Znaki przynależności są dobrze znane z kursu planimetrii. Naszym zadaniem jest rozpatrywanie ich w odniesieniu do rzutów obiektów geometrycznych.

Punkt należy do płaszczyzny, jeśli należy do prostej leżącej na tej płaszczyźnie.

O przynależności do płaszczyzny prostej decyduje jedno z dwóch kryteriów:

a) prosta przechodzi przez dwa punkty leżące na tej płaszczyźnie;

b) prosta przechodzi przez punkt i jest równoległa do prostych leżących na tej płaszczyźnie.

Korzystając z tych właściwości, rozwiążmy problem jako przykład. Niech płaszczyznę zdefiniuje trójkąt ABC. Wymagane jest zbudowanie brakującego rzutu D 1 punkty D należący do tego samolotu. Kolejność konstrukcji jest następująca (ryc. 2.5).

Ryż. 2.5. Konstruować rzuty punktu należącego do płaszczyzny

Przez punkt D 2 wykonujemy rzut prostoliniowy D, leżąc w samolocie ABC, przecinający jeden z boków trójkąta i punkt A 2. Wtedy punkt 1 2 należy do prostych A 2 D 2 i C 2 W 2. Dlatego możemy uzyskać jego rzut poziomy 1 1 na C 1 W 1 za pośrednictwem linii komunikacyjnej. Łączenie punktów 1 1 i A 1, otrzymujemy rzut poziomy D 1. Jasne, że o to chodzi D 1 należy do niego i leży na linii połączenia rzutu z punktem D 2 .

Problemy określenia, czy należy punkt, czy prosta płaszczyzna, są rozwiązywane w prosty sposób. Na ryc. Rysunek 2.6 przedstawia postęp w rozwiązywaniu takich problemów. Dla przejrzystości przedstawienia problemu płaszczyznę definiujemy za pomocą trójkąta.

Ryż. 2.6. Zagadnienia określenia, czy punkt należy do płaszczyzny prostej.

Aby ustalić, czy punkt należy mi samolot ABC, narysuj linię prostą przez jej przedni rzut E 2 A 2. Zakładając, że prosta a należy do płaszczyzny ABC, skonstruujmy jego rzut poziomy A 1 w punktach przecięcia 1 i 2. Jak widzimy (ryc. 2.6, a), prosto A 1 nie przechodzi przez pkt mi 1. Dlatego punkt mi ABC.

W problemie przynależności do linii V płaszczyzny trójkąta ABC(ryc. 2.6, b), wystarczy użyć jednego z rzutów prostych V 2 zbuduj kolejny V 1 * biorąc to pod uwagę V ABC. Jak widzimy, V 1* i V 1 nie pasuje. Dlatego prosto V ABC.

2.4. Linie poziomu w płaszczyźnie

Definicja linii poziomu została podana wcześniej. Nazywa się linie poziomu należące do danej płaszczyzny główny . Linie te (proste) odgrywają znaczącą rolę w rozwiązywaniu szeregu problemów geometrii wykreślnej.

Rozważmy zbudowanie linii poziomu w płaszczyźnie wyznaczonej przez trójkąt (ryc. 2.7).

Ryż. 2.7. Konstruowanie głównych linii płaszczyzny wyznaczonej przez trójkąt

Płaszczyzna pozioma ABC zaczynamy od narysowania jego rzutu czołowego H 2, o którym wiadomo, że jest równoległy do ​​osi OH. Ponieważ ta pozioma linia należy do tej płaszczyzny, przechodzi przez dwa punkty płaszczyzny ABC czyli punkty A oraz 1. Posiadanie występów czołowych A 2 i 1 2, poprzez linię komunikacyjną uzyskujemy rzuty poziome ( A 1 już istnieje) 1 1 . Łączenie kropek A 1 i 1 1 , mamy rzut poziomy H 1 płaszczyzna pozioma ABC. Projekcja profilu H 3 płaszczyzny poziome ABC będzie równoległy do ​​osi OH a-przeorat.

Samolot przedni ABC jest skonstruowany w podobny sposób (ryc. 2.7), z tą tylko różnicą, że jego rysowanie rozpoczyna się od rzutu poziomego F 1, gdyż wiadomo, że jest ona równoległa do osi OX. Projekcja profilu F 3 fronty muszą być równoległe do osi OZ i przechodzić przez występy Z 3, 2 3 z tych samych punktów Z i 2.

Linia profilu samolotu ABC ma poziom R 1 i przód R 2 rzuty równoległe do osi OJ I OZ i rzut profilu R 3 można uzyskać od przodu wykorzystując punkty przecięcia W i 3 s ABC.

Konstruując główne linie płaszczyzny, należy pamiętać tylko o jednej zasadzie: aby rozwiązać zadanie, należy zawsze uzyskać dwa punkty przecięcia z daną płaszczyzną. Konstrukcja głównych linii leżących na inaczej określonej płaszczyźnie nie jest bardziej skomplikowana niż omówiono powyżej. Na ryc. Rysunek 2.8 przedstawia konstrukcję płaszczyzny poziomej i czołowej wyznaczonej przez dwie przecinające się linie proste A I V.

Ryż. 2.8. Konstrukcja głównych linii płaszczyzny określonych przez przecinające się linie proste.

Punkt i linia to podstawa figury geometryczne na powierzchni.

W geometrii nie wprowadza się definicji punktu i linii, pojęcia te rozpatrywane są na intuicyjnym poziomie pojęciowym.

Punkty są oznaczone dużymi (wielkimi) literami łacińskimi: A, B, C, D, ...

Linie bezpośrednie są oznaczone jedną małą (małą) literą łacińską, na przykład

- prosto A.

Linia prosta składa się z nieskończonej liczby punktów i nie ma początku ani końca. Rysunek przedstawia tylko część linii prostej, ale należy rozumieć, że rozciąga się ona nieskończenie daleko w przestrzeni, ciągnąc się w nieskończoność w obu kierunkach.

Mówi się, że punkty leżące na prostej należą do tej prostej. Przynależność oznaczona jest znakiem ∈. Mówi się, że punkty znajdujące się poza linią nie należą do tej linii. Znak „nie należy” to ∉.

Przykładowo punkt B należy do prostej a (zapisz: B∈a),

punkt F nie należy do prostej a, (zapisz: F∉a).

Podstawowe własności przynależności punktów i prostych na płaszczyźnie:

Niezależnie od linii, istnieją punkty, które do niej należą i punkty, które do niej nie należą.

Przez dowolne dwa punkty można narysować linię prostą i tylko jedną.

Linie są również oznaczone dwiema dużymi literami łacińskimi, po nazwach punktów leżących na linii.

- proste AB.

- tę linię można nazwać MK, MN lub NK.

Dwie linie mogą się przecinać lub nie. Jeśli linie się nie przecinają, nie ma ich punkty wspólne. Jeśli linie przecinają się, mają jeden punkt wspólny. Znak przejścia - ∩ .

Na przykład linie aib przecinają się w punkcie O

(Napisać ∩ b=O).

Linie c i d również przecinają się, chociaż na rysunku nie pokazano ich punktu przecięcia.

Ryż. 3.2Względne położenie linii

Linie w przestrzeni mogą zajmować jedną z trzech pozycji względem siebie:

1) być równoległe;

2) przecinają się;

3) krzyżować się.

Równoległynazywane są liniami prostymi, które leżą w tej samej płaszczyźnie i nie mają punktów wspólnych.

Jeżeli linie są do siebie równoległe, to w CN ich występy o tej samej nazwie są również równoległe (patrz sekcja 1.2).

Krzyżującynazywane są liniami prostymi, które leżą w tej samej płaszczyźnie i mają jeden punkt wspólny.

W przypadku linii przecinających się na CN rzuty o tej samej nazwie przecinają się w rzutach punktu A. Ponadto rzuty czołowe () i poziome () tego punktu muszą znajdować się na tej samej linii komunikacyjnej.

Krzyżowanienazywane są liniami, które leżą w płaszczyznach równoległych i nie mają punktów wspólnych.

Jeżeli linie się przecinają, to w CN ich rzuty o tej samej nazwie mogą się przecinać, ale punkty przecięcia występów o tej samej nazwie nie będą leżeć na tej samej linii połączenia.

Na ryc. 3,4 punktu Z należy do linii B i punkt D- prosty A. Punkty te znajdują się w tej samej odległości od przedniej płaszczyzny rzutów. Podobnie jak punkt mi I F należą do różnych linii, ale znajdują się w tej samej odległości od poziomej płaszczyzny rzutów. Dlatego na CN ich występy czołowe pokrywają się.

Istnieją dwa możliwe przypadki położenia punktu względem płaszczyzny: punkt może należeć do płaszczyzny lub nie należeć do niej (rys. 3.5).

Znak przynależności punktu i prostej:

Punkt należy do płaszczyzny, jeśli należy do prostej leżącej w tej płaszczyźnie.

Linia prosta należy do płaszczyzny, jeżeli ma z nim dwa punkty wspólne lub ma z nim jeden punkt wspólny i jest równoległy do ​​innej prostej leżącej w tej płaszczyźnie.

Na ryc. 3.5 przedstawia płaszczyznę i punkty D I mi. Kropka D należy do płaszczyzny, ponieważ należy do linii l, który ma dwa punkty wspólne z tą płaszczyzną - 1 I A. Kropka mi nie należy do płaszczyzny, ponieważ nie da się przez nią poprowadzić linii prostej leżącej w danej płaszczyźnie.

Na ryc. Rysunek 3.6 przedstawia płaszczyznę i linię prostą T, leżąc w tym samolocie, ponieważ ma z nią wspólnego punktu 1 i równolegle do linii A.


Na iloczynie kartezjańskim, gdzie M jest zbiorem punktów, wprowadzamy relację 3-miejscową d. Jeżeli do tej relacji należy uporządkowana trójka punktów (A, B, C), to powiemy, że punkt B leży pomiędzy punktami A i C i zastosujemy zapis: A-B-C. Wprowadzona relacja musi spełniać następujące aksjomaty:

Jeśli punkt B leży pomiędzy punktami A i C, to A, B, C są trzema różnymi punktami na tej samej prostej, a B leży pomiędzy C i A.

Niezależnie od tego, jakie są punkty A i B, istnieje co najmniej jeden punkt C taki, że B leży pomiędzy A i C.

Spośród dowolnych trzech punktów na linii co najwyżej jeden leży pomiędzy pozostałymi dwoma.

Aby sformułować ostatni, czwarty aksjomat drugiej grupy, wygodnie jest wprowadzić następujące pojęcie.

Definicja 3.1. Przez odcinek (według Hilberta) rozumiemy parę punktów AB. Punkty A i B nazwiemy końcami odcinka, punkty leżące pomiędzy jego końcami - punktami wewnętrznymi odcinka, czyli po prostu punktami odcinka, a punktami prostej AB, które nie leżą pomiędzy końcami A i B - punkty zewnętrzne odcinka.

. (Aksjomat Pasha) Niech A, B i C będą trzema punktami, które nie leżą na tej samej prostej, zaś l będzie linią prostą płaszczyzny ABC przechodzącą przez te punkty. Jeżeli wówczas prosta l przechodzi przez punkt na odcinku AB, to zawiera albo punkt na odcinku AC, albo punkt na odcinku BC.

Z aksjomatów pierwszej i drugiej grupy wynika całkiem sporo. właściwości geometryczne punkty, linie i odcinki. Można udowodnić, że każdy odcinek ma co najmniej jeden punkt wewnętrzny, spośród trzech punktów na prostej zawsze jest jeden i tylko jeden leżący pomiędzy dwoma innymi, pomiędzy dwoma punktami na prostej jest zawsze nieskończenie wiele punktów, co oznacza, że ​​istnieje nieskończenie wiele punktów wiele punktów na linii. Można także wykazać, że stwierdzenie aksjomatu Pasha jest prawdziwe również dla punktów leżących na tej samej prostej: jeżeli punkty A, B i C należą do tej samej prostej, to prosta l nie przechodzi przez te punkty i przecina jeden z odcinków , na przykład AB w punkcie wewnętrznym, to przecina albo odcinek AC, albo odcinek BC w punkcie wewnętrznym. Zauważmy też, że z aksjomatów pierwszej i drugiej grupy nie wynika, że ​​zbiór punktów na prostej jest nieprzeliczalny. Nie przedstawimy dowodów na te twierdzenia. Czytelnik może zapoznać się z nimi w podręcznikach oraz. Przyjrzyjmy się bliżej głównemu koncepcje geometryczne, a mianowicie promień, półpłaszczyzna i półprzestrzeń, które wprowadza się za pomocą aksjomatów przynależności i porządku.

Poniższe stwierdzenie jest prawdziwe:

Punkt O prostej l dzieli zbiór pozostałych punktów tej prostej na dwa niepuste podzbiory w taki sposób, że dla dowolnych dwóch punktów A i B należących do tego samego podzbioru punkt O jest punktem zewnętrznym odcinka AB, a dla dowolnego dwa punkty C i D należące do różnych podzbiorów, punkt O jest punktem wewnętrznym odcinka CD.

Każdy z tych podzbiorów nazywany jest Belka prosta l z początkiem w punkcie O. Półproste będą oznaczane przez h, l, k, ...OA, OB, OC,..., gdzie O jest początkiem półprostej, a A, B i C są punktami promienia. Dowód tego twierdzenia podamy później, w rozdziale 7, ale używając innej aksjomatyki trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej. Pojęcie promienia pozwala nam zdefiniować najważniejszy obiekt geometryczny - kąt.

Definicja 3.2.Przez kąt (wg Hilberta) rozumiemy parę promieni h i k, które mają wspólny początek O i nie leżą na tej samej prostej.

Punkt O nazywany jest wierzchołkiem kąta, a półproste h i k są jego bokami. Dla kątów będziemy używać oznaczenia . Rozważmy najważniejszą koncepcję geometrii elementarnej - koncepcję półpłaszczyzny.

Twierdzenie 3.1.Linia a leżąca na płaszczyźnie a dzieli swój zbiór punktów nie należących do tej prostej na dwa niepuste podzbiory, tak że jeśli punkty A i B należą do tego samego podzbioru, to odcinek AB nie ma punktów wspólnych z prostą l , a jeśli punkty A i B należą do różnych podzbiorów, to odcinek AB przecina prostą l w jej punkcie wewnętrznym.

Dowód. W dowodzie wykorzystamy następującą własność relacji równoważności. Jeśli na pewnym zbiorze wprowadzi się relację binarną, która jest relacją równoważności, tj. spełnia warunki zwrotności, symetrii i przechodniości, wówczas cały zbiór dzieli się na rozłączne podzbiory – klasy równoważności, a dowolne dwa elementy należą do tej samej klasy wtedy i tylko wtedy, gdy są równoważne.

Rozważmy zbiór punktów płaszczyzny, które nie należą do prostej a. Zakładamy, że dwa punkty A i B pozostają w relacji binarnej d: AdB wtedy i tylko wtedy, gdy na odcinku AB nie ma punktów wewnętrznych należących do prostej a. Zastanówmy się również Oznacza to, że dowolny punkt pozostaje w binarnej relacji d sam ze sobą. Pokażmy, że dla dowolnego punktu A nie należącego do prostej a istnieją punkty różne od A, zarówno te, które są, jak i te, które nie są z nią w relacji binarnej. Wybierzmy dowolny punkt P na prostej a (patrz rys. 6). Wtedy zgodnie z aksjomatem na prostej AP znajduje się taki punkt B, że P-A-B. Linia AB przecina a w punkcie P, który nie leży pomiędzy punktami A i B, zatem punkty A i B pozostają w relacji d. Zgodnie z tym samym aksjomatem istnieje punkt C taki, że A-R-C. Zatem punkt P leży pomiędzy A i C, punkty A i C nie są powiązane z d.

Udowodnijmy, że relacja d jest relacją równoważności. Warunek zwrotności jest oczywiście spełniony ze względu na definicję relacji binarnej d: AdA. Niech punkty A i B będą w relacji d. Wtedy na prostej a na odcinku AB nie ma punktów. Wynika z tego, że na prostej a na odcinku BA nie ma punktów, zatem BdA, relacja symetrii jest spełniona. Na koniec niech zostaną dane trzy punkty A, B i C, takie że AdB i BdC. Pokażmy, że punkty A i C pozostają w relacji binarnej d. Załóżmy odwrotnie, na odcinku AC znajduje się punkt P prostej a (ryc. 7). Następnie, na mocy aksjomatu Pasha, linia prosta a przecina odcinek BC lub odcinek AB (na rys. 7 linia prosta a przecina odcinek BC). Doszliśmy do sprzeczności, gdyż z warunków АdВ i ВdС wynika, że ​​prosta а nie przecina tych odcinków. Zatem relacja d jest relacją równoważności i dzieli zbiór punktów płaszczyzny nie należących do prostej a na klasy równoważności.

Sprawdźmy, że istnieją dokładnie dwie takie klasy równoważności. Aby to zrobić, wystarczy udowodnić, że jeśli punkty A i C oraz B i C nie są równoważne, to z kolei punkty A i B są sobie równoważne. Ponieważ punkty A i C oraz B i C nie należą do relacji równoważności d, prosta a przecina odcinki AC i BC w punktach P i Q (patrz rys. 7). Ale wtedy, na mocy aksjomatu Pasha, prosta ta nie może przecinać odcinka AB. Zatem punkty A i B są sobie równoważne. Twierdzenie zostało udowodnione.

Każda z klas równoważności zdefiniowanych w Twierdzeniu 3.2 nazywana jest półpłaszczyzna. Zatem każda linia prosta płaszczyzny dzieli ją na dwie półpłaszczyzny, którym służy granica.

Podobnie jak w przypadku pojęcia półpłaszczyzny, wprowadzono pojęcie półprzestrzeni. Udowodniono twierdzenie, które stwierdza, że ​​dowolna płaszczyzna przestrzeni a dzieli punkty przestrzeni na dwa zbiory. Odcinek, którego końce są punktami jednego zbioru, nie ma punktów wspólnych z płaszczyzną a. Jeżeli końce odcinka należą do różnych zbiorów, to taki odcinek ma jako wnętrze punkt na płaszczyźnie a. Dowód tego twierdzenia jest podobny do dowodu Twierdzenia 3.2; nie będziemy go przedstawiać.

Zdefiniujmy pojęcie punktu wewnętrznego kąta. Niech będzie podany kąt. Rozważmy prostą OA zawierającą promień OA, bok tego kąta. Jest oczywiste, że punkt półprostej OB należy do tej samej półpłaszczyzny względem prostej OA. Podobnie punkty półprostej OA, boki danego kąta, należą do tej samej półpłaszczyzny b, której granica wynosi bezpośredni OB (ryc. 8). Punkty należące do przecięcia półpłaszczyzn a i b nazywane są punkty wewnętrzne narożnik. Na rysunku 8 punkt M jest punktem wewnętrznym. Zbiór wszystkich punktów wewnętrznych kąta nazywa się jego obszar wewnętrzny. Półprosta, której wierzchołek pokrywa się z wierzchołkiem kąta i którego wszystkie punkty są wewnętrzne, nazywa się półprostą belka wewnętrzna narożnik. Rysunek 8 przedstawia promień wewnętrzny h kąta AOB.

Poniższe stwierdzenia są prawdziwe.

10 . Jeżeli półprosta wychodząca z wierzchołka kąta zawiera przynajmniej jeden ze swoich punktów wewnętrznych, to jest półprostą wewnętrzną tego kąta.

20 . Jeżeli końce odcinka znajdują się po dwóch różnych stronach kąta, to każdy punkt wewnętrzny odcinka jest punktem wewnętrznym kąta.

trzydzieści . Dowolny promień wewnętrzny kąta przecina odcinek, którego końce znajdują się po bokach kąta.

Dowody tych twierdzeń rozważymy później, w paragrafie 5. Korzystając z aksjomatów drugiej grupy, zdefiniowano pojęcia linii łamanej, trójkąta, wielokąta, pojęcie obszaru wewnętrznego prostego wielokąta i udowodniono, że prosty wielokąt dzieli płaszczyznę na dwa obszary, wewnętrzny i zewnętrzny.

Trzecia grupa aksjomatów Hilberta trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej składa się z tzw. aksjomatów kongruencji. Niech S będzie zbiorem odcinków, A zbiorem kątów. Na iloczynach kartezjańskich wprowadzimy relacje binarne, które nazwiemy relacją kongruencji.

Należy zauważyć, że tak wprowadzona relacja nie jest relacją głównych obiektów rozważanej aksjomatyki, tj. punkty linii i płaszczyzn. Trzecią grupę aksjomatów można wprowadzić dopiero po zdefiniowaniu pojęć odcinka i kąta, tj. wprowadzono pierwszą i drugą grupę aksjomatów Hilberta.

Zgódźmy się także, że przystające odcinki lub kąty będziemy nazywać również geometrycznie równymi lub po prostu równymi odcinkami lub kątami; określenie „przystający”, jeśli nie będzie to prowadzić do nieporozumień, zostanie zastąpione określeniem „równe” i oznaczone przez symbol „=”.