Ranga matrycy

Definicja 1

Mówi się, że układ wierszy/kolumn macierzy jest liniowo niezależny, jeśli żaden z tych wierszy (żadna z tych kolumn) nie jest wyrażona liniowo w postaci innych wierszy/kolumn.

Rząd systemu wierszy/kolumn pewnej macierzy $A=\left(a_(ij) \right)_(m\times n) $ to największa liczba liniowo niezależnych wierszy/kolumn.

Ranga systemu kolumnowego jest zawsze zgodna z rangą systemu wierszowego. Ranga ta nazywana jest rangą danej macierzy.

Rząd macierzy to maksimum rzędów mniejszych danej macierzy, dla których wyznacznik jest różny od zera.

Do wskazania rangi macierzy stosuje się następujące oznaczenia: $rangA$, $rgA$, $rankA$.

Ranga macierzy ma następujące właściwości:

  1. Dla macierzy zerowej stopień macierzy wynosi zero, dla pozostałych ranga jest liczbą dodatnią.
  2. Rząd macierzy prostokątnej rzędu $m\razy n$ nie jest większy od mniejszej z liczby wierszy lub kolumn tej macierzy, tj. $0\le rang\le \min (m,n)$.
  3. W przypadku nieosobliwej macierzy kwadratowej pewnego rzędu rząd tej macierzy pokrywa się z rzędem danej macierzy.
  4. Wyznacznik macierzy kwadratowej pewnego rzędu, mającej rząd mniejszy od rzędu macierzy, równy zero.

Istnieją dwa sposoby znalezienia rangi macierzy:

  • granica za pomocą wyznaczników i drugorzędnych (metoda krawędziowa);
  • poprzez elementarne przekształcenia.

Algorytm metody krawędziowej obejmuje:

  1. W przypadku, gdy wszystkie niepełnoletnie pierwszego rzędu są równe zeru, mamy rangę rozważanej macierzy równą zeru.
  2. W przypadku, gdy przynajmniej jeden z małoletnich pierwszego rzędu nie jest równy zero, a wszystkie niepełnoletnie drugiego rzędu są równe zero, rząd macierzy jest równy 1.
  3. W przypadku, gdy choć jeden z małoletnich drugiego rzędu nie jest równy zero, bada się nieletnich trzeciego rzędu. W rezultacie znajduje się molle rzędu $k$ i sprawdza się, czy minory rzędu $k+1$ są równe zeru. Jeśli wszystkie niepełnoletnie rzędu $k+1$ są równe zeru, to ranga macierzy jest równa $k$.

Jak określić rangę macierzy: przykłady

Przykład 1

Rozwiązanie:

Należy pamiętać, że ranga oryginalnej macierzy nie może być większa niż 3.

Wśród nieletnich pierwszego rzędu znajdują się molle, które nie są równe zeru, na przykład $M_(1) =\left|-2\right|=-2$. Weźmy pod uwagę nieletnich drugiego rzędu.

$M_(2) =\left|\begin(array)(cc) (-2) & (1) \\ (1) & (0) \end(array)\right|=-2\cdot 0-1 \cdot 1=0-1=-1\ne 0$

$M_(3) =\left|\begin(array)(ccc) (-2) i (1) i (4) \\ (1) i (0) i (3) \\ (1) i (2) ) i (3) \end(array)\right|=-2\cdot 0\cdot 3+1\cdot 3\cdot 1+1\cdot 2\cdot 4-1\cdot 0\cdot 4-1\cdot 1\cdot 3-2\cdot 3\cdot (-2)=3+8-0-3+12=20\ne 0$

Zatem ranga omawianej macierzy wynosi 3.

Przykład 2

Określ rząd macierzy $A=\left(\begin(array)(ccccc) (1) & (2) & (3) & (0) & (1) \\ (0) & (1) & ( 2) i (3) i (4) \\ (2) i (3) i (1) i (4) i (5) \\ (0) i (0) i (0) i (0) & ( 0) \ koniec(tablica)\prawo)$.

Rozwiązanie:

Należy pamiętać, że ranga oryginalnej macierzy nie może być większa niż 4 (4 wiersze, 5 kolumn).

Wśród nieletnich pierwszego rzędu znajdują się jedynki niezerowe, na przykład $M_(1) =\left|1\right|=1$. Weźmy pod uwagę nieletnich drugiego rzędu.

$M_(2) =\left|\begin(array)(cc) (1) i (2) \\ (0) & (1) \end(array)\right|=1\cdot 1-0\cdot 2=1-0=1\ne 0$

Dokonajmy granicy molla drugiego rzędu i otrzymajmy molla trzeciego rzędu.

$M_(3) =\left|\begin(array)(ccc) (1) i (2) i (3) \\ (0) i (1) i (2) \\ (2) i (3) & (1) \end(array)\right|=1\cdot 1\cdot 1+2\cdot 2\cdot 2+0\cdot 3\cdot 3-2\cdot 1\cdot 3-0\cdot 1\ cdot 2-2\cdot 3\cdot 1=1+8+0-6-0-6=-3\ne 0$

Dokonajmy krawędzi moll trzeciego rzędu i otrzymamy moll czwartego rzędu.

$M_(4) =\left|\begin(array)(cccc) (1) i (2) i (3) i (0) \\ (0) i (1) i (2) i (3) \ \ (2) & (3) & (1) & (4) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \end(array)\right|=0$ (zawiera ciąg zerowy)

$M_(5) =\left|\begin(array)(cccc) (1) i (2) i (3) i (1) \\ (0) i (1) i (2) i (4) \ \ (2) & (3) & (1) & (5) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \end(array)\right|=0$ (zawiera ciąg zerowy)

Wszystkie niepełnoletnie czwartego rzędu macierzy są równe zeru, dlatego ranga omawianej macierzy wynosi 3.

Znalezienie rangi macierzy poprzez przekształcenia elementarne sprowadza się do sprowadzenia macierzy do postaci diagonalnej (krokowej). Ranga macierzy otrzymana w wyniku przekształceń jest równa liczbie niezerowych elementów diagonalnych.

Przykład 3

Określ rząd macierzy $A=\left(\begin(array)(ccc) (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (0) & (3) \\ (1) & (2 ) & (3) \end(tablica)\right)$.

Rozwiązanie:

Zamieńmy pierwszy i drugi wiersz macierzy A:

$A=\left(\begin(tablica)(ccc) (-2) i (1) i (4) \\ (1) i (0) i (3) \\ (1) i (2) & ( 3) \end(tablica)\right)\sim \left(\begin(tablica)(ccc) (1) i (0) i (3) \\ (-2) i (1) i (4) \\ (1) i (2) i (3) \end(tablica)\right)$

Pomnóżmy pierwszy wiersz macierzy B przez liczbę 2 i dodajmy do drugiego wiersza:

$\left(\begin(tablica)(ccc) (1) i (0) i (3) \\ (-2) i (1) i (4) \\ (1) i (2) i (3) \end(tablica)\right)\sim \left(\begin(tablica)(ccc) (1) i (0) i (3) \\ (0) i (1) i (10) \\ (1) & (2) & (3) \end(tablica)\right)$

Pomnóżmy pierwszy wiersz macierzy C przez liczbę -1 i dodajmy do trzeciego wiersza:

$\left(\begin(tablica)(ccc) (1) i (0) i (3) \\ (0) i (1) i (10) \\ (1) i (2) i (3) \ end(tablica)\right)\sim \left(\begin(tablica)(ccc) (1) i (0) i (3) \\ (0) i (1) i (10) \\ (0) & (2) & (0) \end(array)\right)$

Pomnóżmy drugi wiersz macierzy D przez liczbę -2 i dodajmy do trzeciego wiersza:

$\left(\begin(tablica)(ccc) (1) i (0) i (3) \\ (0) i (1) i (10) \\ (0) i (2) i (0) \ end(tablica)\right)\sim \left(\begin(tablica)(ccc) (1) i (0) i (3) \\ (0) i (1) i (10) \\ (0) & (0) & (-20) \end(tablica)\right)$

$\left(\begin(tablica)(ccc) (1) i (0) i (3) \\ (0) i (1) i (10) \\ (0) i (0) i (-20) \end(array)\right)$ - macierz rzutowa

Liczba niezerowych elementów diagonalnych wynosi 3, stąd $rang=3$.

Dowolna matryca A zamówienie m×n można uznać za zbiór M wektory ciągów lub N wektory kolumnowe.

Ranga matryce A zamówienie m×n jest maksymalną liczbą liniowo niezależnych wektorów kolumnowych lub wektorów wierszowych.

Jeśli ranga macierzy A równa się R, wtedy jest napisane:

Znalezienie rangi macierzy

Pozwalać A macierz dowolnego rzędu M× N. Aby znaleźć rząd macierzy A Stosujemy do tego metodę eliminacji Gaussa.

Należy pamiętać, że jeśli na pewnym etapie eliminacji element wiodący jest równy zero, to zamieniamy tę linię z linią, w której element wiodący jest różny od zera. Jeśli okaże się, że nie ma takiej linii, przejdź do następnej kolumny itp.

Po procesie eliminacji Gaussa w przód otrzymujemy macierz, której elementy pod główną przekątną są równe zero. Ponadto mogą istnieć wektory o zerowym rzędzie.

Liczba niezerowych wektorów wierszowych będzie rzędem macierzy A.

Spójrzmy na to wszystko na prostych przykładach.

Przykład 1.

Mnożąc pierwszą linię przez 4 i dodając do drugiej linii, a następnie mnożąc pierwszą linię przez 2 i dodając do trzeciej linii, otrzymujemy:

Pomnóż drugą linię przez -1 i dodaj ją do trzeciej linii:

Otrzymaliśmy dwa niezerowe wiersze i dlatego ranga macierzy wynosi 2.

Przykład 2.

Znajdźmy rząd następującej macierzy:

Pomnóż pierwszą linię przez -2 i dodaj ją do drugiej linii. Podobnie resetujemy elementy trzeciego i czwartego wiersza pierwszej kolumny:

Zresetujmy elementy trzeciego i czwartego wiersza drugiej kolumny, dodając odpowiednie wiersze do drugiego wiersza pomnożone przez liczbę -1.

Przez elementarne przekształcenia wierszy (kolumn) macierzy rozumiemy następujące działania:

  1. Zmiana położenia dwóch wierszy (kolumn).
  2. Mnożenie wszystkich elementów wiersza (kolumny) przez określoną liczbę $a\neq 0$.
  3. Suma wszystkich elementów jednego wiersza (kolumny) z odpowiednimi elementami innego wiersza (kolumny), pomnożona przez określoną liczbę rzeczywistą.

Jeśli zastosujemy elementarną transformację do wierszy lub kolumn macierzy $A$, otrzymamy nową macierz $B$. W tym przypadku $\rang(A)=\rang(B)$, tj. przekształcenia elementarne nie zmieniają rangi macierzy.

Jeżeli $\rang A=\rang B$, to wywoływane są macierze $A$ i $B$ równowartość. Fakt, że macierz $A$ jest równoważna macierzy $B$ zapisuje się następująco: $A\sim B$.

Często stosuje się także zapis: $A\rightarrow B$, co oznacza, że ​​macierz $B$ otrzymuje się z macierzy $A$ za pomocą jakiejś elementarnej transformacji.

Szukając rangi metodą Gaussa, można pracować zarówno z wierszami, jak i kolumnami. Wygodniej jest pracować z wierszami, dlatego w przykładach na tej stronie transformacje są wykonywane konkretnie na wierszach macierzy.

Należy pamiętać, że transpozycja nie zmienia rangi macierzy, tj. $\zadzwonił(A)=\zadzwonił(A^T)$. W niektórych przypadkach ta właściwość jest wygodna w użyciu (patrz przykład nr 3), ponieważ w razie potrzeby wiersze można łatwo przekształcić w kolumny i odwrotnie.

Krótki opis algorytmu

Wprowadźmy kilka terminów. Linia zerowa- ciąg znaków, którego wszystkie elementy są zerowe. Ciąg inny niż null- ciąg znaków, którego przynajmniej jeden element jest różny od zera. Wiodący element Niezerowy ciąg znaków jest jego pierwszym (licząc od lewej do prawej) niezerowym elementem. Przykładowo w ciągu $(0;0;5;-9;0)$ elementem wiodącym będzie trzeci element (jest on równy 5).

Ranga dowolnej macierzy zerowej wynosi 0, dlatego rozważymy macierze inne niż zero. Ostatecznym celem transformacji macierzy jest uczynienie z niej rzutu. Ranga macierzy rzutowej jest równa liczbie niezerowych wierszy.

Rozważana metoda wyznaczania rangi macierzy składa się z kilku etapów. W pierwszym kroku używana jest pierwsza linia, w drugim kroku druga i tak dalej. Gdy pod wierszem, którego używamy w bieżącym kroku, pozostało tylko zero wierszy lub nie ma ich wcale, algorytm zatrzymuje się, ponieważ wynikowa macierz będzie schodkowa.

Przejdźmy teraz do transformacji ciągów, które są wykonywane na każdym etapie algorytmu. Niech pod bieżącą linią znajdują się niezerowe linie, których musimy użyć w tym kroku, a $k$ jest numerem wiodącego elementu bieżącej linii, a $k_(\min)$ jest najmniejszą liczbą elementy wiodące tych linii, które leżą poniżej bieżącej linii.

  • Jeśli $k\lt(k_(\min))$, to przejdź do kolejnego kroku algorytmu, tj. aby użyć poniższej linii.
  • Jeśli $k=k_(\min)$, to resetujemy elementy wiodące tych linii bazowych, których numer elementu wiodącego jest równy $k_(\min)$. Jeśli pojawi się zero wierszy, przesuwamy je na dół macierzy. Następnie przechodzimy do kolejnego kroku algorytmu.
  • Jeśli $k\gt(k_(\min))$, to zamieniamy bieżącą linię na jedną z tych linii bazowych, których wiodącym numerem elementu jest $k_(\min)$. Następnie resetujemy elementy wiodące tych linii bazowych, których numer elementu wiodącego to $k_(\min)$. Jeśli nie ma takich linii, przejdź do kolejnego kroku algorytmu. Jeśli pojawi się zero wierszy, przesuwamy je na dół macierzy.

Rozważmy w praktyce, jak dokładnie elementy wiodące są resetowane do zera. Użyjmy liter $r$ (od słowa „wiersz”) do oznaczenia wierszy: $r_1$ to pierwszy wiersz, $r_2$ to drugi wiersz i tak dalej. Użyjmy liter $c$ (od słowa „kolumna”) do oznaczenia kolumn: $c_1$ to pierwsza kolumna, $c_2$ to druga kolumna i tak dalej.

W przykładach na tej stronie będę używał litery $k$ do oznaczenia numeru elementu wiodącego bieżącej linii, a zapis $k_(\min)$ będzie użyty do oznaczenia najmniejszej liczby elementów wiodących linii leżących pod bieżącą linią.

Przykład nr 1

Znajdź rząd macierzy $A=\left(\begin(array)(ccccc) -2 & 3 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 4 & -11 & -5 i 12 i 18 \\ -9 i 6 i 0 i -2 i 21 \\ -5 i 5 i 1 i 1 i 1 \end(array) \right)$.

Pierwszy krok

W pierwszym kroku pracujemy z pierwszą linią. W pierwszym wierszu podanej nam macierzy elementem wiodącym jest ten pierwszy, czyli tzw. numer elementu wiodącego pierwszego wiersza $k=1$. Spójrzmy na linie poniżej pierwszej linii. Wiodące elementy w tych wierszach są ponumerowane 4, 1, 1 i 1. Najmniejsza z tych liczb to $k_(\min)=1$. Ponieważ $k=k_(\min)$, resetujemy elementy wiodące tych linii bazowych, których numer elementu wiodącego jest równy $k_(\min)$. Innymi słowy, musisz zresetować wiodące elementy trzeciej, czwartej i piątej linii.

W zasadzie możesz przystąpić do zerowania powyższych elementów, jednak w przypadku przekształceń, które są wykonywane do zera, wygodnie jest, gdy wiodącym elementem użytego ciągu jest jeden. Nie jest to konieczne, ale znacznie upraszcza obliczenia. Naszym wiodącym elementem pierwszej linii jest liczba -2. Aby zastąpić „niewygodną” liczbę jedną (lub liczbą (-1)), istnieje kilka opcji. Możesz na przykład pomnożyć pierwszy wiersz przez 2, a następnie odjąć piąty wiersz od pierwszego wiersza. Możesz też po prostu zamienić pierwszą i trzecią kolumnę. Po przestawieniu kolumn nr 1 i nr 3 otrzymujemy nową macierz równoważną podanej macierzy $A$:

$$ \left(\begin(tablica)(ccccc) -2 i 3 i 1 i 0 i -4 \\ 0 i 0 i 0 i 5 i -6 \\ 4 i -11 i -5 i 12 i 18 \ \ -9 i 6 i 0 i -2 i 21 \\ -5 i 5 i 1 i 1 i 1 \end(array)\right)\overset(c_1\leftrightarrow(c_3))(\sim) \left(\ Begin(array)(ccccc) \boldred(1) & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ \normblue(-5) & -11 & 4 & 12 & 18 \\ 0 i 6 i -9 i -2 i 21 \\ \normgreen(1) i 5 i -5 i 1 i 1 \end(array)\right) $$

Wiodącym elementem pierwszej linii jest jeden. Numer elementu wiodącego pierwszej linii nie uległ zmianie: $k=1$. Numery elementów wiodących wierszy znajdujących się poniżej pierwszego to: 4, 1, 2, 1. Najmniejsza liczba to $k_(\min)=1$. Ponieważ $k=k_(\min)$, resetujemy elementy wiodące tych linii bazowych, których numer elementu wiodącego jest równy $k_(\min)$. Oznacza to, że musisz zresetować wiodące elementy trzeciego i piątego rzędu. Elementy te są podświetlone na niebiesko i zielono.

Aby zresetować niezbędne elementy, wykonamy operacje na wierszach macierzy. Zapiszę te operacje osobno:

$$ \begin(aligned) &r_3-\frac(\normblue(-5))(\boldred(1))\cdot(r_1)=r_3+5r_1;\\ &r_5-\frac(\normgreen(1))( \boldred(1))\cdot(r_1)=r_5-r_1. \end(wyrównane) $$

Zapis $r_3+5r_1$ oznacza, że ​​odpowiednie elementy pierwszego rzędu pomnożone przez pięć zostały dodane do elementów trzeciego rzędu. Wynik wpisuje się w miejsce trzeciego wiersza nowej macierzy. Jeśli pojawią się trudności z wykonaniem takiej operacji ustnie, czynność tę można wykonać osobno:

$$ r_3+5r_1 =(-5;\;-11;\;4;\;12;\;18)+5\cdot(1;\;3;\;-2;\;0;\;- 4)=\\ =(-5;\;-11;\;4;\;12;\;18)+(5;\;15;\;-10;\;0;\;-20) = (0;\;4;\;-6;\;12;\;-2). $$

Podobnie wykonuje się akcję $r_5-r_1$. W wyniku przekształceń wierszy otrzymujemy następującą macierz:

$$ \left(\begin(tablica)(ccccc) 1 i 3 i -2 i 0 i -4 \\ 0 i 0 i 0 i 5 i -6 \\ -5 i -11 i 4 i 12 i 18 \ \ 0 i 6 i -9 i -2 i 21 \\ 1 i 5 i -5 i 1 i 1 \end(tablica)\right) \begin(tablica) (l) \phantom(0)\\ \phantom( 0)\\ r_3+5r_1 \\ \phantom(0) \\ r_5-r_1 \end(array)\sim \left(\begin(array)(ccccc) 1 i 3 i -2 i 0 i -4 \\ 0 i 0 i 0 i 5 i -6 \\ 0 i 4 i -6 i 12 i -2 \\ 0 i 6 i -9 i -2 i 21 \\ 0 i 2 i -3 i 1 i 5 \end (tablica)\right) $$

