Wykład nr 7

Samolot i linia w przestrzeni

prof. Dymkow M.P.

1. Równanie parametryczne prostej

Niech punkt M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) będzie dany na prostej i wektor s = (l, m, n) leżący na

tej linii (lub równolegle do niej). Wektor s jest również nazywany wektor kierunku prosty.

Warunki te jednoznacznie określają linię prostą w przestrzeni. Znajdźmy ją

równanie. Weźmy dowolny punkt M (x, y, z) na prostej. Jest oczywiste, że wektory

M 0 M (x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 ) i s są współliniowe.

Zatem M 0 M = t s − jest równaniem wektorowym linii prostej.

W zapisie współrzędnych ostatnie równanie ma następującą reprezentację parametryczną

x = x0 + t l ,

y = y0 + tm,

z = z0 + tn,

−∞ < t < +∞,

gdzie t – „biegnie”

przedział (−∞,∞) ,

(ponieważ punkt M (x, y, z) musi

"uruchomić"

całą linię prostą).

2. Równanie kanoniczne prostej

Eliminując parametr t z poprzednich równań, mamy

x - x

y-y

z-z

T-

równanie kanoniczne prosty.

3. Kąt pomiędzy liniami prostymi. Warunki „” i „” dwóch linii

Niech zostaną dane dwie proste

x-xi

y-yi

z-zi

ja = 1,2.

Definicja.

Kąt między liniami prostymi L 1 i L 2

nazwijmy dowolny kąt od

dwa kąty utworzone przez dwie proste, odpowiednio równoległe do danej i przechodzące przez jeden punkt (co może wymagać równoległego przesunięcia jednej z prostych).

Z definicji wynika, że jeden z kątów jest równy kątowi ϕ pomiędzy

kierowanie wektorami prostych

= (l 1 , m 1 , n 1 )

= (l 2 , m 2 , n 2 ) , [i drugi kąt

wtedy będzie równe (π − φ )]. Następnie kąt wyznacza się z zależności

cosφ =

l 1 2 + m 1 2 + n 1 2

l 2 2 + m 2 2 + n 2 2

Linie są równoległe, jeśli s i s

współliniowy

Linie są prostopadłe do s 1 s 2 l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0.

4. Kąt między linią prostą a płaszczyzną. Warunki „” i „” bezpośrednie i

samolot

Niech prostą L zdefiniujemy poprzez jej równanie kanoniczne x − l x 0 = y − m y 0 = z − n z 0 ,

i płaszczyzna P – według równania

Topór + By + Cz + D = 0.

Definicja. Kąt pomiędzy prostą L

a płaszczyzna p nazywa się ostry róg pomiędzy prostą L a jej rzutem na płaszczyznę.

Z definicji (i rysunku) wynika, że pożądany kąt ϕ jest dopełniający (do prosty kąt) do kąta między wektorem normalnym n (A, B, C) i

wektor kierunkowy s (l,m,n) .

Al + Bm + Cn

−φ

Grzech φ =

ZA 2 + B 2 + C 2 l 2 + m 2 + n 2

(.zrobione, aby uzyskać ostry kąt).

Jeśli L Р, to s n (s, n) = 0

Al + Bm + Cn = 0 -			stan " ".
Jeśli L Р, to s jest współliniowe z n
		C-	stan " ".


5. Punkty przecięcia prostej i płaszczyzny
L: x = x0 + l, t,			y = y0 + m t , z = z0 + n t ;
P: Siekiera + By + Cz + D = 0.
Podstawiając wyrażenia x, y, z do równania płaszczyzny i przekształcając,
	t = − Ax 0 + By 0 + Cz 0 + re .
		Al + Bm + Cn

Teraz, jeśli podstawimy znalezione „t” do równań parametrycznych linii, znajdziemy pożądany punkt przecięcia

Wykład nr 8-9

Podstawy analizy matematycznej

prof. Dymkow M.P.

Jedną z głównych operacji analizy matematycznej jest operacja przejścia do granicy, którą można znaleźć w kursie różne formy. Zaczniemy od najprostszej formy działania ograniczania, opartej na koncepcji granicy, tzw sekwencja liczb. Ułatwi nam to wprowadzenie i bardzo innego ważna forma operacje przejścia do granicy - granicy funkcji. Następnie konstrukcje przejść granicznych zostaną wykorzystane w konstrukcji rachunku różniczkowego i całkowego.



 Ciągi nieskończenie małe i nieskończenie duże

 Związek pomiędzy ciągami nieskończenie dużymi i nieskończenie małymi.

 Najprostsze własności ciągów nieskończenie małych

 Granica spójności.

 Własności ciągów zbieżnych

 Działania arytmetyczne na ciągach zbieżnych

 Monotonne sekwencje

 Kryterium zbieżności Cauchy'ego

 Liczba e i jej ilustracja ekonomiczna.

 Zastosowanie limitów w obliczeniach ekonomicznych

§ 1. Ciągi liczbowe i proste własności

1. Pojęcie ciągu liczbowego. Działania arytmetyczne na ciągach

Ciągi liczbowe to nieskończone zbiory liczb. Przykłady ciągów znane są ze szkoły:

1) ciąg wszystkich wyrazów nieskończonego postępu arytmetycznego i geometrycznego;

2) ciąg regularnych obwodów n-kąty wpisane w dany okrąg;

	3) ciąg liczb							zbliża się do liczby

nazwiemy to ciągiem liczbowym (lub po prostu sekwencja).

Poszczególne liczby x 3 , x 5 , x n będą nazywane elementami lub elementami ciągu (1). Symbol xn nazywany jest wspólnym lub n-tym członkiem danego ciągu. Podając wartość n = 1, 2, ... w ogólnym wyrażeniu x n otrzymujemy odpowiednio pierwsze x 1, drugie x 2 itd. członkowie.

Sekwencję uważa się za daną (patrz Definicja), jeśli określona jest metoda uzyskania któregokolwiek z jej elementów. Często sekwencję podaje się za pomocą wzoru na wspólny wyraz sekwencji.

Aby skrócić notację, ciąg (1) jest czasami zapisywany jako

(xn). Na przykład,			oznacza sekwencję 1,
(xn). Na przykład,			oznacza sekwencję 1,

( 1+ (− 1)n ) mamy			0, 2, 0, 2, … .

Struktura terminu ogólnego (jego formuła) może być złożona. Na przykład,


		n N.
x n =	n-dziwne	n N.

Czasami kolejność jest określona przez tzw powtarzające się formuły, tj. formuły, które pozwalają znaleźć kolejne wyrazy ciągu, korzystając ze znanych poprzednich.

Przykład (liczby Fibonacciego). Niech x 1 = x 2 = 1 i dane formuła powtarzalności x n = x n - 1 + x n - 2 dla n = 3, 4, … . Następnie mamy sekwencję 1, 1,

2, 3, 5, 8, ... (liczby Leonarda z Pizy, zwanego Fibonacciem). Z geometrycznego punktu widzenia ciąg liczb można przedstawić na liczbie

oś w postaci ciągu punktów, których współrzędne są równe odpowiadającym im

odpowiadające sobie elementy ciągu. Na przykład ( x n ) = 1 n .

Wykład nr 8-9 Podstawy analizy matematycznej prof. Dymkow M.P. 66

Rozważmy obok ciągu ( x n ) jeszcze jeden ciąg ( y n ): y 1, y 2, y, n (2).

Definicja. Suma (różnica, iloczyn, iloraz) ciągu

z ( xn ) i ( yn ) to ciąg ( zn ), którego elementy

wykształcony wg

z n = x n + y n

X-y

≠ 0

Iloczyn ciągu (xn) przez liczbę c R jest ciągiem (c xn).

Definicja. Ciąg (xn) nazywany jest ograniczonym

z góry (z dołu), jeśli istnieje liczba rzeczywista M (m) taka, że każdy element tego ciągu xn spełnia nierówność

xn ≤ M (xn ≥ m) . Ciąg nazywamy ograniczonym, jeśli jest ograniczony zarówno powyżej, jak i poniżej m ≤ xn ≤ M . Nazywa się ciąg xn

jest nieograniczona, jeśli dla liczby dodatniej A (tak dużej, jak to pożądane) przynajmniej jest jeden element ciągu xn, spełniający

spełniając nierówność xn > A.

( x n ) = ( 1n ) – ograniczone, ponieważ 0 ≤ x n ≤ 1.

( x n ) = ( n ) - ograniczony od dołu przez 1, ale nieograniczony.

( x n ) = ( - n ) - ograniczony z góry (–1), ale także nieograniczony.

Definicja. Nazywa się ciąg ( x n ). nieskończenie mały,

jeśli dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej ε (niezależnie od tego, jak mała jest) istnieje liczba N, zależna, ogólnie rzecz biorąc, od ε, (N = N (ε)) taka, że dla wszystkich n ≥ N zachodzi nierówność x n< ε .

