatnie trzy tożsamości w tabeli mają swoje własne nazwy. Nazywa się wzór a 2 −b 2 =(a−b)·(a+b). Wzór na różnicę kwadratów, za 3 +b 3 =(a+b)·(a 2 −a·b+b 2) - Wzór na sumę kostek, A za 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+b 2) - różnica we wzorze sześcianów. Należy pamiętać, że nie nazwaliśmy odpowiednich formuł z przestawionymi częściami z poprzedniej tabeli.
Dodatkowe formuły
Nie zaszkodzi dodać jeszcze kilka tożsamości do tabeli skróconych wzorów na mnożenie.
Obszary zastosowania skróconych wzorów na mnożenie (FSU) i przykłady
Główny cel skróconych wzorów mnożenia (fsu) wyjaśnia ich nazwa, to znaczy polega na krótkim mnożeniu wyrażeń. Jednak zakres zastosowania FSU jest znacznie szerszy i nie ogranicza się do krótkiego mnożenia. Wymieńmy główne kierunki.
Niewątpliwie centralne zastosowanie skróconego wzoru na mnożenie stwierdzono w wykonywaniu identycznych przekształceń wyrażeń. Najczęściej te formuły są wykorzystywane w procesie upraszczanie wyrażeń.
Przykład.
Uprość wyrażenie 9·y−(1+3·y) 2 .
Rozwiązanie.
W tym wyrażeniu kwadraturę można wykonać w skrócie, mamy 9 y-(1+3 y) 2 =9 y-(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2). Pozostaje tylko otworzyć nawiasy i wprowadzić podobne terminy: 9 y-(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2)= 9·y−1−6·y−9·y 2 =3·y−1−9·y 2.
W liczniku wyrażenie jest różnicą między kostkami dwóch wyrażeń 2 x i z 2, a w mianowniku różnicą kwadratów tych wyrażeń. Po zastosowaniu odpowiednich wzorów ułamek wyjściowy przyjmie postać 
. Teraz możesz zredukować te same czynniki w liczniku i mianowniku: .
Podsumujmy krótko rozwiązanie: 
Odpowiedź:
.
Skrócone formuły mnożenia pozwalają czasami racjonalnie obliczyć wartości wyrażeń. Jako przykład pokażmy, jak podnieść liczbę 79 do kwadratu, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów: 79 2 =(80−1) 2 =80 2 −2 80 1+1 2 = 6400−160+1=6241. Takie podejście pozwala na wykonanie podobnych obliczeń nawet ustnie.
Podsumowując, porozmawiajmy o jeszcze jednej ważnej transformacji - dwumian kwadratowy, który opiera się na wzorze na skrócony kwadrat mnożenia sumy. Na przykład wyrażenie 4 x 2 +4 x−3 można przekształcić na (2 x) 2 +2 x 2 x 1+1 2 −4 i pierwsze trzy wyrazy zastępuje się wzorem na sumę kwadratową. Zatem wyrażenie ma postać (2 x+1) 2 −4. Takie przekształcenia są szeroko stosowane, na przykład w przypadku .
Referencje.
- Algebra: podręcznik dla 7 klasy wykształcenie ogólne instytucje / [Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edytowany przez SA Telyakovsky. - wyd. 17. - M.: Edukacja, 2008. - 240 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Mordkovich A.G. Algebra. 7. klasa. O 14:00 Część 1. Podręcznik dla studentów instytucje edukacyjne/ A. G. Mordkovich. - wyd. 13, wyd. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 s.: il. ISBN 978-5-346-01198-9.
- Gusiew V. A., Mordkovich A. G. Matematyka (podręcznik dla rozpoczynających naukę w technikach): Proc. zasiłek.- M.; Wyższy szkoła, 1984.-351 s., il.
Jednym z pierwszych tematów studiowanych na kursie algebry są skrócone wzory na mnożenie. W klasie 7 używa się ich w najprostszych sytuacjach, gdy trzeba rozpoznać jeden ze wzorów w wyrażeniu i rozłożyć na czynniki wielomian lub odwrotnie, szybko podnieść do kwadratu lub sześcianu sumę lub różnicę. W przyszłości FSU będzie wykorzystywane do szybkiego rozwiązywania nierówności i równań, a nawet do ich obliczania wyrażenia numeryczne bez kalkulatora.
Jak wygląda lista formuł?
Istnieje 7 podstawowych wzorów, które pozwalają szybko pomnożyć wielomiany w nawiasach.
Czasami lista ta zawiera także rozwinięcie czwartego stopnia, które wynika z przedstawionych tożsamości i ma postać:
a⁴ — b⁴ = (a - b)(a + b)(a² + b²).
Wszystkie równości mają parę (suma - różnica), z wyjątkiem różnicy kwadratów. Nie podano wzoru na sumę kwadratów.
Pozostałe równości są łatwe do zapamiętania:
Należy pamiętać, że FSU działają w każdym przypadku i dla dowolnych wartości A I B: mogą to być dowolne liczby lub wyrażenia całkowite.
W sytuacji, gdy nagle nie będziesz mógł zapamiętać, jaki znak stoi przed danym wyrazem we wzorze, możesz otworzyć nawiasy i uzyskać taki sam efekt, jak po zastosowaniu wzoru. Na przykład, jeśli pojawił się problem podczas stosowania kostki różnicowej FSU, musisz zapisać oryginalne wyrażenie i wykonaj mnożenie jeden po drugim:
(a - b)³ = (a - b)(a - b)(a - b) = (a² - ab - ab + b²)(a - b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.
W rezultacie po sprowadzeniu wszystkich wyrazów podobnych otrzymano taki sam wielomian jak w tabeli. Te same manipulacje można wykonać w przypadku wszystkich innych FSU.
Zastosowanie FSU do rozwiązywania równań
Na przykład musisz rozwiązać równanie zawierające wielomian stopnia 3:
x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.
W program szkolny uniwersalne metody rozwiązywania nie są brane pod uwagę równania sześcienne, a takie zadania najczęściej rozwiązuje się prostszymi metodami (na przykład faktoryzacją). Jeśli zauważymy, że lewa strona tożsamości przypomina sześcian sumy, to równanie można zapisać w prostszej formie:
(x + 1)³ = 0.
Pierwiastek takiego równania oblicza się ustnie: x = -1.
Nierówności rozwiązuje się w podobny sposób. Można na przykład rozwiązać nierówność x³ – 6x² + 9x > 0.
Przede wszystkim należy uwzględnić wyrażenie. Najpierw musisz nawias X. Następnie zauważ, że wyrażenie w nawiasach można przekonwertować na kwadrat różnicy.
Następnie musisz znaleźć punkty, w których przyjmuje się wyrażenie wartości zerowe i zaznacz je na osi liczbowej. W konkretnym przypadku będą to 0 i 3. Następnie korzystając z metody przedziałowej określ, w jakich przedziałach x będzie odpowiadał warunek nierówności.
FSU mogą być przydatne podczas występów niektóre obliczenia bez pomocy kalkulatora:
703² - 203² = (703 + 203)(703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453000.
Dodatkowo, rozkładając wyrażenia na czynniki, można łatwo redukować ułamki zwykłe i upraszczać różne wyrażenia algebraiczne.
Przykładowe zadania dla klas 7-8
Podsumowując, przeanalizujemy i rozwiążemy dwa zadania dotyczące zastosowania skróconych wzorów mnożenia w algebrze.
Zadanie 1. Uprość wyrażenie:
(m + 3)² + (3m + 1)(3m - 1) - 2m (5m + 3).
Rozwiązanie. Warunki zadania wymagają uproszczenia wyrażenia, czyli otwarcia nawiasów, wykonania operacji mnożenia i potęgowania, a także doprowadzenia wszystkich podobne terminy. Podzielmy warunkowo wyrażenie na trzy części (w zależności od liczby wyrazów) i otwórzmy po kolei nawiasy, używając tam, gdzie to możliwe, FSU.
- (m + 3)² = m² + 6m + 9(suma kwadratowa);
- (3m + 1)(3m - 1) = 9m² – 1(różnica kwadratów);
- W ostatnim terminie musisz pomnożyć: 2m (5m + 3) = 10m² + 6m.
Podstawmy otrzymane wyniki do pierwotnego wyrażenia:
(m² + 6m + 9) + (9m² – 1) - (10m² + 6m).
Biorąc pod uwagę znaki, otworzymy nawiasy i przedstawimy podobne określenia:
m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² – 6m = 8.
Zadanie 2. Rozwiąż równanie zawierające niewiadomą k do potęgi 5:
k⁵ + 4k⁴ + 4k³ – 4k² – 4k = k³.
Rozwiązanie. W takim przypadku konieczne jest zastosowanie FSU i metody grupowania. Konieczne jest przesunięcie ostatniego i przedostatniego wyrazu na prawą stronę tożsamości.
k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.
Wspólny czynnik pochodzi z prawej i lewej strony (k² + 4k +4):
k³(k² + 4k + 4) = k (k² + 4k + 4).
Wszystko przenosi się na lewą stronę równania, tak aby 0 pozostało po prawej stronie:
k³(k² + 4k + 4) - k (k² + 4k + 4) = 0.
Ponownie konieczne jest usunięcie wspólnego czynnika:
(k³ - k)(k² + 4k + 4) = 0.
Z pierwszego otrzymanego czynnika możemy wyprowadzić k. Zgodnie z krótkim wzorem na mnożenie drugi czynnik będzie identycznie równy (k+2)²:
k (k² - 1)(k + 2)² = 0.
Korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów:
k (k - 1)(k + 1)(k + 2)² = 0.
Ponieważ iloczyn jest równy 0, jeśli przynajmniej jeden z jego czynników wynosi zero, znalezienie wszystkich pierwiastków równania nie jest trudne:
- k = 0;
- k - 1 = 0; k = 1;
- k + 1 = 0; k = -1;
- (k + 2)² = 0; k = -2.
Na podstawie wizualnych przykładów możesz zrozumieć, jak zapamiętywać formuły, ich różnice, a także rozwiązywać kilka problemy praktyczne za pomocą FSU. Zadania są proste i ich wykonanie nie powinno sprawić żadnych trudności.
Na poprzedniej lekcji zajmowaliśmy się faktoryzacją. Opanowaliśmy dwie metody: wyciąganie wspólnego czynnika z nawiasów i grupowanie. W tej lekcji - następująca potężna metoda: skrócone wzory na mnożenie. Krótko mówiąc – FSU.
Skrócone wzory na mnożenie (kwadrat sumy i różnicy, sześcian sumy i różnicy, różnica kwadratów, suma i różnica sześcianów) są niezwykle potrzebne we wszystkich gałęziach matematyki. Stosuje się je przy upraszczaniu wyrażeń, rozwiązywaniu równań, mnożeniu wielomianów, zmniejszaniu ułamków, rozwiązywaniu całek itp. itp. Krótko mówiąc, istnieją wszelkie powody, aby sobie z nimi poradzić. Zrozum, skąd się biorą, dlaczego są potrzebne, jak o nich pamiętać i jak je stosować.
Czy rozumiemy?)
Skąd wzięły się skrócone wzory na mnożenie?
Równania 6 i 7 nie są napisane w zbyt znajomy sposób. To trochę odwrotnie. To jest celowe.) Jakakolwiek równość działa zarówno od lewej do prawej, jak i od prawej do lewej. Ten wpis wyjaśnia, skąd pochodzą jednostki FSU.
Są one pobierane z mnożenia.) Na przykład:
(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2
I tyle, żadnych naukowych sztuczek. Po prostu mnożymy nawiasy i podajemy podobne. Oto jak się okazuje wszystkie skrócone wzory na mnożenie. W skrócie mnożenie wynika z tego, że w samych wzorach nie ma mnożenia nawiasów i redukcji podobnych. W skrócie.) Wynik jest natychmiast podawany.
FSU trzeba znać na pamięć. Bez pierwszych trzech nie można marzyć o C; bez pozostałych nie można marzyć o B lub A.)
Dlaczego potrzebujemy skróconych wzorów na mnożenie?
Istnieją dwa powody, dla których warto uczyć się, a nawet zapamiętywać te formuły. Po pierwsze, gotowa odpowiedź automatycznie zmniejsza liczbę błędów. Ale to nie jest główny powód. Ale to drugie...
Jeśli podoba Ci się ta strona...
Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)
Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)
Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.
Aby uprościć wielomiany algebraiczne, istnieją skrócone wzory na mnożenie. Nie ma ich zbyt wiele i łatwo je zapamiętać, ale trzeba je zapamiętać. Zapis używany we wzorach może mieć dowolną formę (liczbową lub wielomianową).
Nazywa się pierwszą skróconą formułę mnożenia różnica kwadratów. Polega na odjęciu kwadratu drugiej liczby od kwadratu jednej liczby. równa wartości różnica tych liczb, a także ich iloczyn.
za 2 - b 2 = (a - b)(a + b)
Spójrzmy na to dla jasności:
22 2 - 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9a 2 - 4b 2 do 2 = (3a - 2bc)(3a + 2bc)
Druga formuła dotyczy suma kwadratów. Wygląda na to, że suma dwóch wielkości do kwadratu jest równa kwadratowi pierwszej wielkości, dodaje się do niej podwójny iloczyn pierwszej wielkości pomnożony przez drugą, dodaje się do nich kwadrat drugiej wielkości.
(a + b) 2 = za 2 +2ab + b 2
Dzięki temu wzorowi znacznie łatwiej jest obliczyć kwadrat duża liczba, bez użycia technologii komputerowej.
Na przykład: kwadrat 112 będzie równy
1) Najpierw rozbijmy 112 na liczby, których kwadraty są nam znane
112 = 100 + 12
2) Wynik wpisujemy w nawiasach kwadratowych
112 2 = (100+12) 2
3) Stosując wzór, otrzymujemy:
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544
Trzecia formuła to kwadratowa różnica. Co oznacza, że dwie wielkości odjęte od siebie w kwadracie są równe, ponieważ od pierwszej wielkości do kwadratu odejmujemy podwójny iloczyn pierwszej wielkości pomnożony przez drugą, dodając do nich kwadrat drugiej wielkości.
(a + b) 2 = za 2 - 2ab + b 2
gdzie (a - b) 2 równa się (b - a) 2. Aby to udowodnić, (a-b) 2 = a 2 -2ab+b 2 = b 2 -2ab + a 2 = (b-a) 2
Nazywa się czwarty wzór na skrócone mnożenie sześcian sumy. To brzmi tak: dwie sumy ilości w sześcianie są równe sześcianowi 1 wielkości, dodaje się potrójny iloczyn 1 wielkości do kwadratu pomnożonej przez 2-gą ilość, do tego dodaje się potrójny iloczyn 1 ilości pomnożonej przez kwadrat 2 ilości plus druga ilość w kostce.
(a+b) 3 = za 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Piąty, jak już zrozumiałeś, nazywa się kostka różnicowa. Który znajduje różnice między wielkościami, ponieważ od pierwszego zapisu w sześcianie odejmujemy potrójny iloczyn pierwszego zapisu w kwadracie pomnożony przez drugi, do nich dodaje się potrójny iloczyn pierwszego zapisu pomnożony przez kwadrat drugiego zapis minus drugi zapis w sześcianie.
(a-b) 3 = za 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
Szósty nazywa się - suma kostek. Suma kostek jest równa iloczynowi obu wyrazów pomnożonego przez częściowy kwadrat różnicy, ponieważ w środku nie ma podwójnej wartości.
za 3 + b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
Innym sposobem wyrażenia sumy kostek jest wywołanie iloczynu w dwóch nawiasach.
Siódmy i ostatni nazywa się różnica sześcianów(można to łatwo pomylić ze wzorem na kostkę różnicową, ale to są różne rzeczy). Różnica kostek jest równa iloczynowi różnicy dwóch wielkości pomnożonej przez częściowy kwadrat sumy, ponieważ w środku nie ma podwójnej wartości.
za 3 - b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)
I tak jest tylko 7 wzorów na skrócone mnożenie, są do siebie podobne i łatwe do zapamiętania, jedyne co ważne to nie pomylić się w znakach. Są one również przeznaczone do stosowania w odwrotnej kolejności, a podręczniki zawierają sporo takich zadań. Bądź ostrożny, a wszystko się ułoży.
Jeśli masz pytania dotyczące formuł, napisz je w komentarzach. Chętnie odpowiemy!
Jeśli jesteś na urlopie macierzyńskim, ale chcesz dorobić. Wystarczy kliknąć link Biznes internetowy z Oriflame. Wszystko jest tam napisane i pokazane ze szczegółami. To będzie interesujące!
Na tej lekcji zapoznamy się ze wzorami na kwadrat sumy i kwadrat różnicy oraz wyprowadzimy je. Udowodnijmy wzór na kwadrat sumy geometrycznie. Ponadto za pomocą tych wzorów rozwiążemy wiele różnych przykładów.
Rozważmy wzór na kwadrat sumy:
Wyprowadziliśmy więc wzór na kwadrat sumy:
Słownie wzór ten wyraża się w następujący sposób: kwadrat sumy jest równy kwadratowi pierwszej liczby plus dwukrotność iloczynu pierwszej liczby przez drugą plus kwadrat drugiej liczby.
Wzór ten można łatwo przedstawić geometrycznie.
Rozważmy kwadrat o boku:
Powierzchnia kwadratu.
Z drugiej strony ten sam kwadrat można przedstawić inaczej, dzieląc bok na a i b (ryc. 1).
Ryż. 1. Kwadrat
Następnie obszar kwadratu można przedstawić jako sumę obszarów:
Ponieważ kwadraty były takie same, ich pola są równe, co oznacza:
Udowodniliśmy więc geometrycznie wzór na kwadrat sumy.
Spójrzmy na przykłady:
Komentarz: Przykład rozwiązano za pomocą wzoru na sumę kwadratową.
Wyprowadźmy wzór na kwadrat różnicy:
Wyprowadziliśmy więc wzór na kwadrat różnicy:
Ustnie wzór ten wyraża się w następujący sposób: kwadrat różnicy jest równy kwadratowi pierwszej liczby minus iloczyn podwójny pierwszej liczby i drugi plus kwadrat drugiej liczby.
Spójrzmy na przykłady:
Wzory na sumę kwadratową i różnicę kwadratową można stosować zarówno od lewej do prawej, jak i od prawej do lewej. W przypadku użycia od lewej do prawej będą to skrócone wzory na mnożenie i będą używane podczas obliczania i konwertowania przykładów. A przy użyciu od prawej do lewej - formuły faktoryzacji.
Przyjrzyjmy się przykładom, w których trzeba rozłożyć dany wielomian na czynniki, korzystając ze wzorów na sumę kwadratową i różnicę kwadratową. Aby to zrobić, musisz bardzo uważnie przyjrzeć się wielomianowi i dokładnie określić, jak poprawnie go rozwinąć.
Komentarz: Aby rozłożyć wielomian na czynniki, należy określić, co reprezentuje dane wyrażenie. Widzimy więc kwadrat i kwadrat jedności. Teraz musisz znaleźć podwójny produkt - to jest . Zatem wszystkie niezbędne elementy są tam, wystarczy określić, czy jest to kwadrat sumy, czy różnica. Przed iloczynem podwójnym znajduje się znak plus, co oznacza, że mamy kwadrat sumy.
