- (matematyka) Funkcja y = f (x) jest wywoływana nawet wtedy, gdy nie zmienia się, gdy zmienna niezależna zmienia tylko znak, czyli jeśli f (x) = f (x). Jeśli f (x) = f (x), wówczas funkcję f (x) nazywa się nieparzystą. Na przykład y = cosx, y = x2... ...
F(x) = x jest przykładem funkcji nieparzystej. f(x) = x2 jest przykładem funkcji parzystej. f(x) = x3 ... Wikipedia
Funkcja spełniająca równość f (x) = f (x). Zobacz funkcje parzyste i nieparzyste... Wielka encyklopedia radziecka
F(x) = x jest przykładem funkcji nieparzystej. f(x) = x2 jest przykładem funkcji parzystej. f(x) = x3 ... Wikipedia
F(x) = x jest przykładem funkcji nieparzystej. f(x) = x2 jest przykładem funkcji parzystej. f(x) = x3 ... Wikipedia
F(x) = x jest przykładem funkcji nieparzystej. f(x) = x2 jest przykładem funkcji parzystej. f(x) = x3 ... Wikipedia
F(x) = x jest przykładem funkcji nieparzystej. f(x) = x2 jest przykładem funkcji parzystej. f(x) = x3 ... Wikipedia
Funkcje specjalne wprowadzone przez francuskiego matematyka E. Mathieu w 1868 r. przy rozwiązywaniu problemów dotyczących drgań membrany eliptycznej. M.f. są również wykorzystywane do badania propagacji fal elektromagnetycznych w cylindrze eliptycznym... Wielka encyklopedia radziecka
Żądanie „grzechu” zostaje przekierowane tutaj; zobacz także inne znaczenia. Żądanie „sec” jest przekierowywane tutaj; zobacz także inne znaczenia. Żądanie „Sine” jest przekierowywane tutaj; zobacz także inne znaczenia... Wikipedia
Zależność zmiennej y od zmiennej x, w której każda wartość x odpowiada pojedynczej wartości y, nazywana jest funkcją. Do oznaczenia należy stosować zapis y=f(x). Każda funkcja ma szereg podstawowych właściwości, takich jak monotoniczność, parzystość, okresowość i inne.
Przyjrzyj się bliżej właściwości parzystości.
Funkcja y=f(x) wywoływana jest nawet wtedy, gdy spełnia dwa warunki:
2. Wartość funkcji w punkcie x, należąca do dziedziny definicji funkcji, musi być równa wartości funkcji w punkcie -x. Oznacza to, że dla dowolnego punktu x musi być spełniona równość z dziedziny definicji funkcji: f(x) = f(-x).
Wykres funkcji parzystej
Jeśli narysujesz wykres funkcji parzystej, będzie on symetryczny względem osi Oy.
Na przykład funkcja y=x^2 jest parzysta. Sprawdźmy to. Dziedziną definicji jest cała oś liczbowa, czyli jest ona symetryczna względem punktu O.
Weźmy dowolne x=3. f(x)=3^2=9.
f(-x)=(-3)^2=9. Zatem f(x) = f(-x). Zatem oba warunki są spełnione, co oznacza, że funkcja jest parzysta. Poniżej znajduje się wykres funkcji y=x^2.
Rysunek pokazuje, że wykres jest symetryczny względem osi Oy.
Wykres funkcji nieparzystej
Funkcję y=f(x) nazywamy nieparzystą, jeżeli spełnia dwa warunki:
1. Dziedzina definicji danej funkcji musi być symetryczna względem punktu O. To znaczy, jeśli jakiś punkt a należy do dziedziny definicji funkcji, to odpowiadający mu punkt -a także musi należeć do dziedziny definicji funkcji danej funkcji.
2. Dla dowolnego punktu x musi być spełniona równość z dziedziny definicji funkcji: f(x) = -f(x).
Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem punktu O – początku współrzędnych. Na przykład funkcja y=x^3 jest nieparzysta. Sprawdźmy to. Dziedziną definicji jest cała oś liczbowa, czyli jest ona symetryczna względem punktu O.
Weźmy dowolne x=2. f(x)=2^3=8.
f(-x)=(-2)^3=-8. Zatem f(x) = -f(x). Zatem oba warunki są spełnione, co oznacza, że funkcja jest nieparzysta. Poniżej znajduje się wykres funkcji y=x^3.
Rysunek wyraźnie pokazuje, że funkcja nieparzysta y=x^3 jest symetryczna względem początku.
Powrót do przodu
Uwaga! Podglądy slajdów służą wyłącznie celom informacyjnym i mogą nie odzwierciedlać wszystkich funkcji prezentacji. Jeśli jesteś zainteresowany tą pracą, pobierz pełną wersję.
Cele:
- tworzą pojęcie parzystości i nieparzystości funkcji, uczą umiejętności określania i wykorzystywania tych właściwości, gdy badania funkcji, kreślenie;
- rozwijać kreatywność działalność studencka, logiczne myślenie, umiejętność porównywania, uogólniania;
- kultywuj ciężką pracę i kulturę matematyczną; rozwijać umiejętności komunikacyjne .
Sprzęt: instalacja multimedialna, tablica interaktywna, ulotki.
Formy pracy: frontalna i grupowa z elementami działalności poszukiwawczo-badawczej.
Źródła informacji:
1. Algebra 9. klasy A.G. Mordkovich. Podręcznik.
2. Algebra 9. klasy A.G. Mordkovich. Książka problemowa.
3. Algebra 9. klasa. Zadania służące nauce i rozwojowi uczniów. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.
PODCZAS ZAJĘĆ
1. Moment organizacyjny
Ustalanie celów i zadań lekcji.
2. Sprawdzanie pracy domowej
Nr 10.17 (zeszyt zadań klasy 9. A.G. Mordkovich).
A) Na = F(X), F(X) = 
B) F (–2) = –3; F (0) = –1; F(5) = 69;
c) 1. D( F) = [– 2; + ∞)
2. E( F) = [– 3; + ∞)
3. F(X) = 0 w X ~ 0,4
4. F(X) > 0 o godz X > 0,4 ; F(X)
< 0 при – 2 <
X <
0,4.
5. Funkcja wzrasta wraz z X € [– 2; + ∞)
6. Funkcja jest ograniczona od dołu.
7. Na naim = – 3, Na naib nie istnieje
8. Funkcja jest ciągła.
(Czy użyłeś algorytmu eksploracji funkcji?) Slajd.
2. Sprawdźmy tabelę, o którą zapytano Cię na slajdzie.
| Wypełnij tabelę | |||||
Domena |
Zera funkcji |
Przedziały stałości znaku |
Współrzędne punktów przecięcia wykresu z Oy | ||
 |
x = –5, |
x € (–5;3) U |
x € (–∞;–5) U |
||
 |
x ∞ –5, |
x € (–5;3) U |
x € (–∞;–5) U |
||
x ≠ –5, |
x € (–∞; –5) U |
x € (–5; 2) |
|||
3. Aktualizowanie wiedzy
– Podano funkcje.
– Określ zakres definicji każdej funkcji.
– Porównaj wartość każdej funkcji dla każdej pary wartości argumentów: 1 i – 1; 2 i – 2.
– Dla której z tych funkcji w dziedzinie definicji zachodzą równości F(– X)
= F(X), F(– X) = – F(X)? (wprowadź uzyskane dane do tabeli) Slajd
| F(1) i F(– 1) | F(2) i F(– 2) | grafika | F(– X) = –F(X) | F(– X) = F(X) | ||
| 1. F(X) = | ||||||
| 2. F(X) = X 3 | ||||||
| 3. F(X) = | X | | ||||||
| 4.F(X) = 2X – 3 | ||||||
| 5. F(X) = | X ≠ 0 |
|||||
| 6. F(X)= | X > –1 | i nieokreślony |
– Podczas wykonywania tej pracy, chłopaki, zidentyfikowaliśmy inną właściwość funkcji, nieznaną wam, ale nie mniej ważną niż inne - jest to parzystość i nieparzystość funkcji. Zapisz temat lekcji: „Funkcje parzyste i nieparzyste”, naszym zadaniem jest nauczenie się określania parzystości i nieparzystości funkcji, aby poznać znaczenie tej właściwości w badaniu funkcji i sporządzaniu wykresów.
Znajdźmy zatem definicje w podręczniku i przeczytajmy (s. 110) . Slajd
def. 1 Funkcjonować Na = F (X), zdefiniowany na zbiorze X, nazywa się nawet, jeśli dla dowolnej wartości XЄ X zostanie wykonane równość f(–x)= f(x). Daj przykłady.
def. 2 Funkcjonować y = f(x), zdefiniowany na zbiorze X, nazywa się dziwne, jeśli dla dowolnej wartości XЄ X zachodzi równość f(–х)= –f(х). Daj przykłady.
Gdzie spotkaliśmy terminy „parzysty” i „nieparzysty”?
Jak myślisz, która z tych funkcji będzie parzysta? Dlaczego? Które są dziwne? Dlaczego?
Dla dowolnej funkcji formularza Na= x rz, Gdzie N– liczba całkowita, można argumentować, że funkcja jest nieparzysta, gdy N– nieparzyste i funkcja jest parzysta, gdy N- nawet.
– Zobacz funkcje Na= i Na = 2X– 3 nie są ani parzyste, ani nieparzyste, ponieważ równości nie są spełnione F(– X) = – F(X), F(–
X) = F(X)
Badanie, czy funkcja jest parzysta czy nieparzysta, nazywa się badaniem parzystości funkcji. Slajd
W definicjach 1 i 2 mówiliśmy o wartościach funkcji przy x i – x, tym samym zakłada się, że funkcja jest zdefiniowana także przy wartości X i przy – X.
def 3. Jeśli zestaw liczb wraz z każdym swoim elementem x zawiera także przeciwny element –x, wówczas zbiór X zwany zbiorem symetrycznym.
Przykłady:
(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) są zbiorami symetrycznymi, a , [–5;4] są zbiorami asymetrycznymi.
– Czy nawet funkcje mają dziedzinę definicji, która jest zbiorem symetrycznym? Dziwne?
– Jeśli D( F) jest zbiorem asymetrycznym, to jaka jest funkcja?
– Zatem, jeśli funkcja Na = F(X) – parzysty lub nieparzysty, wówczas jego dziedziną definicji jest D( F) jest zbiorem symetrycznym. Czy prawdziwe jest stwierdzenie odwrotne: jeśli dziedziną definicji funkcji jest zbiór symetryczny, to czy jest ona parzysta czy nieparzysta?
– Oznacza to, że obecność zbioru symetrycznego dziedziny definicji jest warunkiem koniecznym, ale niewystarczającym.
– Jak zatem zbadać funkcję pod kątem parzystości? Spróbujmy stworzyć algorytm.
Slajd
Algorytm badania funkcji parzystości
1. Ustalić, czy dziedzina definicji funkcji jest symetryczna. Jeśli nie, to funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta. Jeśli tak, przejdź do kroku 2 algorytmu.
2. Napisz wyrażenie dla F(–X).
3. Porównaj F(–X).I F(X):
- Jeśli F(–X).= F(X), to funkcja jest parzysta;
- Jeśli F(–X).= – F(X), to funkcja jest nieparzysta;
- Jeśli F(–X) ≠ F(X) I F(–X) ≠ –F(X), to funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.
Przykłady:
Zbadaj funkcję a) pod kątem parzystości Na= x 5 +; B) Na= ; V) Na= .
Rozwiązanie.
a) h(x) = x 5 +,
1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), zbiór symetryczny.
2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),
3) h(– x) = – h (x) => funkcja h(x)= x 5 + nieparzyste.
b) y =,
Na = F(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), zbiór asymetryczny, co oznacza, że funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.
V) F(X) = , y = fa (x),
1) D( F) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?
Opcja 2
1. Czy dany zbiór jest symetryczny: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?
A); b) y = x (5 – x 2).
a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =
Wykres funkcji Na = F(X), Jeśli Na = F(X) jest funkcją parzystą.
Wykres funkcji Na = F(X), Jeśli Na = F(X) jest funkcją nieparzystą.
Wzajemne sprawdzenie slajd.
6. Praca domowa: №11.11, 11.21,11.22;
Dowód geometrycznego znaczenia własności parzystości.
***(Przypisanie opcji Unified State Examination).
1. Funkcja nieparzysta y = f(x) jest zdefiniowana na całej osi liczbowej. Dla dowolnej nieujemnej wartości zmiennej x wartość tej funkcji pokrywa się z wartością funkcji g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Znajdź wartość funkcji h( X) = o godz X = 3.
7. Podsumowanie
Nawet funkcjonować.
Nawet jest funkcją, której znak nie zmienia się wraz ze zmianą znaku X.
X obowiązuje równość F(–X) = F(X). Podpisać X nie ma wpływu na znak y.
Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi współrzędnych (ryc. 1).
Przykłady funkcji parzystych:
y=co X
y = X 2
y = –X 2
y = X 4
y = X 6
y = X 2 + X
Wyjaśnienie:
Weźmy funkcję y = X 2 lub y = –X 2 .
Za dowolną wartość X funkcja jest dodatnia. Podpisać X nie ma wpływu na znak y. Wykres jest symetryczny względem osi współrzędnych. To jest funkcja parzysta.
Dziwna funkcja.
Dziwne jest funkcją, której znak zmienia się wraz ze zmianą znaku X.
Innymi słowy, dla dowolnej wartości X obowiązuje równość F(–X) = –F(X).
Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku (ryc. 2).
Przykłady funkcji nieparzystej:
y= grzech X
y = X 3
y = –X 3
Wyjaśnienie:
Weźmy funkcję y = – X 3 .
Wszystkie znaczenia Na będzie miał znak minus. To jest znak X wpływa na znak y. Jeśli zmienna niezależna jest liczbą dodatnią, to funkcja jest dodatnia, jeśli zmienna niezależna jest dodatnia liczba ujemna, to funkcja jest ujemna: F(–X) = –F(X).
Wykres funkcji jest symetryczny względem początku. To dziwna funkcja.
Własności funkcji parzystych i nieparzystych:
NOTATKA:
Nie wszystkie funkcje są parzyste lub nieparzyste. Istnieją funkcje, które nie podlegają takiej gradacji. Na przykład funkcja root Na = √X nie dotyczy ani funkcji parzystych, ani nieparzystych (rys. 3). Przy wymienianiu właściwości takich funkcji należy podać odpowiedni opis: ani parzysty, ani nieparzysty.
Funkcje okresowe.
Jak wiadomo, okresowość to powtarzanie pewnych procesów w określonych odstępach czasu. Funkcje opisujące te procesy nazywane są funkcje okresowe . Oznacza to, że są to funkcje, na których wykresach znajdują się elementy powtarzające się w określonych odstępach liczbowych.
Konwersja wykresów.
Słowny opis funkcji.
Metoda graficzna.
Graficzna metoda określania funkcji jest najbardziej wizualna i często stosowana w technologii. W analizie matematycznej jako ilustrację stosuje się graficzną metodę określania funkcji.
Wykres funkcji f jest zbiorem wszystkich punktów (x;y) płaszczyzna współrzędnych, gdzie y=f(x), a x „przebiega” przez całą dziedzinę definicji tej funkcji.
Podzbiór płaszczyzny współrzędnych jest wykresem funkcji, jeśli ma ona co najwyżej jeden wspólny punkt od dowolnej linii prostej równoległej do osi Oy.
Przykład. Czy liczby pokazane poniżej są wykresami funkcji?
Zaletą zadania graficznego jest jego przejrzystość. Od razu widać jak funkcja się zachowuje, gdzie rośnie, a gdzie maleje. Z wykresu można od razu dowiedzieć się kilku ważnych cech funkcji.
Ogólnie rzecz biorąc, analityczne i sposoby graficzne przydziały funkcji idą w parze. Praca z formułą pomaga w zbudowaniu wykresu. A wykres często sugeruje rozwiązania, których nawet nie zauważysz we wzorze.
Prawie każdy uczeń zna trzy sposoby definiowania funkcji, które właśnie omówiliśmy.
Spróbujmy odpowiedzieć na pytanie: „Czy istnieją inne sposoby zdefiniowania funkcji?”
Jest taki sposób.
Funkcję można dość jednoznacznie określić słownie.
Na przykład funkcję y=2x można określić za pomocą następującego opisu słownego: każda rzeczywista wartość argumentu x jest powiązana z jej podwójną wartością. Reguła jest ustalona, funkcja jest określona.
Co więcej, można werbalnie określić funkcję, która jest niezwykle trudna, jeśli nie niemożliwa, do zdefiniowania za pomocą wzoru.
Na przykład: każda wartość argumentu naturalnego x jest powiązana z sumą cyfr tworzących wartość x. Na przykład, jeśli x=3, to y=3. Jeśli x=257, to y=2+5+7=14. I tak dalej. Zapisanie tego we wzorze jest problematyczne. Ale znak jest łatwy do wykonania.
Metoda opisu werbalnego jest metodą dość rzadko stosowaną. Ale czasami tak się dzieje.
Jeśli istnieje prawo zgodności jeden do jednego między x i y, to istnieje funkcja. Jakie prawo, w jakiej formie jest wyrażone – formuła, tablica, wykres, słowa – nie zmienia istoty rzeczy.
Rozważmy funkcje, których dziedziny definicji są symetryczne względem początku, tj. dla kazdego X z dziedziny liczby definicyjnej (- X) również należy do domeny definicji. Wśród tych funkcji znajdują się parzyste i nieparzyste.
Definicja. Nazywa się funkcję f nawet, jeśli w ogóle X z jego dziedziny definicji
Przykład. Rozważ funkcję 
Jest równo. Sprawdźmy to.
Dla kazdego X równości są spełnione
Zatem oba warunki są spełnione, co oznacza, że funkcja jest parzysta. Poniżej znajduje się wykres tej funkcji.
Definicja. Nazywa się funkcję f dziwne, jeśli w ogóle X z jego dziedziny definicji 
Przykład. Rozważ funkcję 
To jest dziwne. Sprawdźmy to.
Dziedziną definicji jest cała oś liczbowa, czyli jest ona symetryczna względem punktu (0;0).
Dla kazdego X równości są spełnione
Zatem oba warunki są spełnione, co oznacza, że funkcja jest nieparzysta. Poniżej znajduje się wykres tej funkcji.
Wykresy pokazane na pierwszej i trzeciej figurze są symetryczne względem osi rzędnych, natomiast wykresy pokazane na drugiej i czwartej figurze są symetryczne względem początku układu współrzędnych.
Które z funkcji, których wykresy są pokazane na rysunkach, są parzyste, a które nieparzyste?
