Jak oblicza się pierwiastek kwadratowy? Obliczanie pierwiastka kwadratowego z liczby: jak obliczyć to ręcznie. Potęgowanie

Wśród wielu wiedzy będących oznaką umiejętności czytania i pisania na pierwszym miejscu znajduje się alfabet. Kolejnym, równie „znakowym” elementem są umiejętności dodawania-mnożenia i sąsiadujące z nimi, ale o przeciwnym znaczeniu, arytmetyczne operacje odejmowania-dzielenia. Umiejętności nabyte w odległym dzieciństwie szkolnym służą wiernie w dzień i w nocy: telewizja, gazeta, SMS-y i wszędzie czytamy, piszemy, liczymy, dodajemy, odejmujemy, mnożymy. I powiedz mi, czy często musiałeś zapuszczać korzenie w swoim życiu, z wyjątkiem daczy? Na przykład takie zabawne zadanie, jak pierwiastek kwadratowy z liczby 12345... Czy w kolbach jest jeszcze proch? Czy możemy sobie z tym poradzić? Nic prostszego! Gdzie jest mój kalkulator... A bez niego walka wręcz jest słaba?

Najpierw wyjaśnijmy, co to jest - pierwiastek kwadratowy z liczby. Ogólnie rzecz ujmując, „pierwiastkowanie liczby” oznacza wykonanie operacji arytmetycznej odwrotnej do podniesienia do potęgi – tutaj mamy jedność przeciwieństw w zastosowaniu życiowym. Powiedzmy, że kwadrat to pomnożenie liczby samej w sobie, czyli jak uczy się w szkole, X * X = A lub w innym zapisie X2 = A, a słownie – „X kwadrat równa się A”. Wtedy problem odwrotny brzmi następująco: pierwiastek kwadratowy z liczby A jest liczbą X, która po podniesieniu do kwadratu równa się A.

Biorąc pierwiastek kwadratowy

Z kurs szkolny Arytmetyka zna metody obliczeń „w kolumnie”, które pozwalają na wykonanie dowolnych obliczeń z wykorzystaniem pierwszych czterech operacji arytmetycznych. Niestety... Dla pierwiastków kwadratowych i nie tylko kwadratowych takie algorytmy nie istnieją. A w tym przypadku, jak wyodrębnić pierwiastek kwadratowy bez kalkulatora? Na podstawie definicji pierwiastek kwadratowy Wniosek jest tylko jeden - należy wybrać wartość wyniku, wyliczając kolejno liczby, których kwadrat zbliża się do wartości wyrażenia pierwiastkowego. To wszystko! Zanim minie godzina lub dwie, możesz obliczyć, stosując dobrze znaną metodę mnożenia w „kolumnie”, dowolny pierwiastek kwadratowy. Jeśli masz umiejętności, zajmie to tylko kilka minut. Nawet niezbyt zaawansowany użytkownik kalkulatora czy komputera PC może to zrobić za jednym zamachem - postęp.

Ale poważnie, obliczenia pierwiastka kwadratowego często wykonuje się za pomocą techniki „widelców artyleryjskich”: najpierw weź liczbę, której kwadrat w przybliżeniu odpowiada wyrażeniu radykalnemu. Lepiej, jeśli „nasz kwadrat” jest nieco mniejszy niż to wyrażenie. Następnie dopasowują liczbę zgodnie ze swoimi umiejętnościami i zrozumieniem, np. mnożą przez dwa i... ponownie podnoszą do kwadratu. Jeśli wynik więcej numeru pod korzeniem, sukcesywnie dostosowując pierwotną liczbę, stopniowo zbliżając się do swojego „kolegi” pod korzeniem. Jak widać - żadnego kalkulatora, tylko możliwość liczenia „w kolumnie”. Oczywiście istnieje wiele sprawdzonych naukowo i zoptymalizowanych algorytmów obliczania pierwiastka kwadratowego, ale w przypadku „użytku domowego” powyższa technika daje 100% pewności wyniku.

Tak, prawie zapomniałem, aby potwierdzić naszą zwiększoną umiejętność czytania, obliczmy pierwiastek kwadratowy ze wskazanej wcześniej liczby 12345. Robimy to krok po kroku:

1. Przyjmijmy czysto intuicyjnie X=100. Obliczmy: X * X = 10000. Intuicja działa najlepiej – wynik jest mniejszy niż 12345.

2. Spróbujmy, także czysto intuicyjnie, X = 120. Następnie: X * X = 14400. I znowu intuicja jest w porządku - wynik jest większy niż 12345.

3. Powyżej mamy „widelec” 100 i 120. Wybieramy nowe liczby - 110 i 115. Otrzymujemy odpowiednio 12100 i 13225 - widełki zwężają się.

4. Spróbujmy „może” X=111. Otrzymujemy X * X = 12321. Liczba ta jest już całkiem bliska 12345. Zgodnie z wymaganą dokładnością „dopasowanie” można kontynuować lub zakończyć na uzyskanym wyniku. To wszystko. Zgodnie z obietnicą - wszystko jest bardzo proste i bez kalkulatora.

