Pozwalać
(1)
jest różniczkowalną funkcją zmiennej x. Najpierw przyjrzymy się temu pod kątem zbioru wartości x, dla których przyjmuje się y wartości dodatnie: . Poniżej pokażemy, że wszystkie uzyskane wyniki mają zastosowanie również dla wartości ujemnych .

W niektórych przypadkach, aby znaleźć pochodną funkcji (1), wygodnie jest ją wstępnie logarytmować
,
i następnie oblicz pochodną. Następnie, zgodnie z zasadą różniczkowania funkcji zespolonej,
.
Stąd
(2) .

Pochodna logarytmu funkcji nazywana jest pochodną logarytmiczną:
.

Logarytmiczna pochodna funkcji y = k(x) jest pochodną naturalny logarytm ta funkcja: (lnf(x))′.

Przypadek ujemnych wartości y

Rozważmy teraz przypadek, w którym zmienna może przyjmować zarówno wartości dodatnie, jak i wartości ujemne. W tym przypadku weź logarytm modułu i znajdź jego pochodną:
.
Stąd
(3) .
Oznacza to, że w ogólnym przypadku musisz znaleźć pochodną logarytmu modułu funkcji.

Porównując (2) i (3) mamy:
.
Oznacza to, że formalny wynik obliczenia pochodnej logarytmicznej nie zależy od tego, czy przyjęliśmy modulo, czy nie. Dlatego też obliczając pochodną logarytmiczną nie musimy się martwić, jaki znak ma dana funkcja.

Sytuację tę można wyjaśnić za pomocą liczb zespolonych. Niech dla niektórych wartości x będzie ujemny: . Jeśli tylko rozważymy liczby rzeczywiste, to funkcja nie jest zdefiniowana. Jeśli jednak wprowadzimy pod uwagę Liczby zespolone, wówczas otrzymujemy:
.
Oznacza to, że funkcje i różnią się stałą zespoloną:
.
Zatem pochodna stałej wynosi zero
.

Własność pochodnej logarytmicznej

Z takich rozważań wynika, że pochodna logarytmiczna nie zmieni się, jeśli pomnożysz funkcję przez dowolną stałą :
.
Rzeczywiście, używając właściwości logarytmu, formuły suma pochodna I pochodna stałej, mamy:

.

Zastosowanie pochodnej logarytmicznej

Wygodnie jest używać pochodnej logarytmicznej w przypadkach, gdy pierwotna funkcja składa się z iloczynu potęgi lub funkcje wykładnicze. W tym przypadku operacja logarytmiczna zamienia iloczyn funkcji na ich sumę. Upraszcza to obliczenie pochodnej.

Przykład 1

Znajdź pochodną funkcji:
.

Rozwiązanie

Logarytmujemy pierwotną funkcję:
.

Różniczkujemy ze względu na zmienną x.
W tabeli instrumentów pochodnych znajdujemy:
.
Stosujemy zasadę różniczkowania funkcji zespolonych.
;
;
;
;
(A1.1) .
Pomnożyć przez:

.

Zatem znaleźliśmy pochodną logarytmiczną:
.
Stąd znajdujemy pochodną pierwotnej funkcji:
.

Notatka

Jeżeli chcemy posługiwać się wyłącznie liczbami rzeczywistymi, to powinniśmy przyjąć logarytm modułu pierwotnej funkcji:
.
Następnie
;
.
I otrzymaliśmy wzór (A1.1). Dlatego wynik się nie zmienił.

Odpowiedź

Przykład 2

Korzystając z pochodnej logarytmicznej, znajdź pochodną funkcji
.

Rozwiązanie

Weźmy logarytmy:
(A2.1) .
Różniczkuj ze względu na zmienną x:
;
;

;
;
;
.

Pomnożyć przez:
.
Stąd otrzymujemy pochodną logarytmiczną:
.

Pochodna pierwotnej funkcji:
.

Notatka

Tutaj oryginalna funkcja jest nieujemna: . Jest ona zdefiniowana na godz. Jeżeli nie założymy, że logarytm można zdefiniować dla ujemnych wartości argumentu, wówczas wzór (A2.1) należy zapisać w następujący sposób:
.
Ponieważ

I
,
nie będzie to miało wpływu na wynik końcowy.

Odpowiedź

Przykład 3

Znajdź pochodną
.

Rozwiązanie

Różniczkowanie wykonujemy za pomocą pochodnej logarytmicznej. Weźmy logarytm, biorąc pod uwagę, że:
(A3.1) .

Różniczkując otrzymujemy pochodną logarytmiczną.
;
;
;
(A3.2) .

Od tego czasu

.

Notatka

Obliczenia przeprowadźmy bez założenia, że logarytm można zdefiniować dla ujemnych wartości argumentu. Aby to zrobić, weź logarytm modułu pierwotnej funkcji:
.
Wtedy zamiast (A3.1) mamy:
;

.
Porównując z (A3.2) widzimy, że wynik się nie zmienił.

Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres E-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

Zebrane przez nas informacje osobiste pozwala nam kontaktować się z Tobą i informować Cię o wyjątkowych ofertach, promocjach i innych wydarzeniach oraz nadchodzących wydarzeniach.
Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawienia rekomendacji dotyczących naszych usług.
Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.

Ujawnianie informacji osobom trzecim

Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.

Wyjątki:

Jeżeli jest to konieczne – zgodnie z prawem, procedurą sądową, postępowaniem sądowym i/lub na podstawie żądań publicznych lub żądań od agencje rządowe na terytorium Federacji Rosyjskiej – ujawnij swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.

Złożone pochodne. Pochodna logarytmiczna.
Pochodna funkcji potęgowo-wykładniczej

Wciąż doskonalimy naszą technikę różnicowania. Na tej lekcji skonsolidujemy przerobiony materiał, przyjrzymy się bardziej złożonym pochodnym, a także zapoznamy się z nowymi technikami i trikami znajdowania pochodnej, w szczególności pochodnej logarytmicznej.

Czytelnicy o niskim poziomie przygotowania powinni zapoznać się z artykułem Jak znaleźć pochodną? Przykłady rozwiązań, które pozwolą Ci podnieść swoje umiejętności niemal od zera. Następnie musisz dokładnie przestudiować stronę Pochodna funkcji zespolonej, zrozumieć i rozwiązać Wszystko przykłady, które podałem. Ta lekcja jest logicznie trzecią z rzędu, a po jej opanowaniu z pewnością rozróżnisz dość złożone funkcje. Niepożądane jest przyjmowanie stanowiska „Gdzie jeszcze? Tak, to wystarczy! ”, ponieważ wszystkie przykłady i rozwiązania pochodzą z rzeczywistości testy i często spotykane w praktyce.

Zacznijmy od powtórzeń. Na lekcji Pochodna funkcji zespolonej Przyjrzeliśmy się wielu przykładom ze szczegółowymi komentarzami. W trakcie studiowania rachunku różniczkowego i innych gałęzi analizy matematycznej będziesz musiał bardzo często dokonywać różnicowania i nie zawsze jest wygodne (i nie zawsze konieczne) opisywanie przykładów z dużą szczegółowością. Dlatego będziemy ćwiczyć ustne znajdowanie pochodnych. Najbardziej odpowiednimi „kandydatami” do tego są pochodne najprostszych ze złożonych funkcji, na przykład:

Zgodnie z zasadą różniczkowania złożona funkcja :

Studiując w przyszłości inne tematy matanowe, tak szczegółowy zapis najczęściej nie jest wymagany, zakłada się, że student wie, jak znaleźć takie pochodne na autopilocie. Wyobraźmy sobie, że o trzeciej w nocy zadzwonił telefon i przyjemny głos zapytał: „Jaka jest pochodna tangensa dwóch X?” Po tym powinna nastąpić niemal natychmiastowa i uprzejma odpowiedź: .

Pierwszy przykład będzie od razu przeznaczony niezależna decyzja.

Przykład 1

Znajdź ustnie następujące pochodne w jednej akcji, na przykład: . Aby wykonać zadanie, wystarczy użyć tablica pochodnych funkcji elementarnych(jeśli jeszcze tego nie pamiętasz). W razie trudności sugeruję ponowne przeczytanie lekcji Pochodna funkcji zespolonej.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, ,

Odpowiedzi na końcu lekcji

Złożone pochodne

Po wstępnym przygotowaniu artyleryjskim przykłady z 3-4-5 zagnieżdżeniami funkcji będą mniej przerażające. Poniższe dwa przykłady mogą niektórym wydawać się skomplikowane, ale jeśli je zrozumiesz (ktoś ucierpi), to prawie wszystko inne w rachunku różniczkowym będzie wydawać się dziecięcym żartem.

Przykład 2

Znajdź pochodną funkcji

Jak już wspomniano, przy znajdowaniu pochodnej funkcji złożonej przede wszystkim jest to konieczne Prawidłowy ZROZUM swoje inwestycje. W przypadku wątpliwości przypominam przydatną technikę: bierzemy na przykład eksperymentalną wartość „x” i próbujemy (w myślach lub w wersji roboczej) zastąpić tę wartość „strasznym wyrażeniem”.

1) Najpierw musimy obliczyć wyrażenie, co oznacza, że suma jest najgłębszym osadzeniem.

2) Następnie musisz obliczyć logarytm:

4) Następnie sześcian cosinus:

5) W piątym kroku różnica:

6) I wreszcie najbardziej zewnętrzna funkcja to Pierwiastek kwadratowy:

Wzór na różniczkowanie funkcji zespolonej są stosowane w odwrotnej kolejności, od funkcji najbardziej zewnętrznej do najbardziej wewnętrznej. My decydujemy:

Wygląda na to, że nie ma błędów...

(1) Weź pochodną pierwiastka kwadratowego.

(2) Pochodną różnicy obliczamy korzystając z reguły

(3) Pochodna trójki wynosi zero. W drugim wyrazie bierzemy pochodną stopnia (sześcianu).

(4) Weź pochodną cosinusa.

(5) Weź pochodną logarytmu.

(6) Na koniec bierzemy pochodną najgłębszego osadzania.

Może się to wydawać zbyt trudne, ale nie jest to najbardziej brutalny przykład. Weźmy na przykład kolekcję Kuzniecowa, a docenisz całe piękno i prostotę analizowanego pochodnego. Zauważyłem, że lubią dawać podobne zadanie na egzaminie, żeby sprawdzić, czy student rozumie, jak znaleźć pochodną funkcji zespolonej, czy też nie rozumie.

Poniższy przykład jest przeznaczony do samodzielnego rozwiązania.

Przykład 3

Znajdź pochodną funkcji

Wskazówka: Najpierw zastosujemy reguły liniowości i zasadę różnicowania produktu

Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Czas przejść na coś mniejszego i ładniejszego.
Nierzadko zdarza się, że przykład pokazuje iloczyn nie dwóch, ale trzech funkcji. Jak znaleźć pochodną iloczynu trzech czynników?

Przykład 4

Znajdź pochodną funkcji

Najpierw zastanówmy się, czy można zamienić iloczyn trzech funkcji w iloczyn dwóch funkcji? Na przykład, gdybyśmy mieli w iloczynie dwa wielomiany, moglibyśmy otworzyć nawiasy. Ale w rozważanym przykładzie wszystkie funkcje są inne: stopień, wykładnik i logarytm.

W takich przypadkach jest to konieczne sekwencyjnie zastosować regułę różnicowania produktów dwa razy

Sztuka polega na tym, że przez „y” oznaczamy iloczyn dwóch funkcji: , a przez „ve” oznaczamy logarytm: . Dlaczego można to zrobić? Czy to naprawdę? – to nie jest iloczyn dwóch czynników i reguła nie działa?! Nie ma nic skomplikowanego:

Teraz pozostaje zastosować regułę po raz drugi do nawiasu:

Możesz też się przekręcić i wstawić coś z nawiasów, ale w tym przypadku lepiej zostawić odpowiedź dokładnie w tej formie - łatwiej będzie to sprawdzić.

Rozważany przykład można rozwiązać w drugi sposób:

Obydwa rozwiązania są całkowicie równoważne.

Przykład 5

Znajdź pochodną funkcji

To jest przykład rozwiązania niezależnego, w przykładzie zostało ono rozwiązane pierwszą metodą.

Spójrzmy na podobne przykłady z ułamkami zwykłymi.

Przykład 6

Znajdź pochodną funkcji

Można tu przejść na kilka sposobów:

Lub tak:

Ale rozwiązanie zostanie zapisane bardziej zwięźle, jeśli najpierw zastosujemy zasadę różniczkowania ilorazu , biorąc za cały licznik:

W zasadzie przykład został rozwiązany i jeśli pozostawimy go tak jak jest, nie będzie to błąd. Ale jeśli masz czas, zawsze warto sprawdzić wersję roboczą, aby sprawdzić, czy odpowiedź można uprościć? Sprowadźmy wyrażenie licznika do wspólnego mianownika i pozbądźmy się ułamka trzypiętrowego:

Wadą dodatkowych uproszczeń jest ryzyko popełnienia błędu nie przy znajdywaniu pochodnej, ale przy banalnych przekształceniach szkolnych. Z drugiej strony nauczyciele często odrzucają zadanie i proszą o „przypomnienie” pochodnej.

Prostszy przykład do samodzielnego rozwiązania:

Przykład 7

Znajdź pochodną funkcji

Nadal doskonalimy metody znajdowania pochodnej, a teraz rozważymy typowy przypadek, gdy do różniczkowania zaproponowany zostanie „straszny” logarytm

Przykład 8

Znajdź pochodną funkcji

Tutaj możesz przejść długą drogę, używając reguły różniczkowania funkcji złożonej:

Ale już pierwszy krok natychmiast pogrąża cię w przygnębieniu - musisz wziąć nieprzyjemną pochodną z potęgi ułamkowej, a potem także z ułamka.

Dlatego zanim jak wziąć pochodną „wyrafinowanego” logarytmu, najpierw upraszcza się ją, korzystając ze znanych właściwości szkolnych:

! Jeśli masz pod ręką zeszyt ćwiczeń, przepisz bezpośrednio tam te formuły. Jeśli nie masz zeszytu, przepisz je na kartkę papieru, ponieważ pozostałe przykłady lekcji będą dotyczyć tych formuł.

Samo rozwiązanie można zapisać mniej więcej tak:

Przekształćmy funkcję:

Znajdowanie pochodnej:

Wstępna konwersja samej funkcji znacznie uprościła rozwiązanie. Zatem, gdy do różniczkowania proponuje się podobny logarytm, zawsze wskazane jest „rozbicie go”.

A teraz kilka prostych przykładów do samodzielnego rozwiązania:

Przykład 9

Znajdź pochodną funkcji

Przykład 10

Znajdź pochodną funkcji

Wszystkie przekształcenia i odpowiedzi znajdują się na końcu lekcji.

Pochodna logarytmiczna

Jeśli pochodną logarytmów jest taka słodka muzyka, pojawia się pytanie: czy w niektórych przypadkach można sztucznie uporządkować logarytm? Móc! A nawet konieczne.

Przykład 11

Znajdź pochodną funkcji

Niedawno przyglądaliśmy się podobnym przykładom. Co robić? Można kolejno zastosować regułę różniczkowania ilorazu, a następnie regułę różniczkowania iloczynu. Wadą tej metody jest to, że otrzymujesz ogromną trzypiętrową frakcję, z którą w ogóle nie chcesz się zajmować.

Ale w teorii i praktyce istnieje coś tak cudownego jak pochodna logarytmiczna. Logarytmy można organizować sztucznie, „zawieszając” je po obu stronach:

Notatka : ponieważ funkcja może przyjmować wartości ujemne, wówczas ogólnie rzecz biorąc należy użyć modułów: , które zanikną w wyniku różnicowania. Jednak obecny projekt jest również akceptowalny, jeśli domyślnie jest brany pod uwagę złożony znaczenia. Ale jeśli z całą surowością, to w obu przypadkach należy poczynić zastrzeżenie.

Teraz musisz jak najbardziej „rozłożyć” logarytm prawej strony (wzory na twoich oczach?). Opiszę ten proces bardzo szczegółowo:

Zacznijmy od różnicowania.
Obie części kończymy pod liczbą pierwszą:

Pochodna prawej strony jest dość prosta, nie będę jej komentować, bo jeśli czytasz ten tekst, powinieneś sobie z tym poradzić pewnie.

A co z lewą stroną?

Po lewej stronie mamy złożona funkcja. Przewiduję pytanie: „Dlaczego pod logarytmem jest jedna litera „Y”?”

Faktem jest, że ta „gra w jedną literę” - SAM JEST FUNKCJĄ(jeśli nie jest to zbyt jasne, zobacz artykuł Pochodna funkcji określonej implicytnie). Dlatego logarytm jest funkcją zewnętrzną, a „y” jest funkcją wewnętrzną. I używamy reguły różniczkowania funkcji zespolonej :

Po lewej stronie, jak za dotknięciem czarodziejskiej różdżki magiczna różdżka mamy pochodną. Następnie zgodnie z zasadą proporcji przenosimy „y” z mianownika lewej strony na górę prawej strony:

A teraz przypomnijmy sobie, o jakiej funkcji „gracza” mówiliśmy podczas różniczkowania? Spójrzmy na warunek:

Ostatnia odpowiedź:

Przykład 12

Znajdź pochodną funkcji

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Przykładowy projekt przykładu tego typu znajduje się na końcu lekcji.

Stosując pochodną logarytmiczną udało się rozwiązać dowolny z przykładów nr 4-7, inną rzeczą jest to, że funkcje tam są prostsze i być może użycie pochodnej logarytmicznej nie jest zbyt uzasadnione.

Pochodna funkcji potęgowo-wykładniczej

Nie rozważaliśmy jeszcze tej funkcji. Funkcja potęgowo-wykładnicza to funkcja, dla której zarówno stopień, jak i podstawa zależą od „x”. Klasyczny przykład, który zostanie ci podany w dowolnym podręczniku lub wykładzie:

Jak znaleźć pochodną funkcji potęgowo-wykładniczej?

Należy zastosować omówioną właśnie technikę – pochodną logarytmiczną. Zawieszamy logarytmy po obu stronach:

Z reguły po prawej stronie stopień jest pobierany spod logarytmu:

W efekcie po prawej stronie mamy iloczyn dwóch funkcji, które będziemy różniczkować według wzoru standardowego .

Znajdujemy pochodną, w tym celu obcinamy obydwie części kreskami:

Dalsze działania są proste:

Wreszcie:

Jeśli jakakolwiek konwersja nie jest całkowicie jasna, prosimy o ponowne dokładne przeczytanie wyjaśnień do Przykładu nr 11.

W zadania praktyczne Funkcja potęgowo-wykładnicza zawsze będzie bardziej złożona niż przykład omawiany na wykładzie.

Przykład 13

Znajdź pochodną funkcji

Używamy pochodnej logarytmicznej.

Po prawej stronie mamy stałą i iloczyn dwóch czynników - „x” i „logarytm logarytmu x” (kolejny logarytm jest zagnieżdżony pod logarytmem). Różniczkując, jak pamiętamy, lepiej od razu usunąć stałą ze znaku pochodnej, aby nie przeszkadzała; i oczywiście stosujemy znaną zasadę :

Pochodna logarytmu naturalnego x jest równa jedności podzielonej przez x:
(1) (lnx)′ =.

Pochodna logarytmu o podstawie a jest równa jedności podzielonej przez zmienną x pomnożoną przez logarytm naturalny a:
(2) (zaloguj x)′ =.

Dowód

Niech będzie jakaś liczba dodatnia różna od jedności. Rozważmy funkcję zależną od zmiennej x, która jest logarytmem o podstawie:
.
Funkcja ta jest zdefiniowana w . Znajdźmy jego pochodną względem zmiennej x. Z definicji pochodną jest następująca granica:
(3) .

Przekształćmy to wyrażenie, aby zredukować je do znanych właściwości i reguł matematycznych. Aby to zrobić, musimy znać następujące fakty:
A) Własności logarytmu. Będziemy potrzebować następujących formuł:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
B) Ciągłość logarytmu i własność granic funkcji ciągłej:
(7) .
Oto funkcja, która ma granicę i ta granica jest dodatnia.
W) Znaczenie drugiego niezwykłego limitu:
(8) .

Zastosujmy te fakty do naszego limitu. Najpierw przekształcamy wyrażenie algebraiczne
.
W tym celu stosujemy właściwości (4) i (5).

.

Skorzystajmy z własności (7) i drugiej niezwykły limit (8):
.

I na koniec stosujemy własność (6):
.
Logarytm do podstawy mi zwany naturalny logarytm. Wyznacza się go w następujący sposób:
.
Następnie ;
.

W ten sposób otrzymaliśmy wzór (2) na pochodną logarytmu.

Pochodna logarytmu naturalnego

Jeszcze raz zapisujemy wzór na pochodną logarytmu opartego na a:
.
Wzór ten ma najprostszą postać logarytmu naturalnego, dla którego , . Następnie
(1) .

Ze względu na tę prostotę logarytm naturalny jest bardzo szeroko stosowany w analizie matematycznej oraz w innych gałęziach matematyki związanych z rachunkiem różniczkowym. Funkcje logarytmiczne z innymi zasadami można wyrazić za pomocą logarytmu naturalnego, korzystając z własności (6):
.

Pochodną logarytmu po podstawie można znaleźć ze wzoru (1), jeśli odejmiemy stałą od znaku różniczkowania:
.

Inne sposoby udowadniania pochodnej logarytmu

Zakładamy tutaj, że znamy wzór na pochodną wykładniczą:
(9) .
Następnie możemy wyprowadzić wzór na pochodną logarytmu naturalnego, zakładając, że logarytm jest odwrotną funkcją wykładniczą.

Udowodnijmy wzór na pochodną logarytmu naturalnego, stosując wzór na pochodną funkcji odwrotnej:
.
W naszym przypadku . Funkcja odwrotna wykładniczy logarytmu naturalnego wynosi:
.
Jej pochodną wyznacza się wzorem (9). Zmienne mogą być oznaczone dowolną literą. We wzorze (9) zamień zmienną x na y:
.
Od tego czasu
.
Następnie
.
Formuła jest sprawdzona.

Teraz udowodnimy wzór na pochodną logarytmu naturalnego za pomocą zasady różniczkowania funkcji złożonych. Ponieważ funkcje i są względem siebie odwrotne, zatem
.
Zróżniczkujmy to równanie ze względu na zmienną x:
(10) .
Pochodna x jest równa jeden:
.
Stosujemy zasadę różniczkowania funkcji zespolonych:
.
Tutaj . Podstawmy w (10):
.
Stąd
.

Przykład

Znajdź pochodne w 2x, W 3x I lnnx.

Rozwiązanie

Oryginalne funkcje mają podobną postać. Zatem znajdziemy pochodną funkcji y = log nx. Następnie podstawiamy n = 2 i n = 3. I w ten sposób otrzymujemy wzory na pochodne w 2x I W 3x .

Zatem szukamy pochodnej funkcji
y = log nx .
Wyobraźmy sobie tę funkcję jako funkcję złożoną składającą się z dwóch funkcji:
1) Funkcje zależne od zmiennej: ;
2) Funkcje zależne od zmiennej: .
Wtedy oryginalna funkcja składa się z funkcji i :
.

Znajdźmy pochodną funkcji po zmiennej x:
.
Znajdźmy pochodną funkcji po zmiennej:
.
Stosujemy wzór na pochodną funkcji zespolonej.
.
Tutaj to ustaliliśmy.

Znaleźliśmy więc:
(11) .
Widzimy, że pochodna nie zależy od n. Wynik ten jest całkiem naturalny, jeśli przekształcimy pierwotną funkcję za pomocą wzoru na logarytm iloczynu:
.
- to jest stała. Jej pochodna wynosi zero. Wtedy zgodnie z zasadą różniczkowania sumy mamy:
.

Odpowiedź

; ; .

Pochodna logarytmu modułu x

Znajdźmy pochodną innej bardzo ważnej funkcji - logarytmu naturalnego modułu x:
(12) .

Rozważmy sprawę. Wtedy funkcja wygląda następująco:
.
Jego pochodną wyznacza się wzorem (1):
.

Rozważmy teraz sprawę. Wtedy funkcja wygląda następująco:
,
Gdzie .
Ale w powyższym przykładzie znaleźliśmy także pochodną tej funkcji. To nie zależy od n i jest równe
.
Następnie
.

Łączymy te dwa przypadki w jeden wzór:
.

Odpowiednio, aby logarytm miał podstawę a, mamy:
.

Pochodne wyższych rzędów logarytmu naturalnego

Rozważ funkcję
.
Znaleziono jego pochodną pierwszego rzędu:
(13) .

Znajdźmy pochodną drugiego rzędu:
.
Znajdźmy pochodną trzeciego rzędu:
.
Znajdźmy pochodną czwartego rzędu:
.

Można zauważyć, że pochodna n-tego rzędu ma postać:
(14) .
Udowodnijmy to za pomocą indukcji matematycznej.

Dowód

Podstawiamy wartość n = 1 do wzoru (14):
.
Od , to kiedy n = 1 , obowiązuje wzór (14).

Załóżmy, że wzór (14) jest spełniony dla n = k. Udowodnijmy, że oznacza to, że wzór jest ważny dla n = k + 1 .

Rzeczywiście, dla n = k mamy:
.
Różniczkuj ze względu na zmienną x:

.
Więc mamy:
.
Wzór ten pokrywa się ze wzorem (14) dla n = k + 1 . Zatem z założenia, że wzór (14) obowiązuje dla n = k, wynika, że wzór (14) obowiązuje dla n = k + 1 .

Zatem wzór (14) na pochodną n-tego rzędu obowiązuje dla dowolnego n.

Pochodne wyższych rzędów logarytmu o podstawie a

Aby znaleźć pochodną logarytmu o podstawie n-tego rzędu, należy wyrazić ją w postaci logarytmu naturalnego:
.
Stosując wzór (14) znajdujemy n-tą pochodną:
.

Czujesz, że do egzaminu zostało jeszcze dużo czasu? Czy to jest miesiąc? Dwa? Rok? Praktyka pokazuje, że uczeń najlepiej radzi sobie z egzaminem, jeśli wcześniej zacznie się do niego przygotowywać. Jest ich wiele trudne zadania, które utrudniają uczniom i przyszłym kandydatom uzyskanie najwyższych wyników. Trzeba nauczyć się pokonywać te przeszkody, a poza tym nie jest to trudne. Musisz zrozumieć zasadę pracy z różnymi zadaniami z biletów. Wtedy nie będzie problemów z nowymi.

Logarytmy na pierwszy rzut oka wydają się niezwykle złożone, ale po szczegółowej analizie sytuacja staje się znacznie prostsza. Jeśli chcesz przystąpić do egzaminu Unified State Exam najwyższa ocena, powinieneś zrozumieć daną koncepcję, co proponujemy zrobić w tym artykule.

Najpierw oddzielmy te definicje. Co to jest logarytm (log)? Jest to wskaźnik potęgi, do której należy podnieść bazę, aby uzyskać określoną liczbę. Jeśli nie jest to jasne, spójrzmy na elementarny przykład.

W takim przypadku podstawę na dole należy podnieść do drugiej potęgi, aby uzyskać liczbę 4.

Przyjrzyjmy się teraz drugiej koncepcji. Pochodna funkcji w dowolnej postaci to pojęcie charakteryzujące zmianę funkcji w danym punkcie. Jednak to program szkolny, a jeśli macie problemy z tymi pojęciami indywidualnie, warto powtórzyć temat.

Pochodna logarytmu

W Zadania z egzaminu jednolitego stanu Jako przykłady można podać kilka problemów w tym temacie. Na początek najprostsza pochodna logarytmiczna. Należy znaleźć pochodną poniższej funkcji.

Musimy znaleźć następną pochodną

Istnieje specjalna formuła.

W tym przypadku x=u, log3x=v. Podstawiamy wartości z naszej funkcji do wzoru.

Pochodna x będzie równa jeden. Logarytm jest nieco trudniejszy. Ale zrozumiesz tę zasadę, jeśli po prostu zastąpisz wartości. Przypomnijmy, że pochodna lg x jest pochodną logarytm dziesiętny, a pochodna ln x jest pochodną logarytmu naturalnego (o podstawie e).

Teraz wystarczy podłączyć uzyskane wartości do wzoru. Spróbuj sam, wtedy sprawdzimy odpowiedź.

W czym może być dla niektórych problem? Wprowadziliśmy pojęcie logarytmu naturalnego. Porozmawiajmy o tym, a jednocześnie zastanówmy się, jak rozwiązać z tym problemy. Nie zobaczysz niczego skomplikowanego, zwłaszcza gdy zrozumiesz zasadę jego działania. Należy się do tego przyzwyczaić, ponieważ jest często używany w matematyce (w wyższych instytucje edukacyjne zwłaszcza).

Pochodna logarytmu naturalnego

W swej istocie jest to pochodna logarytmu o podstawie e (tzn Liczba niewymierna, czyli około 2,7). W rzeczywistości ln jest bardzo proste, dlatego jest często używane w matematyce. Właściwie rozwiązanie problemu z nim również nie będzie problemem. Warto pamiętać, że pochodna logarytmu naturalnego o podstawie e będzie równa jedności podzielonej przez x. Rozwiązanie poniższego przykładu będzie najbardziej odkrywcze.