Gimnazjum nr 45.

Moskwa.

Uczeń 10. klasy „B” Gorochow Jewgienij

Zajęcia (wersja robocza).

Wprowadzenie do teorii macierzy i wyznaczników.

1. Macierze.................................................. .................................................. ............... .................................. ........................ ......

1.1 Pojęcie macierzy .................................................. ...................................................... ............... ..................................

1.2 Podstawowe operacje na macierzach........................................... ....... .................................. ............. .

2. Determinanty .................................................. .................................................. ............... .................................. ...........

2.1 Pojęcie wyznacznika .................................................. ........................................... .............. ..............

2.2 Obliczanie wyznaczników .................................................. ...................................................... ............... ..............

2.3 Podstawowe własności wyznaczników............................................ ....... .................................. .............

3. Układy równań liniowych............................................ ........................................... .............. .

3.1 Podstawowe definicje .................................................. .................................................... ........................

3.2 Warunek spójności układów równań liniowych........................................... .............. ..............

3.3 Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą Cramera............................................ ........................

3.4 Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą Gaussa........................................... ............... .............

4. Macierz odwrotna........................................... ...................................................... ............... ..................................

4.1 Pojęcie macierzy odwrotnej............................................ ....... .................................. ............. .............

4.2 Obliczanie macierzy odwrotnej........................................... ........................................... .........................

Bibliografia .................................................. . .................................................. ..................................

Matryca to prostokątna tabela liczb zawierająca pewną ilośćM linie i określoną liczbęN kolumny. LiczbyM IN są nazywane Zamówienia matryce. JeśliM = N , macierz nazywa się kwadratem, a liczbąm = rz -- jej w celu.

Podstawowe operacje arytmetyczne na macierzach to mnożenie macierzy przez liczbę, dodawanie i mnożenie macierzy.

Przejdźmy do zdefiniowania podstawowych operacji na macierzach.

Dodawanie macierzy: Suma dwóch macierzy, na przykład:AIB, mający tę samą liczbę wierszy i kolumn, innymi słowy tę samą kolejnośćM IN zwana macierzą C = (Zja)(ja = 1, 2, …m; j = 1, 2, …n)te same zamówieniaMIN, elementyCijktóre są równe.

Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) (1.2 )

Aby oznaczyć sumę dwóch macierzy, stosuje się notacjęC = A + B.Operację sumowania macierzy nazywa się ich dodatek

Zatem z definicji mamy:

+ =

Z definicji sumy macierzy, a dokładniej ze wzoru ( 1.2 ) wynika od razu, że operacja dodawania macierzy ma te same właściwości, co operacja dodawania liczb rzeczywistych, a mianowicie:

1) właściwość przemienna:A + B = B + A

2) łączenie własności:(A + B) + C = A + (B + C)

Te właściwości pozwalają nie martwić się o kolejność składników macierzy podczas dodawania dwóch lub więcej macierzy.

Mnożenie macierzy przez liczbę :

Produkt matrixowy liczba rzeczywista nazywana jest macierząC = (Cij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, …, n), których elementy są równe

Cij = Aij (i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). (1.3 )

Aby oznaczyć iloczyn macierzy i liczby, stosuje się notacjęC= ALubC=A . Operację składania iloczynu macierzy przez liczbę nazywa się mnożeniem macierzy przez tę liczbę.

Bezpośrednio ze wzoru ( 1.3 ) jasne jest, że mnożenie macierzy przez liczbę ma następujące właściwości:

1) własność rozdzielcza dotycząca sumy macierzy:

(A + B) = + B

2) właściwość asocjacyjna dotycząca czynnika liczbowego:

() A= ( A)

3) własność rozdzielcza dotycząca sumy liczb:

( + ) A= A + A.

Komentarz :Różnica dwóch macierzy A IB identycznych rzędów naturalne jest nazwanie takiej matrycyC tych samych rzędów, co sumuje się z macierząB daje macierzA . Aby oznaczyć różnicę między dwiema macierzami, stosuje się notację naturalną:C = A – B.

Mnożenie macierzy :

Produkt matrixowyA = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n), mając odpowiednio równe rzędyM IN , na matrycęB = (Bij) (i = 1, 2, …, n;

j = 1, 2, …, p), mając odpowiednio równe rzędyN IP , nazywa się macierząC=(Zij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, … , p), mając odpowiednio równe rzędyM IP i elementyCij, określone wzorem

Cij = (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p) (1.4 )

Aby oznaczyć iloczyn macierzyA do matrixaB użyj nagrania

C=AB. Operacja komponowania produktu matrycowegoA do matrixaB zwany mnożenie te matryce. Z definicji sformułowanej powyżej wynika, że matryca A nie można pomnożyć przez żadną macierz B : konieczne jest podanie liczby kolumn macierzyA był równa się liczba wierszy macierzyB . Aby obydwa dziełaAB Ilicencjat nie tylko zostały zdefiniowane, ale także miały ten sam porządek, konieczne i wystarczające jest, aby obie macierzeA IB były macierzami kwadratowymi tego samego rzędu.

