Podano stosunki między głównymi funkcjami trygonometrycznymi - sinus, cosinus, tangens i cotangens formuły trygonometryczne. A ponieważ istnieje wiele połączeń między funkcjami trygonometrycznymi, wyjaśnia to również obfitość formuły trygonometryczne. Link do niektórych formuł funkcje trygonometryczne o tym samym kącie, inne są funkcjami wielu kątów, inne pozwalają obniżyć stopień, czwarte pozwalają wyrazić wszystkie funkcje w postaci stycznej półkąta itp.

W tym artykule wymienimy w kolejności wszystkie podstawowe wzory trygonometryczne, które wystarczą do rozwiązania ogromnej większości problemów trygonometrycznych. Dla ułatwienia zapamiętywania i używania pogrupujemy je według ich przeznaczenia i wprowadzimy do tabel.

Nawigacja po stronach.

Podstawowe tożsamości trygonometryczne

Główny tożsamości trygonometryczne ustawić relację między sinusem, cosinusem, tangensem i cotangensem jednego kąta. Wynikają one z definicji sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa oraz pojęcia okręgu jednostkowego. Pozwalają wyrazić jedną funkcję trygonometryczną za pomocą dowolnej innej.

Szczegółowy opis tych wzorów trygonometrycznych, ich wyprowadzenie i przykłady zastosowania można znaleźć w artykule.

Formuły odlewane




Formuły odlewane wynikają z własności sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa, czyli odzwierciedlają własność periodyczności funkcji trygonometrycznych, własność symetrii, a także własność przesunięcia o zadany kąt. Te wzory trygonometryczne pozwalają przejść od pracy z dowolnymi kątami do pracy z kątami od zera do 90 stopni.

W artykule można zapoznać się z uzasadnieniem dla tych formuł, mnemoniczną zasadą ich zapamiętywania oraz przykładami ich zastosowania.

Formuły dodawania

Wzory trygonometryczne dodawania pokazać, w jaki sposób funkcje trygonometryczne sumy lub różnicy dwóch kątów są wyrażone w kategoriach funkcji trygonometrycznych tych kątów. Wzory te służą jako podstawa do wyprowadzenia następujących wzorów trygonometrycznych.

Formuły dla podwójnych, potrójnych itp. narożnik



Formuły dla podwójnych, potrójnych itp. kąt (są one również nazywane formułami wielu kątów) pokazują, w jaki sposób funkcje trygonometryczne podwójne, potrójne itp. kąty () są wyrażone w funkcjach trygonometrycznych pojedynczego kąta. Ich wyprowadzenie opiera się na wzorach dodawania.

Bardziej szczegółowe informacje są gromadzone w formułach artykułów dla podwójnych, potrójnych itp. kąt .

Wzory półkątowe

Wzory półkątowe pokaż, jak funkcje trygonometryczne półkąta są wyrażone w postaci cosinusa kąta całkowitego. Te wzory trygonometryczne wynikają z wzorów podwójnego kąta.

Ich wnioski i przykłady zastosowania można znaleźć w artykule.

Formuły redukcyjne


Wzory trygonometryczne na malejące stopnie są zaprojektowane w celu ułatwienia przejścia od naturalnych potęg funkcji trygonometrycznych do sinusów i cosinusów w pierwszym stopniu, ale pod różnymi kątami. Innymi słowy, pozwalają zredukować potęgi funkcji trygonometrycznych do pierwszej.

Wzory na sumę i różnicę funkcji trygonometrycznych


główny cel wzory na sumę i różnicę dla funkcji trygonometrycznych jest przejście do iloczynu funkcji, co jest bardzo przydatne przy upraszczaniu wyrażenia trygonometryczne. Te formuły są również szeroko stosowane w rozwiązywaniu równania trygonometryczne, ponieważ pozwalają na faktoryzację sumy i różnicy sinusów i cosinusów.

Wzory na iloczyn sinusów, cosinusów i sinus przez cosinus


Przejście od iloczynu funkcji trygonometrycznych do sumy lub różnicy odbywa się za pomocą wzorów na iloczyn sinusów, cosinusów i sinusa po cosinusie.

