Lemat 1 : Jeżeli w macierzy o rozmiarze n n przynajmniej jeden wiersz (kolumna) ma wartość zero, to wiersze (kolumny) macierzy są liniowo zależne.
Dowód: Niech więc pierwsza linia będzie równa zeru
Gdzie 1 0. Tego właśnie wymagano.
Definicja: Nazywa się macierz, której elementy znajdujące się poniżej głównej przekątnej są równe zeru trójkątny:
i ij = 0, ja>j.
Lemat 2: Wyznacznik macierzy trójkątnej jest równy iloczynowi elementów głównej przekątnej.
Dowód można łatwo przeprowadzić poprzez indukcję po wymiarze macierzy.
Twierdzenie na liniową niezależność wektorów.
A)Konieczność: liniowo zależne D=0 .
Dowód: Niech będą liniowo zależne, j=,
to znaczy, że istnieje a j , nie wszystkie równe zeru, j= , Co za 1 ZA 1 + za 2 ZA 2 + ... za n ZA n = , ZA jot – kolumny macierzy A. Niech np. n¹0.
Mamy za jot * = za jot / za n , j£ n-1a 1 * ZA 1 + za 2 * ZA 2 + ... za n -1 * ZA n -1 + ZA n = .
Zastąpmy ostatnią kolumnę macierzy A NA
ZA n * = za 1 * ZA 1 + za 2 * ZA 2 + ... za n -1 ZA n -1 + ZA n = .
Zgodnie z udowodnioną powyżej właściwością wyznacznika (nie zmieni się ona, jeżeli do którejkolwiek kolumny macierzy dodamy kolejną kolumnę pomnożoną przez liczbę), wyznacznik nowej macierzy jest równy wyznacznikowi macierzy pierwotnej. Ale w nowej macierzy jedna kolumna ma wartość zero, co oznacza, że rozwijając wyznacznik po tej kolumnie, otrzymujemy D=0, co było do okazania
B)Adekwatność: Matryca rozmiarów n nz liniowo niezależnymi rzędami zawsze można sprowadzić do postaci trójkątnej za pomocą transformacji, które się nie zmieniają całkowita wartość wyznacznik. Ponadto z niezależności wierszy macierzy pierwotnej wynika, że jej wyznacznik jest równy zeru.
1. Jeśli w macierzy rozmiarów n n z liniowo niezależnym elementem wierszy 11 jest równa zero, to kolumna, której element za 1 j ¹ 0. Zgodnie z Lematem 1 taki element istnieje. Wyznacznik macierzy przekształconej może różnić się od wyznacznika macierzy pierwotnej jedynie znakiem.
2. Z linii z liczbami ja>1 odejmij pierwszą linię pomnożoną przez ułamek a i 1 /a 11. Ponadto w pierwszej kolumnie wiersze z liczbami ja>1 spowoduje zerową liczbę elementów.
3. Zacznijmy obliczać wyznacznik otrzymanej macierzy od dekompozycji po pierwszej kolumnie. Ponieważ wszystkie jego elementy oprócz pierwszego są równe zeru,
D nowy = a 11 nowy (-1) 1+1 D 11 nowy,
Gdzie d 11 nowy jest wyznacznikiem macierzy o mniejszym rozmiarze.
Następnie obliczyć wyznacznik D 11 powtarzaj kroki 1, 2, 3, aż ostatni wyznacznik okaże się wyznacznikiem macierzy wielkości 1 1. Ponieważ krok 1 zmienia jedynie znak wyznacznika przekształcanej macierzy, a krok 2 w ogóle nie zmienia wartości wyznacznika, to aż do znaku ostatecznie otrzymamy wyznacznik macierzy pierwotnej. W tym przypadku, ponieważ ze względu na liniową niezależność wierszy pierwotnej macierzy, krok 1 jest zawsze spełniony, wszystkie elementy głównej przekątnej okażą się nierówne zero. Zatem ostateczny wyznacznik, zgodnie z opisanym algorytmem, jest równy iloczynowi niezerowych elementów na głównej przekątnej. Dlatego wyznacznik macierzy pierwotnej nie jest równy zero. co było do okazania
Załącznik 2
Pozwalać L – przestrzeń liniowa nad polem R . Pozwalać А1, а2, …, аn (*) skończony układ wektorów z L . Wektor W = a1× A1 +a2× A2 + … + an× Jakiś (16) nazywa się Liniowa kombinacja wektorów ( *), lub mówią, że wektor W wyrażone liniowo poprzez układ wektorów (*).
Definicja 14. Nazywa się układ wektorów (*). Liniowo zależny , wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje niezerowy zbiór współczynników a1, a2, … taki, że a1× A1 +a2× A2 + … + an× Jakiś = 0. Jeśli a1× A1 +a2× A2 + … + an× Jakiś = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, wówczas wywoływany jest system (*). Liniowo niezależny.
Własności liniowej zależności i niezależności.
10. Jeżeli układ wektorów zawiera wektor zerowy, to jest on liniowo zależny.
Rzeczywiście, jeśli w systemie (*) wektor A1 = 0, To jest 1× 0 + 0× A2 +… + 0 × An = 0 .
20. Jeżeli układ wektorów zawiera dwa wektory proporcjonalne, to jest on liniowo zależny.
Pozwalać A1 = L×a2. Następnie 1× A1 –l× A2 + 0× A3 + … + 0× A N= 0.
30. Skończony układ wektorów (*) dla n ³ 2 jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z jego wektorów jest kombinacją liniową pozostałych wektorów tego układu.
Þ Niech (*) będzie liniowo zależne. Wówczas istnieje niezerowy zbiór współczynników a1, a2, …, an, dla którego a1× A1 +a2× A2 + … + an× Jakiś = 0 . Bez utraty ogólności możemy założyć, że a1 ¹ 0. Wtedy istnieje A1 = ×a2× A2 + … + ×an× A N. A więc wektor A1 jest kombinacją liniową pozostałych wektorów.
Ü Niech jeden z wektorów (*) będzie kombinacją liniową pozostałych. Możemy założyć, że jest to wektor pierwszy, tj. A1 = B2 A2+ … + miliardy A N, Stąd (–1)× A1 + b2 A2+ … + miliardy A N= 0 , tj. (*) jest liniowo zależne.
Komentarz. Korzystając z ostatniej własności, możemy zdefiniować liniową zależność i niezależność nieskończonego układu wektorów.
Definicja 15. System wektorowy А1, а2, …, аn , … (**) jest nazywany liniowo zależny, Jeśli przynajmniej jeden z jego wektorów jest kombinacją liniową niektórych skończoną liczbą pozostałe wektory. W przeciwnym razie wywoływany jest system (**). Liniowo niezależny.
40. Skończony układ wektorów jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy żaden z jego wektorów nie może być wyrażony liniowo w postaci pozostałych wektorów.
50. Jeśli układ wektorów jest liniowo niezależny, to którykolwiek z jego podukładów jest również liniowo niezależny.
60. Jeżeli jakiś podukład danego układu wektorów jest liniowo zależny, to cały układ również jest liniowo zależny.
Niech będą dane dwa układy wektorów А1, а2, …, аn , … (16) i В1, В2, …, Вs, … (17). Jeśli każdy wektor układu (16) można przedstawić jako liniową kombinację skończonej liczby wektorów układu (17), to mówi się, że układ (17) jest wyrażony liniowo przez układ (16).
Definicja 16. Nazywa się dwa systemy wektorowe Równowartość , jeśli każdy z nich jest liniowo wyrażany przez drugi.
Twierdzenie 9 (podstawowe twierdzenie o zależności liniowej).
Niech będzie – dwa skończone układy wektorów z L . Jeżeli pierwszy system jest liniowo niezależny i liniowo wyrażony przez drugi, to N£s.
Dowód. Udawajmy, że tak N> S. Zgodnie z warunkami twierdzenia
|
|
Ponieważ układ jest liniowo niezależny, równość (18) Û X1=x2=…=xN= 0. Zastąpmy tutaj wyrażeniami wektorów: …+=0 (19). Stąd (20). Warunki (18), (19) i (20) są oczywiście równoważne. Ale (18) jest spełnione tylko wtedy, gdy X1=x2=…=xN= 0. Sprawdźmy, kiedy równość (20) jest prawdziwa. Jeśli wszystkie jego współczynniki wynoszą zero, to jest to oczywiście prawdą. Przyrównując je do zera, otrzymujemy układ (21). Ponieważ ten system ma zero , to |
(21)wspólny Ponieważ liczba równań więcej numeru niewiadomych, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Dlatego ma wartość niezerową X10, x20, …, xNie. Dla tych wartości prawdziwa będzie równość (18), co przeczy faktowi, że układ wektorów jest liniowo niezależny. Zatem nasze założenie jest błędne. Stąd, N£s.
Konsekwencja. Jeżeli dwa równoważne układy wektorów są skończone i liniowo niezależne, to zawierają taką samą liczbę wektorów.
Definicja 17. Nazywa się system wektorowy Maksymalny liniowo niezależny układ wektorów Przestrzeń liniowa L , jeśli jest liniowo niezależny, ale po dodaniu do niego dowolnego wektora z L , nieuwzględnione w tym systemie, staje się liniowo zależne.
Twierdzenie 10. Dowolne dwa skończone maksymalne liniowo niezależne układy wektorów z L Zawierają tę samą liczbę wektorów.
Dowód wynika z faktu, że dowolne dwa maksymalnie liniowo niezależne układy wektorów są równoważne .
Łatwo udowodnić, że dowolny liniowo niezależny układ wektorów przestrzennych L można rozwinąć do maksymalnie liniowo niezależnego układu wektorów w tej przestrzeni.
Przykłady:
1. W zbiorze wszystkich współliniowych wektory geometryczne każdy układ składający się z jednego niezerowego wektora jest maksymalnie liniowo niezależny.
2. W zbiorze wszystkich współpłaszczyznowych wektorów geometrycznych dowolne dwa niewspółliniowe wektory tworzą maksymalnie liniowo niezależny układ.
3. W zbiorze wszystkich możliwych wektorów geometrycznych trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej dowolny układ trzech niewspółpłaszczyznowych wektorów jest maksymalnie liniowo niezależny.
4. W zbiorze wszystkich wielomianów stopnie nie są wyższe niż N Przy rzeczywistych (zespolonych) współczynnikach, układ wielomianów 1, x, x2,…, xn Jest maksymalnie liniowo niezależny.
5. W zbiorze wszystkich wielomianów o rzeczywistych (zespolonych) współczynnikach przykładami maksymalnego układu liniowo niezależnego są
A) 1, x, x2, ... , xn, ... ;
B) 1, (1 – x), (1 – x)2, … , (1 – x)N, ...
6. Zbiór macierzy wymiarowych M´ N jest przestrzenią liniową (sprawdź to). Przykładem maksymalnie liniowo niezależnego układu w tej przestrzeni jest układ macierzowy E11= , E12 =, …, EMn = .
Niech będzie dany układ wektorów C1, c2, …, por (*). Nazywa się podsystem wektorów z (*). Maksymalna liniowo niezależna Podsystem Systemy ( *) , jeśli jest liniowo niezależny, ale po dodaniu do niego dowolnego innego wektora tego układu staje się liniowo zależny. Jeśli system (*) jest skończony, to dowolny z jego maksymalnie liniowo niezależnych podsystemów zawiera tę samą liczbę wektorów. (Udowodnij to sam). Nazywa się liczbę wektorów w maksymalnym liniowo niezależnym podsystemie układu (*). Ranga Ten system. Oczywiście równoważne układy wektorów mają te same szeregi.
Poniżej podano kilka kryteriów zależności liniowej i odpowiednio liniowej niezależności systemów wektorowych.
Twierdzenie. (Warunek konieczny i wystarczający liniowej zależności wektorów.)
Układ wektorów jest zależny wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z wektorów układu jest wyrażony liniowo przez pozostałe wektory tego układu.
Dowód. Konieczność. Niech układ będzie liniowo zależny. Wtedy z definicji reprezentuje wektor zerowy w sposób nietrywialny, tj. istnieje nietrywialna kombinacja tego układu wektorów równa wektorowi zerowemu:
gdzie co najmniej jeden ze współczynników tej kombinacji liniowej nie jest równy zero. Pozwalać , .
Podzielmy obie strony poprzedniej równości przez ten niezerowy współczynnik (tj. pomnóżmy przez:
Oznaczmy: , gdzie .
te. jeden z wektorów układu jest wyrażany liniowo przez pozostałe wektory tego układu itp.
Adekwatność. Niech jeden z wektorów układu będzie wyrażony liniowo poprzez inne wektory tego układu:
Przesuńmy wektor na prawo od tej równości:
Ponieważ współczynnik wektora jest równy , to mamy nietrywialną reprezentację zera za pomocą układu wektorów, co oznacza, że ten układ wektorów jest liniowo zależny itp.
Twierdzenie zostało udowodnione.
Konsekwencja.
1. Układ wektorowy Przestrzeń wektorowa jest liniowo niezależna wtedy i tylko wtedy, gdy żaden z wektorów układu nie jest wyrażony liniowo w postaci innych wektorów tego układu.
2. Układ wektorów zawierający wektor zerowy lub dwa równe wektory jest liniowo zależny.
Dowód.
1) Konieczność. Niech układ będzie liniowo niezależny. Załóżmy odwrotnie i istnieje wektor układu, który wyraża się liniowo poprzez inne wektory tego układu. Wtedy, zgodnie z twierdzeniem, układ jest liniowo zależny i dochodzimy do sprzeczności.
Adekwatność. Niech żaden z wektorów układu nie będzie wyrażony za pomocą pozostałych. Załóżmy odwrotnie. Niech układ będzie liniowo zależny, ale wtedy z twierdzenia wynika, że istnieje wektor układu, który wyraża się liniowo przez inne wektory tego układu, i znowu dochodzimy do sprzeczności.
2a) Niech układ zawiera wektor zerowy. Załóżmy dla określoności, że wektor :. Wtedy równość jest oczywista
te. jeden z wektorów układu jest wyrażany liniowo przez pozostałe wektory tego układu. Z twierdzenia wynika, że taki układ wektorów jest liniowo zależny itp.
Należy zauważyć, że fakt ten można udowodnić bezpośrednio z liniowo zależnego układu wektorów.
Ponieważ , następująca równość jest oczywista
Jest to nietrywialna reprezentacja wektora zerowego, co oznacza, że układ jest liniowo zależny.
2b) Niech układ ma dwa równe wektory. Pozwól na . Wtedy równość jest oczywista
Te. pierwszy wektor jest wyrażany liniowo przez pozostałe wektory tego samego układu. Z twierdzenia wynika, że ten system liniowo zależny itp.
Podobnie jak poprzednio, twierdzenie to można bezpośrednio udowodnić poprzez definicję układu liniowo zależnego, wówczas układ ten nietrywialnie reprezentuje wektor zerowy
skąd wynika liniowa zależność układu.
Twierdzenie zostało udowodnione.
Konsekwencja. Układ składający się z jednego wektora jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy wektor ten jest różny od zera.
3.3. Liniowa niezależność wektorów. Podstawa.Liniowy połączenie systemy wektorowe
zwany wektorem
gdzie a 1, a 2, ..., n - dowolne liczby.
Jeśli wszystko jest i = 0, wówczas nazywana jest kombinacja liniowa trywialny . W tym przypadku oczywiście
Definicja 5.
|
Jeśli dla układu wektorów
istnieje nietrywialna kombinacja liniowa (co najmniej jedna ai¹ 0) równy wektorowi zerowemu: wówczas nazywa się układ wektorów liniowy zależny. Jeśli równość (1) jest możliwa tylko w przypadku, gdy wszyscy ja =0, wówczas nazywa się układ wektorów liniowy niezależny . |
Twierdzenie 2 (Warunki zależności liniowej).
Definicja 6.
Z Twierdzenia 3 wynika z tego, że jeśli w przestrzeni dana jest baza, to dodając do niej dowolny wektor, otrzymujemy liniowo zależny układ wektorów. Zgodnie z Twierdzenie 2 (1) , jeden z nich (można wykazać, że wektor) można przedstawić jako kombinację liniową pozostałych:
.
Definicja 7.
|
Liczby są nazywane współrzędne wektory w bazie (oznaczone
|
Jeżeli wektory rozpatrywane są na płaszczyźnie, wówczas podstawą będzie uporządkowana para wektorów niewspółliniowych
a współrzędne wektora w tej podstawie to para liczb:
Uwaga 3. Można to wykazać dla danej podstawy współrzędne wektora są wyznaczane jednoznacznie . Z tego w szczególności wynika, że jeśli wektory są równe, to odpowiadające im współrzędne są równe i odwrotnie .
Zatem, jeśli w przestrzeni podana jest baza, to każdemu wektorowi przestrzeni odpowiada uporządkowana trójka liczb (współrzędne wektora w tej podstawie) i odwrotnie: każda trójka liczb odpowiada wektorowi.
Na płaszczyźnie podobna zgodność ustalana jest między wektorami i parami liczb.
Twierdzenie 4 (Operacje liniowe na współrzędnych wektorowych).
|
Jeśli w jakiejś podstawie I A jest dowolną liczbą, to w tej podstawie |
Innymi słowy:
Kiedy wektor jest mnożony przez liczbę, jego współrzędne są mnożone przez tę liczbę ;
podczas dodawania wektorów dodawane są odpowiadające im współrzędne .
Przykład 1 . W pewnym sensie wektorymają współrzędne
Pokaż, że wektory tworzą bazę i znajdź na tej bazie współrzędne wektora.
Wektory stanowią bazę, jeśli nie są współpłaszczyznowe, zatem (zgodnie z według Twierdzenia 3(2) ) są liniowo niezależne.
Z definicji 5 oznacza to równość
możliwe tylko jeśliX = y = z = 0.
Definitywnie zbiór w nazywany jest przestrzenią liniową i jej elementem. -wektory jeśli:
*prawo jest określone (+) zgodnie z kat. dowolne dwa elementy x, y z w są powiązane z elementem o nazwie. ich suma [x + y]
*podane jest prawo (* dla liczby a), zgodnie z elementem cat x z w i a, porównywany jest element z w, zwany iloczynem x i a [ax];
* ukończone
następujące wymagania (lub aksjomaty):
Ślad c1. wektor zerowy (ctv 0 1 i 0 2. przez a3: 0 2 + 0 1 = 0 2 i 0 1 + 0 2 = 0 1. przez a1 0 1 + 0 2 = 0 2 + 0 1 => 0 1 = 0 2.)
c2. .(ctv, a4)
c3. 0 wektorów (a7)
c4. a(liczba)*0=0.(a6,c3)
c5. x (*) -1 =0 wektor, przeciwny do x, tj. (-1)x = -x. (a5,a6)
c6. W w zdefiniowano działanie odejmowania: wektor x nazywany jest różnicą wektorów b i a, jeśli x + a = b, i jest oznaczony jako x = b - a.
Numer N zwany wymiar lin. pr-a L , jeśli w L istnieje system N lin. niezaw. wektory i dowolny system N wektor +1 - lin. zależny ciemny L= N. Przestrzeń L zwany n-wymiarowym.
Uporządkowany zbiór n linii. niezaw. wektory n wymiarowe niezależne. przestrzeń - podstawa
Twierdzenie. Każdy wektor X może być reprezentowany jedyny sposób w postaci kombinacji liniowych wektorów bazowych
Niech (1) będzie podstawą n-wymiarowej liniowej. pr-va V, tj. zbiór liniowo niezależnych wektorów. Zbiór wektorów będzie liniowy. zależny, ponieważ ich n+ 1.
Te. istnieją liczby, z których nie wszystkie są jednocześnie równe zero, co to ma z tym wspólnego (w przeciwnym razie (1) są liniowo zależne).
Następnie gdzie jest rozkład wektorowy X według podstawy(1) .
To wyrażenie jest wyjątkowe, ponieważ jeśli istnieje inne wyrażenie (**)
odejmując równość (**) od (*),
dostajemy
Ponieważ są liniowo niezależne, wówczas . czt
Twierdzenie. Jeśli - lin. niezależne wektory przestrzeni V i każdy wektor x z V można przedstawić za pomocą , wówczas wektory te tworzą bazę V
Doc: (1)-lin.independent =>pozostaje dokument, który jest liniowo niezależny. Zgodnie z konwencją Każdy wektor a jest wyrażony poprzez (1): , rozważ , rang≤n => wśród kolumn nie więcej niż n jest liniowo niezależnych, ale m > n=> m kolumn jest liniowo zależnych => s=1, n
Oznacza to, że wektory są liniowo zależne
Zatem przestrzeń V jest n-wymiarowa i (1) jest jej podstawą
№4def. Podzbiór L lin. produkcja V nazywa się lin. kon. tej przestrzeni, jeżeli ze względu na działania (+) i (*a) określone w V podprzestrzeń L jest przestrzenią liniową
Twierdzenie Zbiór l wektorów przestrzeni V jest liniowy. Występuje podprzestrzeń tej przestrzeni
(postęp) niech będą spełnione (1) i (2), aby L było podprostym.V Pozostaje udowodnić, że wszystkie aksjomaty lin są spełnione. pr-va.
(-x): -x+x=0 D. a(x + y) = topór + ay;
(a-b) i (e-h) wynika z ważności V, udowodnijmy (c)
(konieczność) Niech L będzie lin. podprzestrzeni tej przestrzeni, to (1) i (2) są spełnione na mocy definicji prostych. pr-va
def. Zbiór wszelkiego rodzaju linii. kombinacje niektórych elementów (x j) lin. produkt nazywany jest powłoką liniową
Twierdzenie dowolny zbiór wszystkich linii. kombinacje wektorów V z rzeczywistymi. współczynnik wynosi lin. subpr V (powłoka liniowa dany układ wektorów lin. pr. jest liniowym podpr tego pr. )
ODA.Niepusty podzbiór wektorów liniowych L. produkcja V nazywa się lin. podprzestrzeń, jeśli:
a) suma dowolnych wektorów z L należy do L
b) iloczyn każdego wektora z L przez dowolną liczbę należy do L
Suma dwóch podprzestrzeniLjest znowu podprzestrzeniąL
1) Niech y 1 + y 2 (L 1 + L 2)<=>y 1 =x 1 +x 2, y 2 =x’ 1 +x’ 2, gdzie (x 1,x’ 1) L 1, (x 2,x’ 2) L 2. y 1 +y 2 =(x 1 +x 2)+(x' 1 +x' 2)=(x 1 +x' 1)+(x 2 +x' 2), gdzie (x 1 +x' 1 ) L 1 , (x 2 +x' 2) L 2 => spełniony jest pierwszy warunek podprzestrzeni liniowej.
ay 1 =ax 1 + ax 2, gdzie (ax 1) L 1, (ax 2) L 2 => ponieważ (y 1 +y 2) (L 1 +L 2) , (ly 1) (L 1 +L 2) => warunki są spełnione => L 1 +L 2 jest podprzestrzenią liniową.
Przecięcie dwóch pododdziałów.L 1 IL 2 lin. pr-vaL jest także subsp. tę przestrzeń.
Rozważmy dwa dowolne wektory X,y, należące do przecięcia podprzestrzeni i dwie dowolne liczby A,B:.
Według def. przecięcia zbiorów:
=> z definicji podprzestrzeni przestrzeni liniowej:,.
wektor T.K topór + przez należy do wielu L 1 i wiele L 2, to z definicji należy do przecięcia tych zbiorów. Zatem:
ODA.Mówią, że V jest sumą bezpośrednią jego podziałów. jeśli i b) rozkład ten jest unikalny
B") Pokażmy, że b) jest równoważne b’)
Kiedy b) jest prawdziwe b’)
Wszystkie rodzaje (M, N) z przecinają się tylko wzdłuż wektora zerowego
Niech ∃ z ∈
Sprawiedliwy powrótL=
sprzeczność
Twierdzenie Do (*) jest konieczne i wystarczające dla sumy zasad ( stworzył podstawę przestrzeni
(Wymagany) niech (*) i wektory będą bazami podzbiorów. i następuje rozwinięcie ; x jest rozwijane po bazie L, aby stwierdzić, że ( stanowi bazę, należy udowodnić ich liniową niezależność; wszystkie one zawierają 0 0=0+...+0. Ze względu na jednoznaczność rozwinięcia 0 over : => ze względu na liniową niezależność bazy => ( – baza
(Eks.) Niech ( tworzą podstawę L jednoznaczny rozkład (**) istnieje co najmniej jeden rozkład. Przez niepowtarzalność (*) => niepowtarzalność (**)
Komentarz. Wymiar sumy bezpośredniej jest równy sumie wymiarów podprzestrzeni
Dowolna nieosobliwa macierz kwadratowa może służyć jako macierz przejścia z jednej podstawy do drugiej
Wprowadź n-wymiarowy przestrzeń liniowa V są dwie podstawy i
(1) =A, gdzie elementy * i ** nie są liczbami, ale pewne operacje na macierzy numerycznej rozszerzymy na takie wiersze.
Ponieważ w przeciwnym razie wektory ** byłyby zależne liniowo
Z powrotem. Jeśli wówczas kolumny A są liniowo niezależne => tworzą bazę
Współrzędne I powiązane relacją , Gdzie elementy macierzy przejścia
Niech będzie znany rozkład elementów „nowej” podstawy na „starą”.
Wtedy równości są prawdziwe
Ale jeśli liniowa kombinacja liniowo niezależnych elementów wynosi 0, to =>
Podstawowe twierdzenie o zależności liniowej
Jeśli (*) wyraża się liniowo poprzez (**) ToN<= M
Udowodnijmy przez indukcję na m
m=1: system (*) zawiera 0 i lin. menadżer - niemożliwe
niech to będzie prawdą dla m=k-1
udowodnijmy dla m=k
Może się okazać, że 1) , tj. v-ry (1) to lin.comb. lin. w rowie (2)System (1) liniowy niezależny, ponieważ jest częścią lin.nezav. systemy (*). Ponieważ w układzie (2) są tylko wektory k-1, to z hipotezy indukcyjnej otrzymujemy k+1
