Ostatnie twierdzenie Fermata Singh Simon

„Czy to jest udowodnione Wielkie twierdzenie Gospodarstwo rolne?"

Był to dopiero pierwszy krok w kierunku udowodnienia hipotezy Taniyamy-Shimury, ale strategia Wilesa była genialnym przełomem matematycznym, a wynik zasługiwał na publikację. Jednak ze względu na narzucony przez siebie ślub milczenia Wiles nie mógł powiedzieć reszcie świata o swoim wyniku i nie miał pojęcia, kto jeszcze mógłby dokonać równie znaczącego przełomu.

Wiles wspomina swoje filozoficzne podejście do potencjalnego konkurenta: „Nikt nie chce spędzać lat na udowadnianiu czegoś i odkrywaniu, że ktoś inny zdołał znaleźć dowód kilka tygodni wcześniej. Ale, co dziwne, ponieważ próbowałem rozwiązać problem, który w zasadzie uważano za nierozwiązywalny, nie bardzo bałem się rywali. Po prostu nie spodziewałem się, że ja lub ktokolwiek inny wpadnie na pomysł, który doprowadzi do dowodu.

8 marca 1988 roku Wiles był zszokowany, gdy zobaczył wypisane na maszynie słowa na pierwszych stronach gazet. dużym drukiem nagłówki brzmiał: „Udowodnione ostatnie twierdzenie Fermata”. Gazety „Washington Post” i „ Nowy Jork„The Times” doniósł, że trzydziestoośmioletni Yoichi Miyaoka z Tokyo Metropolitan University rozwiązał najtrudniejszy problem matematyczny na świecie. Chociaż Miyaoka nie opublikował jeszcze swojego dowodu, Ogólny zarys nakreślił jego przebieg na seminarium w Instytucie Matematyki Maxa Plancka w Bonn. Don Tsagir, który był obecny na wykładzie Miyaoki, wyraził optymizm społeczności matematycznej w następujących słowach: „Dowód przedstawiony przez Miyaokę jest niezwykle interesujący i niektórzy matematycy uważają, że istnieje duże prawdopodobieństwo jego poprawności. Nie jesteśmy jeszcze do końca pewni, ale jak dotąd dowody wyglądają bardzo zachęcająco”.

Przemawiając na seminarium w Bonn, Miyaoka mówił o swoim podejściu do rozwiązania problemu, które rozpatrywał z zupełnie innego, algebraiczno-geometrycznego punktu widzenia. W ciągu ostatnich dziesięcioleci geometrzy osiągnęli głębokie i subtelne zrozumienie obiektów matematycznych, w szczególności właściwości powierzchni. W latach 70. rosyjski matematyk S. Arakelov próbował ustalić podobieństwa między problemami geometrii algebraicznej a problemami teorii liczb. Był to jeden z kierunków programu Langlandsa, a matematycy mieli nadzieję, że nierozwiązane problemy teorii liczb można rozwiązać poprzez badanie odpowiednich problemów w geometrii, które również pozostały nierozwiązane. Program ten był znany jako filozofia równoległości. Geometrów algebraicznych, którzy próbowali rozwiązywać problemy w teorii liczb, nazywano „arytmetycznymi geometrami algebraicznymi”. W 1983 roku ogłosili swoje pierwsze znaczące zwycięstwo, gdy Gerd Faltings z Princeton Institute for Advanced Study przedstawił znaczący wkład w zrozumieniu twierdzenia Fermata. Przypomnijmy, że według Fermata równanie

Na N Większe niż 2 nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych. Faltings zdecydował, że poprzez naukę poczynił postępy w udowadnianiu ostatniego twierdzenia Fermata powierzchnie geometryczne powiązane z różnymi znaczeniami N. Powierzchnie powiązane z równaniami Fermata dla różnych wielkości N, różnią się od siebie, ale mają jedno wspólna własność- wszystkie mają otwory przelotowe, lub po prostu dziury. Powierzchnie te są czterowymiarowe, podobnie jak wykresy o kształtach modułowych. Dwuwymiarowe przekroje dwóch powierzchni pokazano na ryc. 23. Powierzchnie powiązane z równaniem Fermata wyglądają podobnie. Im wyższa wartość N w równaniu, tym więcej dziur jest na odpowiedniej powierzchni.

Ryż. 23. Te dwie powierzchnie uzyskuje się za pomocą program komputerowy"Matematyka". Każdy z nich reprezentuje zbiór punktów spełniających równanie x rz + y n = z n(dla powierzchni po lewej stronie N=3, dla powierzchni po prawej stronie N=5). Zmienne X I y są tutaj uważane za złożone

Faltings był w stanie udowodnić, że skoro takie powierzchnie zawsze mają kilka dziur, to równanie Fermata z nimi związane mogło tylko mieć skończony zestaw rozwiązania w liczbach całkowitych. Liczba rozwiązań może być dowolna – od zera, jak zakładał Fermat, do miliona lub miliarda. Zatem Faltings nie udowodnił Ostatniego Twierdzenia Fermata, ale przynajmniej zdołał odrzucić możliwość, że równanie Fermata ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Pięć lat później Miyaoka poinformował, że posunął się o krok dalej. Miał wtedy około dwudziestu lat. Miyaoka sformułował hipotezę dotyczącą pewnej nierówności. Stało się jasne, że udowodnienie jego hipotezy geometrycznej oznaczałoby udowodnienie, że liczba rozwiązań równania Fermata jest nie tylko skończona, ale równa zero. Podejście Miyaoki było podobne do podejścia Wilesa w tym sensie, że obaj próbowali udowodnić ostatnie twierdzenie Fermata, odnosząc je do fundamentalnej hipotezy z innej dziedziny matematyki. Dla Miyaoki była to geometria algebraiczna, dla Wilesa droga do dowodu prowadziła przez krzywe eliptyczne i formy modułowe. Ku wielkiemu rozczarowaniu Wilesa, nadal miał trudności z udowodnieniem hipotezy Taniyamy-Shimury, gdy Miyaoka twierdził, że ma kompletny dowód na swoje własne przypuszczenia, a tym samym na Ostatnie Twierdzenie Fermata.

Dwa tygodnie po przemówieniu w Bonn Miyaoka opublikował pięć stron obliczeń, które stanowiły istotę jego dowodu, i rozpoczęły się dokładne badania. Teoretycy liczb i specjaliści od geometrii algebraicznej na całym świecie badali, linia po linii, i publikowali obliczenia. Kilka dni później matematycy odkryli jedną sprzeczność w dowodzie, która nie mogła nie wywołać niepokoju. Jedna część pracy Miyaoki doprowadziła do stwierdzenia z teorii liczb, które po przetłumaczeniu na język geometrii algebraicznej dało stwierdzenie zaprzeczające wynikowi uzyskanemu kilka lat wcześniej. Chociaż niekoniecznie unieważniło to cały dowód Miyaoki, odkryta sprzeczność nie pasowała do filozofii równoległości między teorią liczb a geometrią.

Kolejne dwa tygodnie później Gerd Faltings, który utorował drogę Miyaoke, ogłosił, że odkrył dokładną przyczynę pozornego naruszenia równoległości – lukę w rozumowaniu. Japoński matematyk był geometrą i nie był całkowicie rygorystyczny, gdy przekładał swoje pomysły na mniej znane terytorium teorii liczb. Armia teoretyków liczb gorączkowo próbowała załatać lukę w dowodzie Miyaoki, ale na próżno. Dwa miesiące po tym, jak Miyaoka oświadczył, że ma kompletny dowód Ostatniego Twierdzenia Fermata, społeczność matematyczna doszła do jednomyślnego wniosku: dowód Miyaoki był skazany na niepowodzenie.

Podobnie jak w przypadku poprzednich nieudanych dowodów, Miyaoce udało się uzyskać wiele ciekawe wyniki. Niektóre fragmenty jego dowodu były godne uwagi jako bardzo pomysłowe zastosowania geometrii do teorii liczb, a w kolejnych latach inni matematycy używali ich do udowadniania niektórych twierdzeń, nikomu jednak nie udało się w ten sposób udowodnić Ostatniego Twierdzenia Fermata.

Wrzawa wokół Ostatniego Twierdzenia Fermata szybko ucichła, a w gazetach ukazały się krótkie wzmianki mówiące, że trzystuletnia zagadka nadal pozostaje nierozwiązana. Na ścianie stacji metra Eighth Street w Nowym Jorku pojawił się następujący napis, bez wątpienia zainspirowany doniesieniami prasowymi na temat Ostatniego Twierdzenia Fermata: „Równ. xn + yn = zn nie ma rozwiązań. Znalazłem naprawdę zdumiewający dowód tego faktu, ale nie mogę go tutaj zapisać, ponieważ przyjechał mój pociąg.

Rozdział dziesiąty FARMA KROKODYLI Jechali malowniczą drogą starym samochodem Johna, siedząc na tylnych siedzeniach. Za kierownicą siedział czarny kierowca w jasnej koszuli z dziwnie przyciętą głową. Logicznie rzecz biorąc, na jego ogolonej czaszce stały krzaki twardych jak drut czarnych włosów

Przygotowanie do wyścigu. Alaska, Iditarod Farm Lindy Pletner to coroczne wyścigi psich zaprzęgów na Alasce. Długość trasy wynosi 1150 mil (1800 km). To najdłuższy na świecie wyścig psich zaprzęgów. Start (uroczysty) – 4 marca 2000 z Anchorage. Początek

Hodowla kóz Latem we wsi jest dużo pracy. Kiedy odwiedziliśmy wieś Chomutiec, zbierano tam siano, a pachnące fale świeżo skoszonych ziół zdawały się przenikać wszystko dookoła.Zioła trzeba kosić na czas, aby nie przejrzały, wtedy wszystko, co cenne i pożywne, zostanie zachowane w nich. Ten

Letnia farma Słoma jak trzymana w ręku błyskawica, szkło w trawę; Inny, podpisawszy się na płocie, zapalił w korycie dla koni ogień z zielonej szklanki Wody. W błękitny zmierzch Dziewięć kaczek wędruje, kołysząc się, po koleinie w duchu równoległych linii. Tutaj kurczak wpatruje się w nic samotnie

Zniszczone gospodarstwo. Spokojne słońce, jak ciemnoczerwony kwiat, Opadło na ziemię, wyrastając w zachód słońca, Ale kurtyna nocy w bezczynnej mocy Przyciągnęła świat, zaniepokojony spojrzeniem. Na pozbawionej dachu farmie zapanowała cisza, Jakby ktoś wyrwał jej włosy, Walczyli o kaktusa

Gospodarstwo czy gospodarstwo? 13 lutego 1958 r. we wszystkich gazetach centralnych Moskwy, a następnie regionalnych, ukazała się decyzja Komitetu Centralnego Komunistycznej Partii Ukrainy „W sprawie błędu w zakupie krów od kołchozów na Zaporożu”. Nie rozmawialiśmy nawet o całym regionie, ale o dwóch jego dzielnicach: Primorskim

Problem Fermata W 1963 roku, mając zaledwie dziesięć lat, Andrew Wiles był już zafascynowany matematyką. „W szkole uwielbiałem rozwiązywać problemy, zabierałem je do domu i z każdego problemu wymyślałem nowe. Ale największy problem, jaki kiedykolwiek spotkałem, miał miejsce u lokalnego klienta

Od twierdzenia Pitagorasa do ostatniego twierdzenia Fermata Twierdzenie Pitagorasa i nieskończona liczba trójek Pitagorasa zostały omówione w książce E.T. „Wielki problem” Bella – ta sama książka biblioteczna, która przyciągnęła uwagę Andrew Wilesa. I chociaż pitagorejczycy osiągnęli prawie komplet

Matematyka po dowodzie Ostatniego Twierdzenia Fermata Co dziwne, sam Wiles miał mieszane uczucia co do swojego raportu: „Okazja do wystąpienia została wybrana bardzo dobrze, ale sam wykład wzbudził we mnie mieszane uczucia. Praca nad dowodem

Rozdział 63 Farma starego McLennona Około półtora miesiąca po powrocie do Nowego Jorku, pewnego listopadowego wieczoru, w mieszkaniu Lennonów zadzwonił telefon. Yoko odebrała telefon. Męski głos z portorykańskim akcentem zapytał Yoko Ono. Udając

Twierdzenie Pontryagina W tym samym czasie, co Konserwatorium, mój ojciec studiował na Moskiewskim Uniwersytecie Państwowym, studiując mechanikę i matematykę. Studia ukończył z sukcesem, a nawet przez pewien czas wahał się z wyborem zawodu. Wygrała muzykologia, dzięki czemu skorzystała z jego matematycznego sposobu myślenia.Jeden z kolegów mojego ojca

Twierdzenie Twierdzenie o prawie związku wyznaniowego do wyboru księdza wymaga dowodu. Brzmi ono tak: „Wspólnota prawosławna powstaje... pod duchowym przewodnictwem księdza wybranego przez wspólnotę i błogosławionego przez biskupa diecezjalnego”.

I. Gospodarstwo („Tutaj z kurzych odchodów...”) Tutaj z kurzych odchodów Jedynym ratunkiem jest miotła. Miłość – która? - Zabrała mnie do kurnika. Dziobią ziarno, kury rechoczą, koguty kroczą znacząco. I bez rozmiaru i cenzury Wiersze powstają w umyśle. O prowansalskim popołudniu

Jest mało prawdopodobne, aby choć jeden rok w życiu naszej redakcji minął bez otrzymania kilkunastu dowodów twierdzenia Fermata. Teraz, po „zwycięstwie” nad nią, przepływ opadł, ale nie wysechł.

