Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu jego boków i sinusa kąta między nimi.

Dowód:

Rozważ dowolne trójkąt ABC. Niech bok BC = a, bok CA = b i S będą obszarem tego trójkąta. Trzeba to udowodnić S = (1/2)*a*b*sin(C).

Na początek wprowadźmy prostokątny układ współrzędnych i umieśćmy początek współrzędnych w punkcie C. Ustawmy nasz układ współrzędnych tak, aby punkt B leżał na dodatnim kierunku osi Cx, a punkt A miał dodatnią rzędną.

Jeśli wszystko zostało wykonane poprawnie, powinieneś otrzymać następujący rysunek.

Pole danego trójkąta można obliczyć korzystając ze wzoru: S = (1/2)*a*h, gdzie h jest wysokością trójkąta. W naszym przypadku wysokość trójkąta h jest równa rzędnej punktu A, czyli h = b*sin(C).

Uwzględniając otrzymane wyniki, wzór na pole trójkąta można przepisać w następujący sposób: S = (1/2)*a*b*sin(C). co było do okazania

Rozwiązywanie problemów

Zadanie 1. Znajdź pole trójkąta ABC, jeśli a) AB = 6*√8 cm, AC = 4 cm, kąt A = 60 stopni b) BC = 3 cm, AB = 18*√2 cm, kąt B = 45 stopni c ) AC = 14 cm, CB = 7 cm, kąt C = 48 stopni.

Zgodnie z udowodnionym twierdzeniem pole S trójkąta ABC jest równe:

S = (1/2)*AB*AC*sin(A).

Zróbmy obliczenia:

a) S = ((1/2) *6*√8*4*sin(60˚)) = 12*√6 cm^2.

b) S = (1/2)*BC*BA*sin(B)=((1/2)* 3*18*√2 *(√2/2)) = 27 cm^2.

c) S = (1/2)*CA*CB*sin(C) = ½*14*7*sin48˚ cm^2.

Wartość sinusa kąta obliczamy na kalkulatorze lub korzystamy z wartości z tabeli wartości kąty trygonometryczne. Odpowiedź:

a) 12*√6 cm^2.

c) około 36,41 cm^2.

Zadanie 2. Pole trójkąta ABC wynosi 60 cm^2. Znajdź bok AB, jeśli AC = 15 cm i kąt A = 30˚.

Niech S będzie polem trójkąta ABC. Z twierdzenia o polu trójkąta mamy:

S = (1/2)*AB*AC*sin(A).

Podstawmy w nim wartości, które mamy:

60 = (1/2)*AB*15*sin30˚ = (1/2)*15*(1/2)*AB=(15/4)*AB.

Stąd wyrażamy długość boku AB: AB = (60*4)/15 = 16.

Mówiąc najprościej, są to warzywa gotowane na wodzie według specjalnej receptury. Rozważę dwa początkowe składniki (sałatkę jarzynową i wodę) i efekt końcowy - barszcz. Geometrycznie można go traktować jako prostokąt, którego jedna strona przedstawia sałatę, a druga woda. Suma tych dwóch stron wskaże barszcz. Przekątna i powierzchnia takiego prostokąta „barszczowego” są pojęciami czysto matematycznymi i nigdy nie są używane w przepisach na barszcz.


Jak z matematycznego punktu widzenia sałata i woda zamieniają się w barszcz? W jaki sposób suma dwóch odcinków może stać się trygonometrią? Aby to zrozumieć, potrzebujemy liniowych funkcji kątowych.


W podręcznikach matematyki nie znajdziesz nic na temat liniowych funkcji kątowych. Ale bez nich nie ma matematyki. Prawa matematyki, podobnie jak prawa natury, działają niezależnie od tego, czy wiemy o ich istnieniu, czy nie.

Liniowe funkcje kątowe są prawami dodawania. Zobacz, jak algebra zamienia się w geometrię, a geometria w trygonometrię.

Czy można obejść się bez liniowego? funkcje kątowe? To możliwe, bo matematycy wciąż radzą sobie bez nich. Sztuka matematyków polega na tym, że zawsze mówią nam tylko o tych problemach, które sami wiedzą jak rozwiązać, a nigdy nie mówią o tych problemach, których nie potrafią rozwiązać. Patrzeć. Jeśli znamy wynik dodawania i jeden wyraz, używamy odejmowania, aby znaleźć drugi wyraz. Wszystko. Nie znamy innych problemów i nie wiemy, jak je rozwiązać. Co powinniśmy zrobić, jeśli znamy tylko wynik dodawania i nie znamy obu terminów? W takim przypadku wynik dodawania należy rozłożyć na dwa wyrazy za pomocą liniowych funkcji kątowych. Następnie sami wybieramy, jaki może być jeden wyraz, a liniowe funkcje kątowe pokazują, jaki powinien być drugi wyraz, aby wynik dodania był dokładnie taki, jakiego potrzebujemy. Takich par terminów może być nieskończona liczba. W Życie codzienne Możemy sobie poradzić bez rozkładania sumy, wystarczy nam odejmowanie. Ale kiedy badania naukowe prawa natury, rozbicie sumy na jej składowe może być bardzo przydatne.

Inne prawo dodawania, o którym matematycy nie lubią rozmawiać (kolejna z ich sztuczek), wymaga, aby wyrazy miały te same jednostki miary. W przypadku sałatki, wody i barszczu mogą to być jednostki masy, objętości, wartości lub jednostki miary.

Rysunek przedstawia dwa poziomy różnic w matematyce. Pierwszy poziom to różnice w zakresie liczb, które są wskazane A, B, C. Tak właśnie robią matematycy. Drugi poziom to różnice w zakresie jednostek miar, które są pokazane w nawiasach kwadratowych i oznaczone literą U. To właśnie robią fizycy. Rozumiemy trzeci poziom – różnice w obszarze opisywanych obiektów. Różne obiekty mogą mieć tę samą liczbę identycznych jednostek miary. Jak ważne jest to widać na przykładzie trygonometrii barszczowej. Jeśli dodamy indeksy dolne do tego samego oznaczenia jednostek miary różnych obiektów, możemy dokładnie powiedzieć, które ilość matematyczna opisuje konkretny obiekt i to, jak zmienia się on w czasie lub pod wpływem naszych działań. List W Wodę oznaczę literą S Sałatkę oznaczę literą B- barszcz. Tak będą wyglądać liniowe funkcje kątowe barszczu.

Jeśli weźmiemy część wody i część sałatki, razem powstanie jedna porcja barszczu. Tutaj proponuję odpocząć od barszczu i przypomnieć sobie odległe dzieciństwo. Pamiętasz, jak uczono nas łączyć króliczki i kaczki? Trzeba było sprawdzić, ile będzie zwierząt. Czego nas wtedy uczono? Nauczono nas oddzielać jednostki miary od liczb i dodawać liczby. Tak, dowolną liczbę można dodać do dowolnej innej liczby. To jest bezpośrednia droga do autyzmu współczesna matematyka- robimy niezrozumiale co, niezrozumiale dlaczego i bardzo słabo rozumiemy, jak to się ma do rzeczywistości, ze względu na trzy poziomy różnicy matematycy operują tylko na jednym. Bardziej poprawne byłoby nauczenie się, jak przechodzić z jednej jednostki miary na drugą.

Króliczki, kaczki i małe zwierzęta można policzyć na kawałki. Jedna wspólna jednostka miary dla różnych obiektów pozwala nam je dodać. To jest dziecięca wersja problemu. Przyjrzyjmy się podobnemu problemowi u dorosłych. Co otrzymasz, gdy dodasz króliczki i pieniądze? Istnieją tutaj dwa możliwe rozwiązania.

Pierwsza opcja. Ustalamy wartość rynkową króliczków i doliczamy ją do dostępnej kwoty pieniędzy. Otrzymaliśmy całkowitą wartość naszego majątku w kategoriach pieniężnych.

Druga opcja. Do liczby banknotów, które posiadamy, można dodać liczbę zajączków. Ilość majątku ruchomego otrzymamy w kawałkach.

Jak widać, to samo prawo dodawania pozwala uzyskać różne wyniki. Wszystko zależy od tego, co dokładnie chcemy wiedzieć.

Wróćmy jednak do naszego barszczu. Teraz możemy zobaczyć, co się stanie, kiedy różne znaczenia kąt liniowych funkcji kątowych.

Kąt wynosi zero. Mamy sałatkę, ale bez wody. Nie możemy ugotować barszczu. Ilość barszczu również wynosi zero. Nie oznacza to wcale, że barszcz zerowy równa się zerowej wodzie. Może być barszcz zero z sałatką zero (kąt prosty).


Dla mnie osobiście jest to główny matematyczny dowód na to, że . Zero nie zmienia liczby po dodaniu. Dzieje się tak, ponieważ samo dodanie jest niemożliwe, jeśli jest tylko jeden wyraz i brakuje drugiego członu. Możesz się z tym czuć, jak chcesz, ale pamiętaj - wszystkie operacje matematyczne na zera zostały wymyślone przez samych matematyków, więc odrzuć swoją logikę i głupio wpychaj wymyślone przez matematyków definicje: „dzielenie przez zero jest niemożliwe”, „każda liczba pomnożona przez zero równa się zero”, „poza punktem przebicia zero” i inne bzdury. Wystarczy raz przypomnieć sobie, że zero nie jest liczbą i już nigdy nie będziesz miał pytania, czy zero jest liczbą naturalną, czy nie, bo takie pytanie traci wszelki sens: jak coś, co nie jest liczbą, można uważać za liczbę ? To jakby zapytać, do jakiego koloru należy zaliczyć kolor niewidzialny. Dodanie zera do liczby jest równoznaczne z malowaniem farbą, której nie ma. Pomachaliśmy suchym pędzlem i powiedzieliśmy wszystkim, że „malowaliśmy”. Ale trochę odpuszczę.

Kąt jest większy od zera, ale mniejszy niż czterdzieści pięć stopni. Mamy dużo sałaty, ale za mało wody. W rezultacie otrzymamy gęsty barszcz.

Kąt wynosi czterdzieści pięć stopni. Mamy równe ilości wody i sałatki. To barszcz idealny (wybaczcie szefowie kuchni, to tylko matematyka).

Kąt jest większy niż czterdzieści pięć stopni, ale mniejszy niż dziewięćdziesiąt stopni. Mamy dużo wody i mało sałatki. Otrzymasz płynny barszcz.

Prosty kąt. Mamy wodę. Z sałatki pozostały tylko wspomnienia, gdy nadal mierzymy kąt od linii, która kiedyś wyznaczała sałatkę. Nie możemy ugotować barszczu. Ilość barszczu wynosi zero. W takim przypadku trzymaj się i pij wodę, póki ją masz)))

Tutaj. Coś takiego. Mogę opowiedzieć tutaj inne historie, które byłyby tutaj więcej niż odpowiednie.

Dwóch przyjaciół miało udziały we wspólnym biznesie. Po zabiciu jednego z nich wszystko przeszło na drugiego.

Pojawienie się matematyki na naszej planecie.

Wszystkie te historie są opowiedziane językiem matematyki za pomocą liniowych funkcji kątowych. Kiedy indziej pokażę Wam rzeczywiste miejsce tych funkcji w strukturze matematyki. W międzyczasie wróćmy do trygonometrii barszczowej i rozważmy rzuty.

Sobota, 26 października 2019 r

Obejrzałem ciekawy film dot Seria Grundy’ego Jeden minus jeden plus jeden minus jeden – Numberphile. Matematycy kłamią. W uzasadnieniu nie sprawdzili równości.

To odzwierciedla moje przemyślenia na temat .

Przyjrzyjmy się bliżej oznakom, że matematycy nas oszukują. Matematycy już na samym początku argumentacji mówią, że suma ciągu ZALEŻY od tego, czy ma on parzystą liczbę elementów, czy nie. Jest to FAKT OBIEKTYWNIE USTANOWIONY. Co się potem dzieje?

Następnie matematycy odejmują ciąg od jedności. Do czego to prowadzi? Prowadzi to do zmiany liczby elementów ciągu – liczba parzysta zmienia się na nieparzystą, a nieparzysta na parzystą. W końcu dodaliśmy do sekwencji jeden element równy jeden. Pomimo całego zewnętrznego podobieństwa, kolejność przed transformacją nie jest równa sekwencji po transformacji. Nawet jeśli mówimy o nieskończonej sekwencji, musimy pamiętać, że demon końcowa sekwencja z nieparzystą liczbą elementów nie jest równy nieskończonemu ciągowi z parzystą liczbą elementów.

Matematycy stawiając znak równości pomiędzy dwoma ciągami o różnej liczbie elementów twierdzą, że suma ciągu NIE ZALEŻY od liczby elementów w ciągu, co przeczy OBIEKTYWNIE USTANOWIONEMU FAKTowi. Dalsze rozumowanie na temat sumy nieskończonego ciągu jest fałszywe, ponieważ opiera się na fałszywej równości.

Jeśli widzisz, że matematycy w trakcie dowodów wstawiają nawiasy, przestawiają elementy wyrażenia matematycznego, coś dodają lub usuwają, bądź bardzo ostrożny, najprawdopodobniej próbują Cię oszukać. Podobnie jak magowie kart, matematycy stosują różne manipulacje wyrażeniami, aby odwrócić twoją uwagę i ostatecznie dać fałszywy wynik. Jeśli nie możesz powtórzyć sztuczki karcianej, nie znając tajemnicy oszustwa, to w matematyce wszystko jest znacznie prostsze: nawet niczego nie podejrzewasz o oszustwo, ale powtarzanie wszystkich manipulacji za pomocą wyrażenia matematycznego pozwala przekonać innych o poprawności uzyskany wynik, tak jak wtedy, gdy cię przekonali.

Pytanie od publiczności: Czy nieskończoność (jako liczba elementów ciągu S) jest parzysta czy nieparzysta? Jak można zmienić parzystość czegoś, co nie ma parzystości?

Nieskończoność jest dla matematyków, tak jak Królestwo Niebieskie dla księży - nikt tam nigdy nie był, ale wszyscy dokładnie wiedzą, jak tam wszystko działa))) Zgadzam się, po śmierci będzie ci absolutnie obojętne, czy przeżyłeś liczbę parzystą, czy nieparzystą dni, ale... Dodając tylko jeden dzień do początku Twojego życia, otrzymamy zupełnie inną osobę: jego nazwisko, imię i patronimika są dokładnie takie same, tylko data urodzenia jest zupełnie inna - był urodził się dzień przed tobą.

Przejdźmy teraz do sedna))) Powiedzmy, że skończony ciąg, który ma parzystość, traci tę parzystość, dążąc do nieskończoności. Wtedy każdy skończony segment nieskończonej sekwencji musi stracić parzystość. Nie widzimy tego. To, że nie możemy z całą pewnością stwierdzić, czy nieskończony ciąg ma parzystą, czy nieparzystą liczbę elementów, nie oznacza, że ​​zniknęła parzystość. Parytet, jeśli istnieje, nie może zniknąć bez śladu w nieskończoność, jak w rękawie ostrego. Istnieje bardzo dobra analogia do tego przypadku.

Czy zastanawiałeś się kiedyś nad kukułką siedzącą w zegarze, w którą stronę obraca się wskazówka zegara? Dla niej strzałka obraca się odwrotny kierunek co nazywamy „zgodnie z ruchem wskazówek zegara”. Choć może to zabrzmieć paradoksalnie, kierunek obrotu zależy wyłącznie od tego, z której strony obserwujemy obrót. I tak mamy jedno koło, które się obraca. Nie możemy powiedzieć, w którym kierunku następuje obrót, ponieważ możemy go obserwować zarówno z jednej strony płaszczyzny obrotu, jak i z drugiej. Możemy jedynie zaświadczyć, że jest rotacja. Pełna analogia z parzystością ciągu nieskończonego S.

Dodajmy teraz drugie obracające się koło, którego płaszczyzna obrotu jest równoległa do płaszczyzny obrotu pierwszego obracającego się koła. Nadal nie jesteśmy pewni, w którym kierunku obracają się te koła, ale możemy z całą pewnością stwierdzić, czy oba koła obracają się w tym samym, czy w przeciwnym kierunku. Porównywanie dwóch nieskończonych ciągów S I 1-S, pokazałem za pomocą matematyki, że ciągi te mają różne parzystości i stawianie między nimi znaku równości jest błędem. Osobiście ufam matematyce, nie ufam matematykom))) Swoją drogą, aby w pełni zrozumieć geometrię przekształceń ciągów nieskończonych, konieczne jest wprowadzenie pojęcia „jednoczesność”. To trzeba będzie narysować.

środa, 7 sierpnia 2019 r

Kończąc rozmowę na temat, musimy rozważyć zbiór nieskończony. Rzecz w tym, że pojęcie „nieskończoności” oddziałuje na matematyków jak boa dusiciel na królika. Drżąca groza nieskończoności pozbawia matematyków zdrowy rozsądek. Oto przykład:

Oryginalne źródło zostało zlokalizowane. Alfa oznacza prawdziwy numer. Znak równości w powyższych wyrażeniach wskazuje, że jeśli do nieskończoności dodamy liczbę lub nieskończoność, nic się nie zmieni, a wynikiem będzie ta sama nieskończoność. Jeśli weźmiemy za przykład nieskończony zbiór liczby naturalne, wówczas rozważane przykłady można przedstawić w następujący sposób:

Aby jednoznacznie udowodnić, że mieli rację, matematycy wymyślili wiele różnych metod. Osobiście patrzę na te wszystkie metody jak szamani tańczący z tamburynami. W zasadzie wszystkie sprowadzają się do tego, że albo część pokoi jest pusta i wprowadzają się nowi goście, albo część gości jest wyrzucana na korytarz, aby zrobić miejsce dla gości (bardzo ludzkie). Swoje poglądy na temat takich decyzji wyraziłem w formularzu fantastyczna historia o Blondynce. Na czym opieram swoje rozumowanie? Przeniesienie nieskończonej liczby gości zajmuje nieskończoną ilość czasu. Po zwolnieniu pierwszego pokoju dla gościa, jeden z gości będzie zawsze przechodził korytarzem ze swojego pokoju do następnego, aż do końca czasu. Oczywiście czynnik czasu można w głupi sposób zignorować, ale będzie to ujęte w kategorii „żadne prawo nie jest pisane dla głupców”. Wszystko zależy od tego, co robimy: dopasowujemy rzeczywistość do teorii matematycznych lub odwrotnie.

Co to jest „niekończący się hotel”? Hotel nieskończony to hotel, w którym zawsze jest dowolna liczba wolnych łóżek, niezależnie od tego, ile pokoi jest zajętych. Jeśli wszystkie pokoje w niekończącym się korytarzu „dla gości” są zajęte, pojawia się kolejny niekończący się korytarz z pokojami „dla gości”. Takich korytarzy będzie nieskończona ilość. Co więcej, „nieskończony hotel” ma nieskończoną liczbę pięter w nieskończonej liczbie budynków na nieskończonej liczbie planet w nieskończonej liczbie wszechświatów stworzonych przez nieskończoną liczbę Bogów. Matematycy nie potrafią zdystansować się od banalnych problemów życia codziennego: zawsze jest tylko jeden Bóg-Allah-Budda, jest tylko jeden hotel, jest tylko jeden korytarz. Matematycy próbują więc żonglować numerami seryjnymi pokoi hotelowych, przekonując nas, że da się „wcisnąć niemożliwe”.

Zademonstruję Ci logikę mojego rozumowania na przykładzie nieskończonego zbioru liczb naturalnych. Najpierw musisz odpowiedzieć na bardzo proste pytanie: ile jest zbiorów liczb naturalnych - jeden czy wiele? Na to pytanie nie ma poprawnej odpowiedzi, ponieważ sami wymyśliliśmy liczby; liczby nie istnieją w Naturze. Tak, Natura jest świetna w liczeniu, ale do tego używa innych, nieznanych nam narzędzi matematycznych. Powiem ci, co myśli Natura innym razem. Ponieważ wymyśliliśmy liczby, sami zdecydujemy, ile jest zbiorów liczb naturalnych. Rozważmy obie opcje, jak przystało na prawdziwych naukowców.

Opcja pierwsza. „Daj nam” jeden zbiór liczb naturalnych, który spokojnie leży na półce. Bierzemy ten zestaw z półki. I tyle, nie ma już innych liczb naturalnych na półce i nie ma gdzie ich zabrać. Nie możemy dodać jednego do tego zestawu, ponieważ już go mamy. A co jeśli naprawdę chcesz? Bez problemu. Możemy wziąć jeden z już zabranego zestawu i odłożyć go na półkę. Następnie możemy wziąć jeden z półki i dodać go do tego, co nam zostało. W rezultacie ponownie otrzymamy nieskończony zbiór liczb naturalnych. Wszystkie nasze manipulacje możesz zapisać w ten sposób:

Zarejestrowałem działania w system algebraiczny notacji oraz w systemie notacji przyjętym w teorii mnogości, ze szczegółowym zestawieniem elementów zbioru. Indeks dolny wskazuje, że mamy jeden i jedyny zbiór liczb naturalnych. Okazuje się, że zbiór liczb naturalnych pozostanie niezmieniony tylko wtedy, gdy odejmiemy od niego jeden i dodamy tę samą jednostkę.

Opcja druga. Na naszej półce mamy wiele różnych nieskończonych zbiorów liczb naturalnych. Podkreślam – INNE, choć praktycznie nie do odróżnienia. Weźmy jeden z tych zestawów. Następnie bierzemy jedną z innego zbioru liczb naturalnych i dodajemy ją do już pobranego zbioru. Możemy nawet dodać dwa zbiory liczb naturalnych. Oto co otrzymujemy:

Indeksy dolne „jeden” i „dwa” wskazują, że elementy te należały do ​​różnych zestawów. Tak, jeśli dodasz jeden do nieskończonego zbioru, wynik również będzie nieskończony, ale nie będzie taki sam jak oryginalny zbiór. Jeśli do jednego zbioru nieskończonego dodasz kolejny nieskończony zbiór, wynikiem będzie nowy nieskończony zbiór składający się z elementów pierwszych dwóch zbiorów.

Zbiór liczb naturalnych służy do liczenia w taki sam sposób, w jaki linijka służy do pomiaru. Teraz wyobraź sobie, że dodałeś jeden centymetr do linijki. Będzie to inna linia, nie równa się oryginalnej.

Możesz zaakceptować lub nie zaakceptować moje rozumowanie – to Twoja prywatna sprawa. Ale jeśli pewnego dnia natkniesz się problemy matematyczne zastanów się, czy podążasz ścieżką fałszywego rozumowania, wydeptaną przez pokolenia matematyków. Przecież studiowanie matematyki przede wszystkim kształtuje w nas stabilny stereotyp myślenia, a dopiero potem zwiększa nasze zdolności umysłowe (lub odwrotnie, pozbawia nas swobodnego myślenia).

pozg.ru

Niedziela, 4 sierpnia 2019

Kończyłem postscriptum do artykułu na temat i zobaczyłem ten wspaniały tekst na Wikipedii:

Czytamy: „...bogaty podstawy teoretyczne Matematyka Babilonu nie miała charakteru holistycznego i została zredukowana do zestawu odrębnych technik, pozbawionych wspólny system i baza dowodowa.”

Wow! Jak mądrzy jesteśmy i jak dobrze dostrzegamy wady innych. Czy trudno nam spojrzeć na współczesną matematykę w tym samym kontekście? Nieco parafrazując powyższy tekst, osobiście otrzymałem co następuje:

Bogate podstawy teoretyczne współczesnej matematyki nie mają charakteru holistycznego i sprowadzają się do zestawu odrębnych działów, pozbawionych wspólnego systemu i bazy dowodowej.

Nie będę daleko szukać potwierdzenia moich słów – ma on język i konwencje odmienne od języka i symbolika wiele innych działów matematyki. Te same nazwy w różnych gałęziach matematyki mogą mieć różne znaczenia. Najbardziej oczywistym błędom współczesnej matematyki chcę poświęcić całą serię publikacji. Do zobaczenia wkrótce.

Sobota, 3 sierpnia 2019 r

Jak podzielić zbiór na podzbiory? W tym celu należy wprowadzić nową jednostkę miary występującą w niektórych elementach wybranego zestawu. Spójrzmy na przykład.

Obyśmy mieli mnóstwo A składający się z czterech osób. Zbiór ten tworzony jest na bazie „ludzi”. Elementy tego zbioru oznaczmy literą A, indeks dolny z liczbą będzie wskazywał numer seryjny każdą osobę w tym tłumie. Wprowadźmy nową jednostkę miary „płeć” i oznaczmy ją literą B. Ponieważ cechy płciowe są nieodłączne dla wszystkich ludzi, mnożymy każdy element zestawu A na podstawie płci B. Zauważ, że nasz zbiór „ludzi” stał się teraz zbiorem „ludzi o cechach płciowych”. Następnie możemy podzielić cechy płciowe na męskie bm i damskie bw cechy płciowe. Teraz możemy zastosować filtr matematyczny: wybieramy jedną z tych cech płciowych, nieważne która – męską czy żeńską. Jeśli dana osoba go ma, to mnożymy go przez jeden, jeśli nie ma takiego znaku, mnożymy go przez zero. A potem używamy zwykłej matematyki szkolnej. Zobacz, co się stało.

Po mnożeniu, redukcji i przegrupowaniu otrzymaliśmy dwa podzbiory: podzbiór mężczyzn Bm i podzbiór kobiet Bw. Matematycy rozumują mniej więcej w ten sam sposób, stosując teorię mnogości w praktyce. Ale nie mówią nam szczegółów, ale dają nam ostateczny wynik – „wiele ludzi składa się z podzbioru mężczyzn i podzbioru kobiet”. Naturalnie może pojawić się pytanie: jak poprawnie zastosowano matematykę w opisanych powyżej przekształceniach? Odważę się zapewnić, że w zasadzie wszystko zostało zrobione poprawnie, wystarczy znać matematyczne podstawy arytmetyki, algebry Boole'a i innych działów matematyki. Co to jest? Kiedy indziej o tym opowiem.

Jeśli chodzi o nadzbiory, możesz połączyć dwa zbiory w jeden nadzbiór, wybierając jednostkę miary występującą w elementach tych dwóch zbiorów.

Jak widać, jednostki miary i zwykła matematyka sprawiają, że teoria mnogości jest reliktem przeszłości. Oznaką tego, że z teorią mnogości nie jest dobrze, jest to, że teorię mnogości wymyślili matematycy własny język i własne notatki. Matematycy postępowali jak kiedyś szamani. Tylko szamani wiedzą, jak „poprawnie” zastosować swoją „wiedzę”. Uczą nas tej „wiedzy”.

Na zakończenie chcę pokazać, jak manipulują matematycy
Załóżmy, że Achilles biegnie dziesięć razy szybciej niż żółw i jest o tysiąc kroków za nim. W czasie, jaki potrzebuje Achilles na pokonanie tej odległości, żółw wykona sto kroków w tym samym kierunku. Kiedy Achilles przebiegnie sto kroków, żółw czołga się przez kolejne dziesięć kroków i tak dalej. Proces ten będzie trwał w nieskończoność, Achilles nigdy nie dogoni żółwia.

To rozumowanie stało się logicznym szokiem dla wszystkich kolejnych pokoleń. Arystoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Wszyscy oni w ten czy inny sposób rozważali aporię Zenona. Wstrząs był tak silny, że „ ... dyskusje trwają do dziś, w środowisku naukowym nie udało się jeszcze dojść do wspólnej opinii co do istoty paradoksów ... w badaniu tego zagadnienia zaangażowano analizę matematyczną, teorię mnogości, nowe podejścia fizyczne i filozoficzne ; żaden z nich nie stał się ogólnie przyjętym rozwiązaniem problemu...„[Wikipedia, „Aporia Zenona”. Każdy rozumie, że daje się oszukać, ale nikt nie rozumie, na czym to oszustwo polega.

Z matematycznego punktu widzenia Zenon w swoich aporiach wyraźnie pokazał przejście od ilości do. To przejście oznacza zastosowanie, a nie trwałe. O ile rozumiem, aparat matematyczny do stosowania zmiennych jednostek miary albo nie został jeszcze opracowany, albo nie został zastosowany do aporii Zenona. Stosowanie naszej zwykłej logiki prowadzi nas w pułapkę. My, ze względu na bezwładność myślenia, do wartości odwrotności stosujemy stałe jednostki czasu. Z fizycznego punktu widzenia wygląda to na spowolnienie czasu, aż do całkowitego zatrzymania się w momencie, gdy Achilles dogoni żółwia. Jeśli czas się zatrzyma, Achilles nie będzie już w stanie przegonić żółwia.

Jeśli odwrócimy naszą zwykłą logikę, wszystko ułoży się na swoim miejscu. Achilles biegnie z stała prędkość. Każdy kolejny odcinek jego ścieżki jest dziesięć razy krótszy od poprzedniego. W związku z tym czas poświęcony na jego pokonanie jest dziesięć razy krótszy niż poprzedni. Jeśli zastosujemy w tej sytuacji koncepcję „nieskończoności”, wówczas słuszne będzie stwierdzenie: „Achilles nieskończenie szybko dogoni żółwia”.

Jak uniknąć tej logicznej pułapki? Pozostań w stałych jednostkach czasu i nie przełączaj się na jednostki odwrotne. W języku Zenona wygląda to tak:

W czasie, jaki zajmie Achillesowi przebiegnięcie tysiąca kroków, żółw wykona sto kroków w tym samym kierunku. W następnym odstępie czasowym, równym pierwszemu, Achilles przebiegnie kolejne tysiąc kroków, a żółw przeczołga się sto kroków. Teraz Achilles jest osiemset kroków przed żółwiem.

Podejście to adekwatnie opisuje rzeczywistość, bez żadnych logicznych paradoksów. Ale to nie jest pełne rozwiązanie problemu. Stwierdzenie Einsteina o nieodpartej prędkości światła jest bardzo podobne do aporii Zenona „Achilles i żółw”. Musimy jeszcze przestudiować, przemyśleć i rozwiązać ten problem. A rozwiązania nie należy szukać w nieskończoność duże liczby, ale w jednostkach miary.

Kolejna interesująca aporia Zenona opowiada o lecącej strzałce:

Lecąca strzała jest nieruchoma, ponieważ w każdej chwili jest w spoczynku, a ponieważ jest w spoczynku w każdej chwili, jest zawsze w spoczynku.

W tej aporii paradoks logiczny zostaje przezwyciężony w bardzo prosty sposób - wystarczy wyjaśnić, że w każdym momencie lecąca strzała znajduje się w spoczynku w różnych punktach przestrzeni, co w rzeczywistości jest ruchem. Należy tutaj zwrócić uwagę na jeszcze jedną kwestię. Na podstawie jednego zdjęcia samochodu na drodze nie da się określić ani faktu jego ruchu, ani odległości do niego. Aby ustalić, czy samochód się porusza, potrzebne są dwa zdjęcia wykonane z tego samego punktu różne momenty czasu, ale nie można na ich podstawie określić odległości. Aby określić odległość do samochodu, potrzebujesz dwóch zdjęć zrobionych z różnych punktów przestrzeni w tym samym momencie, ale na ich podstawie nie można określić faktu ruchu (oczywiście nadal potrzebujesz dodatkowych danych do obliczeń, trygonometria ci pomoże ). To na co chcę zwrócić szczególną uwagę to fakt, że dwa punkty w czasie i dwa punkty w przestrzeni to różne rzeczy, których nie należy mylić, gdyż dają odmienne możliwości badawcze.
Pokażę ci ten proces na przykładzie. Wybieramy „czerwoną bryłę w pryszczu” - to jest nasza „całość”. Jednocześnie widzimy, że te rzeczy są z łukiem i są bez łuku. Następnie wybieramy część „całości” i tworzymy zestaw „z kokardką”. W ten sposób szamani zdobywają pożywienie, łącząc swoją teorię mnogości z rzeczywistością.

Teraz zróbmy małą sztuczkę. Weźmy „bryłę z pryszczem z kokardą” i połączmy te „całości” według koloru, zaznaczając elementy czerwone. Mamy dużo „czerwonego”. Teraz ostatnie pytanie: czy powstałe zestawy „z kokardką” i „czerwonym” to ten sam zestaw, czy dwa różne zestawy? Tylko szamani znają odpowiedź. Dokładniej, oni sami nic nie wiedzą, ale jak mówią, tak będzie.

Ten prosty przykład pokazuje, że teoria mnogości jest całkowicie bezużyteczna, jeśli chodzi o rzeczywistość. Jaki jest sekret? Uformowaliśmy komplet „czerwonej bryły z pryszczem i kokardką”. Formacja odbywała się w czterech różnych jednostkach miary: kolor (czerwony), wytrzymałość (solidny), szorstkość (pryszcz), dekoracja (z kokardką). Tylko zbiór jednostek miary pozwala nam adekwatnie opisać obiekty rzeczywiste w języku matematyki. Tak to wygląda.

Litera „a” z różnymi indeksami oznacza różne jednostki miary. W nawiasach zaznaczono jednostki miary, według których na etapie wstępnym wyróżnia się „całość”. Jednostka miary, według której tworzony jest zestaw, jest wyjmowana z nawiasów. Ostatnia linia pokazuje wynik końcowy - element zestawu. Jak widać, jeśli do utworzenia zbioru użyjemy jednostek miary, to wynik nie zależy od kolejności naszych działań. I to jest matematyka, a nie taniec szamanów z tamburynami. Szamani mogą „intuicyjnie” dojść do tego samego wniosku, twierdząc, że jest to „oczywiste”, ponieważ jednostki miary nie są częścią ich „naukowego” arsenału.

Stosując jednostki miary, bardzo łatwo jest podzielić jeden zbiór lub połączyć kilka zbiorów w jeden nadzbiór. Przyjrzyjmy się bliżej algebrze tego procesu.

Można go znaleźć, znając podstawę i wysokość. Cała prostota diagramu polega na tym, że wysokość dzieli podstawę a na dwie części a 1 i 2, a sam trójkąt na dwa trójkąty prostokątne, których pole wynosi i. Następnie pole całego trójkąta będzie sumą dwóch wskazanych obszarów, a jeśli wyjmiemy jedną sekundę wysokości z nawiasu, to w sumie otrzymamy z powrotem podstawę:

Trudniejszą metodą obliczeń jest wzór Herona, do którego trzeba znać wszystkie trzy strony. W przypadku tego wzoru należy najpierw obliczyć półobwód trójkąta: Sam wzór Herona implikuje pierwiastek kwadratowy z półobwodu pomnożony kolejno przez różnicę po obu stronach.

Poniższa metoda, istotna również dla każdego trójkąta, pozwala znaleźć obszar trójkąta przez dwa boki i kąt między nimi. Dowodem na to jest wzór na wysokość - na dowolnym ze znanych boków rysujemy wysokość i poprzez sinus kąta α otrzymujemy, że h=a⋅sinα. Aby obliczyć pole, pomnóż połowę wysokości przez drugi bok.

Innym sposobem jest znalezienie pola trójkąta, znając 2 kąty i bok między nimi. Dowód tej formuły jest dość prosty i można go wyraźnie zobaczyć na diagramie.

Obniżamy wysokość od wierzchołka trzeciego kąta do znanej strony i odpowiednio nazywamy powstałe segmenty x. Z trójkąty prostokątne jasne jest, że pierwszy odcinek x jest równy iloczynowi

Twierdzenie o polu trójkąta

Twierdzenie 1

Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu dwóch boków i sinusa kąta między tymi bokami.

Dowód.

Dany nam będzie dowolny trójkąt $ABC$. Oznaczmy długości boków tego trójkąta jako $BC=a$, $AC=b$. Wprowadźmy kartezjański układ współrzędnych tak, aby punkt $C=(0,0)$, punkt $B$ leżał na prawej półosi $Ox$, a punkt $A$ leżał w pierwszej ćwiartce współrzędnych. Narysujmy wysokość $h$ z punktu $A$ (ryc. 1).

Rysunek 1. Ilustracja twierdzenia 1

Wysokość $h$ jest zatem równa rzędnej punktu $A$

Twierdzenie o sinusach

Twierdzenie 2

Boki trójkąta są proporcjonalne do sinusów przeciwległych kątów.

Dowód.

Dany nam będzie dowolny trójkąt $ABC$. Oznaczmy długości boków tego trójkąta jako $BC=a$, $AC=b,$ $AC=c$ (ryc. 2).

Rysunek 2.

Udowodnijmy to

Na mocy twierdzenia 1 mamy

Porównując je w parach, otrzymujemy to

Twierdzenie cosinus

Twierdzenie 3

Kwadrat boku trójkąta jest równy sumie kwadratów dwóch pozostałych boków trójkąta, bez dwukrotnego iloczynu tych boków przez cosinus kąta między tymi bokami.

Dowód.

Dany nam będzie dowolny trójkąt $ABC$. Oznaczmy długości jego boków jako $BC=a$, $AC=b,$ $AB=c$. Wprowadźmy kartezjański układ współrzędnych w taki sposób, że punkt $A=(0,0)$, punkt $B$ leży na dodatniej półosi $Ox$, a punkt $C$ leży w pierwszej ćwiartce współrzędnych (rys. 3).

Rysunek 3.

Udowodnijmy to

W tym układzie współrzędnych otrzymujemy to

Znajdź długość boku $BC$ korzystając ze wzoru na odległość pomiędzy punktami

Przykład problemu z wykorzystaniem tych twierdzeń

Przykład 1

Udowodnij, że średnica okręgu opisanego na dowolnym trójkącie jest równa stosunkowi dowolnego boku trójkąta do sinusa kąta leżącego naprzeciw tego boku.

Rozwiązanie.

Dany nam będzie dowolny trójkąt $ABC$. $R$ jest promieniem opisanego okręgu. Narysujmy średnicę $BD$ (ryc. 4).