Wzory na sinus i cosinus sumy argumentów. Suma i różnica sinusów i cosinusów: wyprowadzanie wzorów, przykłady. Przykłady rozwiązywania problemów praktycznych

Wzory na sumę i różnicę sinusów i cosinusów dla dwóch kątów α i β pozwalają nam przejść od sumy tych kątów do iloczynu kątów α + β 2 i α - β 2. Zauważmy od razu, że nie należy mylić wzorów na sumę i różnicę sinusów i cosinusów ze wzorami na sinusy i cosinusy sumy i różnicy. Poniżej zestawiamy te wzory, podajemy ich wyprowadzenia i pokazujemy przykłady zastosowania do konkretnych problemów.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Wzory na sumę i różnicę sinusów i cosinusów

Zapiszmy jak wyglądają wzory na sumę i różnicę dla sinusów i cosinusów

Wzory na sumę i różnicę sinusów

grzech α + grzech β = 2 grzech α + β 2 cos α - β 2 grzech α - grzech β = 2 grzech α - β 2 cos α + β 2

Wzory na sumę i różnicę cosinusów

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 · β - α 2

Wzory te obowiązują dla dowolnych kątów α i β. Kąty α + β 2 i α - β 2 nazywane są odpowiednio półsumą i półróżnicą kątów alfa i beta. Podajmy formułę dla każdej formuły.

Definicje wzorów na sumy i różnice sinusów i cosinusów

Suma sinusów dwóch kątów jest równy dwukrotności iloczynu sinusa połowy sumy tych kątów i cosinusa różnicy połówek.

Różnica sinusów dwóch kątów jest równy dwukrotności iloczynu sinusa połowy różnicy tych kątów i cosinusa połowy sumy.

Suma cosinusów dwóch kątów jest równy dwukrotności iloczynu cosinusa połowy sumy i cosinusa połowy różnicy tych kątów.

Różnica cosinusów dwóch kątów jest równy dwukrotności iloczynu sinusa połowy sumy i cosinusa połowy różnicy tych kątów, przyjętego ze znakiem ujemnym.

Wyprowadzanie wzorów na sumę i różnicę sinusów i cosinusów

Aby wyprowadzić wzory na sumę i różnicę sinusów i cosinusów dwóch kątów, stosuje się wzory na dodawanie. Wymieńmy je poniżej

grzech (α + β) = grzech α · cos β + cos α · grzech β grzech (α - β) = sin α · cos β - cos α · sin β cos (α + β) = cos α · cos β - grzech α sin β cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Wyobraźmy sobie także same kąty jako sumę półsum i półróżnic.

α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2

Przechodzimy bezpośrednio do wyprowadzenia wzorów na sumę i różnicę dla grzechu i cos.

Wyprowadzenie wzoru na sumę sinusów

W sumie sin α + sin β zastępujemy α i β podanymi powyżej wyrażeniami dla tych kątów. Dostajemy

grzech α + grzech β = grzech α + β 2 + α - β 2 + grzech α + β 2 - α - β 2

Teraz stosujemy wzór na dodawanie do pierwszego wyrażenia, a do drugiego - wzór na sinus różnic kątowych (patrz wzory powyżej)

grzech α + β 2 + α - β 2 = grzech α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 grzech α - β 2 grzech α + β 2 - α - β 2 = grzech α + β 2 sałata α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 Otwórz nawiasy, dodaj podobne wyrazy i uzyskaj wymagany wzór

grzech α + β 2 sałata α - β 2 + cos α + β 2 grzech α - β 2 + sin α + β 2 sałata α - β 2 - cos α + β 2 grzech α - β 2 = = 2 grzech α + β 2 cos α - β 2

Etapy wyprowadzania pozostałych wzorów są podobne.

