Twierdzenie Pitagorasa mówi:
W trójkącie prostokątnym suma kwadratów nóg jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej:
a 2 + b 2 = c 2,
- a oraz b- nogi tworzące kąt prosty.
- z jest przeciwprostokątną trójkąta.
Formuły twierdzenia Pitagorasa
- a = \sqrt(c^(2) - b^(2))
- b = \sqrt (c^(2) - a^(2))
- c = \sqrt (a^(2) + b^(2))
Dowód twierdzenia Pitagorasa
Kwadrat trójkąt prostokątny obliczona według wzoru:
S = \frac(1)(2)ab
Aby obliczyć pole dowolnego trójkąta, formuła pola to:
- p- półobwód. p=\frac(1)(2)(a+b+c) ,
- r jest promieniem okręgu wpisanego. Dla prostokąta r=\frac(1)(2)(a+b-c).
Następnie przyrównujemy prawe strony obu wzorów do obszaru trójkąta:
\frac(1)(2) ab = \frac(1)(2)(a+b+c) \frac(1)(2)(a+b-c)
2 ab = (a+b+c) (a+b-c)
2 ab = \left((a+b)^(2) -c^(2) \right)
2ab = a^(2)+2ab+b^(2)-c^(2)
0=a^(2)+b^(2)-c^(2)
c^(2) = a^(2)+b^(2)
Odwrotne twierdzenie Pitagorasa:
Jeśli kwadrat jednego boku trójkąta jest równy sumie kwadratów dwóch pozostałych boków, to trójkąt jest trójkątem prostokątnym. Oznacza to, że dla dowolnej trójki liczb dodatnich a, b oraz c, taki, że
a 2 + b 2 = c 2,
jest prawy trójkąt z nogami a oraz b i przeciwprostokątna c.
twierdzenie Pitagorasa- jedno z podstawowych twierdzeń geometrii euklidesowej, ustalające związek między bokami trójkąta prostokątnego. Udowodnił to uczony matematyk i filozof Pitagoras.
Znaczenie twierdzenia dzięki temu można go wykorzystać do udowodnienia innych twierdzeń i rozwiązywania problemów.
Dodatkowy materiał:
Według van der Waerdena jest bardzo prawdopodobne, że stosunek w ogólnej formie był już znany w Babilonie około XVIII wieku p.n.e. mi.
Około 400 pne. e. według Proclusa Platon podał metodę znajdowania trójek pitagorejskich, łącząc algebrę i geometrię. Około 300 p.n.e. mi. w „Elementach” Euklidesa pojawił się najstarszy aksjomatyczny dowód twierdzenia Pitagorasa.
Sformułowanie
Główne sformułowanie zawiera operacje algebraiczne - w trójkącie prostokątnym, którego długości nóg są równe a (\styl wyświetlania a) oraz b (\styl wyświetlania b), a długość przeciwprostokątnej wynosi c (\displaystyle c), relacja jest spełniona:
.Możliwe jest również równoważne sformułowanie geometryczne, odwołując się do pojęcia pole-figura: w trójkącie prostokątnym pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na nogach. W tej postaci twierdzenie jest sformułowane w Principia Euklidesa.
Odwrotne twierdzenie Pitagorasa- stwierdzenie o prostokątności dowolnego trójkąta, którego długości boków są powiązane relacją a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). W konsekwencji dla dowolnej trójki liczb dodatnich a (\styl wyświetlania a), b (\styl wyświetlania b) oraz c (\displaystyle c), taki, że a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), jest trójkąt prawy z nogami a (\styl wyświetlania a) oraz b (\styl wyświetlania b) i przeciwprostokątna c (\displaystyle c).
Dowodem
W literaturze naukowej odnotowano co najmniej 400 dowodów twierdzenia Pitagorasa, co tłumaczy się zarówno fundamentalną wartością geometrii, jak i elementarnością wyniku. Głównymi kierunkami dowodu są: algebraiczne wykorzystanie stosunków elementów-trójkąt (taka jak np. popularna metoda podobieństwa), metoda powierzchni, istnieją też różne egzotyczne dowody (np. za pomocą równań różniczkowych).
Przez podobne trójkąty
Klasyczny dowód Euklidesa ma na celu ustalenie równości pól między prostokątami utworzonymi przez podzielenie kwadratu na przeciwprostokątną o wysokości równej prosty kąt z kwadratami nad nogami.
Konstrukcja zastosowana do dowodu jest następująca: dla trójkąta prostokątnego o kącie prostym C (\displaystyle C), kwadraty nad nogami i i kwadraty nad przeciwprostokątną A B I K (\displaystyle ABIK) wysokość jest budowana C H (\ Displaystyle CH) i promień, który go kontynuuje s (\styl wyświetlania), dzieląc kwadrat nad przeciwprostokątną na dwa prostokąty i . Dowód ma na celu ustalenie równości pól prostokąta A H J K (\displaystyle AHJK) z kwadratem nad nogą C (\displaystyle AC); w podobny sposób ustala się równość pól drugiego prostokąta, czyli kwadratu nad przeciwprostokątną i prostokąta nad drugą odnogą.
Równość pól prostokąta A H J K (\displaystyle AHJK) oraz A C E D (\ Displaystyle ACED) ustanowiony przez zbieżność trójkątów △ A C K (\displaystyle \trójkąt ACK) oraz △ A B D (\ Displaystyle \ trójkąt ABD), z których powierzchnia każdego jest równa połowie powierzchni kwadratów A H J K (\displaystyle AHJK) oraz A C E D (\ Displaystyle ACED) odpowiednio w związku z następującą właściwością: pole trójkąta jest równe połowie pola prostokąta, jeśli figury mają wspólny bok, a wysokość trójkąta do wspólnego boku jest drugą stroną prostokąt. Zgodność trójkątów wynika z równości dwóch boków (boków kwadratów) i kąta między nimi (złożonego z kąta prostego i kąta przy A (\styl wyświetlania A).
W ten sposób dowód ustala, że powierzchnia kwadratu nad przeciwprostokątną, złożona z prostokątów A H J K (\displaystyle AHJK) oraz B H J I (\displaystyle BHJI), jest równa sumie pól kwadratów nad nogami.
Dowód Leonarda da Vinci
Metoda powierzchniowa obejmuje również dowód znaleziony przez Leonarda da Vinci. Niech będzie trójkąt prostokątny △ A B C (\displaystyle \trójkąt ABC) prosty kąt C (\displaystyle C) i kwadraty A C E D (\ Displaystyle ACED), B C F G (\ Displaystyle BCFG) oraz A B H J (\ Displaystyle ABHJ)(widzieć zdjęcie). W tym dowodzie z boku H J (\ Displaystyle HJ) ten ostatni, trójkąt jest zbudowany na zewnątrz, przystający △ A B C (\displaystyle \trójkąt ABC), co więcej, odbite zarówno względem przeciwprostokątnej, jak i względem jej wysokości (tj. J I = B C (\displaystyle JI=BC) oraz H I = A C (\displaystyle HI=AC)). Prosty C I (\displaystyle CI) dzieli kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej na dwie równe części, ponieważ trójkąty △ A B C (\displaystyle \trójkąt ABC) oraz △ J H I (\displaystyle \trójkąt ŻIH) są równe w budowie. Dowód ustala zgodność czworokątów C A J I (\displaystyle CAJI) oraz D A B G (\displaystyle DABG), z których pole z jednej strony jest równe sumie połowy pól kwadratów na nogach i pola pierwotnego trójkąta, z drugiej strony, do połowy pola kwadrat na przeciwprostokątnej plus obszar pierwotnego trójkąta. W sumie połowa sumy pól kwadratów nad nogami jest równa połowie pola kwadratu nad przeciwprostokątną, co odpowiada geometrycznemu sformułowaniu twierdzenia Pitagorasa.
Dowód metodą nieskończenie małą
Istnieje kilka dowodów wykorzystujących technikę równań różniczkowych. W szczególności Hardy'emu przypisuje się dowód wykorzystujący nieskończenie małe przyrosty nóg a (\styl wyświetlania a) oraz b (\styl wyświetlania b) i przeciwprostokątna c (\displaystyle c), oraz zachowanie podobieństwa z pierwotnym prostokątem, czyli zapewnienie spełnienia następujących zależności różniczkowych:
d za d do = do za (\displaystyle (\frac (da)(dc))=(\frac (c)(a))), d b d do = c b (\displaystyle (\frac (db)(dc))=(\frac (c)(b))).Metodą separacji zmiennych wyprowadza się z nich równanie różniczkowe c d c = a d a + b d b (\displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db), którego integracja daje relację c 2 = a 2 + b 2 + C o n s t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (stała) ). Zastosowanie warunków początkowych a = b = c = 0 (\displaystyle a=b=c=0) definiuje stałą jako 0, co skutkuje stwierdzeniem twierdzenia.
Zależność kwadratowa w ostatecznym wzorze wynika z liniowej proporcjonalności między bokami trójkąta a przyrostami, natomiast suma wynika z niezależnych udziałów przyrostu różnych boków.
Wariacje i uogólnienia
Podobne kształty geometryczne z trzech stron
Ważne geometryczne uogólnienie twierdzenia Pitagorasa zostało podane przez Euklidesa w elementach, przechodząc z obszarów kwadratów po bokach do obszarów arbitralnie podobnych figury geometryczne: suma powierzchni takich figur zbudowanych na nogach będzie równa powierzchni podobnej do nich figury, zbudowanej na przeciwprostokątnej.
Główną ideą tego uogólnienia jest to, że powierzchnia takiej figury geometrycznej jest proporcjonalna do kwadratu dowolnego z jej wymiarów liniowych, a w szczególności do kwadratu o długości dowolnego boku. Dlatego dla podobnych figur z obszarami A (\styl wyświetlania A), B (\styl wyświetlania B) oraz C (\displaystyle C) zbudowany na nogach z długościami a (\styl wyświetlania a) oraz b (\styl wyświetlania b) i przeciwprostokątna c (\displaystyle c) w związku z tym istnieje relacja:
A a 2 = B b 2 = C c 2 ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C (\displaystyle (\frac (A)(a^(2)))=(\frac (B )(b^(2)))=(\frac (C)(c^(2)))\,\Rightarrow \,A+B=(\frac (a^(2))(c^(2) ))C+(\frac (b^(2))(c^(2)))C).Ponieważ zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), to jest zrobione.
Ponadto, jeśli można udowodnić bez odwoływania się do twierdzenia Pitagorasa, że dla obszarów trzech podobnych figur geometrycznych po bokach trójkąta prostokątnego zależność A + B = C (\displaystyle A+B=C), a następnie używając odwrotności dowodu uogólnienia Euklidesa, możemy wyprowadzić dowód twierdzenia Pitagorasa. Na przykład, jeśli na przeciwprostokątnej zbudujemy trójkąt prostokątny przystający do początkowego z polem C (\displaystyle C), a na nogach - dwa podobne trójkąty prostokątne z obszarami A (\styl wyświetlania A) oraz B (\styl wyświetlania B), okazuje się, że trójkąty na nogach powstają w wyniku podzielenia początkowego trójkąta przez jego wysokość, czyli suma dwóch mniejszych obszarów trójkątów jest równa powierzchni trzeciego, a więc A + B = C (\displaystyle A+B=C) i stosując zależność dla podobnych figur, wyprowadza się twierdzenie Pitagorasa.
twierdzenie cosinus
Twierdzenie Pitagorasa to szczególny przypadek bardziej ogólne twierdzenie cosinusowe, które wiąże długości boków w dowolnym trójkącie:
a 2 + b 2 − 2 a b cos θ = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)-2ab\cos (\theta)=c^(2)),gdzie jest kąt między bokami? a (\styl wyświetlania a) oraz b (\styl wyświetlania b). Jeśli kąt wynosi 90°, to cos θ = 0 (\ Displaystyle \ cos \ theta = 0), a formuła upraszcza się do zwykłego twierdzenia Pitagorasa.
Dowolny trójkąt
Istnieje uogólnienie twierdzenia Pitagorasa do dowolnego trójkąta, działającego wyłącznie na podstawie stosunku długości boków, uważa się, że zostało ono po raz pierwszy ustalone przez sabiańskiego astronoma Sabit ibn Kurrę. W nim, dla dowolnego trójkąta z bokami, równoramienny (trójkąt z podstawą z boku) c (\displaystyle c), wierzchołek pokrywający się z wierzchołkiem pierwotnego trójkąta, po przeciwnej stronie c (\displaystyle c) i narożniki u podstawy, równy kątowi θ (\displaystyle \theta) Przeciwna strona c (\displaystyle c). W efekcie powstają dwa trójkąty, podobne do pierwotnego: pierwszy z bokami a (\styl wyświetlania a), boczna strona wpisanego Trójkąt równoramienny, oraz r (\displaystyle r)- części boczne c (\displaystyle c); drugi jest symetryczny do niego z boku b (\styl wyświetlania b) z imprezą s (\styl wyświetlania)- odpowiednia część boku c (\displaystyle c). W rezultacie relacja jest spełniona:
a 2 + b 2 = c (r + s) (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c(r+s)),który degeneruje się w twierdzenie Pitagorasa w θ = π / 2 (\ Displaystyle \ theta = \ pi / 2). Stosunek jest konsekwencją podobieństwa utworzonych trójkątów:
c a = a r , c b = b s ⇒ c r + c s = a 2 + b 2 (\displaystyle (\frac (c)(a))=(\frac (a)(r)),\,(\frac (c) (b))=(\frac (b)(s))\,\Rightarrow \,cr+cs=a^(2)+b^(2)).Twierdzenie o obszarze Pappusa
Geometria nieeuklidesowa
Twierdzenie Pitagorasa wywodzi się z aksjomatów geometrii euklidesowej i jest nieważne dla geometrii nieeuklidesowej - spełnienie twierdzenia Pitagorasa jest równoznaczne z postulatem równoległości euklidesowej.
W geometrii nieeuklidesowej związek między bokami trójkąta prostokątnego z konieczności będzie miał inną postać niż twierdzenie Pitagorasa. Na przykład w geometrii sferycznej wszystkie trzy boki trójkąta prostokątnego, które wiążą oktant sfery jednostkowej, mają długość π / 2 (\ Displaystyle \ pi / 2), co jest sprzeczne z twierdzeniem Pitagorasa.
Co więcej, twierdzenie Pitagorasa jest ważne w geometrii hiperbolicznej i eliptycznej, jeśli wymóg, aby trójkąt był prostokątny, zostanie zastąpiony warunkiem, że suma dwóch kątów trójkąta musi być równa trzeciej.
geometria sferyczna
Dla dowolnego trójkąta prostokątnego na kuli o promieniu R (\ Displaystyle R)(na przykład, jeśli kąt w trójkącie jest prawy) z bokami a , b , c (\displaystyle a,b,c) relacja między stronami to:
cos (c R) = cos (a R) ⋅ cos (b R) (\displaystyle \cos \lewo((\frac (c)(R))\prawo)=\cos \lewo((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)).Równość tę można wyprowadzić jako szczególny przypadek twierdzenia o sferycznym cosinusie, które jest ważne dla wszystkich trójkątów sferycznych:
cos (c R) = cos (a R) ⋅ cos (b R) + grzech (a R) ⋅ grzech (b R) ⋅ cos γ (\displaystyle \cos \lewo((\frac () c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)+\ sin \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \sin \left((\frac (b)(R))\right)\cdot \cos \gamma ). ch c = ch a ⋅ ch b (\ Displaystyle \ nazwa operatora (ch) c = \ nazwa operatora (ch) a \ cdot \ nazwa operatora (ch) b),gdzie ch (\displaystyle \operatorname (ch) )- hiperboliczny cosin. Ten wzór jest szczególnym przypadkiem twierdzenia o cosinusie hiperbolicznym, które obowiązuje dla wszystkich trójkątów:
ch c = ch a ⋅ ch b − sh a ⋅ sh b ⋅ cos γ (\ Displaystyle \ nazwa operatora (ch) c = \ nazwa operatora (ch) a \ cdot \ nazwa operatora (ch) b- \ nazwa operatora (sh) a\cdot \nazwa operatora (sh) b\cdot \cos \gamma ),gdzie γ (\ Displaystyle \ gamma)- kąt, którego wierzchołek jest przeciwny do boku c (\displaystyle c).
Używając szeregu Taylora dla cosinusa hiperbolicznego ( ch x ≈ 1 + x 2 / 2 (\displaystyle \operatorname (ch) x\ok 1+x^(2)/2)) można wykazać, że jeśli trójkąt hiperboliczny maleje (czyli kiedy a (\styl wyświetlania a), b (\styl wyświetlania b) oraz c (\displaystyle c) dąży do zera), to relacje hiperboliczne w trójkącie prostokątnym zbliżają się do relacji z klasycznego twierdzenia Pitagorasa.
Podanie
Odległość w dwuwymiarowych układach prostokątnych
Najważniejszym zastosowaniem twierdzenia Pitagorasa jest wyznaczenie odległości między dwoma punktami w układzie prostokątnym o współrzędnych: odległość s (\styl wyświetlania) między punktami o współrzędnych (a , b) (\displaystyle (a,b)) oraz (c , d) (\displaystyle (c,d)) równa się:
s = (a - c) 2 + (b - d) 2 (\displaystyle s=(\sqrt ((a-c)^(2)+(b-d)^(2)))).Do Liczby zespolone twierdzenie Pitagorasa daje naturalny wzór na znalezienie liczby złożonej modułu - dla z = x + y i (\displaystyle z=x+yi) jest równa długości
Godne uwagi jest to, że właściwość wskazana w twierdzeniu Pitagorasa jest charakterystyczną właściwością trójkąta prostokątnego. Wynika to z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa.
Twierdzenie: Jeśli kwadrat jednego boku trójkąta jest równy sumie kwadratów dwóch pozostałych boków, to trójkąt jest trójkątem prostokątnym.
Formuła Herona
Wyprowadzamy wzór wyrażający płaszczyznę trójkąta jako długości jego boków. Formuła ta związana jest z imieniem Herona z Aleksandrii, starożytnego greckiego matematyka i mechanika, który prawdopodobnie żył w I wieku naszej ery. Heron poświęcił wiele uwagi praktycznym zastosowaniom geometrii.
Twierdzenie. Pole S trójkąta o bokach a, b, c oblicza się ze wzoru S=, gdzie p jest półobwodem trójkąta.
Dowód.
Biorąc pod uwagę: aABC, AB=c, BC=a, AC=b Kąty A i B są ostre. CH - wzrost.
Udowodnić:
Dowód:
Rozważać trójkąt ABC, gdzie AB=c, BC=a, AC=b. Każdy trójkąt ma co najmniej dwa kąty ostre. Niech A i B ostre rogi trójkąt ABC. Wtedy podstawa H o wysokości CH trójkąta leży na boku AB. Wprowadźmy zapis: CH = h, AH=y, HB=x. zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa a 2 - x 2 \u003d h 2 \u003d b 2 -y 2, skąd
Y 2 - x 2 \u003d b 2 - a 2 lub (y - x) (y + x) \u003d b 2 - a 2, a ponieważ y + x \u003d c, to y- x \u003d (b2 - a2).
Dodając dwie ostatnie równości otrzymujemy:
2y = +c, skąd
y \u003d, a zatem h 2 \u003d b 2 -y 2 \u003d (b - y) (b + y) \u003d
Dlatego h = .
Podmiot: Twierdzenie, twierdzenie odwrotne Pitagoras.
Cele Lekcji: 1) rozważ twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa; jego zastosowanie w procesie rozwiązywania problemów; skonsolidować twierdzenie Pitagorasa i poprawić umiejętności rozwiązywania problemów w celu jego zastosowania;
2) rozwijać logiczne myślenie, poszukiwanie twórcze, zainteresowanie poznawcze;
3) kształcenie uczniów w odpowiedzialnym podejściu do uczenia się, kulturze mowy matematycznej.
Rodzaj lekcji. Lekcja uczenia się nowej wiedzy.
Podczas zajęć
ІІ. Aktualizacja wiedza, umiejętności
Lekcja dla mniezrobiłbymchciał, poszukiwanyzacznij od czterowierszy.
Tak, ścieżka wiedzy nie jest gładka
Ale wiemy z szkolne lata,
Więcej tajemnic niż zagadek
I nie ma ograniczeń w wyszukiwaniu!
Tak więc w ostatniej lekcji nauczyłeś się twierdzenia Pitagorasa. Pytania:
Dla której figury obowiązuje twierdzenie Pitagorasa?
Który trójkąt nazywa się trójkątem prostokątnym?
Sformułuj twierdzenie Pitagorasa.
Jak zostanie napisane twierdzenie Pitagorasa dla każdego trójkąta?
Jakie trójkąty nazywamy równymi?
Formułować znaki równości trójkątów?
Teraz zróbmy trochę niezależna praca:
Rozwiązywanie problemów według rysunków.
№1
(1 b.) Znajdź: AB.
№2
(1 b.) Znajdź: BC.
№3
( 2 b.)Znajdź: AC
№4
(1 rok)Znajdź: AC
№5 Biorąc pod uwagę: ABCDromb
(2 b.) AB \u003d 13 cm
AC = 10cm
Znaleźć wD
Samokontrola #1. 5
№2. 5
№3. 16
№4. 13
№5. 24
ІІІ. Nauka o Nowy materiał.
Starożytni Egipcjanie budowali w ten sposób kąty proste na ziemi: podzielili linę na węzły na 12 równe części, związano jej końce, po czym linę naciągnięto tak na ziemi, że powstał trójkąt o bokach 3, 4 i 5 podziałów. Kąt trójkąta, który leżał naprzeciw boku z 5 podziałami, był prawidłowy.
Czy możesz wyjaśnić słuszność tego wyroku?
W wyniku poszukiwania odpowiedzi na pytanie uczniowie powinni zrozumieć, że z matematycznego punktu widzenia pytanie brzmi: czy trójkąt będzie prostokątny.
Stawiamy problem: jak bez dokonywania pomiarów ustalić, czy trójkąt o danych bokach jest prostokątny. Celem lekcji jest rozwiązanie tego problemu.
Zapisz temat lekcji.
Twierdzenie. Jeżeli suma kwadratów dwóch boków trójkąta jest równa kwadratowi trzeciego boku, to trójkąt jest trójkątem prostokątnym.
Samodzielnie udowodnij twierdzenie (sporządź plan dowodu zgodnie z podręcznikiem).
Z tego twierdzenia wynika, że trójkąt o bokach 3, 4, 5 jest prostokątny (egipski).
Ogólnie liczby, dla których obowiązuje równość nazywane są trójkami pitagorejskimi. A trójkąty, których długość boków jest wyrażona przez trójki pitagorejskie (6, 8, 10) to trójkąty pitagorejskie.
Konsolidacja.
Ponieważ , to trójkąt o bokach 12, 13, 5 nie jest trójkątem prostokątnym.
Ponieważ , to trójkąt o bokach 1, 5, 6 jest prostokątny.
№ 430 (a, b, c)
( - nie jest)