Oczywiście nie publikujemy tego artykułu, aby go całkowicie wysuszyć. I nie na swoją obronę – że, jak mówią, dlatego milczeliśmy, sami nie byliśmy jeszcze na tyle dojrzali, aby rozmawiać o tak skomplikowanych problemach.

Ale jeśli artykuł naprawdę wydaje się skomplikowany, spójrz od razu do końca. Będziecie musieli poczuć, że namiętności chwilowo opadły, nauka się nie skończyła, a już niedługo do redakcji trafią nowe dowody nowych twierdzeń.

Wydaje się, że XX wiek nie poszedł na marne. Najpierw ludzie stworzyli na chwilę drugie Słońce, eksplodując bombę wodorową. Następnie chodzili po Księżycu i ostatecznie udowodnili słynne twierdzenie Fermata. Z tych trzech cudów dwa pierwsze są dobrze znane wszystkim, gdyż spowodowały ogromne konsekwencje społeczne. Wręcz przeciwnie, trzeci cud wygląda jak kolejna naukowa zabawka – na równi z teorią względności, mechaniką kwantową i twierdzeniem Gödla o niezupełności arytmetyki. Jednak teoria względności i kwanty doprowadziły fizyków do tego bomba wodorowa, a badania matematyków wypełniły nasz świat komputerami. Czy ta seria cudów będzie kontynuowana w XXI wieku? Czy można prześledzić związek najnowszych zabawek naukowych z rewolucjami w naszym codziennym życiu? Czy ta zależność pozwala nam na trafne przewidywanie? Spróbujmy to zrozumieć na przykładzie twierdzenia Fermata.

Zauważmy najpierw, że urodziła się znacznie później niż jej naturalny termin. W końcu pierwszy szczególny przypadek Twierdzenie Fermata to równanie Pitagorasa X 2 + Y 2 = Z 2, odnoszące się do długości boków trójkąta prostokątnego. Po udowodnieniu tej formuły dwadzieścia pięć wieków temu Pitagoras natychmiast zadał pytanie: czy w przyrodzie istnieje wiele trójkątów, w których obie strony i przeciwprostokątna mają całą długość? Wydaje się, że Egipcjanie znali tylko jeden taki trójkąt - z bokami (3, 4, 5). Ale nie jest trudno znaleźć inne opcje: na przykład (5, 12, 13), (7, 24, 25) lub (8, 15, 17). We wszystkich tych przypadkach długość przeciwprostokątnej ma postać (A 2 + B 2), gdzie A i B są liczbami względnie pierwszymi o różnych parzystościach. W tym przypadku długości nóg są równe (A 2 - B 2) i 2AB.

Zauważając te zależności, Pitagoras z łatwością udowodnił, że dowolna trójka liczb (X = A 2 - B 2, Y = 2AB, Z = A 2 + B 2) jest rozwiązaniem równania X 2 + Y 2 = Z 2 i definiuje a prostokąt o wspólnych prostych długościach boków. Jasne jest również, że liczba różnych trójek tego rodzaju jest nieskończona. Ale czy wszystkie rozwiązania równania Pitagorasa mają tę postać? Pitagoras nie mógł udowodnić ani obalić takiej hipotezy i pozostawił ten problem swoim potomkom, nie skupiając się na nim. Kto chce podkreślać swoje porażki? Wydaje się, że od tego czasu problem całkowitych trójkątów prostokątnych popadł w zapomnienie na siedem stuleci – aż do czasu, gdy w Aleksandrii pojawił się nowy geniusz matematyczny o imieniu Diofantos.

Niewiele o nim wiemy, ale jest jasne: wcale nie był podobny do Pitagorasa. Czuł się królem w geometrii, a nawet poza nią – czy to w muzyce, astronomii czy polityce. Pierwsze arytmetyczne powiązanie długości boków harfy eufonicznej, pierwszy model Wszechświata z koncentrycznych sfer zawierających planety i gwiazdy, z Ziemią w centrum, i wreszcie pierwsza republika naukowców we włoskim mieście Crotone - to osobiste osiągnięcia Pitagorasa. Cóż Diofantos, skromny badacz wielkiego Muzeum, które już dawno przestało być dumą miejskiego tłumu, mógł przeciwstawić się takim sukcesom?

Tylko jedno: lepsze zrozumienie świat starożytny liczby, których prawa Pitagoras, Euklides i Archimedes ledwie mieli czas poczuć. Zauważ, że Diofant nie opanował jeszcze systemu pozycyjnego do rejestrowania dużych liczb, ale wiedział co liczby ujemne i prawdopodobnie spędził wiele godzin zastanawiając się, dlaczego iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni. Świat liczb całkowitych został po raz pierwszy objawiony Diofantowi jako odrębny wszechświat, odmienny od świata gwiazd, segmentów czy wielościanów. Głównym zajęciem naukowców na tym świecie jest rozwiązywanie równań, prawdziwy mistrz znajduje wszystkie możliwe rozwiązania i udowadnia, że ​​nie ma innych rozwiązań. To właśnie zrobił Diofantos równanie kwadratowe Pitagorasa i pomyślałem: czy podobne równanie sześcienne X 3 + Y 3 = Z 3 ma przynajmniej jedno rozwiązanie?

Diofantowi nie udało się znaleźć takiego rozwiązania, podobnie jak jego próba udowodnienia, że ​​rozwiązań nie ma. Dlatego dokumentując wyniki swojej pracy w książce „Arytmetyka” (był to pierwszy na świecie podręcznik z teorii liczb), Diofantos szczegółowo przeanalizował równanie Pitagorasa, ale nie wspomniał ani słowem o możliwych uogólnieniach tego równania. A może mogłoby: w końcu to Diofantos jako pierwszy zaproponował zapis potęg liczb całkowitych! Ale niestety: koncepcja „książki problemowej” była obca greckiej nauce i pedagogice, a publikowanie list nierozwiązanych problemów uznawano za czynność nieprzyzwoitą (tylko Sokrates postąpił inaczej). Jeśli nie możesz rozwiązać problemu, zachowaj ciszę! Diofantos zamilkł i cisza ta trwała czternaście stuleci – aż do nadejścia New Age, kiedy odrodziło się zainteresowanie procesem ludzkiego myślenia.

Któż nie fantazjował o niczym na przełomie XVI i XVII wieku! Niestrudzony kalkulator Kepler próbował odgadnąć związek między odległościami Słońca od planet. Pitagorasowi się nie udało. Kepler odniósł sukces, gdy nauczył się całkować wielomiany i inne proste funkcje. Wręcz przeciwnie, wizjoner Kartezjusz nie lubił długich obliczeń, ale to on jako pierwszy przedstawił wszystkie punkty płaszczyzny czy przestrzeni jako zbiory liczb. Ten śmiały model redukuje każdy problem geometryczny dotyczący kształtów do problemu algebraicznego dotyczącego równań i odwrotnie. Na przykład całkowite rozwiązania równania Pitagorasa odpowiadają punktom całkowitym na powierzchni stożka. Odpowiednia powierzchnia równanie sześcienne X 3 + Y 3 = Z 3, wygląda na bardziej skomplikowane właściwości geometryczne Nic nie powiedzieli Pierre'owi Fermatowi i musiał wytyczyć nowe ścieżki w dżungli liczb całkowitych.

W 1636 roku w ręce młodego prawnika z Tuluzy wpadła książka Diofantosa, właśnie przetłumaczona na łacinę z greckiego oryginału, która przypadkowo przetrwała w jakimś bizantyjskim archiwum i została przywieziona do Włoch przez jednego z rzymskich uciekinierów w czasach spustoszenie tureckie. Czytając elegancki argument na temat równania Pitagorasa, Fermat zastanawiał się: czy można znaleźć rozwiązanie składające się z trzech liczb kwadratowych? Nie ma takich małych liczb: łatwo to sprawdzić brutalną siłą. A co z ważnymi decyzjami? Bez komputera Fermat nie mógłby przeprowadzić eksperymentu numerycznego. Zauważył jednak, że dla każdego „dużego” rozwiązania równania X 4 + Y 4 = Z 4 można skonstruować mniejsze rozwiązanie. Oznacza to, że suma czwartych potęg dwóch liczb całkowitych nigdy nie jest równa tej samej potędze trzeciej liczby! A co z sumą dwóch sześcianów?

Zainspirowany sukcesem stopnia 4, Fermat próbował zmodyfikować „metodę zejścia” dla stopnia 3 – i udało mu się. Okazało się, że z pojedynczych sześcianów, w które wrzucono duży sześcian o całej długości krawędzi, nie da się zrobić dwóch małych sześcianów. Zwycięski Fermat zrobił krótką notatkę na marginesie książki Diofantosa i wysłał list do Paryża ze szczegółową wiadomością o swoim odkryciu. Odpowiedzi jednak nie otrzymał – choć zazwyczaj stołeczni matematycy szybko reagowali na najnowszy sukces ich samotnego kolegi-rywala w Tuluzie. O co chodzi?

To bardzo proste: w połowie XVII wieku arytmetyka wyszła z mody. Wielkie sukcesy włoskich algebraistów XVI wieku (kiedy rozwiązano równania wielomianowe stopni 3 i 4) nie stały się początkiem ogólnej rewolucji naukowej, ponieważ nie pozwoliły na rozwiązanie nowych, jasnych problemów w sąsiednich dziedzinach nauki. Gdyby Keplerowi udało się odgadnąć orbity planet za pomocą czystej arytmetyki… Ale, niestety, wymagało to analizy matematycznej. Oznacza to, że należy go rozwijać - aż do całkowitego triumfu metody matematyczne w naukach przyrodniczych! Ale analiza wyrasta z geometrii, a arytmetyka pozostaje polem zabawy dla leniwych prawników i innych miłośników odwiecznej nauki o liczbach i figurach.

Arytmetyczne sukcesy Fermata okazały się więc przedwczesne i pozostały niedocenione. Nie zmartwiło go to: na chwałę matematyka wystarczyły mu ujawnione po raz pierwszy fakty rachunku różniczkowego, geometrii analitycznej i teorii prawdopodobieństwa. Wszystkie te odkrycia Fermata natychmiast weszły do ​​​​złotego funduszu nowej nauki europejskiej, podczas gdy teoria liczb zeszła na dalszy plan na kolejne sto lat - dopóki nie została wskrzeszona przez Eulera.

Ten XVIII-wieczny „król matematyków” był mistrzem we wszystkich zastosowaniach analizy, nie zaniedbał jednak arytmetyki, ponieważ nowe metody analizy doprowadziły do ​​​​nieoczekiwanych faktów na temat liczb. Kto by pomyślał, że nieskończona suma odwrotnych kwadratów (1 + 1/4 + 1/9 + 1/16+...) jest równa π 2 /6? Która Hellenka mogła przewidzieć, że podobny szereg umożliwi udowodnienie niewymierności liczby π?

Takie sukcesy zmusiły Eulera do ponownego uważnego przeczytania ocalałych rękopisów Fermata (na szczęście udało się je opublikować synowi wielkiego Francuza). To prawda, że ​​​​dowód „wielkiego twierdzenia” dla stopnia 3 nie został zachowany, ale Euler z łatwością go przywrócił za pomocą tylko jednego wskazania „metody zejścia” i natychmiast próbował przenieść tę metodę na kolejny prosty stopień - 5.

Bynajmniej! W rozumowaniu Eulera pojawiły się liczby zespolone, które Fermatowi udało się przeoczyć (to typowy los odkrywców). Ale rozkład całości Liczby zespolone mnożniki to delikatna sprawa. Nawet Euler nie do końca to zrozumiał i odłożył na bok „problem Fermata”, spiesząc się, aby dokończyć swoje główne dzieło - podręcznik „Podstawy analizy”, który miał pomóc każdemu utalentowanemu młodemu człowiekowi stanąć na równi z Leibnizem i Eulerem. Publikacja podręcznika została ukończona w Petersburgu w 1770 roku. Euler jednak nigdy nie wrócił do twierdzenia Fermata, mając pewność, że wszystko, czego dotkną jego ręce i umysł, nie zostanie zapomniane przez nową młodzież naukową.

I tak się stało: następcą Eulera w teorii liczb był Francuz Adrien Legendre. Pod koniec XVIII wieku ukończył dowód twierdzenia Fermata dla potęgi 5 i chociaż nie udało mu się to w przypadku dużych potęg pierwszych, stworzył kolejny podręcznik do teorii liczb. Oby jego młodzi czytelnicy prześcignęli autora, tak jak czytelnicy „Matematycznych zasad filozofii przyrody” przewyższyli wielkiego Newtona! Legendre nie dorównywał Newtonowi ani Eulerowi, ale wśród jego czytelników było dwóch geniuszy: Carl Gauss i Evariste Galois.

Tak dużą koncentrację geniuszy umożliwiła rewolucja francuska, która głosiła państwowy kult rozumu. Odtąd każdy utalentowany naukowiec czuł się jak Kolumb lub Aleksander Wielki, zdolny do odkryć i podboju nowy Świat. Wielu się to udało, dlatego w XIX wieku postęp naukowo-techniczny stał się głównym motorem ewolucji człowieka i zdawali sobie z tego sprawę wszyscy rozsądni władcy (poczynając od Napoleona).

Gauss charakterem przypominał Kolumba. Ale on (podobnie jak Newton) nie wiedział, jak pięknymi przemówieniami porwać wyobraźnię władców czy studentów, dlatego ograniczył swoje ambicje do sfery koncepcji naukowych. Tutaj mógł robić wszystko, co chciał. Na przykład z jakiegoś powodu starożytnego problemu trisekcji kąta nie można rozwiązać za pomocą kompasu i linijki. Za pomocą liczb zespolonych reprezentujących punkty płaszczyzny Gauss przekłada to zadanie na język algebry i otrzymuje ogólną teorię wykonalności pewnych konstrukcji geometrycznych. Tym samym jednocześnie pojawił się rygorystyczny dowód na niemożność zbudowania 7- lub 9-kąta foremnego za pomocą kompasu i linijki oraz sposób skonstruowania 17-kąta foremnego, jaki znali najmądrzejsi geometrzy Hellady nigdy nie marzyłem.

Oczywiście taki sukces nie idzie na marne: trzeba wymyślić nowe koncepcje, które oddają istotę sprawy. Newton wprowadził trzy takie pojęcia: szereg fluksyjny (pochodna), płynny (całka) i szereg potęgowy. To wystarczyło do stworzenia analizy matematycznej i pierwszego modelu naukowego świat fizyczny, w tym mechaniki i astronomii. Gauss wprowadził także trzy nowe pojęcia: przestrzeń wektorową, pole i pierścień. Z nich wyrosła nowa algebra, która podporządkowała arytmetykę grecką i teorię funkcji numerycznych stworzoną przez Newtona. Pozostało jeszcze podporządkować algebrze logikę stworzoną przez Arystotelesa: wówczas można byłoby za pomocą obliczeń wykazać wywoływalność lub niewyprowadzalność jakichkolwiek twierdzeń naukowych z ten zestaw aksjomat! Na przykład, czy twierdzenie Fermata wywodzi się z aksjomatów arytmetyki, czy też postulat Euklidesa o liniach równoległych z innych aksjomatów planimetrii?

Gaussowi nie udało się zrealizować tego śmiałego marzenia – choć posunął się daleko i domyślał się możliwości istnienia egzotycznych (nieprzemiennych) algebr. Dopiero śmiałemu Rosjaninowi Nikołajowi Łobaczewskiemu udało się skonstruować pierwszą geometrię nieeuklidesową, a pierwszą algebra nieprzemienną (teorię grup) zbudował Francuz Evariste Galois. I dopiero długo po śmierci Gaussa – w 1872 roku – młody Niemiec Felix Klein zdał sobie sprawę, że różnorodność możliwych geometrii można sprowadzić do zgodności jeden do jednego z różnorodnością możliwych algebr. Mówiąc najprościej, każda geometria jest definiowana przez swoją grupę symetrii - podczas gdy algebra ogólna bada wszystkie możliwe grupy i ich właściwości.

Jednak takie zrozumienie geometrii i algebry przyszło znacznie później, a atak na twierdzenie Fermata został wznowiony jeszcze za życia Gaussa. On sam z zasady zaniedbał twierdzenie Fermata: nie jest sprawą królewską rozwiązywać indywidualne problemy, które nie mieszczą się w jasnych teoria naukowa! Jednak uczniowie Gaussa, uzbrojeni w jego nową algebrę i klasyczną analizę Newtona i Eulera, rozumowali inaczej. Najpierw Peter Dirichlet udowodnił twierdzenie Fermata o potędze liczby 7, korzystając z pierścienia liczb całkowitych zespolonych generowanych przez pierwiastki tej potęgi jedności. Następnie Ernst Kummer rozszerzył metodę Dirichleta na WSZYSTKO główne uprawnienia(!) - tak mu się wydawało w ferworze chwili i zwyciężył. Ale wkrótce przyszła otrzeźwiająca świadomość: dowód jest bezbłędny tylko wtedy, gdy każdy element pierścienia można jednoznacznie rozłożyć na czynniki pierwsze! W przypadku zwykłych liczb całkowitych fakt ten był znany Euklidesowi, ale dopiero Gauss przedstawił rygorystyczny dowód. A co ze złożonymi liczbami całkowitymi?

Zgodnie z „zasadą największego oszustwa” może i POWINNA istnieć niejednoznaczna faktoryzacja! Gdy tylko Kummer nauczył się obliczać stopień niejednoznaczności metodami analizy matematycznej, odkrył tę brudną sztuczkę w pierścieniu dla potęgi 23. Gauss nie miał czasu zapoznać się z tą wersją egzotycznej algebry przemiennej, ale uczniowie Gaussa zamiast kolejnej brudnej sztuczki wyrosła nowa, piękna teoria ideałów. To prawda, że ​​​​nie pomogło to szczególnie w rozwiązaniu problemu Fermata: tylko jego naturalna złożoność stała się wyraźniejsza.

Przez cały XIX wiek ten starożytny idol domagał się od swoich wielbicieli coraz większej liczby ofiar w postaci nowych złożonych teorii. Nic dziwnego, że na początku XX wieku wierzący popadli w zniechęcenie i zbuntowali się, odrzucając swojego dawnego idola. Słowo „fermatysta” stało się przezwiskiem wśród zawodowych matematyków. I choć za kompletny dowód twierdzenia Fermata przyznano pokaźną nagrodę, jej autorami byli w większości pewni siebie ignoranti. Najpotężniejsi matematycy tamtych czasów – Poincaré i Hilbert – zdecydowanie unikali tego tematu.

W 1900 roku Hilbert nie umieścił twierdzenia Fermata na liście dwudziestu trzech najważniejszych problemów stojących przed matematyką XX wieku. Co prawda włączył do ich szeregu ogólny problem rozwiązywalności równań diofantyny. Wskazówka była jasna: twórz przykład Gaussa i Galois teorie ogólne nowe obiekty matematyczne! Potem, pewnego pięknego (ale nieprzewidywalnego z góry) dnia, stary cierń sam wypadnie.

Dokładnie tak zachował się wielki romantyk Henri Poincaré. Zaniedbując wiele „odwiecznych” problemów, przez całe życie studiował SYMETRIE pewnych obiektów matematyki czy fizyki: albo funkcje zmiennej zespolonej, albo trajektorie ciał niebieskich, albo krzywe algebraiczne, albo rozmaitości gładkie (są to wielowymiarowe uogólnienia linii krzywych). Motyw jego działania był prosty: jeśli dwa różne przedmioty mają podobne symetrie, to znaczy, że może istnieć między nimi wewnętrzny związek, którego nie jesteśmy jeszcze w stanie pojąć! Na przykład każda z geometrii dwuwymiarowych (euklidesowa, Łobaczewskiego lub Riemanna) ma własną grupę symetrii działających na płaszczyźnie. Ale punkty płaszczyzny są liczbami zespolonymi: w ten sposób działanie dowolnego grupa geometryczna przeniesiony w rozległy świat złożonych funkcji. Możliwe i konieczne jest badanie najbardziej symetrycznych z tych funkcji: AUTOMORFICZNYCH (które podlegają grupie euklidesowej) i MODUŁOWYCH (które podlegają grupie Łobaczewskiego)!

Na płaszczyźnie występują również krzywe eliptyczne. Nie są one w żaden sposób powiązane z elipsą, ale są dane równaniami postaci Y 2 = AX 3 + BX 2 + CX i dlatego przecinają się z dowolną prostą w trzy punkty. Fakt ten pozwala nam wprowadzić mnożenie punktów krzywej eliptycznej - przekształcić ją w grupę. Struktura algebraiczna tej grupy odzwierciedla właściwości geometryczne krzywej, być może jest ona jednoznacznie zdeterminowana przez jej grupę? Warto przestudiować to pytanie, ponieważ dla niektórych krzywych interesująca nas grupa okazuje się modułowa, to znaczy jest powiązana z geometrią Łobaczewskiego...

Tak rozumował Poincaré, uwodząc matematyczną młodzież Europy, jednak na początku XX wieku pokusy te nie doprowadziły do ​​błyskotliwych twierdzeń i hipotez. Inaczej stało się z wezwaniem Hilberta: studiować rozwiązania ogólne Równania diofantyczne ze współczynnikami całkowitymi! W 1922 roku młody Amerykanin Lewis Mordell połączył zbiór rozwiązań takiego równania (jest to przestrzeń wektorowa o pewnym wymiarze) z rodzajem geometrycznym krzywej zespolonej, którą daje to równanie. Mordell doszedł do wniosku, że jeśli stopień równania jest wystarczająco duży (więcej niż dwa), to wymiar przestrzeni rozwiązań wyraża się w rodzaju krzywej, a zatem wymiar ten jest SKOŃCZONY. Wręcz przeciwnie – do potęgi 2 równanie Pitagorasa ma NIESKOŃCZONĄ WYMIAROWĄ rodzinę rozwiązań!

Oczywiście Mordell dostrzegł związek między swoją hipotezą a twierdzeniem Fermata. Jeśli okaże się, że dla każdego stopnia n > 2 przestrzeń rozwiązań całkowitych równania Fermata jest skończenie wymiarowa, pomoże to wykazać, że takich rozwiązań w ogóle nie ma! Mordell nie widział jednak sposobu na udowodnienie swojej hipotezy – i choć żył długo, nie doczekał się przekształcenia tej hipotezy w twierdzenie Faltingsa. Stało się to w roku 1983 – w zupełnie innej epoce, po wielkich sukcesach algebraicznej topologii rozmaitości.

Poincaré stworzył tę naukę jakby przez przypadek: chciał wiedzieć, czym są rozmaitości trójwymiarowe. W końcu Riemann rozpracował strukturę wszystkich zamkniętych powierzchni i otrzymał bardzo prostą odpowiedź! Jeśli w przypadku trójwymiarowym lub wielowymiarowym nie ma takiej odpowiedzi, należy wymyślić układ niezmienników algebraicznych rozmaitości, który określa jej strukturę geometryczną. Najlepiej, jeśli takie niezmienniki są elementami jakiejś grupy - przemiennej lub nieprzemiennej.

Co dziwne, ten śmiały plan Poincarégo zakończył się sukcesem: został on zrealizowany w latach 1950–1970 dzięki wysiłkom wielu geometrów i algebraistów. Do roku 1950 następowała cicha kumulacja różnych metod klasyfikacji odmian, a po tej dacie zdawało się gromadzić masę krytyczną ludzi i idei i nastąpiła eksplozja porównywalna z wynalezieniem analizy matematycznej w XVII wieku. Ale rewolucja analityczna trwała ponad półtora wieku i obejmowała twórcze biografie cztery pokolenia matematyków – od Newtona i Leibniza po Fouriera i Cauchy’ego. Wręcz przeciwnie, rewolucja topologiczna XX wieku dokonała się w ciągu dwudziestu lat – dzięki duża liczba jego uczestnicy. Jednocześnie ukształtowało się duże pokolenie pewnych siebie młodych matematyków, nagle pozostawionych bez pracy w swojej historycznej ojczyźnie.

W latach siedemdziesiątych wkroczyli na sąsiednie dziedziny matematyki i fizyki teoretycznej. Wielu utworzyło własne szkoły naukowe na dziesiątkach uniwersytetów w Europie i Ameryce. Dziś pomiędzy tymi ośrodkami krąży wielu uczniów w różnym wieku i narodowości, o różnych zdolnościach i skłonnościach, a każdy pragnie zasłynąć jakimś odkryciem. To właśnie w tym pandemonium ostatecznie udowodniono hipotezę Mordella i twierdzenie Fermata.

Jednak pierwsza jaskółka, nieświadoma swojego losu, dorastała w Japonii w głodnych i bezrobotnych latach powojennych. Jaskółka miała na imię Yutaka Taniyama. W 1955 roku bohater ten skończył 28 lat i postanowił (wraz z przyjaciółmi Goro Shimurą i Takauji Tamagawą) ożywić badania matematyczne w Japonii. Gdzie zacząć? Oczywiście z przełamaniem izolacji od zagranicznych kolegów! I tak w 1955 roku trzech młodych Japończyków zorganizowało w Tokio pierwszą międzynarodową konferencję na temat algebry i teorii liczb. Najwyraźniej łatwiej było to zrobić w Japonii, wyreedukowanej przez Amerykanów, niż w Rosji, zamrożonej przez Stalina…

Wśród gości honorowych znalazło się dwóch bohaterów z Francji: Andre Weil i Jean-Pierre Serre. Tutaj Japończycy mieli dużo szczęścia: Weyl był uznanym szefem francuskich algebraistów i członkiem grupy Bourbaki, a młody Serre odegrał podobną rolę wśród topologów. W gorących dyskusjach z nimi pękały głowy japońskiej młodzieży, topniały mózgi, ale w końcu wykrystalizowały się takie pomysły i plany, które z trudem narodziłyby się w innym środowisku.

Pewnego dnia Taniyama zwrócił się do Weila z pytaniem dotyczącym krzywych eliptycznych i funkcji modułowych. Z początku Francuz nic nie rozumiał: Taniyama nie był mistrzem wypowiadania się po angielsku. Wtedy istota sprawy stała się jasna, lecz Taniyama nie potrafił precyzyjnie sformułować swoich nadziei. Jedyne, co Weil mógł odpowiedzieć młodemu Japończykowi, to to, że jeśli będzie miał dużo szczęścia pod względem inspiracji, to z jego niejasnych hipotez wyłoni się coś przydatnego. Ale jak dotąd nie ma na to nadziei!