Wyprowadzenie wzoru na różnicę sinusów

grzech α - grzech β = grzech α + β 2 + α - β 2 - grzech α + β 2 - α - β 2 grzech α + β 2 + α - β 2 - grzech α + β 2 - α - β 2 = grzech α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 grzech α - β 2 cos α + β 2

Wyprowadzenie wzoru na sumę cosinusów

cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2

Wyprowadzenie wzoru na różnicę cosinusów

cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 grzech α - β 2

Przykłady rozwiązywania problemów praktycznych

Na początek sprawdźmy jeden ze wzorów, podstawiając do niego określone wartości kąta. Niech α = π 2, β = π 6. Obliczmy wartość sumy sinusów tych kątów. Na początek skorzystajmy z tabeli wartości podstawowych funkcje trygonometryczne, a następnie zastosuj wzór na sumę sinusów.

Przykład 1. Sprawdzenie wzoru na sumę sinusów dwóch kątów

α = π 2, β = π 6 grzech π 2 + grzech π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 grzech π 2 + grzech π 6 = 2 grzech π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 = 2 grzech π 3 sałata π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2

Rozważmy teraz przypadek, gdy wartości kątów różnią się od wartości podstawowych przedstawionych w tabeli. Niech α = 165°, β = 75°. Obliczmy różnicę między sinusami tych kątów.

Przykład 2. Zastosowanie wzoru na różnicę sinusów

α = 165 °, β = 75 ° grzech α - grzech β = grzech 165 ° - grzech 75 ° grzech 165 - grzech 75 = 2 grzech 165 ° - grzech 75 ° 2 sałata 165 ° + grzech 75 ° 2 = = 2 grzech 45 ° cos 120° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2

Korzystając ze wzorów na sumę i różnicę sinusów i cosinusów, możesz przejść od sumy lub różnicy do iloczynu funkcji trygonometrycznych. Często te formuły nazywane są formułami przejścia od sumy do iloczynu. Wzory na sumę i różnicę sinusów i cosinusów są szeroko stosowane w rozwiązywaniu problemów równania trygonometryczne oraz podczas konwersji wyrażeń trygonometrycznych.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

The zasób elektroniczny to doskonały materiał do prowadzenia interaktywnych szkoleń nt nowoczesne szkoły. Jest napisany poprawnie, ma przejrzystą strukturę i odpowiada programowi nauczania. Dzięki szczegółowym objaśnieniom temat przedstawiony w lekcji wideo stanie się jasny dla jak największej liczby uczniów w klasie. Nauczyciele muszą pamiętać, że nie wszyscy uczniowie mają ten sam stopień percepcji, szybkość rozumienia i bazę. Takie materiały pomogą Ci poradzić sobie z trudnościami i dogonić rówieśników, poprawić swoje wyniki w nauce. Za ich pomocą, w cichym otoczeniu domowym, samodzielnie lub wspólnie z korepetytorem, uczeń może zrozumieć konkretny temat, przestudiować teorię i zapoznać się z przykładami praktyczne zastosowanie taka czy inna formuła itp.

Ta lekcja wideo poświęcona jest tematowi „Sinus i cosinus różnicy argumentów”. Zakłada się, że studenci poznali już podstawy trygonometrii, zapoznali się z podstawowymi funkcjami i ich własnościami, wzorami widmowymi oraz tablicami wartości trygonometrycznych.

Ponadto, zanim przejdziesz do studiowania tego tematu, musisz znać sinus i cosinus sumy argumentów, znać dwa podstawowe wzory i umieć z nich korzystać.

Na początku lekcji wideo spiker przypomina uczniom o tych dwóch formułach. Następnie zademonstrowano pierwszą formułę - sinus różnicy argumentów. Oprócz tego, w jaki sposób wyprowadzono samą formułę, pokazano, w jaki sposób wyprowadzono ją z innej. Dzięki temu uczeń nie będzie musiał zapamiętywać nowej formuły bez jej zrozumienia, co jest częstym błędem. Jest to bardzo ważne dla uczniów tej klasy. Zawsze musisz pamiętać, że możesz dodać znak + przed znakiem minus, a minus na znaku plus ostatecznie zmieni się w minus. Wykonując ten prosty krok, możesz użyć wzoru na sinus sumy i uzyskać wzór na sinus różnicy argumentów.