Tylko trochę historii...

Pomyślałem, żeby go użyć pierwiastki kwadratowe także pitagorejczycy, uczniowie szkoły i zwolennicy Pitagorasa, 800 p.n.e. a potem „natknęliśmy się” na nowe odkrycia w dziedzinie liczb. A skąd to się wzięło?

1. Rozwiązanie problemu z wyodrębnieniem pierwiastka daje wynik w postaci liczb nowej klasy. Nazywano je irracjonalnymi, innymi słowy „nierozsądnymi”, ponieważ. nie są one zapisywane jako liczba pełna. Najbardziej klasycznym przykładem tego rodzaju jest pierwiastek kwadratowy z 2. Ten przypadek odpowiada obliczeniu przekątnej kwadratu o boku równym 1 - taki jest wpływ szkoły pitagorejskiej. Okazało się, że w trójkącie o bardzo określonej jednostkowej wielkości boków przeciwprostokątna ma rozmiar, który wyraża się liczbą, która „nie ma końca”. Tak pojawiły się w matematyce

2. Wiadomo, że okazało się, że w tym działaniu matematycznym kryje się jeszcze jeden haczyk – przy wyodrębnianiu pierwiastka nie wiemy, która liczba, dodatnia czy ujemna, jest kwadratem wyrażenia pierwiastkowego. W ten sposób rejestruje się tę niepewność, czyli podwójny wynik jednej operacji.

Badanie problemów związanych z tym zjawiskiem stało się kierunkiem w matematyce zwanym teorią zmiennych zespolonych, który ma duże znaczenie praktyczne w fizyce matematycznej.

Ciekawe, że ten sam wszechobecny I. Newton użył oznaczenia pierwiastka – radykalnego – w swojej „Arytmetyce uniwersalnej”, a dokładnie współczesna forma zapisu pierwiastka znana jest od 1690 r. z książki Francuza Rolle’a „Podręcznik Algebry”.

Cóż, jeśli weźmiemy pod uwagę, że ten pierwiastek kwadratowy jest iloczynem tej samej liczby (czyli b = a), wówczas pierwiastek kwadratowy ze stu wyniesie 10 (100 = 10).

Należy zauważyć, że liczbę 100 można przedstawić jako iloczyn 25 i 4. Następnie oblicz pierwiastek kwadratowy z 25 i 4. 5 i 2. Pomnóż i również otrzymaj 10.

Kiedy po raz pierwszy zaczęliśmy uczyć się tego tematu w szkole, pierwiastek kwadratowy ze 100 był prawdopodobnie jednym z najłatwiejszych do zrozumienia i obliczenia. Zwykle patrzyłem na parzystą (!) liczbę zer i od razu obliczałem, która liczba pomnożona przez samą siebie daje liczbę pod pierwiastkiem kwadratowym. Na przykład, jeśli byłoby to 10000, wówczas pierwiastek kwadratowy tej liczby wynosiłby sto (100x100 = 10000). Jeśli liczba pod kwadratem pierwiastkiem jest sześć zer, wówczas odpowiedź będzie zawierać trzy zera. Itp.

W tym przypadku w liczbie są tylko dwa zera, co oznacza, że ​​​​były dwie dziesiątki. Więc, Pierwiastek kwadratowy ze 100 wynosi 10. Sprawdzamy: 10x10 = 100

Istnieje kilka sposobów obliczania pierwiastka kwadratowego.

1) Weź kalkulator lub smartfon/tablet/komputer z zainstalowanym programem obliczeniowym, wpisz liczbę 100 i kliknij ikonę pierwiastka, który wygląda mniej więcej tak:

2) Zapoznaj się z tablicą kwadratów liczb do 100=25*4.

3) Metodą dzielenia.

4) Metodą rozkładu na czynniki pierwsze 100=10*10.

Teoretycznie, jeśli zrobisz wszystko poprawnie, otrzymasz wynik 10.

Ikona używana do reprezentowania pierwiastka kwadratowego nazywa się pierwiastkiem i wygląda tak.

A pierwiastek kwadratowy ze 100 jest łatwy do wyodrębnienia, jeśli znasz kwadraty liczb. 10 x 10 = 100. Zatem pierwiastek kwadratowy ze 100, zgodnie z definicją pierwiastka kwadratowego, wynosi 10.

Prawdopodobnie każde dziecko w wieku szkolnym wie, że liczba 100 jest iloczynem 10 przez 10.

Ponieważ pierwiastek kwadratowy jest liczbą, która pomnożona przez siebie jest wyrażeniem radykalnym Pierwiastek kwadratowy ze stu jest równy liczbie 10.

Jeśli zapomniałeś, że 100=10*10, możesz skorzystać z właściwości pierwiastków:

pierwiastek ze 100 = pierwiastek z (25*4) = pierwiastek z 25 * pierwiastek z 4.

Każdy wie, że 5*5 = 25 i 2*2 = 4. Zatem pierwiastek ze 100 = 5 * 2 = 10.

Cóż, jeśli tego nie wiesz, możesz skorzystać z kalkulatora lub tabel Excela, mają one specjalną formułę zwaną ŹRÓDŁO. Oto jak to wszystko wygląda wizualnie:



W dzisiejszych czasach za pomocą kalkulatora bardzo łatwo jest obliczyć pierwiastek kwadratowy dowolnej liczby.

Możesz wyodrębnić pierwiastek kwadratowy ze 100 doustnie. Przecież wiadomo, że podniesienie liczby x do kwadratu to liczba x pomnożona przez liczbę x.

Jeśli 10 10 = 100, to pierwiastek kwadratowy ze 100 wynosi 10.

Odpowiedz na pytanie: 10 .

Pierwiastek kwadratowy w matematyce jest oznaczony konwencjonalnym symbolem.

Pierwiastek kwadratowy z liczby to liczba nieujemna, której kwadrat jest równy a. Ponieważ 10^2=100, pierwiastek kwadratowy ze 100 wynosi 10.

Istnieją liczby, których korzenie są bardzo łatwe do zapamiętania. U mnie jest to np. 25 - pierwiastkiem będzie 5, bo 5*5=25, 625 to pierwiastek z 25, bo 25*25=625.

Jako takie liczby uwzględniam również liczbę 100 - pierwiastek będzie wynosić 10, sprawdź 10*10=100. Więc to prawda.

Pierwiastek kwadratowy ze stu? wygląda na to, że będzie 10

Trudno sobie wyobrazić, że ktoś wejdzie do Internetu, aby znaleźć tę odpowiedź, ale jeśli wyobrazimy sobie, że jest całkowicie niepobrany i nieuważny, to podaję odpowiedź.Pierwiastek kwadratowy liczby 100 wynosi 10, a także -10. Wiele źródeł tak to podaje.



Pierwiastek kwadratowy ze 100 ma dwie wartości: 10 i -10. Ci, którzy nie wierzą, mogą sprawdzić, mnożąc.

Aby wyodrębnić pierwiastek kwadratowy bez kalkulatora, musisz rozłożyć liczbę pod pierwiastkiem na najmniejsze czynniki i kontynuować od tego. Zatem dla liczby sto:

I odpowiednio stąd od razu staje się jasne, że pierwiastek kwadratowy ze stu będzie wynosić dokładnie 10.

Musiałem sobie przypomnieć zasadę, którą zapamiętałem ze szkoły:

Chociaż wyodrębnienie pierwiastka ze 100 jest prostą sprawą, która nie wymaga użycia kalkulatorów, ponieważ zapada w pamięć na całe życie. Liczbę 100 uzyskuje się poprzez pomnożenie 10 przez 10, a zatem liczbę 10 i będzie pierwiastkiem setki.

Dzisiaj na tej stronie naszej witryny internetowej dowiemy się, jaki jest pierwiastek kwadratowy ze 100. Zastanówmy się wspólnie, jaki jest pierwiastek kwadratowy ze 100, ponieważ 1000 naukowców głowi się nad tym tematem od wielu dziesięcioleci, a wielu z obliczeń doszło do nieuniknionego wniosku, że taki pierwiastek w ogóle nie istnieje i jest po prostu nie da się tego obliczyć. Bardzo ważne jest również w tym przypadku, aby zadać dokładnie właściwe pytanie, aby określić pierwiastek kwadratowy ze 100. Mówiąc ściślej, obliczymy arytmetyczny pierwiastek kwadratowy ze 100, ponieważ w zwykłym pierwiastku kwadratowym ze 100 otrzymamy dwa liczby: 10 i - 10.

Sumę tych potrzebnych liczb możemy obliczyć za pomocą prostej techniki arytmetycznej, używając pionowej, znanej linii, liczb i pierwiastków zapisanych w prawym dolnym rogu. Tam znajdziemy kwadrat potrzebnych jednostek pierwiastka, następnie pomnożymy dziesiątki i znajdziemy podwójny, a nie potrójny iloczyn dziesiątki dowolnego pierwiastka przez jednostki. Będziemy musieli podnieść do kwadratu niektóre liczby, aby suma stała się liczbą dwucyfrową; jeśli w końcu otrzymamy liczbę 10, oznacza to, że zrobiliśmy wszystko dobrze. Najważniejsze jest, aby początkowo przynajmniej trochę zapoznać się z matematyką i postępem matematycznym tworzenia pierwiastka kwadratowego przed rozpoczęciem obliczeń.

Pamiętaj o jednej i podstawowej zasadzie: aby wydobyć niezbędny pierwiastek kwadratowy z dowolnej liczby całkowitej, najpierw wyodrębniamy potrzebny nam pierwiastek z liczby jej sum i setek. Jeśli liczba jest równa lub większa niż 100, to zaczynamy szukać pierwiastka z setek liczb rzeczywistych z tych setek, a następnie z dziesiątek tysięcy z rzeczywistej liczby, zwłaszcza jeśli dana liczba jest znacznie większa niż 100 , to koniecznie wyodrębniamy pierwiastek z liczby setek dziesiątek tysięcy, a ściślej: z miliona danej liczby. Istnieje wiele zasad i różnych zaleceń naukowych na ten temat, programy szkolne podczas wyodrębniania pierwiastka kwadratowego ze 100 będzie zawsze taka sama.

Jeśli weźmiemy pod uwagę postęp w znajdowaniu pierwiastka liczby 100, musimy zwrócić uwagę na fakt, że w pierwiastku jest tyle samo liczb, ile jest pod nim. skończoną liczbą stronach, podczas gdy lewa strona może składać się tylko z jednej cyfry. Bazując na tym wszystkim, najdokładniejszym pierwiastkiem kwadratowym dowolnej liczby na planecie Ziemia będzie suma liczb, których kwadrat dokładnie po obliczeniu jest równy podany numer. Na tym możemy zakończyć nasze krótki kurs obliczając pierwiastek kwadratowy ze 100, który będzie równy (10) dziesięć.

Konstantinowa Wera

Jak znaleźć pierwiastek liczby

Problem znalezienia pierwiastka w matematyce jest odwrotnym problemem podnoszenia liczby do potęgi. Istnieją różne korzenie: korzenie drugiego stopnia, korzenie trzeciego stopnia, korzenie czwartego stopnia i tak dalej. Zależy to od tego, do jakiej potęgi liczba została pierwotnie podniesiona. Pierwiastek jest oznaczony symbolem: √ jest pierwiastkiem kwadratowym, czyli pierwiastkiem drugiego stopnia, jeśli pierwiastek ma stopień większy niż drugi, wówczas odpowiedni stopień jest przypisywany nad znakiem pierwiastka. Liczba znajdująca się pod znakiem pierwiastka jest wyrażeniem radykalnym. Podczas wyszukiwania korzenia istnieje kilka zasad, które pomogą Ci nie popełnić błędu w znalezieniu korzenia:

• Nawet pierwiastek potęgowy (jeśli potęga wynosi 2, 4, 6, 8 itd.). Liczba ujemna Nie istnieje. Jeśli wyrażenie radykalne jest ujemne, ale poszukiwany jest pierwiastek stopnia nieparzystego (3, 5, 7 itd.), wówczas wynik będzie ujemny.
• Pierwiastkiem dowolnej potęgi jedynki jest zawsze jeden: √1 = 1.
• Pierwiastkiem zera jest zero: √0 = 0.

Jak znaleźć pierwiastek liczby 100

Jeśli w zadaniu nie jest napisane, jaki pierwiastek stopnia należy znaleźć, oznacza to zwykle, że należy znaleźć pierwiastek drugiego stopnia (kwadrat).
Znajdźmy √100 =? Musimy znaleźć liczbę, która podniesiona do drugiej potęgi daje liczbę 100. Oczywiście taką liczbą jest liczba 10, ponieważ: 10 2 = 100. Zatem √100 = 10: pierwiastek kwadratowy ze 100 wynosi 10.

Decydując różne zadania Na lekcjach matematyki i fizyki uczniowie i studenci często stają przed koniecznością wyodrębnienia pierwiastków drugiego, trzeciego lub n-tego stopnia. Oczywiście w stuleciu Technologie informacyjne Rozwiązanie tego problemu za pomocą kalkulatora nie będzie trudne. Zdarzają się jednak sytuacje, w których nie ma możliwości skorzystania z asystenta elektronicznego.

Na przykład wiele egzaminów nie pozwala na przyniesienie sprzętu elektronicznego. Ponadto możesz nie mieć pod ręką kalkulatora. W takich przypadkach warto znać przynajmniej niektóre metody ręcznego obliczania rodników.

Znajdowanie pierwiastków kwadratowych za pomocą tabeli kwadratów

Jednym z najprostszych sposobów obliczania pierwiastków jest przy użyciu specjalnego stołu. Co to jest i jak prawidłowo go używać?

Korzystając z tabeli, możesz znaleźć kwadrat dowolnej liczby od 10 do 99. Wiersze tabeli zawierają wartości dziesiątek, a kolumny zawierają wartości jednostek. Komórka na przecięciu wiersza i kolumny zawiera kwadrat numer dwucyfrowy. Aby obliczyć kwadrat 63, należy znaleźć wiersz o wartości 6 i kolumnę o wartości 3. Na przecięciu znajdziemy komórkę z liczbą 3969.

Ponieważ wyodrębnienie pierwiastka jest odwrotną operacją kwadratury, aby wykonać tę czynność, musisz wykonać odwrotną czynność: najpierw znajdź komórkę z liczbą, której pierwiastek chcesz obliczyć, a następnie użyj wartości kolumny i wiersza, aby określić odpowiedź . Jako przykład rozważ obliczenie pierwiastka kwadratowego ze 169.

Znajdujemy w tabeli komórkę z tą liczbą, w poziomie wyznaczamy dziesiątki - 1, w pionie znajdujemy jednostki - 3. Odpowiedź: √169 = 13.

Podobnie możesz obliczyć sześcian i n-ty pierwiastek, korzystając z odpowiednich tabel.

Zaletą metody jest jej prostota i brak dodatkowych obliczeń. Wady są oczywiste: metodę można zastosować tylko dla ograniczonego zakresu liczb (liczba, dla której zostanie znaleziony pierwiastek, musi mieścić się w przedziale od 100 do 9801). Dodatkowo nie zadziała jeśli podanej liczby nie ma w tabeli.

Faktoryzacja pierwsza

Jeśli tabela kwadratów nie jest pod ręką lub znalezienie pierwiastka za jej pomocą okazało się niemożliwe, możesz spróbować rozłóż liczbę pod pierwiastkiem na czynniki pierwsze. Czynniki pierwsze to takie, które można całkowicie (bez reszty) podzielić tylko przez siebie lub przez jeden. Przykładami mogą być 2, 3, 5, 7, 11, 13 itd.

Przyjrzyjmy się obliczaniu pierwiastka na przykładzie √576. Rozłóżmy to na czynniki pierwsze. Otrzymujemy następujący wynik: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². Korzystając z podstawowej właściwości pierwiastków √a² = a pozbędziemy się pierwiastków i kwadratów, a następnie obliczymy odpowiedź: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​= 24.

Co zrobić, jeśli któryś z mnożników nie ma własnej pary? Rozważmy na przykład obliczenie √54. Po rozłożeniu na czynniki otrzymujemy wynik w postaci: √54 = √(2 ∙ 3 ​​​​∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. Nieusuwalną część można pozostawić pod korzeniem. W przypadku większości problemów z geometrią i algebrą ta odpowiedź będzie liczona jako odpowiedź ostateczna. Jeśli jednak zachodzi potrzeba obliczenia wartości przybliżonych, można zastosować metody, które zostaną omówione poniżej.

Metoda Herona

Co zrobić, gdy trzeba przynajmniej w przybliżeniu wiedzieć, ile wynosi wyodrębniony pierwiastek (jeśli nie da się uzyskać wartości całkowitej)? Szybki i dość dokładny wynik uzyskuje się stosując metodę Herona. Jego istotą jest użycie przybliżonego wzoru:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

gdzie R jest liczbą, której pierwiastek należy obliczyć, a jest najbliższą liczbą, której pierwiastek jest znany.

Przyjrzyjmy się, jak metoda sprawdza się w praktyce i oceńmy, na ile jest dokładna. Obliczmy, ile wynosi √111. Liczba najbliższa 111, której pierwiastek jest znany, to 121. Zatem R = 111, a = 121. Podstaw wartości do wzoru:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

Sprawdźmy teraz dokładność metody:

10,55² = 111,3025.

Błąd metody wynosił około 0,3. Jeżeli wymagana jest poprawa dokładności metody, można powtórzyć opisane wcześniej kroki:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Sprawdźmy dokładność obliczeń:

10,536² = 111,0073.

Po ponownym zastosowaniu wzoru błąd stał się zupełnie nieistotny.

Obliczanie pierwiastka przez dzielenie długie

Ta metoda znajdowania pierwiastka kwadratowego jest nieco bardziej złożona niż poprzednie. Jest to jednak najdokładniejsza spośród innych metod obliczeń bez kalkulatora.

Załóżmy, że musisz znaleźć pierwiastek kwadratowy z dokładnością do 4 miejsc po przecinku. Przeanalizujmy algorytm obliczeń na przykładzie dowolnej liczby 1308,1912.

1. Podziel kartkę papieru pionową linią na 2 części, a następnie narysuj z niej kolejną linię w prawo, nieco poniżej górnej krawędzi. Zapiszmy liczbę po lewej stronie, dzieląc ją na grupy po 2 cyfry, przesuwając się w prawo i w lewo od przecinka dziesiętnego. Pierwsza cyfra po lewej stronie może nie mieć pary. Jeśli po prawej stronie liczby brakuje znaku, należy dodać 0. W naszym przypadku wynikiem będzie 13 08.19 12.
2. Wybierzmy najlepszych duża liczba, którego kwadrat będzie mniejszy lub równy pierwszej grupie cyfr. W naszym przypadku jest to 3. Zapiszmy to w prawym górnym rogu; 3 to pierwsza cyfra wyniku. W prawym dolnym rogu wskazujemy 3×3 = 9; będzie to potrzebne do późniejszych obliczeń. Od 13 w kolumnie odejmujemy 9, a resztę otrzymujemy 4.
3. Przypiszmy następną parę liczb do reszty 4; otrzymujemy 408.
4. Pomnóż liczbę w prawym górnym rogu przez 2 i zapisz ją w prawym dolnym rogu, dodając do niej _ x _ =. Otrzymujemy 6_ x _ =.
5. Zamiast myślników należy zastąpić tę samą liczbę, mniejszą lub równą 408. Otrzymujemy 66 × 6 = 396. Piszemy 6 od prawego górnego rogu, ponieważ jest to druga cyfra wyniku. Odejmij 396 od 408, otrzymamy 12.
6. Powtórzmy kroki 3-6. Ponieważ cyfry przesunięte w dół stanowią część ułamkową liczby, po 6 należy w prawym górnym rogu postawić przecinek. Wynik podwójny zapisujemy myślnikami: 72_ x _ =. Odpowiednia liczba to 1: 721×1 = 721. Zapiszmy to jako odpowiedź. Odejmijmy 1219 - 721 = 498.
7. Wykonajmy sekwencję działań podaną w poprzednim akapicie jeszcze trzy razy, aby uzyskać wymaganą liczbę miejsc po przecinku. Jeśli nie ma wystarczającej liczby znaków do dalszych obliczeń, musisz dodać dwa zera do bieżącej liczby po lewej stronie.

W rezultacie otrzymujemy odpowiedź: √1308,1912 ≈ 36,1689. Jeśli sprawdzisz działanie za pomocą kalkulatora, możesz upewnić się, że wszystkie znaki zostały poprawnie zidentyfikowane.

Bitowe obliczanie pierwiastka kwadratowego

Metoda jest bardzo dokładna. Ponadto jest to całkiem zrozumiałe i nie wymaga zapamiętywania formuł ani złożonego algorytmu działań, ponieważ istotą tej metody jest wybranie prawidłowego wyniku.

Wyodrębnijmy pierwiastek liczby 781. Przyjrzyjmy się szczegółowo sekwencji działań.

1. Przekonajmy się, która cyfra wartości pierwiastka kwadratowego będzie najbardziej znacząca. Aby to zrobić, podnieśmy do kwadratu 0, 10, 100, 1000 itd. i dowiedzmy się, pomiędzy którymi z nich znajduje się liczba pierwiastkowa. Otrzymujemy te 10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. Wybierzmy wartość dziesiątek. Aby to zrobić, będziemy na zmianę podnosić do potęgi 10, 20, ..., 90, aż otrzymamy liczbę większą niż 781. W naszym przypadku otrzymamy 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. wartość wyniku n będzie mieścić się w zakresie 20< n <30.
3. Podobnie jak w poprzednim kroku wybierana jest wartość cyfry jedności. Podnieśmy do kwadratu 21,22, ..., 29 jeden po drugim: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² = 784. Otrzymujemy, że 27< n < 28.
4. Każdą kolejną cyfrę (dziesiętne, setne itp.) oblicza się w taki sam sposób, jak pokazano powyżej. Obliczenia prowadzi się do momentu uzyskania wymaganej dokładności.

Wideo

W tym filmie dowiesz się, jak znaleźć pierwiastek kwadratowy bez użycia kalkulatora.

Przed pojawieniem się kalkulatorów uczniowie i nauczyciele obliczali pierwiastki kwadratowe ręcznie. Istnieje kilka sposobów ręcznego obliczania pierwiastka kwadratowego z liczby. Niektóre z nich oferują jedynie przybliżone rozwiązanie, inne dają dokładną odpowiedź.

Kroki

Faktoryzacja pierwsza

Rozłóż liczbę pierwiastkową na czynniki będące liczbami kwadratowymi. W zależności od liczby radykalnej otrzymasz odpowiedź przybliżoną lub dokładną. Liczby kwadratowe to liczby, z których można wyciągnąć cały pierwiastek kwadratowy. Czynniki to liczby, które po pomnożeniu dają liczbę pierwotną. Na przykład współczynniki liczby 8 to 2 i 4, ponieważ 2 x 4 = 8, liczby 25, 36, 49 są liczbami kwadratowymi, ponieważ √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Czynniki kwadratowe są czynnikami, które są liczbami kwadratowymi. Najpierw spróbuj rozłożyć liczbę pierwiastkową na czynniki kwadratowe.

• Na przykład oblicz pierwiastek kwadratowy z 400 (ręcznie). Najpierw spróbuj rozłożyć 400 na czynniki kwadratowe. 400 to wielokrotność 100, czyli podzielna przez 25 - jest to liczba kwadratowa. Dzielenie 400 przez 25 daje 16. Liczba 16 jest również liczbą kwadratową. Zatem 400 można rozłożyć na współczynniki kwadratowe 25 i 16, czyli 25 x 16 = 400.
• Można to zapisać w następujący sposób: √400 = √(25 x 16).

1. Pierwiastek kwadratowy iloczynu niektórych wyrazów jest równy iloczynowi pierwiastków kwadratowych każdego wyrazu, czyli √(a x b) = √a x √b. Użyj tej reguły, aby obliczyć pierwiastek kwadratowy z każdego współczynnika kwadratowego i pomnożyć wyniki, aby znaleźć odpowiedź.

   • W naszym przykładzie weź pierwiastek z 25 i 16.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5x4 = 20

2. Jeśli liczba pierwiastkowa nie zostanie rozłożona na dwa współczynniki kwadratowe (a tak się dzieje w większości przypadków), nie będziesz w stanie znaleźć dokładnej odpowiedzi w postaci liczby całkowitej. Ale można uprościć problem, rozkładając liczbę pierwiastkową na współczynnik kwadratowy i zwykły czynnik (liczbę, z której nie można wyciągnąć całego pierwiastka kwadratowego). Następnie weźmiesz pierwiastek kwadratowy ze współczynnika kwadratowego i wyciągniesz pierwiastek ze wspólnego czynnika.

   • Na przykład oblicz pierwiastek kwadratowy z liczby 147. Liczby 147 nie można rozłożyć na dwa współczynniki kwadratowe, ale można ją rozłożyć na następujące czynniki: 49 i 3. Rozwiąż problem w następujący sposób:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Jeśli to konieczne, oszacuj wartość pierwiastka. Teraz możesz oszacować wartość pierwiastka (znaleźć wartość przybliżoną), porównując ją z wartościami pierwiastków liczb kwadratowych, które są najbliżej (po obu stronach osi liczbowej) liczby pierwiastkowej. Wartość pierwiastkową otrzymasz w postaci ułamka dziesiętnego, który należy pomnożyć przez liczbę znajdującą się za znakiem pierwiastka.

   • Wróćmy do naszego przykładu. Pierwiastkiem jest liczba 3. Najbliższe jej liczby kwadratowe to liczby 1 (√1 = 1) i 4 (√4 = 2). Zatem wartość √3 mieści się pomiędzy 1 a 2. Ponieważ wartość √3 jest prawdopodobnie bliższa 2 niż 1, nasze oszacowanie wynosi: √3 = 1,7. Mnożymy tę wartość przez liczbę przy znaku pierwiastka: 7 x 1,7 = 11,9. Jeśli wykonasz obliczenia na kalkulatorze, otrzymasz 12,13, co jest dość bliskie naszej odpowiedzi.
     • Ta metoda działa również w przypadku dużych liczb. Rozważmy na przykład √35. Pierwiastkiem jest liczba 35. Najbliższe jej liczby kwadratowe to liczby 25 (√25 = 5) i 36 (√36 = 6). Zatem wartość √35 mieści się pomiędzy 5 a 6. Ponieważ wartość √35 jest znacznie bliższa 6 niż 5 (ponieważ 35 to tylko 1 mniej niż 36), możemy powiedzieć, że √35 jest nieco mniejsze niż 6 Sprawdź na kalkulatorze, co daje nam odpowiedź 5,92 – mieliśmy rację.

4. Inny sposób - rozłóż liczbę pierwiastkową na czynniki pierwsze . Czynniki pierwsze to liczby, które dzielą się tylko przez 1 i samą siebie. Zapisz czynniki pierwsze w szeregu i znajdź pary identycznych czynników. Takie czynniki można wyjąć ze znaku głównego.

   • Na przykład oblicz pierwiastek kwadratowy z 45. Rozłóż liczbę pierwiastkową na czynniki pierwsze: 45 = 9 x 5 i 9 = 3 x 3. Zatem √45 = √(3 x 3 x 5). Jako pierwiastek można wyjąć 3: √45 = 3√5. Teraz możemy oszacować √5.
   • Spójrzmy na inny przykład: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Otrzymałeś trzy mnożniki liczby 2; weź kilka z nich i przesuń je poza znak korzenia.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Teraz możesz ocenić √2 i √11 i znaleźć przybliżoną odpowiedź.

   Ręczne obliczanie pierwiastka kwadratowego

   Używanie długiego dzielenia

   1. Ta metoda obejmuje proces podobny do dzielenia długich i zapewnia dokładną odpowiedź. Najpierw narysuj pionową linię dzielącą arkusz na dwie połowy, a następnie w prawo i nieco poniżej górnej krawędzi arkusza narysuj poziomą linię do linii pionowej. Teraz podziel liczbę pierwiastkową na pary liczb, zaczynając od części ułamkowej po przecinku. Tak więc liczba 79520789182.47897 jest zapisana jako „7 95 20 78 91 82, 47 89 70”.

      • Na przykład obliczmy pierwiastek kwadratowy z liczby 780,14. Narysuj dwie linie (jak pokazano na rysunku) i wpisz podaną liczbę w postaci „7 80, 14” w lewym górnym rogu. To normalne, że pierwsza cyfra od lewej jest cyfrą niesparowaną. Odpowiedź (pierwiastek tej liczby) napiszesz w prawym górnym rogu.

   2. Dla pierwszej pary liczb (lub pojedynczej liczby) od lewej strony znajdź największą liczbę całkowitą n, której kwadrat jest mniejszy lub równy danej parze liczb (lub pojedynczej liczbie). Innymi słowy, znajdź liczbę kwadratową najbliższą pierwszej parze liczb (lub pojedynczej liczbie) od lewej, ale mniejszą od niej, i weź pierwiastek kwadratowy z tej liczby kwadratowej; otrzymasz liczbę n. Wpisz n, które znalazłeś, w prawym górnym rogu i wpisz kwadrat n w prawym dolnym rogu.

      • W naszym przypadku pierwszą liczbą po lewej będzie 7. Następnie 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Odejmij kwadrat liczby n, którą właśnie znalazłeś, od pierwszej pary liczb (lub pojedynczej liczby) po lewej stronie. Wynik obliczeń zapisz pod odejmowaniem (kwadratem liczby n).

