Składa się z dwóch różnych promieni wychodzących z jednego punktu. Promienie nazywane są bokach U., a ich wspólny początek jest wierzchołkiem U. Niech [ VA),[Słońce) - strony narożnika, W - jej wierzchołkiem jest płaszczyzna wyznaczona bokami U. Figura dzieli płaszczyznę na dwie figury i==l, 2, zwany także U. lub kąt płaski, tzw. wewnętrzny obszar płaskiego U.
Nazywa się dwa rogi równe (lub przystające), jeśli można je ustawić tak, aby odpowiadające im boki i wierzchołki pokrywały się. Z dowolnego promienia na płaszczyźnie, w danym kierunku można wykreślić od niego pojedynczą oś równą danej osi.Porównanie osi odbywa się na dwa sposoby. Jeśli belkę traktujemy jako parę promieni o wspólnym pochodzeniu, to aby wyjaśnić, która z dwóch belek jest większa, konieczne jest połączenie wierzchołków belki i jednej pary ich boków w jednej płaszczyźnie (patrz Ryc. 1). Jeśli okaże się, że drugi bok jednego U. znajduje się w innym U., wówczas mówią, że pierwsze U. jest mniejsze od drugiego. Drugi sposób porównywania U. opiera się na porównaniu każdego U. z określoną liczbą. Równe U. będzie odpowiadać tym samym stopniom lub (patrz poniżej), większemu U. - większa liczba, do mniej - mniej.

Dwóch U. zadzwoniło. przylegające, jeśli mają wspólny wierzchołek i jeden bok, a pozostałe dwa boki tworzą linię prostą (patrz ryc. 2). Ogólnie nazywa się U. mający wspólny wierzchołek i jeden wspólny bok. przylegający. Zadzwoniłeś pionowe, jeśli boki jednego są przedłużeniami poza górną część boków drugiego. Pionowe U. są sobie równe. U., którego boki tworzą linię prostą, tzw. rozszerzony. Połowa rozszerzonego U. tzw. proste U. Bezpośrednie U. można równoważnie zdefiniować inaczej: U. równe sąsiadującemu, tzw. bezpośredni. Wnętrze płaskiej płaszczyzny, nieprzekraczające rozłożonej, jest obszarem wypukłym na płaszczyźnie. Za jednostkę miary U. przyjmuje się 90. ułamek bezpośredniego U., tzw. stopień.

Stosuje się także tak zwaną miarę U. Wartość liczbowa miary radianu U. jest równa długości łuku przeciętego przez boki U. okrąg jednostkowy. Jeden radian jest przypisany do U odpowiadającego łukowi, który jest równy jego promieniowi. Rozszerzone U. jest równe radianom.
Kiedy dwie proste leżące w tej samej płaszczyźnie przecinają się z trzecią prostą, powstają Us (patrz rys. 3): 1 i 5, 2 i 6, 4 i 8, 3 i 7 - tzw. odpowiedni; 2 i 5, 3 i 8 - wewnętrzne jednostronne; 1 i 6, 4 i 7 - zewnętrzne jednostronne; 3 i 5, 2 i 8 - leżące wewnętrznie w poprzek; 1 i 7, 4 i 6 - leżą poprzecznie na zewnątrz.

W praktyce W przypadku problemów wskazane jest rozważenie rotacji jako miary obrotu nieruchomej belki wokół jej początku do danego położenia. W zależności od kierunku obrotu sygnałów w tym przypadku można rozpatrywać zarówno sygnały dodatnie, jak i ujemne. Zatem U. w tym sensie może mieć dowolną wartość. Rotacja promienia jest rozważana w teorii trygonometrycznej. funkcje: dla dowolnych wartości argumentu (U.) można określić wartości trygonometryczne. Funkcje. Pojęcie geometrii w geometrii. system oparty na aksjomatyce wektorów punktowych zasadniczo różni się od definicji U. jako figury - w tej aksjomatyce U. jest rozumiane jako pewna metryka. wielkość związana z dwoma wektorami przy użyciu operacji mnożenia wektorów skalarnych. Mianowicie każda para wektorów aib definiuje pewien kąt – liczbę związaną z wektorami wzorem

