Łobaczewskiego na liniach równoległych. Nikołaj Łobaczewski: linie równoległe wciąż się przecinają! Nowa geometria - stare problemy

Zupełnie nie. Z definicji linie równoległe nie mają punktów przecięcia.

Porozmawiajmy teraz o geometrii i nieporozumieniach. „Samoloty” będą brane pod uwagę w całym tekście, cokolwiek to znaczy.

Geometria Euklidesa. To, czego uczono w szkole, jest tym, co jest bardziej znane i niemal dokładnie stosowane w życiu codziennym. Zwrócę uwagę na dwa fakty, które będą istotne później. Po pierwsze: w tej geometrii istnieje odległość, pomiędzy dowolnymi dwoma punktami istnieje najkrótsza droga i tylko jedna (odcinek linii prostej). Po drugie: przez punkt nie leżący na danej prostej można poprowadzić linię równoległą do danej i tylko jedną.

Odpowiada to pewnej parze aksjomatów z podręcznika Pogorelowa, więc wygodniej będzie mi na tym polegać.

Geometria Łobaczewskiego. Wszystko jest w porządku z odległością, ale trudno nam to sobie wyobrazić ze względu na ciągłą ujemną krzywiznę (jeśli nie rozumiemy, nie jest to straszne). Równoległość jest trudniejsza. Przez punkt znajdujący się poza linią zawsze możesz poprowadzić nie jedną, ale nieskończenie wiele równoległych linii.

Geometria sferyczna. Po pierwsze, co uważamy za „proste”. Proste linie na kuli - duże koła = koła wycięte na kuli przez płaszczyznę przechodzącą przez środek = koła o promieniu równym promieniowi kuli. Są to linie proste w tym sensie, że jest to najkrótsza droga pomiędzy niezbyt odległymi (nieco później okaże się które) punktami. Niektórzy mogli zauważyć, że jeśli miasta znajdują się na tym samym równoleżniku, to samolot nie leci wzdłuż tego równoleżnika, ale po wypukłej trajektorii na północ na półkuli północnej. Jeśli narysujesz, zauważysz, że duży okrąg łączący oba punkty biegnie na północ od równoleżnika.

Dlaczego odległość na kuli jest zła? Weźmy diametralnie przeciwne punkty na kuli, dla nich istnieje nieskończenie wiele najkrótszych ścieżek. Bardziej wyraźnie: spójrzmy na biegun północny i południowy. Przechodzą przez nie wszystkie Meriliany, wszystkie mają tę samą długość, każda inna ścieżka będzie dłuższa.

Nie ma żadnych linii równoległych; dowolne dwie linie przecinają się w diametralnie przeciwnych punktach.

Płaszczyzna projekcyjna. Najważniejsza i pierwsza różnica: dystansu nie ma i nie może być. W zasadzie nie można go wprowadzić tak, aby spełniał pewne warunki naturalne (zachowane podczas „ruchów” samolotu). Zatem sama geometria nie zna żadnych „nieskończenie odległych linii prostych”, wszystko to zostało wymyślone przez ludzi, aby w jakiś sposób zrozumieć płaszczyznę rzutową. „Najprościej”: wyobraźmy sobie płaszczyznę, do której jesteśmy przyzwyczajeni (tzw. „mapa afiniczna”) i dodaj do niej linię „nieskończenie odległą” oraz wszystkie linie, które były do ​​niej równoległe w płaszczyźnie, która które zostały przedstawione, przetną się w jednym punkcie na tej „nieskończenie odległej” linii. Ten opis jest dość prosty: napisałem coś w dwóch zdaniach, a ktoś już coś przesłał. Jest to jednak mylące; w geometrii rzutowej nie ma wyraźnej linii prostej. Ale ten opis już pokazuje, że linie równoległe

Niedawno w poście na tematy pseudonaukowe jeden z komentatorów wszczął rozmowę na temat geometrii Łobaczewskiego (że jej nie rozumie), a nawet zdawał się prosić o wyjaśnienia. Ograniczyłam się wówczas do stwierdzenia, że ​​rozumiem. Wydało mi się niemożliwe wyjaśnienie tej teorii w ograniczonych ramach komentarza i jednego tekstu (bez rysunków).

Jednakże po namyśle zdecydowałem się na krótką popularną wycieczkę po tej teorii.

Trochę tła. Od czasów Euklidesa geometria stała się teorią aksjomatyczną, w której większość twierdzeń została udowodniona na podstawie kilku postulatów (aksjomatów). Uważano, że aksjomaty te są „oczywiste”, tj. odzwierciedlają właściwości rzeczywistej (fizycznej) przestrzeni.

Jeden z tych aksjomatów wzbudził podejrzenia wśród naukowców: czy nie można go wywnioskować z pozostałych postulatów? Współczesne sformułowanie tego aksjomatu jest następujące:

„Przez punkt nie leżący na danej prostej można poprowadzić co najwyżej jedną prostą do niego równoległą.” Fakt, że można poprowadzić jedną linię prostą, nie jest aksjomatem, ale twierdzeniem.

W tym przypadku linię, która nie przecina danej, nazywa się „równoległą”. Zatem istotą aksjomatu jest to, że istnieje tylko jedna taka linia prosta!

(Rozpowszechnione stwierdzenie „Łobaczewski udowodnił, że linie równoległe mogą się przecinać” jest oczywiście rażąco błędne! Przecież byłoby to sprzeczne z ich definicją!)

Łobaczewski, podobnie jak wielu przed nim, postanowił udowodnić, że to stwierdzenie można wywnioskować z innych aksjomatów. Aby tego dokonać, jak to często bywa w matematyce, wybrał metodę „przez sprzeczność”, tj. zakładał, że danej linii nie przecina więcej niż jedna linia i starał się z tego wyprowadzić sprzeczność z innymi faktami. Jednak im dalej rozwijał tę teorię, tym bardziej utwierdzał się w przekonaniu, że nie przewidziano żadnej sprzeczności! Te. okazało się, że teoria z „błędnym” postulatem również ma prawo istnieć!

Oczywiście na początku nie rozpoznali jego obliczeń i wyśmiali go. Dlatego wielki Gauss (który doszedł do tych samych wniosków) nie odważył się opublikować swoich wyników. Ale z czasem musiałem przyznać, że CZYSTO LOGICZNIE teoria Łobaczewskiego nie jest gorsza od teorii Euklidesa.

Jednym z genialnych sposobów sprawdzenia tego jest wymyślenie takich „bezpośrednich”, które zachowują się jak „bezpośrednie” Łobaczewskiego. A matematycy znaleźli taki przykład i więcej niż jeden.

Być może najprostszym jest model Poincarégo. Możesz go zbudować samodzielnie, używając prostego sprzętu.

Narysuj prostą linię na kartce papieru. Weź kompas i kładąc jego igłę na tej linii prostej, narysuj półkola znajdujące się po jednej stronie prostej. Teraz usuń linię prostą (a wraz z nią punkty końcowe półkoli). Zatem te półkola „bez końców” będą się zachowywać jak linie proste w geometrii Łobaczewskiego!

Rzeczywiście, wybierzmy jedno półkole i punkt znajdujący się poza nim. Półkoli, które nie przecinają się z pierwotnym, jest sporo i wszystkie przechodzą przez ten punkt. Wśród nich wyróżniają się dwa: w punktach końcowych stykają się z naszą pierwotną „prostą” (którą, jak pamiętacie, wymazaliśmy), tj. nie następuje żadne rzeczywiste przecięcie. Te dwa okręgi wyznaczają „granice”, pomiędzy którymi znajdują się wszystkie linie, które nie przecinają tego. Jest ich nieskończona liczba.

Można zauważyć, że trójkąty w tym modelu nie są takie same jak na płaszczyźnie (euklidesowej): suma ich kątów jest mniejsza niż 180 stopni! Jednak im mniejszy trójkąt, tym większa suma jego kątów. W „małych” na krótkich dystansach geometria Łobaczewskiego praktycznie pokrywa się z geometrią Euklidesa. Dlatego też, ogólnie rzecz biorąc, nie będziemy w stanie „eksperymentalnie” rozróżnić jednych od drugich, jeśli okaże się, że dostępne nam odległości (kosmiczne) są do tego niewielkie.

Jednak w naszych czasach ani fizycy, ani zwłaszcza matematycy, nie próbują postrzegać geometrii Łobaczewskiego jako modelu „prawdziwej” przestrzeni fizycznej. Matematycy zdali sobie sprawę, że jedyne, co mogą powiedzieć, to: jeśli takie a takie aksjomaty są prawdziwe, to takie a takie twierdzenia są prawdziwe. Cóż, czym są „zbiory”, „punkty”, „proste”, „kąty”, „odległości” itp. – tego nie wiemy! Podobnie jak Stanisław Lem: „Groby to przedmioty, które należy sepultować”

„Mówi się, że Bertrand Russell zdefiniował matematykę jako naukę, w której nigdy nie wiemy, o czym mówimy i czy to, co mówimy, jest poprawne. Wiadomo, że matematyka jest szeroko stosowana w wielu innych dziedzinach nauki. […] Zatem jedną z głównych funkcji dowodu matematycznego jest zapewnienie wiarygodnej podstawy do wglądu w istotę rzeczy.”

(z książki „Fizycy żartują”)

Można uzyskać interesujące informacje na temat związku między matematyką a empirią

Historia powstania geometrii Łobaczewskiego jest jednocześnie historią prób udowodnienia piątego postulatu Euklidesa. Postulat ten jest jednym z aksjomatów ustanowionych przez Euklidesa jako podstawa jego prezentacji geometrii (patrz Euklides i jego „Elementy”). Postulat piąty jest ostatnim i najbardziej złożonym z twierdzeń zawartych przez Euklidesa w jego aksjomatykach geometrii. Przypomnijmy sformułowanie piątego postulatu: jeśli dwie proste przecina się z trzecią tak, że po dowolnej jej stronie suma kątów wewnętrznych jest mniejsza niż dwa kąty proste, to po tej samej stronie przecinają się pierwotne proste. Na przykład, jeśli na ryc. 1 kąt jest kątem prostym, a kąt jest nieco mniejszy niż kąt prosty, wtedy linie proste z pewnością się przetną i na prawo od linii prostej. Wiele twierdzeń Euklidesa (na przykład „w trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe”) wyraża znacznie prostsze fakty niż piąty postulat. Poza tym dość trudno jest doświadczalnie zweryfikować piąty postulat. Dość powiedzieć, że jeśli na rys. Przyjmuje się, że 1 odległość jest równa 1 m, a kąt różni się od prostej o jedną sekundę łukową, wówczas możemy obliczyć, że proste przecinają się w odległości ponad 200 km od prostej.

Wielu matematyków żyjących po Euklidesie próbowało udowodnić, że ten aksjomat (piąty postulat) jest zbędny, tj. można to udowodnić jako twierdzenie w oparciu o pozostałe aksjomaty. I tak w V w. Taką próbę podjął matematyk Proclus (pierwszy komentator dzieł Euklidesa). Jednak w swoim dowodzie Proclus, niezauważony dla siebie, posłużył się następującym stwierdzeniem: dwie prostopadłe do jednej prostej na całej swojej długości znajdują się w ograniczonej odległości od siebie (tj. dwie linie prostopadłe do trzeciej nie mogą oddalać się od siebie w nieskończoność , jak linie na ryc. 2). Ale pomimo całej pozornej wizualnej „oczywistości” stwierdzenie to wymaga uzasadnienia w ścisłym aksjomatycznym przedstawieniu geometrii. W istocie stwierdzenie Proklusa jest odpowiednikiem piątego postulatu; innymi słowy, jeśli dodamy go do pozostałych aksjomatów Euklidesa jako kolejny nowy aksjomat, wówczas można udowodnić piąty postulat (co zrobił Proclus), a jeśli przyjmiemy piąty postulat, wówczas można będzie udowodnić sformułowane przez Proklusa twierdzenie udowodniony.

Krytyczna analiza dalszych prób udowodnienia piątego postulatu ujawniła dużą liczbę podobnych „oczywistych” twierdzeń, które mogą zastąpić piąty postulat w aksjomatyce Euklidesa. Oto kilka przykładów takich odpowiedników piątego postulatu.

1) Przez punkt znajdujący się pod kątem mniejszym od rozłożonego zawsze można poprowadzić linię prostą przecinającą jego boki, czyli tzw. prostych na płaszczyźnie nie można zlokalizować w sposób pokazany na ryc. 3. 2) Istnieją dwa podobne trójkąty, które nie są sobie równe. 3) Trzy punkty znajdujące się po jednej stronie linii w równej odległości od niej (ryc. 4) leżą na tej samej prostej. 4) Dla każdego trójkąta istnieje okrąg opisany.

Stopniowo „dowody” stają się coraz bardziej wyrafinowane, a subtelne odpowiedniki piątego postulatu kryją się w nich coraz głębiej. Przyznając, że piąty postulat jest fałszywy, matematycy próbowali dojść do logicznej sprzeczności. Doszli do twierdzeń, które potwornie zaprzeczały naszej geometrycznej intuicji, ale nie osiągnęły żadnej logicznej sprzeczności. A może nigdy na tej drodze nie dojdziemy do sprzeczności? Czy mogłoby być tak, że zastępując piąty postulat Euklidesa jego negacją (zachowując resztę aksjomatów Euklidesa), otrzymamy nową, nieeuklidesową geometrię, która pod wieloma względami nie zgadza się z naszymi zwykłymi reprezentacjami wizualnymi, a mimo to nie zawiera żadnych logicznych sprzeczności? Matematycy nie mogli cierpieć z powodu tego prostego, ale bardzo śmiałego pomysłu przez dwa tysiące lat po pojawieniu się Elementów Euklidesa.

Pierwszym, który dopuścił możliwość istnienia geometrii nieeuklidesowej, w której piąty postulat zostaje zastąpiony jego zaprzeczeniem, był K. F. Gauss. Fakt, że Gauss był właścicielem idei geometrii nieeuklidesowej, odkryto dopiero po śmierci naukowca, kiedy zaczęto badać jego archiwa. Genialny Gauss, którego opinii wszyscy słuchali, nie odważył się publikować swoich wyników z geometrii nieeuklidesowej, w obawie przed niezrozumieniem i wciągnięciem w kontrowersje.

XIX wiek przyniósł rozwiązanie zagadki piątego postulatu. Nasz rodak, profesor Uniwersytetu Kazańskiego N.I. Łobaczewski, również doszedł do tego odkrycia niezależnie od Gaussa. Podobnie jak jego poprzednicy, Łobaczewski początkowo próbował wyciągnąć różne konsekwencje z odrzucenia piątego postulatu, mając nadzieję, że prędzej czy później dojdzie do sprzeczności. Udowodnił jednak kilkadziesiąt twierdzeń, nie ujawniając przy tym logicznych sprzeczności. I wtedy Łobaczewski wysunął przypuszczenie dotyczące spójności geometrii, w którym piąty postulat został zastąpiony jego zaprzeczeniem. Łobaczewski nazwał tę geometrię wyimaginowaną. Łobaczewski opisał swoje badania w wielu pracach, począwszy od 1829 r. Jednak świat matematyczny nie zaakceptował idei Łobaczewskiego. Naukowcy nie byli przygotowani na myśl, że może istnieć geometria inna niż euklidesowa. I tylko Gauss wyraził swój stosunek do naukowego wyczynu rosyjskiego naukowca: udało mu się wybrać N. I. Łobaczewskiego na członka-korespondenta Królewskiego Towarzystwa Naukowego w Getyndze w 1842 r. To jedyny zaszczyt naukowy, jaki przypadł Łobaczewskiemu za jego życia. Zmarł, nie osiągając uznania dla swoich idei.

Mówiąc o geometrii Łobaczewskiego, nie sposób nie wspomnieć o innym naukowcu, który wraz z Gaussem i Łobaczewskim podziela zasługę odkrycia geometrii nieeuklidesowej. Był to węgierski matematyk J. Bolyai (1802-1860). Jego ojciec, słynny matematyk F. Bolyai, który przez całe życie pracował nad teorią podobieństw, uważał, że rozwiązanie tego problemu przekracza ludzkie siły i chciał chronić syna przed niepowodzeniami i rozczarowaniami. W jednym z listów napisał do niego: „Przeszedłem przez całą beznadziejną ciemność tej nocy i pogrzebałem w niej wszelkie światło, każdą radość życia... to może pozbawić cię całego czasu, zdrowia, spokoju, wszystkiego szczęście twojego życia…” Ale Janos nie posłuchał ostrzeżeń ojca. Wkrótce młody naukowiec, niezależnie od Gaussa i Łobaczewskiego, doszedł do tych samych pomysłów. W dodatku do wydanej w 1832 r. książki ojca J. Bolyai przedstawił samodzielną prezentację geometrii nieeuklidesowej.

Geometria Łobaczewskiego (lub, jak się ją czasem nazywa, geometria Łobaczewskiego Bolyaia) zachowuje wszystkie twierdzenia, które w geometrii euklidesowej można udowodnić bez użycia piątego postulatu (lub równoległego aksjomatu jednego z odpowiedników piątego postulatu - zawartych w podręcznikach szkolnych te dni). Na przykład: kąty pionowe są równe; kąty u podstawy trójkąta równoramiennego są równe; z danego punktu można sprowadzić na daną prostą tylko jedną prostopadłą; zachowane są również znaki równości trójkątów itp. Modyfikuje się jednak twierdzenia, w dowodzie których zastosowano aksjomat równoległości. Twierdzenie o sumie kątów trójkąta jest pierwszym twierdzeniem kursu szkolnego, którego dowód wykorzystuje aksjomat równoległości. Tutaj czeka nas pierwsza „niespodzianka”: w geometrii Łobaczewskiego suma kątów dowolnego trójkąta jest mniejsza niż 180°.

Jeżeli dwa kąty jednego trójkąta są odpowiednio równe dwóm kątom drugiego trójkąta, to w geometrii euklidesowej trzecie kąty również są równe (takie trójkąty są podobne). W geometrii Łobaczewskiego nie ma takich trójkątów. Co więcej, w geometrii Łobaczewskiego istnieje czwarte kryterium równości trójkątów: jeśli kąty jednego trójkąta są odpowiednio równe kątom innego trójkąta, to te trójkąty są równe.

Różnica między 180° a sumą kątów trójkąta w geometrii Łobaczewskiego jest dodatnia; nazywa się to wadą tego trójkąta. Okazuje się, że w tej geometrii pole trójkąta jest wyjątkowo powiązane z jego wadą: , gdzie i oznaczają pole i wadę trójkąta, a liczba zależy od wyboru jednostek pomiaru pól i kątów.

Niech teraz będzie jakiś kąt ostry (ryc. 5). W geometrii Łobaczewskiego możesz wybrać taki punkt na boku, aby prostopadła do boku nie przecinała się z drugą stroną kąta. Fakt ten tylko potwierdza, że ​​piąty postulat nie jest spełniony: suma kątów i jest mniejsza od kąta rozłożonego, ale proste nie przecinają się. Jeśli zaczniesz przybliżać punkt do , powstanie taki „krytyczny” punkt, że prostopadła do boku nadal nie przecina się z bokiem, ale dla dowolnego punktu leżącego pomiędzy i odpowiednia prostopadła przecina się z bokiem. Są heteroseksualni i coraz bliżej siebie, ale nie mają punktów wspólnych. Na ryc. 6 linie te pokazano oddzielnie; Łobaczewski nazywa właśnie takie linie proste, które zbliżają się do siebie bez ograniczeń, równoległymi w swojej geometrii. A Łobaczewski nazywa dwie prostopadłe jedną linią prostą (które oddalają się od siebie w nieskończoność, jak na ryc. 2) rozbieżnymi liniami prostymi. Okazuje się, że ogranicza to wszystkie możliwości ułożenia dwóch linii na płaszczyźnie Łobaczewskiego: dwie rozbieżne linie albo przecinają się w jednym punkcie, albo są równoległe (ryc. 6), albo są rozbieżne (w tym przypadku mają jeden wspólny prostopadle, rys. 2).

Na ryc. 7, prostopadła do boku kąta nie przecina się z bokiem, a linie proste są symetryczne do prostych względem . Dalej, , więc jest prostopadłe do odcinka w jego środku i podobnie prostopadle do odcinka w jego środku. Prostopadłe te nie przecinają się i dlatego nie ma punktu równie odległego od punktów, tj. trójkąt nie ma okręgu opisanego.

Na ryc. Rysunek 8 przedstawia ciekawy wariant ułożenia trzech prostych na płaszczyźnie Łobaczewskiego: każde dwie z nich są równoległe (tylko w różnych kierunkach). I na ryc. 9 wszystkie linie są do siebie równoległe w tym samym kierunku (wiązka linii równoległych). Czerwona linia na ryc. 9 jest „prostopadle” do wszystkich narysowanych linii prostych (tj. styczna do tej linii w dowolnym punkcie jest prostopadła do prostej przechodzącej przez ). Linia ta nazywana jest okręgiem granicznym lub horocyklem. Proste linie rozważanej belki są niejako jej „promieniami”, a „środek” okręgu granicznego leży w nieskończoności, ponieważ „promienie” są równoległe. Jednocześnie okrąg graniczny nie jest linią prostą, jest „zakrzywiony”. Inne właściwości, które linia prosta ma w geometrii euklidesowej, w geometrii Łobaczewskiego, okazują się nieodłącznie związane z innymi liniami. Na przykład zbiór punktów położonych po jednej stronie danej linii w określonej odległości od niej, w geometrii Łobaczewskiego, jest linią zakrzywioną (nazywa się to równoodległą).

Krótko poruszyliśmy tylko niektóre fakty z geometrii Łobaczewskiego, nie wspominając o wielu innych bardzo interesujących i znaczących twierdzeniach (na przykład obwód i powierzchnia koła o promieniu rosną tutaj w zależności od prawa wykładniczego). Istnieje przekonanie, że teoria ta, bogata w bardzo ciekawe i znaczące fakty, jest w istocie spójna. Ale to przekonanie (które podzielali wszyscy trzej twórcy geometrii nieeuklidesowej) nie zastępuje dowodu spójności.

Aby uzyskać taki dowód, konieczne było zbudowanie modelu. Łobaczewski dobrze to zrozumiał i próbował ją znaleźć.

Ale sam Łobaczewski nie mógł już tego robić. Konstrukcja takiego modelu (tj. dowodu zgodności geometrii Łobaczewskiego) przypadła w udziale matematykom następnego pokolenia.

W 1868 roku włoski matematyk E. Beltrami zbadał wklęsłą powierzchnię zwaną pseudosferą (ryc. 10) i udowodnił, że geometria Łobaczewskiego działa na tej powierzchni! Jeśli narysujemy na tej powierzchni najkrótsze linie („geodezyjne”) i zmierzymy odległości wzdłuż tych linii, utworzymy trójkąty z łuków tych linii itp., wówczas okaże się, że wszystkie wzory geometrii Łobaczewskiego są dokładnie realizowane (w szczególności , suma kątów dowolnego trójkąta mniejszego niż 180°). To prawda, że ​​​​nie cała płaszczyzna Łobaczewskiego jest realizowana w pseudosferze, ale tylko jej ograniczona część, ale mimo to był to pierwszy wyłom w pustej ścianie nieuznania Łobaczewskiego. A dwa lata później niemiecki matematyk F. Klein (1849–1925) zaproponował kolejny model płaszczyzny Łobaczewskiego.

Klein bierze okrąg i rozważa rzutowe transformacje płaszczyzny (patrz Geometria rzutowa ), które odwzorowują okrąg na siebie. Klein nazywa wnętrze koła „płaszczyzną”, a wskazane przekształcenia rzutowe uważa za „ruchy” tej „płaszczyzny”. Ponadto Klein uważa każdą cięciwę okręgu (bez końców, ponieważ brane są pod uwagę tylko wewnętrzne punkty okręgu) za „linię prostą”. Ponieważ „ruchy” są transformacjami projekcyjnymi, w trakcie tych „ruchów” „bezpośrednie” zamieniają się w „bezpośrednie”. Teraz w tej „płaszczyźnie” możemy rozważać segmenty, trójkąty itp. Dwie figury nazywane są „równymi”, jeśli jedną z nich można przenieść na drugą jakimś „ruchem”. Wprowadza się w ten sposób wszystkie pojęcia wymienione w aksjomatach geometrii i można sprawdzić spełnienie aksjomatów w tym modelu. Na przykład oczywiste jest, że przez dowolne dwa punkty przechodzi tylko jedna „prosta” (ryc. 11). Można również zauważyć, że przez punkt nie należący do „linii” przechodzi nieskończona liczba „linii”, które się nie przecinają. Dalsza weryfikacja pokazuje, że w modelu Kleina spełnione są także wszystkie pozostałe aksjomaty geometrii Łobaczewskiego. W szczególności dla każdej „prostej” (tj. cięciwy okręgu) i dowolnego punktu tej „prostej” następuje „ruch”, który przenosi ją na inną zadaną prostą z zaznaczonym na niej punktem. Pozwala to sprawdzić spełnienie wszystkich aksjomatów geometrii Łobaczewskiego.

Inny model geometrii Łobaczewskiego zaproponował francuski matematyk A. Poincaré (1854-1912). Rozważa także wnętrze pewnego koła; Rozważa „proste” łuki okręgów, które stykają się z promieniami w punktach przecięcia z granicą okręgu (ryc. 12). Nie wdając się szczegółowo w temat „ruchów” w modelu Poincarégo (będą to przekształcenia kołowe, w szczególności inwersje względem „prostych”, przekształcające okrąg w samo w sobie), ograniczymy się do wskazania rys. 13, pokazując, że w tym modelu nie ma miejsca na euklidesowy aksjomat równoległości. Co ciekawe, w tym modelu okrąg (euklidesowy) znajdujący się wewnątrz koła okazuje się „kołem” w sensie geometrii Łobaczewskiego; okrąg dotykający granicy. Wtedy światło będzie (zgodnie z zasadą Fermata o minimalnym czasie ruchu po trajektorii światła) rozchodziło się dokładnie po „prostych” rozpatrywanego modelu. Światło nie może dotrzeć do granicy w skończonym czasie (ponieważ jego prędkość spada tam do zera), dlatego świat ten będzie postrzegany przez swoich „mieszkańców” jako nieskończony, a jego metryki i właściwości pokrywają się z płaszczyzną Łobaczewskiego.

Następnie zaproponowano inne modele geometrii Łobaczewskiego. Modele te ostatecznie ustaliły spójność geometrii Łobaczewskiego. Wykazano zatem, że geometria Euklidesa nie jest jedyną możliwą. Miało to ogromny postępowy wpływ na dalszy rozwój geometrii i matematyki w ogóle.

A w XX wieku. odkryto, że geometria Łobaczewskiego jest ważna nie tylko dla matematyki abstrakcyjnej jako jedna z możliwych geometrii, ale jest także bezpośrednio związana z zastosowaniami matematyki w fizyce. Okazało się, że odkryta w pracach H. Lorentza, A. Poincaré, A. Einsteina, G. Minkowskiego i opisana w ramach szczególnej teorii względności zależność między przestrzenią a czasem ma bezpośredni związek z geometrią Łobaczewskiego. Na przykład w obliczeniach współczesnych synchrofasotronów stosuje się wzory geometrii Łobaczewskiego.

Znaki równoległości dwóch linii

Twierdzenie 1. Jeżeli dwie proste przecinają się z sieczną:

skrzyżowane kąty są równe, lub

odpowiednie kąty są równe, lub

suma kątów jednostronnych wynosi zatem 180°

linie są równoległe(ryc. 1).

Dowód. Ograniczamy się do udowodnienia przypadku 1.

Niech przecinające się linie a i b będą poprzeczne, a kąty AB będą równe. Na przykład ∠ 4 = ∠ 6. Udowodnijmy, że a || B.

Załóżmy, że linie aib nie są równoległe. Następnie przecinają się w pewnym punkcie M i dlatego jeden z kątów 4 lub 6 będzie kątem zewnętrznym trójkąta ABM. Dla pewności niech ∠ 4 będzie kątem zewnętrznym trójkąta ABM, a ∠ 6 – kątem wewnętrznym. Z twierdzenia o kącie zewnętrznym trójkąta wynika, że ​​∠ 4 jest większe od ∠ 6, co jest sprzeczne z warunkiem, który oznacza, że ​​proste a i 6 nie mogą się przecinać, więc są równoległe.

Wniosek 1. Dwie różne linie leżące na płaszczyźnie prostopadłej do tej samej linii są równoległe(ryc. 2).

Komentarz. Sposób, w jaki właśnie udowodniliśmy przypadek 1 Twierdzenia 1, nazywany jest metodą dowodu przez sprzeczność lub redukcję do absurdu. Metoda ta otrzymała swoją pierwszą nazwę, ponieważ na początku wywodu przyjmuje się założenie sprzeczne (przeciwne) z tym, co należy udowodnić. Nazywa się to doprowadzeniem do absurdu, gdyż rozumując na podstawie przyjętych założeń, dochodzimy do absurdalnego wniosku (do absurdu). Otrzymanie takiego wniosku zmusza nas do odrzucenia przyjętego na początku założenia i przyjęcia tego, które wymagało udowodnienia.

Zadanie 1. Skonstruuj prostą przechodzącą przez dany punkt M i równoległą do danej prostej a, ale nie przechodzącą przez punkt M.

Rozwiązanie. Rysujemy prostą p przez punkt M prostopadle do prostej a (ryc. 3).

Następnie rysujemy linię b przechodzącą przez punkt M prostopadle do prostej p. Linia b jest równoległa do linii a zgodnie z wnioskiem z Twierdzenia 1.

Z rozważanego problemu wynika ważny wniosek:
przez punkt nie leżący na danej prostej zawsze można poprowadzić prostą równoległą do danej.

Główna właściwość linii równoległych jest następująca.

Aksjomat prostych równoległych. Przez dany punkt nie leżący na danej prostej przechodzi tylko jedna prosta równoległa do danej.

Rozważmy niektóre właściwości linii równoległych, które wynikają z tego aksjomatu.

1) Jeżeli linia przecina jedną z dwóch równoległych linii, to przecina także drugą (ryc. 4).

2) Jeżeli dwie różne linie są równoległe do trzeciej linii, to są one równoległe (ryc. 5).

Poniższe twierdzenie jest również prawdziwe.

Twierdzenie 2. Jeżeli dwie równoległe linie przecinają się przez poprzeczkę, to:

kąty poprzeczne są równe;

odpowiednie kąty są równe;

suma kątów jednostronnych wynosi 180°.

Konsekwencja 2. Jeżeli prosta jest prostopadła do jednej z dwóch równoległych linii, to jest także prostopadła do drugiej(patrz ryc. 2).

Komentarz. Twierdzenie 2 nazywane jest odwrotnością Twierdzenia 1. Konkluzja Twierdzenia 1 jest warunkiem Twierdzenia 2. Natomiast warunek Twierdzenia 1 jest konkluzją Twierdzenia 2. Nie każde twierdzenie ma odwrotność, to znaczy, jeśli dane twierdzenie jest prawda, to twierdzenie odwrotne może być fałszywe.

Wyjaśnimy to na przykładzie twierdzenia o kątach pionowych. Twierdzenie to można sformułować w następujący sposób: jeśli dwa kąty są pionowe, to są one równe. Twierdzenie odwrotne brzmiałoby: jeśli dwa kąty są równe, to są pionowe. A to oczywiście nie jest prawdą. Dwa równe kąty nie muszą być pionowe.

Przykład 1. Dwie równoległe linie przecina trzecia. Wiadomo, że różnica między dwoma wewnętrznymi kątami jednostronnymi wynosi 30°. Znajdź te kąty.

Rozwiązanie. Niech rysunek 6 spełnia warunek.

Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

• Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

• Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą w sprawie wyjątkowych ofert, promocji i innych wydarzeń oraz nadchodzących wydarzeń.
• Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
• Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawienia rekomendacji dotyczących naszych usług.
• Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.

Ujawnianie informacji osobom trzecim

Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.

Wyjątki:

• Jeżeli jest to konieczne – zgodnie z przepisami prawa, procedurą sądową, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków organów rządowych na terytorium Federacji Rosyjskiej – do ujawnienia Twoich danych osobowych. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
• W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.