Przykład. ( x n ) = 1 n .

Definicja. Wywoływana jest sekwencja (xn). nieskończenie bolesne

dobrze, jeśli dla dodatniej liczby rzeczywistej A (nieważne, jak duża jest) istnieje liczba N (N = N(A)) taka, że dla wszystkich n ≥ N

otrzymujemy nierówność xn > A.

Linia prosta i punkt są ważne elementy geometria, za pomocą której konstruuje się wiele figur w przestrzeni i na płaszczyźnie. W artykule szczegółowo omówiono parametryczne równania oraz ich powiązania z innymi typami równań dla tego elementu geometrycznego.

Linia prosta i równania ją opisujące

Linia prosta w geometrii to zbiór punktów łączących dowolne dwa punkty w przestrzeni odcinkiem o najkrótszej długości. Ten odcinek jest częścią linii prostej. Wszelkie inne krzywe łączące dwa stałe punkty w przestrzeni będą dłuższe i dlatego nie będą proste.

Na powyższym obrazku widać dwie czarne kropki. Niebieska linia łącząca je jest prosta, a czerwona linia jest zakrzywiona. Jest oczywiste, że długość czerwonej linii pomiędzy czarnymi kropkami jest większa niż niebieskiej.

Istnieje kilka typów równań linii, których można użyć do opisania linii w przestrzeni trójwymiarowej lub w przestrzeni dwuwymiarowej. Poniżej znajdują się nazwy tych równań:

wektor;
parametryczny;
w segmentach;
symetryczny lub kanoniczny;
typ ogólny.

W tym artykule rozważymy równanie parametryczne linii prostej, ale wyprowadzimy je z równania wektorowego. Pokażemy także powiązania między równaniami parametrycznymi i symetrycznymi lub kanonicznymi.

Równanie wektora

Oczywiste jest, że wszystkie podane typy równań dla rozważanego elementu geometrycznego są ze sobą powiązane. Jednakże równanie wektora jest dla nich wszystkich podstawą, gdyż wynika bezpośrednio z definicji linii prostej. Zastanówmy się, jak jest to wprowadzone do geometrii.

Załóżmy, że mamy punkt w przestrzeni P(x 0 ; y 0 ; z 0). Wiadomo, że ten punkt należy do prostej. Ile linii można przez nią przeciągnąć? Nieskończona mnogość. Dlatego, aby narysować pojedynczą linię prostą, konieczne jest określenie kierunku tej ostatniej. Jak wiadomo, kierunek jest wyznaczany przez wektor. Oznaczmy go v¯(a; b; c), gdzie symbole w nawiasach to jego współrzędne. Dla każdego punktu Q(x; y; z), który leży na rozpatrywanej prostej, możemy zapisać równość:

(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + α × (a; b; c)

Tutaj symbol α jest parametrem, który przyjmuje absolutnie dowolną wartość rzeczywistą (mnożenie wektora przez liczbę może jedynie zmienić jego wielkość lub kierunek na przeciwny). Równość tę nazywa się równaniem wektorowym prostej w przestrzeni trójwymiarowej. Zmieniając parametr α, otrzymujemy wszystkie punkty (x; y; z) tworzące tę prostą.

Wektor v¯(a; b; c) w równaniu nazywany jest wektorem kierującym. Linia prosta nie ma określonego kierunku, a jej długość jest nieskończona. Fakty te oznaczają, że dowolny wektor uzyskany z v¯ poprzez pomnożenie przez prawdziwy numer, będzie jednocześnie przewodnikiem po linii prostej.

Jeśli chodzi o punkt P(x 0 ; y 0 ; z 0), to zamiast niego w równaniu można podstawić dowolny punkt leżący na prostej, a ten się nie zmieni.

Powyższy rysunek przedstawia linię prostą (linia niebieska), która jest zdefiniowana w przestrzeni poprzez wektor kierunkowy (odcinek skierowany w kolorze czerwonym).

Nie jest trudno uzyskać podobną równość dla przypadku dwuwymiarowego. Stosując podobne rozumowanie dochodzimy do wyrażenia:

(x; y) = (x 0 ; y 0) + α × (a; b)

Widzimy, że jest zupełnie taki sam jak poprzedni, do określenia punktów i wektorów używane są tylko dwie współrzędne zamiast trzech.

Równanie parametryczne

Najpierw otrzymujemy równanie parametryczne linii prostej w przestrzeni. Powyżej, gdy pisano równość wektora, wspomnieliśmy już o parametrze, który w nim występuje. Aby otrzymać równanie parametryczne wystarczy rozwinąć równanie wektorowe. Otrzymujemy:

x = x 0 + α × a;
y = y 0 + α × b;
z = z 0 + α × do
Zbiór tych trzech równości liniowych, z których każda ma jedną zmienną współrzędną i parametr α, nazywany jest zwykle równaniem parametrycznym linii w przestrzeni. W rzeczywistości nie zrobiliśmy nic nowego, ale po prostu wyraźnie zapisaliśmy znaczenie odpowiedniego wyrażenia wektorowego. Zwróćmy uwagę tylko na jeden punkt: liczba α, choć dowolna, jest taka sama dla wszystkich trzech równości. Przykładowo, jeśli α = -1,5 dla pierwszej równości, to przy wyznaczaniu współrzędnych punktu tę samą wartość należy podstawić w drugiej i trzeciej równości.
Równanie parametryczne linii na płaszczyźnie jest podobne jak w przypadku przestrzennym. Jest napisane jako:

x = x 0 + α × a;
y = y 0 + α × b

Zatem, aby ułożyć równanie parametryczne prostej, należy jawnie zapisać dla niej równanie wektorowe.

Otrzymanie równania kanonicznego

Jak wspomniano powyżej, wszystkie równania definiujące linię w przestrzeni i na płaszczyźnie są uzyskiwane od siebie. Pokażemy, jak otrzymać kanoniczną linię prostą z równania parametrycznego. Dla przypadku przestrzennego mamy:

x = x 0 + α × a;
y = y 0 + α × b;
z = z 0 + α × do

Wyraźmy parametr w każdej równości:

α = (x - x 0) / a;
α = (y - y 0) / b;
α = (z - z 0) / do

Ponieważ lewe strony są takie same, to prawe strony równości również są sobie równe:

(x - x 0) / a = (y - y 0) / b = (z - z 0) / c

To jest równanie kanoniczne prostej w przestrzeni. Wartością mianownika w każdym wyrażeniu jest odpowiednia współrzędna. Wartości w liczniku odejmowane od każdej zmiennej to współrzędne punktu na tej prostej.
Odpowiednie równanie dla przypadku na płaszczyźnie ma postać:

(x - x 0) / a = (y - y 0) / b

Równanie prostej przechodzącej przez 2 punkty

Wiadomo, że dwa stałe punkty zarówno na płaszczyźnie, jak i w przestrzeni jednoznacznie definiują linię prostą. Załóżmy, że dane są dwa następujące punkty na płaszczyźnie:

Jak napisać przez nie równanie prostej? Najpierw musisz określić wektor kierunkowy. Jego współrzędne mają następujące wartości:

PQ¯(x 2 - x 1 ; y 2 - y 1)

Teraz możesz zapisać równanie w dowolnej z trzech form omówionych w powyższych akapitach. Na przykład równanie parametryczne linii prostej ma postać:

x = x 1 + α × (x 2 - x 1);
y = y 1 + α × (y 2 - y 1)

W formie kanonicznej możesz przepisać to w ten sposób:

(x - x 1) / (x 2 - x 1) = (y - y 1) / (y 2 - y 1)

Widać, że równanie kanoniczne zawiera współrzędne obu punktów, a punkty te można zmieniać w liczniku. Zatem ostatnie równanie można przepisać w następujący sposób:

(x - x 2) / (x 2 - x 1) = (y - y 2) / (y 2 - y 1)

Wszystkie pisemne wyrażenia nazywane są równaniami linii prostej przechodzącej przez 2 punkty.

Problem z trzema punktami

Podano współrzędne następujących trzech punktów:

Konieczne jest ustalenie, czy punkty te leżą na tej samej linii, czy nie.
Zadanie to należy rozwiązać w ten sposób: najpierw utwórz równanie prostej dla dowolnych dwóch punktów, a następnie podstaw do niego współrzędne trzeciego i sprawdź, czy spełniają one otrzymaną równość.
Tworzymy równanie w kategoriach M i N w formie parametrycznej. W tym celu stosujemy wzór uzyskany w powyższym akapicie, który uogólniamy na przypadek trójwymiarowy. Mamy:

x = 5 + α × (-3);
y = 3 + α × (-1);
z = -1 + α × 1

Podstawmy teraz współrzędne punktu K do tych wyrażeń i znajdźmy wartość parametru alfa, który im odpowiada. Otrzymujemy:

1 = 5 + α × (-3) => α = 4/3;
1 = 3 + α × (-1) => α = 4;
5 = -1 + α × 1 => α = -4

Stwierdziliśmy, że wszystkie trzy równości będą prawdziwe, jeżeli każda z nich przyjmie inną wartość parametru α. Ten ostatni fakt stoi w sprzeczności z warunkiem równania parametrycznego prostej, w którym α musi być równe dla wszystkich równań. Oznacza to, że punkt K nie należy do prostej MN, co oznacza, że wszystkie trzy punkty nie leżą na tej samej prostej.