Gdzie ( a, b) - Iloczyn skalarny wektorów.
Pojęcie U. jako figury płaskiej i pewnej wartości liczbowej jest stosowane w różnych geometriach. problemy, w których U. jest określone w sposób szczególny. Zatem przez kształt pomiędzy przecinającymi się krzywymi, które mają określone styczne w punkcie przecięcia, mamy na myśli kształt utworzony przez te styczne.
Za kąt między prostą a płaszczyzną przyjmuje się kąt utworzony przez linię prostą i jej prostokątny rzut na płaszczyznę; mierzony jest w zakresie od 0

Encyklopedia matematyczna. - M .: Encyklopedia radziecka. I. M. Winogradow. 1977-1985.

Synonimy:

Zobacz, co oznacza „ANGLE” w innych słownikach:

    niedopałek- kąt / jarzmo / ... Słownik morfemiczno-pisowniczy

    Mąż. złamanie, załamanie, kolano, łokieć, wysunięcie lub zagięcie (wgłębienie) po jednej stronie. Kąt liniowy, dowolne dwie przeciwne linie i ich odstęp; płaszczyzna kątowa lub w płaszczyznach, spotkanie dwóch płaszczyzn lub ścian; narożnik gruby, korpus, spotykający się w jednym... Słownik Dahla

    Kąt, wokół kąta, na (w) kącie i (mat.) pod kątem, m. 1. Część płaszczyzny pomiędzy dwiema liniami prostymi wychodzącymi z jednego punktu (mat.). Góra rogu. Boki narożnika. Pomiar kąta w stopniach. Prosty kąt. (90°). Ostry róg. (mniej niż 90°). Kąt rozwarty.… … Słownik wyjaśniający Uszakowa

    NAROŻNIK- (1) kąt natarcia pomiędzy kierunkiem strumienia powietrza napływającego na skrzydło statku powietrznego a cięciwą przekroju skrzydła. Wartość siły nośnej zależy od tego kąta. Kąt, przy którym siła nośna jest maksymalna, nazywany jest krytycznym kątem natarcia. Ty... ... Wielka encyklopedia politechniczna

    - (płaski) figura geometryczna, utworzony przez dwa promienie (boki kąta) wychodzące z jednego punktu (wierzchołka kąta). Dowolny kąt z wierzchołkiem w środku jakiegoś okręgu ( kąt centralny) definiuje łuk AB na okręgu ograniczony punktami... ... Wielki słownik encyklopedyczny

    Głowa rogu, zza rogu, niedźwiedzi róg, niedokończony róg, we wszystkich zakątkach... Słownik rosyjskich synonimów i wyrażeń o podobnym znaczeniu. pod. wyd. N. Abramova, M.: Russian Dictionaries, 1999. wierzchołek kąta, punkt narożny; łożysko, schronienie, deviatina, kierunek,... ... Słownik synonimów

    narożnik- kąt, pręt. kąt; zdanie o węglu, w (na) rogu iw przemówieniu matematyków o węglu; pl. narożniki, pręt. rogi W kombinacjach przyimkowych i stabilnych: za rogiem i dozwolone jest poruszanie się za rogiem (wejdź, skręć itp.), Od rogu do rogu (przesuń, pozycja itp.), Róg... ... Słownik trudności wymowy i akcentu we współczesnym języku rosyjskim

    KĄT, róg, za rogiem, w (w) rogu, mąż. 1. (w rogu.). W geometrii: płaska figura, utworzony przez dwa promienie (w 3 wartościach) wychodzące z jednego punktu. Góra rogu. Bezpośredni y. (90°). Ostry ty. (mniej niż 90°). Głupi ty. (ponad 90°). Zewnętrzny i wewnętrzny... ... Słownik wyjaśniający Ożegowa

    narożnik- ANGLE, kąt, m. Jedna czwarta zakładu, po ogłoszeniu, krawędź karty jest złożona. ◘ As i dama pik z róg // Zabity. AI Polezhaev. Dzień w Moskwie, 1832. ◘ Po obiedzie rozrzuca na stole czerwoniec, tasuje karty; gracze rozbijają swoje pokłady... ... Terminologia i żargon kartowy XIX wieku

Definicja

Nazywa się figurą geometryczną składającą się ze wszystkich punktów płaszczyzny zawartych pomiędzy dwoma promieniami wychodzącymi z jednego punktu kąt płaski.

Definicja

Kąt między dwoma krzyżujący prosty jest wartością najmniejszego kąta płaszczyzny na przecięciu tych linii. Jeżeli dwie linie są równoległe, wówczas przyjmuje się, że kąt między nimi wynosi zero.

Kąt pomiędzy dwiema przecinającymi się liniami (jeśli kąty płaskie mierzone są w radianach) może przyjmować wartości od zera do $\dfrac(\pi)(2)$.

Definicja

Kąt między dwiema przecinającymi się liniami jest wielkością równą kątowi między dwiema przecinającymi się liniami równoległymi do przecinających się. Kąt pomiędzy liniami $a$ i $b$ jest oznaczony przez $\angle (a, b)$.

Poprawność wprowadzonej definicji wynika z następującego twierdzenia.

Twierdzenie o kątach płaskich o bokach równoległych

Wielkości dwóch kątów płaskich wypukłych o odpowiednio równoległych i identycznie skierowanych bokach są równe.

Dowód

Jeśli kąty są proste, to oba są równe $\pi$. Jeśli nie są rozwinięte, to rysujemy równe odcinki $ON=O_1ON_1$ i $OM=O_1M_1$ po odpowiednich stronach kątów $\angle AOB$ i $\angle A_1O_1B_1$.

Czworokąt $O_1N_1NO$ jest równoległobokiem, ponieważ jego przeciwne boki $ON$ i $O_1N_1$ są równe i równoległe. Podobnie czworokąt $O_1M_1MO$ ​​​​jest równoległobokiem. Stąd $NN_1 = OO_1 = MM_1$ i $NN_1 \parallel OO_1 \parallel MM_1$, zatem $NN_1=MM_1$ i $NN_1 \parallel MM_1$ według przechodniości. Czworokąt $N_1M_1MN$ jest równoległobokiem, ponieważ jego przeciwne boki są równe i równoległe. Oznacza to, że segmenty $NM$ i $N_1M_1$ są równe. Trójkąty $ONM$ i $O_1N_1M_1$ są równe zgodnie z trzecim kryterium równości trójkątów, co oznacza odpowiednie kąty$\angle NOM$ i $\angle N_1O_1M_1$ są równe.

Niech dwa niezerowe wektory będą podane na płaszczyźnie lub w przestrzeni trójwymiarowej. Odłóżmy z dowolnego punktu O wektory i . Wtedy obowiązuje następująca definicja.

Definicja.

Kąt między wektorami i nazywa się kąt między promieniami O.A. I O.B..

Kąt między wektorami i będzie oznaczony jako .

Kąt między wektorami może przyjmować wartości z 0 do lub, co jest tym samym, od do.

Gdy oba wektory są skierowane wspólnie, gdy wektory są skierowane przeciwnie.

Definicja.

Nazywa się wektory prostopadły, jeśli kąt między nimi jest równy (radianom).

Jeżeli przynajmniej jeden z wektorów ma wartość zero, to kąt nie jest zdefiniowany.

Znajdowanie kąta między wektorami, przykładami i rozwiązaniami.

Cosinus kąta między wektorami i , a co za tym idzie i sam kąt, w ogólnym przypadku można znaleźć albo za pomocą iloczynu skalarnego wektorów, albo za pomocą twierdzenia o cosinus dla trójkąta zbudowanego na wektorach i .

Przyjrzyjmy się tym przypadkom.

Z definicji iloczyn skalarny wektorów wynosi . Jeśli wektory i są różne od zera, możemy podzielić obie strony ostatniej równości przez iloczyn długości wektorów i , i otrzymamy wzór na znalezienie cosinusa kąta między niezerowymi wektorami: . Tego wzoru można użyć, jeśli znane są długości wektorów i ich iloczyn skalarny.

Przykład.

Oblicz cosinus kąta między wektorami i , a także znajdź sam kąt, jeśli długości wektorów i są równe 3 I 6 odpowiednio, a ich iloczyn skalarny jest równy -9 .

Rozwiązanie.

Opis problemu zawiera wszystkie ilości niezbędne do zastosowania wzoru. Obliczamy cosinus kąta pomiędzy wektorami i: .

Teraz znajdujemy kąt między wektorami: .

Odpowiedź:

Występują problemy, gdy wektory są określone przez współrzędne w prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie lub w przestrzeni. W takich przypadkach, aby znaleźć cosinus kąta między wektorami, można użyć tego samego wzoru, ale w formie współrzędnych. Chodźmy po to.

Długość wektora to pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów jego współrzędnych, iloczyn skalarny wektorów jest równy sumie iloczynów odpowiednich współrzędnych. Stąd, wzór na obliczenie cosinusa kąta między wektorami na płaszczyźnie ma postać , a dla wektorów w przestrzeni trójwymiarowej - .

Przykład.

Znajdź kąt między wektorami podanymi w prostokątnym układzie współrzędnych.

Rozwiązanie.

Możesz od razu skorzystać ze wzoru:

Możesz też skorzystać ze wzoru, aby znaleźć cosinus kąta między wektorami, po wcześniejszym obliczeniu długości wektorów i iloczynu skalarnego po współrzędnych:

Odpowiedź:

Problem sprowadza się do poprzedniego przypadku, gdy podane są współrzędne trzech punktów (np A, W I Z) w prostokątnym układzie współrzędnych i musisz znaleźć jakiś kąt (na przykład ).


Rzeczywiście, kąt jest równy kątowi między wektorami i . Współrzędne tych wektorów są obliczane jako różnica między odpowiednimi współrzędnymi punktu końcowego i początkowego wektora.

Przykład.

Na płaszczyźnie współrzędne trzech punktów podane są w kartezjańskim układzie współrzędnych. Znajdź cosinus kąta między wektorami i .

Rozwiązanie.

Wyznaczmy współrzędne wektorów i współrzędne podanych punktów:

Skorzystajmy teraz ze wzoru na znalezienie cosinusa kąta pomiędzy wektorami na płaszczyźnie we współrzędnych:

Odpowiedź:

Kąt między wektorami i można również obliczyć za pomocą twierdzenie cosinus. Jeśli odłożymy od rzeczy O wektory i , a następnie przez twierdzenie cosinus w trójkącie OAV możemy napisać, co jest równoważne równości, z której znajdujemy cosinus kąta między wektorami. Aby zastosować otrzymany wzór, potrzebujemy jedynie długości wektorów i , które można łatwo znaleźć na podstawie współrzędnych wektorów i . Jednak ta metoda praktycznie nie jest stosowana, ponieważ cosinus kąta między wektorami łatwiej jest znaleźć za pomocą wzoru.

Obliczenie rzut ortogonalny(projekcja własna):

Rzut wektora na oś l jest równy iloczynowi modułu wektora i cosinusa kąta φ między wektorem a osią, tj. pr cosφ.

Dokument: Jeśli φ=< , то пр l =+ = *cos φ.

Jeżeli φ> (φ≤ ), to pr l =- =- * cos( -φ) = cosφ (patrz rys. 10)

Jeśli φ= , to pr l = 0 = cos φ.

Konsekwencja: Rzut wektora na oś jest dodatni (ujemny), jeśli wektor tworzy z osią kąt ostry (rozwarty), i jest równy zeru, jeśli kąt ten jest prosty.

Konsekwencja: Rzuty równych wektorów na tę samą oś są sobie równe.

Obliczanie rzutu ortogonalnego sumy wektorów (właściwość rzutowania):

Rzut sumy kilku wektorów na tę samą oś jest równy sumie ich rzutów na tę oś.

Doktor: Niech na przykład = + + . Mamy pr l =+ =+ + - , tj. pr l ( + + ) = pr l + pr l + pr l (patrz ryc. 11)

RYŻ. jedenaście

Obliczanie iloczynu wektora i liczby:

Kiedy wektor jest mnożony przez liczbę λ, jego rzut na oś jest również mnożony przez tę liczbę, tj. pr l (λ* )= λ* pr l .

Dowód: Dla λ > 0 mamy pr l (λ* )= *cos φ = λ* φ = λ*pr l

Gdy λl (λ* )= *cos( -φ)=- * (-cosφ) = * cosφ= λ *pr l .

Właściwość jest również ważna, gdy

Zatem operacje liniowe na wektorach prowadzą do odpowiednich operacje liniowe na rzuty tych wektorów.

Materiał ten poświęcony jest takiej koncepcji, jak kąt między dwiema przecinającymi się liniami. W pierwszym akapicie wyjaśnimy, co to jest i pokażemy to na ilustracjach. Następnie przyjrzymy się sposobom znalezienia sinusa, cosinusa tego kąta i samego kąta (oddzielnie rozważymy przypadki z płaszczyzną i przestrzenią trójwymiarową), podamy niezbędne wzory i pokażemy dokładnie na przykładach jak się je wykorzystuje w praktyce.

Aby zrozumieć, jaki jest kąt powstały na przecięciu dwóch prostych, należy pamiętać o samej definicji kąta, prostopadłości i punktu przecięcia.

Definicja 1

Nazywamy dwie linie przecinającymi się, jeśli jedną mają wspólny punkt. Punkt ten nazywany jest punktem przecięcia dwóch linii.

Każda linia prosta jest podzielona przez punkt przecięcia na promienie. Obie linie proste tworzą 4 kąty, z których dwa są pionowe, a dwa sąsiadują ze sobą. Jeśli znamy miarę jednego z nich, możemy wyznaczyć pozostałe.

Powiedzmy, że wiemy, że jeden z kątów jest równy α. W tym przypadku kąt pionowy względem niego będzie również równy α. Aby znaleźć pozostałe kąty, musimy obliczyć różnicę 180 ° - α. Jeśli α jest równe 90 stopni, wówczas wszystkie kąty będą kątami prostymi. Linie przecinające się pod kątem prostym nazywane są prostopadłymi (pojęciu prostopadłości poświęcony jest osobny artykuł).

Spójrz na zdjęcie:

Przejdźmy do sformułowania głównej definicji.

Definicja 2

Kąt utworzony przez dwie przecinające się linie jest miarą mniejszego z 4 kątów tworzących te dwie linie.

Z definicji należy wyciągnąć ważny wniosek: wielkość kąta w tym przypadku zostanie wyrażona przez dowolną prawdziwy numer w przedziale (0, 90). Jeśli linie są prostopadłe, to kąt między nimi będzie w każdym przypadku równy 90 stopni.

Umiejętność znalezienia miary kąta między dwiema przecinającymi się liniami jest przydatna w rozwiązywaniu wielu problemów problemy praktyczne. Metodę rozwiązania można wybrać spośród kilku opcji.

Na początek możemy zastosować metody geometryczne. Jeśli wiemy coś o kątach dopełniających, możemy je powiązać z potrzebnym nam kątem, korzystając z właściwości figur równych lub podobnych. Na przykład, jeśli znamy boki trójkąta i musimy obliczyć kąt między liniami, na których znajdują się te boki, wówczas do naszego rozwiązania nadaje się twierdzenie cosinus. Jeśli mamy warunek trójkąt prostokątny, wówczas do obliczeń będziemy potrzebować także znajomości sinusa, cosinusa i tangensa kąta.

Metoda współrzędnych jest również bardzo wygodna przy rozwiązywaniu problemów tego typu. Wyjaśnijmy, jak prawidłowo go używać.

Mamy prostokątny (kartezjański) układ współrzędnych O x y, w którym dane są dwie linie proste. Oznaczmy je literami a i b. Linie proste można opisać za pomocą równań. Oryginalne linie mają punkt przecięcia M. Jak wyznaczyć wymagany kąt (oznaczmy go α) pomiędzy tymi prostymi?

Zacznijmy od sformułowania podstawowej zasady znajdowania kąta w danych warunkach.

Wiemy, że pojęcie linii prostej jest ściśle powiązane z takimi pojęciami, jak wektor kierunkowy i wektor normalny. Jeśli mamy równanie pewnej prostej, możemy z niej pobrać współrzędne tych wektorów. Możemy to zrobić dla dwóch przecinających się linii jednocześnie.

Kąt wyznaczony przez dwie przecinające się linie można znaleźć za pomocą:

  • kąt między wektorami kierunkowymi;
  • kąt między wektorami normalnymi;
  • kąt między wektorem normalnym jednej linii a wektorem kierunku drugiej.

Przyjrzyjmy się teraz każdej metodzie osobno.

1. Załóżmy, że mamy prostą a z wektorem kierunku a → = (a x, a y) i linię b z wektorem kierunku b → (b x, b y). Narysujmy teraz dwa wektory a → i b → z punktu przecięcia. Następnie zobaczymy, że każdy z nich będzie zlokalizowany na własnej linii prostej. Mamy dla nich cztery opcje względne położenie. Zobacz ilustrację:

Jeśli kąt między dwoma wektorami nie jest rozwarty, to będzie to kąt, którego potrzebujemy między przecinającymi się liniami a i b. Jeśli jest rozwarty, pożądany kąt będzie równy kątowi przylegającemu do kąta a →, b → ^. Zatem α = a → , b → ^ jeśli a → , b → ^ ≤ 90 ° , i α = 180 ° - a → , b → ^ jeśli a → , b → ^ > 90 ° .

Opierając się na fakcie, że cosinusy równe kąty są równe, możemy przepisać powstałe równości w następujący sposób: cos α = cos a → , b → ^ , jeśli a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, jeśli a →, b → ^ > 90 °.

W drugim przypadku wykorzystano wzory redukcyjne. Zatem,

sałata α sałata a → , b → ^ , sałata a → , b → ^ ≥ 0 - sałata a → , b → ^ , sałata a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Zapiszmy ostatnią formułę słownie:

Definicja 3

Cosinus kąta utworzonego przez dwie przecinające się linie proste będzie równy modułowi cosinusa kąta między jego wektorami kierunkowymi.

Ogólna postać wzoru na cosinus kąta między dwoma wektorami a → = (a x , a y) i b → = (b x , b y) wygląda następująco:

sałata za → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + za y + b y a x 2 + za y 2 b x 2 + b y 2

Można z niego wyprowadzić wzór na cosinus kąta pomiędzy dwiema danymi prostymi:

cos α = za x b x + za y + b y a x 2 + za y 2 b x 2 + b y 2 = za x b x + a y + b y za x 2 + za y 2 b x 2 + b y 2

Następnie sam kąt można znaleźć za pomocą następującego wzoru:

α = za r do cos za x b x + za y + b y a x 2 + za y 2 b x 2 + b y 2

Tutaj a → = (a x , a y) i b → = (b x , b y) są wektorami kierunku danych prostych.

Podajmy przykład rozwiązania problemu.

Przykład 1

W prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie dane są dwie przecinające się linie a i b. Można je opisać równaniami parametrycznymi x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R i x 5 = y - 6 - 3. Oblicz kąt między tymi liniami.

Rozwiązanie

Mamy w naszym stanie równanie parametryczne, co oznacza, że ​​dla tej prostej możemy od razu zapisać współrzędne jej wektora kierunkowego. W tym celu musimy przyjąć wartości współczynników dla parametru, tj. linia prosta x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R będzie miała wektor kierunkowy a → = (4, 1).

Druga prosta jest opisana za pomocą równanie kanoniczne x 5 = y - 6 - 3 . Tutaj możemy pobrać współrzędne z mianowników. Zatem ta linia ma wektor kierunkowy b → = (5 , - 3) .

Następnie przechodzimy bezpośrednio do znalezienia kąta. Aby to zrobić, wystarczy podstawić istniejące współrzędne dwóch wektorów do powyższego wzoru α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . Otrzymujemy co następuje:

α = za r do cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = za r do cos 17 17 34 = za r do cos 1 2 = 45 °

Odpowiedź: Te linie proste tworzą kąt 45 stopni.

Podobny problem możemy rozwiązać, znajdując kąt między wektorami normalnymi. Jeśli mamy prostą a z wektorem normalnym n a → = (n a x , n a y) i linię b z wektorem normalnym n b → = (n b x , n b y), to kąt między nimi będzie równy kątowi pomiędzy n a → i n b → lub kąt, który będzie przylegał do n a →, n b → ^. Metodę tę pokazano na obrazku:

Wzory do obliczania cosinusa kąta między przecinającymi się prostymi i samego tego kąta przy użyciu współrzędnych wektorów normalnych wyglądają następująco:

sałata α = sałata n za → , n b → ^ = n za x n b x + n za y + n b y n za x 2 + n za y 2 n b x 2 + n b y 2 α = za r do cos n za x n b x + n za y + n b y n za x 2 + n za y 2 n b x 2 + n b y 2

Tutaj n a → i n b → oznaczają wektory normalne dwóch danych prostych.

Przykład 2

W prostokątnym układzie współrzędnych dwie proste wyznacza się za pomocą równań 3 x + 5 y - 30 = 0 i x + 4 y - 17 = 0. Znajdź sinus i cosinus kąta między nimi oraz wielkość tego kąta.

Rozwiązanie

Oryginalne linie są określone za pomocą normalne równania prosta postaci A x + B y + C = 0. Oznaczamy wektor normalny jako n → = (A, B). Znajdźmy współrzędne pierwszego wektora normalnego dla jednej linii i zapiszmy je: n a → = (3, 5) . Dla drugiej linii x + 4 y - 17 = 0 wektor normalny będzie miał współrzędne n b → = (1, 4). Dodajmy teraz uzyskane wartości do wzoru i obliczmy sumę:

sałata α = sałata n za → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Jeśli znamy cosinus kąta, możemy obliczyć jego sinus za pomocą podstawy tożsamość trygonometryczna. Ponieważ kąt α utworzony przez linie proste nie jest rozwarty, wówczas sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.

W tym przypadku α = a r do cos 23 2 34 = a r do sin 7 2 34.

Odpowiedź: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = za r do cos 23 2 34 = za r do grzech 7 2 34

Przeanalizujmy ostatni przypadek - znalezienie kąta między prostymi, jeśli znamy współrzędne wektora kierunku jednej prostej i wektora normalnego drugiej.

Załóżmy, że prosta a ma wektor kierunkowy a → = (a x , a y) , a prosta b ma wektor normalny n b → = (n b x , n b y) . Musimy odsunąć te wektory od punktu przecięcia i rozważyć wszystkie opcje ich względnych pozycji. Zobacz na zdjęciu:

Jeżeli kąt pomiędzy podanymi wektorami nie będzie większy niż 90 stopni, to okaże się, że dopełni kąt pomiędzy a i b do kąta prostego.

a → , n b → ^ = 90 ° - α jeśli a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Jeśli jest mniejsza niż 90 stopni, wówczas otrzymujemy:

a → , n b → ^ > 90 ° , następnie a → , n b → ^ = 90 ° + α

Korzystając z zasady równości cosinusów równych kątów piszemy:

cos za → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α dla a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos za → , n b → ^ = cos 90° + α = - sin α dla a → , n b → ^ > 90° .

Zatem,

sin α = sałata za → , n b → ^ , za → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , za → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = sałata a → , n b → ^ , za → , n b → ^ > 0 - sałata za → , n b → ^ , za → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Sformułujmy wniosek.

Definicja 4

Aby znaleźć sinus kąta między dwiema liniami przecinającymi się na płaszczyźnie, należy obliczyć moduł cosinusa kąta między wektorem kierunkowym pierwszej linii a wektorem normalnym drugiej linii.

Zapiszmy niezbędne formuły. Znajdowanie sinusa kąta:

grzech α = sałata za → , n b → ^ = za x n b x + za y n b y a x 2 + za y 2 n b x 2 + n b y 2

Znalezienie samego kąta:

α = za r do grzech = za x n b x + za y n b y za x 2 + za y 2 n b x 2 + n b y 2

Tutaj a → jest wektorem kierunku pierwszej linii, a n b → jest wektorem normalnym drugiej linii.

Przykład 3

Dwie przecinające się linie są dane równaniami x - 5 = y - 6 3 i x + 4 y - 17 = 0. Znajdź kąt przecięcia.

Rozwiązanie

Bierzemy współrzędne wektora prowadzącego i normalnego z podanych równań. Okazuje się, że a → = (- 5, 3) i n → b = (1, 4). Bierzemy wzór α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 i obliczamy:

α = za r do grzech = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = za r do grzech 7 2 34

Należy pamiętać, że wzięliśmy równania z poprzedniego zadania i otrzymaliśmy dokładnie ten sam wynik, ale w inny sposób.

Odpowiedź:α = za r do grzech 7 2 34

Przedstawmy inny sposób znalezienia żądanego kąta za pomocą współczynników kątowych danych prostych.

Mamy linię a zdefiniowaną w prostokątnym układzie współrzędnych za pomocą równania y = k 1 x + b 1 oraz linię b zdefiniowaną jako y = k 2 x + b 2. Są to równania prostych ze współczynnikami nachylenia. Aby znaleźć kąt przecięcia, używamy wzoru:

α = a r do cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, gdzie k 1 i k 2 są współczynnikami nachylenia danych prostych. Aby uzyskać ten zapis, wykorzystano wzory na wyznaczenie kąta poprzez współrzędne wektorów normalnych.

Przykład 4

Na płaszczyźnie przecinają się dwie proste, określone równaniami y = - 3 5 x + 6 i y = - 1 4 x + 17 4. Oblicz wartość kąta przecięcia.

Rozwiązanie

Współczynniki kątowe naszych linii są równe k 1 = - 3 5 i k 2 = - 1 4. Dodajmy je do wzoru α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 i obliczmy:

α = za r do cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = za r do cos 23 20 34 24 · 17 16 = za r do cos 23 2 34

Odpowiedź:α = za r do cos 23 2 34

We wnioskach z tego akapitu należy zauważyć, że podanych tutaj wzorów na znalezienie kąta nie trzeba uczyć się na pamięć. Aby to zrobić, wystarczy znać współrzędne prowadnic i/lub wektorów normalnych danych linii i umieć je wyznaczyć za pomocą różne rodzaje równania. Ale lepiej zapamiętać lub zapisać wzory na obliczenie cosinusa kąta.

Jak obliczyć kąt między przecinającymi się liniami w przestrzeni

Obliczenie takiego kąta można sprowadzić do obliczenia współrzędnych wektorów kierunkowych i określenia wielkości kąta utworzonego przez te wektory. W przypadku takich przykładów stosuje się to samo rozumowanie, które podaliśmy wcześniej.

Załóżmy, że mamy prostokątny układ współrzędnych umiejscowiony w przestrzeni trójwymiarowej. Zawiera dwie proste a i b z punktem przecięcia M. Aby obliczyć współrzędne wektorów kierunkowych, musimy znać równania tych prostych. Oznaczmy wektory kierunkowe a → = (a x , a y , a z) i b → = (b x , b y , b z) . Aby obliczyć cosinus kąta między nimi, używamy wzoru:

sałata α = sałata za → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z za x 2 + za y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Aby znaleźć sam kąt, potrzebujemy następującego wzoru:

α = za r do cos za x b x + a y b y + a z b z za x 2 + za y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Przykład 5

Mamy linię zdefiniowaną w przestrzeni trójwymiarowej za pomocą równania x 1 = y - 3 = z + 3 - 2. Wiadomo, że przecina się z osią O z. Oblicz kąt przecięcia i cosinus tego kąta.

Rozwiązanie

Oznaczmy kąt, który należy obliczyć, literą α. Zapiszmy współrzędne wektora kierunku pierwszej prostej – a → = (1, - 3, - 2) . Dla aplikacji osi możemy przyjąć wektor współrzędnych k → = (0, 0, 1) jako wskazówka. Otrzymaliśmy niezbędne dane i możemy je dodać do pożądanej formuły:

sałata α = sałata a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

W rezultacie odkryliśmy, że potrzebny nam kąt będzie równy a r c cos 1 · 2 = 45 °.

Odpowiedź: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter