Nierówności i systemy nierówności są jednym z tematów poruszanych na algebrze w szkole średniej. Pod względem poziomu trudności nie jest ona najtrudniejsza, gdyż ma proste zasady (więcej o nich nieco później). Z reguły uczniowie dość łatwo uczą się rozwiązywania systemów nierówności. Dzieje się tak również dlatego, że nauczyciele po prostu „trenują” swoich uczniów w tym temacie. I nie mogą tego powstrzymać, ponieważ w przyszłości będzie to badane przy użyciu innych wielkości matematycznych, a także będzie sprawdzane na egzaminie Unified State Exam i Unified State Exam. W podręcznikach szkolnych temat nierówności i systemów nierówności jest poruszany bardzo szczegółowo, więc jeśli zamierzasz się go uczyć, najlepiej się do nich sięgnąć. Artykuł ten stanowi jedynie podsumowanie większego materiału i może zawierać pewne pominięcia.

Pojęcie układu nierówności

Jeśli zwrócimy się do języka naukowego, możemy zdefiniować pojęcie „systemu nierówności”. Jest to model matematyczny reprezentujący kilka nierówności. Model ten oczywiście wymaga rozwiązania i będzie to ogólna odpowiedź na wszystkie nierówności układu zaproponowanego w zadaniu (zwykle jest to w nim zapisane, na przykład: „Rozwiąż układ nierówności 4 x + 1 > 2 i 30 - x > 6..."). Zanim jednak przejdziemy do rodzajów i metod rozwiązań, trzeba zrozumieć coś innego.

Układy nierówności i układy równań

Ucząc się nowego tematu, często pojawiają się nieporozumienia. Z jednej strony wszystko jest jasne i chce się jak najszybciej przystąpić do rozwiązywania zadań, z drugiej strony pewne momenty pozostają w „cieniu” i nie są do końca zrozumiałe. Również pewne elementy już zdobytej wiedzy mogą zostać przeplatane z nowymi. W wyniku tego „nałożenia się” często pojawiają się błędy.

Dlatego zanim zaczniemy analizować nasz temat, powinniśmy pamiętać o różnicach między równaniami i nierównościami oraz ich układami. Aby to zrobić, musimy jeszcze raz wyjaśnić, co reprezentują te pojęcia matematyczne. Równanie jest zawsze równością i zawsze jest czemuś równe (w matematyce słowo to oznacza się znakiem „="). Nierówność to model, w którym jedna wartość jest większa lub mniejsza od drugiej lub zawiera stwierdzenie, że nie są one takie same. Zatem w pierwszym przypadku należy mówić o równości, a w drugim, niezależnie od tego, jak oczywiste może to brzmieć na podstawie samej nazwy, o nierówności danych początkowych. Układy równań i nierówności praktycznie nie różnią się od siebie, a metody ich rozwiązywania są takie same. Jedyna różnica polega na tym, że w pierwszym przypadku stosuje się równości, a w drugim nierówności.

Rodzaje nierówności

Istnieją dwa rodzaje nierówności: numeryczne i z nieznaną zmienną. Pierwszy typ reprezentuje podane wielkości (liczby), które są sobie różne, np. 8 > 10. Drugi to nierówności zawierające nieznaną zmienną (oznaczoną literą alfabetu łacińskiego, najczęściej X). Trzeba znaleźć tę zmienną. W zależności od tego, ile ich jest, model matematyczny rozróżnia nierówności z jedną (tworzą one system nierówności z jedną zmienną) lub kilkoma zmiennymi (tworzą system nierówności z kilkoma zmiennymi).

Dwa ostatnie typy, ze względu na stopień ich konstrukcji i stopień złożoności rozwiązania, dzielimy na proste i złożone. Proste nazywane są także nierównościami liniowymi. Te z kolei dzielą się na ścisłe i nierygorystyczne. Ścisłe konkretnie „mówią”, że jedna ilość musi koniecznie być mniejsza lub większa, więc jest to czysta nierówność. Można podać kilka przykładów: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5 itd. Nieścisłe obejmują również równość. Oznacza to, że jedna wartość może być większa lub równa innej wartości (znak „≥”) lub mniejsza lub równa innej wartości (znak „≤”). Nawet w nierównościach liniowych zmienna nie jest pierwiastkowa, kwadratowa ani przez nic podzielna, dlatego nazywa się je „prostymi”. Złożone obejmują nieznane zmienne, których znalezienie wymaga więcej matematyki. Często znajdują się one w kwadracie, sześcianie lub pod pierwiastkiem, mogą być modułowe, logarytmiczne, ułamkowe itp. Ponieważ jednak naszym zadaniem jest zrozumienie rozwiązania systemów nierówności, porozmawiamy o systemie nierówności liniowych . Zanim jednak to nastąpi, warto powiedzieć kilka słów o ich właściwościach.

Właściwości nierówności

Właściwości nierówności obejmują:

  1. Znak nierówności zostaje odwrócony, jeśli zostanie zastosowana operacja zmiany kolejności boków (na przykład, jeśli t 1 ≤ t 2, to t 2 ≥ t 1).
  2. Obie strony nierówności pozwalają dodać do siebie tę samą liczbę (na przykład, jeśli t 1 ≤ t 2, to t 1 + liczba ≤ t 2 + liczba).
  3. Dwie lub więcej nierówności ze znakiem skierowanym w tym samym kierunku umożliwiają dodanie ich lewej i prawej strony (np. jeśli t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4, to t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4) .
  4. Obie części nierówności można pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę dodatnią (np. jeśli t 1 ≤ t 2 i liczba ≤ 0, to liczba · t 1 ≥ liczba · t 2).
  5. Dwie lub więcej nierówności, które mają wyrazy dodatnie i znak w tym samym kierunku, można pomnożyć przez siebie (na przykład, jeśli t 1 ≤ t 2, t 3 ≤ t 4, t 1, t 2, t 3, t 4 ≥ 0 wtedy t 1 · t 3 ≤ t 2 · t 4).
  6. Obie części nierówności można pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę ujemną, ale w tym przypadku zmienia się znak nierówności (na przykład, jeśli t 1 ≤ t 2 i liczba ≤ 0, to liczba · t 1 ≥ liczba · t 2).
  7. Wszystkie nierówności mają właściwość przechodniości (na przykład, jeśli t 1 ≤ t 2 i t 2 ≤ t 3, to t 1 ≤ t 3).

Teraz, po przestudiowaniu podstawowych zasad teorii nierówności, możemy przejść bezpośrednio do rozważenia zasad rozwiązywania ich układów.

Rozwiązywanie układów nierówności. Informacje ogólne. Rozwiązania

Jak wspomniano powyżej, rozwiązaniem są wartości zmiennej, które są odpowiednie dla wszystkich nierówności danego układu. Rozwiązywanie układów nierówności to realizacja operacji matematycznych, które ostatecznie prowadzą do rozwiązania całego układu lub dowodzą, że nie ma on rozwiązań. W tym przypadku mówi się, że zmienna należy do pustego zbioru liczbowego (zapisanego w następujący sposób: litera oznaczająca zmienną∈ (znak „należy”) ø (znak „zbiór pusty”), np. x ∈ ø (czytaj: „Zmienna „x” należy do zbioru pustego”). Istnieje kilka sposobów rozwiązywania układów nierówności: graficzna, algebraiczna, metoda podstawieniowa. Warto zauważyć, że odnoszą się one do tych modeli matematycznych, które mają kilka nieznanych zmiennych. W przypadku, gdy jest tylko jeden, odpowiednia jest metoda interwałowa.

Metoda graficzna

Pozwala rozwiązać układ nierówności z kilkoma nieznanymi wielkościami (od dwóch i więcej). Dzięki tej metodzie układ nierówności liniowych można rozwiązać dość łatwo i szybko, dlatego jest to metoda najpowszechniejsza. Wyjaśnia to fakt, że wykreślenie wykresu zmniejsza ilość zapisywania operacji matematycznych. Szczególnie miło jest zrobić sobie krótką przerwę od pióra, wziąć do ręki ołówek za pomocą linijki i za ich pomocą rozpocząć dalsze działania, gdy jest już dużo pracy i chcesz trochę urozmaicenia. Niektórzy jednak nie lubią tej metody, bo muszą oderwać się od zadania i przenieść swoją aktywność umysłową na rysowanie. Jest to jednak bardzo skuteczna metoda.

Aby rozwiązać układ nierówności metodą graficzną, należy przenieść wszystkie wyrazy każdej nierówności na ich lewą stronę. Znaki zostaną odwrócone, po prawej stronie należy wpisać zero, następnie każdą nierówność należy zapisać osobno. W rezultacie funkcje zostaną otrzymane z nierówności. Następnie możesz wyjąć ołówek i linijkę: teraz musisz narysować wykres każdej uzyskanej funkcji. Cały zbiór liczb, który znajdzie się w przedziale ich przecięcia, będzie rozwiązaniem układu nierówności.

Sposób algebraiczny

Pozwala rozwiązać układ nierówności z dwiema nieznanymi zmiennymi. Ponadto nierówności muszą mieć ten sam znak nierówności (to znaczy muszą zawierać tylko znak „większy niż” lub tylko znak „mniejszy niż” itp.). Pomimo swoich ograniczeń metoda ta jest również bardziej złożona. Nakłada się go w dwóch etapach.

Pierwsza polega na działaniach mających na celu pozbycie się jednej z nieznanych zmiennych. Najpierw musisz go wybrać, a następnie sprawdzić obecność liczb przed tą zmienną. Jeśli ich nie ma (wtedy zmienna będzie wyglądać jak pojedyncza litera), to nic nie zmieniamy, jeśli są (typ zmiennej będzie np. 5y lub 12y), to należy dokonać upewnij się, że w każdej nierówności liczba przed wybraną zmienną jest taka sama. Aby to zrobić, musisz pomnożyć każdy wyraz nierówności przez wspólny współczynnik, na przykład, jeśli w pierwszej nierówności zapisano 3y, a w drugiej 5y, to musisz pomnożyć wszystkie wyrazy pierwszej nierówności przez 5 , a drugi o 3. Wynik to odpowiednio 15y i 15y.

Drugi etap rozwiązania. Konieczne jest przeniesienie lewej strony każdej nierówności na prawą stronę, zmianę znaku każdego wyrazu na przeciwny i wpisanie zera po prawej stronie. Potem przychodzi zabawna część: pozbycie się wybranej zmiennej (znanej również jako „redukcja”) podczas dodawania nierówności. Powoduje to nierówność z jedną zmienną, którą należy rozwiązać. Następnie powinieneś zrobić to samo, tylko z inną nieznaną zmienną. Uzyskane wyniki będą rozwiązaniem układu.

Metoda substytucyjna

Pozwala rozwiązać układ nierówności, jeżeli istnieje możliwość wprowadzenia nowej zmiennej. Zazwyczaj metodę tę stosuje się, gdy nieznaną zmienną w jednym wyrazie nierówności podnosi się do czwartej potęgi, a w drugim członie podwyższa do kwadratu. Metoda ta ma zatem na celu zmniejszenie stopnia nierówności w systemie. W ten sposób rozwiązuje się przykładową nierówność x 4 - x 2 - 1 ≤ 0. Wprowadzana jest nowa zmienna, na przykład t. Piszą: „Niech t = x 2”, wówczas model zostaje przepisany w nowej formie. W naszym przypadku otrzymujemy t 2 - t - 1 ≤0. Nierówność tę należy rozwiązać metodą przedziałową (więcej o tym później), następnie wrócić do zmiennej X i zrobić to samo z drugą nierównością. Otrzymane odpowiedzi będą stanowić rozwiązanie systemu.

Metoda interwałowa

Jest to najprostszy sposób rozwiązywania układów nierówności, a jednocześnie uniwersalny i powszechny. Jest stosowany w szkołach średnich, a nawet w szkołach wyższych. Jego istota polega na tym, że uczeń szuka przedziałów nierówności na narysowanej w zeszycie osi liczbowej (nie jest to wykres, a zwykła linia z liczbami). Tam, gdzie przecinają się przedziały nierówności, znajduje się rozwiązanie układu. Aby skorzystać z metody interwałowej, wykonaj następujące kroki:

  1. Wszystkie wyrazy każdej nierówności są przenoszone na lewą stronę ze zmianą znaku na przeciwny (zero jest zapisane po prawej stronie).
  2. Nierówności są wypisywane osobno i określane jest rozwiązanie każdej z nich.
  3. Znaleziono przecięcia nierówności na osi liczbowej. Rozwiązaniem będą wszystkie numery znajdujące się na tych skrzyżowaniach.

Jakiej metody powinienem użyć?

Oczywiście ten, który wydaje się najłatwiejszy i najwygodniejszy, ale zdarzają się przypadki, gdy zadania wymagają określonej metody. Najczęściej mówią, że trzeba rozwiązać albo za pomocą wykresu, albo metodą interwałową. Metoda algebraiczna i podstawienie są stosowane niezwykle rzadko lub wcale, ponieważ są dość złożone i mylące, a poza tym są bardziej używane do rozwiązywania układów równań niż nierówności, dlatego należy uciekać się do rysowania wykresów i przedziałów. Przynoszą przejrzystość, która nie może nie przyczynić się do sprawnego i szybkiego wykonywania operacji matematycznych.

Jeśli coś nie wyjdzie

Ucząc się określonego tematu z algebry, naturalnie mogą pojawić się problemy z jego zrozumieniem. I to jest normalne, bo nasz mózg jest tak skonstruowany, że nie jest w stanie za jednym razem zrozumieć złożonego materiału. Często musisz ponownie przeczytać akapit, skorzystać z pomocy nauczyciela lub poćwiczyć rozwiązywanie standardowych zadań. W naszym przypadku wyglądają one np. tak: „Rozwiąż układ nierówności 3 x + 1 ≥ 0 i 2 x - 1 > 3.” Zatem osobiste pragnienia, pomoc od osób z zewnątrz i praktyka pomagają w zrozumieniu każdego złożonego tematu.

Solver?

Książka z rozwiązaniami jest również bardzo odpowiednia, ale nie do kopiowania zadań domowych, ale do samopomocy. Można w nich znaleźć układy nierówności z rozwiązaniami, przyjrzeć się im (jako szablonom), spróbować dokładnie zrozumieć, jak autor rozwiązania poradził sobie z zadaniem, a następnie spróbować zrobić to samo samodzielnie.

wnioski

Algebra to jeden z najtrudniejszych przedmiotów w szkole. Cóż, co możesz zrobić? Matematyka zawsze taka była: dla niektórych jest łatwa, dla innych trudna. Ale w każdym razie należy pamiętać, że program kształcenia ogólnego jest skonstruowany w taki sposób, aby każdy uczeń mógł sobie z nim poradzić. Poza tym trzeba mieć na uwadze ogromną liczbę asystentów. Niektóre z nich zostały wspomniane powyżej.

Rozwiązywanie nierówności dwóch zmiennych, a tym bardziej układy nierówności z dwiema zmiennymi, wydaje się być dość trudnym zadaniem. Istnieje jednak prosty algorytm, który pomaga rozwiązać pozornie bardzo złożone problemy tego rodzaju łatwo i bez większego wysiłku. Spróbujmy to rozgryźć.

Załóżmy nierówność z dwiema zmiennymi jednego z następujących typów:

y > f(x); y ≥ f(x); y< f(x); y ≤ f(x).

Aby zobrazować zbiór rozwiązań takiej nierówności na płaszczyźnie współrzędnych, wykonaj następujące czynności:

1. Budujemy wykres funkcji y = f(x), która dzieli płaszczyznę na dwa obszary.

2. Wybieramy dowolny z powstałych obszarów i rozważamy w nim dowolny punkt. Sprawdzamy wykonalność pierwotnej nierówności dla tego punktu. Jeżeli w wyniku testu zostanie wykryta poprawna nierówność liczbowa, to stwierdzamy, że pierwotna nierówność jest spełniona w całym obszarze, do którego należy wybrany punkt. Zatem zbiorem rozwiązań nierówności jest obszar, do którego należy wybrany punkt. Jeżeli wynikiem sprawdzenia będzie błędna nierówność liczbowa, wówczas zbiorem rozwiązań nierówności będzie drugi obszar, do którego wybrany punkt nie należy.

3. Jeżeli nierówność jest ścisła, to granice obszaru, czyli punkty wykresu funkcji y = f(x), nie są uwzględniane w zbiorze rozwiązań, a granicę zaznacza się linią przerywaną. Jeżeli nierówność nie jest ścisła, wówczas granice obszaru, czyli punkty wykresu funkcji y = f(x), włącza się do zbioru rozwiązań tej nierówności i w tym przypadku przedstawia się granicę jako linia ciągła.
Przyjrzyjmy się teraz kilku problemom związanym z tym tematem.

Zadanie 1.

Jaki zbiór punktów wynika z nierówności x · y ≤ 4?

Rozwiązanie.

1) Budujemy wykres równania x · y = 4. W tym celu najpierw go przekształcamy. Oczywiście x w tym przypadku nie zmienia się na 0, ponieważ w przeciwnym razie mielibyśmy 0 · y = 4, co jest błędne. Oznacza to, że możemy podzielić nasze równanie przez x. Otrzymujemy: y = 4/x. Wykres tej funkcji jest hiperbolą. Dzieli całą płaszczyznę na dwa obszary: ten pomiędzy dwoma gałęziami hiperboli i ten znajdujący się poza nimi.

2) Wybierzmy dowolny punkt z pierwszego obszaru, niech będzie to punkt (4; 2).
Sprawdźmy nierówność: 4 · 2 ≤ 4 – fałsz.

Oznacza to, że punkty tego obszaru nie spełniają pierwotnej nierówności. Można wówczas stwierdzić, że zbiorem rozwiązań nierówności będzie drugi obszar, do którego wybrany punkt nie należy.

3) Ponieważ nierówność nie jest ścisła, punkty graniczne, czyli punkty wykresu funkcji y = 4/x, rysujemy linią ciągłą.

Pomalujmy na żółto zbiór punktów definiujący pierwotną nierówność (ryc. 1).

Zadanie 2.

Narysuj obszar zdefiniowany na płaszczyźnie współrzędnych przez układ
( y > x 2 + 2;
(y + x > 1;
( x 2 + y 2 ≤ 9.

Rozwiązanie.

Na początek budujemy wykresy następujących funkcji (ryc. 2):

y = x 2 + 2 – parabola,

y + x = 1 – linia prosta

x 2 + y 2 = 9 – okrąg.

1) y > x 2 + 2.

Bierzemy punkt (0; 5), który leży nad wykresem funkcji.
Sprawdźmy nierówność: 5 > 0 2 + 2 – prawda.

W konsekwencji wszystkie punkty leżące powyżej danej paraboli y = x 2 + 2 spełniają pierwszą nierówność układu. Pomalujmy je na żółto.

2) y + x > 1.

Bierzemy punkt (0; 3), który leży nad wykresem funkcji.
Sprawdźmy nierówność: 3 + 0 > 1 – prawda.

W konsekwencji wszystkie punkty leżące powyżej prostej y + x = 1 spełniają drugą nierówność układu. Pomalujmy je zielonym cieniowaniem.

3) x 2 + y 2 ≤ 9.

Weźmy punkt (0; -4), który leży poza okręgiem x 2 + y 2 = 9.
Sprawdźmy nierówność: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 – niepoprawna.

Dlatego wszystkie punkty leżące poza okręgiem x 2 + y 2 = 9, nie spełniają trzeciej nierówności układu. Możemy wtedy stwierdzić, że wszystkie punkty leżące wewnątrz okręgu x 2 + y 2 = 9 spełniają trzecią nierówność układu. Pomalujmy je fioletowym cieniowaniem.

Nie zapominaj, że jeśli nierówność jest ścisła, wówczas odpowiednią linię graniczną należy narysować linią przerywaną. Otrzymujemy następujący obraz (ryc. 3).

(ryc. 4).

Zadanie 3.

Narysuj obszar zdefiniowany na płaszczyźnie współrzędnych przez układ:
(x 2 + y 2 ≤ 16;
(x ≥ -y;
(x 2 + y 2 ≥ 4.

Rozwiązanie.

Na początek budujemy wykresy następujących funkcji:

x 2 + y 2 = 16 – okrąg,

x = -y – linia prosta

x 2 + y 2 = 4 – okrąg (ryc. 5).

Przyjrzyjmy się teraz każdej nierówności osobno.

1) x 2 + y 2 ≤ 16.

Weźmy punkt (0; 0), który leży wewnątrz okręgu x 2 + y 2 = 16.
Sprawdźmy nierówność: 0 2 + (0) 2 ≤ 16 – prawda.

Zatem wszystkie punkty leżące wewnątrz okręgu x 2 + y 2 = 16 spełniają pierwszą nierówność układu.
Pomalujmy je czerwonym cieniowaniem.

Bierzemy punkt (1; 1), który leży nad wykresem funkcji.
Sprawdźmy nierówność: 1 ≥ -1 – prawda.

W konsekwencji wszystkie punkty leżące powyżej prostej x = -y spełniają drugą nierówność układu. Pomalujmy je niebieskim cieniowaniem.

3) x 2 + y 2 ≥ 4.

Weźmy punkt (0; 5), który leży poza okręgiem x 2 + y 2 = 4.
Sprawdźmy nierówność: 0 2 + 5 2 ≥ 4 – prawda.

W konsekwencji wszystkie punkty leżące poza okręgiem x 2 + y 2 = 4 spełniają trzecią nierówność układu. Pomalujmy je na niebiesko.

W tym zadaniu wszystkie nierówności nie są ścisłe, co oznacza, że ​​wszystkie granice rysujemy linią ciągłą. Otrzymujemy następujący obraz (ryc. 6).

Obszar wyszukiwania to obszar, w którym wszystkie trzy kolorowe obszary przecinają się ze sobą (Rysunek 7).

Nadal masz pytania? Nie wiesz jak rozwiązać układ nierówności z dwiema zmiennymi?
Aby uzyskać pomoc korepetytora zarejestruj się.
Pierwsza lekcja jest darmowa!

stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.

Lekcja i prezentacja na temat: „Układy nierówności. Przykłady rozwiązań”

Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, recenzji i życzeń! Wszystkie materiały zostały sprawdzone programem antywirusowym.

Pomoce edukacyjne i symulatory w sklepie internetowym Integral dla klasy 9
Interaktywny podręcznik dla klasy 9 „Zasady i ćwiczenia z geometrii”
Podręcznik elektroniczny „Zrozumiała Geometria” dla klas 7-9

Układ nierówności

Chłopaki, studiowaliście nierówności liniowe i kwadratowe i nauczyliście się, jak rozwiązywać problemy związane z tymi tematami. Przejdźmy teraz do nowej koncepcji w matematyce - systemu nierówności. Układ nierówności jest podobny do układu równań. Czy pamiętasz układy równań? W siódmej klasie uczyłeś się układów równań, spróbuj przypomnieć sobie, jak je rozwiązałeś.

Wprowadźmy definicję układu nierówności.
Kilka nierówności z pewną zmienną x tworzy system nierówności, jeśli trzeba znaleźć wszystkie wartości x, dla których każda z nierówności tworzy prawidłowe wyrażenie numeryczne.

Rozwiązaniem nierówności jest dowolna wartość x, dla której każda nierówność przyjmuje prawidłowe wyrażenie liczbowe. Można je również nazwać rozwiązaniem prywatnym.
Co to jest rozwiązanie prywatne? Przykładowo w odpowiedzi otrzymaliśmy wyrażenie x>7. Wtedy x=8, x=123, lub dowolna inna liczba większa od siedmiu jest rozwiązaniem szczególnym, a wyrażenie x>7 jest rozwiązaniem ogólnym. Rozwiązanie ogólne składa się z wielu rozwiązań prywatnych.

Jak połączyliśmy układ równań? Zgadza się, nawias klamrowy, więc to samo robią z nierównościami. Spójrzmy na przykład układu nierówności: $\begin(cases)x+7>5\\x-3
Jeżeli system nierówności składa się z identycznych wyrażeń, np. $\begin(cases)x+7>5\\x+7
Co to zatem znaczy: znaleźć rozwiązanie systemu nierówności?
Rozwiązaniem nierówności jest zbiór częściowych rozwiązań nierówności, które spełniają jednocześnie obie nierówności układu.

Ogólną postać układu nierówności zapisujemy jako $\begin(cases)f(x)>0\\g(x)>0\end(cases)$

Oznaczmy $Х_1$ jako ogólne rozwiązanie nierówności f(x)>0.
$X_2$ jest ogólnym rozwiązaniem nierówności g(x)>0.
$X_1$ i $X_2$ to zbiór konkretnych rozwiązań.
Rozwiązaniem układu nierówności będą liczby należące zarówno do $X_1$, jak i $X_2$.
Przypomnijmy sobie operacje na zbiorach. Jak znaleźć elementy zbioru należące jednocześnie do obu zbiorów? Zgadza się, istnieje do tego operacja przecięcia. Zatem rozwiązaniem naszej nierówności będzie zbiór $A= X_1∩ X_2$.

Przykłady rozwiązań układów nierówności

Spójrzmy na przykłady rozwiązywania układów nierówności.

Rozwiązać układ nierówności.
a) $\begin(przypadki)3x-1>2\\5x-10 b) $\begin(przypadki)2x-4≤6\\-x-4
Rozwiązanie.
a) Rozwiąż każdą nierówność osobno.
$3x-1>2; \; 3x>3; \; x>1$.
5x-10 dolarów
Zaznaczmy nasze odstępy na jednej linii współrzędnych.

Rozwiązaniem układu będzie odcinek przecięcia naszych przedziałów. Nierówność jest ścisła, wtedy segment będzie otwarty.
Odpowiedź: (1;3).

B) Każdą nierówność rozwiążemy również osobno.
2x-4≤6 USD; 2x≤ 10; x ≤ 5 USD.
$-x-4 -5 $.


Rozwiązaniem układu będzie odcinek przecięcia naszych przedziałów. Druga nierówność jest ścisła, wówczas segment będzie otwarty po lewej stronie.
Odpowiedź: (-5; 5].

