Z kurs szkolny Matematycy wiedzą, że wektor na płaszczyźnie jest segmentem skierowanym. Jego początek i koniec mają dwie współrzędne. Współrzędne wektora oblicza się odejmując współrzędne początkowe od współrzędnych końcowych.

Pojęcie wektora można rozszerzyć na przestrzeń n-wymiarową (zamiast dwóch współrzędnych będzie n współrzędnych).

Gradient grad z funkcji z = f(x 1, x 2, ...x n) jest wektorem pochodnych cząstkowych funkcji w punkcie, tj. wektor ze współrzędnymi.

Można udowodnić, że gradient funkcji charakteryzuje kierunek najszybszego wzrostu poziomu funkcji w punkcie.

Na przykład dla funkcji z = 2x 1 + x 2 (patrz rysunek 5.8) gradient w dowolnym punkcie będzie miał współrzędne (2; 1). Można go skonstruować na płaszczyźnie na różne sposoby, przyjmując dowolny punkt jako początek wektora. Na przykład możesz połączyć punkt (0; 0) z punktem (2; 1) lub punkt (1; 0) z punktem (3; 1) lub punkt (0; 3) z punktem (2; 4), czy tak dalej. (Patrz rysunek 5.8). Wszystkie tak skonstruowane wektory będą miały współrzędne (2 – 0; 1 – 0) =
= (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).

Z rysunku 5.8 wyraźnie widać, że poziom funkcji wzrasta w kierunku gradientu, ponieważ zbudowane linie poziomu odpowiadają wartościom poziomu 4 > 3 > 2.

Rysunek 5.8 - Gradient funkcji z = 2x 1 + x 2

Rozważmy inny przykład - funkcję z = 1/(x 1 x 2). Gradient tej funkcji nie będzie już zawsze taki sam w różnych punktach, ponieważ jej współrzędne są określone wzorami (-1/(x 1 2 x 2); -1/(x 1 x 2 2)).

Rysunek 5.9 przedstawia linie poziomu funkcji z = 1/(x 1 x 2) dla poziomów 2 i 10 (prosta 1/(x 1 x 2) = 2 jest oznaczona linią przerywaną, a linia prosta
1/(x 1 x 2) = 10 – linia ciągła).

Rysunek 5.9 - Gradienty funkcji z = 1/(x 1 x 2) w różnych punktach

Weźmy na przykład punkt (0,5; 1) i oblicz nachylenie w tym punkcie: (-1/(0,5 2 *1); -1/(0,5*1 2)) = (-4; - 2). Zauważ, że punkt (0,5; 1) leży na linii poziomu 1/(x 1 x 2) = 2, ponieważ z = f(0,5; 1) = 1/(0,5*1) = 2. Aby zobrazować wektor ( -4; -2) na rysunku 5.9 łączymy punkt (0,5; 1) z punktem (-3,5; -1), ponieważ
(-3,5 – 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).

Weźmy inny punkt na tej samej linii poziomu, na przykład punkt (1; 0,5) (z = f(1; 0,5) = 1/(0,5*1) = 2). Obliczmy gradient w tym punkcie
(-1/(1 2 *0,5); -1/(1*0,5 2)) = (-2; -4). Aby zobrazować to na rysunku 5.9, łączymy punkt (1; 0,5) z punktem (-1; -3,5), ponieważ (-1 - 1; -3,5 - 0,5) = (-2; - 4).

Weźmy inny punkt na tej samej linii poziomu, ale tylko teraz w ćwiartce współrzędnych niedodatnich. Na przykład punkt (-0,5; -1) (z = f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). Nachylenie w tym punkcie będzie równe
(-1/((-0,5) 2 *(-1)); -1/((-0,5)*(-1) 2)) = (4; 2). Przedstawmy to na rysunku 5.9, łącząc punkt (-0,5; -1) z punktem (3,5; 1), ponieważ (3,5 – (-0,5); 1 – (-1)) = (4 ; 2).

Pojęcie Kierunkowa pochodna rozważane dla funkcji dwóch i trzech zmiennych. Aby zrozumieć znaczenie pochodnej kierunkowej, należy porównać pochodne z definicji

Stąd,

Teraz możemy znaleźć pochodną kierunkową tej funkcji, korzystając z jej wzoru:

I teraz - Praca domowa. Daje funkcję nie trzech, ale tylko dwóch zmiennych, ale wektor kierunkowy jest określony nieco inaczej. Więc będziesz musiał zrobić to jeszcze raz algebra wektorowa .