Problem równoległości

Biorąc pod uwagę dwa równania prostych w postać parametryczna. Poniżej przedstawiono je:

x = -1 + 5 × α;
x = 2 - 6 × λ;
y = 4 - 3,6 × λ

Konieczne jest ustalenie, czy linie są równoległe. Najłatwiejszym sposobem określenia równoległości dwóch linii jest użycie współrzędnych wektorów kierunkowych. Wracając do ogólnego wzoru równania parametrycznego w przestrzeni dwuwymiarowej, stwierdzamy, że wektory kierunkowe każdej prostej będą miały współrzędne:

Dwa wektory są równoległe, jeśli jeden z nich można otrzymać mnożąc drugi przez jakąś liczbę. Podzielmy współrzędne wektorów parami, otrzymamy:

To znaczy, że:

v 2 ¯ = -1,2 × v 1 ¯

Kierunki wektorów v 2 ¯ i v 1 ¯ są równoległe, co oznacza, że linie w opisie problemu są również równoległe.
Sprawdźmy, czy są to te same linie. Aby to zrobić, musisz zastąpić współrzędne dowolnego punktu w równaniu innym. Weźmy punkt (-1; 3) i podstawmy go do równania drugiej prostej:

1 = 2 - 6 × λ => λ = 1/2;
3 = 4 - 3,6 × λ => λ ≈ 0,28

Oznacza to, że linie proste są różne.

Problem prostopadłości prostych

Dane są równania dwóch prostych:

x = 2 + 6 × λ;
y = -2 - 4 × λ

Czy te linie są prostopadłe?
Dwie linie będą prostopadłe, jeśli iloczyn skalarny ich wektorów kierunkowych wynosi zero. Zapiszmy te wektory:

Znajdźmy ich iloczyn skalarny:

(v 1 ¯ × v 2 ¯) = 2 × 6 + 3 × (-4) = 12 - 12 = 0

W ten sposób dowiedzieliśmy się, że rozważane linie są prostopadłe. Pokazano je na powyższym obrazku.

Przyrównanie każdego z ułamków do określonego parametru w równaniach kanonicznych linii prostej T:

Otrzymujemy równania wyrażające aktualne współrzędne każdego punktu na linii poprzez parametr T.

Zatem równania parametryczne prostej mają postać:

Równania prostej przechodzącej przez dwa dane punkty.

Niech zostaną dane dwa punkty M 1 (x 1, y 1, z 1) i M2 (x 2 , y 2 , z 2). Równania prostej przechodzącej przez dwa dane punkty otrzymuje się w taki sam sposób, jak podobne równanie na płaszczyźnie. Dlatego od razu przedstawiamy postać tego równania.

Linia prosta na przecięciu dwóch płaszczyzn. Ogólne równanie prostej w przestrzeni.

Jeśli weźmiemy pod uwagę dwie nierównoległe płaszczyzny, to ich przecięcie będzie linią prostą.

Jeśli normalne wektory I niewspółliniowy.

Poniżej, rozważając przykłady, pokażemy, jak przekształcić takie równania liniowe do równań kanonicznych.

5.4 Kąt pomiędzy dwiema prostymi. Warunek równoległości i prostopadłości dwóch prostych.

Kąt pomiędzy dwiema prostymi w przestrzeni będzie nazywany dowolnym z kątów utworzonych przez dwie linie proste poprowadzone przez dowolny punkt równoległy do danych.

Niech dwie proste zostaną określone przez ich równania kanoniczne.

Przyjmijmy kąt między wektorami kierunku jako kąt między dwiema prostymi.

Warunek prostopadłości dwóch prostych sprowadza się do warunku prostopadłości ich wektorów kierunkowych oraz , czyli do równości iloczynu skalarnego do zera: lub w postaci współrzędnych: .

Warunek równoległości dwóch prostych sprowadza się do warunku równoległości ich wektorów kierunkowych i

5.5 Wzajemne porozumienie proste i płaskie.

Niech zostaną podane równania prostej:

i samoloty. Kąt między linią prostą a płaszczyzną będzie nazywany dowolnym z dwóch sąsiednich kątów utworzonych przez linię prostą i jej rzut na płaszczyznę (rysunek 5.5).

Ryc. 5.5

Jeśli linia jest prostopadła do płaszczyzny, wektor kierunkowy tej linii i wektor normalny do płaszczyzny są współliniowe. Zatem warunek prostopadłości prostej i płaszczyzny sprowadza się do warunku współliniowości wektorów

Jeżeli prosta i płaszczyzna są równoległe, to ich powyższe wektory są wzajemnie prostopadłe. Zatem warunek równoległości prostej i płaszczyzny sprowadza się do warunku prostopadłości wektorów; te. ich iloczyn skalarny wynosi zero lub w formie współrzędnych: .

Poniżej znajdują się przykłady rozwiązań problemów związanych z tematem rozdziału 5.

Przykład 1:

Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt A (1,2,4) prostopadłej do prostej określonej równaniem:

Rozwiązanie:

Skorzystajmy z równania przechodzącej przez nią płaszczyzny dany punkt prostopadle do danego wektora.

A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0

Za punkt przyjmujemy punkt A (1,2,4), przez który zgodnie z warunkiem przechodzi płaszczyzna.

Znając równania kanoniczne prostej, znamy wektor równoległy do prostej.

Ze względu na to, że pod warunkiem linia prosta jest prostopadła do pożądanej płaszczyzny, wektor kierunkowy można przyjąć jako wektor normalny płaszczyzny.

Otrzymujemy zatem równanie płaszczyzny w postaci:

2(x-1)+1(y-2)+4(z-4)=0

2x+y+4z-16=0

2x+y+4z-20=0

Przykład 2:

Znajdź w samolocie 4х-7у+5z-20=0 taki punkt P, dla którego OR tworzy kąty równe z osiami współrzędnych.

Rozwiązanie:

Zróbmy schematyczny rysunek. (ryc. 5.6)

Rysunek 5.6

Pusty punkt P ma współrzędne . Ponieważ wektor tworzy kąty równe z osiami współrzędnych, cosinusy kierunku tego wektora są sobie równe

Znajdźmy rzuty wektora:

wówczas można łatwo znaleźć cosinusy kierunku tego wektora.

Z równości cosinusów kierunku wynika równość:

x p = y p = z p

ponieważ punkt P leży na płaszczyźnie, to podstawienie współrzędnych tego punktu do równania płaszczyzny zamienia go w tożsamość.

4x р -7х р +5х р -20=0

2x p =20

x p = 10

Odpowiednio: y r=10; z r=10.

Zatem pożądany punkt P ma współrzędne P(10;10;10)

Przykład 3:

Biorąc pod uwagę dwa punkty A (2,-1,-2) i B (8,-7,5). Znajdź równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt B, prostopadłej do odcinka AB.

Rozwiązanie:

Aby rozwiązać problem, korzystamy z równania płaszczyzny przechodzącej przez dany punkt prostopadle do zadanego wektora.

A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0

Punkt B (8,-7,5) wykorzystujemy jako punkt, a wektor prostopadły do płaszczyzny jako wektor. Znajdźmy rzuty wektora:

wówczas otrzymujemy równanie płaszczyzny w postaci:

6(x-8)-6(y+7)+7(z-5)=0

6х-48-6у-42+7z-35=0

6x-6y+7z-35=0

6x-6y+7z-125=0

Przykład 4:

Znajdź równanie płaszczyzny równoległej do osi OY i przechodzącej przez punkty K(1,-5,1) i M(3,2,-2).

Rozwiązanie:

Ponieważ płaszczyzna jest równoległa do osi OY, zastosujemy niepełne równanie płaszczyzny.

Topór+Cz+D=0

Z uwagi na to, że punkty K i M leżą na płaszczyźnie, otrzymujemy dwa warunki.

Wyraźmy współczynniki A i C z tych warunków w postaci D.

Podstawmy znalezione współczynniki do niekompletne równanie samolot:

ponieważ , to redukujemy D:

Przykład 5:

Znajdź równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty M(7,6,7), K(5,10,5), R(-1,8,9)

Rozwiązanie:

Skorzystajmy z równania płaszczyzny przechodzącej przez 3 dane punkty.

zastępowanie współrzędnych punkty M, K, R jako pierwszy, drugi i trzeci otrzymujemy:

Rozwińmy wyznacznik w pierwszej linii.

