Jak określić oczekiwanie na mat. Podstawy teorii prawdopodobieństwa. Matematyczne oczekiwanie wartości. Zależność od liczby eksperymentów

Oprócz praw dystrybucji można również opisać zmienne losowe charakterystyki numeryczne .

Oczekiwanie matematyczne M(x) zmienna losowa nazywa się jego wartość średnią.

Matematyczne oczekiwanie dyskretnej zmiennej losowej oblicza się za pomocą wzoru

Gdzie – wartości zmiennych losowych, s. 23 I- ich prawdopodobieństwa.

Rozważmy właściwości oczekiwań matematycznych:

1. Matematyczne oczekiwanie na stałą jest równe samej stałej

2. Jeżeli zmienną losową pomnożymy przez pewną liczbę k, wówczas oczekiwanie matematyczne zostanie pomnożone przez tę samą liczbę

M (kx) = kM (x)

3. Oczekiwanie matematyczne sumy zmiennych losowych jest równe sumie ich oczekiwań matematycznych

M (x 1 + x 2 + … + x n) = M (x 1) + M (x 2) +…+ M (x n)

4. M (x 1 - x 2) = M (x 1) - M (x 2)

5. Dla niezależnych zmiennych losowych x 1, x 2, … x n, matematyczne oczekiwanie iloczynu jest równe iloczynowi ich matematycznych oczekiwań

M (x 1, x 2, ... x n) = M (x 1) M (x 2) ... M (x n)

6. M (x - M (x)) = M (x) - M (M (x)) = M (x) - M (x) = 0

Obliczmy oczekiwanie matematyczne dla zmiennej losowej z Przykładu 11.

M(x) = = .

Przykład 12. Niech zmienne losowe x 1, x 2 zostaną odpowiednio określone przez prawa rozkładu:

x 1 Tabela 2

x 2 Tabela 3

Obliczmy M (x 1) i M (x 2)

M (x 1) = (- 0,1) 0,1 + (- 0,01) 0,2 + 0 0,4 + 0,01 0,2 + 0,1 0,1 = 0

M (x 2) = (- 20) 0,3 + (- 10) 0,1 + 0 0,2 + 10 0,1 + 20 0,3 = 0

Oczekiwania matematyczne obu zmiennych losowych są takie same – są równe zeru. Różny jest jednak charakter ich dystrybucji. Jeśli wartości x 1 niewiele różnią się od ich matematycznych oczekiwań, to wartości x 2 różnią się w dużym stopniu od ich matematycznych oczekiwań, a prawdopodobieństwa takich odchyleń nie są małe. Przykłady te pokazują, że na podstawie wartości średniej nie da się określić, jakie odchylenia od niej występują, zarówno mniejsze, jak i większe. Zatem przy tych samych średnich rocznych opadach na dwóch obszarach nie można powiedzieć, że obszary te są równie korzystne dla prac rolniczych. Podobnie na podstawie wskaźnika przeciętnego wynagrodzenia nie można ocenić udziału pracowników wysoko i nisko opłacanych. Dlatego wprowadzono charakterystykę numeryczną - dyspersja D(x) , który charakteryzuje stopień odchylenia zmiennej losowej od jej wartości średniej:

re (x) = M (x - M (x)) 2 . (2)

Dyspersja to matematyczne oczekiwanie kwadratu odchylenia zmiennej losowej od oczekiwań matematycznych. Dla dyskretnej zmiennej losowej wariancję oblicza się ze wzoru:

D(x)= = (3)

Z definicji dyspersji wynika, że D (x) 0.

Właściwości dyspersji:

1. Wariancja stałej wynosi zero

2. Jeżeli zmienną losową pomnożymy przez pewną liczbę k, to wariancja zostanie pomnożona przez kwadrat tej liczby

D (kx) = k 2 D (x)

3. D (x) = M (x 2) – M 2 (x)

4. Dla parami niezależnych zmiennych losowych x 1 , x 2 , … x n wariancja sumy jest równa sumie wariancji.

re (x 1 + x 2 + … + x n) = re (x 1) + re (x 2) +…+ re (x n)

Obliczmy wariancję dla zmiennej losowej z Przykładu 11.

Oczekiwanie matematyczne M (x) = 1. Zatem zgodnie ze wzorem (3) mamy:

re (x) = (0 – 1) 2 1/4 + (1 – 1) 2 1/2 + (2 – 1) 2 1/4 =1 1/4 +1 1/4= 1/2

Pamiętaj, że łatwiej jest obliczyć wariancję, jeśli użyjesz właściwości 3:

D (x) = M (x 2) – M 2 (x).

Obliczmy wariancje dla zmiennych losowych x 1 , x 2 z Przykładu 12, korzystając z tego wzoru. Oczekiwania matematyczne obu zmiennych losowych wynoszą zero.

D (x 1) = 0,01 0,1 + 0,0001 0,2 + 0,0001 0,2 + 0,01 0,1 = 0,001 + 0,00002 + 0,00002 + 0,001 = 0,00204

D (x 2) = (-20) 2 0,3 + (-10) 2 0,1 + 10 2 0,1 + 20 2 0,3 = 240 +20 = 260

Im wartość wariancji jest bliższa zeru, tym mniejszy jest rozrzut zmiennej losowej w stosunku do wartości średniej.

Ilość nazywa się odchylenie standardowe. Tryb zmiennej losowej X dyskretny typ Md Nazywa się wartość zmiennej losowej, która ma największe prawdopodobieństwo.

Tryb zmiennej losowej X typ ciągły Md, jest liczbą rzeczywistą zdefiniowaną jako punkt maksimum gęstości rozkładu prawdopodobieństwa f(x).

Mediana zmiennej losowej X typ ciągły Mn jest liczbą rzeczywistą spełniającą równanie

Pojęcie oczekiwań matematycznych można rozważyć na przykładzie rzutu kostką. Przy każdym rzucie rejestrowane są utracone punkty. Aby je wyrazić, stosuje się wartości naturalne z zakresu 1 – 6.

Po określonej liczbie rzutów, korzystając z prostych obliczeń, można znaleźć średnią wartość arytmetyczna utracone punkty.

Podobnie jak wystąpienie dowolnej wartości z zakresu, tak i ta wartość będzie losowa.

A co jeśli kilkukrotnie zwiększysz liczbę rzutów? Przy dużej liczbie rzutów średnia arytmetyczna punktów będzie zbliżać się do określonej liczby, co w teorii prawdopodobieństwa nazywa się oczekiwaniem matematycznym.

Zatem przez oczekiwanie matematyczne rozumiemy średnią wartość zmiennej losowej. Wskaźnik ten można również przedstawić jako sumę ważoną wartości prawdopodobnych.

Pojęcie to ma kilka synonimów:

Średnia wartość;
Średnia wartość;
wskaźnik tendencji centralnej;
pierwsza chwila.

Inaczej mówiąc, jest to nic innego jak liczba, wokół której rozłożone są wartości zmiennej losowej.

W różne pola ludzka aktywność podejścia do zrozumienia oczekiwań matematycznych będą nieco inne.

Można to uznać za:

średnia korzyść uzyskana z podjęcia decyzji, gdy taką decyzję rozważa się z punktu widzenia teorii wielkich liczb;
możliwa wysokość wygranej lub przegranej (teoria hazardu), obliczona średnio dla każdego zakładu. W slangu brzmią jak „przewaga gracza” (pozytywna dla gracza) lub „przewaga kasyna” (negatywna dla gracza);
procent zysku uzyskanego z wygranych.

Oczekiwanie nie jest obowiązkowe dla absolutnie wszystkich zmiennych losowych. Jest nieobecny dla tych, którzy mają rozbieżność w odpowiedniej sumie lub całce.

Właściwości oczekiwań matematycznych

Jak każdy parametr statystyczny, oczekiwanie matematyczne ma następujące właściwości:

Podstawowe wzory na oczekiwania matematyczne

Obliczenia oczekiwania matematycznego można dokonać zarówno dla zmiennych losowych charakteryzujących się zarówno ciągłością (wzór A), jak i dyskretnością (wzór B):

M(X)=∑i=1nxi⋅pi, gdzie xi to wartości zmiennej losowej, pi to prawdopodobieństwa:
M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, gdzie f(x) to podana gęstość prawdopodobieństwa.

Przykłady obliczania oczekiwań matematycznych

Przykład A.

Czy można poznać średni wzrost krasnoludków w bajce o Królewnie Śnieżce? Wiadomo, że każdy z 7 krasnoludków miał określony wzrost: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 i 0,81 m.

Algorytm obliczeń jest dość prosty:

znajdujemy sumę wszystkich wartości wskaźnika wzrostu (zmienna losowa):
1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
Otrzymaną kwotę podziel przez liczbę krasnali:
6,31:7=0,90.

Zatem średnia wysokość krasnali w bajce wynosi 90 cm, innymi słowy jest to matematyczne oczekiwanie wzrostu krasnali.

Działająca formuła— M(x)=4 0,2+6 0,3+10 0,5=6

Praktyczna realizacja oczekiwań matematycznych

Obliczanie statystycznego wskaźnika oczekiwań matematycznych stosuje się w różnych obszarach działalności praktycznej. Przede wszystkim mówimy o sferze komercyjnej. Przecież wprowadzenie tego wskaźnika przez Huygensa wiąże się z określeniem szans, które mogą być korzystne lub przeciwnie, niekorzystne dla jakiegoś zdarzenia.

Parametr ten jest szeroko stosowany do oceny ryzyka, szczególnie w przypadku inwestycji finansowych.
Zatem w biznesie kalkulacja oczekiwań matematycznych służy jako metoda oceny ryzyka przy obliczaniu cen.

Wskaźnik ten można również wykorzystać do obliczenia skuteczności niektórych działań, na przykład ochrony pracy. Dzięki niemu możesz obliczyć prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia.

Kolejnym obszarem zastosowania tego parametru jest zarządzanie. Można go również obliczyć podczas kontroli jakości produktu. Na przykład za pomocą maty. oczekiwań, możesz obliczyć możliwą liczbę wyprodukowanych wadliwych części.

Oczekiwanie matematyczne okazuje się niezastąpione również przy przeprowadzaniu statystycznego przetwarzania wyników uzyskanych podczas badania naukowe wyniki. Pozwala obliczyć prawdopodobieństwo pożądanego lub niepożądanego wyniku eksperymentu lub badania w zależności od poziomu osiągnięcia celu. W końcu jego osiągnięcie może wiązać się z zyskiem i korzyścią, a jego niepowodzenie może wiązać się ze stratą lub stratą.

Korzystanie z oczekiwań matematycznych na rynku Forex

Praktyczne użycie ten parametr statystyczny jest możliwy przy prowadzeniu operacji na rynku walutowym. Za jego pomocą możesz analizować powodzenie transakcji handlowych. Co więcej, wzrost wartości oczekiwań wskazuje na wzrost ich sukcesu.

Należy również pamiętać, że oczekiwań matematycznych nie należy uważać za jedyny parametr statystyczny używany do analizy wyników tradera. Zastosowanie kilku parametrów statystycznych wraz z wartością średnią znacznie zwiększa dokładność analizy.

Parametr ten sprawdził się dobrze w obserwacjach monitorowania kont handlowych. Dzięki niemu przeprowadzana jest szybka ocena prac prowadzonych na rachunku depozytowym. W przypadkach, gdy działalność tradera przebiega pomyślnie i unika on strat, nie zaleca się stosowania wyłącznie obliczeń oczekiwań matematycznych. W takich przypadkach ryzyko nie jest brane pod uwagę, co zmniejsza skuteczność analizy.

Przeprowadzone badania taktyki traderów wskazują, że:

Najskuteczniejsze taktyki to te oparte na losowym wejściu;
Najmniej skuteczne są taktyki oparte na danych wejściowych.

W osiąganiu pozytywnych wyników nie mniej ważne są:

taktyki zarządzania pieniędzmi;
strategie wyjścia.

Używając takiego wskaźnika jak oczekiwanie matematyczne, możesz przewidzieć, jaki będzie zysk lub strata, inwestując 1 dolara. Wiadomo, że wskaźnik ten, liczony dla wszystkich gier uprawianych w kasynie, przemawia na korzyść establishmentu. To właśnie pozwala zarabiać pieniądze. W przypadku długich serii gier prawdopodobieństwo, że klient straci pieniądze, znacznie wzrasta.

Gry rozgrywane przez profesjonalnych graczy ograniczają się do krótkich okresów czasu, co zwiększa prawdopodobieństwo wygranej i zmniejsza ryzyko przegranej. Tę samą prawidłowość można zaobserwować przy prowadzeniu działalności inwestycyjnej.

Inwestor może zarobić znaczną kwotę, mając pozytywne oczekiwania i dokonując dużej liczby transakcji w krótkim czasie.

Oczekiwanie można traktować jako różnicę między procentem zysku (PW) pomnożonym przez średni zysk (AW) a prawdopodobieństwem straty (PL) pomnożonym przez średnią stratę (AL).

Jako przykład możemy rozważyć: pozycja – 12,5 tys. dolarów, portfel – 100 tys. dolarów, ryzyko depozytu – 1%. Rentowność transakcji wynosi 40% przypadków przy średnim zysku 20%. W przypadku straty średnia strata wynosi 5%. Obliczenie matematycznego oczekiwania dla transakcji daje wartość 625 dolarów.

Charakterystyka DSV i ich właściwości. Oczekiwanie, wariancja, odchylenie standardowe

Prawo dystrybucji w pełni charakteryzuje zmienną losową. Jeżeli jednak znalezienie prawa rozkładu nie jest możliwe lub nie jest to wymagane, można ograniczyć się do znalezienia wartości zwanych charakterystykami liczbowymi zmiennej losowej. Wartości te wyznaczają jakąś wartość średnią, wokół której grupowane są wartości zmiennej losowej oraz stopień ich rozproszenia wokół tej wartości średniej.

Oczekiwanie matematyczne Dyskretna zmienna losowa to suma iloczynów wszystkich możliwych wartości zmiennej losowej i ich prawdopodobieństw.

Oczekiwanie matematyczne istnieje, jeśli szereg po prawej stronie równości jest zbieżny bezwzględnie.

Z punktu widzenia prawdopodobieństwa możemy powiedzieć, że oczekiwanie matematyczne jest w przybliżeniu równe średniej arytmetycznej obserwowanych wartości zmiennej losowej.

Przykład. Znane jest prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej. Znajdź oczekiwanie matematyczne.

X
P	0.2	0.3	0.1	0.4

Rozwiązanie:

9.2 Właściwości oczekiwań matematycznych

1. Matematyczne oczekiwanie na stałą wartość jest równe samej stałej.

2. Stały współczynnik można przyjąć jako znak oczekiwania matematycznego.

3. Oczekiwanie matematyczne iloczynu dwóch niezależnych zmiennych losowych jest równe iloczynowi ich oczekiwań matematycznych.

Ta właściwość jest prawdziwa dla dowolnej liczby zmiennych losowych.

4. Oczekiwanie matematyczne sumy dwóch zmiennych losowych jest równe sumie oczekiwań matematycznych wyrazów.

Właściwość ta jest również prawdziwa dla dowolnej liczby zmiennych losowych.

Przeprowadźmy n niezależnych prób, a prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A będzie równe p.

Twierdzenie. Oczekiwanie matematyczne M(X) liczby wystąpień zdarzenia A w n niezależnych próbach jest równe iloczynowi liczby prób i prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia w każdej próbie.

Przykład. Znajdź matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej Z, jeśli znane są matematyczne oczekiwania X i Y: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.

Rozwiązanie:

9.3 Rozproszenie dyskretnej zmiennej losowej

Jednak oczekiwanie matematyczne nie może w pełni scharakteryzować procesu losowego. Oprócz oczekiwania matematycznego należy wprowadzić wartość charakteryzującą odchylenie wartości zmiennej losowej od oczekiwania matematycznego.

Odchylenie to jest równe różnicy między zmienną losową a jej oczekiwaniem matematycznym. W tym przypadku matematyczne oczekiwanie odchylenia wynosi zero. Wyjaśnia to fakt, że niektóre możliwe odchylenia są dodatnie, inne ujemne, a w wyniku ich wzajemnego zniesienia uzyskuje się zero.

Dyspersja (rozpraszanie) dyskretnej zmiennej losowej jest oczekiwaniem matematycznym kwadratu odchylenia zmiennej losowej od jej oczekiwań matematycznych.

W praktyce ta metoda obliczania wariancji jest niewygodna, ponieważ prowadzi do uciążliwych obliczeń dla dużej liczby wartości zmiennych losowych.

Dlatego stosuje się inną metodę.

Twierdzenie. Wariancja jest równa różnicy między matematycznym oczekiwaniem kwadratu zmiennej losowej X a kwadratem jej matematycznego oczekiwania.

Dowód. Biorąc pod uwagę fakt, że oczekiwanie matematyczne M(X) i kwadrat oczekiwania matematycznego M2(X) są wielkościami stałymi, możemy napisać:

Przykład. Znajdź wariancję dyskretnej zmiennej losowej określonej przez prawo dystrybucji.

X
X2
R	0.2	0.3	0.1	0.4

Rozwiązanie: .

9.4 Właściwości dyspersyjne

1. Wariancja stałej wartości wynosi zero. .

2. Stały współczynnik można usunąć ze znaku dyspersji podnosząc go do kwadratu. .

3. Wariancja sumy dwóch niezależnych zmiennych losowych jest równa sumie wariancji tych zmiennych. .

4. Wariancja różnicy między dwiema niezależnymi zmiennymi losowymi jest równa sumie wariancji tych zmiennych. .

Twierdzenie. Wariancja liczby wystąpień zdarzenia A w n niezależnych próbach, w których każde prawdopodobieństwo p zajścia zdarzenia jest stałe, jest równa iloczynowi liczby prób przez prawdopodobieństwa wystąpienia i nie- wystąpienie zdarzenia w każdej próbie.

9.5 Odchylenie standardowe dyskretnej zmiennej losowej

Odchylenie standardowe zmienna losowa X nazywana jest pierwiastkiem kwadratowym wariancji.

Twierdzenie. Odchylenie standardowe sumy skończoną liczbą wzajemnie niezależne zmienne losowe są równe pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów odchyleń standardowych tych wielkości.

Oczekiwanie matematyczne jest definicją

Czekanie na mata jest jedno z najważniejszych pojęć w statystyka matematyczna i teoria prawdopodobieństwa, charakteryzująca rozkład wartości lub prawdopodobieństwa zmienna losowa. Zazwyczaj wyrażana jako średnia ważona wszystkich możliwych parametrów zmiennej losowej. Szeroko stosowane w analizie technicznej, badaniu szeregów liczbowych oraz badaniu procesów ciągłych i czasochłonnych. Jest ważny przy ocenie ryzyka, przewidywaniu wskaźników cen podczas handlu na rynkach finansowych oraz jest wykorzystywany przy opracowywaniu strategii i metod taktyki gier w teorie hazardu.

Mat czeka- Ten wartość średnia zmiennej losowej, rozkład prawdopodobieństwa zmienna losowa jest uwzględniana w teorii prawdopodobieństwa.

Czekanie na mata jest miara średniej wartości zmiennej losowej w teorii prawdopodobieństwa. Zamatuj oczekiwanie zmiennej losowej X oznaczony przez M(x).

Wartość oczekiwana ( Średnia populacji) - Ten

Czekanie na mata jest

Czekanie na mata jest w teorii prawdopodobieństwa średnia ważona wszystkich możliwych wartości, jakie może przyjąć zmienna losowa.

Czekanie na mata jest suma iloczynów wszystkich możliwych wartości zmiennej losowej i prawdopodobieństw tych wartości.

Oczekiwanie matematyczne (średnia populacji) wynosi

Czekanie na mata jestśrednia korzyść z danej decyzji, pod warunkiem, że taką decyzję można rozpatrywać w ramach teorii wielkich liczb i dużych odległości.

Czekanie na mata jest w teorii hazardu oznacza kwotę wygranych, jaką spekulant może zarobić lub stracić średnio w każdym zakładzie. W języku hazardu spekulanci czasami nazywa się to „zaletą” spekulant" (jeśli jest pozytywny dla spekulanta) lub "przewaga kasyna" (jeśli jest negatywna dla spekulanta).

Oczekiwanie matematyczne (średnia populacji) wynosi

Oczekiwanie to rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej

Oczekiwanie matematyczne, definicja, oczekiwanie matematyczne dyskretnych i ciągłych zmiennych losowych, próbka, oczekiwanie warunkowe, obliczenia, własności, problemy, szacowanie oczekiwań, rozproszenie, dystrybuanta, wzory, przykłady obliczeń

Rozwiń zawartość

Zwiń zawartość

Oczekiwanie matematyczne jest definicją

Jedno z najważniejszych pojęć statystyki matematycznej i teorii prawdopodobieństwa, charakteryzujące rozkład wartości lub prawdopodobieństw zmiennej losowej. Zazwyczaj wyrażana jako średnia ważona wszystkich możliwych parametrów zmiennej losowej. Szeroko stosowane w analizie technicznej, badaniu szeregów liczbowych oraz badaniu procesów ciągłych i czasochłonnych. Jest ważny w ocenie ryzyka, przewidywaniu wskaźników cen podczas handlu na rynkach finansowych i jest wykorzystywany w opracowywaniu strategii i metod taktyki gier w teorii hazardu.

Oczekiwanie matematyczne jestśrednia wartość zmiennej losowej, rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej jest rozważany w teorii prawdopodobieństwa.

Oczekiwanie matematyczne jest miara średniej wartości zmiennej losowej w teorii prawdopodobieństwa. Oczekiwanie zmiennej losowej X oznaczony przez M(x).

Oczekiwanie matematyczne jest

Oczekiwanie matematyczne jest w teorii prawdopodobieństwa średnia ważona wszystkich możliwych wartości, jakie może przyjąć zmienna losowa.

Oczekiwanie matematyczne jest suma iloczynów wszystkich możliwych wartości zmiennej losowej i prawdopodobieństw tych wartości.

Oczekiwanie matematyczne jestśrednia korzyść z danej decyzji, pod warunkiem, że taką decyzję można rozpatrywać w ramach teorii wielkich liczb i dużych odległości.

Oczekiwanie matematyczne jest w teorii hazardu oznacza średnią kwotę wygranych, jaką gracz może zarobić lub stracić w przypadku każdego zakładu. W żargonie hazardowym nazywa się to czasami „przewagą gracza” (jeśli jest pozytywna dla gracza) lub „przewagą kasyna” (jeśli jest ujemna dla gracza).

Oczekiwanie matematyczne jest procent zysku na wygraną pomnożony przez średni zysk minus prawdopodobieństwo straty pomnożone przez średnią stratę.

Matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej w teorii matematyki

Jedną z ważnych liczbowych cech zmiennej losowej jest jej oczekiwanie matematyczne. Wprowadźmy pojęcie układu zmiennych losowych. Rozważmy zbiór zmiennych losowych, które są wynikami tego samego eksperymentu losowego. Jeśli jest jedną z możliwych wartości układu, wówczas zdarzenie odpowiada pewnemu prawdopodobieństwu, które spełnia aksjomaty Kołmogorowa. Funkcja zdefiniowana dla dowolnych możliwych wartości zmiennych losowych nazywana jest prawem rozkładu łącznego. Funkcja ta umożliwia obliczenie prawdopodobieństwa dowolnych zdarzeń z. W szczególności wspólne prawo dystrybucji zmiennych losowych i, które przyjmują wartości ze zbioru i, jest dane przez prawdopodobieństwa.

Termin „oczekiwanie matematyczne” został wprowadzony przez Pierre’a Simona Marquisa de Laplace’a (1795) i wywodzi się z koncepcji „oczekiwanej wartości wygranej”, która po raz pierwszy pojawiła się w XVII wieku w teorii hazardu w dziełach Blaise’a Pascala i Christiaana. Huygensa. Pierwszego jednak pełnego teoretycznego zrozumienia i oceny tej koncepcji dokonał Pafnuty Lwowicz Czebyszew (połowa XIX w.).

Prawo rozkładu losowych zmiennych liczbowych (funkcja rozkładu i szereg dystrybucyjny lub gęstość prawdopodobieństwa) całkowicie opisuje zachowanie zmiennej losowej. Jednak w przypadku wielu problemów wystarczy znać pewne cechy liczbowe badanej wielkości (na przykład jej średnią wartość i możliwe odchylenie od niej), aby odpowiedzieć na postawione pytanie. Głównymi cechami liczbowymi zmiennych losowych są matematyczne oczekiwanie, wariancja, moda i mediana.

Matematyczne oczekiwanie dyskretnej zmiennej losowej jest sumą iloczynów jej możliwych wartości i odpowiadających im prawdopodobieństw. Czasami oczekiwanie matematyczne nazywa się średnią ważoną, ponieważ jest w przybliżeniu równe średniej arytmetycznej zaobserwowanych wartości zmiennej losowej w duża liczba eksperymenty. Z definicji oczekiwania matematycznego wynika, że jego wartość jest nie mniejsza niż najmniejsza możliwa wartość zmiennej losowej i nie większa niż największa. Matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej jest zmienną nielosową (stałą).

Oczekiwanie matematyczne ma prostą konstrukcję znaczenie fizyczne: jeśli umieścisz masę jednostkową na linii prostej, umieszczając w niektórych punktach określoną masę (dla rozkładu dyskretnego) lub „posmarowując” ją określoną gęstością (dla rozkładu absolutnie ciągłego), to punkt odpowiadający rozkładowi matematycznemu oczekiwaniem będzie współrzędna „środka ciężkości” linii prostej.

Wartość średnia zmiennej losowej to pewna liczba, która jest niejako jej „przedstawicielem” i zastępuje ją w mniej więcej przybliżonych obliczeniach. Kiedy mówimy: „średni czas pracy lampy wynosi 100 godzin” lub „średni punkt trafienia jest przesunięty względem celu o 2 m w prawo”, wskazujemy na pewną charakterystykę liczbową zmiennej losowej opisującej jej położenie na osi liczbowej, tj. „charakterystyka pozycji”.

Spośród cech pozycji w teorii prawdopodobieństwa najważniejszą rolę odgrywa matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej, które czasami nazywane jest po prostu średnią wartością zmiennej losowej.

Rozważ zmienną losową X, mający możliwe wartości x1, x2, …, xn z prawdopodobieństwami p1, p2, …, pkt. Musimy scharakteryzować jakąś liczbą położenie wartości zmiennej losowej na osi x, biorąc pod uwagę fakt, że wartości te mają różne prawdopodobieństwa. Naturalne jest w tym celu wykorzystanie tzw. „średniej ważonej” wartości xi, a każdą wartość xi podczas uśredniania należy uwzględnić z „wagą” proporcjonalną do prawdopodobieństwa tej wartości. W ten sposób obliczymy średnią zmiennej losowej X, które oznaczamy M |X|:

Ta średnia ważona nazywana jest matematycznym oczekiwaniem zmiennej losowej. Tym samym wprowadziliśmy pod uwagę jedno z najważniejszych pojęć teorii prawdopodobieństwa – pojęcie oczekiwań matematycznych. Matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej jest sumą iloczynów wszystkich możliwych wartości zmiennej losowej i prawdopodobieństw tych wartości.

X wiąże się osobliwa zależność ze średnią arytmetyczną zaobserwowanych wartości zmiennej losowej w dużej liczbie eksperymentów. Zależność ta jest tego samego typu, co zależność między częstotliwością a prawdopodobieństwem, a mianowicie: przy dużej liczbie eksperymentów średnia arytmetyczna obserwowanych wartości zmiennej losowej zbliża się (zbiega się pod względem prawdopodobieństwa) do jej oczekiwań matematycznych. Z obecności związku pomiędzy częstotliwością i prawdopodobieństwem można w konsekwencji wywnioskować istnienie podobnego związku pomiędzy średnią arytmetyczną i oczekiwaniem matematycznym. Rzeczywiście, rozważ zmienną losową X, charakteryzujący się szeregiem rozkładów:

Niech się wyprodukuje N niezależne eksperymenty, w każdym z nich wartość X przyjmuje określoną wartość. Załóżmy, że wartość x1 pojawił się m1 razy, wartość x2 pojawił się m2 czasy, ogólne znaczenie xi pojawiał się wiele razy. Obliczmy średnią arytmetyczną zaobserwowanych wartości wartości X, która w przeciwieństwie do oczekiwań matematycznych M|X| oznaczamy M*|X|:

Wraz ze wzrostem liczby eksperymentów N częstotliwości Liczba Pi zbliży się (zbiegnie pod względem prawdopodobieństwa) do odpowiednich prawdopodobieństw. W konsekwencji średnia arytmetyczna zaobserwowanych wartości zmiennej losowej M|X| wraz ze wzrostem liczby eksperymentów będzie zbliżał się (zbiegał się pod względem prawdopodobieństwa) do swoich matematycznych oczekiwań. Sformułowany powyżej związek średniej arytmetycznej z oczekiwaniem matematycznym stanowi treść jednej z form prawa wielkich liczb.

Wiemy już, że wszystkie formy prawa wielkich liczb stwierdzają, że niektóre średnie są stabilne w dużej liczbie eksperymentów. Mówimy tutaj o stabilności średniej arytmetycznej z serii obserwacji tej samej wielkości. Przy niewielkiej liczbie eksperymentów średnia arytmetyczna ich wyników jest losowa; przy wystarczającym wzroście liczby eksperymentów staje się „prawie nielosowy” i stabilizując się, zbliża się do stałej wartości - oczekiwania matematycznego.

Stabilność średnich w dużej liczbie eksperymentów można łatwo zweryfikować eksperymentalnie. Przykładowo ważąc ciało w laboratorium na wagach precyzyjnych, w wyniku ważenia za każdym razem uzyskujemy nową wartość; Aby zmniejszyć błąd obserwacji, ważymy ciało kilka razy i wykorzystujemy średnią arytmetyczną uzyskanych wartości. Łatwo zauważyć, że wraz ze wzrostem liczby doświadczeń (ważeń) średnia arytmetyczna coraz mniej reaguje na ten wzrost i przy odpowiednio dużej liczbie doświadczeń praktycznie przestaje się zmieniać.

Należy zauważyć, że najważniejsza cecha położenia zmiennej losowej – oczekiwanie matematyczne – nie istnieje dla wszystkich zmiennych losowych. Można ułożyć przykłady takich zmiennych losowych, dla których nie istnieje oczekiwanie matematyczne, ponieważ odpowiadająca im suma lub całka jest rozbieżna. Przypadki takie nie mają jednak większego znaczenia dla praktyki. Zazwyczaj zmienne losowe, z którymi mamy do czynienia, mają ograniczony zakres możliwych wartości i oczywiście mają matematyczne oczekiwanie.

Oprócz najważniejszych cech położenia zmiennej losowej – oczekiwania matematycznego – w praktyce czasami wykorzystuje się inne cechy położenia, w szczególności modę i medianę zmiennej losowej.

Modą zmiennej losowej jest jej najbardziej prawdopodobna wartość. Termin „najbardziej prawdopodobna wartość” ściśle rzecz biorąc odnosi się tylko do wielkości nieciągłych; dla wielkości ciągłej modą jest wartość, przy której gęstość prawdopodobieństwa jest maksymalna. Na rysunkach przedstawiono odpowiednio tryb nieciągłej i ciągłej zmiennej losowej.

Jeśli wielokąt rozkładu (krzywa rozkładu) ma więcej niż jedno maksimum, rozkład nazywa się „multimodalnym”.

Czasami istnieją rozkłady, które mają minimum pośrodku, a nie maksimum. Takie rozkłady nazywane są „antymodalnymi”.

W ogólnym przypadku tryb i oczekiwanie matematyczne zmiennej losowej nie pokrywają się. W szczególnym przypadku, gdy rozkład jest symetryczny i modalny (tj. ma modę) i istnieje oczekiwanie matematyczne, to pokrywa się on z modą i środkiem symetrii rozkładu.

Często wykorzystuje się inną charakterystykę pozycji – tzw. medianę zmiennej losowej. Cecha ta jest zwykle stosowana tylko dla ciągłych zmiennych losowych, chociaż można ją formalnie zdefiniować dla zmiennej nieciągłej. Z geometrycznego punktu widzenia mediana jest odciętą punktu, w którym obszar objęty krzywą rozkładu jest podzielony na pół.

W przypadku symetrycznego rozkładu modalnego mediana pokrywa się z matematycznym oczekiwaniem i modą.

Oczekiwanie matematyczne to średnia wartość zmiennej losowej – numeryczna charakterystyka rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej. Najogólniej mówiąc, matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej X(w) definiuje się jako całkę Lebesgue’a względem miary prawdopodobieństwa R w pierwotnej przestrzeni prawdopodobieństwa:

Oczekiwanie matematyczne można również obliczyć jako całkę Lebesgue’a X poprzez rozkład prawdopodobieństwa pikseli wielkie ilości X:

Pojęcie zmiennej losowej o nieskończonym oczekiwaniu matematycznym można zdefiniować w sposób naturalny. Typowym przykładem są czasy powrotu niektórych przypadkowych spacerów.

Za pomocą oczekiwania matematycznego wyznacza się wiele cech liczbowych i funkcjonalnych rozkładu (jako oczekiwanie matematyczne odpowiednich funkcji zmiennej losowej), np. funkcję generującą, funkcję charakterystyczną, momenty dowolnego rzędu, w szczególności dyspersję, kowariancję .

Oczekiwanie matematyczne jest cechą lokalizacji wartości zmiennej losowej (średniej wartości jej rozkładu). W tym charakterze oczekiwanie matematyczne służy jako „typowy” parametr rozkładu i jego rola jest podobna do roli momentu statycznego – współrzędnej środka ciężkości rozkładu masy – w mechanice. Od innych cech lokalizacji, za pomocą których opisuje się rozkład w sposób ogólny - mediany, mody, oczekiwania matematyczne - różni się tym większą wartością, jaką ma ona i odpowiadająca jej charakterystyka rozproszenia - dyspersja - w twierdzenia graniczne teoria prawdopodobieństwa. Znaczenie oczekiwań matematycznych najpełniej ujawnia prawo wielkich liczb (nierówność Czebyszewa) i wzmocnione prawo wielkich liczb.

Oczekiwanie dyskretnej zmiennej losowej

Niech będzie jakaś zmienna losowa, która może przyjąć jedną z kilku wartości liczbowych (na przykład liczba punktów przy rzucie kostką może wynosić 1, 2, 3, 4, 5 lub 6). Często w praktyce dla takiej wartości pojawia się pytanie: jaką wartość przyjmuje „średnio” przy dużej liczbie testów? Jaki będzie nasz średni dochód (lub strata) z każdej z ryzykownych transakcji?

Powiedzmy, że jest jakiś rodzaj loterii. Chcemy zrozumieć, czy opłaca się w nim uczestniczyć (lub nawet uczestniczyć wielokrotnie, regularnie), czy nie. Załóżmy, że co czwarty los jest zwycięzcą, nagroda wyniesie 300 rubli, a cena każdego losu wyniesie 100 rubli. Tak właśnie się dzieje przy nieskończenie dużej liczbie udziałów. W trzech czwartych przypadków przegramy, każde trzy straty będą kosztować 300 rubli. W co czwartym przypadku wygramy 200 rubli. (nagroda minus koszt), czyli za cztery uczestnictwo tracimy średnio 100 rubli, za jedno - średnio 25 rubli. W sumie średnia stawka naszej ruiny wyniesie 25 rubli za bilet.