W tym momencie pierwszy krok można uznać za zakończony. Ponieważ pod pierwszą linią pozostały niezerowe linie, musimy kontynuować pracę. Jedyne zastrzeżenie: w trzecim wierszu wynikowej macierzy wszystkie elementy są podzielne przez 2. Aby zmniejszyć liczby i uprościć obliczenia, należy pomnożyć elementy trzeciego wiersza przez $\frac(1)(2)$, a następnie przejdź do drugiego kroku:

$$ \left(\begin(tablica)(ccccc) 1 i 3 i -2 i 0 i -4 \\ 0 i 0 i 0 i 5 i -6 \\ 0 i 4 i -6 i 12 i -2 \ \ 0 i 6 i -9 i -2 i 21 \\ 0 i 2 i -3 i 1 i 5 \end(tablica)\right) \begin(tablica) (l) \phantom(0)\\ \phantom( 0)\\ 1/2\cdot(r_3) \\ \phantom(0) \\ \phantom(0) \end(array)\sim \left(\begin(array)(ccccc) 1 i 3 i -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & - 3 i 1 i 5 \end(array)\right) $$

Drugi krok

W drugim kroku pracujemy z drugą linią. W drugim wierszu macierzy elementem wiodącym jest element czwarty, tj. numer elementu wiodącego drugiej linii $k=4$. Spójrzmy na linie poniżej drugiej linii. Wiodące elementy w tych wierszach są ponumerowane 2, 2 i 2. Najmniejsza z tych liczb to $k_(\min)=2$. Ponieważ $k\gt(k_(\min))$, musisz zamienić bieżącą drugą linię na jedną z tych linii, których wiodący numer elementu to $k_(\min)$. Innymi słowy, musisz zmienić drugą linię na trzecią, czwartą lub piątą. Wybiorę piątą linię (pozwoli to uniknąć pojawienia się ułamków), tj. Zamienię piąty i drugi wiersz:

$$ \left(\begin(tablica)(ccccc) 1 i 3 i -2 i 0 i -4 \\ 0 i 0 i 0 i 5 i -6 \\ 0 i 2 i -3 i 6 i -1 \ \ 0 i 6 i -9 i -2 i 21 \\ 0 i 2 i -3 i 1 i 5 \end(array)\right) \overset(r_2\leftrightarrow(r_5))(\sim) \left(\ rozpocząć(tablica)(ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & \boldred(2) & -3 & 1 & 5 \\ 0 & \normblue(2) & -3 & 6 & - 1 \\ 0 & \normgreen(6) & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \end(array)\right) $$

Spójrzmy jeszcze raz na drugą linię. Teraz wiodącym w nim elementem jest drugi element (jest podświetlony na czerwono), tj. $k=2$. Najmniejsza liczba elementów wiodących linii bazowych (tj. spośród liczb 2, 2 i 4) będzie wynosić $k_(\min)=2$. Ponieważ $k=k_(\min)$, resetujemy elementy wiodące tych linii bazowych, których numer elementu wiodącego jest równy $k_(\min)$. Oznacza to, że musisz zresetować wiodące elementy trzeciego i czwartego rzędu. Elementy te są podświetlone na niebiesko i zielono.

Zaznaczam, że w poprzednim kroku element wiodący bieżącego wiersza powstał poprzez przestawienie kolumn. Dokonano tego, aby uniknąć pracy z ułamkami. Tutaj również możesz umieścić jeden w miejsce elementu wiodącego drugiego rzędu: na przykład zamieniając drugą i czwartą kolumnę. Jednak nie zrobimy tego, ponieważ ułamki i tak nie powstaną. Działania z ciągami znaków będą wyglądać następująco:

$$ \begin(aligned) &r_3-\frac(\normblue(2))(\boldred(2))\cdot(r_2)=r_3-r_2;\\ &r_4-\frac(\normgreen(6))(\ pogrubiony(2))\cdot(r_2)=r_4-3r_2. \end(wyrównane) $$

Wykonując te operacje dochodzimy do następującej macierzy:

$$ \left(\begin(tablica)(ccccc) 1 i 3 i -2 i 0 i -4 \\ 0 i 2 i -3 i 1 i 5 \\ 0 i 2 i -3 i 6 i -1 \ \ 0 i 6 i -9 i -2 i 21 \\ 0 i 0 i 0 i 5 i -6 \end(tablica)\right) \begin(tablica) (l) \phantom(0)\\ \phantom( 0)\\ r_3-r_2 \\ r_4-3r_2 \\ \phantom(0) \end(array)\sim \left(\begin(array)(ccccc) 1 i 3 i -2 i 0 i -4 \\ 0 i 2 i -3 i 1 i 5 \\ 0 i 0 i 0 i 5 i -6 \\ 0 i 0 i 0 i -5 i 6 \\ 0 i 0 i 0 i 5 i -6 \end(tablica )\prawo)$$

Drugi etap został zakończony. Ponieważ pod drugą linią pozostały niezerowe linie, przechodzimy do trzeciego kroku.

Trzeci krok

W trzecim kroku pracujemy z trzecią linią. W trzecim wierszu macierzy elementem wiodącym jest element czwarty, tj. numer elementu wiodącego trzeciej linii $k=4$. Spójrzmy na linie poniżej trzeciej linii. Wiodące elementy w tych wierszach są ponumerowane 4 i 4, z których najmniejszy to $k_(\min)=4$. Ponieważ $k=k_(\min)$, resetujemy elementy wiodące tych linii bazowych, których numer elementu wiodącego jest równy $k_(\min)$. Oznacza to, że elementy wiodące czwartej i piątej linii muszą zostać zresetowane. Przekształcenia, które są wykonywane w tym celu, są całkowicie podobne do tych, które zostały przeprowadzone wcześniej:

$$ \left(\begin(tablica)(ccccc) 1 i 3 i -2 i 0 i -4 \\ 0 i 2 i -3 i 1 i 5 \\ 0 i 0 i 0 i 5 i -6 \\ 0 i 0 i 0 i -5 i 6 \\ 0 i 0 i 0 i 5 i -6 \end(array)\right) \begin(array) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0) \\ \phantom(0) \\ r_4+r_3 \\ r_5-r_3 \end(array)\sim \left(\begin(array)(ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 i -3 i 1 i 5 \\ 0 i 0 i 0 i 5 i -6 \\ 0 i 0 i 0 i 0 i 0 \\ 0 i 0 i 0 i 0 i 0 \end(array)\right) $$

Pod trzecią linią pozostało tylko zero linii. Oznacza to, że transformacja została zakończona. Zredukowaliśmy macierz do postaci krokowej. Ponieważ dana macierz zawiera trzy niezerowe wiersze, jej ranga wynosi 3. W związku z tym ranga macierzy pierwotnej wynosi trzy, tj. $\zadzwonił A=3$. Kompletne rozwiązanie bez wyjaśnienia to:

$$ \left(\begin(tablica)(ccccc) -2 i 3 i 1 i 0 i -4 \\ 0 i 0 i 0 i 5 i -6 \\ 4 i -11 i -5 i 12 i 18 \ \ -9 i 6 i 0 i -2 i 21 \\ -5 i 5 i 1 i 1 i 1 \end(array)\right)\overset(c_1\leftrightarrow(c_3))(\sim) \left(\ rozpocząć(tablica)(ccccc) 1 i 3 i -2 i 0 i -4 \\ 0 i 0 i 0 i 5 i -6 \\ -5 i -11 i 4 i 12 i 18 \\ 0 i 6 & - 9 i -2 i 21 \\ 1 i 5 i -5 i 1 i 1 \end(array)\right) \begin(array) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\ r_3+ 5r_1 \\ \phantom(0) \\ r_5-r_1 \end(array)\sim $$ $$ \sim\left(\begin(array)(ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 4 & -6 & 12 & -2 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \end ( array)\right) \begin(array) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\ 1/2\cdot(r_3) \\ \phantom(0) \\ \phantom(0) \ end(tablica)\sim \left(\begin(tablica)(ccccc) 1 i 3 i -2 i 0 i -4 \\ 0 i 0 i 0 i 5 i -6 \\ 0 i 2 i -3 i 6 & -1 \\ 0 i 6 i -9 i -2 i 21 \\ 0 i 2 i -3 i 1 i 5 \end(array)\right) \overset(r_2\leftrightarrow(r_5))(\sim ) \left(\begin(tablica)(ccccc) 1 i 3 i -2 i 0 i -4 \\ 0 i 2 i -3 i 1 i 5 \\ 0 i 2 i -3 i 6 i -1 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \end(array)\right) \begin(array) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0 ) \\ r_3-r_2 \\ r_4-3r_2 \\ \phantom(0) \end(array)\sim $$ $$ \sim\left(\begin(array)(ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 i 2 i -3 i 1 i 5 \\ 0 i 0 i 0 i 5 i -6 \\ 0 i 0 i 0 i -5 i 6 \\ 0 i 0 i 0 i 5 i - 6 \end(array)\right) \begin(array) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\ \phantom(0) \\ r_4+r_3 \\ r_5-r_3 \end(array ) \sim \left(\begin(tablica)(ccccc) 1 i 3 i -2 i 0 i -4 \\ 0 i 2 i -3 i 1 i 5 \\ 0 i 0 i 0 i 5 i -6 \\ 0 i 0 i 0 i 0 i 0 \\ 0 i 0 i 0 i 0 i 0 \end(tablica)\right) $$

Odpowiedź: $\zadzwonił A=3$.

Przykład nr 2

Znajdź rząd macierzy $A=\left(\begin(array)(ccccc) 11 & -13 & 61 & 10 & -11\\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2\\ -3 & 5 & -17 i -2 i 3\\ 4 i 0 i 24 i 7 i -8 \end(tablica) \right)$.

Macierz ta nie jest zerowa, co oznacza, że ​​jej ranga jest większa od zera. Przejdźmy do pierwszego kroku algorytmu.

Pierwszy krok

W pierwszym kroku pracujemy z pierwszą linią. W pierwszym wierszu podanej nam macierzy elementem wiodącym jest ten pierwszy, czyli tzw. numer elementu wiodącego pierwszego wiersza $k=1$. Spójrzmy na linie poniżej pierwszej linii. Elementy wiodące w tych liniach są ponumerowane 1, tj. najmniejsza liczba elementów wiodących linii bazowych to $k_(\min)=1$. Ponieważ $k=k_(\min)$, konieczne jest zresetowanie wiodących elementów tych linii bazowych, których numer wiodących elementów jest równy $k_(\min)$. Innymi słowy, musisz zresetować wiodące elementy drugiej, trzeciej i czwartej linii.

Dla wygody obliczeń element wiodący pierwszej linii będzie jeden. W poprzednim przykładzie zamieniliśmy w tym celu kolumny, jednak przy tej macierzy takie działanie nie zadziała – w tej macierzy nie ma elementów równych jedności. Wykonajmy jedną akcję pomocniczą: $r_1-5r_2$. Wtedy wiodący element pierwszego rzędu będzie równy 1.

$$ \left(\begin(tablica)(ccccc) 11 i -13 i 61 i 10 i -11\\ 2 i -2 i 11 i 2 i -2\\ -3 i 5 i -17 i -2 & 3\\ 4 i 0 i 24 i 7 i -8 \end(array) \right) \begin(array) (l) r_1-5r_2\\ \phantom(0)\\ \phantom(0) \\ \phantom (0) \end(tablica)\sim \left(\begin(tablica)(ccccc) 1 i -3 i 6 i 0 i -1\\ 2 i -2 i 11 i 2 i -2\\ -3 & 5 i -17 i -2 i 3\\ 4 i 0 i 24 i 7 i -8 \end(array) \right) $$

Wiodącym elementem pierwszej linii jest jeden. Zresetujmy wiodące elementy podstawowych linii:

$$ \left(\begin(tablica)(ccccc) 1 i -3 i 6 i 0 i -1\\ 2 i -2 i 11 i 2 i -2\\ -3 i 5 i -17 i -2 & 3\\ 4 i 0 i 24 i 7 i -8 \end(tablica) \right) \begin(tablica) (l) \phantom(0)\\ r_2-2r_1\\ r_3+3r_1 \\ r_4-4r_1 \ end(tablica)\sim \left(\begin(tablica)(ccccc) 1 i -3 i 6 i 0 i -1\\ 0 i 4 i -1 i 2 i 0\\ 0 i -4 i 1 i - 2 i 0\\ 0 i 12 i 0 i 7 i -4 \end(tablica) \right) $$

Pierwszy krok został zakończony. Ponieważ pod pierwszą linią pozostały niezerowe linie, musimy kontynuować pracę.

Drugi krok

W drugim kroku pracujemy z drugą linią. W drugim wierszu macierzy elementem wiodącym jest element drugi, tj. numer elementu wiodącego drugiej linii $k=2$. Wiodące elementy w wierszach bazowych mają tę samą liczbę 2, więc $k_(\min)=2$. Ponieważ $k=k_(\min)$, resetujemy elementy wiodące tych linii bazowych, których numer elementu wiodącego jest równy $k_(\min)$. Oznacza to, że musisz zresetować wiodące elementy trzeciego i czwartego rzędu.

$$ \left(\begin(tablica)(ccccc) 1 i -3 i 6 i 0 i -1\\ 0 i 4 i -1 i 2 i 0\\ 0 i -4 i 1 i -2 i 0\ \ 0 i 12 i 0 i 7 i -4 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\ r_3+r_2 \\ r_4-3r_2 \ end(tablica)\sim \left(\begin(tablica)(ccccc) 1 i -3 i 6 i 0 i -1\\ 0 i 4 i -1 i 2 i 0\\ 0 i 0 i 0 i 0 & 0\\ 0 i 0 i 3 i 1 i -4 \end(tablica) \right) $$

Pojawia się linia zerowa. Opuśćmy go na dół macierzy:

$$ \left(\begin(tablica)(ccccc) 1 i -3 i 6 i 0 i -1\\ 0 i 4 i -1 i 2 i 0\\ 0 i 0 i 0 i 0 i 0\\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \end(array) \right) \overset(r_3\leftrightarrow(r_4))(\sim) \left(\begin(array)(ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1\\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array) \right) $$

Drugi etap został zakończony. Zauważ, że otrzymaliśmy już macierz kroków. Możemy jednak formalnie uzupełnić nasz algorytm. Ponieważ pod drugą linią pozostały niezerowe linie, należy przejść do trzeciego kroku i pracować z trzecią linią, ale pod trzecią linią nie ma niezerowych linii. Zatem transformacja jest zakończona.

Nawiasem mówiąc, otrzymana przez nas macierz jest trapezowa. Macierz trapezowa jest szczególnym przypadkiem macierzy schodkowej.

Ponieważ ta macierz zawiera trzy niezerowe wiersze, jej ranga wynosi 3. W związku z tym ranga pierwotnej macierzy wynosi trzy, tj. $\dzwonek(A)=3$. Kompletne rozwiązanie bez wyjaśnienia to:

$$ \left(\begin(tablica)(ccccc) 11 i -13 i 61 i 10 i -11\\ 2 i -2 i 11 i 2 i -2\\ -3 i 5 i -17 i -2 & 3\\ 4 i 0 i 24 i 7 i -8 \end(array) \right) \begin(array) (l) r_1-5r_2\\ \phantom(0)\\ \phantom(0) \\ \phantom (0) \end(tablica)\sim \left(\begin(tablica)(ccccc) 1 i -3 i 6 i 0 i -1\\ 2 i -2 i 11 i 2 i -2\\ -3 & 5 i -17 i -2 i 3\\ 4 i 0 i 24 i 7 i -8 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0)\\ r_2-2r_1\ \ r_3 +3r_1 \\ r_4-4r_1 \end(tablica)\sim $$ $$ \left(\begin(tablica)(ccccc) 1 i -3 i 6 i 0 i -1\\ 0 i 4 i -1 & 2 & 0\\ 0 & -4 & 1 & -2 & 0\\ 0 & 12 & 0 & 7 & -4 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0) \\ \phantom(0)\\ r_3+r_2 \\ r_4-3r_2 \end(array)\sim \left(\begin(array)(ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1\\ 0 & 4 i -1 i 2 i 0\\ 0 i 0 i 0 i 0 i 0\\ 0 i 0 i 3 i 1 i -4 \end(array)\right)\overset(r_3\leftrightarrow(r_4))( \sim ) \left(\begin(tablica)(ccccc) 1 i -3 i 6 i 0 i -1\\ 0 i 4 i -1 i 2 i 0\\ 0 i 0 i 3 i 1 i -4\ \ 0 i 0 i 0 i 0 i 0 \end(tablica) \right) $$

Odpowiedź: $\zadzwonił A=3$.

Przykład nr 3

Znajdź rząd macierzy $A=\left(\begin(array)(ccc) 0 & 2 & -4 \\ -1 & -4 & 5 \\ 3 & 1 & 7 \\ 0 & 5 & -10 \\ 2 i 3 i 0 \end(tablica) \right)$.

Czasami wygodnie jest transponować macierz podczas procesu rozwiązywania. Ponieważ ranga transponowanej macierzy jest równa randze macierzy oryginalnej, operacja ta jest całkiem dopuszczalna. W tym przykładzie rozważymy właśnie taki przypadek. Podczas transformacji pojawią się dwa identyczne wiersze $(0;\;1;\;-2)$ (pierwszy i czwarty). W zasadzie można wykonać akcję $r_4-r_1$, wówczas czwarta linia zostanie zresetowana, ale to rozszerzy rozwiązanie tylko o jeden rekord, więc nie będziemy wykonywać resetu czwartej linii.

$$ \left(\begin(tablica)(ccc) 0 i 2 i -4 \\ -1 i -4 i 5 \\ 3 i 1 i 7 \\ 0 i 5 i -10 \\ 2 i 3 i 0 \end(array) \right) \begin(array) (l) 1/2\cdot(r_1)\\ \phantom(0)\\ \phantom(0) \\ 1/5\cdot(r_4) \\ \phantom(0) \end(array)\sim \left(\begin(array)(ccc) 0 i 1 i -2 \\ -1 i -4 i 5 \\ 3 i 1 i 7 \\ 0 i 1 & -2 \\ 2 i 3 & 0 \end(array) \right)\sim $$ $$ \sim\left(\begin(array)(ccccc) 0&-1&3&0&2\\ 1&-4&1&1&3\\ -2&5&7&- 2&0 \end(array) \right) \overset(r_1\leftrightarrow(r_2))(\sim) \left(\begin(array)(ccccc) 1&-4&1&1&3\\ 0&-1&3&0&2\\ -2&5&7&-2&0 \end (tablica) \right) \begin(tablica) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\ r_3+2r_1 \end(array)\sim $$ $$ \left(\begin(array) (ccccc) 1&-4&1&1&3\\ 0&-1&3&0&2\\ 0&-3&9&0&6 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\ r_3-3r_2 \ end(tablica)\sim \left(\begin(tablica)(ccccc) 1&-4&1&1&3\\ 0&-1&3&0&2\\ 0&0&0&0&0 \end(array) \right) $$

Ranga przekształconej macierzy wynosi 2, zatem ranga macierzy pierwotnej wynosi $\rang(A)=2$. W zasadzie można było znaleźć rangę bez transpozycji macierzy: zamień pierwszy wiersz z drugim, trzecim lub piątym i kontynuuj zwykłe przekształcenia z wierszami. Metoda redukcji macierzy do postaci stopniowej pozwala na zmiany w procesie rozwiązania.

Odpowiedź: $\zadzwonił A=2$.

Przykład nr 4

Znajdź rząd macierzy $A=\left(\begin(array)(cccccc) 0 & -1 & 2 & -4 & 0 & 5 \\ 0 & 0 &5 &0 &2 &3 \\ 0 & 0 & 10 & 0& -4&1 \end(array) \right)$.

Ta macierz nie jest zerowa, tj. jego ranga jest większa od zera. Przejdźmy do pierwszego kroku algorytmu.

Pierwszy krok

W pierwszym kroku pracujemy z pierwszą linią. W pierwszym wierszu podanej nam macierzy elementem wiodącym jest element drugi, tj. numer elementu wiodącego pierwszego wiersza $k=2$. Spójrzmy na linie poniżej pierwszej linii. Elementy wiodące w tych liniach są ponumerowane 3, tj. najmniejsza liczba elementów wiodących linii bazowych wynosi $k_(\min)=3$. Ponieważ $k\lt(k_(\min))$, przechodzimy do kolejnego kroku algorytmu.

Drugi krok

W drugim kroku pracujemy z drugą linią. W drugiej linii elementem wiodącym jest element trzeci, tj. numer elementu wiodącego drugiej linii $k=3$. Pod drugą linią znajduje się tylko jedna trzecia linia, której numer elementu wiodącego wynosi 3, więc $k_(\min)=3$. Ponieważ $k=k_(\min)$ resetujemy wiodący element trzeciej linii:

$$ \left(\begin(tablica)(cccccc) 0 & -1 & 2 & -4 & 0 & 5 \\ 0 & 0 &5 &0 &2 &3 \\ 0 & 0 & 10 & 0& -4&1 \end(array ) \right) \begin(array) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\ r_3-2r_2 \end(array)\sim \left(\begin(array)(cccccc) 0 & - 1 i 2 i -4 i 0 i 5 \\ 0 i 0 i5 &0 i2 i3 \\ 0 i 0 i 0 i 0& -8&-5 \end(array) \right) $$

Otrzymuje się macierz kroków. Ranga przekształconej macierzy, a co za tym idzie ranga macierzy pierwotnej, wynosi 3.

Odpowiedź: $\zadzwonił A=3$.

Przykład nr 5

Znajdź rząd macierzy $A=\left(\begin(array)(ccccc) 0&0&0&0&6\\ 9&0&0&0&-11\\ 5&2&0&0&-5. \end(array) \right)$.

Czasami można zredukować macierz do macierzy schodkowej, po prostu przestawiając wiersze lub kolumny. Zdarza się to oczywiście niezwykle rzadko, ale udana przebudowa może znacznie uprościć rozwiązanie.

$$ \left(\begin(array)(ccccc) 0&0&0&0&6\\ 9&0&0&0&-11\\ 5&2&0&0&-5 \end(array) \right) \overset(r_1\leftrightarrow(r_3))(\sim) \left(\ Begin(array)(ccccc) 5&2&0&0&-5\\ 9&0&0&0&-11\\ 0&0&0&0&6 \end(array) \right) \overset(с_1\leftrightarrow(с_4))(\sim) \left(\begin(array)(cccccc ) 0&2&0&5&-5\\ 0&0&0&9&-11\\ 0&0&0&0&6 \end(array) \right) $$

Macierz sprowadza się do rzutu, $\rang(A)=3$.

Odpowiedź: $\zadzwonił A=3$.

Definicja. Ranga matrycy to maksymalna liczba liniowo niezależnych wierszy uznawanych za wektory.

Twierdzenie 1 o rzędzie macierzy. Ranga matrycy nazywa się maksymalnym rządem niezerowej części mniejszej macierzy.

Pojęcie minora omawialiśmy już na lekcji o wyznacznikach, a teraz je uogólnimy. Weźmy pewną liczbę wierszy i pewną liczbę kolumn w macierzy i to „ile” powinno być mniejsze od liczby wierszy i kolumn macierzy, a dla wierszy i kolumn to „ile” powinno być ten sam numer. Wtedy na przecięciu ilu wierszy i ilu kolumn znajdzie się macierz niższego rzędu niż nasza pierwotna macierz. Wyznacznik jest macierzą i będzie minorem k-tego rzędu, jeśli wspomniane „niektóre” (liczba wierszy i kolumn) oznaczymy przez k.

Definicja. Drobny ( R+1)rząd, w którym leży wybrany nieletni R-ty rząd nazywa się graniczącym dla danego molla.

Dwie najczęściej stosowane metody to znalezienie rangi macierzy. Ten sposób na kontakt z nieletnimi I metoda przekształceń elementarnych(metoda Gaussa).

W przypadku stosowania metody graniczących nieletnich stosuje się następujące twierdzenie.

Twierdzenie 2 o rzędzie macierzy. Jeśli małoletni może składać się z elementów matrycy R rzędu, różny od zera, wówczas stopień macierzy jest równy R.

W przypadku stosowania metody transformacji elementarnej używana jest następująca właściwość:

Jeżeli poprzez przekształcenia elementarne otrzymamy macierz trapezową równoważną macierzy pierwotnej, to rząd tej macierzy to liczba zawartych w nim linii innych niż linie składające się wyłącznie z zer.

Wyznaczanie rangi macierzy metodą graniczących nieletnich

Młodszy zamykający to małoletni wyższego rzędu w stosunku do danego, jeżeli ten małoletni wyższego rzędu zawiera danego małoletniego.

Na przykład biorąc pod uwagę macierz

Weźmy nieletniego

Nieletnimi graniczącymi będą:

Algorytm wyznaczania rangi macierzy Następny.

1. Znajdź nieletnich drugiego rzędu, które nie są równe zero. Jeśli wszystkie niepełnoletnie drugiego rzędu są równe zeru, wówczas rząd macierzy będzie równy jeden ( R =1 ).

2. Jeśli istnieje co najmniej jeden drugorzędny drugiego rzędu, który nie jest równy zero, wówczas tworzymy graniczące nieletni trzeciego rzędu. Jeśli wszystkie sąsiadujące nieletni trzeciego rzędu są równe zeru, wówczas stopień macierzy jest równy dwa ( R =2 ).

3. Jeśli co najmniej jeden z graniczących nieletnich trzeciego rzędu nie jest równy zero, wówczas tworzymy graniczące nieletnich. Jeśli wszystkie graniczące nieletni czwartego rzędu są równe zeru, wówczas stopień macierzy jest równy trzy ( R =2 ).

4. Kontynuuj w ten sposób tak długo, jak pozwala na to rozmiar matrycy.

Przykład 1. Znajdź rząd macierzy

.

Rozwiązanie. Minor drugiego rzędu .

Granicajmy to. Będzie czterech sąsiadujących nieletnich:

,

,

Zatem wszystkie graniczące nieletni trzeciego rzędu są równe zeru, dlatego ranga tej macierzy jest równa dwa ( R =2 ).

Przykład 2. Znajdź rząd macierzy

Rozwiązanie. Ranga tej macierzy jest równa 1, ponieważ wszystkie nieletnie drugiego rzędu tej macierzy są równe zeru (w tym przypadku, podobnie jak w przypadku nieletnich graniczących w dwóch kolejnych przykładach, drodzy uczniowie proszeni są o sprawdzenie sami, być może korzystając z zasad obliczania wyznaczników), a wśród nieletnich pierwszego rzędu, czyli wśród elementów macierzy, znajdują się jedynki niezerowe.

Przykład 3. Znajdź rząd macierzy

Rozwiązanie. Moll drugiego rzędu tej macierzy to, a wszystkie minory trzeciego rzędu tej macierzy są równe zero. Dlatego ranga tej macierzy wynosi dwa.

Przykład 4. Znajdź rząd macierzy

Rozwiązanie. Ranga tej macierzy wynosi 3, ponieważ jedynym nieletnim trzeciego rzędu tej macierzy jest 3.

Wyznaczanie rzędu macierzy metodą przekształceń elementarnych (metoda Gaussa)

Już w przykładzie 1 widać, że zadanie wyznaczenia rangi macierzy metodą graniczących nieletnich wymaga obliczenia dużej liczby wyznaczników. Istnieje jednak sposób na ograniczenie ilości obliczeń do minimum. Metoda ta opiera się na zastosowaniu elementarnych przekształceń macierzy i nazywana jest także metodą Gaussa.

Jako elementarne przekształcenia macierzy rozumie się następujące operacje:

1) pomnożenie dowolnego wiersza lub kolumny macierzy przez liczbę inną niż zero;

2) dodanie do elementów dowolnego wiersza lub kolumny macierzy odpowiednich elementów innego wiersza lub kolumny, pomnożonych przez tę samą liczbę;

3) zamiana dwóch wierszy lub kolumn macierzy;

4) usunięcie wierszy „zerowych”, czyli takich, których wszystkie elementy są równe zeru;

5) usunięcie wszystkich linii proporcjonalnych z wyjątkiem jednej.

Twierdzenie. Podczas transformacji elementarnej rząd macierzy nie ulega zmianie. Innymi słowy, jeśli zastosujemy elementarne przekształcenia z macierzy A poszedł do matrixa B, To .

Poprzednio dla macierzy kwadratowej w kolejności wprowadzono pojęcie drobnego
element . Przypomnijmy, że tak nazywa się wyznacznik porządku
, otrzymane z wyznacznika
przekreślając linia i kolumna.

Wprowadźmy teraz ogólne pojęcie moll. Rozważmy kilka niekoniecznie kwadratowe matryca . Wybierzmy kilka Numery linii
I numery kolumn
.

Definicja. Drobne zamówienie matryce (odpowiadający wybranym wierszom i kolumnom) nazywany jest wyznacznikiem porządku , utworzone przez elementy znajdujące się na przecięciu wybranych wierszy i kolumn, tj. numer

.

Każda macierz ma tyle dzieci danego rzędu , na ile sposobów można wybrać numery linii
i kolumny
.

Definicja. W matrixie rozmiary
drobne zamówienie zwany podstawowy, jeśli jest różna od zera i wszystkie elementy niepełnoletnie są w porządku
równy zeru lub rzędu mniejszego
przy matrixie absolutnie nie.

Jest oczywiste, że macierz może mieć kilka różnych drugorzędnych baz, ale wszystkie drugorzędne podstawy mają ten sam rząd. Rzeczywiście, jeśli wszyscy nieletni są w porządku
są równe zeru, to wszystkie elementy niepełnoletnie rzędu są równe zeru
, a co za tym idzie, wszystkie wyższe porządki.

Definicja. Ranga matrycy Nazywa się rząd molla bazowego, czyli innymi słowy największy rząd, dla którego istnieją molle inne niż zero. Jeżeli wszystkie elementy macierzy są równe zeru, to stopień takiej macierzy z definicji przyjmuje się jako zerowy.

Ranga matrycy będziemy oznaczać symbolem
. Z definicji rangi wynika, że ​​dla macierzy rozmiary
stosunek jest prawidłowy.

Dwa sposoby obliczania rangi macierzy

A) Metoda graniczna-moll

Niech w matrycy znajdzie się małoletni
-ty rząd, różny od zera. Weźmy pod uwagę tylko tych nieletnich
-ty rząd, który zawiera (krawędź) moll
: jeśli wszystkie są równe zeru, wówczas rząd macierzy wynosi . W przeciwnym razie wśród graniczących nieletnich znajduje się niezerowy małoletni
-ta kolejność i całą procedurę powtarzamy.

Przykład 9 . Znajdź rząd macierzy metodą graniczących nieletnich.

Wybierzmy moll drugiego rzędu
. Jest tylko jeden moll trzeciego rzędu, graniczący z wybranym mollem
. Obliczmy to.

Więc to niewielkie
podstawowy, a stopień macierzy jest równy jej porządkowi, tj.

Jest oczywiste, że iterowanie w ten sposób po minorach w poszukiwaniu bazy jest zadaniem związanym z dużymi obliczeniami, jeśli wymiary macierzy nie są bardzo małe. Istnieje jednak prostszy sposób na znalezienie rzędu macierzy – za pomocą przekształceń elementarnych.

B) Elementarna metoda transformacji

Definicja. Elementarne przekształcenia macierzy Nazywa się następujące przekształcenia:

    mnożenie ciągu przez liczbę inną niż zero;

    dodanie kolejnej linii do jednej linii;

    przegrupowanie linii;

    te same przekształcenia kolumn.

Transformacje 1 i 2 wykonywane są element po elemencie.

Łącząc transformacje pierwszego i drugiego typu, możemy dodać liniową kombinację pozostałych ciągów do dowolnego ciągu.

Twierdzenie. Przekształcenia elementarne nie zmieniają rangi macierzy.

(Brak dowodów)

Pomysł praktycznej metody obliczania rangi macierzy

polega na tym, że za pomocą elementarnych przekształceń tej macierzy doprowadzić do pojawienia się

, (5)

w którym elementy „przekątne”.
są różne od zera, a elementy znajdujące się poniżej „przekątnych” są równe zero. Zgódźmy się nazwać macierz tego typu trójkątny (inaczej nazywany jest ukośnym, trapezowym lub drabinkowym). Po redukcji macierzy do postaci trójkątnej możemy to od razu zapisać
.

Rzeczywiście,
(ponieważ przekształcenia elementarne nie zmieniają rangi). Ale matryca istnieje niezerowy porządek drugorzędny :

,

i każdy mniejszy porządek
zawiera ciąg zerowy i dlatego jest równy zero.

Sformułujmy teraz kwestię praktyczną reguła obliczania rang matryce stosując przekształcenia elementarne: znaleźć rząd macierzy należy go doprowadzić do postaci trójkątnej za pomocą elementarnych przekształceń . Następnie rząd macierzy będzie równa liczbie niezerowych wierszy wynikowej macierzy .

Przykład 10. Znajdź rząd macierzy metodą przekształceń elementarnych

Rozwiązanie.

Zamieńmy pierwszą i drugą linię (ponieważ pierwszym elementem drugiej linii jest -1 i wygodnie będzie za jej pomocą wykonać transformacje). W rezultacie otrzymujemy macierz równoważną tej.


Oznaczmy -ten wiersz macierzy – . Musimy zredukować pierwotną macierz do postaci trójkątnej. Pierwszą linię uznamy za linię wiodącą, będzie ona uczestniczyć we wszystkich przemianach, ale sama pozostanie niezmieniona.

W pierwszym etapie wykonamy przekształcenia, które pozwolą nam uzyskać zera w pierwszej kolumnie, za wyjątkiem pierwszego elementu. Aby to zrobić, odejmij pierwszą linię od drugiej linii i pomnóż przez 2
, dodaj pierwszą do trzeciej linii
, a od trzeciego odejmujemy pierwszy, pomnożony przez 3
Otrzymujemy macierz, której ranga pokrywa się z rangą tej macierzy. Oznaczmy to tą samą literą :

.

Ponieważ musimy zredukować macierz do postaci (5), odejmujemy drugą od czwartego rzędu. W tym przypadku mamy:

.

Otrzymuje się macierz w kształcie trójkąta i możemy z tego wyciągnąć wniosek
, czyli liczba niezerowych linii. W skrócie rozwiązanie problemu można zapisać w następujący sposób: