Problemy nierozwiązywalne to 7 interesujących problemów matematycznych. Każdy z nich został kiedyś zaproponowany przez znanych naukowców, zwykle w formie hipotez. Od wielu dziesięcioleci matematycy na całym świecie trudzą się, aby je rozwiązać. Ci, którym się to uda, otrzymają nagrodę w wysokości miliona dolarów ufundowaną przez Instytut Claya.

Instytut gliny

Tak nazywa się prywatna organizacja non-profit z siedzibą w Cambridge w stanie Massachusetts. Została założona w 1998 roku przez matematyka z Harvardu A. Jaffee i biznesmena L. Claya. Celem instytutu jest popularyzacja i rozwój wiedzy matematycznej. Aby to osiągnąć, organizacja przyznaje nagrody naukowcom i sponsorom obiecujących badań.

Na początku XXI wieku Instytut Matematyczny Kleya ufundowała nagrodę tym, którzy rozwiążą problemy uznane za najtrudniejsze nierozwiązywalne problemy, nazywając swoją listę Problemami Nagrody Milenijnej. Z Listy Hilberta uwzględniono w niej jedynie hipotezę Riemanna.

Wyzwania milenijne

Lista Clay Institute pierwotnie obejmowała:

  • Hipoteza cyklu Hodge'a;
  • równania kwantowej teorii Yanga-Millsa;
  • przypuszczenie Poincarégo;
  • problem równości klas P i NP;
  • hipoteza Riemanna;
  • o istnieniu i płynności jego rozwiązań;
  • Problem Bircha-Swinnertona-Dyera.

Te otwarte problemy matematyczne cieszą się dużym zainteresowaniem, ponieważ mogą mieć wiele praktycznych zastosowań.

Co udowodnił Grigorij Perelman

W 1900 roku słynny naukowiec-filozof Henri Poincaré zaproponował, że każda prosto połączona zwarta trójwymiarowa rozmaitość bez granic jest homeomorficzna z trójwymiarową kulą. Jego dowód w ogólnym przypadku nie został znaleziony przez sto lat. Dopiero w latach 2002-2003 petersburski matematyk G. Perelman opublikował szereg artykułów rozwiązujących problem Poincarégo. Stworzyły efekt eksplozji bomby. W 2010 roku hipotezę Poincarégo wyłączono z listy „Nierozwiązanych problemów” Instytutu Claya, a samemu Perelmanowi zaproponowano otrzymanie należnej mu znacznej nagrody, na co ten odmówił bez wyjaśnienia powodów swojej decyzji.

Najbardziej zrozumiałe wyjaśnienie tego, co udało się udowodnić rosyjskiemu matematykowi, można przedstawić, wyobrażając sobie, że naciągają gumowy krążek na pączek (torus), a następnie próbują przeciągnąć krawędzie jego koła do jednego punktu. Oczywiście jest to niemożliwe. Inaczej wygląda sytuacja, jeśli przeprowadzisz ten eksperyment z piłką. W tym przypadku wydaje się, że trójwymiarowa kula powstała z dysku, którego obwód został rozciągnięty do pewnego punktu hipotetyczną linką, będzie w rozumieniu trójwymiarowa zwyczajna osoba, ale z matematycznego punktu widzenia dwuwymiarowy.

Poincaré zasugerował, że trójwymiarowa kula jest jedynym trójwymiarowym „obiektem”, którego powierzchnię można skurczyć do jednego punktu, i Perelman był w stanie to udowodnić. Tak więc lista „problemów nierozwiązywalnych” składa się dziś z 6 problemów.

Teoria Yanga-Millsa

Ten problem matematyczny został zaproponowany przez jego autorów w 1954 roku. Naukowe sformułowanie tej teorii jest następujące: dla dowolnej prostej grupy mierników kompaktowych istnieje kwantowa teoria przestrzenna stworzona przez Yanga i Millsa, a jednocześnie ma zerowy defekt masy.

Mówienie w języku zrozumiałym dla przeciętnego człowieka, interakcje między nimi obiekty naturalne(cząstki, ciała, fale itp.) dzielą się na 4 typy: elektromagnetyczne, grawitacyjne, słabe i silne. Od wielu lat fizycy próbują stworzyć ogólna teoria pola. Musi stać się narzędziem wyjaśniającym wszystkie te interakcje. Teoria Yanga-Millsa jest taka język matematyczny, za pomocą którego możliwe stało się opisanie 3 z 4 głównych sił natury. Nie dotyczy to grawitacji. Nie można zatem uważać, że Youngowi i Millsowi udało się stworzyć teorię pola.

Ponadto nieliniowość proponowanych równań sprawia, że ​​są one niezwykle trudne do rozwiązania. W przypadku małych stałych sprzężenia można je w przybliżeniu rozwiązać w postaci szeregu teorii zaburzeń. Jednakże nie jest jeszcze jasne, w jaki sposób równania te można rozwiązać przy silnym sprzężeniu.

Równania Naviera-Stokesa

Wyrażenia te opisują procesy, takie jak prądy powietrza, przepływ płynu i turbulencje. Dla niektórych szczególnych przypadków znaleziono już rozwiązania analityczne równania Naviera-Stokesa, ale nikomu nie udało się tego zrobić w przypadku ogólnym. Jednocześnie modelowanie numeryczne dla określonych wartości prędkości, gęstości, ciśnienia, czasu i tak dalej pozwala osiągnąć doskonałe wyniki. Możemy mieć tylko nadzieję, że ktoś będzie w stanie zastosować równania Naviera-Stokesa odwrotny kierunek, czyli obliczyć za ich pomocą parametry lub wykazać, że nie ma metody rozwiązania.

Problem Bircha-Swinnertona-Dyera

W kategorii „Nierozwiązane problemy” znalazła się także hipoteza zaproponowana przez angielskich naukowców z Uniwersytetu w Cambridge. Już 2300 lat temu starożytny grecki naukowiec Euklides dał Pełny opis rozwiązania równania x2 + y2 = z2.

Jeśli dla każdej liczby pierwszej policzymy liczbę punktów na krzywej modulo it, otrzymamy nieskończony zbiór liczb całkowitych. Jeśli specjalnie „wkleisz” go w 1 funkcję zmiennej zespolonej, otrzymasz funkcję zeta Hassego-Weila dla krzywej trzeciego rzędu, oznaczoną literą L. Zawiera ona informacje o zachowaniu modulo wszystkich liczb pierwszych na raz .

Brian Birch i Peter Swinnerton-Dyer zaproponowali przypuszczenie dotyczące krzywych eliptycznych. Według niej struktura i ilość zbioru jego rozwiązań wymiernych są powiązane z zachowaniem się funkcji L w jednostce. Niesprawdzone w ten moment hipoteza Bircha-Swinnertona-Dyera zależy od opisu równania algebraiczne 3 stopnie i jest to jedyny stosunkowo prosty ogólny sposób obliczenia stopnia krzywych eliptycznych.

Aby zrozumieć praktyczne znaczenie tego problemu, wystarczy powiedzieć, że we współczesnej kryptografii krzywych eliptycznych opiera się cała klasa układów asymetrycznych i wykorzystuje się ich zastosowanie standardy krajowe podpis cyfrowy.

Równość klas p i np

Jeśli pozostałe Problemy Milenijne mają charakter czysto matematyczny, to ten ma związek z obecną teorią algorytmów. Problem równości klas p i np, znany również jako problem Cooka-Lewina, można sformułować jasnym językiem w następujący sposób. Załóżmy, że pozytywną odpowiedź na dane pytanie można sprawdzić wystarczająco szybko, czyli w czasie wielomianowym (PT). Czy zatem słuszne jest twierdzenie, że odpowiedź na to pytanie można znaleźć dość szybko? Brzmi to jeszcze prościej: czy naprawdę nie jest trudniej sprawdzić rozwiązanie problemu, niż je znaleźć? Jeśli kiedykolwiek zostanie udowodniona równość klas p i np, wówczas wszystkie problemy selekcji można rozwiązać za pomocą PV. W tej chwili wielu ekspertów wątpi w prawdziwość tego stwierdzenia, chociaż nie mogą udowodnić czegoś przeciwnego.

Hipoteza Riemanna

Do 1859 roku nie zidentyfikowano żadnego wzorca opisującego rozkład liczb pierwszych wśród liczb naturalnych. Być może wynikało to z faktu, że nauka zajmowała się innymi zagadnieniami. Jednak w połowie XIX wieku sytuacja się zmieniła i stały się one jednymi z najważniejszych, które zaczęto studiować w matematyce.

Hipoteza Riemanna, która pojawiła się w tym okresie, polega na założeniu, że istnieje pewien wzór w rozkładzie liczb pierwszych.

Obecnie wielu współczesnych naukowców uważa, że ​​jeśli zostanie to udowodnione, trzeba będzie ponownie rozważyć wiele podstawowych zasad współczesnej kryptografii, które stanowią podstawę wielu mechanizmów handlu elektronicznego.

Zgodnie z hipotezą Riemanna charakter rozkładu liczb pierwszych może znacząco różnić się od obecnie zakładanego. Faktem jest, że jak dotąd nie odkryto żadnego systemu rozkładu liczb pierwszych. Na przykład istnieje problem „bliźniaków”, których różnica wynosi 2. Te liczby to 11 i 13, 29. Inne liczby pierwsze tworzą skupienia. Są to 101, 103, 107 itd. Naukowcy od dawna podejrzewali, że takie skupienia istnieją wśród bardzo dużych liczb pierwszych. Jeśli zostaną znalezione, siła współczesnych kluczy kryptograficznych zostanie zakwestionowana.

Hipoteza cyklu Hodge'a

Ten wciąż nierozwiązany problem został sformułowany w 1941 roku. Hipoteza Hodge'a sugeruje możliwość przybliżenia kształtu dowolnego obiektu poprzez „sklejenie” ze sobą prostych brył o wyższych wymiarach. Metoda ta jest znana i z powodzeniem stosowana już od dawna. Nie wiadomo jednak, w jakim stopniu uda się przeprowadzić uproszczenia.

Teraz wiesz, jakie problemy nierozwiązywalne istnieją w tej chwili. Są przedmiotem badań tysięcy naukowców na całym świecie. Możemy mieć tylko nadzieję, że zostaną one rozwiązane w najbliższej przyszłości, a ich praktyczne użycie pomoże ludzkości wejść w nowy etap rozwoju technologicznego.

- » Wyzwania ludzkości

PROBLEMY MATEMATYCZNE NIEROZWIĄZANE PRZEZ LUDZKOŚĆ

Problemy Hilberta

23 najważniejsze problemy matematyki zostały przedstawione przez największego niemieckiego matematyka Davida Hilberta na II Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Paryżu w 1990 roku. Następnie te zagadnienia (obejmujące podstawy matematyki, algebrę, teorię liczb, geometrię, topologię, geometrię algebraiczną, grupy Liego, analizę rzeczywistą i zespoloną, równania różniczkowe, fizyka matematyczna, rachunek wariacyjny i teoria prawdopodobieństwa, nie zostały rozwiązane. Na chwilę obecną rozwiązano 16 z 23 problemów, kolejne 2 są błędne problemy matematyczne(jeden jest sformułowany zbyt niejasno, aby zrozumieć, czy jest rozwiązany, czy nie, drugi, daleki od rozwiązania, ma charakter fizyczny, a nie matematyczny). Z pozostałych 5 problemów dwa nie zostały w żaden sposób rozwiązane, a trzy zostały rozwiązane tylko w niektórych przypadkach

Problemy Landaua

Nadal istnieje wiele otwartych pytań związanych z liczbami pierwszymi (liczba pierwsza to liczba, która ma tylko dwa dzielniki: jeden i samą liczbę). Wymieniono najważniejsze kwestie Edmunda Landaua na V Międzynarodowym Kongresie Matematycznym:

Pierwszy problem Landaua (Problem Goldbacha): czy prawdą jest, że każdy Liczba parzysta, większy niż dwa, można przedstawić jako sumę dwóch liczb pierwszych, a każdą liczbę nieparzystą większą niż 5 można przedstawić jako sumę trzech liczb pierwszych?

Drugi problem Landaua: czy zbiór jest nieskończony? „proste bliźniaki”— liczby pierwsze, których różnica wynosi 2?
Trzeci problem Landaua(Przypuszczenie Legendre'a): czy prawdą jest, że dla każdej liczby naturalnej n pomiędzy i zawsze istnieje liczba pierwsza?
Czwarty problem Landaua: Czy istnieje nieskończony zbiór liczb pierwszych postaci , gdzie n jest liczbą naturalną?

Wyzwania milenijne (Problemy z Nagrodą Milenijną)

Jest siódma problemy matematyczne, H oraz rozwiązanie, za które Clay Institute zaoferował nagrodę w wysokości 1 000 000 dolarów amerykańskich. Zwracając uwagę matematyków na te siedem problemów, Instytut Claya porównał je z 23 problemami D. Hilberta, które wywarły ogromny wpływ na matematykę XX wieku. Spośród 23 problemów Hilberta większość została już rozwiązana, a tylko jeden – hipoteza Riemanna – znalazł się na liście problemów tysiąclecia. Według stanu na grudzień 2012 r. Tylko jeden z siedmiu problemów milenijnych (przypuszczenia Poincarégo) został rozwiązany. Nagrodę za rozwiązanie otrzymał rosyjski matematyk Grigorij Perelman, który odmówił.

Oto lista tych siedmiu zadań:

nr 1. Równość klas P i NP

Jeśli odpowiedź na pytanie jest pozytywna szybko sprawdzić (wykorzystując informację pomocniczą zwaną certyfikatem), czy sama odpowiedź (wraz z certyfikatem) na to pytanie jest prawdziwa szybko znajdować? Problemy pierwszego typu należą do klasy NP, drugie do klasy P. Problem równości tych klas jest jednym z najważniejszych problemów teorii algorytmów.

Nr 2. Przypuszczenie Hodge’a

Ważny problem geometrii algebraicznej. Hipoteza opisuje klasy kohomologii złożonych rozmaitości rzutowych, realizowane przez podrozmaitości algebraiczne.

Nr 3. Hipoteza Poincarégo (udowodniona przez G.Ya. Perelmana)

Jest uważany za najbardziej znany problem topologii. Mówiąc prościej, stwierdza, że ​​każdy „obiekt” 3D, który ma pewne właściwości kuli 3D (na przykład każda pętla w nim musi się kurczyć) musi być kulą aż do odkształcenia. Nagrodę za udowodnienie hipotezy Poincarégo otrzymał rosyjski matematyk G.Ya Perelman, który w 2002 roku opublikował serię prac, z których wynika słuszność hipotezy Poincarégo.

Nr 4. Hipoteza Riemanna

Hipoteza stwierdza, że ​​wszystkie nietrywialne (to znaczy posiadające niezerową część urojoną) zera funkcji zeta Riemanna mają część rzeczywistą 1/2. Hipoteza Riemanna zajmowała ósme miejsce na liście problemów Hilberta.

Nr 5. Teoria Yanga-Millsa

Problem z fizyką cząstki elementarne. Musimy udowodnić, że dla dowolnej prostej grupy mierników kompaktowych G teoria kwantowa Równanie Yanga – Millsa dla przestrzeni czterowymiarowej istnieje i ma niezerowy defekt masy. To stwierdzenie jest zgodne z danymi eksperymentalnymi i symulacjami numerycznymi, ale nie zostało jeszcze udowodnione.

Numer 6. Istnienie i płynność rozwiązań równań Naviera-Stokesa

Równania Naviera-Stokesa opisują ruch lepkiego płynu. Jeden z najważniejszych problemów hydrodynamiki.

nr 7. Hipoteza Bircha-Swinnertona-Dyera

Hipoteza ta związana jest z równaniami krzywych eliptycznych i zbiorem ich wymiernych rozwiązań.

Zatem Ostatnie Twierdzenie Fermata (często nazywane ostatnim twierdzeniem Fermata), sformułowane w 1637 roku przez genialnego francuskiego matematyka Pierre'a Fermata, jest bardzo proste w swej naturze i zrozumiałe dla każdego, kto ma wykształcenie średnie. Mówi ona, że ​​wzór a do potęgi n + b do potęgi n = c do potęgi n nie ma naturalnych (czyli nie ułamkowych) rozwiązań dla n > 2. Wszystko wydaje się proste i jasne, ale najlepsi matematycy i zwykli amatorzy zmagali się z poszukiwaniem rozwiązania przez ponad trzy i pół wieku.


Dlaczego jest taka sławna? Teraz się dowiemy...



Czy istnieje wiele sprawdzonych, niepotwierdzonych i jeszcze nieudowodnionych twierdzeń? Rzecz w tym, że Ostatnie Twierdzenie Fermata stanowi największy kontrast pomiędzy prostotą sformułowania a złożonością dowodu. Ostatnie twierdzenie Fermata jest niezwykle trudnym problemem, a jednak jego sformułowanie może zrozumieć każdy na poziomie piątej klasy. Liceum, ale dowód nie jest nawet dla każdego zawodowego matematyka. Ani w fizyce, ani w chemii, ani w biologii, ani w matematyce nie ma ani jednego problemu, który można by tak prosto sformułować, a który pozostawałby tak długo nierozwiązany. 2. Z czego się składa?

Zacznijmy od spodni pitagorejskich.Słowo jest naprawdę proste – na pierwszy rzut oka. Jak wiemy z dzieciństwa, „spodnie pitagorejskie są równe ze wszystkich stron”. Problem wygląda na tak prosty, bo opierał się na znanym wszystkim twierdzeniu matematycznym - twierdzeniu Pitagorasa: w dowolnym trójkącie prostokątnym kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów zbudowanych na nogach.

W V wieku p.n.e. Pitagoras założył bractwo pitagorejskie. Pitagorejczycy badali między innymi trojaczki całkowite spełniające równość x²+y²=z². Udowodnili, że istnieje nieskończenie wiele trójek pitagorejskich i uzyskali ogólne wzory na ich znajdowanie. Prawdopodobnie próbowali szukać trójek lub więcej wysokie stopnie. Przekonani, że to nie zadziała, pitagorejczycy porzucili swoje bezużyteczne próby. Członkowie bractwa byli raczej filozofami i estetami niż matematykami.


Oznacza to, że łatwo jest wybrać zbiór liczb, który doskonale spełnia równość x²+y²=z²

Zaczynając od 3, 4, 5 - rzeczywiście młodszy uczeń rozumie, że 9 + 16 = 25.

Lub 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Świetnie.

I tak dalej. A co jeśli weźmiemy podobne równanie x³+y³=z³? Może też są takie liczby?




I tak dalej (ryc. 1).

Okazuje się więc, że NIE. Tutaj zaczyna się cała sztuczka. Prostota jest pozorna, bo trudno udowodnić nie obecność czegoś, a wręcz przeciwnie – jego brak. Kiedy chcesz udowodnić, że istnieje rozwiązanie, możesz i powinieneś po prostu je przedstawić.

Trudniej jest udowodnić nieobecność: ktoś na przykład powie: takie a takie równanie nie ma rozwiązań. Wrzucić go do kałuży? proste: bam – i oto jest rozwiązanie! (podaj rozwiązanie). I tyle, przeciwnik zostaje pokonany. Jak udowodnić nieobecność?

Powiedz: „Nie znalazłem takich rozwiązań”? A może nie wyglądałeś dobrze? A co jeśli istnieją, tylko bardzo duże, bardzo duże, tak że nawet super-potężny komputer wciąż nie ma wystarczającej siły? To właśnie jest trudne.

Można to pokazać wizualnie w ten sposób: jeśli weźmiesz dwa kwadraty o odpowiednich rozmiarach i rozłożysz je na kwadraty jednostkowe, to z tej grupy kwadratów jednostkowych otrzymasz trzeci kwadrat (ryc. 2):


Ale zróbmy to samo z trzecim wymiarem (ryc. 3) – to nie działa. Nie ma wystarczającej liczby kostek lub zostały dodatkowe:





Ale XVII-wieczny matematyk, Francuz Pierre de Fermat, entuzjastycznie badał tę kwestię równanie ogólne X n +y n =z n . I w końcu doszedłem do wniosku: dla n>2 nie ma rozwiązań całkowitych. Dowód Fermata został bezpowrotnie utracony. Rękopisy płoną! Pozostaje tylko jego uwaga z Arytmetyki Diofantosa: „Znalazłem naprawdę zdumiewający dowód tego twierdzenia, ale marginesy są tu zbyt wąskie, aby je pomieścić”.

W rzeczywistości twierdzenie bez dowodu nazywa się hipotezą. Ale Fermat ma reputację osoby, która nigdy nie popełnia błędów. Nawet jeśli nie pozostawił dowodu na oświadczenie, zostało ono następnie potwierdzone. Ponadto Fermat udowodnił swoją tezę dla n=4. Tym samym hipoteza francuskiego matematyka przeszła do historii jako Ostatnie Twierdzenie Fermata.

Po Fermacie nad poszukiwaniem dowodu pracowały takie wielkie umysły, jak Leonhard Euler (w 1770 r. zaproponował rozwiązanie dla n = 3),

Adrien Legendre i Johann Dirichlet (ci naukowcy wspólnie znaleźli dowód na n = 5 w 1825 r.), Gabriel Lamé (który znalazł dowód na n = 7) i wielu innych. W połowie lat 80. stało się to jasne świat naukowy jest na dobrej drodze do ostatecznego rozwiązania Ostatniego Twierdzenia Fermata, ale dopiero w 1993 roku matematycy dostrzegli i uwierzyli, że trwająca trzy stulecia epopeja znalezienia dowodu ostatniego twierdzenia Fermata praktycznie dobiegła końca.

Łatwo wykazać, że wystarczy udowodnić twierdzenie Fermata tylko dla prostych n: 3, 5, 7, 11, 13, 17,... Dla złożonego n dowód pozostaje ważny. Ale liczb pierwszych jest nieskończenie wiele...

W 1825 roku, stosując metodę Sophie Germain, matematyczki Dirichlet i Legendre niezależnie udowodniły twierdzenie dla n=5. W 1839 roku tą samą metodą Francuz Gabriel Lame wykazał prawdziwość twierdzenia dla n=7. Stopniowo twierdzenie zostało udowodnione dla prawie wszystkich n mniejszych niż sto.


Wreszcie niemiecki matematyk Ernst Kummer w genialnym badaniu wykazał, że twierdzenia w ogóle nie da się udowodnić metodami matematyki XIX wieku. Nagroda Akademia Francuska Nauka, założona w 1847 roku w celu udowodnienia twierdzenia Fermata, pozostała nienagrodzona.

W 1907 roku zamożny niemiecki przemysłowiec Paul Wolfskehl zdecydował się odebrać sobie życie z powodu nieodwzajemnionej miłości. Jak prawdziwy Niemiec wyznaczył datę i godzinę samobójstwa: dokładnie o północy. Ostatniego dnia sporządził testament i napisał listy do przyjaciół i krewnych. Sprawy zakończyły się przed północą. Trzeba powiedzieć, że Paweł interesował się matematyką. Nie mając nic innego do roboty, poszedł do biblioteki i zaczął czytać słynny artykuł Kummera. Nagle wydało mu się, że Kummer pomylił się w swoim rozumowaniu. Wolfskel zaczął analizować tę część artykułu z ołówkiem w dłoniach. Minęła północ, nastał poranek. Luka w dowodzie została wypełniona. A sam powód samobójstwa wyglądał teraz zupełnie absurdalnie. Paweł podarł listy pożegnalne i spisał na nowo swój testament.

Wkrótce zmarł śmiercią naturalną. Spadkobiercy byli niemile zaskoczeni: 100 000 marek (obecnie ponad 1 000 000 funtów szterlingów) wpłynęło na konto Królewskiego Towarzystwa Naukowego w Getyndze, które w tym samym roku ogłosiło konkurs o Nagrodę Wolfskehla. Za udowodnienie twierdzenia Fermata przyznano 100 000 punktów. Za obalenie twierdzenia nie przyznano ani fenigów…

Większość zawodowych matematyków uważała poszukiwanie dowodu Ostatniego Twierdzenia Fermata za zadanie beznadziejne i zdecydowanie nie chciała tracić czasu na tak bezużyteczne ćwiczenie. Ale amatorzy mieli niezłą zabawę. Kilka tygodni po ogłoszeniu na Uniwersytet w Getyndze spadła lawina „dowodów”. Profesor E.M. Landau, którego zadaniem była analiza nadesłanego materiału dowodowego, rozdał swoim studentom kartki:


Droga. . . . . . . .

Dziękuję za przesłanie mi manuskryptu z dowodem Ostatniego Twierdzenia Fermata. Pierwszy błąd jest na stronie...w linii... . Przez to cały dowód traci ważność.
Profesor E. M. Landau











W 1963 roku Paul Cohen, opierając się na ustaleniach Gödla, udowodnił nierozwiązywalność jednego z dwudziestu trzech problemów Hilberta – hipotezy kontinuum. A co jeśli Ostatnie Twierdzenie Fermata jest również nierozstrzygalne?! Ale prawdziwi fanatycy Wielkiego Twierdzenia wcale nie byli zawiedzeni. Pojawienie się komputerów nagle dało matematykom nowa metoda dowód. Po II wojnie światowej zespoły programistów i matematyków udowodniły Ostatnie Twierdzenie Fermata dla wszystkich wartości n do 500, następnie do 1000, a później do 10 000.

W latach 80. Samuel Wagstaff podniósł tę granicę do 25 000, a w latach 90. matematycy oświadczyli, że Ostatnie Twierdzenie Fermata jest prawdziwe dla wszystkich wartości od n do 4 milionów. Ale jeśli od nieskończoności odejmiemy nawet bilion bilionów, nie zmniejszy się ona. Matematyków nie przekonują statystyki. Udowodnienie Wielkiego Twierdzenia oznaczało udowodnienie go dla WSZYSTKICH n zmierzających do nieskończoności.




W 1954 roku dwóch młodych japońskich przyjaciół matematyków rozpoczęło badania nad formami modułowymi. Formy te generują serie liczb, każda z własną serią. Przez przypadek Taniyama porównał te szeregi z szeregami generowanymi przez równania eliptyczne. Pasowali! Ale formy modułowe są obiektami geometrycznymi, a równania eliptyczne są algebraiczne. Nigdy nie znaleziono żadnego związku pomiędzy tak różnymi obiektami.

Jednak po dokładnych testach przyjaciele wysunęli hipotezę: każde równanie eliptyczne ma bliźniaczą formę - modułową i odwrotnie. To właśnie ta hipoteza stała się podstawą całego kierunku w matematyce, ale dopóki hipoteza Taniyamy-Shimury nie została udowodniona, cały budynek mógł w każdej chwili się zawalić.

W 1984 roku Gerhard Frey wykazał, że rozwiązanie równania Fermata, jeśli istnieje, można ująć w jakimś równaniu eliptycznym. Dwa lata później profesor Ken Ribet udowodnił, że to hipotetyczne równanie nie może mieć odpowiednika w świecie modułowym. Odtąd Ostatnie Twierdzenie Fermata było nierozerwalnie powiązane z hipotezą Taniyamy – Shimury. Po udowodnieniu, że każda krzywa eliptyczna jest modułowa, dochodzimy do wniosku, że nie ma równania eliptycznego z rozwiązaniem równania Fermata, a Ostatnie Twierdzenie Fermata zostałoby natychmiast udowodnione. Jednak przez trzydzieści lat nie udało się udowodnić hipotezy Taniyamy-Shimury i nadzieja na sukces była coraz mniejsza.

W 1963 roku, mając zaledwie dziesięć lat, Andrew Wiles był już zafascynowany matematyką. Kiedy dowiedział się o Wielkim Twierdzeniu, zdał sobie sprawę, że nie może z niego zrezygnować. Jako uczeń, student i doktorant przygotowywał się do tego zadania.

Dowiedziawszy się o odkryciach Kena Ribeta, Wiles pogrążył się bez reszty w udowadnianiu hipotezy Taniyamy-Shimury. Postanowił pracować w całkowitej izolacji i tajemnicy. „Zdałem sobie sprawę, że wszystko, co ma związek z Ostatnim Twierdzeniem Fermata, budzi zbyt duże zainteresowanie… Zbyt duża liczba widzów wyraźnie przeszkadza w osiągnięciu celu.” Siedem lat ciężkiej pracy opłaciło się; Wiles w końcu zakończył dowód hipotezy Taniyamy – Shimury.

W 1993 roku angielski matematyk Andrew Wiles przedstawił światu swój dowód Ostatniego Twierdzenia Fermata (Wiles przeczytał jego sensacyjny artykuł na konferencji w Instytucie Sir Isaaca Newtona w Cambridge.), nad którym prace trwały ponad siedem lat.







Podczas gdy w prasie trwał szum, rozpoczęto poważne prace nad weryfikacją dowodów. Każdy dowód należy dokładnie zbadać, zanim będzie można go uznać za rygorystyczny i dokładny. Wiles spędził niespokojne lato, czekając na opinie recenzentów, mając nadzieję, że uda mu się zdobyć ich aprobatę. Pod koniec sierpnia biegli uznali wyrok za niewystarczająco uzasadniony.

Okazało się, że decyzja ta zawiera rażący błąd, choć w sumie jest słuszna. Wiles nie poddał się, zwrócił się o pomoc do słynnego specjalisty w dziedzinie teorii liczb Richarda Taylora i już w 1994 roku opublikowali poprawiony i rozszerzony dowód twierdzenia. Najbardziej zdumiewające jest to, że praca ta zajęła aż 130 (!) stron w czasopiśmie matematycznym „Annals of Mathematics”. Ale na tym historia się nie skończyła – punkt kulminacyjny nastąpił dopiero w następnym roku, 1995, kiedy opublikowano ostateczną i „idealną” z matematycznego punktu widzenia wersję dowodu.

„...pół minuty po rozpoczęciu uroczystej kolacji z okazji jej urodzin sprezentowałem Nadii rękopis kompletnego dowodu” (Andrew Wales). Czy nie mówiłem już, że matematycy to dziwni ludzie?






Tym razem nie było wątpliwości co do dowodów. Najbardziej wnikliwej analizie poddano dwa artykuły, które ukazały się w maju 1995 roku w Annals of Mathematics.

Od tego momentu minęło już sporo czasu, a w społeczeństwie wciąż panuje opinia, że ​​Ostatnie Twierdzenie Fermata jest nierozwiązywalne. Ale nawet ci, którzy wiedzą o znalezionym dowodzie, nadal pracują w tym kierunku - niewielu jest zadowolonych, że Wielkie Twierdzenie wymaga rozwiązania 130 stron!

Dlatego teraz wysiłki wielu matematyków (głównie amatorów, a nie zawodowych naukowców) rzucane są na poszukiwanie prostego i zwięzłego dowodu, ale ta droga najprawdopodobniej donikąd nie doprowadzi…

Dla liczb całkowitych n większych niż 2 równanie x n + y n = z n nie ma niezerowych rozwiązań w liczbach naturalnych.

Pewnie pamiętasz z czasów szkolnych twierdzenie Pitagorasa: Kwadrat przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego jest równy sumie kwadratów nóg. Być może pamiętacie także klasykę trójkąt prostokątny z bokami, których długości są w stosunku 3: 4: 5. Dla niego twierdzenie Pitagorasa wygląda następująco:

To jest przykład rozwiązania uogólnionego równania Pitagorasa w niezerowych liczbach całkowitych za pomocą N= 2. Ostatnie twierdzenie Fermata (zwane także „ostatnim twierdzeniem Fermata” i „ostatnim twierdzeniem Fermata”) to stwierdzenie, że dla wartości N> 2 równania postaci x rz + y n = z n nie mają niezerowych rozwiązań w liczbach naturalnych.

Historia Ostatniego Twierdzenia Fermata jest bardzo interesująca i pouczająca nie tylko dla matematyków. Pierre de Fermat przyczynił się do rozwoju różnych dziedzin matematyki, jednak zasadnicza część jego dorobku naukowego została opublikowana dopiero pośmiertnie. Faktem jest, że matematyka była dla Fermata czymś w rodzaju hobby, a nie zajęciem zawodowym. Korespondował z czołowymi matematykami swoich czasów, nie zabiegał jednak o publikację swoich prac. Prace naukowe Gospodarstwo spotykane jest głównie w formie prywatnej korespondencji i fragmentarycznych notatek, często zapisywanych na marginesach różnych ksiąg. Znajduje się na marginesie (drugiego tomu starożytnej greckiej „Arytmetyki” Diofantosa. - Notatka tłumacz) wkrótce po śmierci matematyka potomkowie odkryli sformułowanie słynnego twierdzenia i dopisek:

« Znalazłem na to naprawdę wspaniały dowód, ale te pola są na to za wąskie».

Niestety, najwyraźniej Fermat nigdy nie zadał sobie trudu, aby spisać „cudowny dowód”, który znalazł, a potomkowie bezskutecznie szukali go przez ponad trzy stulecia. Spośród całego rozproszonego dziedzictwa naukowego Fermata, które zawiera wiele zaskakujących stwierdzeń, to właśnie Wielkie Twierdzenie uparcie nie chciało zostać rozwiązane.

Ktokolwiek próbował udowodnić Ostatnie Twierdzenie Fermata, jest na próżno! Inny wielki matematyk francuski, René Descartes (1596–1650), nazwał Fermata „chełpcą”, a matematyk angielski John Wallis (1616–1703) nazwał go „cholernym Francuzem”. Jednak sam Fermat pozostawił po sobie dowód swojego twierdzenia dla tej sprawy N= 4. Z dowodem na N= 3 został rozwiązany przez wielkiego szwajcarsko-rosyjskiego matematyka XVIII w. Leonharda Eulera (1707–83), po czym nie mogąc znaleźć na to dowodów N> 4, żartobliwie zasugerował przeszukanie domu Fermata w celu znalezienia klucza do zaginionego dowodu. W XIX wieku nowe metody teorii liczb umożliwiły udowodnienie twierdzenia dla wielu liczb całkowitych w zakresie 200, ale znowu nie dla wszystkich.

Za rozwiązanie tego problemu w 1908 r. ustanowiono nagrodę w wysokości 100 000 marek niemieckich. Fundusz nagród przekazał w spadku niemiecki przemysłowiec Paul Wolfskehl, który według legendy miał popełnić samobójstwo, ale Ostatnie Twierdzenie Fermata tak go poruszyło, że zmienił zdanie na temat umierania. Wraz z pojawieniem się maszyn dodających, a następnie komputerów, pasek wartości N zaczęła rosnąć coraz wyżej – do 617 na początku II wojny światowej, do 4001 w 1954 r., do 125 000 w 1976 r. Pod koniec XX wieku najpotężniejsze komputery w laboratoriach wojskowych w Los Alamos (Nowy Meksyk, USA) zaprogramowano tak, aby rozwiązywały w tle problem Fermata (podobnie jak tryb wygaszacza ekranu komputera osobistego). Udało się zatem wykazać, że twierdzenie jest prawdziwe dla niewiarygodnie dużych wartości x, y, z I N, ale nie może to służyć jako ścisły dowód, ponieważ dowolna z poniższych wartości N lub trójki liczby naturalne mógłby obalić tę tezę w całości.

Wreszcie w 1994 roku angielski matematyk Andrew Johna Wilesa(Andrew John Wiles, ur. 1953), pracując w Princeton, opublikował dowód Ostatniego Twierdzenia Fermata, który po pewnych modyfikacjach uznano za wyczerpujący. Dowód zajął ponad sto stron czasopism i opierał się na zastosowaniu nowoczesnego aparatu wyższej matematyki, który nie był rozwinięty w epoce Fermata. Co więc Fermat miał na myśli, zostawiając wiadomość na marginesie książki, że znalazł dowód? Większość matematyków, z którymi rozmawiałem na ten temat, zwracała uwagę, że na przestrzeni wieków było aż nadto błędnych dowodów Ostatniego Twierdzenia Fermata i że najprawdopodobniej sam Fermat znalazł podobny dowód, ale nie rozpoznał błędu w tym. Możliwe jest jednak, że istnieje jeszcze jakiś krótki i elegancki dowód Ostatniego Twierdzenia Fermata, którego nikt jeszcze nie znalazł. Tylko jedno można powiedzieć z całą pewnością: dziś wiemy na pewno, że twierdzenie jest prawdziwe. Myślę, że większość matematyków zgodziłaby się bez zastrzeżeń z Andrew Wilesem, który tak skomentował swój dowód: „Teraz w końcu mój umysł jest spokojny”.