Oczywiście Weil nie zauważył niebiańskiego ognia w spojrzeniu Taniyamy. I był ogień: wydawało się, że przez chwilę Japończyka ogarnęła niezłomna myśl zmarłego Poincarégo! Taniyama nabrał przekonania, że ​​każda krzywa eliptyczna jest generowana przez funkcje modułowe – a dokładniej jest „ujednolicana przez formę modułową”. Niestety, to dokładne sformułowanie narodziło się znacznie później – w rozmowach Taniyamy z jego przyjacielem Shimurą. A potem Taniyama w przypływie depresji popełnił samobójstwo... Jego hipoteza pozostała bez właściciela: nie było jasne, jak ją udowodnić i gdzie ją przetestować, dlatego przez długi czas nikt nie traktował jej poważnie. Pierwsza odpowiedź przyszła dopiero trzydzieści lat później – prawie jak za czasów Fermata!

Lód pękł w 1983 roku, kiedy dwudziestosiedmioletni Niemiec Gerd Faltings ogłosił całemu światu: Hipoteza Mordella została udowodniona! Matematycy byli ostrożni, ale Faltings był prawdziwym Niemcem: w jego długim i złożonym dowodzie nie było luk. Po prostu nadszedł ten czas, fakty i koncepcje się zgromadziły – i teraz jednemu utalentowanemu algebraiście, opierając się na wynikach dziesięciu innych algebraistów, udało się rozwiązać problem, który czekał na swojego właściciela przez sześćdziesiąt lat. Nie jest to rzadkością w matematyce XX wieku. Warto przypomnieć odwieczny problem kontinuum w teorii mnogości, dwie hipotezy Burnside'a w teorii grup lub hipotezę Poincarégo w topologii. Wreszcie w teorii liczb przyszedł czas na zbieranie plonów wieloletnich... Który szczyt będzie kolejnym z serii zdobytych przez matematyków? Czy problem Eulera, hipoteza Riemanna lub twierdzenie Fermata naprawdę się załamią? Dobrze jest!

A dwa lata po odkryciu Faltingsa w Niemczech pojawił się kolejny natchniony matematyk. Nazywał się Gerhard Frey i twierdził coś dziwnego: że twierdzenie Fermata wywodzi się z hipotezy Taniyamy! Niestety, w stylu przedstawiania swoich myśli, Frey bardziej przypominał pechowego Taniyamę niż jego jednoznacznego rodaka Faltingsa. W Niemczech nikt nie rozumiał Freya i wyjechał za granicę - do wspaniałego miasta Princeton, gdzie po Einsteinie przywykli do nie takich gości. Nie bez powodu swoje gniazdo zbudował tam Barry Mazur, wszechstronny topolog i jeden z bohaterów niedawnego szturmu na gładkie rozmaitości. A obok Mazura dorastał uczeń Ken Ribet, równie doświadczony w zawiłościach topologii i algebry, ale jeszcze w niczym się nie przesławił.

Kiedy Ribet po raz pierwszy usłyszał przemówienia Freya, uznał, że to bzdury i pseudoscience fiction (prawdopodobnie Weil podobnie zareagował na rewelacje Taniyamy). Ale Ribet nie mógł zapomnieć tej „fantazji” i od czasu do czasu wracał do niej myślami. Sześć miesięcy później Ribet uwierzył, że w fantazjach Freya jest coś przydatnego, a rok później zdecydował, że sam może niemal udowodnić dziwna hipoteza Freya. Ale pewne „dziury” pozostały i Ribet postanowił zwierzyć się swojemu szefowi Mazurowi. Uważnie słuchał ucznia i spokojnie odpowiedział: „Tak, wszystko załatwiłeś! Tutaj trzeba zastosować transformację Ф, tutaj trzeba skorzystać z lematów B i K, a wszystko nabierze nieskazitelnej formy! Zatem Ribet dokonał skoku z ciemności do nieśmiertelności, posługując się katapultą w osobie Freya i Mazura. Szczerze mówiąc, wszystkie one – łącznie ze zmarłym Tanijamą – powinny być uważane za dowód Ostatniego Twierdzenia Fermata.

Ale tu jest problem: swoje stwierdzenie wyprowadzili z hipotezy Taniyamy, która sama w sobie nie została udowodniona! A jeśli jest niewierna? Matematycy od dawna wiedzą, że „wszystko wynika z kłamstwa”. Jeśli przypuszczenia Taniyamy są błędne, to nienaganne rozumowanie Ribeta jest bezwartościowe! Musimy pilnie udowodnić (lub obalić) hipotezę Taniyamy – w przeciwnym razie ktoś taki jak Faltings udowodni twierdzenie Fermata w inny sposób. Zostanie bohaterem!

Jest mało prawdopodobne, że kiedykolwiek dowiemy się, ilu młodych lub doświadczonych algebraistów zaatakowało twierdzenie Fermata po sukcesie Faltingsa lub po zwycięstwie Ribeta w 1986 roku. Wszyscy starali się pracować w ukryciu, aby w razie niepowodzenia nie zostać zaliczeni do wspólnoty „manekinów”-rolników. Wiadomo, że najszczęśliwszy ze wszystkich, Andrew Wiles z Cambridge, zasmakował zwycięstwa dopiero na początku 1993 roku. To nie tyle uszczęśliwiło Wilesa, co go przestraszyło: co by było, gdyby w jego dowodzie hipotezy Taniyamy odkryto błąd lub lukę? Wtedy jego reputacja naukowa zginęła! Trzeba dokładnie spisać dowód (ale będzie to kilkadziesiąt stron!) i odłożyć go na pół roku lub rok, żeby potem spokojnie i skrupulatnie przeczytać go jeszcze raz... Ale co jeśli w tym czasie kiedy ktoś opublikuje swój dowód? Oj, kłopoty...

Jednak Wiles wymyślił podwójny sposób szybkiego sprawdzenia swojego dowodu. Po pierwsze, musisz zaufać jednemu ze swoich niezawodnych znajomych i przedstawić mu cały tok rozumowania. Z zewnątrz wszystkie błędy są wyraźniejsze! Po drugie, inteligentni studenci i absolwenci muszą przeczytać specjalny kurs na ten temat: ci inteligentni goście nie przeoczą ani jednego błędu wykładowcy! Tylko nie mów im do ostatniej chwili o ostatecznym celu kursu – w przeciwnym razie dowie się o tym cały świat! I oczywiście takiej publiczności trzeba szukać dalej od Cambridge – lepiej nawet nie w Anglii, ale w Ameryce… Cóż może być lepszego niż odległe Princeton?

Wiles udał się tam wiosną 1993 roku. Jego cierpliwy przyjaciel Niklas Katz po wysłuchaniu długiego raportu Wilesa odkrył w nim wiele luk, ale wszystkie można było łatwo skorygować. Jednak absolwenci Princeton wkrótce uciekli ze specjalnego kursu Wilesa, nie chcąc podążać za kapryśnymi myślami wykładowcy, który prowadził ich Bóg wie dokąd. Po takiej (niezbyt głębokiej) analizie swojej twórczości Wiles zdecydował, że nadszedł czas, aby ujawnić światu wielki cud.

W czerwcu 1993 roku w Cambridge odbyła się kolejna konferencja poświęcona „teorii Iwasawy”, popularnej gałęzi teorii liczb. Wiles zdecydował się przedstawić bez zapowiedzi swój dowód hipotezy Taniyamy na ten temat główny wynik do końca. Raport trwał długo, ale zakończył się sukcesem; dziennikarze stopniowo zaczęli się napływać, coś przeczuwając. W końcu uderzył piorun: twierdzenie Fermata zostało udowodnione! Ogólnej radości nie przyćmiły żadne wątpliwości: wszystko wydawało się jasne… Jednak dwa miesiące później Katz, czytając końcowy tekst Wilesa, zauważył w nim kolejną lukę. Pewne przejście w rozumowaniu opierało się na „systemie Eulera” – ale to, co zbudował Wiles, nie było takim systemem!

Wiles sprawdził wąskie gardło i zrozumiał, że tutaj się mylił. Co gorsza: nie jest jasne, jak zastąpić błędne rozumowanie! Potem rozpoczęły się najciemniejsze miesiące życia Wilesa. Wcześniej swobodnie syntetyzował bezprecedensowy dowód z dostępnego materiału. Teraz jest przywiązany do wąskiego i jasnego zadania – bez pewności, że ma ono rozwiązanie i że uda mu się je znaleźć w przewidywalnym czasie. Ostatnio Frey nie mógł się oprzeć tej samej walce – a teraz jego nazwisko zostało przyćmione przez nazwisko odnoszącego sukcesy Ribeta, choć przypuszczenia Freya okazały się słuszne. Co się stanie z MOIM domysłem i MOIM imieniem?

Ta ciężka praca trwała dokładnie rok. We wrześniu 1994 roku Wiles był gotowy przyznać się do porażki i pozostawić hipotezę Taniyamy bardziej skutecznym następcom. Podjąwszy tę decyzję, zaczął powoli ponownie czytać swój dowód – od początku do końca, wsłuchując się w rytm rozumowania, przeżywając na nowo przyjemność z udanych znalezisk. Dotarwszy do „przeklętego” miejsca, Wiles nie usłyszał jednak w myślach fałszywej nuty. Czy jego sposób rozumowania był rzeczywiście bezbłędny, a błąd powstał dopiero podczas WERBALNEGO opisu obrazu mentalnego? Jeśli nie ma tu „systemu Eulera”, to co się tutaj kryje?

Nagle przyszła mi do głowy prosta myśl: „system Eulera” nie sprawdza się tam, gdzie ma zastosowanie teoria Iwasawy. Dlaczego nie zastosować tej teorii bezpośrednio – na szczęście sam Wiles jest z nią blisko i zaznajomiony? I dlaczego nie próbował tego podejścia od samego początku, tylko dał się ponieść czyjejś wizji problemu? Wiles nie pamiętał już tych szczegółów – i to było bezużyteczne. Przeprowadził niezbędne rozumowanie w ramach teorii Iwasawy i wszystko udało się w pół godziny! W ten sposób z rocznym opóźnieniem zamknięto ostatnią lukę w dowodzie hipotezy Taniyamy. Ostateczny tekst pozostawiła do rozdarcia na kawałki grupa recenzentów znanego czasopisma matematycznego, którzy rok później oświadczyli, że nie ma już błędów. Tak więc w 1995 roku ostatnia hipoteza Fermata umarła w trzysta sześćdziesiątym roku jego życia, zamieniając się w sprawdzone twierdzenie, które nieuchronnie znajdzie się w podręcznikach teorii liczb.

Podsumowując trzystuletnie zamieszanie wokół twierdzenia Fermata, musimy wyciągnąć dziwny wniosek: ten bohaterski epos mógł nie mieć miejsca! Rzeczywiście, twierdzenie Pitagorasa wyraża proste i ważne połączenie między wizualnym obiekty naturalne- długości odcinków. Ale tego samego nie można powiedzieć o twierdzeniu Fermata. Wygląda bardziej jak nadbudowa kulturowa na podłożu naukowym – jak dotarcie do bieguna północnego Ziemi lub lot na Księżyc. Przypomnijmy, że oba te wyczyny śpiewali pisarze na długo przed ich dokonaniem – już w starożytności, po pojawieniu się Elementów Euklidesa, ale przed pojawieniem się Arytmetyki Diofantosa. Oznacza to, że wówczas pojawiła się potrzeba społeczna na tego typu wyczyny intelektualne – przynajmniej wyimaginowane! Wcześniej Hellenowie mieli dość wierszy Homera, tak jak Francuzi mieli dość zainteresowań religijnych sto lat przed Fermatem. Ale potem namiętności religijne opadły, a obok nich stanęła nauka.

W Rosji takie procesy rozpoczęły się półtora wieku temu, kiedy Turgieniew zrównał Jewgienija Bazarowa z Jewgienijem Onieginem. To prawda, że ​​​​pisarz Turgieniew słabo rozumiał motywy działań naukowca Bazarowa i nie odważył się ich śpiewać, ale wkrótce zrobili to naukowiec Iwan Sieczenow i oświecony dziennikarz Jules Verne. Spontaniczna rewolucja naukowo-technologiczna potrzebuje kulturowej skorupy, aby przeniknąć do umysłów większości ludzi, dlatego w pierwszej kolejności pojawia się science fiction, a za nią literatura popularnonaukowa (m.in. magazyn „Wiedza to potęga”).

Jednocześnie konkretny temat naukowy nie jest wcale ważny dla ogółu społeczeństwa i nie jest zbyt ważny nawet dla występujących bohaterów. Tak więc, usłyszawszy o zdobyciu bieguna północnego przez Peary'ego i Cooka, Amundsen natychmiast zmienił cel swojej już przygotowanej wyprawy - i wkrótce dotarł do bieguna południowego, wyprzedzając Scotta o miesiąc. Później udany lot dookoła Ziemi Jurija Gagarina zmusił prezydenta Kennedy'ego do zmiany poprzedniego celu amerykańskiego programu kosmicznego na droższy, ale znacznie bardziej efektowny: lądowanie ludzi na Księżycu.