Wzór na cosinus różnicy wyprowadzamy w podobny sposób ze wzoru na cosinus sumy argumentów.

Prowadzący wszystko wyjaśnia krok po kroku, w wyniku czego w podobny sposób wyprowadza się ogólny wzór na cosinus sumy i różnicy argumentów oraz sinusa.

Pierwszy przykład z części praktycznej tej lekcji wideo sugeruje znalezienie cosinusa Pi/12. Proponuje się przedstawienie tej wartości w postaci pewnej różnicy, w której odjemna i odejmowana będą wartościami tabelarycznymi. Następnie zostanie zastosowany wzór cosinusa na różnicę argumentów. Zastępując wyrażenie, możesz zastąpić wynikowe wartości i uzyskać odpowiedź. Spiker odczytuje odpowiedź, która wyświetla się na końcu przykładu.

Drugi przykład to równanie. Zarówno po prawej, jak i po lewej stronie widzimy cosinusy różnic argumentów. Głośnik przypomina formuły rzutowania, które służą do zastępowania i upraszczania tych wyrażeń. Wzory te zapisano po prawej stronie, aby uczniowie mogli zrozumieć, skąd pochodzą określone zmiany.

Innym przykładem, trzecim, jest pewien ułamek, w którym mamy zarówno licznik, jak i mianownik wyrażenia trygonometryczne, a mianowicie różnice produktów.

Tutaj również przy rozwiązywaniu stosuje się wzory redukcyjne. W ten sposób uczniowie mogą zobaczyć, że jeśli pominą jeden temat z trygonometrii, coraz trudniej będzie zrozumieć resztę.

I wreszcie czwarty przykład. Jest to również równanie, w którym przy ich rozwiązywaniu konieczne jest użycie nowych, wyuczonych i starych formuł.

Możesz przyjrzeć się bliżej przykładom podanym w samouczku wideo i spróbować rozwiązać problem samodzielnie. Można je ustawić jako Praca domowa uczniowie.

DEKODOWANIE TEKSTU:

Temat lekcji brzmi: „Sinus i cosinus różnicy argumentów”.

Na poprzednim kursie spotkaliśmy dwóch wzory trygonometryczne sinus i cosinus sumy argumentów.

grzech(x + y) = grzech x cos y + cos x grzech y,

cos (x + y) = cos x cos y - grzech x grzech y.

sinus sumy dwóch kątów jest równy sumie iloczynu sinusa pierwszego kąta i cosinusa drugiego kąta oraz iloczynu cosinusa pierwszego kąta i sinusa drugiego kąta;

Cosinus sumy dwóch kątów jest równy różnicy między iloczynem cosinusów tych kątów a iloczynem sumy tych kątów.

Korzystając z tych wzorów, wyprowadzimy wzory Sinus i cosinus różnicy argumentów.

Sinus różnicy argumentów sin(x-y)

Dwa wzory (sinus sumy i sinus różnicy) można zapisać jako:

grzech (xy) = grzech x cos ycos x grzech y.

Podobnie wyprowadzamy wzór na cosinus różnicy:

Zapiszmy cosinus różnicy argumentów jako sumę i zastosujmy już znany wzór na cosinus sumy: cos (x + y) = cosxcosy - sinxsiny.

tylko dla argumentów x i -y. Podstawiając te argumenty do wzoru otrzymujemy cosxcos(- y) - sinxsin(- y).

grzech(- y)= - siny). i otrzymujemy końcowe wyrażenie cosxcosy + sinxsiny.

cos (x - y) = cos (x +(- y)) = cos xcos(- y) - sin x sin(- y)= cosx cos y + sin xsin y.

Oznacza to cos (x - y) = cosxcos y + sin xsin y.

Cosinus różnicy dwóch kątów jest równy sumie iloczynu cosinusów tych kątów i iloczynu sinusów tych kątów.

Łącząc dwa wzory (cosinus sumy i cosinus różnicy) w jeden, piszemy

bo(xy) = cosxcos y grzech xsin y.

Pamiętajmy, że wzory w praktyce można stosować zarówno od lewej do prawej, jak i odwrotnie.

Spójrzmy na przykłady.

PRZYKŁAD 1. Oblicz cos (cosinus pi podzielony przez dwanaście).

Rozwiązanie. Zapiszmy pi podzielone przez dwanaście jako różnicę pi podzieloną przez trzy i pi podzieloną przez cztery: = - .

Podstawiamy wartości do wzoru na różnicę cosinus: cos (x - y) = cosxcosy + sinxsiny, zatem cos = cos (-) = cos cos + sin sin

Wiemy, że cos = , cos = sin= , sin = . Pokaż tabelę wartości.

Zastępujemy wartość sinusa i cosinusa wartościami liczbowymi i otrzymujemy ∙ + ∙ mnożąc ułamek przez ułamek, mnożymy liczniki i mianowniki, otrzymujemy

cos = cos (-) = cos cos + grzech grzech = ∙ + ∙ = = =.

Odpowiedź: cos =.

PRZYKŁAD 2. Rozwiąż równanie cos(2π - 5x) = cos(- 5x) (cosinus dwóch pi minus pięć x równa się cosinus pi przez dwa minus pięć x).

Rozwiązanie. Do lewej i prawej strony równania stosujemy wzory redukcyjne cos(2π - cos (cosinus dwa pi minus alfa równy cosinusowi alfa) i cos(- = sin (cosinus pi przez dwa minus alfa równa się sinus alfa), otrzymujemy cos 5x = sin 5x, sprowadzamy to do postaci jednorodnego równania pierwszego stopnia i otrzymujemy cos 5x - sin 5x = 0. Jest to równanie jednorodne pierwszego stopnia. Podzielmy obie strony wyrazu równania przez cos 5x. Mamy:

cos 5x: cos 5x - grzech 5x: cos 5x = 0, ponieważ cos 5x: cos 5x = 1 i sin 5x: cos 5x = tan 5x, wówczas otrzymujemy:

Ponieważ wiemy już, że równanie tgt = a ma rozwiązanie t = arctga + πn, a ponieważ mamy t = 5x, a = 1, otrzymujemy

5x = arctan 1 + πn,

a wartość arctg wynosi 1, wówczas tg 1= Pokaż tabelę

Podstaw wartość do równania i rozwiąż je:

Odpowiedź: x = +.

PRZYKŁAD 3. Znajdź wartość ułamka. (w liczniku jest różnica iloczynu cosinusów siedemdziesięciu pięciu stopni i sześćdziesięciu pięciu stopni oraz iloczynu sinusów siedemdziesięciu pięciu stopni i sześćdziesięciu pięciu stopni, a w mianowniku jest różnica iloczynu sinusa osiemdziesięciu pięciu stopni i cosinusa trzydziestu pięciu stopni oraz iloczynu cosinusa osiemdziesięciu pięciu stopni i sinusa trzydziestu pięciu stopni).

Rozwiązanie. W liczniku tego ułamka różnicę można „zwinąć” do cosinusa sumy argumentów 75° i 65°, a w mianowniku różnicę można „zwinąć” do sinusa różnicy między argumentami 85° i 35°. Dostajemy

Odpowiedź 1.

PRZYKŁAD 4. Rozwiąż równanie: cos(-x) + sin(-x) = 1(cosinus różnicy pi przez cztery i x plus sinus różnicy pi przez cztery i x równa się jeden).

Rozwiązanie. Zastosujmy wzory: różnica cosinus i różnica sinus.

Pokaż wzór na cosinus różnicy ogólnej

Wtedy cos (-x) = cos cos x + sinsinх