Podsumujmy, czego się nauczyliśmy.
Powiedzmy, że konieczne jest rozwiązanie układu nierówności: $\begin(cases)f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\end(cases)$.
Następnie przedział ($x_1; x_2$) jest rozwiązaniem pierwszej nierówności.
Przedział ($y_1; y_2$) jest rozwiązaniem drugiej nierówności.
Rozwiązaniem układu nierówności jest przecięcie rozwiązań każdej nierówności.

Systemy nierówności mogą składać się nie tylko z nierówności pierwszego rzędu, ale także z wszelkich innych typów nierówności.

Ważne zasady rozwiązywania układów nierówności.
Jeśli jedna z nierówności układu nie ma rozwiązań, to cały układ nie ma rozwiązań.
Jeżeli dla dowolnych wartości zmiennej spełniona jest jedna z nierówności, wówczas rozwiązaniem układu będzie rozwiązanie drugiej nierówności.

Przykłady.
Rozwiąż układ nierówności:$\begin(cases)x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \end(cases)$
Rozwiązanie.
Rozwiążmy każdą nierówność osobno.
$x^2-16>0$.
$(x-4)(x+4)>0$.



Rozwiążmy drugą nierówność.
$x^2-8x+12≤0$.
$(x-6)(x-2)≤0$.

Rozwiązaniem nierówności jest przedział.
Narysujmy oba przedziały na tej samej prostej i znajdźmy punkt przecięcia.
Przecięciem przedziałów jest odcinek (4; 6).
Odpowiedź: (4;6).

Rozwiązać układ nierówności.
a) $\begin(cases)3x+3>6\\2x^2+4x+4 b) $\begin(cases)3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\end(cases) )$.

Rozwiązanie.
a) Pierwsza nierówność ma rozwiązanie x>1.
Znajdźmy dyskryminator drugiej nierówności.
$D=16-4 * 2 * 4=-16$. $D Pamiętajmy o zasadzie: jeśli jedna z nierówności nie ma rozwiązań, to cały układ nie ma rozwiązań.
Odpowiedź: Nie ma rozwiązań.

B) Pierwsza nierówność ma rozwiązanie x>1.
Druga nierówność jest większa od zera dla każdego x. Wtedy rozwiązanie układu pokrywa się z rozwiązaniem pierwszej nierówności.
Odpowiedź: x>1.

Zadania dotyczące układów nierówności do samodzielnego rozwiązania

Rozwiązuj układy nierówności:
a) $\begin(cases)4x-5>11\\2x-12 b) $\begin(cases)-3x+1>5\\3x-11 c) $\begin(cases)x^2-25 d) $\begin(przypadki)x^2-16x+55>0\\x^2-17x+60≥0 \end(przypadki)$
e) $\begin(przypadki)x^2+36

W artykule poruszono tematykę nierówności, omówiono definicje systemów i ich rozwiązania. Rozważone zostaną częste przykłady rozwiązywania układów równań w szkole w algebrze.

Definicja układu nierówności

Układy nierówności wyznacza się poprzez definicje układów równań, co oznacza, że ​​szczególną uwagę zwraca się na zapisy i znaczenie samego równania.

Definicja 1

Układ nierówności nazywany zapisem równań połączonych nawiasem klamrowym ze zbiorem rozwiązań jednocześnie dla wszystkich nierówności wchodzących w skład układu.

Poniżej przykłady nierówności. Dane są dwie nierówności: 2 x − 3 > 0 i 5 − x ≥ 4 x − 11. Należy zapisać jedno równanie pod drugim, a następnie połączyć je za pomocą nawiasu klamrowego:

2 x - 3 > 0, 5 - x ≥ 4 x - 11

W ten sam sposób definicje systemów nierówności prezentowane są w podręcznikach szkolnych zarówno przy użyciu jednej zmiennej, jak i dwóch.

Główne typy układów nierówności

Tworzy się nieskończona liczba systemów nierówności. Dzielą się na grupy, które różnią się pewnymi cechami. Nierówności dzieli się według następujących kryteriów:

  • liczba nierówności systemowych;
  • liczba zmiennych rejestrujących;
  • rodzaj nierówności.

Liczba przychodzących nierówności może wynosić dwie lub więcej. W poprzednim akapicie rozważaliśmy przykład rozwiązania układu z dwiema nierównościami.

2 x - 3 > 0, 5 - x ≥ 4 x - 11

Rozważmy rozwiązanie układu z czterema nierównościami.

x ≥ - 2 , y ≤ 5 , x + y + z ≥ 3 , z ≤ 1 - x 2 - 4 y 2

Rozwiązanie nierówności osobno nie oznacza rozwiązania układu jako całości. Aby rozwiązać układ, należy wykorzystać wszystkie istniejące nierówności.

Takie systemy nierówności mogą mieć jedną, dwie, trzy lub więcej zmiennych. W ostatnim z przedstawionych układów jest to wyraźnie widoczne, mamy tam trzy zmienne: x, y, z. Równania mogą zawierać jedną zmienną, jak w przykładzie, lub kilka. Na podstawie przykładów nierówności x + 0 · y + 0 · z ≥ − 2 i 0 · x + y + 0 · z ≤ 5 nie są uważane za równoważne. Programy nauczania skupiają się na rozwiązywaniu nierówności w ramach jednej zmiennej.

Podczas pisania systemu można stosować równania różnych typów i z różną liczbą zmiennych. Najczęściej są to całe nierówności różne stopnie. Przygotowując się do egzaminów, możesz spotkać się z układami z irracjonalnymi, logarytmicznymi, wykładniczymi równaniami postaci:

544 - 4 - x 32 - 2 - x ≥ 17 , log x 2 16 x + 20 16 ≤ 1

Taki układ zawiera równanie wykładnicze i logarytmiczne.

Rozwiązywanie układu nierówności

Definicja 2

Rozważmy przykład rozwiązywania układów równań z jedną zmienną.

x > 7, 2 - 3 x ≤ 0

Jeżeli wartość x = 8, to rozwiązanie układu jest oczywiste, gdyż 8 > 7 i 2 − 3 8 ≤ 0 zachodzi. Przy x = 1 układ nie zostanie rozwiązany, ponieważ pierwsza nierówność liczbowa podczas podstawienia ma 1 > 7. Układ z dwiema lub większą liczbą zmiennych rozwiązuje się w ten sam sposób.

Definicja 3

Rozwiązywanie układu nierówności z dwiema lub większą liczbą zmiennych podaj wartości, które są rozwiązaniem wszystkich nierówności, gdy każda z nich zamienia się w poprawną nierówność liczbową.

Jeśli x = 1 i y = 2 będzie rozwiązaniem nierówności x + y< 7 x - y < 0 , потому как выражения 1 + 2 < 7 и 1 − 2 < 0 верны. Если подставить числовую пару (3 , 5 , 3) , тогда система не даст значения переменных и неравенство будет неверным 3 , 5 − 3 < 0 .

Rozwiązując układy nierówności, mogą dać określoną liczbę odpowiedzi lub mogą dać nieskończoną liczbę. Oznacza to, że istnieje wiele rozwiązań takiego systemu. Jeśli nie ma rozwiązań, mówimy, że ma pusty zbiór rozwiązań. Jeśli rozwiązanie ma określoną liczbę, to zbiór rozwiązań ma skończoną liczbę elementów. Jeśli istnieje wiele rozwiązań, to zbiór rozwiązań zawiera nieskończoną liczbę liczb.

Niektóre podręczniki podają definicję konkretnego rozwiązania układu nierówności, które jest rozumiane jako odrębne rozwiązanie. Za ogólne rozwiązanie układu nierówności uważa się wszystkie jego rozwiązania szczegółowe. Ta definicja jest rzadko używana, dlatego mówią „rozwiązywanie układu nierówności”.

Te definicje systemów nierówności i rozwiązań są uważane za przecięcia zbiorów rozwiązań wszystkich nierówności systemu. Szczególną uwagę należy zwrócić na część poświęconą nierównościom równoważnym.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter


W artykule przedstawiono wstępne informacje na temat systemów nierówności. Oto definicja systemu nierówności i definicja rozwiązania systemu nierówności. Wymieniono także główne typy systemów, z którymi najczęściej trzeba pracować na lekcjach algebry w szkole, wraz z podanymi przykładami.

Nawigacja strony.

Co to jest system nierówności?

Wygodnie jest definiować układy nierówności w ten sam sposób, w jaki wprowadziliśmy definicję układu równań, czyli według rodzaju zapisu i zawartego w nim znaczenia.

Definicja.

Układ nierówności jest zapisem reprezentującym pewną liczbę nierówności zapisanych jedna pod drugą, połączonych z lewej strony nawiasem klamrowym i oznacza zbiór wszystkich rozwiązań, które są jednocześnie rozwiązaniami każdej nierówności układu.

Podajmy przykład układu nierówności. Weźmy dwa dowolne, np. 2 x−3>0 i 5−x≥4 x−11, zapiszmy je jedno pod drugim
2 x−3>0 ,
5−x≥4 x−11
i łączymy ze znakiem systemowym - nawiasem klamrowym, w rezultacie otrzymujemy układ nierówności w postaci:

Podobny pomysł pojawia się w przypadku systemów nierówności w podręcznikach szkolnych. Warto zauważyć, że ich definicje podano w sposób węższy: dla nierówności z jedną zmienną lub z dwiema zmiennymi.

Główne typy systemów nierówności

Jest oczywiste, że można stworzyć nieskończenie wiele różnych systemów nierówności. Aby nie zgubić się w tej różnorodności, wskazane jest rozważenie ich w grupach, które mają swoje własne charakterystyczne cechy. Wszystkie systemy nierówności można podzielić na grupy według następujących kryteriów:

  • przez liczbę nierówności w systemie;
  • według liczby zmiennych objętych rejestracją;
  • ze względu na rodzaj samych nierówności.

Na podstawie liczby nierówności zawartych w zapisie wyróżnia się układy dwa, trzy, cztery itd. nierówności W poprzednim akapicie podaliśmy przykład układu, który jest układem dwóch nierówności. Pokażmy inny przykład układu czterech nierówności .

Osobno powiemy, że nie ma sensu mówić o samym systemie nierówności, w tym przypadku w istocie mówimy o samej nierówności, a nie o systemie.

Jeśli spojrzysz na liczbę zmiennych, istnieją systemy nierówności z jednym, dwoma, trzema itd. zmienne (lub, jak to mówią, niewiadome). Spójrz na ostatni układ nierówności zapisany dwa akapity powyżej. Jest to układ z trzema zmiennymi x, y i z. Należy pamiętać, że jej pierwsze dwie nierówności nie zawierają wszystkich trzech zmiennych, a tylko jedną z nich. W kontekście tego układu należy je rozumieć jako nierówności z trzema zmiennymi postaci odpowiednio x+0·y+0·z≥−2 i 0·x+y+0·z≤5. Należy pamiętać, że szkoła skupia się na nierównościach z jedną zmienną.

Pozostaje omówić, jakie rodzaje nierówności występują w systemach rejestrujących. W szkole rozważają głównie układy dwóch nierówności (rzadziej – trzech, jeszcze rzadziej – czterech i więcej) z jedną lub dwiema zmiennymi, a same nierówności są zazwyczaj całe nierówności pierwszego lub drugiego stopnia (rzadziej - stopnie wyższe lub częściowo racjonalne). Ale nie zdziw się, jeśli w swoich materiałach przygotowujących do egzaminu Unified State Exam natkniesz się na systemy nierówności zawierające nierówności irracjonalne, logarytmiczne, wykładnicze i inne. Jako przykład podajemy układ nierówności , jest pobierane z .

Jakie jest rozwiązanie układu nierówności?

Wprowadźmy kolejną definicję związaną z systemami nierówności - definicję rozwiązania układu nierówności:

Definicja.

Rozwiązywanie układu nierówności z jedną zmienną nazywa się taką wartością zmiennej, która zamienia każdą z nierówności układu w prawdziwą, innymi słowy jest rozwiązaniem każdej nierówności układu.

Wyjaśnijmy na przykładzie. Weźmy układ dwóch nierówności z jedną zmienną. Przyjmijmy wartość zmiennej x równą 8, jest to z definicji rozwiązanie naszego układu nierówności, gdyż podstawienie jej do nierówności układu daje dwie poprawne nierówności numeryczne 8>7 i 2−3·8≤0. Wręcz przeciwnie, jedność nie jest rozwiązaniem układu, gdyż gdy zastąpimy ją zmienną x, pierwsza nierówność zamieni się w niepoprawną nierówność liczbową 1>7.

Podobnie można wprowadzić definicję rozwiązania układu nierówności z dwiema, trzema lub większą liczbą zmiennych:

Definicja.

Rozwiązywanie układu nierówności z dwójką, trójką itd. zmienne zwane parą, trójką itd. wartości tych zmiennych, co jednocześnie jest rozwiązaniem każdej nierówności układu, czyli zamienia każdą nierówność układu w poprawną nierówność liczbową.

Przykładowo para wartości x=1, y=2 lub w innym zapisie (1, 2) jest rozwiązaniem układu nierówności z dwiema zmiennymi, gdyż 1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

Układy nierówności mogą nie mieć rozwiązań, mogą mieć skończoną liczbę rozwiązań lub mogą mieć nieskończoną liczbę rozwiązań. Ludzie często mówią o zbiorze rozwiązań systemu nierówności. Jeżeli układ nie ma rozwiązań, to istnieje pusty zbiór jego rozwiązań. Gdy istnieje skończona liczba rozwiązań, to zbiór rozwiązań zawiera skończoną liczbę elementów, a gdy istnieje nieskończenie wiele rozwiązań, to zbiór rozwiązań składa się z nieskończonej liczby elementów.

Niektóre źródła wprowadzają definicje szczególnego i ogólnego rozwiązania układu nierówności, jak na przykład w podręcznikach Mordkowicza. Pod prywatne rozwiązanie układu nierówności zrozumieć jej jedną decyzję. Z kolei ogólne rozwiązanie układu nierówności- to są wszystkie jej prywatne decyzje. Jednak określenia te mają sens tylko wtedy, gdy trzeba konkretnie podkreślić, o jakim rozwiązaniu mówimy, ale zwykle wynika to już z kontekstu, dlatego znacznie częściej mówią po prostu „rozwiązanie układu nierówności”.

Z definicji układu nierówności i jego rozwiązań przedstawionych w tym artykule wynika, że ​​rozwiązaniem układu nierówności jest przecięcie zbiorów rozwiązań wszystkich nierówności tego układu.

Bibliografia.

  1. Algebra: podręcznik dla 8 klasy. ogólne wykształcenie instytucje / [Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edytowany przez SA Telyakovsky. - wyd. 16. - M.: Edukacja, 2008. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  2. Algebra: Klasa 9: edukacyjna. dla edukacji ogólnej instytucje / [Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edytowany przez SA Telyakovsky. - wyd. 16. - M.: Edukacja, 2009. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-021134-5.
  3. Mordkovich A. G. Algebra. 9. klasa. Za 2 godziny Część 1. Podręcznik dla uczniów szkół ogólnokształcących / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - wyd. 13, usunięte. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 s.: il. ISBN 978-5-346-01752-3.
  4. Mordkovich A. G. Algebra i początki analizy matematycznej. Klasa 11. Za 2 godziny Część 1. Podręcznik dla uczniów szkół ogólnokształcących (poziom profilu) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - wyd. 2, skreślone. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 s.: il. ISBN 978-5-346-01027-2.
  5. Ujednolicony egzamin państwowy-2013. Matematyka: standardowe opcje egzaminu: 30 opcji / wyd. A. L. Semenova, I. V. Yashchenko. – M.: Wydawnictwo „Edukacja Narodowa”, 2012. – 192 s. – (USE-2013. FIPI - szkoła).