Miejska placówka oświatowa
Główna Staromaksimkinskaja Szkoła ogólnokształcąca
Regionalna konferencja naukowo-praktyczna z matematyki
„Wkrocz w naukę”
Naukowe - badania
„Niestandardowe algorytmy liczenia, czyli szybkie liczenie bez kalkulatora”
Opiekun: ,
nauczyciel matematyki
Z. Sztuka. Maksimkino, 2010
Wprowadzenie………………………………………………………………………………..…………….3
Rozdział 1. Historia konta
1.2. Liczniki cudów……………………………………………………………………………...9
Rozdział 2. Starożytne metody mnożenia
2.1. Rosyjska chłopska metoda mnożenia…..…………….……………….……..Metoda „kratowa”……………….…….. ……………………… …… …….………..13
2.3. Indyjski sposób mnożenia…………………………………………………..15
2.4. Egipska metoda mnożenia………………………………………………….16
2.5. Mnożenie na palcach………………………………………………………..17
Rozdział 3. Arytmetyka mentalna – gimnastyka umysłowa
3.1. Mnożenie i dzielenie przez 4……………..……………………….………………….19
3.2. Mnożenie i dzielenie przez 5…………………………………...……………….19
3.3. Mnożenie przez 25……………………………………………………………………………19
3.4. Mnożenie przez 1,5…………………………………………………………….......20
3.5. Mnożenie przez 9……….………………………………………………………….20
3.6. Mnożenie przez 11……………………………………………………………..…………….….20
3.7. Mnożenie liczba trzycyfrowa pod adresem 101………………………………………………21
3.7. Podnoszenie do kwadratu liczby kończącej się na 5………………………21
3.8. Podnoszenie liczby bliskiej 50 do kwadratu…………….……………………22
3.9. Gry…………………………………………………………………………….22
Zakończenie……………………………………………………………………………………….…24
Wykaz wykorzystanej literatury……………………………………………………………...25
Wstęp
Czy można sobie wyobrazić świat bez liczb? Bez numerów nie można dokonać zakupu, nie można sprawdzić godziny, nie można wybrać numeru telefonu. A co ze statkami kosmicznymi, laserami i wszystkimi innymi osiągnięciami technicznymi?! Byłyby po prostu niemożliwe, gdyby nie nauka o liczbach.
W matematyce dominują dwa elementy – liczby i figury z ich nieskończoną różnorodnością właściwości i zależności. W naszej pracy preferowane są elementy liczb i działania z nimi.
Teraz, na etapie szybkiego rozwoju informatyki i technologia komputerowa, współczesne dzieci w wieku szkolnym nie chcą zawracać sobie głowy arytmetyką mentalną. Dlatego rozważaliśmy Ważne jest, aby pokazać nie tylko, że sam proces wykonania czynności może być ciekawy, ale także, że po dogłębnym opanowaniu technik szybkiego liczenia można konkurować z komputerem.
Obiekt badania polegają na liczeniu algorytmów.
Temat badania to proces kalkulacji.
Cel: przestudiować niestandardowe metody obliczeniowe i eksperymentalnie zidentyfikować przyczynę odmowy stosowania tych metod podczas nauczania matematyki współczesnych uczniów.
Zadania:
Odkryj historię powstania przekazu i fenomenu „Liczników Cudów”;
Opisz starożytne metody mnożenia i doświadczalnie zidentyfikuj trudności w ich stosowaniu;
Rozważ kilka technik mnożenie ustne i pokazać korzyści z ich stosowania na konkretnych przykładach.
Hipoteza: W dawnych czasach mówiono: „Mnożenie jest moją męką”. Oznacza to, że mnożenie było kiedyś skomplikowane i trudne. Czy nasz nowoczesny sposób mnożenia jest prosty?
Podczas pracy nad raportem I zastosował następujące metody :
Ø szukaj metoda korzystania z literatury naukowej i edukacyjnej oraz wyszukiwania niezbędnych informacji w Internecie;
Ø praktyczny sposób wykonywania obliczeń z wykorzystaniem niestandardowych algorytmów zliczania;
Ø analiza dane uzyskane w trakcie badania.
Znaczenie Tematem jest to, że stosowanie niestandardowych technik w kształtowaniu umiejętności obliczeniowych zwiększa zainteresowanie uczniów matematyką i sprzyja rozwojowi zdolności matematycznych.
Za prostym aktem mnożenia kryją się tajemnice historii matematyki. Przypadkowo słysząc słowa „mnożenie przez kratę”, „metoda szachowa” zaintrygowało mnie. Chciałem poznać te i inne metody mnożenia i porównać je z naszą dzisiejszą akcją mnożenia.
Aby dowiedzieć się, czy współcześni uczniowie, oprócz mnożenia przez kolumnę i dzielenia przez róg, znają inne sposoby wykonywania działań arytmetycznych i chcieliby poznać nowe sposoby, przeprowadzono ankietę ustną. Przebadano 20 uczniów klas 5-7. Badanie to wykazało, że współczesne dzieci w wieku szkolnym nie znają innych sposobów wykonywania czynności, ponieważ rzadko sięgają po materiał poza szkolnym programem nauczania.
Wyniki ankiety:
(Wykresy pokazują odsetek pozytywnych odpowiedzi uczniów).
1) Czy współcześni ludzie muszą umieć wykonywać operacje arytmetyczne na liczbach naturalnych?
2) a) Czy umiesz mnożyć, dodawać,
b) Czy znasz inne sposoby wykonywania operacji arytmetycznych?
3) chciałbyś wiedzieć?
Rozdział 1. Historia konta
1.1. Jak powstały liczby?
Ludzie nauczyli się liczyć przedmioty już w starożytnej epoce kamienia - paleolicie, dziesiątki tysięcy lat temu. Jak to się stało? Na początku ludzie porównywali tylko wzrokowo różne ilości identyczne elementy. Potrafili określić, w którym z dwóch stosów było więcej owoców, w którym stadzie było więcej jeleni itp. Jeśli jedno plemię wymieniało złowioną rybę na kamienne noże wykonane przez ludzi z innego plemienia, nie trzeba było liczyć, ile ryb i noży przyniosło . Wystarczyło przy każdej rybie przyłożyć nóż, aby doszło do wymiany pomiędzy plemionami.
Aby skutecznie zajmować się rolnictwem, potrzebna była wiedza arytmetyczna. Nie licząc dni, trudno było określić, kiedy zasiać pola, kiedy rozpocząć podlewanie, kiedy spodziewać się potomstwa od zwierząt. Trzeba było wiedzieć, ile owiec jest w stadzie, ile worków ze zbożem umieszczono w oborach.
Ponad osiem tysięcy lat temu starożytni pasterze zaczęli robić kubki z gliny – po jednym na każdą owcę. 
Aby dowiedzieć się, czy w ciągu dnia nie zaginęła choć jedna owca, pasterz odkładał kubek za każdym razem, gdy do zagrody wchodziło kolejne zwierzę. I dopiero po upewnieniu się, że wróciło tyle owiec, ile było kręgów, spokojnie poszedł spać. Ale w jego stadzie były nie tylko owce - pasł krowy, kozy i osły. Dlatego musiałem zrobić inne figurki z gliny. A rolnicy za pomocą glinianych figurek prowadzili ewidencję żniw, odnotowując, ile worków zboża złożono w stodole, ile dzbanów oliwy wyciśnięto z oliwek, ile utkano kawałków płótna. Jeśli owce rodziły, pasterz dodawał do kręgów nowe, a jeśli część owiec służyła na mięso, trzeba było usunąć kilka kręgów. Tak więc, nie wiedząc jeszcze, jak liczyć, starożytni ludzie ćwiczyli arytmetykę.
Potem w ludzkim języku pojawiły się cyfry i ludzie byli w stanie nazwać liczbę przedmiotów, zwierząt, dni. Zwykle takich cyfr było niewiele. Na przykład mieszkańcy rzeki Murray w Australii mieli dwie liczby pierwsze: enea (1) i petchewal (2). Inne liczby wyrażali liczebnikami złożonymi: 3 = „petcheval-enea”, 4 „petcheval-petcheval” itp. Inne australijskie plemię, Kamiloroi, posługiwało się prostymi liczebnikami mal (1), Bulan (2), Guliba (3). I tutaj otrzymano inne liczby, dodając mniej: 4 = „bulan - bulan”, 5 = „bulan - guliba”, 6 = „guliba - guliba” itp.
Dla wielu narodów nazwa liczby zależała od liczonych przedmiotów. Jeśli mieszkańcy Wysp Fidżi liczyli łodzie, wówczas liczbę 10 nazywano „bolo”; jeśli liczyli kokosy, liczbę 10 nazywano „karo”. Dokładnie to samo zrobili Niwchowie mieszkający na Sachalinie i brzegach Amuru. Nawet w zeszłym stuleciu dzwonili pod ten sam numer innymi słowami, jeśli liczyć ludzi, ryby, łodzie, sieci, gwiazdy, patyki.
Nadal używamy różnych liczb nieokreślonych w znaczeniu „wiele”: „tłum”, „stado”, „stado”, „sterta”, „banda” i inne.
Wraz z rozwojem produkcji i wymiany handlowej ludzie zaczęli lepiej rozumieć, co mają ze sobą wspólnego trzy łodzie i trzy topory, dziesięć strzał i dziesięć orzechów. Plemiona często wymieniały „przedmiot za przedmiot”; na przykład wymienili 5 jadalnych korzeni na 5 ryb. Stało się jasne, że liczba 5 jest taka sama zarówno dla korzeni, jak i ryb; Oznacza to, że można to nazwać jednym słowem.
Inne ludy stosowały podobne metody liczenia. W ten sposób powstała numeracja oparta na liczeniu w piątkach, dziesiątkach i dwudziestkach.
Do tej pory mówiliśmy o liczeniu mentalnym. Jak zapisano liczby? Początkowo, jeszcze przed pojawieniem się pisma, stosowano nacięcia na patykach, nacięcia na kościach i węzły na linach. Kość wilka znaleziona w Dolní Vestonice (Czechosłowacja) miała 55 nacięć wykonanych ponad 25 000 lat temu.
Kiedy pojawiło się pismo, liczby zdawały się rejestrować liczby. Początkowo liczby przypominały nacięcia na patykach: w Egipcie i Babilonie, w Etrurii i Fenice, w Indiach i Chinach małe cyfry pisano patyczkami lub liniami. Na przykład cyfrę 5 zapisano pięcioma patyczkami. Indianie Azteków i Majów zamiast patyków używali kropek. Następnie dla niektórych liczb, np. 5 i 10, pojawiły się specjalne znaki.
W tamtym czasie prawie wszystkie numeracje nie miały charakteru pozycyjnego, lecz przypominały numerację rzymską. Tylko jedna babilońska numeracja sześćdziesiętna miała charakter pozycyjny. Ale przez długi czas nie było w nim zera, a także przecinka oddzielającego część całą od części ułamkowej. Zatem ta sama liczba mogła oznaczać 1, 60 lub 3600. Znaczenie liczby należało odgadnąć zgodnie ze znaczeniem zadania.
Kilka wieków wcześniej Nowa era wynaleziony nowy sposób zapis liczb, w którym litery zwykłego alfabetu pełniły rolę cyfr. Pierwsze 9 liter oznaczało cyfry dziesiątek 10, 20,..., 90, a kolejnych 9 liter oznaczało setki. Ta numeracja alfabetyczna obowiązywała aż do XVII wieku. Aby odróżnić „prawdziwe” litery od cyfr, nad literami-cyframi umieszczano myślnik (w języku ruskim myślnik ten nazywano „titlo”).
We wszystkich tych numeracjach bardzo trudno było wykonać operacje arytmetyczne. Dlatego wynalazek w VI wieku. Przez Hindusów dziesiętna numeracja pozycyjna jest słusznie uważana za jedno z największych osiągnięć ludzkości. Numeracja indyjska i cyfry indyjskie stały się znane w Europie od Arabów i zwykle nazywane są arabskimi.
Przy zapisie ułamków zwykłych przez długi czas całą część pisano w nowej, dziesiętnej numeracji, a część ułamkową w sześćdziesiętnej. Ale na początku XV w. Matematyk i astronom z Samarkandy al-Kashi zaczął używać ułamków dziesiętnych w obliczeniach.
Liczby, z którymi pracujemy, są dodatnie i liczby ujemne. Okazuje się jednak, że to nie wszystkie liczby używane w matematyce i innych naukach. I możesz się o nich dowiedzieć nie czekając na szkołę średnią, ale znacznie wcześniej, jeśli przestudiujesz historię pojawienia się liczb w matematyce.
1.2 „Cud – liczniki”
Rozumie wszystko doskonale i od razu formułuje wniosek, do czego zwykła osoba być może przyjdzie po długich i bolesnych myślach. Przekazuje książki z niewiarygodną szybkością i na pierwszym miejscu na jego krótkiej liście bestsellerów znajduje się podręcznik zabawnej matematyki. W chwili rozwiązywania najtrudniejszych i nietypowych problemów w jego oczach płonie ogień inspiracji. Prośby o wyjście do sklepu lub umycie naczyń pozostają bez echa lub spotykają się z dużym niezadowoleniem. Najlepszą nagrodą jest wycieczka do sali wykładowej, a najcenniejszym prezentem jest książka. Jest tak praktyczny, jak to tylko możliwe, a w swoich działaniach kieruje się głównie rozumem i logiką. Ludzi wokół siebie traktuje chłodno i woli grę w szachy z komputerem niż jazdę na rolkach. Jako dziecko jest przedwcześnie świadomy własnych braków i charakteryzuje się zwiększonymi stabilność emocjonalna i zdolność przystosowania się do warunków zewnętrznych.
Ten portret nie jest oparty na analityku CIA.
Tak według psychologów wygląda ludzki kalkulator, jednostka o niepowtarzalności zdolności matematyczne, pozwalając mu na wykonanie w głowie najbardziej skomplikowanych obliczeń w mgnieniu oka.
Za progiem świadomości dokonuje się cud – księgowi, potrafiący bez kalkulatora wykonywać niewyobrażalnie skomplikowane operacje arytmetyczne, cechy szczególne pamięć, która odróżnia ich od innych ludzi. Z reguły oprócz ogromnych linii formuł i obliczeń ci ludzie (naukowcy nazywają ich mnemonikami - od greckie słowo mnemonika, czyli „sztuka zapamiętywania”) przechowują w głowach listy adresów nie tylko przyjaciół, ale także przypadkowych znajomych, a także licznych organizacji, w których kiedyś odwiedzili.
W laboratorium Instytutu Badawczego Psychotechnologii, gdzie postanowili zbadać to zjawisko, przeprowadzili taki eksperyment. Zaprosili wyjątkową osobę – pracownika Centralnego Archiwum Państwowego w Petersburgu, któremu zaproponowano różne słowa i liczby do zapamiętania. Musiał je powtórzyć. W ciągu zaledwie kilku minut potrafił utrwalić w swojej pamięci nawet siedemdziesiąt elementów. Dziesiątki słów i liczb zostały dosłownie „pobrane” do pamięci Aleksandra. Gdy liczba elementów przekroczyła dwieście, postanowiliśmy sprawdzić jego możliwości. Ku zaskoczeniu uczestników eksperymentu megapamięć wcale nie zawiodła. Poruszając przez sekundę ustami, zaczął odtwarzać całą serię elementów z niesamowitą dokładnością, jakby czytając.
Na przykład inny naukowiec-badacz przeprowadził eksperyment z Mademoiselle Osaka. Badanego poproszono o podniesienie do kwadratu 97 w celu uzyskania dziesiątej potęgi tej liczby. Zrobiła to natychmiast.
Aron Chikashvili mieszka w regionie Van w zachodniej Gruzji. Tworzy szybko i dokładnie, w myślach złożone obliczenia. W jakiś sposób przyjaciele postanowili przetestować możliwości „licznika cudów”. Zadanie było trudne: ile słów i liter powie spiker, komentując drugą połowę meczu piłkarskiego „Spartak” (Moskwa) - „Dynamo” (Tbilisi). Jednocześnie włączono magnetofon. Odpowiedź nadeszła, gdy tylko spiker wypowiedział ostatnie słowo: 17427 liter, 1835 słów. Sprawdzanie zajęło… 5 godzin. Odpowiedź okazała się prawidłowa.
Mówi się, że ojciec Gaussa płacił swoim pracownikom zwykle pod koniec tygodnia, dodając do codziennych zarobków nadgodziny. Któregoś dnia, gdy ojciec Gaussa skończył obliczenia, trzyletnie dziecko śledzące operacje ojca zawołało: „Tato, obliczenia są nieprawidłowe!” Taka powinna być kwota.” Obliczenia powtórzono i ze zdziwieniem okazało się, że dzieciak wskazał prawidłową kwotę.
Co ciekawe, wiele „liczników cudów” nie ma pojęcia, jak je liczą. „Liczymy, to wszystko! Ale jak myślimy, Bóg wie. Część „liczników” to osoby zupełnie niewykształcone. Anglik Buxton, „wirtuoz kalkulatora”, nigdy nie nauczył się czytać; Amerykański „czarny księgowy” Thomas Faller zmarł jako analfabeta w wieku 80 lat.
Zawody odbyły się w Instytucie Cybernetyki Ukraińskiej Akademii Nauk. W konkursie wzięli udział młody „kontrfenomen” Igor Szeluszkow i komputer Mir. Maszyna w ciągu kilku sekund wykonała wiele skomplikowanych operacji matematycznych. Zwycięzcą tego konkursu został Igor Szeluszkow.
Większość z tych ludzi ma doskonałą pamięć i talent. Ale niektórzy z nich nie mają zdolności matematycznych. Znają sekret! Sekret polega na tym, że dobrze opanowali techniki szybkiego liczenia i zapamiętali kilka specjalnych formuł. Ale belgijski pracownik, który w ciągu 30 sekund otrzymał podaną mu wielocyfrową liczbę, otrzymaną poprzez pomnożenie przez siebie pewnej liczby 47 razy, wywołuje ten numer (wyciąga pierwiastek z 47.
stopni od liczby wielocyfrowej), w wyniku wielu lat treningu osiągnął tak niesamowity sukces w liczeniu.
Dlatego wiele „zjawisk liczenia” wykorzystuje specjalne techniki szybkiego liczenia i specjalne formuły. Oznacza to, że i my możemy zastosować niektóre z tych technik.
RozdziałII. Starożytne metody mnożenia.
2.1. Rosyjska chłopska metoda mnożenia.
W Rosji 2-3 wieki temu wśród chłopów w niektórych prowincjach rozpowszechniona była metoda, która nie wymagała znajomości całej tabliczki mnożenia. Wystarczyło umieć mnożyć i dzielić przez 2. Ta metoda została nazwana chłop(istnieje opinia, że pochodzi z języka egipskiego).
Przykład: pomnóż 47 przez 35,
Zapiszmy liczby w jednej linii i narysujmy między nimi pionową linię;
Lewą liczbę podzielimy przez 2, prawą liczbę pomnożymy przez 2 (jeśli przy dzieleniu powstanie reszta, resztę odrzucamy);
Podział kończy się, gdy po lewej stronie pojawi się jednostka;
Przekreślamy te linie, w których po lewej stronie znajdują się liczby parzyste;
35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645.
2.2. Metoda kratowa.
1). W Bagdadzie mieszkał i pracował wybitny arabski matematyk i astronom Abu Mussa al-Khorezmi. „Al - Khorezmi” dosłownie oznacza „z Khorezmi”, czyli urodzony w mieście Khorezm (obecnie część Uzbekistanu). Naukowiec pracował w Domu Mądrości, gdzie znajdowała się biblioteka i obserwatorium, pracowali tu prawie wszyscy główni arabscy naukowcy.
Niewiele jest informacji na temat życia i działalności Muhammada al-Khorezmiego. Zachowały się tylko dwa jego dzieła - dotyczące algebry i arytmetyki. Ostatnia z tych książek podaje cztery zasady działań arytmetycznych, prawie takie same jak te stosowane w naszych czasach.
2). W jego „Księga indyjskiej rachunkowości” naukowiec opisał metodę wynalezioną w starożytnych Indiach, a później nazwaną „metoda kratowa”(znany jako "zazdrość"). Metoda ta jest jeszcze prostsza od tej stosowanej obecnie.
Powiedzmy, że musimy pomnożyć 25 i 63.
Narysujmy tabelę, w której znajdują się dwie komórki długości i dwie szerokości, zapisz jedną liczbę dla długości i drugą dla szerokości. W komórkach zapisujemy wynik mnożenia tych liczb, na ich przecięciu oddzielamy dziesiątki i jedności przekątną. Otrzymane liczby dodajemy po przekątnej, a wynikowy wynik można odczytać wzdłuż strzałki (w dół i w prawo).
Rozważaliśmy prosty przykład, jednak tej metody można użyć do pomnożenia dowolnych liczb wielocyfrowych.
Spójrzmy na inny przykład: pomnóż 987 przez 12:
Narysuj prostokąt 3 na 2 (według liczby miejsc po przecinku dla każdego czynnika);
Następnie dzielimy kwadratowe komórki po przekątnej;
Na górze tabeli zapisujemy liczbę 987;
Po lewej stronie tabeli znajduje się liczba 12 (patrz zdjęcie);
Teraz w każdym kwadracie wpiszemy iloczyn liczb - czynniki znajdujące się w tej samej linii i tej samej kolumnie z tym kwadratem, dziesiątki nad przekątną, jedności poniżej;
Po wypełnieniu wszystkich trójkątów liczby w nich są dodawane wzdłuż każdej przekątnej;
Wynik zapisujemy po prawej i na dole tabeli (patrz rysunek);
987 ∙ 12=11844
Ten algorytm mnożenia przez dwa liczby naturalne był szeroko rozpowszechniony w średniowieczu na Wschodzie i we Włoszech.
Wadę tej metody zwróciliśmy uwagę na pracochłonność przygotowania prostokątnej tabeli, chociaż sam proces obliczeń jest ciekawy, a wypełnianie tabeli przypomina grę.
2.3 Indyjski sposób mnożenia
Niektórzy doświadczeni nauczyciele w ubiegłym stuleciu uważali, że metoda ta powinna zastąpić powszechnie przyjętą w naszych szkołach metodę mnożenia.
Amerykanom spodobało się to tak bardzo, że nazwali je nawet „po amerykańsku”. Jednak mieszkańcy Indii używali go już w VI wieku. N. e. i bardziej słuszne byłoby nazwanie tego „drogą indyjską”. Pomnóż dowolne dwie liczby dwucyfrowe, powiedzmy 23 przez 12. Od razu piszę, co się stanie.
Widzisz: odpowiedź otrzymano bardzo szybko. Ale jak to uzyskano?
Pierwszy krok: x23 Mówię: „2 x 3 = 6”
Krok drugi: x23 Mówię: „2 x 2 + 1 x 3 = 7”
Krok trzeci: x23 Mówię: „1 x 2 = 2”.
12 Piszę 2 na lewo od liczby 7
276 otrzymujemy 276.
Tę metodę poznaliśmy bardzo dobrze prosty przykład bez przechodzenia przez kategorię. Jednak nasze badania wykazały, że można go stosować również przy mnożeniu liczb z przejściem przez cyfrę, a także przy mnożeniu liczb wielocyfrowych. Oto kilka przykładów:
x528x24x15x18x317
123 30 13 19 12
Na Rusi metodę tę nazywano metodą mnożenia przez krzyż.
Ten „krzyż” jest niedogodnością mnożenia, łatwo się pomylić, ale też trudno pamiętać o wszystkich produktach pośrednich, których wyniki trzeba następnie zsumować.
2.4. Egipski sposób mnożenia
Zapisy liczbowe stosowane w starożytności mniej lub bardziej nadawały się do zapisywania wyniku liczenia. Wykonywanie za ich pomocą działań arytmetycznych było jednak bardzo trudne, szczególnie w przypadku operacji mnożenia (spróbuj pomnożyć: ξφß*τδ). Egipcjanie znaleźli wyjście z tej sytuacji, dlatego nazwano tę metodę Egipcjanin. Zastąpili mnożenie dowolną liczbą podwojeniem, czyli dodaniem liczby do siebie.
Przykład: 34 ∙ 5=34∙ (1 + 4) = 34∙ (1 + 2 ∙ 2) = 34 ∙ 1+ 34 ∙ 4.
Ponieważ 5 = 4 + 1, to aby uzyskać odpowiedź, pozostało dodać liczby z prawej kolumny do liczb 4 i 1, czyli 136 + 34 = 170.
2.5. Mnożenie na palcach
Starożytni Egipcjanie byli bardzo religijni i wierzyli, że dusza zmarłego jest życie po życiu Poddano testowi liczenia palców. To już mówi wiele o wadze, jaką starożytni przywiązywali do tej metody mnożenia liczb naturalnych (nazywano ją liczenie palców).
Mnożyli na palcach liczby jednocyfrowe od 6 do 9. W tym celu wyciągali tyle palców jednej ręki, ile pierwszy czynnik przekroczył liczbę 5, a na drugiej robili to samo dla drugiego czynnika. Pozostałe palce były zgięte. Następnie wzięli tyle dziesiątek, ile wynosi długość palców obu rąk, i dodali do tej liczby iloczyn zgiętych palców pierwszej i drugiej ręki.
Przykład: 8 ∙ 9 = 72
Później poprawiono liczenie na palcach - nauczyli się pokazywać palcami liczby do 10 000.
Ruch palca
Oto kolejny sposób na wspomożenie pamięci: użyj palców, aby zapamiętać tabliczkę mnożenia przez 9. Kładąc obie ręce obok siebie na stole, ponumeruj palce obu rąk w następującej kolejności: pierwszy palec po lewej stronie zostanie oznaczony jako 1 , druga za nim zostanie oznaczona 2, potem 3 , 4... do dziesiątego palca, co oznacza 10. Jeśli chcesz pomnożyć którąkolwiek z pierwszych dziewięciu liczb przez 9, zrób to bez poruszania rękami ze stołu musisz podnieść palec, którego liczba oznacza liczbę, przez którą mnoży się dziewięć; wówczas liczba palców leżących na lewo od podniesionego palca określa liczbę dziesiątek, a liczba palców leżących na prawo od podniesionego palca wskazuje liczbę jednostek powstałego produktu.
Przykład. Załóżmy, że musimy znaleźć produkt 4x9.
Trzymając obie ręce na stole, podnieś czwarty palec, licząc od lewej do prawej. Następnie są trzy palce (dziesiątki) przed podniesionym palcem i 6 palców (jednostek) za podniesionym palcem. Wynik iloczynu 4 przez 9 wynosi zatem 36.
Inny przykład:
Powiedzmy, że musimy pomnożyć 3 * 9.
Od lewej do prawej znajdź trzeci palec, z tego palca będą 2 wyprostowane palce, będą one oznaczać 2 dziesiątki.
Na prawo od zgiętego palca wyprostowanych zostanie 7 palców, co oznacza 7 jednostek. Dodaj 2 dziesiątki i 7 jednostek, a otrzymasz 27.
Same palce pokazywały tę liczbę.
// // /////
Zatem zbadane przez nas starożytne metody mnożenia pokazują, że algorytm używany w szkole do mnożenia liczb naturalnych nie jest jedyny i nie zawsze był znany.
Jest to jednak dość szybkie i najwygodniejsze.
Rozdział 3. Arytmetyka mentalna – gimnastyka umysłowa
3.1. Mnożenie i dzielenie przez 4.
Aby pomnożyć liczbę przez 4, należy ją podwoić.
Na przykład,
214 * 4 = (214 * 2) * 2 = 428 * 2 = 856
537 * 4 = (537 * 2) * 2 = 1074 * 2 = 2148
Aby podzielić liczbę przez 4, należy ją podzielić przez 2 dwukrotnie.
Na przykład,
124: 4 = (124: 2) : 2 = 62: 2 = 31
2648: 4 = (2648: 2) : 2 = 1324: 2 = 662
3.2. Mnożenie i dzielenie przez 5.
Aby pomnożyć liczbę przez 5, należy pomnożyć ją przez 10/2, czyli pomnożyć przez 10 i podzielić przez 2.
Na przykład,
138 * 5 = (138 * 10) : 2 = 1380: 2 = 690
548 * 5 (548 * 10) : 2 = 5480: 2 = 2740
Aby podzielić liczbę przez 5, należy pomnożyć ją przez 0,2, czyli podwoić liczbę pierwotną, oddziel ostatnią cyfrę przecinkiem.
Na przykład,
345: 5 = 345 * 0,2 = 69,0
51: 5 = 51 * 0,2 = 10,2
3.3. Pomnóż przez 25.
Aby pomnożyć liczbę przez 25, należy pomnożyć ją przez 100/4, czyli pomnożyć przez 100 i podzielić przez 4.
Na przykład,
348 * 25 = (348 * 100) : 4 = (34800: 2) : 2 = 17400: 2 = 8700
3.4. Pomnóż przez 1,5.
Aby pomnożyć liczbę przez 1,5, należy dodać jej połowę do pierwotnej liczby.
Na przykład,
26 * 1,5 = 26 + 13 = 39
228 * 1,5 = 228 + 114 = 342
127 * 1,5 = 127 + 63,5 = 190,5
3.5. Pomnóż przez 9.
Aby pomnożyć liczbę przez 9, dodaj do niej 0 i odejmij pierwotną liczbę. Na przykład,
241 * 9 = 2410 – 241 = 2169
847 * 9 = 8470 – 847 = 7623
3.6. Pomnóż przez 11.
1 sposób. Aby pomnożyć liczbę przez 11, dodaj do niej 0 i dodaj pierwotną liczbę. Na przykład:
47 * 11 = 470 + 47 = 517
243 * 11 = 2430 + 243 = 2673
Metoda 2. Jeśli chcesz pomnożyć liczbę przez 11, wykonaj następujące czynności: zapisz liczbę, którą należy pomnożyć przez 11, a pomiędzy cyframi pierwotnej liczby wstaw sumę tych cyfr. Jeśli okaże się, że kwota liczba dwucyfrowa, następnie dodajemy 1 do pierwszej cyfry pierwotnej liczby. Na przykład:
45 * 11 = * 11 = 967
Ta metoda nadaje się tylko do mnożenia liczb dwucyfrowych.
3.7. Mnożenie liczby trzycyfrowej przez 101.
Na przykład 125 * 101 = 12625
(zwiększ pierwszy współczynnik o liczbę jego setek i dodaj do niego dwie ostatnie cyfry pierwszego czynnika po prawej stronie)
125 + 1 = 126 12625
Dzieci łatwo uczą się tej techniki, zapisując obliczenia w kolumnie.
|
xx125 |
xx348 |
Inny przykład: 527 * 101 = (527+5)27 = 53227
3.8. Podnoszenie do kwadratu liczby kończącej się na 5.
Aby podnieść do kwadratu liczbę kończącą się na 5 (na przykład 65), pomnóż jej liczbę dziesiątek (6) przez liczbę dziesiątek powiększoną o 1 (6+1 = 7) i dodaj 25 do otrzymanej liczby
(6 * 7 = 42 Odpowiedź: 4225)
Na przykład:
3.8. Podniesienie do kwadratu liczby bliskiej 50.
Jeśli chcesz podnieść do kwadratu liczbę bliską 50, ale większą niż 50, wykonaj następujące czynności:
1) od tej liczby odejmij 25;
2) dodaj kwadrat nadmiaru do wyniku w dwóch cyfrach podany numer ponad 50.
Wyjaśnienie: 58 – 25 = 33, 82 = 64, 582 = 3364.
Wyjaśnienie: 67 – 25 = 42, 67 – 50 = 17, 172 = 289,
672 = 4200 + 289 = 4489.
Jeśli chcesz podnieść do kwadratu liczbę bliską 50, ale mniejszą niż 50, wykonaj następujące czynności:
1) od tej liczby odejmij 25;
2) dodać do wyniku dwucyfrowego kwadrat wady tej liczby aż do 50.
Wyjaśnienie: 48 – 25 = 23, 50 – 48 =2, 22 = 4, 482 = 2304.
Wyjaśnienie: 37 – 25 = 12,= 13, 132 =169,
372 = 1200 + 169 = 1369.
3.9. Gry
Odgadnięcie otrzymanej liczby.
1. Pomyśl o liczbie. Dodaj do tego 11; pomnóż uzyskaną kwotę przez 2; odjąć 20 od tego iloczynu; uzyskaną różnicę pomnóż przez 5 i odejmij od nowego iloczynu liczbę 10 razy większą niż liczba, którą masz na myśli.
Chyba: masz 10. Prawda?
2. Pomyśl o liczbie. Potrój to. Od wyniku odejmij 1. Pomnóż wynik przez 5. Do wyniku dodaj 20. Podziel wynik przez 15. Od wyniku odejmij zamierzoną wartość.
Masz 1.
3. Pomyśl o liczbie. Pomnóż przez 6. Odejmij 3. Pomnóż przez 2. Dodaj 26. Odejmij dwukrotnie zamierzoną wartość. Podziel przez 10. Odejmij to, co zamierzałeś.
Masz 2.
4. Pomyśl o liczbie. Potrój to. Odejmij 2. Pomnóż przez 5. Dodaj 5. Podziel przez 5. Dodaj 1. Podziel przez zamierzone. Masz 3.
5. Pomyśl o liczbie i podwoj ją. Dodaj 3. Pomnóż przez 4. Odejmij 12. Podziel przez to, co zamierzałeś.
Masz 8.
Odgadywanie zamierzonych liczb.
Poproś swoich towarzyszy, aby pomyśleli o dowolnych liczbach. Niech każdy doda 5 do swojej zamierzonej liczby.
Otrzymaną kwotę należy pomnożyć przez 3.
Niech odejmie 7 od iloczynu.
Niech odejmie kolejne 8 od uzyskanego wyniku.
Niech każdy da Ci arkusz z efektem końcowym. Patrząc na kartkę papieru, od razu mówisz każdemu, jaką liczbę ma na myśli.
(Aby odgadnąć zamierzoną liczbę, podziel wynik zapisany na kartce papieru lub podany ustnie przez 3)
Wniosek
Wkroczyliśmy w nowe tysiąclecie! Wielkie odkrycia i osiągnięcia ludzkości. Wiele wiemy, wiele możemy zrobić. Wydaje się czymś nadprzyrodzonym, że za pomocą liczb i wzorów można obliczyć lot statek kosmiczny, „sytuacja gospodarcza” w kraju, pogoda na „jutro”, opisują brzmienie nut w melodii. Znamy stwierdzenie starożytnego greckiego matematyka i filozofa, który żył w IV wieku p.n.e. – Pitagorasa – „Wszystko jest liczbą!”
Według filozoficznego poglądu tego naukowca i jego zwolenników liczby rządzą nie tylko miarą i wagą, ale także wszystkimi zjawiskami zachodzącymi w przyrodzie i są istotą harmonii panującej w świecie, duszą kosmosu.
Opisując starożytne metody obliczeń i współczesne metody szybkich obliczeń, staraliśmy się pokazać, że zarówno w przeszłości, jak i w przyszłości nie można obejść się bez matematyki, nauki stworzonej przez ludzki umysł.
Badanie starożytnych metod mnożenia wykazało, że ta operacja arytmetyczna była trudna i złożona ze względu na różnorodność metod i ich uciążliwą realizację.
Nowoczesna metoda mnożenia jest prosta i dostępna dla każdego.
Przeglądając literaturę naukową, odkryliśmy szybsze i bardziej niezawodne metody mnożenia. Dlatego badanie działania mnożenia jest obiecującym tematem.
Możliwe, że wiele osób nie będzie w stanie szybko i od razu wykonać tych lub innych obliczeń za pierwszym razem. Niech na początku nie będzie możliwe zastosowanie techniki pokazanej w pracy. Bez problemu. Konieczne jest ciągłe szkolenie w zakresie obsługi komputera. Z lekcji na lekcję, z roku na rok. Pomoże Ci zdobyć przydatne umiejętności arytmetyki mentalnej.
Wykaz używanej literatury
1. Wangqiang: Podręcznik dla klasy 5. - Samara: Wydawnictwo
„Fiodorow”, 1999.
2., Świat liczb Ahadowa: Księga uczniów, - M. Edukacja, 1986.
3. „Od gry do wiedzy”, M., „Oświecenie” 1982.
4. Svechnikov, liczby, problemy M., Edukacja, 1977.
5. http://matsievsky. *****/sys-schi/file15.htm
6. http://*****/mod/1/6506/hystory. HTML
Prace badawcze z matematyki w szkole podstawowej
Krótkie podsumowanie pracy badawczejKażde dziecko w wieku szkolnym wie, jak pomnożyć liczby wielocyfrowe w kolumnie. W pracy tej autor zwraca uwagę na istnienie alternatywnych metod mnożenia młodsi uczniowie, co może zamienić „nudne” obliczenia w zabawną grę.
W pracy omówiono sześć niekonwencjonalnych sposobów mnożenia liczb wielocyfrowych, stosowanych w różnych epoki historyczne: Chłop rosyjski, krata, zamek, chiński, japoński, wg tabeli V. Okoneshnikova.
Celem projektu jest rozwinięcie zainteresowań poznawczych studiowanym przedmiotem oraz pogłębienie wiedzy z zakresu matematyki.
Spis treści
Wprowadzenie 3
Rozdział 1. Alternatywne metody mnożenia 4
1.1. Trochę historii 4
1.2. Rosyjska chłopska metoda mnożenia 4
1.3. Mnożenie metodą „Małego Zamku” 5
1.4. Mnożenie liczb metodą „zazdrości” lub „mnożenia kratowego” 5
1,5. Chiński sposób mnożenia 5
1.6. Japoński sposób mnożenia 6
1.7. Tabela Okoniesznikowa 6
1.8.Mnożenie przez kolumnę. 7
Rozdział 2. Część praktyczna 7
2.1. Chłopska droga 7
2.2. Mały zamek 7
2.3. Mnożenie liczb metodą „zazdrości” lub „mnożenia kratowego” 7
2.4. Chiński sposób 8
2.5. Metoda japońska 8
2.6. Tabela Okoniesznikowa 8
2.7. Zadawanie pytań 8
Wniosek 9
Załącznik 10
„Przedmiot matematyki jest przedmiotem tak poważnym, że dobrze jest wykorzystywać każdą okazję, aby uczynić go trochę zabawnym”.
B. Pascal
Wstęp
Osoba w Życie codzienne bez obliczeń nie da się tego zrobić. Dlatego na lekcjach matematyki uczymy się przede wszystkim wykonywania operacji na liczbach, czyli liczenia. Mnożymy, dzielimy, dodajemy i odejmujemy w zwykły sposób, którego uczy się w szkole. Pojawiło się pytanie: czy istnieją inne alternatywne metody obliczeń? Chciałem je przestudiować bardziej szczegółowo. W poszukiwaniu odpowiedzi na te pytania przeprowadzono niniejsze badanie.
Cel pracy: identyfikacja niekonwencjonalnych metod mnożenia w celu zbadania możliwości ich zastosowania.
Zgodnie z celem sformułowaliśmy następujące zadania:
- Znajdź jak najwięcej niezwykłych sposobów mnożenia.
- Naucz się z nich korzystać.
- Wybierz dla siebie najciekawsze lub łatwiejsze od tych oferowanych w szkole i wykorzystaj je podczas liczenia.
- Sprawdź w praktyce mnożenie liczb wielocyfrowych.
- Przeprowadź ankietę wśród uczniów klas IV
Przedmiot badań: różne niestandardowe algorytmy mnożenia liczb wielocyfrowych
Przedmiot studiów: działanie matematyczne „mnożenie”
Hipoteza: jeśli istnieją standardowe sposoby mnożenia liczb wielocyfrowych, być może istnieją alternatywne sposoby.
Znaczenie: Upowszechnianie wiedzy o alternatywnych metodach mnożenia.
Praktyczne znaczenie. W trakcie pracy rozwiązano wiele przykładów oraz powstał album, w którym znalazły się przykłady z różnymi algorytmami mnożenia liczb wielocyfrowych na kilka alternatywnych sposobów. Może to zainteresować kolegów z klasy poszerzeniem ich horyzontów matematycznych i posłużyć jako początek nowych eksperymentów.
Rozdział 1. Alternatywne metody mnożenia
1.1. Trochę historiiMetody obliczeń, których używamy obecnie, nie zawsze były tak proste i wygodne. W dawnych czasach stosowano bardziej kłopotliwe i wolniejsze techniki. A gdyby współczesny uczeń mógł cofnąć się o pięćset lat, zadziwiłby wszystkich szybkością i dokładnością swoich obliczeń. Plotki o nim rozeszły się po okolicznych szkołach i klasztorach, przyćmiewając chwałę najbardziej utalentowanych kalkulatorów tamtej epoki, a ludzie z całego świata przybywali, aby uczyć się u nowego wielkiego mistrza.
W dawnych czasach operacje mnożenia i dzielenia były szczególnie trudne.
W książce V. Bellustina „Jak ludzie stopniowo osiągali prawdziwą arytmetykę” przedstawiono 27 metod mnożenia, a autor zauważa: „jest bardzo możliwe, że w zakamarkach magazynów ksiąg porozrzucane są liczne, głównie rękopiśmienne metody, ukryte zbiory.” Wszystkie te techniki mnożenia konkurowały ze sobą i uczyły się z wielkim trudem.
Spójrzmy na najciekawsze i proste sposoby mnożenie.
1.2. Rosyjska chłopska metoda mnożenia
W Rosji 2-3 wieki temu wśród chłopów w niektórych prowincjach rozpowszechniona była metoda, która nie wymagała znajomości całej tabliczki mnożenia. Trzeba było tylko umieć mnożyć i dzielić przez 2. Metodę tę nazwano metodą chłopską.
Aby pomnożyć dwie liczby, zapisano je obok siebie, a następnie lewą liczbę podzielono przez 2, a prawą liczbę przez 2. Wyniki zapisano w kolumnie, aż po lewej stronie pozostała 1. Resztę odrzucono. Przekreśl te linie, które mają parzyste liczby po lewej stronie. Pozostałe liczby w prawej kolumnie dodajemy.
1.3. Mnożenie metodą „Małego Zamku”.
Włoski matematyk Luca Pacioli w swoim traktacie „Suma arytmetyki, współczynników i proporcjonalności” (1494) podaje osiem różnych metod mnożenia. Pierwszy z nich nosi nazwę „Mały Zamek”.
Zaletą metody mnożenia „Małego Zamku” jest to, że od samego początku wyznaczane są cyfry wiodące, co może być istotne, jeśli trzeba szybko oszacować wartość.
Cyfry większej liczby, zaczynając od cyfry najbardziej znaczącej, mnoży się kolejno przez liczbę dolną i zapisuje w kolumnie z dodaną wymaganą liczbą zer. Wyniki są następnie sumowane.
1.4. Mnożenie liczb metodą „zazdrości” lub „mnożenia kratowego”.
Druga metoda Luca Pacioli nazywa się „zazdrością” lub „mnożeniem sieci”.
Najpierw rysowany jest prostokąt podzielony na kwadraty. Następnie kwadratowe komórki dzieli się po przekątnej i „...w rezultacie powstaje obraz przypominający okiennice kratowe” – pisze Pacioli. „Takie okiennice zawieszano w oknach weneckich domów, aby przechodnie nie dostrzegli siedzących przy oknach pań i zakonnic”.
Mnożąc każdą cyfrę pierwszego czynnika przez każdą cyfrę drugiego, iloczyny zapisuje się w odpowiednich komórkach, umieszczając dziesiątki nad przekątną i jedności pod nią. Cyfry iloczynu uzyskuje się przez dodanie cyfr w ukośnych paskach. Wyniki dodawania są zapisane pod tabelą, a także po jej prawej stronie.
1,5. Chiński sposób mnożenia
Przedstawmy teraz metodę mnożenia, która jest intensywnie omawiana w Internecie, a która nazywa się chińską. Podczas mnożenia liczb obliczane są punkty przecięcia linii, które odpowiadają liczbie cyfr każdej cyfry obu współczynników.
1.6. Japoński sposób mnożenia
Japoński sposób mnożenia to metoda graficzna za pomocą okręgów i linii. Nie mniej zabawne i interesujące niż chińskie. Nawet trochę do niego podobny.
1.7. Stół Okoniesznikowa
Kandydat filozofii Wasilij Okoneshnikov, wynalazca na pół etatu nowy system arytmetyki mentalnej, wierzy, że dzieci w wieku szkolnym będą mogły nauczyć się werbalnego dodawania i mnożenia milionów, miliardów, a nawet sekstylionów i kwadrylionów. Zdaniem samego naukowca najkorzystniejszy pod tym względem jest system dziewięciokrotny – wszystkie dane po prostu umieszcza się w dziewięciu komórkach, rozmieszczonych niczym przyciski kalkulatora.
Zdaniem naukowca, zanim stanie się „komputerem” obliczeniowym, należy zapamiętać stworzoną przez niego tabelę.
Tabela podzielona jest na 9 części. Umieszczone są zgodnie z zasadą mini kalkulatora: „1” w lewym dolnym rogu, „9” w prawym górnym rogu. Każda część to tabliczka mnożenia dla liczb od 1 do 9 (przy użyciu tego samego systemu „przyciskowego”). Aby pomnożyć dowolną liczbę, na przykład przez 8, znajdujemy duży kwadrat odpowiadający liczbie 8 i wypisujemy z tego kwadratu liczby odpowiadające cyfrom wielocyfrowego mnożnika. Otrzymane liczby dodajemy osobno: pierwsza cyfra pozostaje niezmieniona, a wszystkie pozostałe są dodawane parami. Wynikowa liczba będzie wynikiem mnożenia.
Jeżeli podczas dodawania dwóch cyfr uzyskana zostanie liczba większa niż dziewięć, wówczas jej pierwszą cyfrę dodaje się do poprzedniej cyfry wyniku, a drugą zapisuje się w „własnym” miejscu.
Nowa technika została przetestowana w kilku rosyjskich szkołach i uniwersytetach. Ministerstwo Edukacji Federacji Rosyjskiej zezwoliło na publikację nowej tabliczki mnożenia w zeszytach w kratkę wraz ze zwykłą tabliczką pitagorejską - na razie tylko w celach informacyjnych.
1.8. Mnożenie kolumn.
Niewiele osób wie, że za autora naszej zwykłej metody mnożenia liczby wielocyfrowej przez liczbę wielocyfrową przez kolumnę należy uznać Adama Riese (Załącznik 7). Algorytm ten jest uważany za najwygodniejszy.
Rozdział 2. Część praktyczna
Opanowując wymienione metody mnożenia, rozwiązano wiele przykładów i przygotowano album z przykładami różnych algorytmów obliczeniowych. (Aplikacja). Przyjrzyjmy się algorytmowi obliczeń na przykładach.
2.1. Chłopski sposób
Pomnóż 47 przez 35 (załącznik 1),
-zapisz liczby w jednej linii, narysuj między nimi pionową linię;
-lewa liczba zostanie podzielona przez 2, prawa liczba zostanie pomnożona przez 2 (jeżeli przy dzieleniu powstanie reszta, to resztę odrzucimy);
- podział kończy się w momencie pojawienia się jednostki po lewej stronie;
-przekreśl te linie, w których po lewej stronie znajdują się liczby parzyste;
-dodajemy pozostałe liczby po prawej stronie - oto wynik.
35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645.
Wniosek. Metoda jest wygodna, ponieważ wystarczy znać tabelę tylko dla 2. Jednak podczas pracy z dużymi liczbami jest to bardzo uciążliwe. Wygodny do pracy z liczbami dwucyfrowymi.
2.2. Mały zamek
(Załącznik 2). Wniosek. Metoda jest bardzo podobna do naszej nowoczesnej „kolumny”. Co więcej, natychmiast określane są liczby najwyższych cyfr. Może to być ważne, jeśli chcesz szybko oszacować wartość.
2.3. Mnożenie liczb metodą „zazdrości” lub „mnożenia kratowego”.
Pomnóżmy na przykład liczby 6827 i 345 (załącznik 3):
1. Narysuj kwadratową siatkę i zapisz jeden ze współczynników nad kolumnami, a drugi - wzdłuż wysokości.
2. Pomnóż liczbę w każdym wierszu kolejno przez liczby w każdej kolumnie. Kolejno mnożymy 3 przez 6, przez 8, przez 2, przez 7 itd.
4. Dodaj liczby po ukośnych paskach. Jeżeli suma jednej przekątnej zawiera dziesiątki, to dodaj je do następnej przekątnej.
Z wyników dodawania liczb wzdłuż przekątnych powstaje liczba 2355315, która jest iloczynem liczb 6827 i 345, czyli 6827 ∙ 345 = 2355315.
Wniosek. Metoda „mnożenia sieci” nie jest gorsza od ogólnie przyjętej. Jest to jeszcze prostsze, ponieważ liczby do komórek tabliczki wprowadza się bezpośrednio z tabliczki mnożenia, bez jednoczesnego dodawania, jak to ma miejsce w standardowej metodzie.
2.4. Chiński sposób
Załóżmy, że musisz pomnożyć 12 przez 321 (dodatek 4). Na kartce papieru rysujemy linie jedna po drugiej, których liczbę określamy na podstawie tego przykładu.
Losujemy pierwszą liczbę – 12. W tym celu od góry do dołu, od lewej do prawej, losujemy:
jeden zielony kij (1)
i dwa pomarańczowe (2).
Narysuj drugą liczbę – 321, od dołu do góry, od lewej do prawej:
trzy niebieskie patyki (3);
dwa czerwone (2);
jeden liliowy (1).
Teraz za pomocą prostego ołówka oddzielamy punkty przecięcia i zaczynamy je liczyć. Poruszamy się od prawej do lewej (zgodnie z ruchem wskazówek zegara): 2, 5, 8, 3.
Przeczytajmy wynik od lewej do prawej - 3852
Wniosek. Ciekawy sposób, ale narysowanie 9 prostych przy mnożeniu przez 9 jest jakoś długie i nieciekawe, a potem liczenie punktów przecięcia. Bez umiejętności trudno zrozumieć podział liczb na cyfry. Ogólnie rzecz biorąc, nie można obejść się bez tabliczki mnożenia!
2.5. Japoński sposób
Pomnóżmy 12 przez 34 (załącznik 5). Ponieważ drugi czynnik jest liczbą dwucyfrową, a pierwsza cyfra pierwszego czynnika to 1, konstruujemy dwa pojedyncze okręgi w górnym wierszu i dwa binarne okręgi w dolnym wierszu, ponieważ druga cyfra pierwszego czynnika to 2 .
Ponieważ pierwsza cyfra drugiego współczynnika to 3, a druga 4, dzielimy okręgi pierwszej kolumny na trzy części, a okręgi drugiej kolumny na cztery części.
Odpowiedzią jest liczba części, na które podzielono koła, czyli 12 x 34 = 408.
Wniosek. Metoda jest bardzo podobna do chińskiej grafiki. Tylko proste linie są zastępowane przez okręgi. Łatwiej jest określić cyfry liczby, ale rysowanie okręgów jest mniej wygodne.
2.6. Stół Okoniesznikowa
Musisz pomnożyć 15647 x 5. Od razu zapamiętujemy duży „przycisk” 5 (jest na środku) i mentalnie znajdujemy na nim małe przyciski 1, 5, 6, 4, 7 (są one również zlokalizowane jak na kalkulatorze) . Odpowiadają one liczbom 05, 25, 30, 20, 35. Otrzymane liczby dodajemy: pierwsza cyfra to 0 (pozostaje niezmieniona), 5 dodaje się mentalnie do 2, otrzymujemy 7 - to jest druga cyfra wyniku , 5 dodaje się do 3, otrzymujemy trzecią cyfrę - 8 , 0+2=2, 0+3=3 i pozostaje ostatnia cyfra iloczynu - 5. Wynik to 78235.
Wniosek. Metoda jest bardzo wygodna, ale trzeba się jej nauczyć na pamięć lub zawsze mieć pod ręką stół.
2.7. Ankieta studencka
Przeprowadzono ankietę wśród uczniów klas czwartych. Wzięło w nim udział 26 osób (załącznik nr 8). Z przeprowadzonej ankiety wynika, że wszyscy respondenci umieli mnożyć w tradycyjny sposób. Ale większość facetów nie wie o nietradycyjnych metodach mnożenia. Są też ludzie, którzy chcą je poznać.
Po wstępnej ankiecie odbyła się lekcja pozalekcyjna „Mnożenie z pasją”, podczas której dzieci zapoznawały się z alternatywnymi algorytmami mnożenia. Następnie przeprowadzono ankietę, aby zidentyfikować metody, które najbardziej nam się podobały. Niekwestionowanym liderem była najnowocześniejsza metoda Wasilija Okonesznikowa. (Załącznik 9)
Wniosek
Nauczywszy się liczyć wszystkimi przedstawionymi metodami, uważam, że najwygodniejszą metodą mnożenia jest metoda „Małego Zamku” - w końcu jest tak podobna do naszej obecnej!
Ze wszystkich niezwykłych metod liczenia, które znalazłem, metoda „japońska” wydawała się bardziej interesująca. Najprostszą metodą wydawało mi się „podwajanie i dzielenie”, którą stosowali rosyjscy chłopi. Nie używam go zbyt często podczas mnożenia. duże liczby. Jest bardzo wygodny w użyciu podczas mnożenia liczb dwucyfrowych.
Tym samym osiągnąłem cel moich badań - przestudiowałem i nauczyłem się stosować niekonwencjonalne metody mnożenia liczb wielocyfrowych. Moja hipoteza potwierdziła się – opanowałem sześć alternatywnych metod i dowiedziałem się, że to nie wszystkie możliwe algorytmy.
Nietradycyjne metody mnożenia, które badałem, są bardzo interesujące i mają prawo istnieć. A w niektórych przypadkach są jeszcze łatwiejsze w użyciu. Wierzę, że o istnieniu tych metod można mówić w szkole, w domu i zaskakiwać znajomych i przyjaciół.
Podczas gdy my po prostu studiowaliśmy i analizowaliśmy znane metody mnożenie. Ale kto wie, może w przyszłości sami będziemy mogli odkryć nowe sposoby mnożenia. Nie chcę też na tym poprzestać i dalej zgłębiać niekonwencjonalne metody mnożenia.
Lista źródeł informacji
1. Referencje
1.1. Harutyunyan E., Levitas G. Zabawna matematyka. - M.: AST - PRESS, 1999. - 368 s.
1.2. Bellustina V. Jak ludzie stopniowo doszli do prawdziwej arytmetyki. - LKI, 2012.-208 s.
1.3. Depman I. Opowieści o matematyce. – Leningrad: Edukacja, 1954. – 140 s.
1.4. Likum A. Wszystko o wszystkim. T. 2. - M.: Towarzystwo Filologiczne „Słowo”, 1993. - 512 s.
1,5. Olehnik S.N., Nesterenko Yu.V., Potapov M.K.. Stare zabawne problemy. – M.: Nauka. Redakcja główna literatury fizycznej i matematycznej, 1985. – 160 s.
1.6. Perelman Ya.I. Ciekawa arytmetyka. - M.: Rusanova, 1994 – 205 s.
1.7. Perelman Ya.I. Szybkie liczenie. Trzydzieści prostych technik liczenia w myślach. L.: Lenizdat, 1941 – 12 s.
1.8. Savin A.P. Miniatury matematyczne. Zabawna matematyka dla dzieci. - M.: Literatura dziecięca, 1998 - 175 s.
1.9. Encyklopedia dla dzieci. Matematyka. – M.: Avanta+, 2003. – 688 s.
1.10. Odkrywam świat: Encyklopedia dla dzieci: Matematyka / komp. Savin A.P., Stanzo V.V., Kotova A.Yu. - M.: Wydawnictwo AST LLC, 2000. - 480 s.
2. Inne źródła informacji
Zasoby internetowe:
2.1. Korneev A.A. Zjawisko mnożenia rosyjskiego. Fabuła. [Zasoby elektroniczne]
W starożytne Indie zastosowano dwie metody mnożenia: siatki i galery.
Na pierwszy rzut oka wydają się bardzo skomplikowane, ale jeśli krok po kroku wykonasz proponowane ćwiczenia, zobaczysz, że jest to całkiem proste.
Mnożymy na przykład liczby 6827 i 345:
1. Narysuj kwadratową siatkę i wpisz jedną z liczb nad kolumnami, a drugą na wysokości. W proponowanym przykładzie można zastosować jedną z tych siatek. 
2. Po wybraniu siatki pomnóż numer każdego wiersza kolejno przez numery każdej kolumny. W tym przypadku mnożymy kolejno 3 przez 6, przez 8, przez 2 i przez 7. Spójrz na ten diagram, aby zobaczyć, jak iloczyn jest zapisany w odpowiedniej komórce. 
3. Zobacz, jak wygląda siatka z wypełnionymi wszystkimi komórkami.
4. Na koniec zsumuj liczby występujące po ukośnych paskach. Jeżeli suma jednej przekątnej zawiera dziesiątki, to dodaj je do następnej przekątnej.
Zobacz, jak wyniki dodania liczb wzdłuż przekątnych (są podświetlone na żółto) tworzą liczbę 2355315, która jest iloczynem liczb 6827 i 345.
Tretiakowa Anastazja, Tyomkina Alina
Cel i założenia projektu:
Cel: zapoznanie się z różnymi metodami mnożenia liczb naturalnych nie używanymi na lekcjach i ich zastosowaniem w obliczaniu wyrażeń liczbowych.
Zadania:
- Znajdź i przeanalizuj różne metody mnożenia.
- Naucz się demonstrować niektóre techniki mnożenia.
- Omów nowe sposoby mnożenia i naucz uczniów, jak z nich korzystać.
- Rozwijanie umiejętności niezależna praca: wyszukiwanie informacji, selekcja i projektowanie znalezionego materiału.
Hipoteza: „Wiedza objawia się tylko przez to.
Kto zna inne liczby!!!”
Pobierać:
Zapowiedź:
Miejska budżetowa instytucja oświatowa
szkoła średnia nr 35 dzielnicy miasta Samara
Projekt na:
„Sposoby mnożenia
Liczby naturalne"
Pracę wykonali: uczniowie klasy 5 „A”
Anastazja Tretiakowa,
Tyomkina Alina.
Doradca naukowy:
nauczyciel matematyki
Ruzanova I.M.
Samara, 2014
Cel i założenia projektu:
Cel: zapoznanie się z różnymi metodami mnożenia liczb naturalnych nie używanymi na lekcjach i ich zastosowaniem w obliczaniu wyrażeń liczbowych.
Zadania:
- Znajdź i przeanalizuj różne metody mnożenia.
- Naucz się demonstrować niektóre techniki mnożenia.
- Omów nowe sposoby mnożenia i naucz uczniów, jak z nich korzystać.
- Rozwijaj umiejętności samodzielnej pracy: wyszukiwania informacji, selekcji i przygotowywania znalezionego materiału.
Hipoteza: „Wiedza objawia się tylko przez to.
Kto zna inne liczby!!!”
Pitagoras.
- Wstęp. 4 strony
- Głównym elementem. 5 – 13 s.
- Rosyjsko-chłopska metoda mnożenia. 5 – 6 s.
- Kwadrat Pitagorasa. 6 – 7 s.
- Stół Okoniesznikowa. 7 – 9 s.
- Indyjski sposób mnożenia. 9 – 11 s.
- Egipska metoda mnożenia. 11 – 12 s.
- Chiński sposób mnożenia. 12 stron
- Japoński sposób mnożenia. 13 s.
- Wniosek. 14 s.
- Literatura. 14 s.
- Wstęp.
….. Nie będziesz w stanie pomnożyć liczb wielocyfrowych – nawet dwucyfrowych – jeśli nie zapamiętasz wszystkich wyników mnożenia liczb jednocyfrowych, czyli tak zwanej tabliczki mnożenia. W starożytnej „Arytmetyce” Magnickiego istnieje potrzeba solidna wiedza Tabliczkę mnożenia śpiewa się w takich wersetach, które, trzeba przyznać, są obce współczesnym uszom:
Jeśli ktoś nie powie
stoły i dumy,
Nie mogę wiedzieć
liczba do pomnożenia
I w całej nauce niewolnej od udręki,
Koliko nie będzie przygnębiający
I nie będzie to korzystne, jeśli zapomni.
Sam Magnicki, autor tych wierszy, najwyraźniej nie wiedział lub przeoczył, że istnieją sposoby pomnożenia liczb bez znajomości tabliczki mnożenia. Metody te nie są podobne do metod naszych szkół, niektóre były stosowane w życiu codziennym wielkorosyjskich chłopów i zostały przez nich odziedziczone od czasów starożytnych, inne są nadal stosowane w naszych czasach.
W szkole uczą się tabliczki mnożenia, a następnie uczą dzieci mnożenia liczb w kolumnie. Oczywiście nie jest to jedyny sposób na pomnożenie. W rzeczywistości istnieje kilkadziesiąt sposobów pomnożenia liczb wielocyfrowych. W tej pracy przedstawimy kilka metod mnożenia, być może okażą się prostsze i z nich skorzystasz.
- Głównym elementem.
- Rosyjsko-chłopska metoda mnożenia.
Jego istotą jest to, że mnożenie dowolnych dwóch liczb sprowadza się do szeregu kolejnych podziałów jednej liczby na pół przy jednoczesnym podwajaniu drugiej liczby. Przykład: 32 x 13
Mnożna =32 | Mnożnik = 13 |
Tabela 1.
Dzielenie na pół (patrz lewa połowa tabeli 1) kontynuujemy, aż iloraz osiągnie 1, jednocześnie podwajając drugą liczbę (prawa strona tabeli 1). Ostatnia podwojona liczba daje pożądany wynik.
Nietrudno zrozumieć, na czym opiera się ta metoda: produkt nie zmienia się, jeśli jeden czynnik zostanie zmniejszony o połowę, a drugi podwojony. Jasne jest zatem, że w wyniku wielokrotnego powtarzania tej operacji otrzymuje się pożądany produkt:(32 x 13) = (1 x 416)
Szczególnie uważne osoby zauważą: „A co z liczbami nieparzystymi, które nie są podzielne przez 2?”
Powiedzmy, że musimy pomnożyć dwie liczby: 987 i 1998. Jeden napiszemy po lewej stronie, a drugi po prawej stronie w jednej linii. Podzielimy lewą liczbę przez 2, prawą liczbę pomnożymy przez 2 i zapiszemy wyniki w kolumnie. Jeśli podczas dzielenia pojawi się reszta, należy ją odrzucić.
Kontynuujemy operację, aż po lewej stronie nie pozostanie 1. Następnie przekreślamy te linie, w których po lewej stronie znajdują się liczby parzyste, a pozostałe liczby dodajemy w prawej kolumnie. To jest pożądana praca. Podano graficzną ilustrację tego opisu. (Patrz tabela 2.)
Tabela 2.
- Kwadrat Pitagorasa.
1 2 3
4 5 6
7 8 9
To jest dla każdego słynny plac Pitagoras, odzwierciedlający światowy system liczbowy, składający się z dziewięciu cyfr: od 1 do 9. Wyrażony język nowoczesny to dziewięciobitowa macierz liczbowa, w której liczby będące podstawą dalszych obliczeń o dowolnej złożoności ułożone są w kolejności rosnącej. Kwadrat Pitagorasa nazywany jest także Enneadą, a trzy liczby nazywane są triadą. Możesz rozważyć trójki liczb umieszczonych poziomo (123, 456, 789) i pionowo (147, 258, 369). Co więcej, zapisane w ten sposób trójki cyfr zaczynają oznaczać liczby specjalne, które podlegają prawom matematycznej proporcji i harmonii.
Przypomnijmy główną zasadę matematyki starożytnego Egiptu, która głosi, że mnożenie wykonuje się przez podwojenie i dodanie uzyskanych wyników; oznacza to, że każde podwojenie jest dodaniem liczby do siebie. Dlatego interesujące jest spojrzenie na wynik takiego podwojenia cyfr i liczb, ale na wynik nowoczesna metoda składanie „w kolumnę”, znane nawet w Szkoła Podstawowa szkoły. W rzeczywistości będzie to przypominać egipski system liczbowy, z tą różnicą, że wszystkie liczby lub liczby są zapisane w jednej kolumnie (bez wskazania tej czy innej akcji w sąsiedniej kolumnie - jak Egipcjanie).
Zacznijmy od liczb tworzących kwadrat Pitagorasa: od 1 do 9.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 4 6 8 10 12 14 16 18
3 6 9 12 15 18 21 24 27
4 8 12 16 20 24 28 32 36
5 10 15 20 25 30 35 40 45
6 12 18 24 30 36 42 48 54
7 14 21 28 35 42 49 56 63
8 16 24 32 40 48 56 64 72
9 18 27 36 45 54 63 72 81
10 20 30 40 50 60 70 80 90
Cyfra 1: normalny kolejny ciąg liczb.
Numer 9: lewa kolumna to wyraźny rząd rosnący („przepływ”).
prawa kolumna to wyraźna, malejąca seria kolejnych liczb. Zgódźmy się nazwać rosnącą serią wartości liczb, w których rosną od góry do dołu; w przypadku malejącym jest odwrotnie: wartości liczb maleją z góry na dół.
Numer 2: powtórzony w prawej kolumnie liczby parzyste 2,4,6,8 („w okresie”).
Numer 8: to samo powtórzenie - tylko w odwrotnej kolejności - 8,6,4,2.
Liczby 4 i 6: liczby parzyste „w okresie” 4,8,2,6 i 6,2,8,4.
Liczba 5: przestrzega zasady dodawania liczby 5 - naprzemiennie 5 i 0.
Numer 3: prawa kolumna to malejący rząd nie liczb, ale liczb tworzących trójki pionowych rzędów w kwadracie pitagorejskim - 369, 258, 147. Ponadto odliczanie następuje „od prawego rogu kwadratu” lub od prawej do lewej. Przyjęta powyżej zasada szeregu rosnąco-malejącego ma tu również zastosowanie. Ale szereg rosnący to ruch od trójki liczb 147 do trójki 369; malejąco - od 369 do 147.
Cyfra 7: Rosnąca seria liczb 147 258 369 od „lewego rogu” lub od lewej do prawej. Wszystko jednak zależy od tego, jak przedstawiona jest sama dziewięciobitowa macierz liczbowa – gdzie umieścić cyfrę 1.
- Stół Okoniesznikowa.
Uczniowie będą mogli nauczyć się słownego dodawania i mnożenia milionów, miliardów, a nawet sekstylionów i kwadrylionów. Pomoże im w tym kandydat nauk filozoficznych Wasilij Okoneshnikov, który jest także wynalazcą nowego mentalnego systemu liczenia. Naukowiec twierdzi, że człowiek jest w stanie zapamiętać ogromną ilość informacji, najważniejsze jest to, jak uporządkować te informacje.
Zdaniem samego naukowca najkorzystniejszy pod tym względem jest system dziewięciokrotny – wszystkie dane po prostu umieszcza się w dziewięciu komórkach, rozmieszczonych niczym przyciski kalkulatora.
Zdaniem naukowca, zanim stanie się „komputerem” obliczeniowym, należy zapamiętać stworzoną przez niego tabelę. Liczby w nim zawarte są niełatwo rozmieszczone w dziewięciu komórkach. Według Okoneshnikova ludzkie oko i jego pamięć są tak sprytnie zaprojektowane, że informacje ułożone według jego metody zapamiętują się po pierwsze szybciej, a po drugie trwale.
Tabela podzielona jest na 9 części. Umieszczone są zgodnie z zasadą mini kalkulatora: „1” w lewym dolnym rogu, „9” w prawym górnym rogu. Każda część to tabliczka do mnożenia liczb od 1 do 9 (znowu w lewym dolnym rogu przez 1, obok po prawej stronie przez 2 itd., przy użyciu tego samego systemu „przyciskowego”). Jak z nich korzystać?
Na przykład , musisz pomnożyć 9 o 842 . Od razu zapamiętujemy duży „przycisk” 9 (znajduje się w prawym górnym rogu i na nim mentalnie znajdujemy małe przyciski 8,4,2 (są one również umieszczone jak na kalkulatorze). Odpowiadają one liczbom 72, 36, 18 Otrzymane liczby dodajemy osobno: pierwsza cyfra to 7 ( pozostaje niezmieniona), 2 dodaje się mentalnie do 3, otrzymujemy 5 - to jest druga cyfra wyniku, 6 dodaje się do 1, otrzymujemy trzecią cyfrę - 7, a ostatnia cyfra żądanej liczby pozostaje - 8. Wynik to 7578.
Jeżeli podczas dodawania dwóch cyfr uzyskana zostanie liczba większa niż dziewięć, wówczas jej pierwszą cyfrę dodaje się do poprzedniej cyfry wyniku, a drugą zapisuje się w „własnym” miejscu.
Według samego autora można studiować, korzystając z tabeli macierzy Okoniesznikowa języki obce, a nawet układ okresowy. Nowa technika została przetestowana w kilku rosyjskich szkołach i uniwersytetach. Ministerstwo Edukacji Federacji Rosyjskiej zezwoliło na publikację nowej tabliczki mnożenia w zeszytach w kratkę wraz ze zwykłą tabliczką pitagorejską - na razie tylko w celach informacyjnych.
Przykład: 15647 x 5
- Indyjski sposób mnożenia.
W starożytnych Indiach stosowano dwie metody mnożenia: siatki i galery. Na pierwszy rzut oka wydają się bardzo skomplikowane, ale jeśli krok po kroku wykonasz proponowane ćwiczenia, zobaczysz, że jest to całkiem proste.
Na przykład mnożymy liczby 6827 i 345:
1. Narysuj kwadratową siatkę i wpisz jedną z liczb nad kolumnami, a drugą na wysokości. W proponowanym przykładzie można zastosować jedną z tych siatek.
Siatka 1 Siatka 2
2. Po wybraniu siatki pomnóż numer każdego wiersza kolejno przez numery każdej kolumny. W tym przypadku mnożymy kolejno 3 przez 6, przez 8, przez 2 i przez 7. Spójrz na ten diagram, aby zobaczyć, jak iloczyn jest zapisany w odpowiedniej komórce.
Siatka 1
3. Zobacz, jak wygląda siatka z wypełnionymi wszystkimi komórkami.
Siatka 1
4. Na koniec zsumuj liczby występujące po ukośnych paskach. Jeżeli suma jednej przekątnej zawiera dziesiątki, to dodaj je do następnej przekątnej.
Siatka 1
Zobacz jak powstaje liczba z wyników dodawania liczb wzdłuż przekątnych (są one podświetlone na żółto) 2355315 , który jestiloczyn liczb 6827 i 345, czyli 6827 x 345 = 2355315.
- Egipska metoda mnożenia.
Mnożenie w starożytnym Egipcie to sekwencyjna metoda mnożenia dwóch liczb. Aby pomnożyć liczby, nie musieli znać tabliczki mnożenia, wystarczyło, że potrafili rozłożyć liczby na czynniki wielokrotne, pomnożyć te wielokrotności i dodać. Metoda egipska polega na rozłożeniu najmniejszego z dwóch czynników na wielokrotności, a następnie pomnożeniu ich przez drugi czynnik (patrz przykład). Metodę tę można nadal spotkać w bardzo odległych regionach.
Rozkład. Egipcjanie stosowali system rozkładania najmniejszego czynnika na wielokrotności, których suma dawałaby pierwotną liczbę.
Aby wybrać właściwą wielokrotność, trzeba było znać poniższą tabelę wartości:
1 x 2 = 2 2 x 2 = 4 4 x 2 = 8 8 x 2 = 16 16 x 2 = 32
Przykład rozkład liczby 25: Mnożnik liczby „25” wynosi 16; 25 - 16 = 9. Wielokrotność liczby „9” wynosi 8; 9 - 8 = 1. Wielokrotność liczby „1” wynosi 1; 1 - 1 = 0. Zatem „25” jest sumą trzech wyrazów: 16, 8 i 1.
Przykład: pomnóż „13” przez „238” „. Wiadomo, że 13 = 8 + 4 + 1. Każdy z tych wyrazów należy pomnożyć przez 238. Otrzymujemy: ✔ 1 x 238 = 238 ✔ 4 x 238 = 952 ✔ 8 x 238 = 190413 × 238 = (8 + 4 + 1) × 238 = 8 × 238 + 4 × 238 + 1 × 238 = 1904 + 952 + 238 = 3094.
- Chiński sposób mnożenia.
A teraz wyobraźmy sobie metodę mnożenia, o której jest głośno w Internecie, zwaną metodą chińską. Podczas mnożenia liczb obliczane są punkty przecięcia linii, które odpowiadają liczbie cyfr każdej cyfry obu współczynników.
Przykład: pomnóż 21 przez 13 . Pierwszy czynnik zawiera 2 dziesiątki i 1 jednostkę, co oznacza, że budujemy w pewnej odległości 2 linie równoległe i 1 linię prostą.
Drugi czynnik ma 1 dziesiątkę i 3 jednostki. Budujemy równolegle 1 i w odległości 3 linie przecinające linie pierwszego czynnika.
Linie przecinają się w punktach, których liczba jest odpowiedzią, to znaczy 21 x 13 = 273
To zabawne i interesujące, ale narysowanie 9 prostych przy mnożeniu przez 9 jest jakoś długie i nieciekawe, a potem liczenie punktów przecięcia... Ogólnie rzecz biorąc, bez tabliczki mnożenia nie da się obejść!
- Japoński sposób mnożenia.
Japońska metoda mnożenia to metoda graficzna wykorzystująca okręgi i linie. Nie mniej zabawne i interesujące niż chińskie. Nawet trochę do niego podobny.
Przykład: pomnóż 12 przez 34. Ponieważ drugi czynnik jest liczbą dwucyfrową, a pierwsza cyfra pierwszego czynnika 1 , konstruujemy dwa pojedyncze okręgi w górnej linii i dwa binarne okręgi w dolnej linii, ponieważ druga cyfra pierwszego współczynnika jest równa 2 .
12x34
Od pierwszej cyfry drugiego mnożnika 3 i drugie 4 , podziel okręgi pierwszej kolumny na trzy części, okręgi drugiej kolumny na cztery.
12x34
Odpowiedzią jest liczba części, na które podzielone są koła 12x34 = 408.
- Wniosek.
Pracując nad tym tematem, dowiedzieliśmy się, że jest wiele różnych, zabawnych i ciekawe sposoby mnożenie. Niektóre z nich są nadal używane w różnych krajach. Ale nie wszystkie metody są wygodne w użyciu, zwłaszcza przy mnożeniu liczb wielocyfrowych. Ogólnie rzecz biorąc, nadal musisz znać tabliczkę mnożenia!
Pracę tę można wykorzystać na zajęciach w kołach matematycznych, zajęciach dodatkowych z dziećmi po godzinach lekcyjnych, as dodatkowy materiał na lekcji na temat „Mnożenie liczb naturalnych”. Materiał przedstawiony jest w przystępny i ciekawy sposób, co przyciągnie uwagę i zainteresowanie uczniów tematyką matematyki.
- Literatura.
- I JA. Depman, N.Ya. Vilenkina „Za kartkami podręcznika matematyki”.
- L.F. Magnitskiego „Arytmetyka”.
- Magazyn „Matematyka” nr 15 2011
- Zasoby internetowe.