Uniwersalne podstawienie trygonometryczne

Przegląd podstawowych wzorów trygonometrii uzupełniamy wzorami wyrażającymi funkcje trygonometryczne w postaci tangensa półkąta. Ten zamiennik nazywa się uniwersalne podstawienie trygonometryczne. Jego wygoda polega na tym, że wszystkie funkcje trygonometryczne są wyrażone w postaci stycznej półkąta racjonalnie bez pierwiastków.

Bibliografia.

  • Algebra: Proc. na 9 komórek. śr. szkoła / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Wyd. S. A. Telyakovsky.- M.: Oświecenie, 1990.- 272 s.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
  • Bashmakov M.I. Algebra i początek analizy: Proc. na 10-11 komórek. śr. szkoła - 3 wyd. - M.: Oświecenie, 1993. - 351 s.: ch. - ISBN 5-09-004617-4.
  • Algebra i początek analizy: Proc. na 10-11 komórek. ogólne wykształcenie instytucje / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i inni; Wyd. A. N. Kolmogorova.- 14. wyd.- M.: Oświecenie, 2004.- 384 s.: il.- ISBN 5-09-013651-3.
  • Gusiew V.A., Mordkovich A.G. Matematyka (podręcznik dla kandydatów do szkół technicznych): Proc. dodatek.- M.; Wyższy szkoła, 1984.-351 s., il.

Prawa autorskie autorstwa sprytnych studentów

Wszelkie prawa zastrzeżone.
Chronione prawem autorskim. Żadna część witryny, w tym materiały wewnętrzne i projekty zewnętrzne, nie mogą być powielane w jakiejkolwiek formie ani wykorzystywane bez uprzedniej pisemnej zgody właściciela praw autorskich.

Równania trygonometryczne .

Najprostsze równania trygonometryczne .

Metody rozwiązywania równań trygonometrycznych.

Równania trygonometryczne. Równanie zawierające nieznane pod nazywa się znak funkcji trygonometrycznej trygonometryczny.

Najprostsze równania trygonometryczne.



Metody rozwiązywania równań trygonometrycznych. Rozwiązanie równania trygonometrycznego składa się z dwóch etapów: transformacja równaniażeby to było proste typ (patrz wyżej) i rozwiązanieuzyskany najprostszy równanie trygonometryczne. Tam jest siedem podstawowe metody rozwiązywania równań trygonometrycznych.

1. Metoda algebraiczna. Ta metoda jest nam dobrze znana z algebry

(zmienna metoda substytucji i substytucji).

2. Faktoryzacja. Spójrzmy na tę metodę na przykładach.

PRZYKŁAD 1. Rozwiąż równanie: grzech x+ cos x = 1 .

Rozwiązanie Przesuń wszystkie wyrazy równania w lewo:

Grzech x+ cos x – 1 = 0 ,

Przekształćmy i rozczłonkujmy wyrażenie w

Lewa strona równania:

Przykład 2. Rozwiąż równanie: sałata 2 x+ grzech x sałata x = 1.

ROZWIĄZANIE cos 2 x+ grzech x sałata x– grzech 2 x– cos 2 x = 0 ,

Grzech x sałata x– grzech 2 x = 0 ,

Grzech x(sałata x– grzech x ) = 0 ,

Przykład 3. Rozwiąż równanie: bo 2 x– cos 8 x+ cos 6 x = 1.

ROZWIĄZANIE cos 2 x+ cos 6 x= 1 + cos8 x,

2 co 4 x bo 2 x= 2 cos² 4 x ,

Cos 4 x · (cos 2 x– cos 4 x) = 0 ,

Cos 4 x 2 grzech 3 x grzech x = 0 ,

jeden). bo 4 x= 0 , 2). grzech 3 x= 0 , 3). grzech x = 0 ,

3.

Przesyłanie do równanie jednorodne. Równanie nazywa jednorodny od stosunkowo grzech oraz sałata , jeśli wszystko warunki tego samego stopnia w odniesieniu do grzech oraz sałata ten sam kąt. Aby rozwiązać równanie jednorodne, potrzebujesz:

a) przenieść wszystkie jego członków na lewą stronę;

b) usunąć wszystkie wspólne czynniki z nawiasów;

w) przyrównać wszystkie czynniki i nawiasy do zera;

G) nawiasy ustawione na zero daj jednorodne równanie mniejszego stopnia, które należy podzielić przez

sałata(lub grzech) w stopniu starszym;

d) rozwiąż wynikowy równanie algebraiczne stosunkowodębnik .

PRZYKŁAD Rozwiąż równanie: 3 grzech 2 x+ 4 grzechy x sałata x+ 5 cos 2 x = 2.

Rozwiązanie: 3sin 2 x+ 4 grzechy x sałata x+ 5 co 2 x= 2 grzech 2 x+ 2 co 2 x ,

Grzech 2 x+ 4 grzechy x sałata x+ 3 co 2 x = 0 ,

Opalenizna 2 x+ 4tan x + 3 = 0 , stąd tak 2 + 4tak +3 = 0 ,

Korzenie tego równania to:tak 1 = - 1, tak 2 = - 3, stąd

1) tan x= –1, 2) tan x = –3,

4. Przejście do połowy narożnika. Spójrzmy na tę metodę na przykładzie:

PRZYKŁAD Rozwiąż równanie: 3 grzech x– 5cos x = 7.

Rozwiązanie: 6 grzechów ( x/ 2) cos( x/ 2) – 5 cos² ( x/ 2) + 5 grzechów² ( x/ 2) =

7 grzech² ( x/ 2) + 7 cos² ( x/ 2) ,

2 grzech² ( x/ 2) – 6 grzechów ( x/ 2) cos( x/ 2) + 12 cos² ( x/ 2) = 0 ,

opalenizna²( x/ 2) – 3 opalenizny ( x/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Wprowadzenie kąta pomocniczego. Rozważ równanie postaci:

a grzech x + b sałata x = c ,

Gdzie a, b, c– współczynniki;x- nieznany.

Teraz współczynniki równania mają właściwości sinusa i cosinusa, mianowicie: moduł (wartość bezwzględna) każdego

Główne metody rozwiązywania równań trygonometrycznych to: sprowadzanie równań do najprostszych (przy użyciu wzorów trygonometrycznych), wprowadzanie nowych zmiennych, faktoring. Rozważmy ich zastosowanie na przykładach. Zwróć uwagę na rejestrację rozwiązania równań trygonometrycznych.

Warunkiem koniecznym do pomyślnego rozwiązania równań trygonometrycznych jest znajomość wzorów trygonometrycznych (temat 13 pracy 6).

Przykłady.

1. Równania redukujące do najprostszego.

1) Rozwiąż równanie

Rozwiązanie:

Odpowiadać:

2) Znajdź pierwiastki równania

(sinx + cosx) 2 = 1 - sinxcosx, należące do segmentu.

Rozwiązanie:

Odpowiadać:

2. Równania redukujące do równań kwadratowych.

1) Rozwiąż równanie 2 sin 2 x - cosx -1 = 0.

Rozwiązanie: Za pomocą formuła grzechu 2 x \u003d 1 - cos 2 x, otrzymujemy

Odpowiadać:

2) Rozwiąż równanie cos 2x = 1 + 4 cosx.

Rozwiązanie: Korzystając ze wzoru cos 2x = 2 cos 2 x - 1, otrzymujemy

Odpowiadać:

3) Rozwiąż równanie tgx - 2ctgx + 1 = 0

Rozwiązanie:

Odpowiadać:

3. Równania jednorodne

1) Rozwiąż równanie 2sinx - 3cosx = 0

Rozwiązanie: Niech cosx = 0, potem 2sinx = 0 i sinx = 0 - sprzeczność z tym, że sin 2 x + cos 2 x = 1. Czyli cosx ≠ 0 i możesz podzielić równanie przez cosx. Dostać

Odpowiadać:

2) Rozwiąż równanie 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

Rozwiązanie:

Używając wzorów 1 = sin 2 x + cos 2 x i sin 2x = 2 sinxcosx, otrzymujemy

sin2x + cos2x + 7cos2x = 6sinxcosx
sin2x - 6sinxcosx+ 8cos2x = 0

Niech cosx = 0, potem sin 2 x = 0 i sinx = 0 - sprzeczność z tym, że sin 2 x + cos 2 x = 1.
Czyli cosx ≠ 0 i możemy podzielić równanie przez cos 2 x . Dostać

tg 2x – 6 tgx + 8 = 0
Oznacz tgx = y
r 2 – 6 r + 8 = 0
y1 = 4; y2=2
a) tanx = 4, x= arctg4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x= arctg2 + 2 k, k .

Odpowiadać: arctg4 + 2 k, arctan2 + 2 k, k

4. Równania postaci a sinx + b cosx = z, z≠ 0.

1) Rozwiąż równanie.

Rozwiązanie:

Odpowiadać:

5. Równania rozwiązane przez faktoryzację.

1) Rozwiąż równanie sin2x - sinx = 0.

Pierwiastek równania f (X) = φ ( X) może służyć tylko jako liczba 0. Sprawdźmy to:

cos 0 = 0 + 1 - równość jest prawdziwa.

Liczba 0 jest jedynym pierwiastkiem tego równania.

Odpowiadać: 0.

Twoja prywatność jest dla nas ważna. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Przeczytaj naszą politykę prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do zidentyfikowania konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie, gdy się z nami skontaktujesz.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić oraz sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

  • Kiedy przesyłasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym imię i nazwisko, numer telefonu, adres E-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

  • Zebrane przez nas informacje osobiste pozwala nam kontaktować się z Tobą i informować o wyjątkowych ofertach, promocjach i innych wydarzeniach oraz nadchodzących wydarzeniach.
  • Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe, aby wysyłać Ci ważne powiadomienia i wiadomości.
  • Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różne badania w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i udzielania rekomendacji dotyczących naszych usług.
  • Jeśli weźmiesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnym programie motywacyjnym, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje do administrowania takimi programami.

Ujawnianie osobom trzecim

Nie ujawniamy informacji otrzymanych od Ciebie stronom trzecim.

Wyjątki:

  • W razie potrzeby - zgodnie z prawem, nakazem sądowym, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków ze strony agencje rządowe na terytorium Federacji Rosyjskiej - ujawniać swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli ustalimy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub z innych względów interesu publicznego.
  • W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane przez nas dane osobowe odpowiedniemu następcy strony trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – w celu ochrony Twoich danych osobowych przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także przed nieautoryzowanym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Zachowanie prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo danych osobowych, informujemy naszych pracowników o praktykach dotyczących prywatności i bezpieczeństwa oraz ściśle egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.


Przykłady:

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

Jak rozwiązywać równania trygonometryczne:

Każde równanie trygonometryczne należy zredukować do jednego z następujących typów:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

gdzie \(t\) to wyrażenie z x, \(a\) to liczba. Takie równania trygonometryczne nazywają się pierwotniaki. Można je łatwo rozwiązać za pomocą () lub specjalnych formuł:


Zobacz infografiki na temat rozwiązywania prostych równań trygonometrycznych tutaj: , i .

Przykład . Rozwiąż równanie trygonometryczne \(\sin⁡x=-\)\(\frac(1)(2)\).
Rozwiązanie:

Odpowiadać: \(\left[ \begin(zebrane)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(zebrane)\right.\) \(k,n∈Z\)

Co oznacza każdy symbol we wzorze na pierwiastki równań trygonometrycznych, patrz.

Uwaga! Równania \(\sin⁡x=a\) i \(\cos⁡x=a\) nie mają rozwiązań, jeśli \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). Ponieważ sinus i cosinus dla dowolnego x jest większy lub równy \(-1\) i mniejszy lub równy \(1\):

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

Przykład . Rozwiąż równanie \(\cos⁡x=-1,1\).
Rozwiązanie: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Odpowiadać : brak rozwiązań.


Przykład . Rozwiąż równanie trygonometryczne tg\(⁡x=1\).
Rozwiązanie:

Rozwiąż równanie za pomocą koła liczbowego. Dla tego:
1) Zbudujmy okrąg)
2) Skonstruuj osie \(x\) i \(y\) oraz oś stycznych (przechodzi przez punkt \((0;1)\) równoległy do ​​osi \(y\)).
3) Na osi stycznych zaznacz punkt \(1\).
4) Połącz ten punkt i początek - linią prostą.
5) Zwróć uwagę na punkty przecięcia tej prostej i kółka z cyframi.
6)Podpiszmy wartości tych punktów: \(\frac(π)(4)\) ,\(\frac(5π)(4)\)
7) Zapisz wszystkie wartości tych punktów. Ponieważ są one dokładnie \(π\) od siebie, wszystkie wartości można zapisać w jednym wzorze:
Odpowiadać: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πk\), \(k∈Z\).

Przykład . Rozwiąż równanie trygonometryczne \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\).
Rozwiązanie:


Użyjmy ponownie kółka z cyframi.
1) Skonstruujmy okrąg, osie \(x\) i \(y\).
2) Na osi cosinus (oś \(x\)) zaznacz \(0\).
3) Narysuj prostopadłą do osi cosinusa przez ten punkt.
4) Zaznacz punkty przecięcia prostopadłej i okręgu.
5) Podpiszmy wartości tych punktów: \(-\) \(\frac(π)(2)\),\(\frac(π)(2)\).
6) Zapiszmy całą wartość tych punktów i przyrównajmy je do cosinusa (z tym, co jest wewnątrz cosinusa).

\(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\)

\(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\)

8) Jak zwykle wyrazimy \(x\) w równaniach.
Pamiętaj, aby traktować liczby za pomocą \(π\) oraz \(1\), \(2\), \(\frac(1)(4)\), itd. To te same liczby, co wszystkie inne. Brak dyskryminacji numerycznej!

\(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\)
\(3x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(3x=-\)\(\frac(3π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\)
\(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\)\(+\)\(\frac(2πk)(3)\)
Odpowiadać: \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) , \(k∈Z\).

Redukcja równań trygonometrycznych do najprostszych jest zadaniem twórczym, tutaj do rozwiązywania równań musisz użyć obu i specjalnych metod:
- Metoda (najpopularniejsza na egzaminie).
- Metoda.
- Metoda argumentów pomocniczych.


Rozważ przykład rozwiązania równania trygonometrycznego kwadratowego

Przykład . Rozwiąż równanie trygonometryczne \(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)
Rozwiązanie:

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)

Dokonajmy zmiany \(t=\cos⁡x\).

Nasze równanie stało się typowe. Możesz to rozwiązać za pomocą .

\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)

\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)

Dokonujemy wymiany.

\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)

Pierwsze równanie rozwiązujemy za pomocą koła liczbowego.
Drugie równanie nie ma rozwiązań, ponieważ \(\cos⁡x∈[-1;1]\) i nie może być równe dwóm dla dowolnego x.

Zapiszmy wszystkie liczby leżące w tych punktach.
Odpowiadać: \(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\).

Przykład rozwiązania równania trygonometrycznego z badaniem ODZ:

Przykład (UŻYJ) . Rozwiąż równanie trygonometryczne \(=0\)

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)

Jest ułamek i jest cotangens - więc musisz zapisać. Przypomnę, że cotangens jest w rzeczywistości ułamkiem:

ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\)

Dlatego DPV dla ctg\(x\): \(\sin⁡x≠0\).

ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\sin⁡x≠0\)

\(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\)

Zwróć uwagę na „nie-rozwiązania” na kółku z cyframi.

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)

 Pozbądźmy się mianownika w równaniu, mnożąc go przez ctg\(x\). Możemy to zrobić, ponieważ napisaliśmy powyżej, że ctg\(x ≠0\).

\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)

Zastosuj wzór podwójnego kąta dla sinusa: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).

\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)

Jeśli twoje ręce sięgnęły, aby podzielić przez cosinus - odciągnij je! Możesz podzielić przez wyrażenie ze zmienną, jeśli na pewno nie jest równe zero (na przykład: \(x^2+1,5^x\)). Zamiast tego bierzemy \(\cos⁡x\) z nawiasów.

\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)

Podzielmy równanie na dwie części.

\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)

Pierwsze równanie rozwiązujemy za pomocą koła liczbowego. Podziel drugie równanie przez \(2\) i przesuń \(\sin⁡x\) na prawą stronę.

\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sin⁡x\)

Korzenie, które się okazały, nie są uwzględnione w ODZ. Dlatego nie będziemy ich spisywać w odpowiedzi.
Drugie równanie jest typowe. Podziel przez \(\sin⁡x\) (\(\sin⁡x=0\) nie może być rozwiązaniem równania, ponieważ w tym przypadku \(\cos⁡x=1\) lub \(\cos⁡ x =-1\)).

Ponownie używamy koła.


\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)

Te korzenie nie są wykluczone przez ODZ, więc można je zapisać jako odpowiedź.
Odpowiadać: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\).