Przykład 2. Znajdź pochodną funkcji w punkcie M0 (1; 2) w kierunku wektora, gdzie M1 - punkt o współrzędnych (3; 0).

Wektor określający kierunek pochodnej można podać także w postaci jak w poniższym przykładzie - w postaci rozwinięcie wektorów jednostkowych osi współrzędnych, ale jest to temat znany od samego początku algebry wektorowej.

Przykład 3. Znajdź pochodną funkcji w tym punkcie M0 (1; 1; 1) w kierunku wektora.

Rozwiązanie. Znajdźmy cosinus kierunku wektora

Znajdźmy pochodne cząstkowe funkcji w punkcie M0 :

Dlatego pochodną kierunkową tej funkcji możemy znaleźć korzystając z jej wzoru:

.

Funkcja gradientu

Gradient funkcji kilku zmiennych w jednym punkcie M0 charakteryzuje kierunek maksymalnego wzrostu tej funkcji w punkcie M0 oraz wielkość tego maksymalnego wzrostu.

Jak znaleźć gradient?

Trzeba ustalić wektor, którego rzuty na osie współrzędnych są wartościami pochodne cząstkowe, , ta funkcja w odpowiednim punkcie:

.

Czyli powinno się udać reprezentacja wektora za pomocą wektorów jednostkowych osi współrzędnych, w którym pochodna cząstkowa odpowiadająca jej osi jest mnożona przez każdą jednostkę.

Wykład 15. „Różniczkowanie funkcji kilku zmiennych”

    Gradient funkcji dwóch zmiennych i pochodna kierunkowa.

Definicja. Funkcja gradientu

zwany wektorem

.

Jak widać z definicji gradientu funkcji, składowymi wektora gradientu są pochodne cząstkowe funkcji.

Przykład. Oblicz gradient funkcji

w punkcie A(2,3).

Rozwiązanie. Obliczmy pochodne cząstkowe funkcji.

Ogólnie gradient funkcji ma postać:

=

Podstawmy współrzędne punktu A(2,3) do wyrażeń na pochodne cząstkowe

Gradient funkcji w punkcie A(2,3) ma postać:

Podobnie możemy zdefiniować pojęcie gradientu funkcji trzech zmiennych:

Definicja. Funkcja gradientowa trzech zmiennych

zwany wektorem

W przeciwnym razie wektor ten można zapisać w następujący sposób:

Definicja Kierunkowa pochodna.

Niech będzie dana funkcja dwóch zmiennych

i dowolny wektor

Rozważmy przyrost tej funkcji wzdłuż danego wektora

Te. wektor jest współliniowy względem wektora . Długość przyrostu argumentu

Pochodna w pewnym kierunku to granica stosunku przyrostu funkcji w danym kierunku do długości przyrostu argumentu, gdy długość przyrostu argumentu dąży do 0.

Wzór na obliczanie pochodnej kierunkowej.

Na podstawie definicji gradientu pochodną kierunkową funkcji można obliczyć w następujący sposób.

jakiś wektor. Wektor o tym samym kierunku, ale pojedynczy nazwijmy długość

Współrzędne tego wektora oblicza się w następujący sposób:

Z definicji pochodnej kierunkowej pochodną kierunkową można obliczyć za pomocą następującego wzoru:

Prawa strona tego wzoru jest iloczynem skalarnym dwóch wektorów

Dlatego pochodną kierunkową można przedstawić za pomocą następującego wzoru:

Z tego wzoru wynika kilka ważnych właściwości wektora gradientu.

Pierwsza właściwość gradientu wynika z oczywistego faktu, że przyjmuje się iloczyn skalarny dwóch wektorów najwyższa wartość, gdy wektory pokrywają się w kierunku. Druga właściwość wynika z faktu, że iloczyn skalarny wektorów prostopadłych jest równy zero. Ponadto z pierwszej właściwości wynika geometryczne znaczenie gradientu - gradient jest wektorem wzdłuż kierunku, którego pochodna kierunkowa jest największa. Ponieważ pochodna kierunkowa wyznacza tangens kąta nachylenia stycznej do powierzchni funkcji, gradient jest kierowany wzdłuż największego nachylenia stycznej.

Przykład 2. Dla funkcji (z przykładu 1)

Oblicz pochodną kierunkową

w punkcie A(2,3).

Rozwiązanie. Aby obliczyć pochodną kierunkową, należy obliczyć wektor gradientu w określonym punkcie i jednostkowy wektor kierunku (tj. Znormalizować wektor).

Wektor gradientu obliczono w przykładzie 1:

Obliczamy jednostkowy wektor kierunku:

Obliczamy pochodną względem kierunku:

#2. Funkcje maksymalne i minimalne kilku zmiennych.

Definicja. Funkcjonować

Ma maksimum w punkcie (tj. w i ), jeśli

Definicja. Dokładnie w ten sam sposób mówią, że funkcja

Ma minimum w punkcie (tj. w i ), jeśli

dla wszystkich punktów wystarczająco bliskich punktu i różnych od niego.

Maksimum i minimum funkcji nazywane są ekstremami funkcji, czyli mówią, że funkcja ma w danym punkcie ekstremum, jeśli funkcja ta ma w danym punkcie maksimum lub minimum.

Na przykład funkcja

Ma oczywiste minimum z = -1 przy x = 1 i y = 2.

Ma maksimum w punkcie w x = 0 i y = 0.

Twierdzenie.(warunki konieczne dla ekstremum).

Jeśli funkcja osiągnie ekstremum w , to każda pochodna cząstkowa pierwszego rzędu z albo znika dla tych wartości argumentów, albo nie istnieje.

Komentarz. Twierdzenie to nie jest wystarczające do zbadania kwestii ekstremalnych wartości funkcji. Możemy podać przykłady funkcji, które w niektórych punktach mają zerowe pochodne cząstkowe, ale nie mają w tych punktach ekstremum.

Przykład. Funkcja, która nie ma pochodnych cząstkowych, ale nie ma ekstremum.

Rzeczywiście:

Warunki wystarczające na ekstremum.

Twierdzenie. Niech w jakiejś dziedzinie zawierającej punkt funkcja ma ciągłe pochodne cząstkowe aż do trzeciego rzędu włącznie; Niech dodatkowo punkt będzie punktem krytycznym funkcji, tj.

Wtedy, kiedy ,

Przykład 3.2. Poznaj funkcje maksymalne i minimalne

    Znajdźmy punkty krytyczne, tj. punkty, w których pierwsze pochodne cząstkowe wynoszą zero lub nie istnieją.

Najpierw obliczamy same pochodne cząstkowe.

Przyrównujemy pochodne cząstkowe do zera i rozwiązujemy następujący układ równań liniowych

Pomnóż drugie równanie przez 2 i dodaj je do pierwszego. Wynikiem jest równanie tylko w y.

Znajdujemy i podstawiamy do pierwszego równania

Przekształćmy się

Dlatego punkt () jest krytyczny.

    Obliczmy drugie pochodne drugiego rzędu i podstawmy do nich współrzędne punktu krytycznego.

W naszym przypadku nie ma potrzeby podstawiania wartości punktów krytycznych, ponieważ drugie pochodne są liczbami.

W rezultacie mamy:

Dlatego znaleziono punkt krytyczny, jest punktem ekstremalnym. Co więcej, od

to jest to punkt minimalny.

Ze szkolnych zajęć z matematyki wiemy, że wektor na płaszczyźnie jest odcinkiem skierowanym. Jego początek i koniec mają dwie współrzędne. Współrzędne wektora oblicza się odejmując współrzędne początkowe od współrzędnych końcowych.

Pojęcie wektora można rozszerzyć na przestrzeń n-wymiarową (zamiast dwóch współrzędnych będzie n współrzędnych).

Gradient gradzfunctionz=f(x 1, x 2, ...x n) jest wektorem pochodnych cząstkowych funkcji w punkcie, tj. wektor ze współrzędnymi.

Można udowodnić, że gradient funkcji charakteryzuje kierunek najszybszego wzrostu poziomu funkcji w punkcie.

Na przykład dla funkcji z = 2x 1 + x 2 (patrz rysunek 5.8) gradient w dowolnym punkcie będzie miał współrzędne (2; 1). Można go skonstruować na płaszczyźnie na różne sposoby, przyjmując dowolny punkt jako początek wektora. Na przykład możesz połączyć punkt (0; 0) z punktem (2; 1) lub punkt (1; 0) z punktem (3; 1) lub punkt (0; 3) z punktem (2; 4), czy tak dalej. (Patrz rysunek 5.8). Wszystkie tak skonstruowane wektory będą miały współrzędne (2 – 0; 1 – 0) = = (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).

Z rysunku 5.8 wyraźnie widać, że poziom funkcji wzrasta w kierunku gradientu, ponieważ zbudowane linie poziomu odpowiadają wartościom poziomu 4 > 3 > 2.

Rysunek 5.8 - Gradient funkcji z= 2x 1 + x 2

Rozważmy inny przykład - funkcję z = 1/(x 1 x 2). Gradient tej funkcji nie będzie już zawsze taki sam w różnych punktach, ponieważ jej współrzędne są określone wzorami (-1/(x 1 2 x 2); -1/(x 1 x 2 2)).

Rysunek 5.9 przedstawia linie poziomu funkcji z = 1/(x 1 x 2) dla poziomów 2 i 10 (prosta 1/(x 1 x 2) = 2 jest oznaczona linią przerywaną, a linia prosta 1/( x 1 x 2) = 10 to linia ciągła).

Rysunek 5.9 - Gradienty funkcji z= 1/(x 1 x 2) w różnych punktach

Weźmy na przykład punkt (0,5; 1) i oblicz nachylenie w tym punkcie: (-1/(0,5 2 *1); -1/(0,5*1 2)) = (-4; - 2). Zauważ, że punkt (0,5; 1) leży na linii poziomu 1/(x 1 x 2) = 2, ponieważ z=f(0,5; 1) = 1/(0,5*1) = 2. Aby narysować wektor ( -4; -2) na rysunku 5.9 połącz punkt (0,5; 1) z punktem (-3,5; -1), ponieważ (-3,5 – 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).

Weźmy inny punkt na tej samej linii poziomu, na przykład punkt (1; 0,5) (z=f(1; 0,5) = 1/(0,5*1) = 2). Obliczmy gradient w tym punkcie (-1/(1 2 *0,5); -1/(1*0,5 2)) = (-2; -4). Aby zobrazować to na rysunku 5.9, łączymy punkt (1; 0,5) z punktem (-1; -3,5), ponieważ (-1 - 1; -3,5 - 0,5) = (-2; - 4).

Weźmy inny punkt na tej samej linii poziomu, ale tylko teraz w ćwiartce współrzędnych niedodatnich. Na przykład punkt (-0,5; -1) (z=f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). Gradient w tym punkcie będzie równy (-1/((-0,5) 2 *(-1)); -1/((-0,5)*(-1) 2)) = (4; 2). Przedstawmy to na rysunku 5.9, łącząc punkt (-0,5; -1) z punktem (3,5; 1), ponieważ (3,5 – (-0,5); 1 – (-1)) = (4 ; 2).

Należy zauważyć, że we wszystkich trzech rozpatrywanych przypadkach gradient wskazuje kierunek wzrostu poziomu funkcji (w stronę linii poziomu 1/(x 1 x 2) = 10 > 2).

Można wykazać, że nachylenie jest zawsze prostopadłe do linii poziomu (poziomej powierzchni) przechodzącej przez dany punkt.

Ekstrema funkcji kilku zmiennych

Zdefiniujmy pojęcie ekstremum dla funkcji wielu zmiennych.

Funkcja wielu zmiennych f(X) ma w punkcie X (0) maksimum (minimum), jeśli istnieje takie otoczenie tego punktu, że dla wszystkich punktów X z tego sąsiedztwa spełnione są nierówności f(X)f(X (0)) ().

Jeżeli nierówności te są spełnione jako ścisłe, wówczas nazywa się ekstremum mocny, a jeśli nie, to słaby.

Należy zauważyć, że tak zdefiniowane ekstremum to lokalny charakter, gdyż nierówności te są spełnione tylko dla pewnego sąsiedztwa punktu ekstremum.

Warunkiem koniecznym ekstremum lokalnego funkcji różniczkowalnej z=f(x 1, . . ., x n) w punkcie jest równość do zera wszystkich pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu w tym punkcie:
.

Punkty, w których zachodzą te równości, nazywane są stacjonarny.

Inaczej warunek konieczny ekstremum można sformułować następująco: w punkcie ekstremum gradient wynosi zero. Można też udowodnić bardziej ogólne stwierdzenie: w punkcie ekstremalnym pochodne funkcji we wszystkich kierunkach zanikają.

Punkty stacjonarne należy poddać dodatkowym badaniom w celu ustalenia, czy spełnione są wystarczające warunki istnienia ekstremum lokalnego. Aby to zrobić, określ znak różniczki drugiego rzędu. Jeśli dla dowolnego , nie jednocześnie równego zeru, jest ono zawsze ujemne (dodatnie), to funkcja ma maksimum (minimum). Jeśli może dojść do zera nie tylko przy zerowych przyrostach, wówczas kwestia ekstremum pozostaje otwarta. Jeśli może przyjmować zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne, to w punkcie stacjonarnym nie ma ekstremum.

W ogólnym przypadku określenie znaku różniczki jest dość złożonym problemem, którego tutaj nie będziemy rozważać. Dla funkcji dwóch zmiennych można udowodnić, że w punkcie stacjonarnym
, wtedy ekstremum występuje. W tym przypadku znak drugiej różniczki pokrywa się ze znakiem
, tj. Jeśli
, to jest to maksimum, a jeśli
, to jest to minimum. Jeśli
, to w tym momencie nie ma ekstremum, a jeśli
, to kwestia ekstremum pozostaje otwarta.

Przykład 1. Znajdź ekstremum funkcji
.

Znajdźmy pochodne cząstkowe metodą różniczkowania logarytmicznego.

ln z = ln 2 + ln (x + y) + ln (1 + xy) – ln (1 + x 2) – ln (1 + y 2)

Podobnie
.

Znajdźmy punkty stacjonarne z układu równań:

W ten sposób znaleziono cztery punkty stacjonarne (1; 1), (1; -1), (-1; 1) i (-1; -1).

Znajdźmy pochodne cząstkowe drugiego rzędu:

ln (z x `) = ln 2 + ln (1 - x 2) -2ln (1 + x 2)

Podobnie
;
.

Ponieważ
, znak wyrażenia
zależy tylko od
. Zauważ, że w obu tych pochodnych mianownik jest zawsze dodatni, więc możesz wziąć pod uwagę tylko znak licznika, a nawet znak wyrażeń x(x 2 – 3) i y(y 2 – 3). Zdefiniujmy to w każdym punkcie krytycznym i sprawdźmy, czy warunek wystarczający na ekstremum jest spełniony.

Dla punktu (1; 1) otrzymujemy 1*(1 2 – 3) = -2< 0. Т.к. произведение двух liczby ujemne
> 0 oraz
< 0, в точке (1; 1) можно найти максимум. Он равен
= 2*(1 + 1)*(1 +1*1)/((1 +1 2)*(1 +1 2)) = = 8/4 = 2.

Dla punktu (1; -1) otrzymujemy 1*(1 2 – 3) = -2< 0 и (-1)*((-1) 2 – 3) = 2 >0. Ponieważ iloczyn tych liczb
< 0, в этой точке экстремума нет. Аналогично можно показать, что нет экстремума в точке (-1; 1).

Dla punktu (-1; -1) otrzymujemy (-1)*((-1) 2 – 3) = 2 > 0. Ponieważ iloczyn dwóch liczb dodatnich
> 0 oraz
> 0, w punkcie (-1; -1) można znaleźć minimum. Jest równe 2*((-1) + (-1))*(1 +(-1)*(-1))/((1 +(-1) 2)*(1 +(-1) 2) ) = -8/4 = = -2.

Znajdować światowy maksimum lub minimum (największa lub najmniejsza wartość funkcji) jest nieco bardziej skomplikowane niż lokalne ekstremum, ponieważ wartości te można osiągnąć nie tylko w punktach stacjonarnych, ale także na granicy dziedziny definicji. Nie zawsze łatwo jest zbadać zachowanie funkcji na granicy tego obszaru.

Krótka teoria

Gradient to wektor, którego kierunek wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji f(x). Znalezienie tej wielkości wektorowej wiąże się z wyznaczeniem pochodnych cząstkowych funkcji. Pochodna kierunkowa jest wielkością skalarną i pokazuje szybkość zmiany funkcji podczas poruszania się w kierunku określonym przez jakiś wektor.

Przykład rozwiązania problemu

Zadanie

Dana funkcja, punkt i wektor. Znajdować:

Rozwiązanie problemu

Znajdowanie gradientu funkcji

1) Znajdź gradient funkcji w punkcie:

Pożądany gradient:

Znajdowanie pochodnej po kierunku wektora

2) Znajdź pochodną w kierunku wektora:

gdzie jest kątem utworzonym przez wektor i oś

Wymagana pochodna w punkcie:

Na cenę duży wpływ ma pilność decyzji (od jednego dnia do kilku godzin). Pomoc online przy egzaminach/testach jest dostępna po wcześniejszym umówieniu się.

Możesz zostawić prośbę bezpośrednio na czacie, po wcześniejszym przesłaniu warunków zadań i poinformowaniu Cię o ramach czasowych potrzebnego rozwiązania. Czas odpowiedzi to kilka minut.