Przykład 6:

Znajdź równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty M 1 (8, -3,1); M 2 (4,7,2) i prostopadle do płaszczyzny 3х+5у-7z-21=0

Rozwiązanie:

Zróbmy schematyczny rysunek (rysunek 5.7)

Rysunek 5.7

Oznaczmy daną płaszczyznę P 2 i pożądaną płaszczyznę P 2. . Z równania dany samolot P 1 wyznaczamy rzut wektora prostopadłego do płaszczyzny P 1.

Wektor można przenieść do płaszczyzny P2 poprzez przeniesienie równoległe, ponieważ zgodnie z warunkami zadania płaszczyzna P2 jest prostopadła do płaszczyzny P1, co oznacza, że wektor jest równoległy do płaszczyzny P2.

Znajdźmy rzuty wektora leżącego na płaszczyźnie P2:

teraz mamy dwa wektory leżące w płaszczyźnie P 2. oczywiście wektor , równy iloczynowi wektorów wektorów i będzie prostopadły do płaszczyzny P 2, ponieważ jest prostopadły do, a zatem jego wektor normalny do płaszczyzny P 2.

Wektory i są definiowane przez ich rzuty, zatem:

Następnie korzystamy z równania płaszczyzny przechodzącej przez dany punkt prostopadle do wektora. Jako punkt możesz przyjąć dowolny z punktów M 1 lub M 2, na przykład M 1 (8,-3,1); Przyjmujemy jako wektor normalny do płaszczyzny P2.

74(x-8)+25(y+3)+50(z-1)=0

3(x-8)+(y-3)+2(z-1)=0

3x-24+y+3+27-2=0

3x+y+2z-23=0

Przykład 7:

Linię prostą definiuje się przez przecięcie dwóch płaszczyzn. Znajdź równania kanoniczne prostej.

Rozwiązanie:

Mamy równanie w postaci:

Musimy znaleźć punkt ( x 0, y 0, z 0), przez który przechodzi prosta i wektor kierunkowy.

Wybierzmy jedną ze współrzędnych dowolnie. Na przykład, z=1, wówczas otrzymujemy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi:

W ten sposób znaleźliśmy punkt leżący na żądanej prostej (2,0,1).

Jako wektor kierunkowy pożądanej linii prostej bierzemy grafika wektorowa wektory i , które są wektorami normalnymi, ponieważ , a zatem równolegle do żądanej linii.

Zatem wektor kierunkowy linii ma rzuty. Korzystając z równania prostej przechodzącej przez dany punkt równolegle do zadanego wektora:

Zatem wymagane równanie kanoniczne ma postać:

Przykład 8:

Znajdź współrzędne punktu przecięcia prostej i płaszczyzny 2x+3y+3z-8=0

Rozwiązanie:

Zapiszmy podane równanie prostej w postaci parametrycznej.

x=3t-2; y=-t+2; z=2t-1

każdy punkt na linii odpowiada pojedynczej wartości parametru T. Aby znaleźć parametr T odpowiadającemu punktowi przecięcia prostej i płaszczyzny, podstawiamy wyrażenie do równania płaszczyzny x, y, z poprzez parametr T.

2(3t-2)+(-t+2)+3(2t-1)-8=0

6t-4-3t+6+6t-3-8=0

t=1

następnie współrzędne żądanego punktu

żądany punkt przecięcia ma współrzędne (1;1;1).

Przykład 9:

Znajdź równanie płaszczyzny przechodzącej przez linie równoległe.

Zróbmy schematyczny rysunek (rysunek 5.9)

Ryc. 5.9

Z dane równania linie proste i wyznacz rzuty wektorów kierunkowych tych prostych. Znajdźmy rzuty wektora leżącego na płaszczyźnie P i weźmy punkty z równań kanonicznych prostych M 1 (1,-1,2) i M 2 (0,1,-2).

Nazywa się równanie, które oprócz nieznanej ilości zawiera również inną dodatkową wielkość, która może przyjmować różne wartości z określonego regionu parametryczny. Ta dodatkowa wielkość w równaniu nazywa się parametr. W rzeczywistości za pomocą każdego równania parametrycznego można zapisać wiele równań. Przyjrzymy się modułowi równań parametrycznych i rozwiązywaniu prostych równań parametrycznych.

Problem 1 Rozwiązuj równania w odniesieniu do $x$
A) $x + a = 7 $
B) 2x + 8a = 4$
C) $x + a = 2a – x$
D) $topór = 5 $
E) $a – x = x + b$
F) $topór = 3a$

Rozwiązanie:

A) $x + a = 7 \Leftrightarrow x = 7 – a$, czyli znaleziono rozwiązanie tego równania.
Dla różnych wartości parametrów rozwiązaniem jest $x = 7 – a$

B) $2x + 8a = 4 \Leftrightarrow 2x = 4 - 8a \Leftrightarrow x = 2 – 4a$

C) $x + a = 2a – x \\Leftrightarrow x + x = 2a – a \Leftrightarrow 2x = a \Leftrightarrow x = \frac(a)(2)$

D) $ax = 5$, gdy a jest różne od 0, możemy podzielić obie strony przez a i otrzymamy $x = 5$
Jeśli $a = 0$, otrzymamy równanie takie jak $0.x = 5$, które nie ma rozwiązania;

E) $a – x = x + b \Leftrightarrow a – b = x + x \Leftrightarrow 2x = a – b \Leftrightarrow x = \frac(a-b)(2)$

F) Gdy a = 0, równanie ax = 3a wynosi 0.x = 0
Zatem każde x jest rozwiązaniem. Jeśli a jest różne od 0, to
$ax = 3a \Leftrightarrow x = \frac(3a)(a) \Leftrightarrow x = 3$

Problem 2 Jeżeli a jest parametrem, rozwiąż równanie:
A) $(a + 1)x = 2a + 3$
B) 2 $a + x = topór + 4 $
C) $a^2x – x = a$
D) $a^2x + x = a$

Rozwiązanie:

A) Jeśli $a + 1$ jest różne od 0, to znaczy... $a \neq -1$,
wtedy $x = \frac(2a+3)(a+1)$;
jeśli $a + 1 = 0 $, tj. $a = - 1$
równanie ma postać $0\cdot x = (2)\cdot(-1) + 3 \Leftrightarrow$
$0\cdot x = 1$, co nie ma rozwiązania;

B) $2a + x = topór + 4 \Leftrightarrow$
$x – ax = 4 - 2a \Leftrightarrow$
$(1 – a)\cdot x = 2(2 – a)$
Jeśli $(1 – a) \neq 0$, to a $\neq 1$; rozwiązanie będzie
$x = \frac(2(2 - a))((1 - a))$;
Jeśli $a = 1$ równanie ma postać $0\cdot x = 2(2 - 1) \Leftrightarrow$
$0\cdot x = 2$, co nie ma rozwiązania

C) $a^2x – x = a \Leftrightarrow$
$x(a^2 -1) = a\Strzałka w lewo$
$(a - 1)(a + 1)x = a$
Jeśli $a - 1 \neq 0$ i $a + 1 \neq 0$ to jest to $a \neq 1, -1$,
rozwiązaniem jest $x = \frac(a)((a - 1)(a + 1))$
Jeśli $a = 1$ lub $a = -1$, równanie przyjmuje postać $0\cdot x = \pm 1$, co nie ma rozwiązania

D) $a^2x + x = a\Strzałka w lewo$
$(a^2 + 1)x = a$
W tym przypadku $a^2 + 1 \neq 0$ dla dowolnego $a$, ponieważ jest to suma liczby dodatniej (1) i jednej liczby ujemnej
$(a^2 \geq 0)$ zatem $x = \frac(a)(a^2 + 1)$

Problem 3 Jeżeli a i b są parametrami, rozwiąż równania:
A) $ax + b = 0 $
B) $ax + 2b = x$
C) $(b - 1)y = 1 – a$
D) $(b^2 + 1)y = a + 2$

Rozwiązanie:

A) $ax + b = 0 \Leftrightarrow ax = -b$
Jeśli $a \neq 0$, to rozwiązaniem jest $x = -\frac(b)(a)$.
Jeśli $a = 0, b\neq 0$, równanie ma postać $0\cdot x = -b$ i nie ma rozwiązania.
Jeśli $a = 0$ i $b = 0$, równanie przyjmuje postać $0\cdot x = 0$ i każde $x$ jest rozwiązaniem;

B) $ax + 2b = x \Leftrightarrow ax – x = -2b \Leftrightarrow (a - 1)x = -2b$
Jeśli $a - 1 \neq 0$, tj. $a \neq 1$, rozwiązaniem jest $x = -\frac(2b)(a-1)$
Jeśli $a - 1 = 0$, czyli $a = 1$ i $b \neq 0$, równanie ma postać $0\cdot x = - 2b$ i nie ma rozwiązania

C) Jeśli $b - 1 \neq 0$, czyli $b \neq 1$,
rozwiązaniem jest $y = \frac(1-a)(b-1)$
Jeśli $b - 1 = 0$, czyli $b = 1$, ale $1 – a \neq 0$,
czyli $a \neq 1$, równanie ma postać $0\cdot y = 1 – a$ i nie ma rozwiązania.
Jeśli $b = 1$ i $a = 1$ równanie ma postać $0\cdot y = 0$ i każde $y$ jest rozwiązaniem

D) $b^2 + 1 \neq 0$ dla dowolnego $b$ (dlaczego?), więc
$y = \frac(a+2)(b^2)$ jest rozwiązaniem równania.

Problem 4 $ Dla jakich wartości $x$ następujące wyrażenia mają równe znaczenie:
A) 5 $ + a $ i 3 $ ax + 4 $
B) 2x - 2$ i 4x + 5a$

Rozwiązanie:

Aby uzyskać te same wartości, musimy znaleźć rozwiązania równań
5x + a = 3ax + 4$ i 2x – 2 = 4x + 5a$

A) 5x + a = 3ax + 4 \Leftrightarrow$
$5x - 3ax = 4 – a \Leftrightarrow$
$(5 - 3a)x = 4 – a$
Jeśli $5 - 3a \neq 0$, tj. $a \neq \frac(5)(3)$, rozwiązania to $x = \frac(4-a)(5-3a)$
Jeśli 5 $ - 3a = 0 $, tj. $a = \frac(5)(3)$, równanie przyjmuje postać $0\cdot x = 4 – \frac(5)(3) \Leftrightarrow$
$0\cdot x = \frac(7)(3)$, co nie ma rozwiązania

B) $2x - 2 = 4x + 5a \Leftrightarrow$
$-2 - 5a = 4x - 2x \Leftrightarrow$
$2x = - 2 - 5a \Leftrightarrow$
$x = -\frac(2+5a)(2)$

Problem 5
A) $|topór + 2| = 4 $
B) $|2x + 1| = 3a$
C) $|topór + 2a| = 3 dolary

Rozwiązanie:

A) $|topór + 2| = 4 \Leftrightarrow topór + 2 = 4$ lub $ax + 2 = -4 \Leftrightarrow$
$ax = 2 $ lub $ topór = - 6 $
Jeśli $a \neq 0$, równania przyjmują postać $x = \frac(2)(a)$ lub $x = -\frac(6)(a)$
Jeśli $a = 0$, równanie nie ma rozwiązania

B) Jeśli $a Jeśli $a > 0$, jest to równoznaczne z $2x + 1 = 3a$
lub $2x + 1 = -3a \Leftrightarrow 2x = 3a - 1 \Leftrightarrow x = \frac(3a-1)(2)$ lub
$2x = -3a - 1 \Strzałka w lewo x = \frac(3a-1)(2) = -\frac(3a-1)(2)$

C) $|topór + 2a| = 3 \Leftrightarrow topór + 2a = 3$ lub $ax + 2a = - 3$,
i znajdujemy $ax = 3 - 2a$ lub $ax = -3 - 2a$
Jeśli a = 0, to nie ma rozwiązań, jeśli $a \neq 0$
rozwiązania to: $x = \frac(3-2a)(a)$ i $x = -\frac(3+2a)(a)$

Problem 6 Rozwiąż równanie $2 – x = 2b – 2ax$, gdzie a i b są parametrami rzeczywistymi. Znajdź dla jakich wartości równanie ma rozwiązanie Liczba naturalna, jeśli $b = 7$

Rozwiązanie:

Przedstawmy to równanie w postaci: $(2a - 1)x = 2(b - 1)$
Możliwe są następujące opcje:
Jeśli $2a - 1 \neq 0$, tj. $a \neq \frac(1)(2)$, równanie ma jednoznaczne rozwiązanie
$x = \frac(2(b-1))(2a-1)$
Jeśli $a = \frac(1)(2)$ i $b = 1$, równanie przyjmuje postać $0\cdot x = 0$ i każde $x$ jest rozwiązaniem
Jeśli $a = \frac(1)(2)$ i $b \neq 1$, otrzymamy $0\cdot x = 2(b - 1)$, gdzie $2(b - 1) \neq 0$
W tym przypadku równanie nie ma rozwiązania.
Jeśli $b = 7$ i $a \neq \frac(1)(2)$ to jedyne rozwiązanie
$x = \frac(2(7-1))(2a-1) = \frac(12)(2a-1)$
Jeśli a jest liczbą całkowitą, to 2a - 1$ również jest liczbą całkowitą i rozwiązaniem jest
$x = \frac(12)(2a-1)$ jest liczbą naturalną, gdy
2a - 1$ to dodatni dzielnik liczby 12$.
Aby a było liczbą całkowitą, dzielnik 12 $ musi być nieparzysty. Ale tylko 1 $ i 3 $ to dodatnie liczby nieparzyste, które dzielą się przez 12
Zatem $2a - 1 = 3 \Leftrightarrow a = 2$ lub $2a - 1 = 1 \Leftrightarrow$
$a = 1 a = 2$ lub $2a - 1 = 1 \Strzałka w lewo a = 1$

Problem 7 Rozwiąż równanie $|ax - 2 – a| = 4$, gdzie a jest parametrem. Znajdź, dla których wartości pierwiastków równania są ujemnymi liczbami całkowitymi.

Rozwiązanie:

Z definicji modułu otrzymujemy
$|ax - 2 – x| = 4 \Leftrightarrow topór - 2 – x = 4$ lub $ax - 2 – x = - 4$
Z pierwszej równości otrzymujemy $x(a - 1) - 2 = 4 \Leftrightarrow$
$(a - 1)x = 4 + 2 \Leftrightarrow (a - 1)x = 6$
Z drugiej równości otrzymujemy $(a - 1)x = -2$
Jeśli $a - 1 = 0$, tj. $a = 1$, ostatnie równanie nie ma rozwiązania.
Jeśli $a \neq 1$ okaże się, że $x = \frac(6)(a-1)$ lub $x = -\frac(2)(a-1)$
Aby te korzenie pozostały nienaruszone liczby ujemne należy wykonać następujące czynności:
W pierwszym przypadku równość $a - 1$ musi być ujemnym dzielnikiem 6, a w drugim przypadku musi to być dodatni dzielnik 2
Wtedy $a - 1 = -1; -2; -3; - 6$ lub $a - 1 = 1; 2 $
Otrzymujemy $a - 1 = -1 \Leftrightarrow a = 0; a - 1 = -2 \Strzałka w lewo$
$a = -1; a - 1 = -3 \Strzałka w lewo a = -2; a - 1 = -6 \Strzałka w lewo a = -5$
lub $a - 1 = 1 \Leftrightarrow a = 2; a - 1 = 2 \Strzałka w lewo a = 3$
Wtedy $a = -5; -2; -1; 0; 2; 3 $ to rozwiązania problemu.

Problem 8 Rozwiązać równanie:
A) $3ax – a = 1 – x$, gdzie a jest parametrem;
B) $2ax + b = 2 + x$, gdzie a i b są parametrami

Rozwiązanie:

A) $3ax + x = 1 + a \Leftrightarrow (3a + 1)x = 1 + a$.
Jeśli $3a + 1 \neq 0$, tj. $a \neq -11 /3 /3$ , istnieje rozwiązanie
$x = \frac(1+a)(3a+1)$
Jeżeli $a = -\frac(1)(3)$ równanie ma postać $0\cdot x = \frac(1.1)(3)$ i nie ma rozwiązania.

B) $2ax – x = 2 – b \Leftrightarrow (2a - 1)x = 2 – b$
Jeśli $2a - 1 \neq 0$, tj. Rozwiązaniem jest $a \neq \frac(1)(2), x = \frac(2-b)(2a-1)$.
Jeśli $a = \frac(1)(2)$ równanie przyjmuje postać $0.x = 2 – b$
Następnie, jeśli $b = 2$, dowolne x jest rozwiązaniem, jeśli $b \neq 2$, równanie nie ma rozwiązania.

Problem 9 Biorąc pod uwagę równanie $6(kx - 6) + 24 = 5kx$ , gdzie k jest liczbą całkowitą. Znajdź dla jakich wartości k równanie:
A) ma pierwiastek $-\frac(4)(3)$
B) nie ma rozwiązania;
C) ma pierwiastek jako liczba naturalna.

Rozwiązanie:

Przepiszmy równanie w postaci $6kx - 36 + 24 = 5kx \Leftrightarrow kx = 12$

A) Jeśli $x = -\frac(4)(3)$, dla k otrzymujemy równanie $-\frac(4)(3k) = 12 \Leftrightarrow k = - 9$

B) Równanie $kx = 12$ nie ma rozwiązania, gdy $k = 0$

C) Gdy $k \neq 0$ jest pierwiastkiem z $x = \frac(12)(k)$ i jest liczbą naturalną, jeśli k jest dodatnią liczbą całkowitą podzielną przez 12, tj. $k = 1, 2, 3, 4, 6, 12 $

Problem 10 Rozwiązać równanie:
A) $2ax + 1 = x + a$, gdzie a jest parametrem;
B) $2ax + 1 = x + b$, gdzie a i b są parametrami.

Rozwiązanie:

A) $2ax + 1 = x + a \Leftrightarrow 2ax – x = a - 1 \Leftrightarrow$
$(2a - 1)x = a - 1$
Jeśli $2a - 1 \neq 0$, tj. $a \neq \frac(1)(2)$, jedynym rozwiązaniem równania jest:
$x = \frac(a-1)(2a-1)$
Jeśli $2a - 1 = 0$, tj. $a = \frac(1)(2)$, równanie przyjmuje postać
$0.x = \frac(1)(2)- 1 \Leftrightarrow 0.x = -\frac(1)(2)$, co nie ma rozwiązania

B) $2ax + 1 = x + b \Leftrightarrow$
$2ax – x = b - 1 \Leftrightarrow$
$(2a - 1)x = b - 1$
Jeśli $2a - 1 \neq 0$, tj. $a \neq \frac(1)(2)$, rozwiązaniem jest
$x = \frac(b-1)(2a-1)$
Jeśli $a = \frac(1)(2)$, równania są równoważne $0.x = b - 1$
Jeśli b = 1 dowolne x jest rozwiązaniem, jeśli $b \neq 1$ to rozwiązanie nie istnieje.

Problem 11 Biorąc pod uwagę równanie $3(ax - 4) + 4 = 2ax$, gdzie parametr jest liczbą całkowitą. Znajdź, jakie wartości równania mają pierwiastki:
A) $\lewy(-\frac(2)(3)\prawy)$
B) liczba całkowita
C) liczba naturalna

Rozwiązanie:

A) Jeśli $x = -\frac(2)(3)$ jest rozwiązaniem równania, to musi być prawdziwe
$3\w lewo + 4 = 2a\w lewo(-\frac(2)(3)\w prawo) \Lewow prawo$
$-2a - 12 + 4 = -\frac(4a)(3) \Strzałka w lewo$
$\frac(4a)(3) - 2a = 8 \Leftrightarrow \frac(4a-6a)(3) = 8 \Leftrightarrow$
$-\frac(2a)(3) = 8 \Leftrightarrow a = -12$

B) $3(ax - 4) + 4 = 2ax \Leftrightarrow 3ax - 2ax = 12 - 4 \Leftrightarrow ax = 8$
Jeśli $a \neq 0$ rozwiązaniem jest $x = \frac(8)(a)$, jest to liczba całkowita, jeśli a jest dzielnikiem $8$.
Dlatego; $±2; ±4; ± 8 dolarów
Jeśli $a=0$, równanie nie ma rozwiązania

C) Aby otrzymać dla tego rozwiązania liczbę naturalną (dodatnią liczbę całkowitą) $x=\frac(8)(a)$ liczba musi być równa: $a=1, 2, 4, 8$

Problem 12 Dane jest równanie $2 – x = 2b – 2ax$, gdzie $a$ i $b$ są parametrami. Znajdź dla jakich wartości równanie ma rozwiązania w postaci liczby naturalnej, jeśli $b = 7$

Rozwiązanie:

Podstawiamy $b = 7$ do równania i otrzymujemy $2 – x = 2,7 - 2ax \Leftrightarrow$
$2ax – x = 14 – 2 \Leftrightarrow (2a - 1)x = 12$
Jeśli $2a -1 \neq 0$, tj. $a \neq \frac(1)(2)$, równanie przyjmuje postać
$x = \frac(12)(2a-1)$ i będzie to liczba naturalna jeżeli w mianowniku $2a - 1$ będzie dodatnia dywidenda wynosząca 12$ i dodatkowo aby była to liczba całkowita konieczne, aby 2 a - 1 $ było liczbą nieparzystą.
Zatem 2 a - 1 $ może wynosić 1 $ lub 3 $
Od $2a - 1 = 1 \Leftrightarrow 2a = 2 \Leftrightarrow a = 1$ i $2a - 1 = 3$
$\Leftrightarrow 2a = 4 \Leftrightarrow a = 2$

Problem 13 Biorąc pod uwagę funkcję $f(x) = (3a - 1)x - 2a + 1$, gdzie a jest parametrem. Znajdź dla jakich wartości wykres funkcji:
A) przecina oś x;
B) przecina oś x

Rozwiązanie:

Aby wykres funkcji przecinał oś x, jest to konieczne
$(3a - 1)\cdot x -2a + 1 = 0$ miało rozwiązania i nie miało rozwiązania na nieprzecięcie osi x.
Z równania otrzymujemy $(3a - 1)x = 2a - 1$
Jeśli $3a - 1 \neq 0$, tj. $a \neq \frac(1)(3)$, równanie ma rozwiązania
$x = \frac(2a-1)(3a-1)$, zatem wykres funkcji przecina oś x.
Jeśli $a = \frac(1)(3)$, otrzymamy $0.x = \frac(2)(3) - 1 \Leftrightarrow 0.x = -\frac(1)(3)$, co nie mieć rozwiązania.
Dlatego jeśli $a = \frac(1)(3)$, wykres funkcji nie przecina osi x.

Problem 14 Rozwiąż równanie parametryczne:
A) $|x -2| =a$
B) $|topór -1| = 3 dolary
C) $|topór - 1| = a - 2 $

Rozwiązanie:

A) Jeśli $a 0 $ otrzymamy:
$|x - 2| = a \Strzałka w lewo x - 2 = a$ lub $x - 2 = -a$
Od $x - 2 = a \Strzałka w prawo x = a + 2$ i od
$x - 2 = -a \Strzałka w prawo x = 2 – a$
Jeśli $a = 0$, to $x - 2 = 0$ lub $x = 2$

B) $|topór - 1| = 3 \Leftrightarrow topór - 1 = 3$ lub $ax - 1 = -3$
skąd $ax = 4$ lub $ax = - 2$
Jeśli $a \neq 0$ rozwiązań: $x = \frac(4)(a)$ lub $x = -\frac(2)(a)$
Jeśli $a = 0$, nie ma tutaj rozwiązania

C) Jeśli $a - 2 Jeśli $a - 2 > 0$, tj. $a > 2$ otrzymujemy
$|topór - 1| = a - 2 \Leftrightarrow topór - 1 = a - 2$ lub $ax - 1 = 2 – a$
Otrzymujemy więc $ax = a - 1 $ lub $ax = 3 - a$
Ponieważ $a > 2, zatem a\neq 0$
$x = \frac(a-1)(a)$ lub $x = \frac(3-a)(a)$.
Jeśli $a = 2$, równania są równoważne
$2x - 1 = 0 \Strzałka w lewo 2x = 1 \Strzałka w lewo x = \frac(1)(2)$

Problem 15 Znajdź, dla jakich wartości parametru m (a) oba równania są równoważne:
A) $\frac(x+m)(2) = 1 – m$ i $(-x - 1) ^2 - 1 = x^2$
B) $\frac(x+m)(2) = 1 – m$ i $\frac(x-m)(3) = 1 - 2m$
C) $|3 – x| + x^2 -5x + 3 = 0$ i $ax + 2a = 1 + x$ jeśli $x > 3$

Rozwiązanie:

A) Rozwiążmy drugie równanie. Zapiszmy to w postaci:
$(-x - 1)^2 - 1 = x^2 \Leftrightarrow$
$[(-1)(x + 1) ]^2 - 1 = x^2 \Strzałka w lewo$
$x^2 + 2x + 1 - 1 = x^2 \Leftrightarrow$
$2x = 0 \Strzałka w lewo x = 0$
Za pierwszą dostajemy
$\frac(x+m)(2) = 1 – m \Leftrightarrow x + m = 2 - 2m \Leftrightarrow x = 2 - 3m$
Te dwa równania są równoważne, jeśli mają te same pierwiastki, tj.
$2 - 3m = 0 \Leftrightarrow$ $m = \frac(2)(3)$

B) Dla pierwszego równania rozwiązaniem jest $x = 2 - 3m$, a dla drugiego otrzymamy
$x – m = 3 - 6m \Leftrightarrow$ $x = 3 – 5m$
Mają te same korzenie, kiedy
$2 - 3m = 3 - 5m \Leftrightarrow 5m - 3m = 3 - 2 \Leftrightarrow 2m = 1 \Leftrightarrow m = \frac(1)(2)$

C) Ponieważ $x > 3, 3 – x $|3 – x| = -(3 – x) = x - 3$
Pierwsze równanie będzie wyglądać następująco: $x - 3 + x^2 – 5x + 3 = 0 \Leftrightarrow$
$x^2 – 4x – 0 \Leftrightarrow x(x - 4) = 0 \Leftrightarrow$
$x = 0 $ lub $x = 4 $
Pod warunkiem, że $x > 3$, zatem tylko $x = 4$ jest rozwiązaniem. Dla drugiego równania otrzymujemy
$ax – x = 1 - 2a \Leftrightarrow (a - 1)x = 1 - 2a$
Jeśli $a - 1 = 0$, to nie ma rozwiązania (dlaczego?), jeśli $a - 1 \neq 0$, tj. $a \neq 1$, rozwiązaniem jest
$x = \frac(1-2a)(a-1)$ Te dwa równania będą równe, jeśli $4 = \frac(1-2a)(a-1) \Leftrightarrow$ $4(a - 1) = 1 - 2a \Leftrightarrow 4a + 2a = 1 + 4 \Leftrightarrow 6a = 5 \Leftrightarrow a = \frac(5)(6)$

Jednym z podpunktów tematu „Równanie prostej na płaszczyźnie” jest zagadnienie tworzenia równań parametrycznych prostej na płaszczyźnie w prostokątnym układzie współrzędnych. W poniższym artykule omówiono zasadę tworzenia takich równań na podstawie znanych danych. Pokażemy jak przejść od równań parametrycznych do równań innego typu; Przyjrzyjmy się rozwiązywaniu typowych problemów.

Konkretną linię można zdefiniować poprzez określenie punktu należącego do tej linii oraz wektora kierunku tej linii.

Powiedzmy, że mamy prostokątny układ współrzędnych O x y. Podano także linię prostą a, wskazując leżący na niej punkt M 1 (x 1, y 1) i wektor kierunkowy danej linii prostej a → = (a x, za y) . Opiszmy daną prostą prostą za pomocą równań.

Używamy dowolnego punktu M (x, y) i otrzymujemy wektor M 1 M → ; Obliczmy jego współrzędne ze współrzędnych punktu początkowego i końcowego: M 1 M → = (x - x 1, y - y 1). Opiszmy co otrzymaliśmy: linia prosta jest zdefiniowana przez zbiór punktów M (x, y), przechodzi przez punkt M 1 (x 1, y 1) i ma wektor kierunkowy a → = (a x, za y) . Zbiór ten definiuje linię prostą tylko wtedy, gdy wektory M 1 M → = (x - x 1, y - y 1) i a → = (a x, a y) są współliniowe.

Istnieje warunek konieczny i wystarczający kolinearności wektorów, który w tym przypadku dla wektorów M 1 M → = (x - x 1, y - y 1) i a → = (a x, a y) można zapisać w postaci równania:

M 1 M → = λ · a → , gdzie λ jest liczbą rzeczywistą.

Definicja 1

Równanie M 1 M → = λ · a → nazywa się wektorowo-parametrycznym równaniem linii.

W formie współrzędnych wygląda to tak:

M 1 M → = λ za → ⇔ x - x 1 = λ za x y - y 1 = λ za y ⇔ x = x 1 + za x λ y = y 1 + za y λ

Równania powstałego układu x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ nazywane są równaniami parametrycznymi linii prostej na płaszczyźnie w prostokątnym układzie współrzędnych. Istota nazwy jest następująca: współrzędne wszystkich punktów na prostej można wyznaczyć za pomocą równań parametrycznych na płaszczyźnie postaci x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ wyliczając wszystkie rzeczywiste wartości parametru λ

Zgodnie z powyższym równania parametryczne prostej na płaszczyźnie x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ definiują prostą, która jest zdefiniowana w prostokątnym układzie współrzędnych, przechodząca przez punkt M 1 (x 1, y 1) i ma wektor prowadzący a → = (a x, za y) . W konsekwencji, jeśli zostaną podane współrzędne pewnego punktu na prostej i współrzędne jej wektora kierunkowego, to można od razu zapisać równania parametryczne danej prostej.

Przykład 1

Konieczne jest ułożenie równań parametrycznych linii prostej na płaszczyźnie w prostokątnym układzie współrzędnych, jeśli podany jest należący do niego punkt M 1 (2, 3) i jego wektor kierunkowy za → = (3 , 1) .

Rozwiązanie

Na podstawie danych początkowych otrzymujemy: x 1 = 2, y 1 = 3, a x = 3, a y = 1. Równania parametryczne będą wyglądać następująco:

x = x 1 + za x · λ y = y 1 + za y · λ ⇔ x = 2 + 3 · λ y = 3 + 1 · λ ⇔ x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ

Wyjaśnijmy to wyraźnie:

Odpowiedź: x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

Należy zauważyć: jeśli wektor a → = (a x , a y) służy jako wektor kierunkowy prostej a, a punkty M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2) należą do tej prostej, wówczas można ją wyznaczyć podając równania parametryczne postaci: x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , a także ta opcja: x = x 2 + a x · λ y = y 2 + a y · λ .

Na przykład dany jest wektor kierunkowy linii prostej a → = (2, - 1), a także punkty M 1 (1, - 2) i M 2 (3, - 3) należące do tej prostej. Następnie linię prostą wyznaczają równania parametryczne: x = 1 + 2 · λ y = - 2 - λ lub x = 3 + 2 · λ y = - 3 - λ.

Należy również zwrócić uwagę na następujący fakt: jeśli a → = (a x, za y) jest wektorem kierunku linii a, wówczas dowolny z wektorów będzie jej wektorem kierunku μ · za → = (μ · a x , μ · a y) , gdzie μ ϵ R , μ ≠ 0 .

Zatem prostą a na płaszczyźnie w prostokątnym układzie współrzędnych można wyznaczyć za pomocą równań parametrycznych: x = x 1 + μ · a x · λ y = y 1 + μ · a y · λ dla dowolnej wartości μ innej niż zero.

Powiedzmy, że linia prosta a jest dana równaniami parametrycznymi x = 3 + 2 · λ y = - 2 - 5 · λ. Następnie za → = (2 , - 5) - wektor kierunkowy tej linii prostej. Oraz dowolny z wektorów μ · a → = (μ · 2, μ · - 5) = 2 μ, - 5 μ, μ ∈ R, μ ≠ 0 stanie się wektorem wiodącym dla danej prostej. Dla jasności rozważ konkretny wektor - 2 · a → = (- 4, 10), odpowiada on wartości μ = - 2. W tym przypadku daną linię prostą można również wyznaczyć za pomocą równań parametrycznych x = 3 - 4 · λ y = - 2 + 10 · λ.

Przejście od równań parametrycznych prostej na płaszczyźnie do innych równań danej prostej i odwrotnie

Przy rozwiązywaniu niektórych problemów zastosowanie równań parametrycznych nie jest najbardziej optymalną opcją, wówczas istnieje potrzeba przełożenia równań parametrycznych linii prostej na równania linii prostej innego typu. Przyjrzyjmy się, jak to zrobić.

Równania parametryczne prostej postaci x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ będą odpowiadać równaniu kanonicznemu prostej na płaszczyźnie x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Rozwiążmy każde z równań parametrycznych ze względu na parametr λ, przyrównajmy prawe strony otrzymanych równości i otrzymajmy równanie kanoniczne danej prostej:

x = x 1 + za x · λ y = y 1 + za y · λ ⇔ λ = x - x 1 za x λ = y - y 1 za y ⇔ x - x 1 za x = y - y 1 za y

W tym przypadku nie powinno być mylące, jeśli x lub a y są równe zero.

Przykład 2

Należy dokonać przejścia od równań parametrycznych prostej x = 3 y = - 2 - 4 · λ do równania kanonicznego.

Rozwiązanie

Zapiszmy podane równania parametryczne w postaci: x = 3 + 0 · λ y = - 2 - 4 · λ

Wyraźmy parametr λ w każdym z równań: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ ⇔ λ = x - 3 0 λ = y + 2 - 4

Przyrównajmy prawe strony układu równań i otrzymajmy wymagane równanie kanoniczne prostej na płaszczyźnie:

x - 3 0 = y + 2 - 4

Odpowiedź: x - 3 0 = y + 2 - 4

W przypadku konieczności napisania równania prostej w postaci A x + B y + C = 0 i podanych równań parametrycznych prostej na płaszczyźnie, należy najpierw dokonać przejścia do postaci kanonicznej równanie, a następnie do ogólnego równania prostej. Zapiszmy całą sekwencję działań:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + za y · λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 za y ⇔ x - x 1 za x = y - y 1 za y ⇔ ⇔ za y · (x - x 1) = za x (y - y 1) ⇔ ZA x + B y + C = 0

Przykład 3

Trzeba spisać równanie ogólne linia prosta, jeśli podane są równania parametryczne ją określające: x = - 1 + 2 · λ y = - 3 · λ

Rozwiązanie

Najpierw dokonajmy przejścia do równania kanonicznego:

x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 3 ⇔ x + 1 2 = y - 3

Wynikowa proporcja jest identyczna z równością - 3 · (x + 1) = 2 · y. Otwórzmy nawiasy i otrzymajmy ogólne równanie prostej: - 3 x + 1 = 2 y ⇔ 3 x + 2 y + 3 = 0.

Odpowiedź: 3 x + 2 y + 3 = 0

Kierując się powyższą logiką działań, aby otrzymać równanie prostej ze współczynnikiem kąta, równanie prostej w odcinkach lub normalne równanie linia prosta, konieczne jest uzyskanie ogólnego równania linii prostej i przeprowadzenie z niej dalszego przejścia.

Rozważmy teraz działanie odwrotne: zapisanie równań parametrycznych prostej z inną podaną formą równań tej prostej.

Najprostsze przejście: od równania kanonicznego do równania parametrycznego. Niech będzie dane równanie kanoniczne postaci: x - x 1 a x = y - y 1 a y. Przyjmijmy, że każda z relacji tej równości jest równa parametrowi λ:

x - x 1 za x = y - y 1 za y = λ ⇔ λ = x - x 1 za x λ = y - y 1 za y

Rozwiążmy powstałe równania dla zmiennych x i y:

x = x 1 + za x · λ y = y 1 + za y · λ

Przykład 4

Należy zapisać równania parametryczne prostej, jeśli znane jest równanie kanoniczne prostej na płaszczyźnie: x - 2 5 = y - 2 2

Rozwiązanie

Przyrównajmy części znanego równania do parametru λ: x - 2 5 = y - 2 2 = λ. Z otrzymanej równości otrzymujemy równania parametryczne prostej: x - 2 5 = y - 2 2 = λ ⇔ λ = x - 2 5 λ = y - 2 5 ⇔ x = 2 + 5 · λ y = 2 + 2 · λ

Odpowiedź: x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ

Gdy konieczne jest przejście do równań parametrycznych z danego równania ogólnego prostej, równania prostej ze współczynnikiem kątowym lub równania prostej w odcinkach, konieczne jest sprowadzenie pierwotnego równania do postaci kanonicznej jeden, a następnie przejdź do równań parametrycznych.

Przykład 5

Należy zapisać równania parametryczne prostej znanym ogólnym równaniem tej prostej: 4 x - 3 y - 3 = 0.

Rozwiązanie

Przekształćmy podane równanie ogólne na równanie o postaci kanonicznej:

4 x - 3 y - 3 = 0 ⇔ 4 x = 3 y + 3 ⇔ ⇔ 4 x = 3 y + 1 3 ⇔ x 3 = y + 1 3 4

Przyrównajmy obie strony równości do parametru λ i otrzymajmy wymagane równania parametryczne prostej:

x 3 = y + 1 3 4 = λ ⇔ x 3 = λ y + 1 3 4 = λ ⇔ x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Odpowiedź: x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Przykłady i problemy równań parametrycznych prostej na płaszczyźnie

Rozważmy najczęstsze typy problemów za pomocą równań parametrycznych linii na płaszczyźnie w prostokątnym układzie współrzędnych.

W zagadnieniach pierwszego typu podaje się współrzędne punktów niezależnie od tego, czy należą one do prostej opisanej równaniami parametrycznymi.

Rozwiązanie takich problemów opiera się na następującym fakcie: liczby (x, y), wyznaczone z równań parametrycznych x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ dla pewnej wartości rzeczywistej λ, są współrzędnymi punktu należącego do prostej opisanej tymi równaniami parametrycznymi.

Przykład 6

Należy wyznaczyć współrzędne punktu leżącego na prostej określonej równaniami parametrycznymi x = 2 - 1 6 · λ y = - 1 + 2 · λ dla λ = 3.

Rozwiązanie

Podstawiamy znaną wartość λ = 3 do podanych równań parametrycznych i obliczamy wymagane współrzędne: x = 2 - 1 6 3 y = - 1 + 2 3 ⇔ x = 1 1 2 y = 5

Odpowiedź: 1 1 2 , 5

Możliwe jest także zadanie: niech dany będzie jakiś punkt M 0 (x 0 , y 0) na płaszczyźnie w prostokątnym układzie współrzędnych i należy ustalić, czy ten punkt należy do prostej opisanej równaniami parametrycznymi x = x 1 + za x · λ y = y 1 + za y · λ .

Aby rozwiązać takie zadanie należy podstawić współrzędne danego punktu do znanych równań parametrycznych prostej. Jeżeli zostanie stwierdzone, że możliwa jest wartość parametru λ = λ 0, dla którego spełnione są oba równania parametryczne, to dany punkt należy do danej prostej.

Przykład 7

Podano punkty M 0 (4, - 2) i N 0 (- 2, 1). Należy ustalić, czy należą one do prostej określonej równaniami parametrycznymi x = 2 · λ y = - 1 - 1 2 · λ .

Rozwiązanie

Podstawmy współrzędne punktu M 0 (4, - 2) do podanych równań parametrycznych:

4 = 2 λ - 2 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = 2 λ = 2 ⇔ λ = 2

Dochodzimy do wniosku, że punkt M 0 należy do danej prostej, ponieważ odpowiada wartości λ = 2.

2 = 2 λ 1 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = - 1 λ = - 4

Oczywiście nie ma takiego parametru λ, któremu odpowiadałby punkt N 0. Innymi słowy, dana prosta nie przechodzi przez punkt N 0 (- 2, 1).

Odpowiedź: punkt M 0 należy do danej prostej; punkt N 0 nie należy do danej prostej.

W zadaniach drugiego typu wymagane jest ułożenie równań parametrycznych prostej na płaszczyźnie w prostokątnym układzie współrzędnych. Najprostszy przykład takiego problemu (ze znanymi współrzędnymi punktu linii i wektora kierunku) omówiono powyżej. Przyjrzyjmy się teraz przykładom, w których najpierw musimy znaleźć współrzędne wektora prowadzącego, a następnie zapisać równania parametryczne.

Przykład 8

Dany punkt M 1 1 2 , 2 3 . Należy ułożyć równania parametryczne prostej przechodzącej przez ten punkt i równoległej do prostej x 2 = y - 3 - 1.

Rozwiązanie

Zgodnie z warunkami zadania prosta, której równanie musimy wyprzedzić, jest równoległa do prostej x 2 = y - 3 - 1. Wówczas jako wektor kierunkowy prostej przechodzącej przez dany punkt można zastosować wektor kierunkowy prostej x 2 = y - 3 - 1, który zapiszemy w postaci: a → = (2, - 1 ) . Teraz znane są wszystkie niezbędne dane, aby skomponować wymagane równania parametryczne:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + za y · λ ⇔ x = 1 2 + 2 · λ y = 2 3 + (- 1) · λ ⇔ x = 1 2 + x · λ y = 2 3 - λ

Odpowiedź: x = 1 2 + x · λ y = 2 3 - λ .

Przykład 9

Podano punkt M 1 (0, - 7). Należy zapisać równania parametryczne prostej przechodzącej przez ten punkt prostopadle do prostej 3 x – 2 y – 5 = 0.

Rozwiązanie

Jako wektor kierunkowy prostej, której równanie należy zestawić, można przyjąć wektor normalny prostej 3 x – 2 y – 5 = 0. Jego współrzędne to (3, - 2). Zapiszmy wymagane równania parametryczne prostej:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + za y · λ ⇔ x = 0 + 3 · λ y = - 7 + (- 2) · λ ⇔ x = 3 · λ y = - 7 - 2 · λ

Odpowiedź: x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

W zagadnieniach trzeciego typu konieczne jest dokonanie przejścia od równań parametrycznych danej prostej do innych typów równań ją wyznaczających. Rozwiązanie podobnych przykładów omówiliśmy powyżej, podamy jeszcze jedno.

Przykład 10

Dana linia prosta na płaszczyźnie w prostokątnym układzie współrzędnych, określona równaniami parametrycznymi x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ. Konieczne jest znalezienie współrzędnych dowolnego wektora normalnego tej linii.

Rozwiązanie

Aby określić wymagane współrzędne wektora normalnego, dokonamy przejścia od równań parametrycznych do równania ogólnego:

x = 1 - 3 4 λ y = - 1 + λ ⇔ λ = x - 1 - 3 4 λ = y + 1 1 ⇔ x - 1 - 3 4 = y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 x - 1 = - 3 4 y + 1 ⇔ x + 3 4 y - 1 4 = 0

Współczynniki zmiennych x i y dają nam wymagane współrzędne wektora normalnego. Zatem wektor normalny linii x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ ma współrzędne 1, 3 4.

Odpowiedź: 1 , 3 4 .

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter