Twierdzenie 3.1. Suma dowolnej liczby zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.
Pozwalać G. k, gdzie k О N są zbiorami otwartymi.
3Wybierz dowolny punkt X O ÎG. Z definicji sumy zbiorów chodzi X o należy do jednego z zestawów G. k. Ponieważ G. k jest zbiorem otwartym, to istnieje mi- sąsiedztwo punktu x o, który leży w całości w zestawie Gk: U(xo, tj)Ì G k Þ U(xo, tj)Ì G.
Rozumiem, że to ma sens x o ÎG– wewnętrzne, co to znaczy G– zestaw otwarty. 4
Twierdzenie 3.2 . Przecięcie skończonej liczby otwartych, niepustych zbiorów jest zbiorem otwartym.
Pozwalać G. k (k = 1,2, …,N) są zbiorami otwartymi.
Udowodnimy, że jest to zbiór otwarty.
3Wybierz dowolny punkt X O ÎG. Z definicji przecięcia zbiorów X o należy do każdego ze zbiorów G. k. Od każdego zestawu G. k otwarte, a następnie w dowolnym zestawie G. k istnieje e k- sąsiedztwo punktu X O : U(X o , e k)Ì G k. Dużo liczb ( mi 1 , tj 2 ,…, e n) jest skończony, więc istnieje liczba mi = min{mi 1 ,mi 2 ,…,en). Następnie mi- sąsiedztwo punktu X o jest w każdym e k- sąsiedztwo punktu X O :U(X o , tj)M U e(X o , e k) Þ U(X o , tj)Ì G.
Zrozumiałeś X o – punkt wewnętrzny zbioru G, co oznacza że G– zestaw otwarty. 4
Uwaga 3.1. Przecięcie nieskończonej liczby zbiorów otwartych nie może być zbiorem otwartym.
Przykład 3.1. Wpuść przestrzeń R. G. k =(2 – 1/k; 4+ 1/k), Gdzie k= 1,2,…,N,…. G1 =(1;5), G2(1,5;4,5), Segment Ì G k i nie jest zbiorem otwartym, punkty 2 i 4 nie są zbiorami wewnętrznymi.
Twierdzenie 3.3 . Przecięcie dowolnego zbioru domkniętych, niepustych zbiorów jest zbiorem domkniętym.
Pozwalać Fk- zestawy zamknięte.
Udowodnimy, że zbiór jest domknięty, tj. zawiera wszystkie swoje punkty graniczne.
3Niech X F. Z definicji przecięcia zbiorów wynika, że w dowolnym mi- sąsiedztwo punktu X o istnieje nieskończenie wiele punktów każdego zbioru Fk, co oznacza że X o – punkt graniczny każdego zbioru Fk. Ze względu na zamknięcie zestawów Fk kropka
X O О F k „k Þ x O JEŚLI. Od tego momentu X F, a to wiele znaczy F Zamknięte. 4
Twierdzenie 3.4. Suma skończonej liczby zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.
Niech każdy zestaw Fk Zamknięte.
Udowodnimy, że zbiór jest domknięty, tzn. jeśli X o – punkt graniczny zbioru F, To X O О F.
3Niech X o – dowolny punkt graniczny zbioru F, to w każdym razie mi- sąsiedztwo punktu X o istnieje nieskończenie wiele punktów zbioru. Od ilości zestawów Fk skończone, zatem X o należy do co najmniej jednego ze zbiorów Fk, tj. X o jest punktem granicznym tego zbioru.
Z powodu izolacji Fk kropka X o należy Fk, a zatem wiele. Od tego momentu X o jest wybierane arbitralnie, wówczas wszystkie punkty graniczne należą do zbioru F, co oznacza wiele F Zamknięte. 4
Uwaga 3.2. Suma nieskończonej liczby zbiorów domkniętych może być zbiorem otwartym.
Przykład 3.2 . W kosmosie R: F k =
F 1 =; F 2 = ; …. Przedział (2;5) jest zbiorem otwartym.
Przyjmijmy bez dowodu Twierdzenia 3.5 i 3.6 dotyczące dopełnienia zbioru mi za dużo X: C x E=CE.
Twierdzenie 3.5 . Jeśli zestaw mi zamknięty, a następnie jego uzupełnienie SE zestaw otwarty.
Przykład 3.3 . E=, do R mi =(- ¥, 2)È (5,+¥ ).
Twierdzenie 3.6 . Jeśli zestaw mi otwarty, a następnie jego uzupełnienie SE zestaw zamknięty.
Przykład 3.4 . E=(2,5), do R mi =(-¥, 2]È[ 5, +¥ ).
Jednym z głównych zadań teorii zbiorów punktowych jest badanie właściwości różnych typów zbiorów punktowych. Zapoznajmy się z tą teorią na dwóch przykładach i przestudiujmy własności tzw. zbiorów zamkniętych i otwartych.
Zestaw tzw Zamknięte , jeśli zawiera wszystkie swoje punkty graniczne. Jeśli zbiór nie ma ani jednego punktu granicznego, to jest on również uważany za zamknięty. Oprócz punktów granicznych zbiór zamknięty może zawierać także punkty izolowane. Zestaw tzw otwarty , jeśli każdy z jej punktów jest dla niego wewnętrzny.
Dajmy przykłady zbiorów domkniętych i otwartych .
Każdy segment jest zbiorem zamkniętym, a każdy przedział (a, b) jest zbiorem otwartym. Niewłaściwe półprzerwy i Zamknięte i niewłaściwe odstępy i otwarty. Cała linia jest zbiorem zamkniętym i otwartym. Wygodnie jest przyjąć, że zbiór pusty jest jednocześnie zamknięty i otwarty. Każdy skończony zbiór punktów na linii jest domknięty, ponieważ nie ma punktów granicznych.
Zestaw składający się z punktów:
Zamknięte; zbiór ten ma unikalny punkt graniczny x=0, który należy do zbioru.
Głównym zadaniem jest sprawdzenie, jak zbudowany jest dowolny zbiór domknięty lub otwarty. Aby to zrobić, będziemy potrzebować szeregu faktów pomocniczych, które przyjmiemy bez dowodu.
- 1. Przecięcie dowolnej liczby zbiorów domkniętych jest domknięte.
- 2. Suma dowolnej liczby zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.
- 3. Jeśli zbiór domknięty jest ograniczony powyżej, to zawiera swoje supremum. Podobnie, jeśli zbiór domknięty jest ograniczony poniżej, to zawiera jego dolną część.
Niech E będzie dowolnym zbiorem punktów na prostej. Nazwijmy dopełnieniem zbioru E i oznaczmy przez CE zbiór wszystkich punktów prostej, które nie należą do zbioru E. Jasne jest, że jeśli x jest punktem zewnętrznym dla E, to jest to punkt wewnętrzny dla zestaw CE i odwrotnie.
4. Jeżeli zbiór F jest domknięty, to jego dopełnienie CF jest otwarte i odwrotnie.
Twierdzenie 4 pokazuje, że istnieje bardzo ścisły związek pomiędzy zbiorami domkniętymi i otwartymi: niektóre są dopełnieniami innych. Z tego powodu wystarczy badać tylko zbiory domknięte lub tylko otwarte. Znajomość właściwości zbiorów jednego typu pozwala na natychmiastowe poznanie właściwości zbiorów innego typu. Na przykład dowolny zbiór otwarty uzyskuje się poprzez usunięcie zbioru zamkniętego z linii.
Zacznijmy studiować właściwości zbiorów domkniętych. Wprowadźmy jedną definicję. Niech F będzie zbiorem domkniętym. Przedział (a, b) mający tę właściwość, że żaden z jego punktów nie należy do zbioru F, ale punkty aib należą do F, nazywa się sąsiednim przedziałem zbioru F.
Uwzględnimy także odstępy niewłaściwe pomiędzy sąsiednimi przedziałami, lub jeśli punkt a lub punkt b należy do zbioru F, a same przedziały nie przecinają się z F. Pokażemy, że jeśli punkt x nie należy do zbioru domkniętego F, to należy do jednego z sąsiadujących z nim przedziałów.
Oznaczmy przez część zbioru F znajdującą się na prawo od punktu x. Ponieważ sam punkt x nie należy do zbioru F, można go przedstawić w postaci przecięcia:
Każdy ze zbiorów jest F i domknięty. Zatem zgodnie z Twierdzeniem 1 zbiór jest domknięty. Jeśli zbiór jest pusty, to cały półprzedział nie należy do zbioru F. Załóżmy teraz, że zbiór nie jest pusty. Ponieważ zbiór ten znajduje się w całości w połowie przedziału, jest on ograniczony poniżej. Oznaczmy jego dolną granicę przez b. Zgodnie z Twierdzeniem 3, co oznacza. Ponadto, ponieważ b jest końcem zbioru, półprzedział (x, b) leżący na lewo od punktu b nie zawiera punktów zbioru, a zatem nie zawiera punktów zbioru F. Zatem skonstruowaliśmy półprzedział (x, b) niezawierający punktów zbioru F i albo punkt b należy do zbioru F. Podobnie konstruujemy półprzedział (a, x), który nie zawiera punktów zbioru F i albo albo. Teraz jest jasne, że przedział (a, b) zawiera punkt x i jest sąsiednim przedziałem zbioru F. Łatwo zauważyć, że jeśli i są dwoma sąsiednimi przedziałami zbioru F, to przedziały te albo pokrywają się, albo nie nie przecinają się.
Z poprzedniego wynika, że dowolny zbiór domknięty na prostej otrzymuje się poprzez usunięcie z prostej pewnej liczby przedziałów, a mianowicie sąsiednich przedziałów zbioru F. Ponieważ każdy przedział zawiera co najmniej jeden punkt wymierny, a istnieje zbiór przeliczalny wszystkich wymiernych punktów na prostej, łatwo jest upewnić się, że liczba wszystkich sąsiadujących ze sobą przedziałów jest co najwyżej przeliczalna. Stąd dochodzimy do ostatecznego wniosku. Każdy zbiór domknięty na prostej uzyskuje się poprzez usunięcie z prostej co najwyżej przeliczalnego zbioru rozłącznych przedziałów.
Z Twierdzenia 4 wynika od razu, że każdy zbiór otwarty na prostej jest niczym więcej jak przeliczalną sumą przedziałów rozłącznych. Na mocy Twierdzeń 1 i 2 jest także jasne, że każdy zbiór ułożony w sposób wskazany powyżej jest rzeczywiście zamknięty (otwarty).
Jak widać z poniższego przykładu, zbiory domknięte mogą mieć bardzo złożoną strukturę.
Zbiory otwarte i domknięte
Aneks 1 . Zbiory otwarte i domknięte
Pęczek M na linii prostej nazywa się otwarty, jeśli każdy z jego punktów zawiera się w tym zbiorze wraz z pewnym przedziałem. Zamknięte to zbiór zawierający wszystkie jego punkty graniczne (tj. taki, że dowolny przedział zawierający ten punkt przecina zbiór co najmniej w jeszcze jednym punkcie). Na przykład segment jest zbiorem zamkniętym, ale nie jest otwarty, a przedział, przeciwnie, jest zbiorem otwartym, ale nie jest domknięty. Istnieją zbiory, które nie są ani otwarte, ani zamknięte (na przykład półprzedział). Istnieją dwa zbiory, które są zarówno zamknięte, jak i otwarte - ten jest pusty i tyle Z(udowodnij, że nie ma innych). Łatwo to zobaczyć, jeśli M otwórz, a następnie [` M] (Lub Z \ M- dodatek do zestawu M zanim Z) zamknięte. Rzeczywiście, jeśli [` M] nie jest zamknięty, to nie zawiera żadnego własnego punktu granicznego M. Ale wtedy M O M i każdy przedział zawierający M, przecina się ze zbiorem [` M], tj. ma sens, aby nie kłamać M, a to jest sprzeczne z faktem, że M- otwarty. Podobnie, także bezpośrednio z definicji, dowodzi się, że jeśli M jest zamknięty, wówczas [` M] otwórz (sprawdź!).
Teraz udowodnimy następujące ważne twierdzenie.
Twierdzenie. Dowolny zbiór otwarty M można przedstawić jako sumę przedziałów o wymiernych końcach (to znaczy z końcami w punktach wymiernych).
Dowód . Weź pod uwagę związek U wszystkie przedziały o końcach wymiernych, które są podzbiorami naszego zbioru. Udowodnimy, że suma ta pokrywa się z całym zbiorem. Rzeczywiście, jeśli M- jakiś punkt od M, wtedy następuje przerwa ( M 1 , M 2) M M zawierający M(wynika to z faktu, że M- otwarty). W dowolnym przedziale można znaleźć punkt wymierny. Daj spokój ( M 1 , M) - Ten M 3, na ( M, M 2) – to jest M 4. Następnie wskaż M objęte unią U, a mianowicie przedział ( M 3 , M 4). W ten sposób udowodniliśmy, że każdy punkt M z M objęte unią U. Co więcej, jak to oczywiście wynika z konstrukcji U, żaden punkt nie został zawarty w M, nie przykryte U. Oznacza, U I M dopasować.
Ważną konsekwencją tego twierdzenia jest fakt, że dowolny zbiór otwarty jest policzalnyłączenie interwałów.
Nigdzie zbiory gęste i zbiory o mierze zerowej. Zbiór Cantora>
Załącznik 2 . Nigdzie zbiory gęste i zbiory o mierze zerowej. Zestaw Cantora
Pęczek A zwany nigdzie gęsto, jeśli dla jakichkolwiek innych punktów A I B istnieje segment [ C, D] M [ A, B], nie przecina się z A. Na przykład zbiór punktów w sekwencji A N = [ 1/(N)] nie jest nigdzie gęsty, ale zbiór liczb wymiernych nie jest.
Twierdzenie Baire'a. Segmentu nie można przedstawić jako przeliczalnej sumy zbiorów nigdzie gęstych.
Dowód . Załóżmy, że istnieje sekwencja A k zbiory nigdzie gęste takie, że And I A I = [A, B] Skonstruujmy następujący ciąg odcinków. Pozwalać I 1 – jakiś segment osadzony w [ A, B] i nie przecina się z A 1. Z definicji zbiór nigdzie gęsty na przedziale I 1 istnieje odcinek, który nie przecina się ze zbiorem A 2. Zadzwońmy do niego I 2. Dalej w segmencie I 2, podobnie weź segment I 3, nie przecina się z A 3 itd. Sekwencja I k zagnieżdżone segmenty mają wspólny punkt (jest to jedna z głównych właściwości liczb rzeczywistych). Z założenia punkt ten nie należy do żadnego ze zbiorów A k, co oznacza, że zbiory te nie obejmują całego odcinka [ A, B].
Nazwijmy zestaw M mający miarę zerową, jeśli dla dowolnego dodatniego e istnieje ciąg I k przedziały o całkowitej długości mniejszej niż e, obejmujące M. Oczywiście każdy zbiór przeliczalny ma miarę zero. Istnieją jednak również zbiory nieprzeliczalne, które mają miarę zero. Zbudujmy taki, bardzo znany, zwany Cantorem.
|
|
| Ryż. jedenaście |
Weźmy fragment. Podzielmy to na trzy równe części. Wyrzućmy środkowy segment (ryc. 11, A). Będą dwa odcinki o łącznej długości [2/3]. Z każdym z nich wykonamy dokładnie tę samą operację (ryc. 11, B). Pozostaną cztery segmenty o całkowitej długości [ 4/9] = ([ 2/3]) \ B 2 . Kontynuując w ten sposób (ryc. 11, V–mi) do nieskończoności, otrzymujemy zbiór, który ma miarę mniejszą od dowolnej z góry określonej miary dodatniej, tj. miary zero. Możliwe jest ustalenie korespondencji jeden do jednego między punktami tego zbioru a nieskończonymi ciągami zer i jedynek. Jeśli podczas pierwszego „wyrzucenia” nasz punkt wpadnie w prawy segment, na początku ciągu wstawimy 1, jeśli w lewym - 0 (ryc. 11, A). Następnie po pierwszym „wyrzuceniu” otrzymujemy małą kopię dużego segmentu, z którą robimy to samo: jeśli nasz punkt po wyrzuceniu wpada do prawego segmentu, stawiamy 1, jeśli jest w lewym – 0 itd. (sprawdź relację jeden do jednego), ryż. jedenaście, B, V. Ponieważ zbiór ciągów zer i jedynek ma kontinuum liczności, zbiór Cantora również ma kontinuum liczności. Co więcej, łatwo jest udowodnić, że nigdzie nie jest on gęsty. Nie jest jednak prawdą, że ma ona miarę ścisłą zero (patrz definicja miary ścisłej). Idea udowodnienia tego faktu jest następująca: weź sekwencję A N, zmierzający bardzo szybko do zera. Na przykład kolejność A N = [ 1/(2 2 N)]. Następnie udowodnimy, że ten ciąg nie może pokryć zbioru Cantora (zrób to!).
Dodatek 3 . Zadania
Ustaw operacje
Zestawy A I B są nazywane równy, jeśli każdy element zbioru A należy do zestawu B, i wzajemnie. Przeznaczenie: A = B.
Pęczek A zwany podzbiór zestawy B, jeśli każdy element zbioru A należy do zestawu B. Przeznaczenie: A M B.
1.
Dla każdego z dwóch poniższych zbiorów wskaż, czy jeden z nich jest podzbiorem drugiego:
|
2. Udowodnić, że zbiór A wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzbiorem zbioru B, gdy każdy element nie należący do B, nie należy A.
3. Udowodnij to dla dowolnych zbiorów A, B I C
A) A M A; b) jeśli A M B I B M C, To A M C;
V) A = B, wtedy i tylko wtedy gdy A M B I B M A.
Zestaw tzw pusty, jeśli nie zawiera żadnych elementów. Oznaczenie: F.
4.
Z ilu elementów składa się każdy z poniższych zbiorów:
|
5. Ile podzbiorów ma zbiór trzech elementów?
6. Czy zbiór może mieć dokładnie a) 0; b*) 7; c) 16 podzbiorów?
Stowarzyszenie zestawy A I B X, Co X O A Lub X O B. Przeznaczenie: A I B.
Przekraczając zestawy A I B nazywa się zbiorem składającym się z takich X, Co X O A I X O B. Przeznaczenie: A Z B.
Przez różnicę zestawy A I B nazywa się zbiorem składającym się z takich X, Co X O A I X P B. Przeznaczenie: A \ B.
7. Dane zestawy A = {1,3,7,137}, B = {3,7,23}, C = {0,1,3, 23}, D= (0,7,23,1998). Znajdź zestawy:
| A) A I B; | B) A Z B; | V) ( A Z B)I D; |
| G) C Z ( D Z B); | D) ( A I B)Z ( C I D); | e) ( A I ( B Z C))Z D; |
| I) ( C Z A)I (( A I ( C Z D))Z B); | H) ( A I B) \ (C Z D); | I) A \ (B \ (C \ D)); |
| Do) (( A \ (B I D)) \ C)I B. |
8. Pozwalać A jest zbiorem liczb parzystych, oraz B– zbiór liczb podzielnych przez 3. Znajdź A Z B.
9. Udowodnij to dla dowolnych zbiorów A, B, C
A) A I B = B I A, A Z B = B Z A;
B) A I ( B I C) = (A I B)I C, A Z ( B Z C) = (A Z B)Z C;
V) A Z ( B I C) = (A Z B)I ( A Z C), A I ( B Z C) = (A I B)Z ( A I C);
G) A \ (B I C) = (A \ B)Z ( A \ C), A \ (B Z C) = (A \ B)I ( A \ C).
10. Czy to prawda, że dla dowolnych zestawów A, B, C
| A) A Z ZH = F, A Ja F = A; | B) A I A = A, A Z A = A; | V) A Z B = A Y A M B; |
| G) ( A \ B)I B = A; 7 d) A \ (A \ B) = A Z B; | mi) A \ (B \ C) = (A \ B)I ( A Z C); | |
| I) ( A \ B)I ( B \ A) = A I B? |
Ustaw mapowania
Jeśli każdy element X zestawy X dokładnie jeden element jest dopasowany F(X) zestawy Y, to mówią, że jest dane wyświetlacz F od wielu X w tłum Y. Jednocześnie jeśli F(X) = y, a następnie element y zwany sposób element X po wyświetleniu F i element X zwany prototyp element y po wyświetleniu F. Przeznaczenie: F: X ® Y.
11. Narysuj wszystkie możliwe odwzorowania ze zbioru (7,8,9) na zbiór (0,1).
Pozwalać F: X ® Y, y O Y, A M X, B M Y. Pełny prototyp elementu y po wyświetleniu F nazywa się zbiorem ( X O X | F(X) = y). Przeznaczenie: F - 1 (y). Obraz wielości A M X po wyświetleniu F nazywa się zbiorem ( F(X) | X O A). Przeznaczenie: F(A). Prototyp zestawu B M Y nazywa się zbiorem ( X O X | F(X) O B). Przeznaczenie: F - 1 (B).
12. Do wyświetlenia F: (0,1,3,4) ® (2,5,7,18), podane na obrazku, znajdź F({0,3}), F({1,3,4}), F - 1 (2), F - 1 ({2,5}), F - 1 ({5,18}).
| a B C) |
13. Pozwalać F: X ® Y, A 1 , A 2 m X, B 1 , B 2 m Y. Czy to zawsze prawda
A) F(X) = Y;
B) F - 1 (Y) = X;
V) F(A 1 ja A 2) = F(A 1)I F(A 2);
G) F(A 1 W A 2) = F(A 1)Z F(A 2);
D) F - 1 (B 1 ja B 2) = F - 1 (B 1)I F - 1 (B 2);
mi) F - 1 (B 1 W B 2) = F - 1 (B 1)Z F - 1 (B 2);
g) jeśli F(A 1M F(A 2), następnie A 1M A 2 ;
h, jeżeli F - 1 (B 1M F - 1 (B 2), następnie B 1M B 2 ?
Kompozycja mapowania F: X ® Y I G: Y ® Z nazywa się mapowaniem, które kojarzy element X zestawy X element G(F(X)) zestawy Z. Przeznaczenie: G° F.
14. Udowodnij to dla dowolnych mapowań F: X ® Y, G: Y ® Z I H: Z ® W wykonuje się następujące czynności: H° ( G° F) = (H° G)° F.
15. Pozwalać F: (1,2,3,5) ® (0,1,2), G: (0,1,2) ® (3,7,37,137), H: (3,7,37,137) ® (1,2,3,5) – odwzorowania pokazane na rysunku:
| F: G: H: |
Narysuj rysunki do następujących pokazów:
A) G° F; B) H° G; V) F° H° G; G) G° H° F.
Wyświetlacz F: X ® Y zwany bijektywny, jeśli dla każdego y O Y jest dokładnie jeden X O X takie, że F(X) = y.
16. Pozwalać F: X ® Y, G: Y ® Z. Czy to prawda, że jeśli F I G są zatem bijektywne G° F bijektywnie?
17. Pozwalać F: (1,2,3) ® (1,2,3), G: (1,2,3) ® (1,2,3), – odwzorowania pokazane na rysunku:
18. Dla każdego z dwóch zbiorów sprawdź, czy istnieje bijekcja pierwszego z drugim (zakładając, że zero jest liczbą naturalną):
a) zbiór liczb naturalnych;
b) zbiór parzystych liczb naturalnych;
c) zbiór liczb naturalnych bez cyfry 3.
Przestrzeń metryczna zwany zestawem X z danym metryczny R: X× X ® Z
1) " X,y O X R ( X,y) i 0 i r ( X,y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy X = y (nienegatywność ); 2) " X,y O X R ( X,y) = r ( y,X) (symetria ); 3) " X,y,z O X R ( X,y) + r ( y,z) ja r ( X,z) (nierówność trójkąta ). 19 19. X
A) X = Z, R ( X,y) = | X - y| ;
B) X = Z 2 , r 2 (( X 1 ,y 1),(X 2 ,y 2)) = C (( X 1 - X 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 };
V) X = C[A,BA,B] Funkcje,
otwarty(odpowiednio, Zamknięte) kula o promieniu R w kosmosie X wyśrodkowany w jednym punkcie X zwany zestawem U R (X) = {y O X:R ( X,y) < R) (odpowiednio, B R (X) = {y O X:R ( X,y) Ј R}).
Punkt wewnętrzny zestawy U M X U
otwarty okolica ten punkt.
Punkt graniczny zestawy F M X F.
Zamknięte
20. Udowodnij to
21. Udowodnij to
b) suma zbioru A zwarcie A
Wyświetlacz F: X ® Y zwany ciągły
22.
23. Udowodnij to
F (X) = inf y O F R ( X,y
F.
24. Pozwalać F: X ® Y– . Czy to prawda, że jej odwrotność jest ciągła?
Ciągłe mapowanie jeden do jednego F: X ® Y homeomorfizm. Przestrzenie X, Yhomeomorficzny.
25.
26. Dla jakich par? X, Y F: X ® Y, Który nie trzyma się razem punkty (tj. F(X) № F(y) Na X № y inwestycje)?
27*. homeomorfizm lokalny(tj. w każdym punkcie X samolot i F(X) torus są takie dzielnice U I V, Co F mapy homeomorficzne U NA V).
Przestrzenie metryczne i odwzorowania ciągłe
Przestrzeń metryczna zwany zestawem X z danym metryczny R: X× X ® Z, spełniając następujące aksjomaty:
1) " X,y O X R ( X,y) i 0 i r ( X,y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy X = y (nienegatywność ); 2) " X,y O X R ( X,y) = r ( y,X) (symetria ); 3) " X,y,z O X R ( X,y) + r ( y,z) ja r ( X,z) (nierówność trójkąta ). 28. Udowodnić, że następujące pary ( X,r) są przestrzeniami metrycznymi:
A) X = Z, R ( X,y) = | X - y| ;
B) X = Z 2 , r 2 (( X 1 ,y 1),(X 2 ,y 2)) = C (( X 1 - X 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 };
V) X = C[A,B] – ustawienie ciągłego na [ A,B] Funkcje,
otwarty(odpowiednio, Zamknięte) kula o promieniu R w kosmosie X wyśrodkowany w jednym punkcie X zwany zestawem U R (X) = {y O X:R ( X,y) < R) (odpowiednio, B R (X) = {y O X:R ( X,y) Ј R}).
Punkt wewnętrzny zestawy U M X to punkt zawarty w U razem z kulką o niezerowym promieniu.
Zbiór, którego wszystkie punkty są wewnętrzne, nazywa się otwarty. Zbiór otwarty zawierający dany punkt nazywa się okolica ten punkt.
Punkt graniczny zestawy F M X jest punktem, którego dowolne otoczenie zawiera nieskończenie wiele punktów zbioru F.
Zbiór zawierający wszystkie swoje punkty graniczne nazywa się Zamknięte(porównaj tę definicję z definicją podaną w Załączniku 1).
29. Udowodnij to
a) zbiór jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jego uzupełnienie jest domknięte;
b) suma skończona i przeliczalne przecięcie zbiorów domkniętych jest domknięta;
c) suma przeliczalna i skończone przecięcie zbiorów otwartych są otwarte.
30. Udowodnij to
a) zbiór punktów granicznych dowolnego zbioru jest zbiorem domkniętym;
b) suma zbioru A i zbiór jego punktów granicznych ( zwarcie A) jest zbiorem zamkniętym.
Wyświetlacz F: X ® Y zwany ciągły, jeśli odwrotny obraz każdego zbioru otwartego jest otwarty.
31. Udowodnić, że definicja ta jest zgodna z definicją ciągłości funkcji na prostej.
32. Udowodnij to
a) odległość do ustalenia r F (X) = inf y O F R ( X,y) jest funkcją ciągłą;
b) zbiór zer funkcji z punktu a) pokrywa się z domknięciem F.
33. Pozwalać F: X ® Y
Ciągłe mapowanie jeden do jednego F: X ® Y, którego odwrotność jest również ciągła, nazywa się homeomorfizm. Przestrzenie X, Y, dla których istnieje takie mapowanie, są wywoływane homeomorficzny.
34. Dla każdej pary poniższych zbiorów określ, czy są one homeomorficzne:
35. Dla jakich par? X, Y przestrzenie z poprzedniego problemu istnieje ciągłe mapowanie F: X ® Y, Który nie trzyma się razem punkty (tj. F(X) № F(y) Na X № y– takie odwzorowania nazywane są inwestycje)?
36*. Wymyśl ciągłe odwzorowanie płaszczyzny na torus homeomorfizm lokalny(tj. w każdym punkcie X samolot i F(X) torus są takie dzielnice U I V, Co F mapy homeomorficzne U NA V).
Kompletność. Twierdzenie Baire'a
Pozwalać X– przestrzeń metryczna. Podciąg X N nazywane są jego elementy fundamentalny, Jeśli
|
37. Udowodnić, że ciąg zbieżny jest fundamentalny. Czy stwierdzenie przeciwne jest prawdziwe?
Przestrzeń metryczna nazywa się kompletny, jeśli zbiega się w nim każdy ciąg podstawowy.
38. Czy prawdą jest, że przestrzeń homeomorficzna z przestrzenią zupełną jest zupełna?
39. Udowodnić, że zamknięta podprzestrzeń przestrzeni zupełnej sama jest zupełna; zamknięta jest w niej cała podprzestrzeń dowolnej przestrzeni.
40. Udowodnić, że w pełnej przestrzeni metrycznej ciąg zagnieżdżonych zamkniętych kul o promieniach zmierzających do zera ma wspólny element.
41. Czy w poprzednim zadaniu można usunąć warunek zupełności przestrzeni lub tendencję promieni kul do zera?
Wyświetlacz F przestrzeń metryczna X zawołał do siebie ściskający, Jeśli
|
42. Udowodnić, że mapa kontrakcji jest ciągła.
43. a) Udowodnić, że odwzorowanie skurczowe całej przestrzeni metrycznej na nią samą ma dokładnie jeden punkt stały.
b) Umieść mapę Rosji w skali 1:20 000 000 na mapie Rosji w skali 1:5 000 000. Udowodnij, że istnieje punkt, którego obrazy na obu mapach pokrywają się.
44*. Czy istnieje niepełna przestrzeń metryczna, w której stwierdzenie problemu eh jest prawdziwe?
Nazywa się podzbiór przestrzeni metrycznej wszędzie gęsto, jeżeli jego zamknięcie pokrywa się z całą przestrzenią; nigdzie gęsto– jeśli jego domknięcie nie ma niepustych otwartych podzbiorów (porównaj tę definicję z podaną w Załączniku 2).
45. a) Niech A, B, a , b O Z I A < a < b < B. Udowodnić, że zbiór funkcji ciągłych na [ A,B], monotoniczny na , nigdzie gęsty w przestrzeni wszystkich funkcji ciągłych na [ A,B] z jednolitą metryką.
b) Niech A, B, C, e O Z I A < B, C> 0, e > 0. Wtedy zbiór funkcji ciągłych na [ A,B], takie że
|
46. (Uogólnione twierdzenie Baire'a .) Udowodnić, że pełnej przestrzeni metrycznej nie można przedstawić jako sumy przeliczalnej liczby zbiorów nigdzie gęstych.
47. Udowodnić, że zbiór ciągłych, niemonotonicznych na dowolnym niepustym przedziale i nigdzie różniczkowalnych funkcji zdefiniowanych na tym przedziale jest wszędzie gęsty w przestrzeni wszystkich funkcji ciągłych o jednolitej metryce.
48*. Pozwalać F– funkcja różniczkowalna na przedziale. Udowodnić, że jego pochodna jest ciągła na wszędzie gęstym zbiorze punktów. To jest definicja Lebesgue'a mierzy zero. Jeśli policzalną liczbę przedziałów zastąpimy skończoną, otrzymamy definicję Jordanowa mierzy zero.
Udowodnimy teraz pewne szczególne własności zbiorów domkniętych i otwartych.
Twierdzenie 1. Suma skończonej lub przeliczalnej liczby zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym. Iloczyn skończonej liczby zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym,
Rozważ sumę skończonej lub przeliczalnej liczby zbiorów otwartych:
Jeżeli , to P należy przynajmniej do jednego z Niech. Ponieważ jest zbiorem otwartym, to należy także jakieś -sąsiedztwo P. To samo sąsiedztwo P należy także do sumy g, z czego wynika, że g jest zbiorem otwartym. Rozważmy teraz produkt końcowy
i niech P należy do g. Udowodnimy, jak powyżej, że pewne -sąsiedztwo P również należy do g. Ponieważ P należy do g, to P należy do wszystkich. Ponieważ - są zbiorami otwartymi, to dla każdego istnieje jakieś -sąsiedztwo punktu należącego do . Jeśli przyjmiemy, że liczba jest równa najmniejszej z nich, która jest skończona, wówczas -sąsiedztwo punktu P będzie należeć do wszystkich i w konsekwencji do g. Zauważmy, że nie możemy twierdzić, że iloczyn przeliczalnej liczby zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.
Twierdzenie 2. Zbiór CF jest otwarty, a zbiór CO jest zamknięty.
Udowodnijmy pierwsze stwierdzenie. Niech P należy do CF. Należy udowodnić, że pewne sąsiedztwo P należy do CF. Wynika to z faktu, że gdyby w jakimkolwiek sąsiedztwie P znajdowały się punkty F, to punkt P, który nie należy warunkowo, byłby punktem granicznym dla F i ze względu na swoją domkliwość powinien należeć, co prowadzi do sprzeczność.
Twierdzenie 3. Iloczyn skończonej lub przeliczalnej liczby zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym. Suma skończonej liczby zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.
Udowodnimy na przykład, że zbiór
Zamknięte. Przechodząc do dodatkowych zestawów, możemy pisać
Zgodnie z twierdzeniem zbiory są otwarte, a zgodnie z Twierdzeniem 1 zbiór jest również otwarty, a zatem dodatkowy zbiór g jest domknięty. Należy zauważyć, że suma przeliczalnej liczby zbiorów domkniętych może również okazać się zbiorem otwartym.
Twierdzenie 4. Zbiór jest zbiorem otwartym i zbiorem domkniętym.
Łatwo jest sprawdzić następujące równości:
Z nich, na mocy poprzednich twierdzeń, wynika Twierdzenie 4.
Powiemy, że zbiór g należy do układu M pewnych zbiorów, jeżeli każdy punkt g należy do przynajmniej jednego ze zbiorów układu M.
Twierdzenie 5 (Borel). Jeżeli domknięty ograniczony zbiór F jest objęty nieskończonym systemem a zbiorów otwartych O, to z tego nieskończonego układu można wyodrębnić skończoną liczbę zbiorów otwartych, które obejmują również F.
Dowodzimy tego twierdzenia metodą odwrotną. Załóżmy, że nie ma skończonej liczby zbiorów otwartych z układu a i doprowadzamy to do sprzeczności. Ponieważ F jest zbiorem ograniczonym, to wszystkie punkty F należą do jakiegoś skończonego dwuwymiarowego przedziału. Podzielmy ten domknięty przedział na cztery równe części, dzieląc je na pół. Każdy z powstałych czterech przedziałów uznamy za domknięty. Te punkty F, które należą do jednego z tych czterech przedziałów domkniętych, będą na mocy Twierdzenia 2 reprezentować zbiór domknięty, a przynajmniej jeden z tych zbiorów domkniętych nie może być objęty skończoną liczbą zbiorów otwartych z układu a. W przypadku wystąpienia tej okoliczności bierzemy jeden z czterech wskazanych powyżej zamkniętych przedziałów. Ponownie dzielimy ten przedział na cztery równe części i rozumujemy w taki sam sposób jak powyżej. Otrzymujemy w ten sposób układ zagnieżdżonych przedziałów, z których każdy kolejny reprezentuje czwartą część poprzedniego i zachodzi następująca okoliczność: zbiór punktów F należących do dowolnego k nie może być pokryty skończoną liczbą otwartych zbiorów z układu A. Przy nieskończonym wzroście k odstępy będą się nieskończenie kurczyć do pewnego punktu P, który należy do wszystkich przedziałów. Ponieważ dla dowolnego k zawierają one nieskończoną liczbę punktów, punkt P jest punktem ograniczającym i dlatego należy do F, ponieważ F jest zbiorem domkniętym. Zatem punkt P jest objęty pewnym zbiorem otwartym należącym do układu a. Pewne sąsiedztwo punktu P będzie również należeć do zbioru otwartego O. Dla dostatecznie dużych wartości k, przedziały D będą mieścić się w powyższym -sąsiedztwie punktu P. Zatem będą one w całości objęte tylko jednym zbiór otwarty O układu a, co przeczy faktowi, że punkty należące do dowolnego k nie mogą być objęte skończoną liczbą zbiorów otwartych należących do a. W ten sposób twierdzenie zostało udowodnione.
Twierdzenie 6. Zbiór otwarty można przedstawić jako sumę przeliczalnej liczby przedziałów półotwartych w parach bez wspólnych punktów.
Przypomnijmy, że przedział półotwarty w płaszczyźnie nazywamy przedziałem skończonym określonym przez nierówności postaci .
Narysujmy na płaszczyźnie siatkę kwadratów o bokach równoległych do osi i długości boku równej jeden. Zbiór tych kwadratów jest zbiorem przeliczalnym. Spośród tych kwadratów wybierzmy te kwadraty, których wszystkie punkty należą do danego zbioru otwartego O. Liczba takich kwadratów może być skończona lub policzalna, a może takich kwadratów nie będzie w ogóle. Każdy z pozostałych kwadratów siatki dzielimy na cztery identyczne kwadraty i z nowo uzyskanych kwadratów ponownie wybieramy te, których wszystkie punkty należą do O. Ponownie dzielimy każdy z pozostałych kwadratów na cztery równe części i wybieramy te kwadraty, których wszystkie punkty należą do O itd. Pokażmy, że każdy punkt P zbioru O będzie należał do jednego z wybranych kwadratów, z których wszystkie należą do O. Rzeczywiście, niech d będzie dodatnią odległością od P do granicy O. Kiedy dotrzemy do kwadratów, których przekątna jest mniejsza niż , to możemy oczywiście stwierdzić, że punkt P wpadł już w kwadrat, którego wszystkie objętości należą do O. Jeśli wybrane kwadraty uznać za półotwarte, to nie będą mają wspólne punkty parami i twierdzenie zostało udowodnione. Liczba wybranych kwadratów będzie z konieczności policzalna, ponieważ skończona suma przedziałów półotwartych oczywiście nie jest zbiorem otwartym. Oznaczając przez DL te półotwarte kwadraty, które otrzymaliśmy w wyniku powyższej konstrukcji, możemy napisać
Dowód.
1) Rzeczywiście, jeśli o to chodzi A należy do sumy zbiorów otwartych, to należy do co najmniej jednego z tych zbiorów, który zgodnie z warunkami twierdzenia jest otwarty. Oznacza to, że należy on do pewnego otoczenia O(a) punktu A, ale wtedy to otoczenie również należy do sumy wszystkich zbiorów otwartych. Dlatego punkt A jest punktem połączenia wewnętrznego. Ponieważ A jest dowolnym punktem sumy, to składa się tylko z punktów wewnętrznych, a zatem z definicji jest zbiorem otwartym.
2) Niech teraz X– przecięcie skończonej liczby zbiorów otwartych. Jeśli A jest punktem docelowym X, to należy on do każdego ze zbiorów otwartych, a zatem jest punktem wewnętrznym każdego ze zbiorów otwartych. Innymi słowy, istnieją przedziały, które są w całości zawarte odpowiednio w zbiorach. Oznaczmy przez najmniejszą z liczb. Wtedy przedział będzie zawarty jednocześnie we wszystkich przedziałach, tj. będzie całkowicie zawarte w , i w ,... i w , tj. . Stąd i dochodzimy do wniosku, że dowolny punkt jest punktem wewnętrznym zbioru X, tj. pęczek X jest otwarte.
Z twierdzenia tego wynika, że przecięcie skończonej liczby otoczeń punktu a jest znowu otoczeniem tego punktu. Należy zauważyć, że przecięcie nieskończonej liczby zbiorów otwartych nie zawsze jest zbiorem otwartym. Przykładowo przecięciem przedziałów ,... jest zbiór składający się z jednego punktu a, który nie jest zbiorem otwartym (dlaczego?).
Punkt a nazywa się punktem granicznym zbioru X, jeśli w dowolnym przebitym sąsiedztwie tego punktu znajduje się co najmniej jeden punkt zbioru X.
Zatem punkt jest punktem granicznym odcinka , ponieważ w dowolnym przebitym przedziale punktu znajduje się punkt należący do tego odcinka. Na przykład punkt spełniający nierówność . A takich punktów jest oczywiście wiele.
Łatwo udowodnić, że każdy punkt odcinka [ 0, 1] Jest ostateczny punkt tego odcinka. Inaczej mówiąc segment składa się wyłącznie z punktów granicznych. Podobne stwierdzenie dotyczy każdego segmentu. Należy pamiętać, że wszystkie punkty graniczne zestawu należą do tego segmentu. Oczywiste jest również, że wszystkie punkty odcinka będą punktami granicznymi przedziału (0, 1 ) (Udowodnij to!). Istnieją jednak już dwa punkty graniczne 0 i 1 nie należą do przedziału (0, 1). Widzimy to na tych przykładach
punkty graniczne zbioru mogą do niego należeć lub nie. Można udowodnić, że w dowolnym przebitym sąsiedztwie punktu granicznego a zbioru X istnieje nieskończenie wiele punktów zbioru X.
Zbiór X nazywamy zbiorem zamkniętym, jeśli zawiera wszystkie swoje punkty graniczne.
Więc, każdy segment jest zbiorem zamkniętym. Interwał (0, 1) nie jest zbiorem domkniętym, gdyż jego dwa punkty graniczne nie należą do niego 0 i 1. Zbiór wszystkich liczb wymiernych Q nie jest zamknięta, ponieważ nie zawiera niektórych swoich punktów granicznych. W szczególności liczba jest punktem granicznym zbioru Q(udowodnij to!), ale Q.
Ponieważ każdy punkt zbioru R jest punktem granicznym tego zbioru i należy do niego R – zbiór zamknięty.
Każdy zbiór skończony jest domknięty, ponieważ zbiór jego punktów granicznych jest zbiorem pustym Æ , który należy do samego zestawu.
Zbiory domknięte mogą być ograniczone np. segmentem i nieograniczone np. zbiorem liczb rzeczywistych R. Prawda