Rzucamy kostka do gry. Jeśli nie jest to oszustwo (bez przesuwania środka ciężkości itp.), to ile średnio będziemy mieli punktów na raz? Ponieważ każda opcja jest równie prawdopodobna, po prostu bierzemy średnią arytmetyczną i otrzymujemy 3,5. Skoro jest to ŚREDNIA, to nie ma co się oburzyć, że żaden konkretny rzut nie da 3,5 punktu – cóż, ta kostka nie ma ścianki z taką liczbą!

Podsumujmy teraz nasze przykłady:

Spójrzmy na właśnie podany obraz. Po lewej stronie znajduje się tabela rozkładu zmiennej losowej. Wartość X może przyjąć jedną z n możliwych wartości (pokazanych w górnym wierszu). Nie może być innych znaczeń. Poniżej każdej możliwej wartości zapisane jest jej prawdopodobieństwo. Po prawej stronie znajduje się wzór, w którym M(X) nazywa się oczekiwaniem matematycznym. Znaczenie tej wartości jest takie, że przy dużej liczbie testów (z dużą próbą) średnia wartość będzie zgodna z tymi samymi oczekiwaniami matematycznymi.

Wróćmy jeszcze raz do tej samej kostki do gry. Matematyczne oczekiwanie liczby punktów przy rzucie wynosi 3,5 (oblicz to sam, korzystając ze wzoru, jeśli mi nie wierzysz). Powiedzmy, że rzuciłeś nim kilka razy. Wyniki wyniosły 4 i 6. Średnia wyniosła 5, czyli daleko od 3,5. Rzucili jeszcze raz, dostali 3, czyli średnio (4 + 6 + 3)/3 = 4,3333... Trochę daleko od matematycznych oczekiwań. A teraz wykonaj szalony eksperyment - rzuć kostką 1000 razy! I nawet jeśli średnia nie wyniesie dokładnie 3,5, to będzie blisko tej wartości.

Obliczmy matematyczne oczekiwanie dla opisanej powyżej loterii. Płytka będzie wyglądać następująco:

Wtedy oczekiwanie matematyczne będzie takie, jak ustaliliśmy powyżej:

Inna sprawa, że zrobienie tego „na palcach”, bez przepisu, byłoby trudne, gdyby było więcej opcji. Cóż, powiedzmy, że będzie 75% losów przegranych, 20% losów zwycięskich i 5% losów szczególnie zwycięskich.

Teraz niektóre właściwości oczekiwań matematycznych.

Łatwo to udowodnić:

Stały współczynnik można przyjąć jako znak oczekiwania matematycznego, czyli:

Jest to szczególny przypadek właściwości liniowości oczekiwań matematycznych.

Kolejna konsekwencja liniowości oczekiwań matematycznych:

oznacza to, że matematyczne oczekiwanie sumy zmiennych losowych jest równe sumie matematycznych oczekiwań zmiennych losowych.

Niech X, Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi, Następnie:

Można to również łatwo udowodnić) Praca XY sama w sobie jest zmienną losową i czy wartości początkowe mogą przyjąć N I M wartości zatem odpowiednio XY może przyjmować wartości nm. Prawdopodobieństwo każdej wartości oblicza się w oparciu o fakt, że prawdopodobieństwa niezależnych zdarzeń są mnożone. W rezultacie otrzymujemy to:

Oczekiwanie ciągłej zmiennej losowej

Ciągłe zmienne losowe mają taką cechę, jak gęstość rozkładu (gęstość prawdopodobieństwa). Charakteryzuje to zasadniczo sytuację, w której pewne wartości ze zbioru liczby rzeczywiste zmienna losowa występuje częściej, niektóre - rzadziej. Rozważmy na przykład ten wykres:

Tutaj X- rzeczywista zmienna losowa, k(x)- gęstość dystrybucji. Sądząc po tym wykresie, podczas eksperymentów wartość X często będzie liczbą bliską zera. Szanse zostały przekroczone 3 lub być mniejszy -3 raczej czysto teoretyczny.

Niech na przykład będzie rozkład równomierny:

Jest to całkiem zgodne ze zrozumieniem intuicyjnym. Załóżmy, że jeśli otrzymamy wiele losowych liczb rzeczywistych o równomiernym rozkładzie, każdy z segmentów |0; 1| , to średnia arytmetyczna powinna wynosić około 0,5.

Mają tu także zastosowanie właściwości oczekiwań matematycznych – liniowość itp., mające zastosowanie dla dyskretnych zmiennych losowych.

Związek oczekiwań matematycznych z innymi wskaźnikami statystycznymi

W analizie statystycznej, wraz z oczekiwaniami matematycznymi, istnieje system współzależnych wskaźników, które odzwierciedlają jednorodność zjawisk i stabilność procesów. Wskaźniki zmienności często nie mają samodzielnego znaczenia i służą do dalszej analizy danych. Wyjątkiem jest współczynnik zmienności, który charakteryzuje jednorodność danych, co jest cenną cechą statystyczną.

Stopień zmienności lub stabilności procesów w naukach statystycznych można mierzyć za pomocą kilku wskaźników.

Najważniejszym wskaźnikiem charakteryzującym zmienność zmiennej losowej jest Dyspersja, co jest najściślej i bezpośrednio związane z oczekiwaniami matematycznymi. Parametr ten jest aktywnie wykorzystywany w innych rodzajach analiz statystycznych (testowanie hipotez, analiza związków przyczynowo-skutkowych itp.). Podobnie jak średnie odchylenie liniowe, wariancja odzwierciedla również stopień rozproszenia danych wokół wartości średniej.

Przydatne jest przełożenie języka znaków na język słów. Okazuje się, że dyspersja jest średnim kwadratem odchyleń. Oznacza to, że najpierw obliczana jest wartość średnia, następnie obliczana jest różnica między każdą wartością pierwotną i średnią, podnoszona do kwadratu, dodawana, a następnie dzielona przez liczbę wartości w populacji. Różnica między wartością indywidualną a średnią odzwierciedla miarę odchylenia. Podnosi się go do kwadratu, aby wszystkie odchylenia stały się wyłącznie liczbami dodatnimi i aby podczas ich sumowania uniknąć wzajemnego niszczenia odchyleń dodatnich i ujemnych. Następnie, biorąc pod uwagę kwadraty odchyleń, po prostu obliczamy średnią arytmetyczną. Średnia - kwadrat - odchylenia. Odchylenia podniesiono do kwadratu i obliczono średnią. Rozwiązanie magiczne słowo„Wariancja” to tylko trzy słowa.

Jednakże w czystej postaci, takiej jak średnia arytmetyczna lub indeks, dyspersja nie jest stosowana. Jest to raczej wskaźnik pomocniczy i pośredni, wykorzystywany do innych rodzajów analiz statystycznych. Nie ma nawet normalnej jednostki miary. Sądząc po wzorze, jest to kwadrat jednostki miary oryginalnych danych.

Zmierzmy zmienną losową N razy, na przykład mierzymy prędkość wiatru dziesięć razy i chcemy znaleźć wartość średnią. Jak wartość średnia jest powiązana z funkcją rozkładu?

Albo rzucimy kostką duża liczba raz. Liczba punktów, które pojawią się na kostkach przy każdym rzucie, jest zmienną losową i może przyjmować dowolną wartość naturalną od 1 do 6. Średnia arytmetyczna upuszczonych punktów obliczona dla wszystkich rzutów kostką jest również zmienną losową, ale w przypadku dużych N zmierza do bardzo konkretnej liczby – oczekiwania matematycznego Mx. W tym przypadku Mx = 3,5.

Jak uzyskałeś tę wartość? Wpuść N testy n1 gdy zdobędziesz 1 punkt, n2 raz - 2 punkty i tak dalej. Następnie liczba wyników, w których spadł jeden punkt:

Podobnie w przypadku wyników, gdy wyrzucono 2, 3, 4, 5 i 6 punktów.

Załóżmy teraz, że znamy prawo rozkładu zmiennej losowej x, czyli wiemy, że zmienna losowa x może przyjmować wartości x1, x2, ..., xk z prawdopodobieństwami p1, p2, ..., pk.

Oczekiwanie matematyczne Mx zmiennej losowej x jest równe:

Oczekiwanie matematyczne nie zawsze jest rozsądnym oszacowaniem jakiejś zmiennej losowej. Zatem do oszacowania przeciętnego wynagrodzenia rozsądniej jest posługiwać się pojęciem mediany, czyli takiej wartości, aby liczba osób otrzymujących wynagrodzenie niższe od mediany i wyższe pokrywała się.

Prawdopodobieństwo p1, że zmienna losowa x będzie mniejsza niż x1/2 i prawdopodobieństwo p2, że zmienna losowa x będzie większa niż x1/2, są takie same i równe 1/2. Mediana nie jest określona jednoznacznie dla wszystkich rozkładów.

Standard lub odchylenie standardowe w statystyce nazywa się stopień odchylenia danych obserwacyjnych lub zbiorów od wartości ŚREDNIEJ. Oznaczone literami s lub s. Małe odchylenie standardowe wskazuje, że dane skupiają się wokół średniej, natomiast duże odchylenie standardowe wskazuje, że dane początkowe znajdują się daleko od niej. Odchylenie standardowe jest równe pierwiastkowi kwadratowemu wielkości zwanej wariancją. Jest to średnia sumy kwadratów różnic danych początkowych, które odbiegają od wartości średniej. Odchylenie standardowe zmiennej losowej to pierwiastek kwadratowy wariancji:

Przykład. W warunkach testowych podczas strzelania do celu oblicz rozrzut i odchylenie standardowe zmiennej losowej:

Zmiana- fluktuacja, zmienność wartości cechy pomiędzy jednostkami populacji. Poszczególne wartości liczbowe cechy występującej w badanej populacji nazywane są wariantami wartości. Niewystarczalność wartości średniej do pełnego scharakteryzowania populacji zmusza nas do uzupełnienia wartości średnich wskaźnikami, które pozwalają ocenić typowość tych średnich poprzez pomiar zmienności (wariacji) badanej cechy. Współczynnik zmienności oblicza się ze wzoru:

Zakres zmienności(R) reprezentuje różnicę między maksymalną i minimalną wartością atrybutu w badanej populacji. Ten wskaźnik daje najwięcej główny pomysł o zmienności badanej cechy, ponieważ pokazuje różnicę tylko między wartościami granicznymi opcji. Zależność od skrajnych wartości cechy nadaje zakresowi zmienności charakter niestabilny, losowy.

Średnie odchylenie liniowe reprezentuje średnią arytmetyczną bezwzględnych (modulo) odchyleń wszystkich wartości analizowanej populacji od ich wartości średniej:

Oczekiwanie matematyczne w teorii hazardu

Oczekiwanie matematyczne jestŚrednia kwota pieniędzy, jaką gracz może wygrać lub przegrać w danym zakładzie. Jest to bardzo ważna koncepcja dla gracza, ponieważ ma fundamentalne znaczenie dla oceny większości sytuacji w grach. Oczekiwanie matematyczne jest również optymalnym narzędziem do analizy podstawowych układów kart i sytuacji w grach.

Załóżmy, że grasz ze znajomym w grę na monety i za każdym razem obstawiasz po 1 dolara, niezależnie od tego, co się wydarzy. Reszka oznacza wygraną, reszka oznacza przegraną. Szanse są 1 do 1, że wypadnie orzeł, więc obstawiasz od 1 $ do 1 $. Zatem Twoje matematyczne oczekiwania wynoszą zero, ponieważ Z matematycznego punktu widzenia nie możesz wiedzieć, czy po dwóch rzutach, czy po 200, będziesz prowadził, czy przegrał.

Twój zysk godzinowy wynosi zero. Wygrane godzinowe to kwota pieniędzy, jaką możesz wygrać w ciągu godziny. Możesz rzucić monetą 500 razy w ciągu godziny, ale nie wygrasz ani nie przegrasz, ponieważ... Twoje szanse nie są ani pozytywne, ani negatywne. Jeśli spojrzeć na to z punktu widzenia poważnego gracza, ten system zakładów nie jest zły. Ale to po prostu strata czasu.

Załóżmy jednak, że ktoś chce postawić 2 USD przeciwko Twojemu 1 USD w tej samej grze. Wtedy od razu będziesz miał pozytywne oczekiwanie na 50 centów z każdego zakładu. Dlaczego 50 centów? Średnio wygrywasz jeden zakład i przegrywasz drugi. Postaw pierwszego dolara i przegraj 1 dolara; postaw drugiego i wygraj 2 dolary. Obstawiasz 1 $ dwa razy i masz przewagę o 1 $. Zatem każdy z Twoich jednodolarowych zakładów dał ci 50 centów.

Jeśli moneta pojawi się 500 razy w ciągu godziny, Twoja godzinna wygrana wyniesie już 250 $, ponieważ... Przeciętnie przegrałeś jednego dolara 250 razy i wygrałeś dwa dolary 250 razy. 500 $ minus 250 $ równa się 250 $, czyli całkowita wygrana. Należy pamiętać, że wartość oczekiwana, czyli średnia kwota wygranej w zakładzie, wynosi 50 centów. Wygrałeś 250 dolarów, stawiając dolara 500 razy, co równa się 50 centom za zakład.

Oczekiwania matematyczne nie mają nic wspólnego z wynikami krótkoterminowymi. Twój przeciwnik, który zdecydował się postawić przeciwko Tobie 2 $, mógłby Cię pokonać w pierwszych dziesięciu rzutach z rzędu, ale Ty, mając przewagę w zakładach 2 do 1, przy wszystkich pozostałych czynnikach bez zmian, zarobisz 50 centów za każdy zakład o wartości 1 $ w dowolnym okoliczności. Nie ma znaczenia, czy wygrasz, czy przegrasz jeden zakład czy kilka zakładów, o ile masz wystarczającą ilość gotówki, aby wygodnie pokryć koszty. Jeśli będziesz nadal stawiać zakłady w ten sam sposób, to przez długi czas Twoje wygrane będą zbliżać się do sumy oczekiwań w poszczególnych rzutach.

Za każdym razem, gdy robisz najlepszy zakład (zakład, który może okazać się opłacalny na dłuższą metę), gdy szanse są na twoją korzyść, na pewno coś wygrasz, niezależnie od tego, czy przegrasz, czy nie w podana ręka. I odwrotnie, jeśli postawisz zakład na słabszego gracza (zakład, który na dłuższą metę jest nieopłacalny), gdy szanse są przeciwko tobie, coś stracisz, niezależnie od tego, czy wygrasz, czy przegrasz rozdanie.

Stawiasz zakład z najlepszym wynikiem, jeśli Twoje oczekiwania są pozytywne, i jest on pozytywny, jeśli szanse są po Twojej stronie. Kiedy stawiasz zakład z najgorszym wynikiem, masz negatywne oczekiwania, co ma miejsce, gdy szanse są przeciwko tobie. Poważni gracze obstawiają tylko najlepszy wynik; jeśli zdarzy się najgorszy, spasują. Co oznacza kurs na Twoją korzyść? Możesz wygrać więcej, niż oferują rzeczywiste kursy. Prawdziwe szanse na wylądowanie orła wynoszą 1 do 1, ale dzięki ilorazowi szans otrzymujesz 2 do 1. W tym przypadku szanse są na Twoją korzyść. Zdecydowanie najlepszy wynik uzyskasz przy pozytywnym oczekiwaniu 50 centów na zakład.

Oto więcej złożony przykład oczekiwanie matematyczne. Znajomy zapisuje liczby od jednego do pięciu i stawia 5 dolarów przeciwko Twojemu 1 dolara, że nie odgadniesz liczby. Czy warto zgodzić się na taki zakład? Jakie jest tutaj oczekiwanie?

Średnio mylisz się cztery razy. Na tej podstawie prawdopodobieństwo, że odgadniesz liczbę, wynosi 4 do 1. Szansa, że stracisz dolara przy jednej próbie. Jednak wygrywasz 5 do 1, z możliwością przegranej 4 do 1. Zatem szanse są na twoją korzyść, możesz przyjąć zakład i mieć nadzieję na najlepszy wynik. Jeśli postawisz ten zakład pięć razy, średnio cztery razy stracisz 1 dolara i raz wygrasz 5 dolarów. Na tej podstawie za wszystkie pięć prób zarobisz 1 dolara, przy dodatnim oczekiwaniu matematycznym wynoszącym 20 centów za zakład.

Gracz, który wygra więcej, niż postawił, jak w powyższym przykładzie, ryzykuje. Wręcz przeciwnie, rujnuje swoje szanse, gdy spodziewa się wygranej mniejszej niż stawia. Gracz może mieć albo pozytywne, albo negatywne oczekiwania, w zależności od tego, czy wygra, czy zrujnuje kursy.

Jeśli postawisz 50 $, aby wygrać 10 $, mając szansę na wygraną 4 do 1, otrzymasz ujemną oczekiwaną wartość 2 $, ponieważ Średnio cztery razy wygrasz 10 $ i raz przegrasz 50 $, co pokazuje, że strata na zakład wyniesie 10 $. Ale jeśli postawisz 30 $, aby wygrać 10 $, przy takich samych szansach na wygraną 4 do 1, to w tym przypadku masz dodatnie oczekiwanie na 2 $, ponieważ ponownie wygrywasz 10 $ cztery razy i tracisz 30 $ raz, co daje zysk w wysokości 10 $. Te przykłady pokazują, że pierwszy zakład jest zły, a drugi dobry.