Już wcześniej wnikliwy Hilbert odpowiadał na naiwne pytanie studentów: „Rozwiązanie jakiego problemu naukowego byłoby teraz najbardziej przydatne”? - odpowiedział żartem: „Złap muchę po niewidocznej stronie Księżyca!” Na zakłopotane pytanie: „Po co to jest potrzebne?” - padła jasna odpowiedź: „TEGO nikomu nie potrzeba! Ale pomyśl o nich metody naukowe oraz środki techniczne, które będziemy musieli opracować, aby rozwiązać taki problem - i ile innych pięknych problemów rozwiążemy po drodze!

To samo stało się z twierdzeniem Fermata. Euler mógł to przeoczyć.

W tym przypadku idolem matematyków – być może także z teorii liczb, stałby się jakiś inny problem. Na przykład problem Eratostenesa: czy istnieje skończona czy nieskończona liczba bliźniaczych liczb pierwszych (takich jak 11 i 13, 17 i 19 itd.)? Albo problem Eulera: czy jest cokolwiek Liczba parzysta jest sumą dwóch liczb pierwszych? Lub: czy istnieje związek algebraiczny pomiędzy liczbami π i e? Te trzy problemy nadal nie zostały rozwiązane, choć w XX wieku matematycy zauważalnie zbliżyli się do zrozumienia ich istoty. Ale to stulecie zrodziło także wiele nowych, nie mniej interesujących problemów, zwłaszcza na styku matematyki z fizyką i innymi gałęziami nauk przyrodniczych.

Już w 1900 roku Hilbert zidentyfikował jedno z nich: stworzyć kompletny system aksjomatów fizyki matematycznej! Sto lat później problem ten jest daleki od rozwiązania, choćby dlatego, że arsenał narzędzi matematycznych w fizyce stale rośnie i nie wszystkie mają ścisłe uzasadnienie. Jednak po roku 1970 fizyka teoretyczna podzieliła się na dwie gałęzie. Jeden (klasyczny) od czasów Newtona zajmuje się modelowaniem i prognozowaniem procesów ZRÓWNOWAŻONYCH, drugi (nowy) stara się sformalizować interakcję procesów NIESTABILNYCH i sposobów ich kontrolowania. Jest oczywiste, że te dwie gałęzie fizyki należy aksjomatyzować oddzielnie.

Pierwsze z nich rozstrzygnie się zapewne za dwadzieścia, pięćdziesiąt lat…

A czego brakuje drugiej gałęzi fizyki – tej, która zajmuje się wszelkimi rodzajami ewolucji (w tym dziwnymi fraktalami i dziwnymi atraktorami, ekologią biocenoz i teorią namiętności Gumilowa)? Raczej szybko tego nie zrozumiemy. Ale kult naukowców nowemu idolowi stał się już zjawiskiem masowym. Prawdopodobnie rozegra się tu epos, porównywalny z trzystuletnią biografią twierdzenia Fermata. Tym samym na styku różnych nauk rodzą się nowi idole – podobni do religijnych, ale bardziej złożeni i dynamiczni…

Podobno człowiek nie może pozostać człowiekiem, nie obalając od czasu do czasu starych idoli i tworząc nowych – w bólu i radości! Pierre Fermat miał szczęście, że znalazł się w fatalnym momencie blisko gorącego miejsca narodzin nowego idola - i udało mu się pozostawić ślad swojej osobowości na noworodku. Takiego losu można pozazdrościć, a naśladowanie go nie jest grzechem.

Siergiej Smirnow
"Wiedza to potęga"

Niewielu ludzi na świecie nigdy nie słyszało o Ostatnim Twierdzeniu Fermata – być może to jest jedyne problem matematyczny, który stał się tak powszechnie znany i stał się prawdziwą legendą. Wspomina się o tym w wielu książkach i filmach, a głównym kontekstem niemal wszystkich wzmianek jest niemożność udowodnienia twierdzenia.

Tak, to twierdzenie jest bardzo dobrze znane i w pewnym sensie stało się „idolem” czczonym przez matematyków amatorów i zawodowych, ale niewiele osób wie, że znaleziono jego dowód, a stało się to jeszcze w 1995 roku. Ale najpierw najważniejsze.

Zatem Ostatnie Twierdzenie Fermata (często nazywane ostatnim twierdzeniem Fermata), sformułowane w 1637 roku przez genialnego francuskiego matematyka Pierre'a Fermata, jest w istocie bardzo proste i zrozumiałe dla każdego, kto ma wykształcenie średnie. Mówi ona, że ​​wzór a do potęgi n + b do potęgi n = c do potęgi n nie ma naturalnych (czyli nie ułamkowych) rozwiązań dla n > 2. Wszystko wydaje się proste i jasne, ale najlepsi matematycy i zwykli amatorzy zmagali się z poszukiwaniem rozwiązania przez ponad trzy i pół wieku.

Dlaczego jest taka sławna? Teraz się dowiemy...

Czy istnieje wiele sprawdzonych, niepotwierdzonych i jeszcze nieudowodnionych twierdzeń? Rzecz w tym, że Ostatnie Twierdzenie Fermata stanowi największy kontrast pomiędzy prostotą sformułowania a złożonością dowodu. Ostatnie twierdzenie Fermata jest niezwykle trudnym zadaniem, a jednak jego sformułowanie może zrozumieć każdy na poziomie piątej klasy. Liceum, ale dowód nie jest nawet dla każdego zawodowego matematyka. Ani w fizyce, ani w chemii, ani w biologii, ani w matematyce nie ma ani jednego problemu, który można by tak prosto sformułować, a który pozostawałby tak długo nierozwiązany. 2. Z czego się składa?

Zacznijmy od spodni pitagorejskich.Słowo jest naprawdę proste – na pierwszy rzut oka. Jak wiemy z dzieciństwa, „spodnie pitagorejskie są równe ze wszystkich stron”. Problem wygląda na tak prosty, bo opierał się na znanym każdemu stwierdzeniu matematycznym – twierdzeniu Pitagorasa: w dowolnym trójkąt prostokątny kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów zbudowanych na nogach.

W V wieku p.n.e. Pitagoras założył bractwo pitagorejskie. Pitagorejczycy badali między innymi trojaczki całkowite spełniające równość x²+y²=z². Udowodnili, że istnieje nieskończenie wiele trójek pitagorejskich i uzyskali ogólne wzory na ich znajdowanie. Prawdopodobnie próbowali szukać trójek lub więcej wysokie stopnie. Przekonani, że to nie zadziała, pitagorejczycy porzucili swoje bezużyteczne próby. Członkowie bractwa byli raczej filozofami i estetami niż matematykami.

Oznacza to, że łatwo jest wybrać zbiór liczb, który doskonale spełnia równość x²+y²=z²

Zaczynając od 3, 4, 5 - rzeczywiście młodszy uczeń rozumie, że 9 + 16 = 25.

Lub 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Świetnie.

Okazuje się więc, że NIE. Tutaj zaczyna się cała sztuczka. Prostota jest pozorna, bo trudno udowodnić nie obecność czegoś, a wręcz przeciwnie – jego brak. Kiedy chcesz udowodnić, że istnieje rozwiązanie, możesz i powinieneś po prostu je przedstawić.

Trudniej jest udowodnić nieobecność: ktoś na przykład powie: takie a takie równanie nie ma rozwiązań. Wrzucić go do kałuży? proste: bam – i oto jest rozwiązanie! (podaj rozwiązanie). I tyle, przeciwnik zostaje pokonany. Jak udowodnić nieobecność?

Powiedz: „Nie znalazłem takich rozwiązań”? A może nie wyglądałeś dobrze? A co jeśli istnieją, tylko bardzo duże, bardzo duże, tak że nawet super-potężny komputer wciąż nie ma wystarczającej siły? To właśnie jest trudne.

Można to pokazać wizualnie w ten sposób: jeśli weźmiesz dwa kwadraty o odpowiednich rozmiarach i rozłożysz je na kwadraty jednostkowe, to z tej grupy kwadratów jednostkowych otrzymasz trzeci kwadrat (ryc. 2):


Ale zróbmy to samo z trzecim wymiarem (ryc. 3) – to nie działa. Nie ma wystarczającej liczby kostek lub zostały dodatkowe:

Ale XVII-wieczny matematyk, Francuz Pierre de Fermat, entuzjastycznie badał tę kwestię równanie ogólne x n + y n = z n . I w końcu doszedłem do wniosku: dla n>2 nie ma rozwiązań całkowitych. Dowód Fermata został bezpowrotnie utracony. Rękopisy płoną! Pozostaje tylko jego uwaga z Arytmetyki Diofantosa: „Znalazłem naprawdę zdumiewający dowód tego twierdzenia, ale marginesy są tu zbyt wąskie, aby je pomieścić”.

W rzeczywistości twierdzenie bez dowodu nazywa się hipotezą. Ale Fermat ma reputację osoby, która nigdy nie popełnia błędów. Nawet jeśli nie pozostawił dowodu na oświadczenie, zostało ono następnie potwierdzone. Ponadto Fermat udowodnił swoją tezę dla n=4. Tym samym hipoteza francuskiego matematyka przeszła do historii jako Ostatnie Twierdzenie Fermata.

Po Fermacie nad poszukiwaniem dowodu pracowały takie wielkie umysły, jak Leonhard Euler (w 1770 r. zaproponował rozwiązanie dla n = 3),

Adrien Legendre i Johann Dirichlet (ci naukowcy wspólnie znaleźli dowód na n = 5 w 1825 r.), Gabriel Lamé (który znalazł dowód na n = 7) i wielu innych. W połowie lat 80. stało się to jasne świat naukowy jest na dobrej drodze do ostatecznego rozwiązania Ostatniego Twierdzenia Fermata, ale dopiero w 1993 roku matematycy zobaczyli i uwierzyli, że trwająca trzy stulecia epopeja poszukiwań dowodu ostatniego twierdzenia Fermata praktycznie dobiegła końca.

Łatwo wykazać, że wystarczy udowodnić twierdzenie Fermata tylko dla prostych n: 3, 5, 7, 11, 13, 17,... Dla złożonego n dowód pozostaje ważny. Ale liczb pierwszych jest nieskończenie wiele...

W 1825 roku, stosując metodę Sophie Germain, matematyczki Dirichlet i Legendre niezależnie udowodniły twierdzenie dla n=5. W 1839 roku tą samą metodą Francuz Gabriel Lame wykazał prawdziwość twierdzenia dla n=7. Stopniowo twierdzenie zostało udowodnione dla prawie wszystkich n mniejszych niż sto.

Wreszcie niemiecki matematyk Ernst Kummer w genialnym badaniu wykazał, że twierdzenia w ogóle nie da się udowodnić metodami matematyki XIX wieku. Nagroda Francuskiej Akademii Nauk, ustanowiona w 1847 r. za dowód twierdzenia Fermata, pozostała nieprzyznana.

W 1907 roku zamożny niemiecki przemysłowiec Paul Wolfskehl zdecydował się odebrać sobie życie z powodu nieodwzajemnionej miłości. Jak prawdziwy Niemiec wyznaczył datę i godzinę samobójstwa: dokładnie o północy. Ostatniego dnia sporządził testament i napisał listy do przyjaciół i krewnych. Sprawy zakończyły się przed północą. Trzeba powiedzieć, że Paweł interesował się matematyką. Nie mając nic innego do roboty, poszedł do biblioteki i zaczął czytać słynny artykuł Kummera. Nagle wydało mu się, że Kummer pomylił się w swoim rozumowaniu. Wolfskel zaczął analizować tę część artykułu z ołówkiem w dłoniach. Minęła północ, nastał poranek. Luka w dowodzie została wypełniona. A sam powód samobójstwa wyglądał teraz zupełnie absurdalnie. Paweł podarł listy pożegnalne i spisał na nowo swój testament.

Wkrótce zmarł śmiercią naturalną. Spadkobiercy byli niemile zaskoczeni: 100 000 marek (obecnie ponad 1 000 000 funtów szterlingów) wpłynęło na konto Królewskiego Towarzystwa Naukowego w Getyndze, które w tym samym roku ogłosiło konkurs o Nagrodę Wolfskehla. Za udowodnienie twierdzenia Fermata przyznano 100 000 punktów. Za obalenie twierdzenia nie przyznano ani fenigów…

Większość zawodowych matematyków uważała poszukiwanie dowodu Ostatniego Twierdzenia Fermata za zadanie beznadziejne i zdecydowanie nie chciała tracić czasu na tak bezużyteczne ćwiczenie. Ale amatorzy mieli niezłą zabawę. Kilka tygodni po ogłoszeniu na Uniwersytet w Getyndze spadła lawina „dowodów”. Profesor E.M. Landau, którego zadaniem była analiza nadesłanego materiału dowodowego, rozdał swoim studentom kartki:

Droga. . . . . . . .

Dziękuję za przesłanie mi manuskryptu z dowodem Ostatniego Twierdzenia Fermata. Pierwszy błąd jest na stronie...w linii... . Przez to cały dowód traci ważność.
Profesor E. M. Landau

W 1963 roku Paul Cohen, opierając się na ustaleniach Gödla, udowodnił nierozwiązywalność jednego z dwudziestu trzech problemów Hilberta – hipotezy kontinuum. A co jeśli Ostatnie Twierdzenie Fermata jest również nierozstrzygalne?! Ale prawdziwi fanatycy Wielkiego Twierdzenia wcale nie byli zawiedzeni. Pojawienie się komputerów nagle dało matematykom nowa metoda dowód. Po II wojnie światowej zespoły programistów i matematyków udowodniły Ostatnie Twierdzenie Fermata dla wszystkich wartości n do 500, następnie do 1000, a później do 10 000.

W latach 80. Samuel Wagstaff podniósł tę granicę do 25 000, a w latach 90. matematycy oświadczyli, że Ostatnie Twierdzenie Fermata jest prawdziwe dla wszystkich wartości od n do 4 milionów. Ale jeśli od nieskończoności odejmiemy nawet bilion bilionów, nie zmniejszy się ona. Matematyków nie przekonują statystyki. Udowodnienie Wielkiego Twierdzenia oznaczało udowodnienie go dla WSZYSTKICH n zmierzających do nieskończoności.

W 1954 roku dwóch młodych japońskich przyjaciół matematyków rozpoczęło badania nad formami modułowymi. Formy te generują serie liczb, każda z własną serią. Przez przypadek Taniyama porównał te szeregi z szeregami generowanymi przez równania eliptyczne. Pasowali! Ale formy modułowe są obiektami geometrycznymi, a równania eliptyczne są algebraiczne. Nigdy nie znaleziono żadnego związku pomiędzy tak różnymi obiektami.

Jednak po dokładnych testach przyjaciele wysunęli hipotezę: każde równanie eliptyczne ma bliźniaczą formę - modułową i odwrotnie. To właśnie ta hipoteza stała się podstawą całego kierunku w matematyce, ale dopóki hipoteza Taniyamy-Shimury nie została udowodniona, cały budynek mógł w każdej chwili się zawalić.

W 1984 roku Gerhard Frey wykazał, że rozwiązanie równania Fermata, jeśli istnieje, można ująć w jakimś równaniu eliptycznym. Dwa lata później profesor Ken Ribet udowodnił, że to hipotetyczne równanie nie może mieć odpowiednika w świecie modułowym. Odtąd Ostatnie Twierdzenie Fermata zostało nierozerwalnie powiązane z hipotezą Taniyamy-Shimury. Po udowodnieniu, że każda krzywa eliptyczna jest modułowa, dochodzimy do wniosku, że nie ma równania eliptycznego z rozwiązaniem równania Fermata, a Ostatnie Twierdzenie Fermata zostałoby natychmiast udowodnione. Jednak przez trzydzieści lat nie udało się udowodnić hipotezy Taniyamy-Shimury i nadzieja na sukces była coraz mniejsza.

W 1963 roku, mając zaledwie dziesięć lat, Andrew Wiles był już zafascynowany matematyką. Kiedy dowiedział się o Wielkim Twierdzeniu, zdał sobie sprawę, że nie może z niego zrezygnować. Jako uczeń, student i doktorant przygotowywał się do tego zadania.

Dowiedziawszy się o odkryciach Kena Ribeta, Wiles rzucił się na całość w udowadnianie hipotezy Taniyamy-Shimury. Postanowił pracować w całkowitej izolacji i tajemnicy. „Zdałem sobie sprawę, że wszystko, co ma związek z Ostatnim Twierdzeniem Fermata, budzi zbyt duże zainteresowanie… Zbyt duża liczba widzów wyraźnie przeszkadza w osiągnięciu celu.” Siedem lat ciężkiej pracy opłaciło się i Wiles w końcu ukończył dowód hipotezy Taniyamy-Shimury.

W 1993 roku angielski matematyk Andrew Wiles przedstawił światu swój dowód Ostatniego Twierdzenia Fermata (Wiles przeczytał jego sensacyjny artykuł na konferencji w Instytucie Sir Isaaca Newtona w Cambridge.), nad którym prace trwały ponad siedem lat.

Podczas gdy w prasie trwał szum, rozpoczęto poważne prace nad weryfikacją dowodów. Każdy dowód należy dokładnie zbadać, zanim będzie można go uznać za rygorystyczny i dokładny. Wiles spędził niespokojne lato, czekając na opinie recenzentów, mając nadzieję, że uda mu się zdobyć ich aprobatę. Pod koniec sierpnia biegli uznali wyrok za niewystarczająco uzasadniony.

Okazało się, że decyzja ta zawiera rażący błąd, choć w sumie jest słuszna. Wiles nie poddał się, zwrócił się o pomoc do słynnego specjalisty w dziedzinie teorii liczb Richarda Taylora i już w 1994 roku opublikowali poprawiony i rozszerzony dowód twierdzenia. Najbardziej zdumiewające jest to, że praca ta zajęła aż 130 (!) stron w czasopiśmie matematycznym „Annals of Mathematics”. Ale na tym historia się nie skończyła – punkt kulminacyjny nastąpił dopiero w następnym roku, 1995, kiedy opublikowano ostateczną i „idealną” z matematycznego punktu widzenia wersję dowodu.

„...pół minuty po rozpoczęciu uroczystej kolacji z okazji jej urodzin sprezentowałem Nadii rękopis kompletnego dowodu” (Andrew Wales). Czy nie mówiłem już, że matematycy to dziwni ludzie?

Tym razem nie było wątpliwości co do dowodów. Najbardziej wnikliwej analizie poddano dwa artykuły, które ukazały się w maju 1995 roku w Annals of Mathematics.

Od tego momentu minęło już sporo czasu, a w społeczeństwie wciąż panuje opinia, że ​​Ostatnie Twierdzenie Fermata jest nierozwiązywalne. Ale nawet ci, którzy wiedzą o znalezionym dowodzie, nadal pracują w tym kierunku - niewielu jest zadowolonych, że Wielkie Twierdzenie wymaga rozwiązania 130 stron!

Dlatego teraz wysiłki wielu matematyków (głównie amatorów, a nie zawodowych naukowców) rzucane są na poszukiwanie prostego i zwięzłego dowodu, ale ta droga najprawdopodobniej donikąd nie doprowadzi…

źródło

1

Ivliev Yu.A.

Artykuł poświęcony jest opisowi zasadniczego błędu matematycznego popełnionego pod koniec XX wieku w procesie dowodzenia Ostatniego Twierdzenia Fermata. Odkryty błąd nie tylko zniekształca prawdziwe znaczenie twierdzenia, ale także utrudnia rozwój nowego aksjomatycznego podejścia do badania potęg liczb i naturalnego szeregu liczb.

W 1995 roku ukazał się artykuł wielkości książki, opisujący dowód słynnego Wielkiego (Ostatniego) Twierdzenia Fermata (WTF) (historię twierdzenia i próby jego udowodnienia można znaleźć m.in. ). Po tym wydarzeniu ukazało się wiele artykułów naukowych i książek popularnonaukowych promujących ten dowód, jednak żadna z tych prac nie ujawniła w nim zasadniczego błędu matematycznego, który wkradł się nawet nie z winy autora, ale z powodu jakiegoś dziwnego optymizmu, jaki ogarnął badaczy. umysły matematyków, którzy badali ten problem i zagadnienia pokrewne. Aspekty psychologiczne Zjawisko to badano w. Poniżej przedstawiamy szczegółową analizę zaistniałego błędu, który nie ma charakteru prywatnego, ale jest konsekwencją błędnego zrozumienia właściwości potęg liczb całkowitych. Jak pokazano w, problem Fermata jest zakorzeniony w nowym aksjomatycznym podejściu do badania tych własności, które wciąż jest w nowoczesna nauka nie był używany. Na drodze stanął mu jednak błędny dowód, który dostarczył specjalistom teorii liczb fałszywe wytyczne i odprowadził badaczy problemu Fermata od jego bezpośredniego i adekwatnego rozwiązania. Niniejsza praca ma na celu wyeliminowanie tej przeszkody.

1. Anatomia błędu popełnionego podczas dowodu WTF

W procesie bardzo długiego i żmudnego rozumowania pierwotne stwierdzenie Fermata zostało przeformułowane w kategoriach porównania równania diofantycznego p-tego stopnia z krzywymi eliptycznymi trzeciego rzędu (patrz Twierdzenia 0,4 i 0,5 cala). Porównanie to zmusiło autorów praktycznie zbiorowego dowodu do ogłoszenia, że ​​ich metoda i rozumowanie prowadzą do ostatecznego rozwiązania problemu Fermata (przypomnijmy, że WTF nie posiadała uznawanych dowodów na przypadek dowolnych potęg całkowitych liczb całkowitych aż do lat 90. wiek). Celem niniejszych rozważań jest ustalenie błędności matematycznej powyższego porównania i w wyniku analizy znalezienie zasadniczego błędu w przedstawionym dowodzie.

a) Gdzie i jaki jest błąd?

Będziemy więc podążać za tekstem, gdzie na s. 448 jest powiedziane, że po „dowcipnym pomyśle” G. Freya otworzyła się możliwość udowodnienia WTF. W 1984 r. G. Frey zasugerował i

K. Ribet udowodnił później, że rzekoma krzywa eliptyczna reprezentująca hipotetyczne całkowite rozwiązanie równania Fermata

y2 = x(x + ty p)(x - w p) (1)

nie może mieć charakteru modułowego. Jednakże A. Wiles i R. Taylor udowodnili, że każda półstabilna krzywa eliptyczna zdefiniowana na ciele liczb wymiernych jest modułowa. Prowadziło to do wniosku o niemożności rozwiązań całkowitych równania Fermata i w konsekwencji o słuszności twierdzenia Fermata, które w zapisie A. Wilesa zapisano jako Twierdzenie 0.5: niech będzie równość

ty p+ w p+ w p = 0 (2)

Gdzie ty, w, w - liczby wymierne, cały wskaźnik p ≥ 3; wówczas (2) jest spełnione tylko wtedy, gdy uww = 0 .

Teraz najwyraźniej warto cofnąć się i krytycznie zastanowić, dlaczego krzywa (1) była a priori postrzegana jako eliptyczna i jaki jest jej rzeczywisty związek z równaniem Fermata. Uprzedzając to pytanie, A. Wiles odwołuje się do pracy Y. Hellegouarcha, w której znalazł sposób na powiązanie równania Fermata (rozwiązanego zapewne w liczbach całkowitych) z hipotetyczną krzywą trzeciego rzędu. W przeciwieństwie do G. Freya, I. Elleguarche nie łączył swojej krzywej z formami modułowymi, jednakże jego metoda otrzymania równania (1) posłużyła do dalszego pogłębienia dowodu A. Wilesa.

Przyjrzyjmy się bliżej pracy. Autor prowadzi swoje rozumowanie w kategoriach geometrii rzutowej. Upraszczając niektóre jej oznaczenia i dostosowując je do , stwierdzamy, że krzywa abelowa

Y 2 = X(X - β p)(X + γ p) (3)

porównuje się równanie diofantyny

X p+ y p+ z p = 0 (4)

Gdzie X, y, z są nieznanymi liczbami całkowitymi, p jest wykładnikiem całkowitym z (2), a rozwiązania równania diofantyny (4) α p , β p , γ p służą do zapisania krzywej abelowej (3).

Teraz, aby upewnić się, że jest to krzywa eliptyczna trzeciego rzędu, należy wziąć pod uwagę zmienne X i Y w (3) na płaszczyźnie euklidesowej. W tym celu korzystamy ze znanej zasady arytmetyki krzywych eliptycznych: jeśli na sześciennej krzywej algebraicznej znajdują się dwa punkty wymierne i prosta przechodząca przez te punkty przecina tę krzywą w innym punkcie, to ten ostatni również jest punktem wymiernym . Hipotetyczne równanie (4) formalnie reprezentuje prawo dodawania punktów na linii prostej. Jeśli dokonamy zmiany zmiennych X p = A, y p = B, z p = C i poprowadź powstałą prostą wzdłuż osi X w (3), wówczas przetnie ona krzywą III stopnia w trzech punktach: (X = 0, Y = 0), (X = β p, Y = 0) , (X = - γ p, Y = 0), co znajduje odzwierciedlenie w zapisie krzywej abelowej (3) i podobnym zapisie (1). Czy jednak krzywa (3) lub (1) jest rzeczywiście eliptyczna? Oczywiście, że nie, ponieważ odcinki linii euklidesowej dodając na niej punkty, ujmowane są w skali nieliniowej.

Wracając do liniowych układów współrzędnych przestrzeni euklidesowej, zamiast (1) i (3) otrzymujemy wzory bardzo różniące się od wzorów na krzywe eliptyczne. Na przykład (1) może mieć następującą postać:

η 2p = ξ p (ξ p + ty p)(ξ p - w p) (5)

gdzie ξ p = x, η p = y, a odwoływanie się do (1) w tym przypadku w celu wyprowadzenia WTF wydaje się nieuzasadnione. Pomimo, że (1) spełnia pewne kryteria klasy krzywych eliptycznych, to najważniejszym kryterium ma być równanie III stopnia w układ liniowy nie spełnia współrzędnych.

b) Klasyfikacja błędów

Wróćmy więc jeszcze raz do początku rozważań i zobaczmy, jak dochodzimy do wniosku o prawdziwości WTF. Po pierwsze, zakłada się, że istnieje rozwiązanie równania Fermata w dodatnich liczbach całkowitych. Po drugie, rozwiązanie to jest arbitralnie wstawiane do postaci algebraicznej o znanej postaci (krzywa płaska stopnia 3) przy założeniu, że tak otrzymane krzywe eliptyczne istnieją (założenie drugie niepotwierdzone). Po trzecie, skoro inne metody dowodzą, że zbudowana krzywa jest niemodularna, to znaczy, że nie istnieje. Prowadzi to do wniosku: równanie Fermata nie ma rozwiązania całkowitego i dlatego WTF jest poprawny.

W tych argumentach jest jedno słabe ogniwo, które po szczegółowej weryfikacji okazuje się błędem. Błąd ten pojawia się na drugim etapie procesu dowodowego, gdy zakłada się, że hipotetyczne rozwiązanie równania Fermata jest również rozwiązaniem równanie algebraiczne III stopień, opisujący krzywą eliptyczną znanego typu. Samo w sobie takie założenie byłoby uzasadnione, gdyby wskazana krzywa była rzeczywiście eliptyczna. Jak jednak widać z punktu 1a) krzywa ta jest przedstawiona we współrzędnych nieliniowych, co czyni ją „iluzoryczną”, tj. tak naprawdę nie istnieje w liniowej przestrzeni topologicznej.

Teraz musimy jasno sklasyfikować znaleziony błąd. Polega ona na tym, że to, co należy udowodnić, przedstawia się jako argument dowodowy. W logice klasycznej błąd ten nazywany jest „błędnym kołem”. W tym przypadku całkowite rozwiązanie równania Fermata porównuje się (najwyraźniej, prawdopodobnie wyłącznie) z fikcyjną, nieistniejącą krzywą eliptyczną, a następnie cały patos dalszego rozumowania poświęca się na udowodnienie, że otrzymana konkretna krzywa eliptyczna tej postaci z hipotetycznych rozwiązań równania Fermata nie istnieje.

Jak to się stało, że w poważnych pracach matematycznych pominięto tak elementarny błąd? Stało się tak prawdopodobnie dlatego, że obiekty „iluzoryczne” nie były wcześniej badane w matematyce. figury geometryczne określonego typu. Bo kto mógłby być zainteresowany np. fikcyjnym okręgiem otrzymanym z równania Fermata poprzez zastąpienie zmiennych x n/2 = A, y n/2 = B, z n/2 = C? Przecież jego równanie C 2 = A 2 + B 2 nie ma rozwiązań całkowitych dla liczb całkowitych x, y, z i n ≥ 3. W nieliniowych osiach współrzędnych X i Y okrąg taki opisanoby równaniem wg wygląd bardzo podobny do standardowego formularza:

Y 2 = - (X - A)(X + B),

gdzie A i B nie są już zmiennymi, ale konkretnymi liczbami określonymi przez powyższe podstawienie. Jeśli jednak liczbom A i B nadana zostanie pierwotna postać, polegająca na ich charakterze potęgowym, wówczas rzuca się w oczy niejednorodność zapisu czynników po prawej stronie równania. Ta funkcja pomaga odróżnić iluzję od rzeczywistości i przejść od współrzędnych nieliniowych do liniowych. Z drugiej strony, jeśli liczby traktujemy jako operatory przy porównywaniu ich ze zmiennymi, jak na przykład w (1), to oba muszą być wielkościami jednorodnymi, tj. muszą mieć te same stopnie.

Takie rozumienie potęg liczb jako operatorów pozwala także dostrzec, że porównanie równania Fermata z iluzoryczną krzywą eliptyczną nie jest jednoznaczne. Weźmy na przykład jeden z czynników po prawej stronie (5) i rozłóż go na p czynników liniowych, wprowadzając liczbę zespoloną r taką, że r p = 1 (patrz przykład):

ξ p + ty p = (ξ + ty)(ξ + r ty)(ξ + r 2 ty)...(ξ + r p-1 ty) (6)

Wówczas postać (5) można przedstawić jako rozkład liczb zespolonych na czynniki pierwsze według typu tożsamości algebraicznej (6), jednakże jednoznaczność takiego rozkładu w ogólnym przypadku budzi wątpliwości, jak to kiedyś wykazał Kummer .

2. Wnioski

Z poprzedniej analizy wynika, że ​​tzw. arytmetyka krzywych eliptycznych nie jest w stanie rzucić światła na to, gdzie szukać dowodu na WTF. Nawiasem mówiąc, po pracy wypowiedź Fermata, potraktowana jako motto tego artykułu, zaczęła być postrzegana jako historyczny żart lub mistyfikacja. W rzeczywistości jednak okazuje się, że to nie Fermat żartował, ale specjaliści, którzy zebrali się w 1984 roku na sympozjum matematycznym w Oberwolfach w Niemczech, na którym swój dowcipny pomysł przedstawił G. Frey. Konsekwencje tak nieostrożnego stwierdzenia doprowadziły całą matematykę na skraj utraty zaufania publicznego, co zostało szczegółowo opisane w artykule i co z konieczności rodzi kwestię odpowiedzialności instytucji naukowych wobec społeczeństwa. Porównanie równania Fermata z krzywą Freya (1) jest „zamkiem” całego dowodu Wilesa dotyczącego twierdzenia Fermata i jeśli nie ma zgodności pomiędzy krzywą Fermata a modułowymi krzywymi eliptycznymi, to nie ma dowodu.

Ostatnio w Internecie pojawiły się różne doniesienia, że ​​niektórzy wybitni matematycy w końcu rozpracowali dowód Wilesa na twierdzenie Fermata, uzasadniając go w postaci „minimalnego” przeliczenia punktów całkowitych w przestrzeni euklidesowej. Żadna jednak innowacja nie jest w stanie zniweczyć klasycznych wyników uzyskanych już przez ludzkość w matematyce, w szczególności faktu, że choć dowolna liczba porządkowa pokrywa się z jej ilościowym odpowiednikiem, to nie może jej zastąpić w operacjach porównywania liczb ze sobą, a co za tym idzie z nieuniknionego wniosku wynika, że ​​krzywa Freya (1) nie jest początkowo eliptyczna, tj. czyż nie jest to z definicji.

BIBLIOGRAFIA:

1. Ivliev Yu.A. Rekonstrukcja natywnego dowodu Ostatniego Twierdzenia Fermata - United Scientific Journal (sekcja „Matematyka”). kwiecień 2006 nr 7 (167) s. 3-9, zob. także Praci Ługańsk Oddział Międzynarodowej Akademii Informatyzacji. Ministerstwo Edukacji i Nauki Ukrainy. Narodowy Uniwersytet Skhidnoukransky nazwany imieniem. V.Dal. 2006 nr 2 (13) s. 19-25.
2. Ivliev Yu.A. Największe oszustwo naukowe XX wieku: „dowód” ostatniego twierdzenia Fermata – naturalne i Nauka techniczna(sekcja „Historia i metodologia matematyki”). sierpień 2007 nr 4 (30) s. 34-48.
3. Edwards G. (Edwards H.M.) Ostatnie twierdzenie Fermata. Genetyczne wprowadzenie do algebraicznej teorii liczb. Za. z angielskiego edytowany przez B.F.Skubenko. M.: Mir 1980, 484 s.
4. Hellegouarch Y. Points d'ordre 2p h sur les courbes elliptiques - Acta Arithmetica. 1975 XXVI s. 253-263.
5. Wiles A. Modułowe krzywe eliptyczne i ostatnie twierdzenie Fermata - Annals of Mathematics. Maj 1995, w. 141 Seria druga nr 3, s. 443-551.

Link bibliograficzny

Ivliev Yu.A. FAŁSZYWY DOWÓD WILLESA NA OSTATNIE TWIERDZENIE FERMY // Podstawowe badania. – 2008. – nr 3. – s. 13-16;
Adres URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=2763 (data dostępu: 17.03.2020). Zwracamy uwagę na czasopisma wydawane przez wydawnictwo „Akademia Nauk Przyrodniczych”

Sądząc po popularności zapytania „Twierdzenie Fermata - krótki dowód” Ten problem matematyczny naprawdę interesuje wiele osób. Twierdzenie to zostało po raz pierwszy sformułowane przez Pierre'a de Fermata w 1637 r. na krawędzi egzemplarza Arytmetyki, gdzie twierdził, że ma rozwiązanie, które jest zbyt duże, aby zmieściło się na krawędzi.

Pierwszy udany dowód został opublikowany w 1995 roku i był kompletnym dowodem twierdzenia Fermata autorstwa Andrew Wilesa. Zostało to opisane jako „oszałamiający postęp” i doprowadziło Wilesa do otrzymania Nagrody Abela w 2016 roku. Chociaż dowód twierdzenia Fermata został opisany stosunkowo krótko, udowodnił także znaczną część twierdzenia o modułowości i otworzył nowe podejście do wielu innych problemów i skuteczne metody wzrost modułowości. Te osiągnięcia przyspieszyły matematykę o 100 lat. Dowód małego twierdzenia Fermata nie jest dziś niczym niezwykłym.

Nierozwiązany problem stał się bodźcem do rozwoju algebraicznej teorii liczb w XIX wieku i poszukiwań dowodu twierdzenia o modułowości w XX wieku. Jest to jedno z najbardziej znaczących twierdzeń w historii matematyki i przed całkowitym dowodem ostatniego twierdzenia Fermata metodą dzielenia, znalazło się w Księdze Rekordów Guinnessa jako „najtrudniejszy problem matematyczny”, jedna z cech charakterystycznych czyli to, co ma największa liczba nieudany dowód.

Odniesienie historyczne

Równanie Pitagorasa x 2 + y 2 = z 2 ma nieskończoną liczbę dodatnich rozwiązań całkowitych dla x, y i z. Rozwiązania te nazywane są trójcami pitagorejskimi. Około 1637 roku Fermat napisał na krawędzi książki, że bardziej ogólne równanie a n + b n = c n nie ma rozwiązań w liczby naturalne, jeśli n jest liczbą całkowitą większą od 2. Chociaż sam Fermat twierdził, że ma rozwiązanie swojego problemu, nie pozostawił żadnych szczegółów na temat jego dowodu. Elementarny dowód twierdzenia Fermata, podany przez jego twórcę, był raczej jego chełpliwym wynalazkiem. Książka wielkiego francuskiego matematyka została odkryta 30 lat po jego śmierci. Równanie to, zwane Ostatnim Twierdzeniem Fermata, pozostawało nierozwiązane w matematyce przez trzy i pół wieku.

Twierdzenie to ostatecznie stało się jednym z najbardziej zauważalnych nierozwiązanych problemów matematycznych. Próby udowodnienia tego zapoczątkowały znaczący rozwój teorii liczb i z biegiem czasu Ostatnie Twierdzenie Fermata stało się znane jako nierozwiązany problem matematyczny.

Krótka historia dowodów

Jeżeli n = 4, jak udowodnił sam Fermat, wystarczy udowodnić twierdzenie dla indeksów n, które są liczbami pierwszymi. Przez następne dwa stulecia (1637-1839) hipoteza ta została udowodniona tylko dla liczb pierwszych 3, 5 i 7, chociaż Sophie Germain zaktualizowała i udowodniła podejście, które miało zastosowanie do całej klasy liczb pierwszych. W połowie XIX wieku Ernst Kummer rozwinął to i udowodnił twierdzenie dla wszystkich regularnych liczb pierwszych, powodując indywidualną analizę nieregularnych liczb pierwszych. Opierając się na pracy Kummera i wykorzystując wyrafinowane badania komputerowe, inni matematycy byli w stanie rozszerzyć rozwiązanie twierdzenia, starając się objąć wszystkie główne wykładniki aż do czterech milionów, ale dowód dla wszystkich wykładników był nadal niedostępny (co oznacza, że ​​matematycy na ogół rozważali rozwiązanie do twierdzenia niemożliwe, niezwykle trudne lub nieosiągalne przy obecnej wiedzy).

Praca Shimury i Taniyamy

W 1955 roku japońscy matematycy Goro Shimura i Yutaka Taniyama podejrzewali, że istnieje związek między krzywymi eliptycznymi a formami modułowymi, czyli dwoma zupełnie różnymi obszarami matematyki. Znane wówczas jako hipoteza Taniyamy-Shimury-Weila i (ostatecznie) jako twierdzenie o modułowości, istniało samoistnie, bez widocznego związku z ostatnim twierdzeniem Fermata. Było powszechnie uważane za ważne twierdzenie matematyczne samo w sobie, ale uznano je (podobnie jak twierdzenie Fermata) za niemożliwe do udowodnienia. Jednocześnie dowód wielkiego twierdzenia Fermata (metodą dzielenia i zastosowaniem skomplikowanych wzorów matematycznych) przeprowadzono dopiero pół wieku później.

W 1984 roku Gerhard Frey zauważył oczywisty związek pomiędzy tymi dwoma wcześniej niepowiązanymi i nierozwiązanymi problemami. Kompletny dowód na bliskość obu twierdzeń został opublikowany w 1986 roku przez Kena Ribeta, który oparł się na częściowym dowodzie Jean-Pierre'a Serresa, który udowodnił wszystkie z wyjątkiem jednej części, znanej jako „hipoteza epsilon”. Mówiąc najprościej, prace Freya, Serresa i Ribe pokazały, że gdyby można było udowodnić twierdzenie o modułowości przynajmniej dla półstabilnej klasy krzywych eliptycznych, to wcześniej czy później dowód ostatniego twierdzenia Fermata również zostałby odkryty. Każde rozwiązanie, które może zaprzeczyć ostatniemu twierdzeniu Fermata, można również zastosować w celu zaprzeczenia twierdzeniu o modułowości. Jeżeli zatem twierdzenie o modułowości okazałoby się prawdziwe, to z definicji nie może istnieć rozwiązanie sprzeczne z ostatnim twierdzeniem Fermata, czyli należało je wkrótce udowodnić.

Chociaż oba twierdzenia były trudnymi problemami matematycznymi, uważanymi za nierozwiązywalne, prace dwóch Japończyków były pierwszą sugestią, w jaki sposób ostatnie twierdzenie Fermata można rozszerzyć i udowodnić dla wszystkich liczb, a nie tylko niektórych. Dla badaczy, którzy wybrali temat badań, ważny był fakt, że w przeciwieństwie do ostatniego twierdzenia Fermata, twierdzenie o modułowości było głównym aktywnym obszarem badań, dla którego opracowano dowód, a nie tylko historyczną osobliwością, więc czas spędzony praca nad nim mogłaby być uzasadniona z zawodowego punktu widzenia. Jednak ogólny konsensus był taki, że rozwiązanie hipotezy Taniyamy-Shimury było niepraktyczne.

Ostatnie twierdzenie Fermata: dowód Wilesa

Dowiedziawszy się, że Ribet udowodnił poprawność teorii Freya, angielski matematyk Andrew Wiles, który od dzieciństwa interesował się ostatnim twierdzeniem Fermata i miał doświadczenie w pracy z krzywymi eliptycznymi i pokrewnymi polami, postanowił spróbować udowodnić hipotezę Taniyamy-Shimury w celu sprawdzenia udowodnić ostatnie twierdzenie Fermata. W 1993 roku, sześć lat po ogłoszeniu swojego celu, Wilesowi, pracując w tajemnicy nad problemem rozwiązania twierdzenia, udało się udowodnić powiązaną hipotezę, co z kolei pomogło mu udowodnić ostatnie twierdzenie Fermata. Dokument Wilesa miał ogromny rozmiar i zakres.

Wada została odkryta w jednej części jego oryginalnej pracy podczas recenzji naukowej i wymagała kolejnego roku współpracy z Richardem Taylorem w celu wspólnego rozwiązania twierdzenia. W rezultacie ostateczny dowód Wilesa na Ostatnie Twierdzenie Fermata nie trwał długo. W 1995 roku ukazała się ona w znacznie mniejszej skali niż poprzednia praca matematyczna Wilesa, wyraźnie pokazując, że nie mylił się on w swoich wcześniejszych wnioskach na temat możliwości udowodnienia twierdzenia. Osiągnięcie Wilesa było szeroko relacjonowane w prasie popularnej oraz spopularyzowane w książkach i programach telewizyjnych. Pozostałe części hipotezy Taniyamy-Shimury-Weila, które zostały obecnie udowodnione i są znane jako twierdzenie o modułowości, zostały następnie udowodnione przez innych matematyków, którzy opierali się na pracach Wilesa w latach 1996-2001. Za swoje osiągnięcia Wiles został uhonorowany i otrzymał liczne nagrody, w tym Nagrodę Abela 2016.

Dowód Wilesa na ostatnie twierdzenie Fermata jest szczególnym przypadkiem rozwiązania twierdzenia o modułowości dla krzywych eliptycznych. Jest to jednak najsłynniejszy przypadek operacji matematycznej na tak dużą skalę. Wraz z rozwiązaniem twierdzenia Ribeta brytyjski matematyk uzyskał także dowód ostatniego twierdzenia Fermata. Ostatnie twierdzenie Fermata i twierdzenie o modułowości były niemal powszechnie uważane za niemożliwe do udowodnienia współcześni matematycy, ale Andrew Wiles był w stanie wszystko udowodnić świat naukowyże nawet uczeni ludzie są zdolni do popełniania błędów.

Wiles po raz pierwszy ogłosił swoje odkrycie w środę 23 czerwca 1993 r. podczas wykładu w Cambridge zatytułowanego „Formy modułowe, krzywe eliptyczne i reprezentacje Galois”. Jednak we wrześniu 1993 roku stwierdzono, że jego obliczenia zawierały błąd. Rok później, 19 września 1994 r., w czymś, co nazwał „najważniejszym momentem w swoim życiu zawodowym”, Wiles natknął się na odkrycie, które pozwoliło mu skorygować rozwiązanie problemu do punktu, w którym spełniało ono wymogi matematyczne wspólnota.

Charakterystyka pracy

Dowód Andrew Wilesa na twierdzenie Fermata wykorzystuje wiele technik z geometrii algebraicznej i teorii liczb i ma wiele konsekwencji w tych obszarach matematyki. Posługuje się także standardowymi konstrukcjami współczesnej geometrii algebraicznej, takimi jak kategoria schematów i teoria Iwasawy, a także innymi XX-wiecznymi metodami, które nie były dostępne Pierre'owi Fermatowi.

Obydwa artykuły zawierające materiał dowodowy zajmują łącznie 129 stron i zostały napisane w ciągu siedmiu lat. John Coates określił to odkrycie jako jedno z największych osiągnięć teorii liczb, a John Conway nazwał je głównym osiągnięciem matematycznym XX wieku. Wiles, aby udowodnić ostatnie twierdzenie Fermata poprzez udowodnienie twierdzenia o modułowości dla szczególnego przypadku półstabilnych krzywych eliptycznych, opracował skuteczne metody wzrost modułowości i otworzył nowe podejście do wielu innych problemów. Za rozwiązanie ostatniego twierdzenia Fermata otrzymał tytuł szlachecki i inne nagrody. Kiedy rozeszła się wieść, że Wiles zdobył Nagrodę Abela, Norweska Akademia Nauk określiła jego osiągnięcie jako „godne podziwu i elementarny dowód Ostatnie twierdzenie Fermata.”

Jak było

Jedną z osób, która przeanalizowała oryginalny rękopis rozwiązania twierdzenia Wilesa, był Nick Katz. Podczas recenzji zadał Brytyjczykowi szereg wyjaśniających pytań, co zmusiło Wilesa do przyznania, że ​​w jego dziele wyraźnie widać lukę. W jednym krytycznym fragmencie dowodu, w którym oszacowano rząd określonej grupy, wystąpił błąd: system Eulera zastosowany do rozszerzenia metody Kolyvagina i Flacha był niekompletny. Błąd ten nie uczynił jednak jego pracy bezużyteczną – każda część pracy Wilesa była sama w sobie bardzo znacząca i nowatorska, podobnie jak wiele osiągnięć i metod, które stworzył w trakcie swojej pracy i które dotyczyły tylko jednej części rękopis. Jednakże ta oryginalna praca, opublikowana w 1993 r., w rzeczywistości nie dostarczyła dowodu na Ostatnie Twierdzenie Fermata.

Wiles spędził prawie rok, próbując na nowo odkryć rozwiązanie twierdzenia, najpierw sam, a następnie we współpracy ze swoim byłym uczniem Richardem Taylorem, ale wszystko wydawało się daremne. Pod koniec 1993 roku rozeszły się pogłoski, że dowód Wilesa nie przeszedł testów, ale nie było wiadomo, jak poważna była ta awaria. Matematycy zaczęli wywierać presję na Wilesa, aby ujawnił szczegóły swojej pracy, niezależnie od tego, czy została ukończona, czy nie, aby szersza społeczność matematyków mogła zbadać i wykorzystać wszystko, co osiągnął. Zamiast szybko naprawić swój błąd, Wiles odkrył jedynie dodatkowe zawiłości w dowodzie ostatniego twierdzenia Fermata i w końcu zdał sobie sprawę, jakie to było trudne.

Wiles twierdzi, że rankiem 19 września 1994 r. był o krok od poddania się i poddania się i niemal pogodził się z faktem, że mu się nie udało. Był skłonny opublikować swoją niedokończoną pracę, aby inni mogli na niej budować i dowiedzieć się, gdzie popełnił błąd. Angielski matematyk postanowił dać sobie ostatnią szansę i po raz ostatni przeanalizował twierdzenie, próbując zrozumieć główne powody, dla których jego podejście nie zadziałało, gdy nagle zdał sobie sprawę, że podejście Kolyvagina-Flaca nie zadziała, dopóki nie uwzględni również dowodu w proces według teorii Iwasawy, dzięki czemu działa.

6 października Wiles poprosił trzech kolegów (w tym Faltinsa) o sprawdzenie go Nowa praca, a 24 października 1994 roku złożył dwa rękopisy - „Modułowe krzywe eliptyczne i ostatnie twierdzenie Fermata” oraz „Modularne krzywe eliptyczne i ostatnie twierdzenie Fermata” oraz „ Właściwości teoretyczne pierścienie niektórych algebr Heckego”, z których drugi Wiles napisał wspólnie z Taylorem i udowodnił, że zostały spełnione pewne warunki niezbędne do uzasadnienia poprawionego kroku w pracy głównej.

Obydwa artykuły zostały zrecenzowane i ostatecznie opublikowane w formie pełnotekstowej w wydaniu Annals of Mathematics z maja 1995 roku. Nowe obliczenia Andrew zostały szeroko przeanalizowane i ostatecznie zaakceptowane przez społeczność naukową. W pracach tych ustalono twierdzenie o modułowości dla półstabilnych krzywych eliptycznych - ostatni krok do dowodu ostatniego twierdzenia Fermata, 358 lat po jego stworzeniu.

Historia wielkiego problemu

Rozwiązanie tego twierdzenia od wielu stuleci uważane jest za największy problem matematyki. W 1816 i 1850 r Akademia Francuska Nauka przyznała nagrodę za ogólny dowód Ostatniego Twierdzenia Fermata. W 1857 roku Akademia przyznała 3000 franków i złoty medal Kummerowi za badania nad liczbami idealnymi, chociaż nie ubiegał się o nagrodę. Kolejną nagrodę przyznała mu w 1883 roku Akademia Brukselska.

Nagroda Wolfskehla

W 1908 roku niemiecki przemysłowiec i matematyk amator Paul Wolfskehl zapisał 100 000 marek w złocie (duża suma jak na tamte czasy) Akademii Nauk w Getyndze jako nagrodę za kompletny dowód ostatniego twierdzenia Fermata. 27 czerwca 1908 roku Akademia opublikowała dziewięć regulaminów nagród. Zasady te wymagały między innymi publikacji dowodów w recenzowanym czasopiśmie. Nagroda miała zostać przyznana dopiero dwa lata po publikacji. Konkurs miał zakończyć się 13 września 2007 roku, czyli około sto lat po jego rozpoczęciu. 27 czerwca 1997 r. Wiles otrzymał nagrodę pieniężną Wolfschela, a następnie kolejne 50 000 dolarów. W marcu 2016 roku otrzymał od rządu norweskiego 600 000 euro w ramach Nagrody Abela za „zdumiewający dowód na ostatnie twierdzenie Fermata wykorzystujący założenie o modułowości dla półstabilnych krzywych eliptycznych, ujawniający Nowa era w teorii liczb.” Dla skromnego Anglika był to światowy triumf.

Przed dowodem Wilesa twierdzenie Fermata, jak wspomniano wcześniej, przez wieki uważano za całkowicie nierozwiązywalne. Tysiące błędnych dowodów w inny czas zostały przedstawione komisji Wolfskehla i obejmowały około 10 stóp (3 metry) korespondencji. Tylko w pierwszym roku istnienia nagrody (1907-1908) złożono 621 wniosków o rozwiązanie twierdzenia, choć do lat 70. XX w. liczba ta spadła do około 3-4 wniosków miesięcznie. Zdaniem F. Schlichtinga, recenzenta Wolfschela, większość dowodów opierała się na elementarnych metodach nauczanych w szkołach i często były przedstawiane przez „ludzie z wykształceniem technicznym, ale nieudaną karierą”. Według historyka matematyki Howarda Avesa ostatnie twierdzenie Fermata ustanowiło swego rodzaju rekord – jest twierdzeniem z największą liczbą błędnych dowodów.

Laury Fermata powędrowały do ​​Japończyków

Jak wspomniano wcześniej, około 1955 roku japońscy matematycy Goro Shimura i Yutaka Taniyama odkryli możliwe powiązanie między dwiema pozornie zupełnie różnymi gałęziami matematyki - krzywymi eliptycznymi i formami modułowymi. Wynikające z nich twierdzenie o modułowości (znane wówczas jako hipoteza Taniyamy-Shimury) z ich badań stwierdza, że ​​każda krzywa eliptyczna jest modułowa, co oznacza, że ​​można ją powiązać z unikalną formą modułową.

Teorię początkowo odrzucono jako mało prawdopodobną lub wysoce spekulatywną, ale potraktowano ją poważniej, gdy teoretyk liczb Andre Weyl znalazł dowody na poparcie ustaleń Japończyków. W rezultacie hipotezę tę często nazywano hipotezą Taniyamy-Shimury-Weila. Stało się częścią programu Langlands, czyli listy ważnych hipotez wymagających udowodnienia w przyszłości.

Nawet po poważnym rozważeniu hipoteza ta została uznana przez współczesnych matematyków za niezwykle trudną lub być może niemożliwą do udowodnienia. Teraz właśnie to twierdzenie czeka na Andrew Wilesa, który swoim rozwiązaniem mógłby zaskoczyć cały świat.

Twierdzenie Fermata: Dowód Perelmana

Wbrew popularnemu mitowi, rosyjski matematyk Grigorij Perelman, mimo całego swojego geniuszu, nie ma nic wspólnego z twierdzeniem Fermata. Co jednak w niczym nie umniejsza jego licznych zasług dla społeczności naukowej.