Formuła ( 1.4 ) to zasada komponowania elementów macierzyC ,

który jest iloczynem macierzyA do matrixaB . Zasadę tę można sformułować ustnie: Element Cij , stojąc na skrzyżowaniu I linia i J- kolumna macierzy C=AB , jest równy suma iloczynów parami odpowiednich elementów I linia matryce A I J- kolumna macierzy B . Jako przykład zastosowania tej reguły podajemy wzór na mnożenie macierzy kwadratowych drugiego rzędu

Ze wzoru ( 1.4 ) następujące właściwości produktu matrycowego:Ado matrixaB :

1) łączność: (ABC= A(BC);

2) własność rozdzielcza w odniesieniu do sumy macierzy:

(A + B) C = AC + BCLubA (B + C) = AB + AC.

Zagadnienie własności permutacyjnej iloczynu macierzy ma sens podnosić tylko dla macierzy kwadratowych tego samego rzędu. Elementarne przykłady pokazują, że iloczyn dwóch macierzy kwadratowych tego samego rzędu, ogólnie rzecz biorąc, nie ma własności komutacji. W rzeczywistości, jeśli umieścimy

A = , B =

Zwykle nazywane są te same macierze, dla których iloczyn ma właściwość komutacji dojazdy.

Temat 1. Macierze i wyznaczniki macierzy

Czego się uczymy:

Podstawowe pojęcia algebry liniowej: macierz, wyznacznik.

Czego się nauczymy:

Wykonuj operacje na macierzach;

Oblicz z wyznacznikami drugiego i trzeciego rzędu.

Temat 1.1. Pojęcie macierzy. Działania na macierzach

∆ Matryca to prostokątna tabela składająca się z wierszy i kolumn, wypełniona pewnymi obiektami matematycznymi.

Macierze oznacza się dużymi literami łacińskimi, samą tabelę ujęto w nawiasy (rzadziej w kwadraty lub inne kształty).

Elementy A ja zwany elementy matrycy . Pierwszy indeks I– numer linii, sekundaJ– numer kolumny. Najczęściej elementami są liczby.

Wpis „macierz” A ma rozmiar M× N» oznacza, że mówimy o macierzy składającej się zM linie i N kolumny.

Jeśli M = 1, a N > 1, to macierz wynosimacierz - wiersz . Jeśli M > 1, A N = 1, to macierz wynosimacierz - kolumna .

Macierz, w której liczba wierszy pokrywa się z liczbą kolumn (m= rz), zwany kwadrat .

Elementy A 11 , A 22 ,…, A nn macierz kwadratowaA (rozmiar N× N) formularz główna przekątna , elementy A 1 N , A 2 N -1 ,…, A N 1 - przekątna boczna .

W matrixie
elementy 5; 7 tworzy główną przekątną, elementy –5; 8 – boczna przekątna.

Matryce A I B są nazywane równy (A= B), jeśli mają tę samą wielkość i ich elementy w tych samych pozycjach pokrywają się, tj.A ja = b ja .

Macierz jednostkowa jest macierzą kwadratową, w której elementy głównej przekątnej są równe jeden, a pozostałe elementy są równe zero. Macierz tożsamości jest zwykle oznaczana jako E.

Matryca transponowane do macierzy A o rozmiarzeM× N, nazywa się macierzą A Rozmiar T N× M, otrzymanej z macierzy A, jeśli jej wiersze zostaną zapisane w kolumnach, a kolumny w wierszach.

Działania arytmetyczne na macierzach.

Znaleźć suma macierzy A I B o tym samym wymiarze, należy dodać elementy o tych samych indeksach (stojące w tych samych miejscach):

Dodawanie macierzy jest przemienne, to znaczy A + B = B + A.

Znaleźć różnica matrycy A I B tego samego wymiaru, należy znaleźć różnicę elementów o tych samych wskaźnikach:

Do pomnóż macierz Ana numer k, Należy pomnożyć każdy element macierzy przez tę liczbę:

Praca matryce AB można zdefiniować tylko dla macierzyA rozmiar M× N I B rozmiar N× P, tj. liczba kolumn macierzyA musi być równa liczbie wierszy macierzyW. W której A· B= C, matryca C ma rozmiar M× P, i jego element C ja występuje jako iloczyn skalarnyIt wiersze macierzy A NA Jt kolumna matrycyB: ( I=1,2,…, M; J=1,2,…, P).

!! Właściwie każda linia jest potrzebna matryce A (stoi po lewej stronie) pomnóż skalarnie przez każdą kolumnę macierzy B (stoi po prawej stronie).

To znaczy iloczyn macierzy nie jest przemiennyА·В ≠ В·А . ▲

☺ Niezbędna jest analiza przykładów w celu utrwalenia materiału teoretycznego.

Przykład 1. Wyznaczanie wielkości macierzy.

Przykład 2. Definicja elementów macierzy.

W elemencie macierzy A 11 = 2, A 12 = 5, A 13 = 3.

W elemencie macierzy A 21 = 2, A 13 = 0.

Przykład 3: Wykonywanie transpozycji macierzy.

Przykład 4. Wykonywanie operacji na macierzach.

Znajdować 2 A- B, Jeśli , .

Rozwiązanie. .

Przykład 5. Znajdź iloczyn macierzy I .

Rozwiązanie. Rozmiar matrycyA – 3 × 2 , macierze W – 2 × 2 . Dlatego produktA·B możesz to znaleźć. Otrzymujemy:

Praca VA nie można znaleźć.

Przykład 6. Znajdź A 3 jeśli A =
.

Rozwiązanie. A 2 = ·=
=
,

A 3 = ·=
=
.

Przykład 6. Znajdź 2 A 2 + 3 A + 5 mi Na
,
.

Rozwiązanie. ,

,
,

,
.

Zadania do wykonania

1. Wypełnij tabelę.

Matryca	Rozmiar	Typ matrycy	Elementy macierzy
Matryca	Rozmiar	Typ matrycy		12	23	32	33

2. Wykonaj operacje na macierzach
I
:

3. Wykonaj mnożenie macierzy:

4. Transponuj macierze:

? 1. Co to jest macierz?

2. Jak odróżnić macierz od innych elementów algebry liniowej?

3. Jak określić rozmiar matrycy? Dlaczego jest to konieczne?

4. Co oznacza wpis? A ja ?

5. Wyjaśnij pojęcia: przekątna główna, przekątna wtórna macierzy.

6. Jakie operacje można wykonywać na macierzach?

7. Wyjaśnij istotę operacji mnożenia macierzy?

8. Czy dowolną macierz można pomnożyć? Dlaczego?

Temat 1.2. Wyznaczniki drugiego i trzeciego rzędu : M metody ich obliczania

∆ Jeśli A jest macierzą kwadratową N-tego rzędu, to możemy z nim skojarzyć liczbę tzw wyznacznik n-te zamówienie i oznaczone przez |A|. Oznacza to, że wyznacznik zapisuje się jako macierz, ale zamiast nawiasów jest ujęty w nawiasy proste.

!! Czasami wyznaczniki nazywane są determinantami w języku angielskim, to znaczy = de A.

Wyznacznik pierwszego rzędu (wyznacznik macierzy A o rozmiarze1 × 1 ) jest samym elementem, który zawiera macierz A, tj.

Wyznacznik drugiego rzędu (wyznacznik macierzy Rozmiar 2 × 2 ) to liczba, którą można znaleźć korzystając z reguły:

(iloczyn elementów głównej przekątnej macierzy minus iloczyn elementów drugiej przekątnej).

Wyznacznik trzeciego rzędu (wyznacznik macierzy Rozmiar 3 × 3 ) to liczba, którą można znaleźć korzystając z reguły „trójkątów”:

Do obliczenia wyznaczników trzeciego rzędu można zastosować prostszą regułę - regułę kierunków (linie równoległe).

Kierunki rządzą : Z prawą część wyznacznika dodaje się do pierwszych dwóch kolumn, iloczyny elementów na głównej przekątnej i na równoległych do niej przekątnych przyjmuje się ze znakiem plus; a iloczyny elementów drugiej przekątnej i równoległych do niej przekątnych są oznaczone znakiem minus.

!! Do obliczenia wyznaczników można wykorzystać ich właściwości, które obowiązują dla wyznaczników dowolnego rzędu.

Właściwości wyznaczników:

1° . Wyznacznik macierzy A nie zmienia się podczas transpozycji, tj. |A| = |A T |. Ta właściwość charakteryzuje równość wierszy i kolumn.

2° . Przy zmianie układu dwóch wierszy (dwóch kolumn) wyznacznik zachowuje swoją poprzednią wartość, ale znak jest odwrócony.

4° . Jeśli jakikolwiek wiersz lub kolumna zawiera wspólny czynnik, można go usunąć ze znaku wyznacznika.

Wniosek 4.1. Jeżeli wszystkie elementy dowolnego szeregu wyznacznika są równe zero, to wyznacznik jest równy zero.

Wniosek 4.2. Jeżeli elementy dowolnego szeregu wyznacznika są proporcjonalne do odpowiednich elementów szeregu do niego równoległego, to wyznacznik jest równy zero.▲

☺ Należy przeanalizować zasady obliczania wyznaczników.

Przykład 1: Obliczeniadeterminanty drugiego rzędu,
.

Rozwiązanie.

Przestrzenie metryczne i unormowane.

Przestrzenie euklidesowe i unitarne.

Przestrzenie euklidesowe. Iloczyn skalarny w przestrzeni euklidesowej i jego właściwości.

Długość wektora w przestrzeni euklidesowej, kąt między wektorami. Nierówność Cauchy'ego-Bunyakovsky'ego i nierówność trójkąta.

Ortogonalne i ortonormalne układy wektorów w przestrzeni euklidesowej. Iloczyn skalarny w bazie ortonormalnej.

Proces ortogonalizacji układu wektorów Sturma.

Izomorfizm przestrzeni euklidesowych.

Przestrzenie unitarne. Iloczyn skalarny w przestrzeni unitarnej i jego własności.

Długość wektora w przestrzeni unitarnej. Nierówność Cauchy'ego-Bunyakovsky'ego i nierówność trójkąta.

Układy ortogonalne i ortonormalne w przestrzeni unitarnej. Iloczyn skalarny w bazie ortonormalnej.

Dopełnienie ortogonalne do podprzestrzeni. Właściwości dopełnienia ortogonalnego.

Reprezentacja przestrzeni jako suma bezpośrednia podprzestrzeni i jej dopełnienia ortogonalnego.

Rzut ortogonalny i składowa ortogonalna wektora na podprzestrzeń.

Odległość wektora od podprzestrzeni, wektora od rozmaitości.

Kąt między wektorem a podprzestrzenią przestrzeni euklidesowej, kąt między wektorem a rozmaitością przestrzeni euklidesowej.

Przestrzenie metryczne. Granica ciągu w przestrzeni metrycznej.

Kule w przestrzeni metrycznej. Zbiory ograniczone. Limit punktów.

Zupełność przestrzeni metrycznych. Twierdzenie o zagnieżdżonych kulach.

Znormalizowane przestrzenie. Połączenie przestrzeni unormowanej i metrycznej.

Zbieżność współrzędnych i zbieżność norm, związek między nimi. Zupełność przestrzeni znormalizowanych.

Funkcjonały liniowe w przestrzeni liniowej. Przestrzeń funkcjonałów liniowych.

Funkcjonały dwuliniowe w przestrzeni liniowej. Funkcjonały dwuliniowe symetryczne i antysymetryczne.

Funkcjonały wieloliniowe w przestrzeni liniowej. Funkcjonały wieloliniowe symetryczne, antysymetryczne, absolutnie symetryczne i absolutnie antysymetryczne.

Wyznacznik macierzy kwadratowej jako wieloliniowy funkcjonał absolutnie antysymetryczny. Wzory do obliczania wyznaczników drugiego i trzeciego rzędu.

Właściwości wyznaczników.

Rozkład wyznacznika na elementy rzędu lub na elementy kolumny.

Minusy porządku i ich dopełnienia algebraiczne. Twierdzenie Laplace'a.

Metoda obliczania wyznaczników porządku poprzez sprowadzenie ich do postaci trójkątnej.

Metoda identyfikacji czynników liniowych przy obliczaniu wyznaczników porządku. Wyznacznik Vandermonde'a.

Metoda relacji rekurencyjnych przy obliczaniu wyznacznika rzędu.

Metoda przedstawiania wyznacznika jako sumy dwóch wyznaczników przy obliczaniu wyznaczników rzędu.

Sposób zmiany elementów wyznacznika przy obliczaniu wyznaczników rzędu.

Wyznaczniki drugiego i trzeciego rzędu.

Nazywa się liczby m i n wymiary matryce.

Macierz nazywa się kwadrat, jeśli m = n. W tym przypadku nazywa się liczbę n w celu macierz kwadratowa.

Każdej macierzy kwadratowej można przypisać liczbę, która jest jednoznacznie określona przy użyciu wszystkich elementów macierzy. Liczba ta nazywana jest wyznacznikiem.

Wyznacznik drugiego rzędu jest liczbą otrzymaną przy użyciu elementów macierzy kwadratowej drugiego rzędu w następujący sposób: .

W tym przypadku od iloczynu elementów znajdujących się na tzw. głównej przekątnej macierzy (przechodząc od lewego górnego do prawego dolnego rogu) odejmuje się iloczyn elementów znajdujących się na drugiej, czyli wtórnej przekątnej macierzy .

Wyznacznik trzeciego rzędu jest liczbą wyznaczoną za pomocą elementów macierzy kwadratowej trzeciego rzędu w następujący sposób:

Komentarz. Aby ułatwić zapamiętanie tego wzoru, możesz skorzystać z tzw. reguły Cramera (trójkątów). Jest to następująco: elementy, których iloczyny wchodzą w skład wyznacznika ze znakiem „+”, układają się następująco:

Tworząc dwa trójkąty, symetryczne względem głównej przekątnej. Elementy, których iloczyny wchodzą w skład wyznacznika ze znakiem „-”, są usytuowane w podobny sposób względem przekątnej wtórnej:

14. Wyznaczniki VII rzędu. (determinanty wyższego rzędu)

Wyznacznik nr rząd odpowiadający macierzy nie, numer nazywa się:

Podstawowe metody obliczania wyznaczników:

1) Metoda redukcji zamówienia Wyznacznik opiera się na zależności: (1)

Gdzie nazywa się dopełnieniem algebraicznym th elementu. Drobny element ten nazywany jest wyznacznikiem n-1 porządek uzyskany z pierwotnego wyznacznika poprzez usunięcie I-ta linia i J kolumna.

Relacja (1) nazywa się rozwinięciem wyznacznika w I-ta linia. Podobnie możemy zapisać rozwinięcie wyznacznika wzdłuż kolumny:

Twierdzenie: Dla dowolnej macierzy kwadratowej zachodzi równość ,

gdzie i jest symbolem Kroneckera

2) Metoda redukcji do postaci trójkątnej opiera się na siódmej własności wyznaczników.

Przykład: Oblicz wyznacznik: Odejmij pierwszą linię od wszystkich pozostałych.

3) Metoda relacji nawrotu pozwala wyrazić dany wyznacznik poprzez wyznacznik tego samego typu, ale niższego rzędu.

Permutacje, inwersje.

Dowolny układ liczb 1, 2, ..., N w określonej kolejności, tzw przegrupowanie z N znaki (cyfry).

Ogólny widok permutacji: .

Żadne z nich nie występuje dwukrotnie w permutacji.

Permutacja nazywa się nawet , jeśli jego elementy tworzą parzystą liczbę inwersji, oraz dziwne W przeciwnym razie.

Liczby k i p w permutacji to inwersja (zaburzenie), jeśli k > p, ale k w tej permutacji występuje przed p.

Trzy właściwości permutacji.

Właściwość 1: Liczba różnych permutacji jest równa ( , brzmi: „ N silnia").

Dowód. Liczba permutacji pokrywa się z liczbą sposobów tworzenia różnych permutacji. Podczas tworzenia permutacji jako J 1 możesz wziąć dowolną z liczb 1, 2, ..., N, co daje N możliwości. Jeśli J 1 jest już wybrany, a następnie jako J 2 możesz wziąć jeden z pozostałych N– 1 cyfry i liczba sposobów, które możesz wybrać J 1 i J 2 będzie równe itd. Ostatnią liczbę w permutacji można wybrać tylko w jeden sposób, co daje sposoby, a co za tym idzie, permutacje.

Właściwość 2: Każda transpozycja zmienia parzystość permutacji.

Dowód.Przypadek 1. Transponowane liczby znajdują się w permutacji obok siebie, tj. to wygląda jak (..., k,P, ...), tutaj wielokropek (...) oznacza liczby, które podczas transpozycji pozostają na swoich miejscach. Transpozycja zamienia to w permutację formy (..., P, k,...). W tych permutacjach każda z liczb k,R wykonuje te same inwersje z liczbami, które pozostają na miejscu. Jeśli liczby k I P nie skompilowali wcześniej inwersji (tj. k < R), wówczas w nowej permutacji pojawi się kolejna inwersja i liczba inwersji wzrośnie o jeden; Jeśli k I R stanowi inwersję, to po transpozycji liczba inwersji zmniejszy się o jeden. W każdym razie parzystość permutacji ulega zmianie.

Właściwość 3: Po przestawieniu wyznacznik zmienia znak.

17. Własności wyznaczników: wyznacznik macierzy transponowanej, zamiana wierszy w wyznaczniku, wyznacznik macierzy o identycznych wierszach.

Właściwość 1. Wyznacznik nie zmienia się podczas transpozycji, tj.

Dowód.

Komentarz. Poniższe własności wyznaczników zostaną sformułowane tylko dla ciągów. Ponadto z właściwości 1 wynika, że kolumny będą miały te same właściwości.

Własność 6. Przy zmianie układu dwóch wierszy wyznacznika mnoży się go przez –1.

Dowód.

Właściwość 4. Wyznacznik mający dwa równe ciągi wynosi 0:

Dowód:

18. Własności wyznaczników: rozkład wyznacznika na ciąg znaków.

Drobny element wyznacznika to wyznacznik uzyskany z danego elementu poprzez przekreślenie wiersza i kolumny, w której występuje wybrany element.

Oznaczenie: wybrany element wyznacznika, jego drugorzędny.

Przykład. Dla

Dopełnienie algebraiczne element wyznacznika nazywa się jego mniejszym, jeśli suma wskaźników tego elementu i+j jest liczbą parzystą lub liczbą przeciwną do drobnego, jeśli i+j jest nieparzyste, tj.

Rozważmy inny sposób obliczania wyznaczników trzeciego rzędu - tzw. rozwinięcie wiersza lub kolumny. W tym celu udowodnimy następujące twierdzenie:

Twierdzenie: Wyznacznik jest równy sumie iloczynów elementów któregokolwiek z jego wierszy lub kolumn oraz ich uzupełnień algebraicznych, tj.: gdzie i=1,2,3.

Dowód.

Udowodnijmy twierdzenie dla pierwszego wiersza wyznacznika, gdyż dla każdego innego wiersza lub kolumny można przeprowadzić podobne rozumowanie i uzyskać ten sam wynik.

Znajdźmy uzupełnienia algebraiczne elementów pierwszego rzędu:

Możesz sam udowodnić tę właściwość, porównując wartości lewej i prawej strony równości znalezionej za pomocą definicji 1.5.

Gimnazjum nr 45.

Moskwa.

Uczeń 10. klasy „B” Gorochow Jewgienij

Zajęcia (wersja robocza).

Wprowadzenie do teorii macierzy i wyznaczników .

1996

1. Macierze.

1.1 Pojęcie macierzy.

Matryca to prostokątna tabela liczb zawierająca pewną ilość M linie i określoną liczbę N kolumny. Liczby M I N są nazywane Zamówienia matryce. Jeśli M = N , macierz nazywa się kwadratem, a liczbą m = rz - jej w celu .

1.2 Podstawowe operacje na macierzach.

Podstawowe operacje arytmetyczne na macierzach to mnożenie macierzy przez liczbę, dodawanie i mnożenie macierzy.

Przejdźmy do zdefiniowania podstawowych operacji na macierzach.

Dodawanie macierzy : Suma dwóch macierzy, na przykład: A I B , mający tę samą liczbę wierszy i kolumn, innymi słowy tę samą kolejność M I N zwana macierzą C = ( Z ja )( ja = 1, 2, …m; j = 1, 2, …n) te same zamówienia M I N , elementy Cij które są równe.

Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) ( 1.2 )

Aby oznaczyć sumę dwóch macierzy, stosuje się notację C = A + B. Operację sumowania macierzy nazywa się ich dodatek

Zatem z definicji mamy:

+ =

Z definicji sumy macierzy, a dokładniej ze wzoru ( 1.2 ) wynika od razu, że operacja dodawania macierzy ma te same właściwości, co operacja dodawania liczb rzeczywistych, a mianowicie:

właściwość przemienna: A + B = B + A

łączenie własności: (A + B) + C = A + (B + C)

Te właściwości pozwalają nie martwić się o kolejność składników macierzy podczas dodawania dwóch lub więcej macierzy.

Mnożenie macierzy przez liczbę :

Produkt matrixowy do liczby rzeczywistej zwaną macierzą C = (Cij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, …, n) , których elementy są równe

Cij = Aij (i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). ( 1.3 )

Aby oznaczyć iloczyn macierzy i liczby, stosuje się notację C= A Lub C=A . Operację składania iloczynu macierzy przez liczbę nazywa się mnożeniem macierzy przez tę liczbę.

Bezpośrednio ze wzoru ( 1.3 ) jasne jest, że mnożenie macierzy przez liczbę ma następujące właściwości:

własność rozdzielcza dotycząca sumy macierzy:

( A + B) = + B

właściwość asocjacyjna dotycząca czynnika liczbowego:

( ) A= ( A)

własność rozdzielcza dotycząca sumy liczb:

( + ) A= A + A .

Komentarz : Różnica dwóch macierzy A I B identycznych rzędów naturalne jest nazwanie takiej matrycy C tych samych rzędów, co sumuje się z macierzą B daje macierz A . Aby oznaczyć różnicę między dwiema macierzami, stosuje się notację naturalną: C = A – B.

Mnożenie macierzy :

Produkt matrixowy A = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) , mając odpowiednio równe rzędy M I N , na matrycę B = (Bij) (i = 1, 2, …, n;

j = 1, 2, …, p) , mając odpowiednio równe rzędy N I P , nazywa się macierzą C= (Z ij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, … , p) , mając odpowiednio równe rzędy M I P i elementy Cij , określone wzorem

Cij = (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p) ( 1.4 )

Aby oznaczyć iloczyn macierzy A do matrixa B użyj nagrania

C=AB . Operacja komponowania produktu matrycowego A do matrixa B zwany mnożenie te matryce. Z definicji sformułowanej powyżej wynika, że matryca A nie można pomnożyć przez żadną macierz B : konieczne jest podanie liczby kolumn macierzy A był równa się liczba wierszy macierzy B . Aby obydwa dzieła AB I licencjat nie tylko zostały zdefiniowane, ale także miały ten sam porządek, konieczne i wystarczające jest, aby obie macierze A I B były macierzami kwadratowymi tego samego rzędu.

Formuła ( 1.4 ) to zasada komponowania elementów macierzy C ,

który jest iloczynem macierzy A do matrixa B . Zasadę tę można sformułować ustnie: Element Cij , stojąc na skrzyżowaniu I linia i J- kolumna macierzy C=AB , jest równy suma iloczynów parami odpowiednich elementów I linia matryce A I J- kolumna macierzy B . Jako przykład zastosowania tej reguły podajemy wzór na mnożenie macierzy kwadratowych drugiego rzędu

Ze wzoru ( 1.4 ) następujące właściwości produktu matrycowego: A do matrixa B :

łączność: ( ABC = A(BC);

własność rozdzielcza w odniesieniu do sumy macierzy:

(A + B) C = AC + BC Lub A (B + C) = AB + AC.

Zagadnienie własności permutacyjnej iloczynu macierzy ma sens podnosić tylko dla macierzy kwadratowych tego samego rzędu. Pokazują to elementarne przykłady iloczyny dwóch macierzy kwadratowych tego samego rzędu, ogólnie rzecz biorąc, nie mają właściwości komutacji. W rzeczywistości, jeśli umieścimy

A= , B = , To AB = , A BA =

Zwykle nazywane są te same macierze, dla których iloczyn ma właściwość komutacji dojazdy.

Wśród macierzy kwadratowych wyróżniamy klasę tzw przekątna macierze, z których każda ma elementy znajdujące się poza główną przekątną równe zeru. Spośród wszystkich macierzy diagonalnych, których elementy na głównej przekątnej pokrywają się, szczególnie ważną rolę odgrywają dwie macierze. Pierwszą z tych macierzy uzyskuje się, gdy wszystkie elementy głównej przekątnej są równe jeden i nazywa się ją macierzą jednostkową N- mi . Drugą macierz otrzymuje się, gdy wszystkie elementy są równe zeru i nazywa się ją macierzą zerową N- kolejności i jest oznaczony symbolem O . Załóżmy, że istnieje dowolna macierz A , Następnie

AE=EA=A , AO=OA=O .

Pierwszy ze wzorów charakteryzuje szczególną rolę macierzy tożsamości mi , podobnie jak rolę odgrywaną przez liczbę 1 przy mnożeniu liczb rzeczywistych. Jeśli chodzi o szczególną rolę macierzy zerowej O , to ujawnia to nie tylko drugi ze wzorów, ale także elementarna sprawdzalna równość: A+O=O+A=A . Pojęcie macierzy zerowej można wprowadzić nie dla macierzy kwadratowych.

2. Determinanty.

2.1 Pojęcie wyznacznika.

Przede wszystkim trzeba pamiętać, że wyznaczniki istnieją tylko dla macierzy typu kwadratowego, gdyż dla macierzy innych typów nie ma wyznaczników. W teorii układów równań liniowych oraz w niektórych innych zagadnieniach wygodnie jest używać tego pojęcia wyznacznik , Lub wyznacznik .

2.2 Obliczanie wyznaczników.

Rozważmy dowolne cztery liczby zapisane w postaci macierzy dwa w rzędach i każdy dwie kolumny , Wyznacznik Lub wyznacznik , składający się z liczb w tej tabeli, jest liczbą ad-bc , oznaczone w następujący sposób: . Taki wyznacznik nazywa się wyznacznik drugiego rzędu , ponieważ do jego kompilacji wykorzystano tabelę składającą się z dwóch wierszy i dwóch kolumn. Liczby tworzące wyznacznik nazywane są jego elementy ; jednocześnie mówią, że żywioły A I D makijaż główna przekątna wyznacznik i elementy B I C jego przekątna boczna . Można zauważyć, że wyznacznik jest równy różnicy iloczynów par elementów znajdujących się na jego głównej i drugorzędnej przekątnej. Wyznacznik trzeciego i każdego innego rzędu jest w przybliżeniu taki sam, a mianowicie: Powiedzmy, że mamy macierz kwadratową . Wyznacznikiem poniższej macierzy jest wyrażenie: a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a11a23a32 – a12a21a33 – a13a22a31. . Jak widać, oblicza się to dość łatwo, jeśli pamięta się określoną sekwencję. Ze znakiem dodatnim są przekątna główna i trójkąty utworzone z elementów, które mają bok równoległy do głównej przekątnej, w tym przypadku są to trójkąty a12a23a31 , a13a21a32 .

Boczna przekątna i równoległe do niej trójkąty mają znak ujemny, tj. a11a23a32, a12a21a33 . W ten sposób można znaleźć wyznaczniki dowolnego rzędu. Ale zdarzają się przypadki, gdy metoda ta staje się dość skomplikowana, na przykład gdy w macierzy jest wiele elementów, a aby obliczyć wyznacznik, trzeba poświęcić dużo czasu i uwagi.

Istnieje prostszy sposób obliczenia wyznacznika N- och, zamówienie, gdzie N 2 . Zgódźmy się nazwać dowolny element elementem drugorzędnym Aij matryce N- wyznacznik pierwszego rzędu odpowiadający macierzy otrzymanej z macierzy w wyniku usunięcia I linia i J- kolumna (ten wiersz i ta kolumna, na przecięciu których znajduje się element Aij ). Element drugorzędny Aij będziemy oznaczać symbolem . W tym zapisie górny indeks oznacza numer wiersza, dolny indeks numer kolumny, a górna kreska M oznacza, że określony wiersz i kolumna są przekreślone. Wyznacznik porządku N , odpowiadający macierzy, nazywamy liczbą równą i oznaczone symbolem .

Twierdzenie 1.1 Niezależnie od numeru linii I ( ja =1, 2…, n) , dla wyznacznika N- obowiązuje wzór pierwszego rzędu wielkości

= de A =

zwany I- linia . Podkreślamy, że w tym wzorze wykładnik, do którego podnoszona jest liczba (-1), jest równy sumie numerów wierszy i kolumn, na przecięciu których znajduje się element Aij .

Twierdzenie 1.2 Niezależnie od numeru kolumny J ( j =1, 2…, n) , dla wyznacznika N obowiązuje formuła trzeciego rzędu

= de A =

zwany rozwinięcie tego wyznacznika w J- kolumna .

2.3 Podstawowe własności wyznaczników.

Wyznaczniki mają także właściwości ułatwiające ich obliczanie. Zatem poniżej ustalamy szereg właściwości, które ma dowolny wyznacznik N -ta kolejność.

1 . Właściwość równości wierszy i kolumn . Transpozycja dowolnej macierzy lub wyznacznika jest operacją, w wyniku której następuje zamiana wierszy i kolumn z zachowaniem ich kolejności. W wyniku transpozycji macierzy A uzyskana macierz nazywana jest macierzą, zwaną transpozycją w stosunku do macierzy A i jest oznaczony symbolem A .

Pierwsza właściwość wyznacznika jest sformułowana następująco: podczas transpozycji wartość wyznacznika zostaje zachowana, tj. = .

2 . Właściwość antysymetrii podczas zmiany układu dwóch wierszy (lub dwóch kolumn) . Kiedy zamieniamy dwa wiersze (lub dwie kolumny), wyznacznik zachowuje swoją wartość bezwzględną, ale zmienia znak na przeciwny. Dla wyznacznika drugiego rzędu właściwość tę można zweryfikować w sposób elementarny (ze wzoru na wyznacznik drugiego rzędu wynika od razu, że wyznaczniki różnią się jedynie znakiem).

3 . Własność liniowa wyznacznika. Powiemy, że jakiś ciąg ( A) jest liniową kombinacją pozostałych dwóch ciągów ( B I C ) ze współczynnikami I . Właściwość liniową można sformułować następująco: jeśli w wyznaczniku N -ta kolejność Niektóre I -ty rząd jest liniową kombinacją dwóch wierszy ze współczynnikami I , To = + , Gdzie

– wyznacznik, który ma I -ty rząd jest równy jednemu z dwóch rzędów kombinacji liniowej, a wszystkie pozostałe rzędy są takie same , A - wyznacznik, który ma I- i string jest równy drugiemu z dwóch ciągów, a wszystkie pozostałe ciągi są takie same jak .

Te trzy właściwości są głównymi właściwościami wyznacznika, ujawniającymi jego naturę. Oto pięć następujących właściwości logiczne konsekwencje trzy główne właściwości.

Wniosek 1. Wyznacznik mający dwa identyczne wiersze (lub kolumny) jest równy zero.

Konsekwencja 2. Mnożenie wszystkich elementów jakiegoś wiersza (lub kolumny) wyznacznika przez liczbę A jest równoważne pomnożeniu wyznacznika przez tę liczbę A . Innymi słowy, ze znaku tego wyznacznika można wyjąć wspólny czynnik wszystkich elementów pewnego wiersza (lub kolumny) wyznacznika.

Konsekwencja 3. Jeśli wszystkie elementy pewnego wiersza (lub jakiejś kolumny) są równe zero, to sam wyznacznik jest równy zero.

Konsekwencja 4. Jeżeli elementy dwóch wierszy (lub dwóch kolumn) wyznacznika są proporcjonalne, to wyznacznik jest równy zero.

Konsekwencja 5. Jeśli do elementów pewnego wiersza (lub jakiejś kolumny) wyznacznika dodamy odpowiednie elementy innego wiersza (innej kolumny), to pomnożenie przez dowolny współczynnik , to wartość wyznacznika nie ulega zmianie. Wniosek 5, podobnie jak własność liniowa, pozwala na bardziej ogólne sformułowanie, które podam dla ciągów: jeśli do elementów pewnego rzędu wyznacznika dodamy odpowiednie elementy ciągu będącego liniową kombinacją kilku innych wierszy tego wyznacznika (przy dowolnych współczynnikach), to wartość wyznacznika nie ulegnie zmianie. Wniosek 5 jest szeroko stosowany w konkretnych obliczeniach wyznaczników.

3. Układy równań liniowych.

3.1 Podstawowe definicje.

…….

3.2 Warunek zgodności układów równań liniowych.

…….

3.3 Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą Cramera.

Wiadomo, że za pomocą macierzy można rozwiązywać różne układy równań, przy czym układy te mogą mieć dowolną wielkość i posiadać dowolną liczbę zmiennych. Dzięki kilku wyprowadzeniom i wzorom rozwiązywanie ogromnych układów równań staje się dość szybkie i łatwiejsze.

W szczególności opiszę metody Cramera i Gaussa. Najprostszym sposobem jest metoda Cramera (dla mnie) lub jak to się też nazywa formuła Cramera. Załóżmy więc, że mamy pewien układ równań . Głównym wyznacznikiem, jak już zauważyłeś, jest macierz złożona ze współczynników zmiennych. Występują one także w kolejności kolumnowej, tj. pierwsza kolumna zawiera współczynniki, które znajdują się w X , w drugiej kolumnie o godz y , i tak dalej. Jest to bardzo ważne, ponieważ w kolejnych krokach każdą kolumnę współczynników zmiennej zastąpimy kolumną odpowiedzi na równania. Tak więc, jak powiedziałem, zastępujemy kolumnę przy pierwszej zmiennej kolumną odpowiedzi, a następnie przy drugiej, oczywiście wszystko zależy od tego, ile zmiennych musimy znaleźć.

1 = , 2 = , 3 = .