Oczekiwania matematyczne stanowią sedno każdej sytuacji w grze. Kiedy bukmacher zachęca kibiców piłki nożnej do postawienia 11 dolarów, aby wygrać 10 dolarów, ma pozytywne oczekiwania w wysokości 50 centów za każde 10 dolarów. Jeśli kasyno wypłaca nawet pieniądze z linii pass w kościach, wówczas pozytywne oczekiwanie kasyna wyniesie około 1,40 dolara na każde 100 dolarów, ponieważ Ta gra jest tak skonstruowana, że każdy, kto obstawia tę linię, traci średnio 50,7% i wygrywa 49,3% całkowitego czasu. Bez wątpienia to właśnie te pozornie minimalne pozytywne oczekiwania przynoszą ogromne zyski właścicielom kasyn na całym świecie. Jak zauważył właściciel kasyna Vegas World, Bob Stupak, „negatywne prawdopodobieństwo wynoszące jedną tysięczną jednego procenta na wystarczająco dużej odległości zrujnuje najbogatszy człowiek na świecie".

Oczekiwania podczas gry w pokera

Gra w pokera jest przykładem najbardziej ilustracyjnym i ilustracyjnym z punktu widzenia wykorzystania teorii i właściwości oczekiwań matematycznych.

Wartość oczekiwana w pokerze to średnia korzyść z konkretnej decyzji, pod warunkiem, że taką decyzję można rozpatrywać w ramach teorii wielkich liczb i odległości. Udana gra w pokera polega na tym, aby zawsze akceptować ruchy o dodatniej wartości oczekiwanej.

Matematyczne znaczenie oczekiwań matematycznych podczas gry w pokera polega na tym, że podczas podejmowania decyzji często spotykamy się ze zmiennymi losowymi (nie wiemy, jakie karty ma w ręku przeciwnik, jakie karty pojawią się w kolejnych rundach licytacji). Każde z rozwiązań musimy rozpatrywać z punktu widzenia teorii wielkich liczb, która głosi, że przy dostatecznie dużej próbie średnia wartość zmiennej losowej będzie zmierzać do jej matematycznych oczekiwań.

Spośród konkretnych wzorów obliczania oczekiwań matematycznych w pokerze najbardziej przydatne są następujące:

Podczas gry w pokera oczekiwaną wartość można obliczyć zarówno w przypadku zakładów, jak i połączeń. W pierwszym przypadku należy wziąć pod uwagę krotność equity, w drugim szanse własne banku. Oceniając matematyczne oczekiwania dotyczące konkretnego ruchu, powinieneś pamiętać, że spasowanie zawsze wiąże się z zerowymi oczekiwaniami. Zatem odrzucenie kart zawsze będzie bardziej opłacalną decyzją niż jakikolwiek negatywny ruch.

Oczekiwania mówią Ci, czego możesz się spodziewać (zysku lub straty) w odniesieniu do każdego ryzykowanego dolara. Kasyna zarabiają pieniądze, ponieważ matematyczne oczekiwania dotyczące wszystkich gier w nich rozgrywanych są na korzyść kasyna. Przy wystarczająco długiej serii gier możesz spodziewać się, że klient straci swoje pieniądze, ponieważ „szanse” są na korzyść kasyna. Jednakże profesjonalni gracze w kasynie ograniczają swoje gry do krótkich okresów czasu, zwiększając w ten sposób szanse na swoją korzyść. To samo tyczy się inwestowania. Jeśli Twoje oczekiwania są pozytywne, możesz zarobić więcej pieniędzy, dokonując wielu transakcji w krótkim czasie. Oczekiwanie to procent zysku na wygraną pomnożony przez średni zysk minus prawdopodobieństwo straty pomnożone przez średnią stratę.

Na pokera można również spojrzeć z punktu widzenia oczekiwań matematycznych. Możesz założyć, że dany ruch jest opłacalny, ale w niektórych przypadkach może nie być najlepszy, ponieważ inny ruch jest bardziej opłacalny. Załóżmy, że trafiłeś fulla w pokerze pięciokartowym. Twój przeciwnik stawia zakład. Wiesz, że jeśli podbijesz zakład, on zareaguje. Dlatego podbicie wydaje się najlepszą taktyką. Jeśli jednak podbijesz zakład, pozostali dwaj gracze na pewno spasują. Ale jeśli sprawdzisz, masz całkowitą pewność, że pozostali dwaj gracze za tobą zrobią to samo. Kiedy podbijesz swój zakład, otrzymasz jedną jednostkę, a kiedy po prostu sprawdzisz, otrzymasz dwie. Zatem sprawdzenie daje wyższą dodatnią wartość oczekiwaną i będzie najlepszą taktyką.

Oczekiwania matematyczne mogą również dać wyobrażenie o tym, które taktyki pokerowe są mniej opłacalne, a które bardziej. Na przykład, jeśli rozgrywasz określone rozdanie i myślisz, że Twoja strata wyniesie średnio 75 centów, włączając ante, powinieneś rozegrać to rozdanie, ponieważ jest to lepsze niż spasowanie, gdy ante wynosi 1 dolara.

Inny ważny powód zrozumieć istotę oczekiwań matematycznych polega na tym, że dają one poczucie spokoju niezależnie od tego, czy wygrasz zakład, czy nie: jeśli postawiłeś dobry zakład lub spasowałeś w odpowiednim czasie, będziesz wiedział, że zarobiłeś lub zaoszczędziłeś pewną kwotę pieniędzy, która słabszy gracz nie był w stanie obronić. Znacznie trudniej jest spasować, jeśli jesteś zdenerwowany, ponieważ przeciwnik ma silniejszą rękę. Dzięki temu pieniądze, które zaoszczędzisz, nie grając zamiast obstawiać, zostaną dodane do Twoich wygranych za noc lub miesiąc.

Pamiętaj tylko, że gdybyś zmienił ręce, przeciwnik oddzwoniłby do ciebie i jak zobaczysz w artykule „ podstawowe twierdzenie poker” to tylko jedna z Twoich zalet. Powinieneś być szczęśliwy, kiedy to się stanie. Możesz nawet nauczyć się czerpać przyjemność z przegrywania rozdania, ponieważ wiesz, że inni gracze na twojej pozycji straciliby znacznie więcej.

Jak wspomniano na początku w przykładzie gry na monety, godzinowa stopa zysku jest powiązana z oczekiwaniami matematycznymi, a koncepcja ta jest szczególnie ważna dla profesjonalnych graczy. Kiedy idziesz grać w pokera, powinieneś w myślach oszacować, ile możesz wygrać w ciągu godziny gry. W większości przypadków będziesz musiał polegać na swojej intuicji i doświadczeniu, ale możesz też posłużyć się matematyką. Na przykład, grasz w remis lowball i widzisz trzech graczy, którzy stawiają 10 dolarów, a następnie wymieniają dwie karty, co jest bardzo złą taktyką. Możesz się dowiedzieć, że za każdym razem, gdy stawiają 10 dolarów, tracą około 2 dolarów. Każdy z nich robi to osiem razy na godzinę, co oznacza, że wszyscy trzej tracą około 48 dolarów na godzinę. Jesteś jednym z pozostałych czterech graczy, których liczba jest mniej więcej równa, więc ci czterej gracze (i ty wśród nich) muszą podzielić się 48 $, a każdy z nich zarabia 12 $ na godzinę. Twoje szanse godzinowe w tym przypadku są po prostu równe Twojemu udziałowi w kwocie pieniędzy przegranej przez trzech złych graczy w ciągu godziny.

W długim okresie łączne wygrane gracza stanowią sumę jego matematycznych oczekiwań w poszczególnych rozdaniach. Im więcej rąk rozegrasz z pozytywnymi oczekiwaniami, tym więcej wygrasz i odwrotnie, im więcej rąk rozegrasz z negatywnymi oczekiwaniami, tym więcej przegrasz. W rezultacie powinieneś wybrać grę, która może zmaksymalizować Twoje pozytywne oczekiwania lub zanegować negatywne oczekiwania, abyś mógł zmaksymalizować swoje godzinne wygrane.

Pozytywne oczekiwania matematyczne w strategii gier

Jeśli umiesz liczyć karty, możesz mieć przewagę nad kasynem, o ile cię nie zauważy i nie wyrzuci. Kasyna kochają pijanych graczy i nie tolerują graczy liczących karty. Przewaga pozwoli Ci wygrać z czasem. większa liczba razy niż przegrać. Dobre zarządzanie pieniędzmi przy użyciu obliczeń wartości oczekiwanej może pomóc Ci wydobyć większy zysk z przewagi i zmniejszyć straty. Bez korzyści lepiej przekazać pieniądze na cele charytatywne. W grze na giełdzie przewagę daje system gry, który generuje większe zyski niż straty, różnice cenowe i prowizje. Żadne zarządzanie pieniędzmi nie jest w stanie uratować złego systemu gier.

Pozytywne oczekiwanie definiuje się jako wartość większą od zera. Im większa jest ta liczba, tym silniejsze jest oczekiwanie statystyczne. Jeżeli wartość jest mniejsza od zera, wówczas oczekiwanie matematyczne również będzie ujemne. Im większy moduł wartości ujemnej, tym gorsza sytuacja. Jeśli wynik wynosi zero, oczekiwanie jest progiem rentowności. Możesz wygrać tylko wtedy, gdy masz pozytywne oczekiwania matematyczne i rozsądny system gry. Granie intuicją prowadzi do katastrofy.

Oczekiwania matematyczne i handel akcjami

Oczekiwanie matematyczne jest dość powszechnie stosowanym i popularnym wskaźnikiem statystycznym przy przeprowadzaniu obrotu giełdowego na rynkach finansowych. Przede wszystkim ten parametr służy do analizy sukcesu handlu. Nietrudno zgadnąć, że im wyższa jest ta wartość, tym więcej powodów, by uważać badaną branżę za udaną. Oczywiście analizy pracy tradera nie można przeprowadzić na podstawie samego tego parametru. Jednak obliczona wartość w połączeniu z innymi metodami oceny jakości pracy może znacznie zwiększyć dokładność analizy.

Oczekiwanie matematyczne jest często obliczane w usługach monitorowania konta handlowego, co pozwala szybko ocenić pracę wykonaną na depozycie. Wyjątkiem są strategie wykorzystujące nierentowne transakcje typu „przesiadywanie”. Trader może przez jakiś czas mieć szczęście i dlatego w jego pracy może w ogóle nie być strat. W takim przypadku nie będzie można kierować się wyłącznie oczekiwaniami matematycznymi, ponieważ ryzyko stosowane w pracy nie będzie brane pod uwagę.

W handlu rynkowym oczekiwania matematyczne są najczęściej wykorzystywane do przewidywania rentowności dowolnej strategii handlowej lub do przewidywania dochodu tradera na podstawie danych statystycznych z jego poprzednich transakcji.

Jeśli chodzi o zarządzanie pieniędzmi, bardzo ważne jest, aby zrozumieć, że dokonując transakcji z negatywnymi oczekiwaniami, nie ma schematu zarządzania pieniędzmi, który z pewnością przyniósłby wysokie zyski. Jeśli będziesz nadal grać na giełdzie w takich warunkach, niezależnie od tego, jak będziesz zarządzać swoimi pieniędzmi, stracisz całe konto, niezależnie od tego, jak duże było na początku.

Ten aksjomat jest prawdziwy nie tylko w przypadku gier lub transakcji z negatywnymi oczekiwaniami, jest również prawdziwy w przypadku gier o równych szansach. Dlatego jedyną szansą na osiągnięcie zysku w dłuższej perspektywie jest zawarcie transakcji o dodatniej wartości oczekiwanej.

Różnica między negatywnymi i pozytywnymi oczekiwaniami jest różnicą między życiem a śmiercią. Nie ma znaczenia, jak pozytywne lub negatywne są oczekiwania; Ważne jest tylko to, czy jest to pozytywne, czy negatywne. Dlatego zanim rozważysz zarządzanie pieniędzmi, powinieneś znaleźć grę z pozytywnymi oczekiwaniami.

Jeśli nie masz tej gry, żadne zarządzanie pieniędzmi na świecie Cię nie uratuje. Z drugiej strony, jeśli masz pozytywne oczekiwania, możesz – poprzez odpowiednie zarządzanie pieniędzmi – przekształcić je w funkcję wykładniczego wzrostu. Nie ma znaczenia, jak małe są pozytywne oczekiwania! Innymi słowy, nie ma znaczenia, jak opłacalny jest system transakcyjny oparty na pojedynczym kontrakcie. Jeśli masz system, który wygrywa 10 USD na kontrakt na transakcję (po prowizji i poślizgu), możesz zastosować techniki zarządzania pieniędzmi, aby uczynić go bardziej zyskownym niż system, w którym średnio 1000 USD na transakcję (po odjęciu prowizji i poślizgu).

Liczy się nie to, jak rentowny był system, ale to, jak pewna jest pewność, że system wykaże w przyszłości przynajmniej minimalny zysk. Dlatego najważniejszym przygotowaniem, jakie może poczynić trader, jest upewnienie się, że system będzie w przyszłości wykazywał dodatnią wartość oczekiwaną.

Aby w przyszłości uzyskać dodatnią wartość oczekiwaną, bardzo ważne jest, aby nie ograniczać stopni swobody systemu. Osiąga się to nie tylko poprzez eliminację lub redukcję liczby parametrów podlegających optymalizacji, ale także poprzez redukcję jak największej liczby reguł systemowych. Każdy dodany parametr, każda wprowadzona reguła, każda drobna zmiana dokonana w systemie zmniejsza liczbę stopni swobody. Idealnie byłoby zbudować dość prymitywny i prosty system, który będzie konsekwentnie generował niewielkie zyski na prawie każdym rynku. Ponownie ważne jest, abyś zrozumiał, że nie ma znaczenia, jak opłacalny jest system, ważne, aby był on opłacalny. Pieniądze, które zarobisz na handlu, zostaną zarobione dzięki efektywnemu zarządzaniu pieniędzmi.

System transakcyjny to po prostu narzędzie, które zapewnia dodatnią wartość oczekiwaną, dzięki czemu można zarządzać pieniędzmi. Systemy, które działają (wykazują przynajmniej minimalne zyski) tylko na jednym lub kilku rynkach lub mają różne zasady lub parametry dla różnych rynków, najprawdopodobniej nie będą działać w czasie rzeczywistym przez długi czas. Problem z większością traderów zorientowanych technicznie polega na tym, że spędzają zbyt dużo czasu i wysiłku na optymalizacji różnych zasad i wartości parametrów systemu transakcyjnego. Daje to zupełnie odwrotne rezultaty. Zamiast marnować energię i czas komputera na zwiększanie zysków systemu transakcyjnego, skieruj swoją energię na zwiększenie poziomu pewności uzyskania minimalnego zysku.

Wiedząc, że zarządzanie pieniędzmi to tylko gra liczbowa wymagająca pozytywnych oczekiwań, trader może przestać szukać „świętego Graala” w handlu akcjami. Zamiast tego może zacząć testować swoją metodę handlu, dowiedzieć się, jak logiczna jest ta metoda i czy daje pozytywne oczekiwania. Właściwe metody zarządzania pieniędzmi, zastosowane do wszelkich, nawet bardzo przeciętnych metod handlu, resztę pracy wykonają same.

Aby każdy trader odniósł sukces w swojej pracy, musi rozwiązać trzy najważniejsze zadania: . Aby zapewnić, że liczba udanych transakcji przewyższa nieuniknione błędy i błędne obliczenia; Skonfiguruj swój system transakcyjny tak, abyś miał możliwość zarabiania pieniędzy tak często, jak to możliwe; Osiągaj stabilne, pozytywne wyniki swojej działalności.

I tutaj, dla nas, pracujących traderów, oczekiwania matematyczne mogą być bardzo pomocne. Termin ten jest jednym z kluczowych w teorii prawdopodobieństwa. Za jego pomocą możesz podać średnie oszacowanie jakiejś losowej wartości. Matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej jest podobne do środka ciężkości, jeśli wyobrażasz sobie wszystkie możliwe prawdopodobieństwa jako punkty o różnych masach.

W odniesieniu do strategii handlowej do oceny jej efektywności najczęściej stosuje się matematyczne oczekiwanie zysku (lub straty). Parametr ten definiuje się jako sumę iloczynów danych poziomów zysków i strat oraz prawdopodobieństwa ich wystąpienia. Przykładowo opracowana strategia handlowa zakłada, że 37% wszystkich transakcji przyniesie zysk, a pozostała część – 63% – będzie nieopłacalna. Jednocześnie średni dochód z udanej transakcji wyniesie 7 dolarów, a średnia strata wyniesie 1,4 dolara. Obliczmy matematyczne oczekiwania dotyczące handlu za pomocą tego systemu:

Co to znaczy podany numer? Mówi, że zgodnie z zasadami tego systemu z każdej zamkniętej transakcji otrzymamy średnio 1708 dolarów. Ponieważ uzyskana wydajność jest większa od zera, taki system można wykorzystać do rzeczywistej pracy. Jeśli w wyniku obliczeń matematyczne oczekiwanie okaże się ujemne, oznacza to już średnią stratę i taki handel doprowadzi do ruiny.

Kwotę zysku na transakcję można również wyrazić jako wartość względną w postaci %. Na przykład:

– procent dochodu na 1 transakcję – 5%;

– odsetek udanych operacji handlowych – 62%;

– procent straty na 1 transakcję – 3%;

– odsetek nieudanych transakcji – 38%;

Oznacza to, że średni handel przyniesie 1,96%.

Można opracować system, który pomimo przewagi transakcji nierentownych, przyniesie wynik dodatni, gdyż jego MO>0.

Jednak samo czekanie nie wystarczy. Trudno jest zarabiać pieniądze, jeśli system daje bardzo mało sygnałów transakcyjnych. W tym przypadku jego rentowność będzie porównywalna z oprocentowaniem banku. Niech każda operacja generuje średnio tylko 0,5 dolara, ale co, jeśli system obejmuje 1000 operacji rocznie? Będzie to bardzo znacząca kwota w stosunkowo krótkim czasie. Logicznie wynika z tego, że kolejną cechą wyróżniającą dobry system transakcyjny można uznać za krótki okres utrzymywania pozycji.