Rozważmy zmianę funkcji, określając przyrost tylko jednego z jej argumentów - x ja i nazwijmy to.

Definicja 1.7.Pochodna częściowa funkcje poprzez argumenty x ja zwany .

Oznaczenia: .

Zatem pochodna cząstkowa funkcji kilku zmiennych jest w rzeczywistości definiowana jako pochodna funkcji jedna zmienna – x ​​i. Zatem obowiązują dla niej wszystkie właściwości pochodnych udowodnionych dla funkcji jednej zmiennej.

Komentarz. W praktycznym obliczeniu pochodnych cząstkowych stosujemy zwykłe zasady różniczkowania funkcji jednej zmiennej, zakładając, że argument, za pomocą którego przeprowadza się różniczkowanie, jest zmienny, a pozostałe argumenty są stałe.

1. z = 2X² + 3 xy –12y² + 5 X – 4y +2,

2. z = xy,

Interpretacja geometryczna pochodnych cząstkowych funkcji dwóch zmiennych.

Rozważmy równanie powierzchni z = f(x,y) i narysuj samolot x = konst. Wybierzmy punkt na linii przecięcia płaszczyzny i powierzchni M(x, y). Jeśli podasz argument Na przyrost Δ Na i rozważ punkt T na krzywej o współrzędnych ( x, y+Δ y, z+Δy z), następnie tangens kąta utworzonego przez sieczną MT z dodatnim kierunkiem osi O Na, będzie równe . Przechodząc do granicy w , stwierdzamy, że pochodna cząstkowa jest równa tangensowi kąta utworzonego przez styczną do wynikowej krzywej w punkcie M z dodatnim kierunkiem osi O ty Odpowiednio pochodna cząstkowa jest równa tangensowi kąta z osią O X styczną do krzywej powstałej w wyniku podziału powierzchni z = f(x,y) samolot y = konst.

Definicja 2.1. Nazywa się całkowity przyrost funkcji u = f(x, y, z).

Definicja 2.2. Jeżeli przyrost funkcji u = f (x, y, z) w punkcie (x 0 , y 0 , z 0) można przedstawić w postaci (2.3), (2.4), to funkcję nazywamy różniczkowalną w ten punkt, a wyrażenie nazywa się główną liniową częścią przyrostu lub całkowitej różniczki danej funkcji.

Oznaczenia: du, df (x 0, y 0, z 0).

Podobnie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej, różniczki zmiennych niezależnych traktujemy jako ich dowolne przyrosty, zatem

Uwaga 1. Zatem stwierdzenie „funkcja jest różniczkowalna” nie jest równoznaczne ze stwierdzeniem „funkcja ma pochodne cząstkowe” - dla różniczkowalności wymagana jest także ciągłość tych pochodnych w rozpatrywanym punkcie.

4. Płaszczyzna styczna i normalna do powierzchni. Geometryczne znaczenie różniczki.

Niech funkcja z = fa (x, y) jest różniczkowalna w otoczeniu punktu M (x 0, y 0). Wtedy jego pochodnymi cząstkowymi są współczynniki kątowe stycznych do linii przecięcia powierzchni z = fa (x, y) z samolotami y = y 0 I x = x 0, który będzie styczny do samej powierzchni z = fa (x, y). Utwórzmy równanie dla płaszczyzny przechodzącej przez te linie. Wektory kierunku stycznego mają postać (1; 0; ) i (0; 1; ), więc normalną do płaszczyzny można przedstawić jako produkt wektorowy: N = (-,-, 1). Dlatego równanie płaszczyzny można zapisać w następujący sposób:

Gdzie z 0 = .

Definicja 4.1. Nazywa się płaszczyznę określoną równaniem (4.1). płaszczyzna styczna do wykresu funkcji z = fa (x, y) w punkcie o współrzędnych (x 0, y 0, z 0).

Ze wzoru (2.3) dla przypadku dwóch zmiennych wynika, że ​​przyrost funkcji F w pobliżu punktu M można przedstawić jako:

W konsekwencji różnica między zastosowaniami wykresu funkcji a płaszczyzną styczną jest nieskończenie małą wartością wyższego rzędu niż ρ, Na ρ→ 0.

W tym przypadku różniczka funkcji F ma postać:

co odpowiada Przyrost zastosowań płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji. Takie jest geometryczne znaczenie różniczki.

Definicja 4.2. Niezerowy wektor prostopadły do ​​płaszczyzny stycznej w punkcie M (x 0, y 0) powierzchnie z = fa (x, y), zwany normalna w tym momencie na powierzchnię.

Wygodnie jest przyjąć wektor -- N = { , ,-1}.

Wykład 3 FNP, pochodne cząstkowe, różniczka

Jaka jest najważniejsza rzecz, której nauczyliśmy się na ostatnim wykładzie?

Dowiedzieliśmy się, jaka jest funkcja kilku zmiennych, posługując się argumentem z przestrzeni euklidesowej. Zbadaliśmy, czym jest granica i ciągłość takiej funkcji

Czego dowiemy się na tym wykładzie?

Kontynuując nasze badania FNP, będziemy badać pochodne cząstkowe i różniczki tych funkcji. Nauczmy się, jak zapisać równanie płaszczyzny stycznej i normalnej do powierzchni.

Pochodna cząstkowa, różniczka zupełna FNP. Związek różniczkowalności funkcji z istnieniem pochodnych cząstkowych

Dla funkcji jednej zmiennej rzeczywistej, po przestudiowaniu tematów „Granice” i „Ciągłość” (Wprowadzenie do rachunku różniczkowego), zbadano pochodne i różniczki tej funkcji. Przejdźmy do rozważenia podobnych pytań dla funkcji kilku zmiennych. Należy zauważyć, że jeśli wszystkie argumenty oprócz jednego są ustalone w FNP, wówczas FNP generuje funkcję jednego argumentu, dla której można uwzględnić przyrost, różnicę i pochodną. Nazwiemy je odpowiednio przyrostem częściowym, różniczką cząstkową i pochodną cząstkową. Przejdźmy do precyzyjnych definicji.

Definicja 10. Niech będzie podana funkcja zmiennych gdzie - element przestrzeni euklidesowej i odpowiadające mu przyrosty argumentów , ,…, . Gdy wartości nazywane są częściowymi przyrostami funkcji. Całkowity przyrost funkcji jest ilością.

Na przykład dla funkcji dwóch zmiennych, gdzie jest to punkt na płaszczyźnie i , odpowiadające przyrosty argumentów, przyrosty częściowe będą wynosić , . W tym przypadku wartością jest całkowity przyrost funkcji dwóch zmiennych.

Definicja 11. Pochodna cząstkowa funkcji zmiennych nad zmienną to granica stosunku częściowego przyrostu funkcji nad tą zmienną do przyrostu odpowiedniego argumentu, gdy dąży on do 0.

Zapiszmy definicję 11 jako wzór lub w formie rozszerzonej. (2) Dla funkcji dwóch zmiennych Definicja 11 będzie zapisana w postaci wzorów , . Z praktycznego punktu widzenia tę definicję oznacza, że ​​przy obliczaniu pochodnej cząstkowej względem jednej zmiennej wszystkie pozostałe zmienne są stałe i funkcję tę rozważamy jako funkcję jednej wybranej zmiennej. Pochodną zwyczajną oblicza się względem tej zmiennej.

Przykład 4. Dla funkcji gdzie znajdź pochodne cząstkowe i punkt, w którym obie pochodne cząstkowe są równe 0.

Rozwiązanie . Obliczmy pochodne cząstkowe, i zapisz system w postaci Rozwiązaniem tego układu są dwa punkty i .

Zastanówmy się teraz, w jaki sposób koncepcja dyferencjału jest uogólniana na FNP. Przypomnijmy, że funkcję jednej zmiennej nazywa się różniczkowalną, jeśli jej przyrost jest przedstawiony w postaci , a wartość wynosi Głównym elementem przyrost funkcji i nazywa się jej różniczką. Ilość jest funkcją , ma tę właściwość, że jest funkcją nieskończenie małą w porównaniu do . Funkcja jednej zmiennej jest różniczkowalna w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy ma w tym punkcie pochodną. W tym przypadku stała i jest równa tej pochodnej, tj. wzór obowiązuje dla różnicy .

Jeśli weźmiemy pod uwagę częściowy przyrost FNP, to zmienia się tylko jeden z argumentów i ten częściowy przyrost można uznać za przyrost funkcji jednej zmiennej, czyli sprawdza się ta sama teoria. Zatem warunek różniczkowalności spełniony wtedy i tylko wtedy, gdy pochodna cząstkowa istnieje – w takim przypadku częściowy mechanizm różnicowy określa się na podstawie wzoru .

Jaka jest całkowita różnica funkcji kilku zmiennych?

Definicja 12. Funkcja zmiennej w pewnym punkcie nazywany różniczkowalnym , jeśli jego przyrost jest przedstawiony w postaci . W tym przypadku główna część przyrostu nazywana jest różnicą FNP.

Zatem różniczką FNP jest wartość. Wyjaśnijmy, co rozumiemy pod pojęciem ilości , które nazwiemy nieskończenie małym w porównaniu do przyrostów argumentów . Jest to funkcja, która ma tę właściwość, że jeśli wszystkie przyrosty oprócz jednego są równe 0, to równość jest prawdziwa . Zasadniczo oznacza to, że = = + +…+ .

Jak powiązane są ze sobą warunki różniczkowalności FNP i warunki istnienia pochodnych cząstkowych tej funkcji?

Twierdzenie 1. Jeśli funkcja zmiennych jest różniczkowalna w punkcie , to ma pochodne cząstkowe względem wszystkich zmiennych w tym punkcie i w tym samym czasie.

Dowód. Równość piszemy dla i w formie i podziel obie strony powstałej równości przez . W otrzymanej równości przechodzimy do granicy w . W rezultacie otrzymujemy wymaganą równość. Twierdzenie zostało udowodnione.

Konsekwencja. Różnicę funkcji zmiennych oblicza się ze wzoru . (3)

W przykładzie 4 różniczka funkcji była równa . Zauważ, że ta sama różnica w punkcie jest równa . Ale jeśli obliczymy to w punkcie z przyrostami , wówczas różnica będzie równa . Zauważ, że to dokładna wartość dana funkcja w tym punkcie jest równa , ale ta sama wartość, w przybliżeniu obliczona przy użyciu pierwszej różnicy, jest równa . Widzimy, że zastępując przyrost funkcji różniczką, możemy w przybliżeniu obliczyć wartości funkcji.

Czy funkcja kilku zmiennych będzie różniczkowalna w punkcie, jeśli ma w tym punkcie pochodne cząstkowe? W przeciwieństwie do funkcji jednej zmiennej, odpowiedź na to pytanie jest negatywna. Dokładne sformułowanie zależności podaje następujące twierdzenie.

Twierdzenie 2. Jeśli funkcja zmiennych w punkcie istnieją ciągłe pochodne cząstkowe względem wszystkich zmiennych, to funkcja jest w tym punkcie różniczkowalna.

Jak . W każdym nawiasie zmienia się tylko jedna zmienna, więc w obu przypadkach możemy zastosować wzór na przyrost skończony Lagrange'a. Istota tego wzoru polega na tym, że dla ciągle różniczkowalnej funkcji jednej zmiennej różnica między wartościami funkcji w dwóch punktach jest równa wartości pochodnej w pewnym punkcie pośrednim, pomnożonej przez odległość między punktami. Stosując tę ​​formułę do każdego z nawiasów, otrzymujemy . Ze względu na ciągłość pochodnych cząstkowych, pochodna w punkcie i pochodna w punkcie różnią się od pochodnych w punkcie wielkościami i , dążąc do 0 jako , dążąc do 0. Ale wtedy oczywiście . Twierdzenie zostało udowodnione. i współrzędna. Sprawdź, czy ten punkt należy do powierzchni. Zapisz równanie płaszczyzny stycznej i równanie normalnej do powierzchni we wskazanym punkcie.

Rozwiązanie. Naprawdę, . Na ostatnim wykładzie obliczyliśmy już różniczkę tej funkcji w dowolnym punkcie, w dany punkt jest równe. W konsekwencji równanie płaszczyzny stycznej zostanie zapisane w postaci lub , a równanie normalnej - w postaci .

Pochodne cząstkowe funkcji, jeśli istnieją nie w jednym punkcie, ale na pewnym zbiorze, są funkcjami określonymi na tym zbiorze. Funkcje te mogą być ciągłe, a w niektórych przypadkach mogą mieć także pochodne cząstkowe w różnych punktach swojej dziedziny.

Pochodne cząstkowe tych funkcji nazywane są pochodnymi cząstkowymi drugiego rzędu lub pochodnymi cząstkowymi drugiego rzędu.

Pochodne cząstkowe drugiego rzędu dzielą się na dwie grupy:

· drugie pochodne cząstkowe zmiennej;

· mieszane pochodne cząstkowe względem zmiennych i.

Przy późniejszym różnicowaniu można wyznaczyć pochodne cząstkowe trzeciego rzędu itp. Z podobnego rozumowania wyznacza się i zapisuje pochodne cząstkowe wyższych rzędów.

Twierdzenie. Jeżeli wszystkie pochodne cząstkowe uwzględnione w obliczeniach, rozpatrywane jako funkcje ich zmiennych niezależnych, są ciągłe, to wynik różniczkowania cząstkowego nie zależy od kolejności różniczkowania.

Często zachodzi potrzeba rozwiązania problemu odwrotnego, który polega na ustaleniu, czy różniczka całkowita funkcji jest wyrazem postaci, gdzie funkcje ciągłe z ciągłymi pochodnymi pierwszego rzędu.

Warunek konieczny całkowitej różniczki można sformułować w postaci twierdzenia, które przyjmujemy bez dowodu.

Twierdzenie. Aby wyrażenie różniczkowe było w dziedzinie całkowitą różniczką funkcji określonej i różniczkowalnej w tej dziedzinie, konieczne jest, aby w tej dziedzinie warunek na dowolną parę zmiennych niezależnych był identycznie spełniony.

Problem obliczenia różnicy całkowitej drugiego rzędu funkcji można rozwiązać w następujący sposób. Jeżeli wyrażenie różniczki całkowitej jest również różniczkowalne, to drugą różnicę całkowitą (lub różniczkę całkowitą drugiego rzędu) można uznać za wyrażenie uzyskane w wyniku zastosowania operacji różniczkowania do pierwszej różniczki całkowitej, tj. . Analityczne wyrażenie drugiej całkowitej różnicy to:

Biorąc pod uwagę fakt, że pochodne mieszane nie zależą od stopnia różniczkowania, wzór można pogrupować i przedstawić jako forma kwadratowa:

Macierz postaci kwadratowej to:

Niech superpozycja funkcji zdefiniowanych w i

Zdefiniowane w. W której. Następnie, jeśli i mają w punktach ciągłe pochodne cząstkowe do drugiego rzędu oraz, to istnieje druga zupełna różniczka funkcji zespolonej o postaci:

Jak widać, druga różniczka zupełna nie ma własności niezmienności formy. Wyrażenie drugiej różniczki funkcji zespolonej obejmuje wyrazy w postaci, których nie ma we wzorze drugiej różniczki funkcji prostej.

Konstrukcję pochodnych cząstkowych funkcji wyższych rzędów można kontynuować wykonując różniczkowanie sekwencyjne tej funkcji:

Gdzie indeksy przyjmują wartości od do, tj. pochodną rzędu uważa się za pochodną cząstkową pierwszego rzędu pochodnej rzędu. Podobnie możemy wprowadzić pojęcie zupełnej różniczki rzędu funkcji, jako zupełnej różniczki pierwszego rzędu od różniczki rzędu: .

W przypadku prostej funkcji dwójki formuła zmiennych obliczyć całkowitą różnicę rzędu funkcji ma postać

Zastosowanie operatora różniczkowania pozwala uzyskać zwartą i łatwą do zapamiętania formę zapisu do obliczania różniczki całkowitej rzędu funkcji, podobną do wzoru dwumianu Newtona. W przypadku dwuwymiarowym ma postać.

Pochodna częściowa funkcje z = f(x, y przez zmienną x Nazywa się pochodną tej funkcji przy stałej wartości zmiennej y i oznacza się ją przez lub z” x.

Pochodna częściowa funkcje z = f(x, y) przez zmienną y nazywa się pochodną po y przy stałej wartości zmiennej y; jest oznaczony jako lub z” y.

Pochodną cząstkową funkcji kilku zmiennych po jednej zmiennej definiujemy jako pochodną tej funkcji po odpowiedniej zmiennej, pod warunkiem, że pozostałe zmienne pozostają niezmienne.

Pełny mechanizm różnicowy funkcja z = f(x, y) w pewnym punkcie M(X, y) nazywana jest wyrażeniem

,

Gdzie i są obliczane w punkcie M(x, y), a dx = , dy = y.

Przykład 1

Oblicz całkowitą różnicę funkcji.

z = x 3 – 2x 2 y 2 + y 3 w punkcie M(1; 2)

Rozwiązanie:

1) Znajdź pochodne cząstkowe:

2) Oblicz wartość pochodnych cząstkowych w punkcie M(1; 2)

() M = 3 1 2 – 4 1 2 2 = -13

() M = - 4 1 2 2 + 3 2 2 = 4

3) dz = - 13dx + 4 dy

Pytania do samokontroli:

1. Co nazywa się funkcją pierwotną? Wymień właściwości funkcji pierwotnej.

2. Jak się nazywa Całka nieoznaczona?

3. Lista właściwości nie określona całka.

4. Wymień podstawowe wzory całkowe.

5. Jakie znasz metody integracji?

6. Jaka jest istota wzoru Newtona-Leibniza?

7. Podaj definicję całki oznaczonej.

8. Na czym polega obliczanie całki oznaczonej metodą podstawieniową?

9. Na czym polega metoda obliczania całki oznaczonej przez części?

10. Którą funkcję nazywamy funkcją dwóch zmiennych? Jak to jest wyznaczone?

11. Którą funkcję nazywamy funkcją trzech zmiennych?

12. Jaki zbiór nazywa się dziedziną definicji funkcji?

13. Za pomocą jakich nierówności można zdefiniować obszar zamknięty D na płaszczyźnie?

14. Jaka jest pochodna cząstkowa funkcji z = f(x, y) względem zmiennej x? Jak to jest wyznaczone?

15. Jaka jest pochodna cząstkowa funkcji z = f(x, y) względem zmiennej y? Jak to jest wyznaczone?

16. Jakie wyrażenie nazywa się całkowitą różniczką funkcji

Temat 1.2 Równania różniczkowe zwyczajne.

Zagadnienia prowadzące do równań różniczkowych. Równania różniczkowe ze zmiennymi rozłącznymi. Rozwiązania ogólne i szczegółowe. Równania różniczkowe jednorodne pierwszego rzędu. Liniowe równania jednorodne drugiego rzędu o stałych współczynnikach.

Lekcja praktyczna nr 7 „Znajdowanie rozwiązań ogólnych i szczegółowych równania różniczkowe ze zmiennymi rozłącznymi”*

Lekcja praktyczna nr 8 „Równania różniczkowe liniowe i jednorodne”

Lekcja praktyczna nr 9 „Rozwiązywanie równań różniczkowych drugiego rzędu o stałych współczynnikach”*

L4, rozdział 15, s. 243 – 256

Wytyczne

Pochodne cząstkowe funkcji dwóch zmiennych.
Koncepcja i przykłady rozwiązań

W tej lekcji będziemy kontynuować naszą znajomość funkcji dwóch zmiennych i rozważymy być może najczęstsze zadanie tematyczne - znalezienie pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu oraz całkowita różniczka funkcji. Studenci studiów niestacjonarnych z reguły spotykają się z pochodnymi cząstkowymi na pierwszym roku, w drugim semestrze. Co więcej, z moich obserwacji wynika, że ​​na egzaminie prawie zawsze pojawia się zadanie znalezienia pochodnych cząstkowych.

Dla efektywna nauka dla Ciebie poniższy materiał niezbędny potrafić z mniejszą lub większą pewnością znaleźć „zwykłe” pochodne funkcji jednej zmiennej. Na lekcjach możesz dowiedzieć się, jak prawidłowo obchodzić się z instrumentami pochodnymi Jak znaleźć pochodną? I Pochodna funkcji zespolonej. Przyda nam się też tabela pochodnych funkcji elementarnych i reguł różniczkowania, najwygodniej, jeśli jest pod ręką w formie drukowanej. Zdobyć materiał referencyjny możliwe na stronie Wzory i tablice matematyczne.

Powtórzmy na szybko koncepcję funkcji dwóch zmiennych, postaram się ograniczyć do absolutnego minimum. Funkcja dwóch zmiennych jest zwykle zapisywana jako , przy czym zmienne są wywoływane niezależne zmienne Lub argumenty.

Przykład: – funkcja dwóch zmiennych.

Czasami używa się notacji. Istnieją również zadania, w których zamiast litery używana jest litera.

Z punkt geometryczny Z punktu widzenia widzenia funkcja dwóch zmiennych reprezentuje najczęściej powierzchnię przestrzeni trójwymiarowej (płaszczyzna, walec, kula, paraboloida, hiperboloida itp.). Ale tak naprawdę jest to bardziej geometria analityczna, a naszym planem jest analiza matematyczna, której mój nauczyciel akademicki nigdy nie pozwolił mi spisać na straty i która jest moją „mocną stroną”.

Przejdźmy do kwestii znalezienia pochodnych cząstkowych pierwszego i drugiego rzędu. Dla tych, którzy wypili już kilka kaw i szykują się do słuchania niesamowicie trudnego materiału, mam dobrą wiadomość: pochodne cząstkowe to prawie to samo, co „zwykłe” pochodne funkcji jednej zmiennej.

W przypadku pochodnych cząstkowych obowiązują wszystkie reguły różniczkowania i tablica pochodnych funkcji elementarnych. Jest tylko kilka drobnych różnic, które zaraz poznamy:

...tak przy okazji tego tematu, który założyłem mała książeczka w formacie PDF, który pozwoli Ci „wbić zęby” w zaledwie kilka godzin. Ale korzystając z witryny, z pewnością uzyskasz ten sam wynik - może tylko trochę wolniej:

Przykład 1

Znajdź pochodne cząstkowe funkcji pierwszego i drugiego rzędu

Najpierw znajdźmy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu. Jest ich dwóch.

Oznaczenia:
lub – pochodna cząstkowa względem „x”
lub – pochodna cząstkowa względem „y”

Zacznijmy . Kiedy znajdziemy pochodną cząstkową względem „x”, zmienną uważa się za stałą (stała liczba).

Komentarze do wykonanych działań:

(1) Pierwszą rzeczą, którą robimy, szukając pochodnej cząstkowej, jest wniosek Wszystko funkcja w nawiasie pod liczbą pierwszą z indeksem.

Uwaga, ważne! NIE TRACIMY indeksów dolnych podczas procesu rozwiązywania. W takim przypadku, jeśli narysujesz gdzieś „obrys” bez , nauczyciel może przynajmniej umieścić go obok zadania (natychmiast odgryź część punktu za nieuwagę).

(2) Stosujemy reguły różniczkowania , . Dla prosty przykład podobnie jak ta, obie zasady można z łatwością zastosować w jednym kroku. Zwróć uwagę na pierwsze określenie: od uważa się za stałą, a każdą stałą można usunąć ze znaku pochodnej, następnie usuwamy to z nawiasów. Oznacza to, że w tej sytuacji nie jest lepszy niż zwykła liczba. Spójrzmy teraz na trzeci termin: wręcz przeciwnie, nie ma tu nic do wyciągnięcia. Skoro jest stałą, to też jest stałą i w tym sensie nie jest lepsza od ostatniego członu – „siedem”.

(3) Używamy tabelarycznych instrumentów pochodnych i .

(4) Uprośćmy lub, jak lubię mówić, „poprawmy” odpowiedź.

Teraz . Kiedy znajdziemy pochodną cząstkową względem „y”, to zmiennauważany za stały (stała liczba).

(1) Stosujemy te same zasady różnicowania , . W pierwszym członie usuwamy stałą ze znaku pochodnej, w drugim członie nie możemy nic wyjąć, ponieważ jest to już stała.

(2) Korzystamy z tabeli pochodnych funkcji elementarnych. Zamieńmy w myślach wszystkie „X” w tabeli na „I”. Oznacza to, że ta tabela jest równie ważna dla (a właściwie dla prawie każdej litery). W szczególności formuły, których używamy, wyglądają następująco: i .

Jakie jest znaczenie pochodnych cząstkowych?

W istocie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu przypominają „zwykła” pochodna:

- Ten Funkcje, które charakteryzują tempo zmian działa odpowiednio w kierunku osi i . A więc na przykład funkcja charakteryzuje stromość „wzniesień” i „zboczy” powierzchnie w kierunku osi odciętych, a funkcja mówi nam o „reliefie” tej samej powierzchni w kierunku osi rzędnych.

! Notatka : tutaj mamy na myśli wskazówki, które równoległy osie współrzędnych.

Dla lepszego zrozumienia rozważmy konkretny punkt na płaszczyźnie i obliczmy w nim wartość funkcji („wysokość”):
– a teraz wyobraź sobie, że jesteś tutaj (NA POWIERZCHNI).

Obliczmy pochodną cząstkową względem „x” w danym punkcie:

O tym mówi nam znak ujemny pochodnej „X”. malejące działa w punkcie w kierunku osi odciętej. Innymi słowy, jeśli zrobimy mały, mały (nieskończenie mały) krok w kierunku końca osi (równolegle do tej osi), następnie zejdziemy w dół po zboczu powierzchni.

Teraz dowiadujemy się o naturze „terenu” w kierunku osi rzędnych:

Pochodna po „y” jest dodatnia, zatem w punkcie w kierunku osi funkcja wzrasta. Krótko mówiąc, czeka nas podjazd pod górę.

Ponadto charakteryzuje się pochodną cząstkową w punkcie tempo zmian działa w odpowiednim kierunku. Im większa uzyskana wartość modulo– im bardziej stroma powierzchnia i odwrotnie, im jest ona bliższa zeru, tym powierzchnia jest bardziej płaska. Zatem w naszym przykładzie „nachylenie” w kierunku osi odciętych jest bardziej strome niż „góra” w kierunku osi rzędnych.

Ale to były dwie prywatne ścieżki. Jest całkiem jasne, że od momentu, w którym się znajdujemy, (i ogólnie z dowolnego punktu na danej powierzchni) możemy pójść w innym kierunku. Istnieje zatem zainteresowanie stworzeniem ogólnej „mapy nawigacyjnej”, która informowałaby nas o „krajobrazie” powierzchni Jeśli to możliwe w każdym punkcie dziedzina definicji tej funkcji wszystkimi dostępnymi ścieżkami. O tym i innych ciekawych rzeczach opowiem na jednej z kolejnych lekcji, ale na razie wróćmy do strona techniczna pytanie.

Usystematyzujmy elementarne stosowane zasady:

1) Kiedy różniczkujemy względem , zmienną uważa się za stałą.

2) Gdy różnicowanie przeprowadza się wg, wówczas jest uważany za stały.

3) Reguły i tabela pochodnych funkcji elementarnych obowiązują i mają zastosowanie do dowolnej zmiennej (lub dowolnej innej), według której przeprowadza się różniczkowanie.

Krok drugi. Znajdujemy pochodne cząstkowe drugiego rzędu. Jest ich czterech.

Oznaczenia:
lub – druga pochodna względem „x”
lub – druga pochodna względem „y”
Lub - mieszany pochodna „x według igr”
Lub - mieszany pochodna „Y”

Z drugą pochodną nie ma problemów. Mówienie w prostym języku, druga pochodna jest pochodną pierwszej pochodnej.

Dla wygody przepiszę znalezione już pochodne cząstkowe pierwszego rzędu:

Najpierw znajdźmy pochodne mieszane:

Jak widać wszystko jest proste: bierzemy pochodną cząstkową i różniczkujemy ją jeszcze raz, ale w tym przypadku - tym razem po „Y”.

Podobnie:

W praktyczne przykłady można polegać na następującej równości:

Zatem za pomocą pochodnych mieszanych drugiego rzędu bardzo wygodnie jest sprawdzić, czy poprawnie znaleźliśmy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu.

Znajdź drugą pochodną względem „x”.
Żadnych wynalazków, weźmy to i różniczkuj go ponownie przez „x”:

Podobnie:

Należy zauważyć, że przy znalezieniu musisz pokazać zwiększona uwaga, gdyż nie ma cudownych równości, które by je zweryfikowały.

Drugie pochodne również znajdują szerokie praktyczne użycie w szczególności są one wykorzystywane w zadaniu znalezienia ekstrema funkcji dwóch zmiennych. Ale wszystko ma swój czas:

Przykład 2

Oblicz pochodne cząstkowe funkcji pierwszego rzędu w tym punkcie. Znajdź pochodne drugiego rzędu.

To jest przykład dla niezależna decyzja(odpowiedzi na końcu lekcji). Jeśli masz trudności z rozróżnieniem korzeni, wróć do lekcji Jak znaleźć pochodną? Ogólnie rzecz biorąc, już wkrótce nauczysz się znajdować takie instrumenty pochodne „w locie”.

Weźmy w swoje ręce więcej złożone przykłady:

Przykład 3

Sprawdź to . Zapisz różnicę całkowitą pierwszego rzędu.

Rozwiązanie: Znajdź pochodne cząstkowe pierwszego rzędu:

Zwróć uwagę na indeks dolny: , obok „X” nie wolno pisać w nawiasach, że jest to stała. Ta uwaga może być bardzo przydatna dla początkujących, aby ułatwić nawigację po rozwiązaniu.

Dalsze komentarze:

(1) Wszystkie stałe bierzemy poza znakiem pochodnej. W tym przypadku i , i dlatego ich iloczyn jest uważany za liczbę stałą.

(2) Nie zapomnij, jak prawidłowo różnicować korzenie.

(1) Wszystkie stałe usuwamy ze znaku pochodnej; w tym przypadku stała wynosi .

(2) Pod liczbą pierwszą pozostał nam iloczyn dwóch funkcji, dlatego musimy skorzystać z reguły różniczkowania iloczynu .

(3) Nie zapominaj, że jest to funkcja złożona (aczkolwiek najprostsza ze złożonych). Używamy odpowiedniej reguły: .

Teraz znajdujemy mieszane pochodne drugiego rzędu:

Oznacza to, że wszystkie obliczenia zostały wykonane poprawnie.

Zapiszmy całkowitą różnicę. W kontekście rozważanego zadania nie ma sensu mówić, jaka jest całkowita różniczka funkcji dwóch zmiennych. Ważne jest, aby tę różnicę bardzo często trzeba było zapisać w praktycznych zadaniach.

Całkowita różnica pierwszego rzędu funkcja dwóch zmiennych ma postać:

W tym przypadku:

Oznacza to, że wystarczy głupio zastąpić już znalezione pochodne cząstkowe pierwszego rzędu we wzorze. W tej i podobnych sytuacjach najlepiej zapisać w licznikach znaki różniczkowe:

Zgodnie z wielokrotnymi prośbami czytelników, Pełny mechanizm różnicowy drugiego rzędu.

To wygląda tak:

UWAŻNIE znajdźmy „jednoliterowe” pochodne drugiego rzędu:

i zapisz „potwora”, ostrożnie „łącząc” kwadraty, iloczyn i nie zapominając o podwojeniu mieszanej pochodnej:

Nie ma problemu, jeśli coś wydaje się trudne, do instrumentów pochodnych zawsze możesz wrócić później, gdy opanujesz technikę różniczkowania:

Przykład 4

Znajdź pochodne cząstkowe funkcji pierwszego rzędu . Sprawdź to . Zapisz różnicę całkowitą pierwszego rzędu.

Spójrzmy na serię przykładów z złożone funkcje:

Przykład 5

Znajdź pochodne cząstkowe funkcji pierwszego rzędu.

Rozwiązanie:

Przykład 6

Znajdź pochodne cząstkowe funkcji pierwszego rzędu .
Zapisz całkowitą różnicę.

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie (odpowiedź na końcu lekcji). Nie podam pełnego rozwiązania, bo jest dość proste.

Dość często wszystkie powyższe zasady są stosowane w połączeniu.

Przykład 7

Znajdź pochodne cząstkowe funkcji pierwszego rzędu .

(1) Korzystamy z reguły różniczkowania sumy

(2) Pierwszy termin w tym przypadku jest uważany za stały, ponieważ w wyrażeniu nie ma nic zależnego od „x” - tylko „y”. Wiesz, zawsze miło jest, gdy ułamek można zamienić na zero). Dla drugiego członu stosujemy zasadę różnicowania produktów. Swoją drogą w tym sensie nic by się nie zmieniło, gdyby zamiast tego podano funkcję – ważne, że tutaj iloczyn dwóch funkcji, KAŻDY z nich zależy od "X", dlatego należy zastosować regułę różnicowania produktów. Dla trzeciego członu stosujemy zasadę różniczkowania funkcji zespolonej.

(1) Pierwszy wyraz zarówno w liczniku, jak i mianowniku zawiera „Y”, dlatego należy zastosować regułę różniczkowania ilorazów: . Drugi wyraz zależy TYLKO od „x”, co oznacza, że ​​jest uważany za stałą i zwraca się do zera. W przypadku trzeciego członu stosujemy regułę różniczkowania funkcji zespolonej.

Tym czytelnikom, którzy odważnie dotarli prawie do końca lekcji, opowiem na uspokojenie stary dowcip Mechmatowa:

Któregoś dnia w przestrzeni funkcji pojawiła się zła pochodna i zaczęła różnicować wszystkich. Wszystkie funkcje są rozproszone we wszystkich kierunkach, nikt nie chce się przekształcać! I tylko jedna funkcja nie ucieka. Pochodna podchodzi do niej i pyta:

- Dlaczego ode mnie nie uciekniesz?

- Ha. Ale nie obchodzi mnie to, bo jestem „e do potęgi X”, a ty mi nic nie zrobisz!

Na co zły pochodny z podstępnym uśmiechem odpowiada:

- Tu się mylisz, odróżnię cię przez „Y”, więc powinieneś być zerem.

Kto zrozumiał żart, opanował już derywaty przynajmniej do poziomu „C”).

Przykład 8

Znajdź pochodne cząstkowe funkcji pierwszego rzędu .

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Pełne rozwiązanie i przykład problemu znajdują się na końcu lekcji.

Cóż, to prawie wszystko. Na koniec nie mogę nie zadowolić miłośników matematyki jeszcze jednym przykładem. Tu nawet nie chodzi o amatorów, każdy ma inny poziom przygotowania matematycznego – są osoby (i nie takie rzadkie), które lubią rywalizować z trudniejszymi zadaniami. Chociaż ostatni przykład w tej lekcji nie jest tak skomplikowany, jak uciążliwy z obliczeniowego punktu widzenia.