      • W naszym przykładzie odejmij 4 od 7 i uzyskaj 3.

   4. Zapisz drugą parę liczb i zapisz ją obok wartości uzyskanej w poprzednim kroku. Następnie podwoj liczbę w prawym górnym rogu i zapisz wynik w prawym dolnym rogu z dodatkiem „_×_=".

      • W naszym przykładzie druga para liczb to „80”. Wpisz „80” po 3. Następnie podwojenie liczby w prawym górnym rogu daje 4. Wpisz „4_×_=" w prawym dolnym rogu.

   5. Wypełnij puste pola po prawej stronie.

      • W naszym przypadku, jeśli zamiast myślników wstawimy liczbę 8, to 48 x 8 = 384, czyli więcej niż 380. Zatem 8 to za duża liczba, ale wystarczy 7. Zamiast myślników wpisz 7 i uzyskaj: 47 x 7 = 329. Wpisz 7 w prawym górnym rogu - jest to druga cyfra żądanego pierwiastka kwadratowego z liczby 780,14.

   6. Odejmij wynikową liczbę od bieżącej liczby po lewej stronie. Wynik z poprzedniego kroku zapisz pod aktualną liczbą po lewej stronie, znajdź różnicę i zapisz ją pod odjemnikiem.

      • W naszym przykładzie odejmij 329 od 380, co równa się 51.

   7. Powtórz krok 4. Jeżeli przenoszona para liczb jest częścią ułamkową pierwotnej liczby, należy umieścić separator (przecinek) pomiędzy liczbą całkowitą a częścią ułamkową w wymaganym pierwiastku kwadratowym w prawym górnym rogu. Po lewej stronie obniż następną parę liczb. Podwój liczbę w prawym górnym rogu i zapisz wynik w prawym dolnym rogu z dodatkiem „_×_=".

      • W naszym przykładzie następną parą liczb do usunięcia będzie część ułamkowa liczby 780,14, dlatego umieść separator części całkowitej i ułamkowej w żądanym pierwiastku kwadratowym w prawym górnym rogu. Zapisz liczbę 14 i wpisz ją w lewym dolnym rogu. Podwójna liczba w prawym górnym rogu (27) to 54, więc wpisz „54_×_=" w prawym dolnym rogu.

   8. Powtórz kroki 5 i 6. Znajdź największą liczbę w miejsce kresek po prawej stronie (zamiast kresek należy podstawić tę samą liczbę), aby wynik mnożenia był mniejszy lub równy bieżącej liczbie po lewej stronie.

      • W naszym przykładzie 549 x 9 = 4941, czyli mniej niż bieżąca liczba po lewej stronie (5114). Wpisz 9 w prawym górnym rogu i odejmij wynik mnożenia od bieżącej liczby po lewej stronie: 5114 - 4941 = 173.

   9. Jeśli chcesz znaleźć więcej miejsc po przecinku dla pierwiastka kwadratowego, wpisz kilka zer na lewo od bieżącej liczby i powtórz kroki 4, 5 i 6. Powtarzaj kroki, aż uzyskasz precyzję odpowiedzi (liczbę miejsc po przecinku) potrzebować.

   Zrozumienie procesu

   Aby opanować tę metodę, wyobraź sobie liczbę, której pierwiastek kwadratowy musisz znaleźć jako obszar kwadratu S. W tym przypadku będziesz szukać długości boku L takiego kwadratu. Obliczamy wartość L w taki sposób, że L² = S.

   Podaj literę do każdej cyfry w odpowiedzi. Oznaczmy przez A pierwszą cyfrę wartości L (pożądany pierwiastek kwadratowy). B będzie drugą cyfrą, C trzecią i tak dalej.

   Określ literę dla każdej pary pierwszych cyfr. Oznaczmy przez S a pierwszą parę cyfr wartości S, przez S b drugą parę cyfr i tak dalej.

   Zrozum związek między tą metodą a długim dzieleniem. Podobnie jak przy dzieleniu, gdzie za każdym razem interesuje nas tylko kolejna cyfra liczby, którą dzielimy, tak przy obliczaniu pierwiastka kwadratowego pracujemy kolejno przez parę cyfr (aby otrzymać kolejną cyfrę wartości pierwiastka kwadratowego) .

   1. Rozważmy pierwszą parę cyfr Sa liczby S (w naszym przykładzie Sa = 7) i znajdź jej pierwiastek kwadratowy. W tym przypadku pierwszą cyfrą A żądanej wartości pierwiastka kwadratowego będzie cyfra, której kwadrat jest mniejszy lub równy S a (to znaczy szukamy takiego A, że nierówność A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Powiedzmy, że musimy podzielić 88962 przez 7; tutaj pierwszy krok będzie podobny: rozważamy pierwszą cyfrę liczby podzielnej 88962 (8) i wybieramy największą liczbę, która pomnożona przez 7 daje wartość mniejszą lub równą 8. Oznacza to, że szukamy liczba d, dla której prawdziwa jest nierówność: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.