Wyrazistą geometryczną reprezentację układu liczb wymiernych można uzyskać w następujący sposób.
Na pewnej prostej, „osi numerycznej”, zaznaczamy odcinek od O do 1 (ryc. 8). Określa to długość odcinka jednostkowego, który, ogólnie rzecz biorąc, można wybrać dowolnie. Dodatnie i ujemne liczby całkowite są następnie reprezentowane przez zbiór równomiernie rozmieszczonych punktów na osi liczb, czyli liczby dodatnie są zaznaczane po prawej stronie, a liczby ujemne po lewej stronie punktu 0. Aby przedstawić liczby z mianownikiem n, podziel każdą z nich wynikowe odcinki długości jednostkowej przez n równe części; Punkty podziału będą reprezentować ułamki o mianowniku n. Jeśli zrobimy to dla wartości n odpowiadających wszystkim liczbom naturalnym, to każda liczba wymierna zostanie przedstawiona przez jakiś punkt na osi liczb. Zgodzimy się nazwać te punkty „racjonalnymi”; Ogólnie rzecz biorąc, będziemy używać terminów „liczba wymierna” i „punkt wymierny” jako synonimów.
W rozdziale I § 1 zdefiniowano relację nierówności A dla dowolnej pary punktów wymiernych, wówczas naturalną rzeczą jest próba uogólnienia arytmetycznej relacji nierówności w taki sposób, aby zachować ten porządek geometryczny dla rozpatrywanych punktów. Jest to możliwe, jeśli przyjmiemy następującą definicję: mówią, że liczba wymierna A mniej niż liczba wymierna B (A jest większe od liczby A (B>A), jeżeli różnica VA pozytywny. Oznacza to (dla A pomiędzy A i B są te, które są zarówno >A, jak i segmentem (lub człon) i jest oznaczony przez [A, B] (a sam zbiór punktów pośrednich to interwał(Lub pomiędzy), oznaczone (A, B)).
Nazywa się odległość dowolnego punktu A od początku 0, uważaną za liczbę dodatnią całkowita wartość A i jest oznaczony symbolem
Koncepcja " całkowita wartość" definiuje się następująco: jeśli A≥0, to |A| = A; jeśli A
|A + B|≤|A| + |B|,
co jest prawdą niezależnie od znaków A i B.
Fakt o fundamentalnym znaczeniu wyraża następujące zdanie: punkty wymierne są gęsto rozmieszczone w każdym miejscu na osi liczbowej. Znaczenie tego stwierdzenia jest takie, że każdy przedział, niezależnie od tego, jak mały, zawiera punkty wymierne. Aby sprawdzić słuszność postawionego twierdzenia, wystarczy przyjąć liczbę n tak dużą, że przedział będzie mniejszy od podanego przedziału (A, B); wówczas co najmniej jeden z punktów widokowych będzie znajdował się w tym przedziale. Nie ma więc takiego przedziału na osi liczbowej (nawet najmniejszego, jaki można sobie wyobrazić), w którym nie byłoby punktów wymiernych. Prowadzi to do dalszego wniosku: każdy przedział zawiera nieskończony zbiór punktów wymiernych. Rzeczywiście, jeśli pewien przedział zawierał tylko ostateczny numer punktów wymiernych, to w przedziale utworzonym przez dwa sąsiednie takie punkty nie byłoby już punktów wymiernych, co jest sprzeczne z tym, co właśnie zostało udowodnione.
BILET 1
Racjonalny liczby – liczby zapisane w postaci p/q, gdzie q jest liczbą naturalną. liczba, a p jest liczbą całkowitą.
Dwie liczby a=p1/q1 i b=p2/q2 nazywamy równymi, jeśli p1q2=p2q1, oraz p2q1 i a>b jeśli p1q2
BILET 2
Liczby zespolone. Liczby zespolone
Równanie algebraiczne to równanie postaci: P n ( X) = 0, gdzie P n ( X) - wielomian N- och, stopień. Kilka prawdziwych liczb X I Na Nazwijmy to uporządkowanym, jeśli zostanie wskazane, który z nich jest uważany za pierwszy, a który za drugi. Zapis par uporządkowanych: ( X, y). Liczba zespolona to dowolnie uporządkowana para liczb rzeczywistych. z = (X, y)-Liczba zespolona.
X-prawdziwa część z, y-część urojona z. Jeśli X= 0 i y= 0, zatem z= 0. Rozważmy z 1 = (x 1 , y 1) i z 2 = (x 2 , y 2).
Definicja 1. z 1 = z 2 jeśli x 1 = x 2 i y 1 = y 2.
Pojęcia > i< для комплексных чисел не вводятся.
Reprezentacja geometryczna i postać trygonometryczna liczb zespolonych.
M( X, y) « z = X + j.
½ OM½ = r =½ z½ = .(obrazek)
r nazywany jest modułem liczby zespolonej z.
j nazywa się argumentem liczby zespolonej z. Wyznacza się go z dokładnością ± 2p N.
X= rcosj, y= rsinj.
z= X+ j= r(cosj + I sinj) jest trygonometryczną formą liczb zespolonych.
Oświadczenie 3.
= (bo + I grzech),
= (bo + I grzech), wtedy
= (cos( + ) + I grzech(+)),
= (cos(-)+ I grzech(-)) przy ¹0.
Oświadczenie 4.
Jeśli z=r(cosj+ I sinj), następnie „naturalne N:
= (cos nj + I grzech nj),
BILET 3
Pozwalać X- zbiór liczbowy zawierający co najmniej jedną liczbę (zbiór niepusty).
XÎ X- X zawarte w X. ; XÏ X- X nie należy X.
Definicja: Pęczek X nazywa się ograniczonym powyżej (poniżej), jeśli istnieje liczba M(M) tak, że dla dowolnego X Î X nierówność zachodzi X £ M (X ³ M), natomiast liczba M nazywana górną (dolną) granicą zbioru X. Pęczek X mówi się, że jest ograniczony powyżej, jeśli $ M, " X Î X: X £ M. Definicja nieograniczony zestaw z góry. Pęczek X mówi się, że jest nieograniczony z góry, jeśli „ M $ X Î X: X> M. Definicja pęczek X nazywa się ograniczonym, jeśli jest ograniczony od góry i od dołu, czyli $ M, M taki, że " X Î X: M £ X £ M. Równoważna definicja ogra mn-va: Set X nazywa się ograniczonym, jeśli $ A > 0, " X Î X: ½ X½£ A. Definicja: Najmniejsza górna granica zbioru ograniczonego powyżej X nazywa się jego supremum i oznacza Sup X
(najwyższa). =Now X. Podobnie można określić dokładne
dolna krawędź. Równowartość definicja dokładna górna granica:
Liczba nazywana jest supremum zbioru X, Jeśli: 1) " X Î X: X£ (ten warunek pokazuje, że jest to jedna z górnych granic). 2) " < $ x Î X: X> (ten warunek pokazuje, że -
najmniejsza z górnych ścian).
Pić małymi łykami X= :
1. " XÎ X: X £ .
2. " < $ XÎ X: X> .
inf X(infimum) to dokładne minimum. Zadajmy sobie pytanie: czy każdy zbiór ograniczony ma krawędzie dokładne?
Przykład: X= {X: X>0) nie ma najmniejszej liczby.
Twierdzenie o istnieniu dokładnej ściany górnej (dolnej).. Każda niepusta górna (dolna) granica xÎR ma dokładnie górną (dolną) ścianę.
Twierdzenie o rozdzielności liczb liczbowych:▀▀▄
BILET 4
Jeśli każdej liczbie naturalnej n (n=1,2,3..) przyporządkowana jest odpowiadająca liczba Xn, to mówią, że jest ona określona i dana podsekwencja x1, x2..., napisz (Xn), (Xn) Przykład: Xn=(-1)^n: -1,1,-1,1,...Nazwa granicy. od góry (od dołu), jeśli zbiór punktów x=x1,x2,…xn leżących na osi liczbowej jest ograniczony od góry (od dołu), tj. $C:Xn£C" Limit sekwencji: liczba a nazywana jest granicą ciągu, jeśli dla dowolnego ε>0 $ : N (N=N/(ε)). "n>N nierówność |Xn-a|<ε. Т.е. – ε
Na n>N.
Wyjątkowość limitu ciąg ograniczony i zbieżny
Właściwość 1: Ciąg zbieżny ma tylko jedną granicę.
Dowód: przez sprzeczność niech A I B granice ciągu zbieżnego (x n), a a nie jest równe b. rozważ nieskończenie małe ciągi (α n )=(x n -a) i (β n )=(x n -b). Ponieważ wszystkie elementy b.m. sekwencje (α n -β n ) mają tę samą wartość b-a, to zgodnie z właściwością b.m. ciągi b-a=0 tj. b=a i doszliśmy do sprzeczności.
Właściwość 2: Ciąg zbieżny jest ograniczony.
Dowód: Niech a będzie granicą ciągu zbieżnego (x n), wówczas α n =x n -a jest elementem b.m. sekwencje. Weźmy dowolne ε>0 i użyjmy go do znalezienia N ε: / x n -a/< ε при n>N ε . Oznaczmy przez b największą z liczb ε+/а/, /х1/, /х2/,…,/х N ε-1 /,х N ε. Jest oczywiste, że /xn/
Uwaga: ograniczony ciąg może nie być zbieżny.
BILET 6
Ciąg an nazywamy nieskończenie małym, co oznacza, że granica tego ciągu po nim wynosi 0.
a n – nieskończenie Û lim(n ® + ¥)a n =0 czyli dla każdego ε>0 istnieje N takie, że dla dowolnego n>N |a n |<ε
Twierdzenie. Suma nieskończenie małego jest nieskończenie mała.
a n b n ®nieskończenie mały Þ a n +b n – nieskończenie mały.
Dowód.
a n - nieskończenie Û "ε>0 $ N 1:" n >N 1 Þ |a n |<ε
b n - nieskończenie Û "ε>0 $ N 2:" n >N 2 Þ |b n |<ε
Ustalmy N=max(N 1 , N 2 ), to dla dowolnego n>N Þ obie nierówności są jednocześnie spełnione:
| i n |<ε |a n +b n |£|a n |+|b n |<ε+ε=2ε=ε 1 "n>N
Ustawmy "ε 1 >0, ustawmy ε=ε 1 /2. Wtedy dla dowolnego ε 1 >0 $N=maxN 1 N 2: " n>N Þ |a n +b n |<ε 1 Û lim(n ® ¥)(a n +b n)=0, то
jest a n + b n – nieskończenie małe.
Twierdzenie Iloczyn nieskończenie małego jest nieskończenie mały.
a n ,b n – nieskończenie mały Þ a n b n – nieskończenie mały.
Dowód:
Ustawmy "ε 1 >0, postawmy ε=Öε 1, ponieważ a n i b n są nieskończenie małe dla tego ε>0, to istnieje N 1: " n>N Þ |a n |<ε
$N 2: " n>N 2 Þ |b n |<ε
Weźmy N=max (N 1 ;N 2 ), wtedy "n>N = |a n |<ε
|a n b n |=|a n ||b n |<ε 2 =ε 1
" ε 1 >0 $N:"n>N |a n b n |<ε 2 =ε 1
lim a n b n =0 Û a n b n – nieskończenie mały, co należało udowodnić.
Twierdzenie Iloczynem ciągu ograniczonego i ciągu nieskończenie małego jest ciąg nieskończenie mały
oraz n jest ciągiem ograniczonym
a n – ciąg nieskończenie mały Þ a n an n – ciąg nieskończenie mały.
Dowód: Ponieważ n jest ograniczone Û $С>0: "nО NÞ |a n |£C
Ustawmy "ε 1 >0; ustawmy ε=ε 1 /C; ponieważ a n jest nieskończenie małe, to ε>0 $N:"n>NÞ |a n |<εÞ |a n a n |=|a n ||a n | "ε 1 >0 $N: "n>N Þ |a n a n |=Cε=ε 1 Þ lim(n ® ¥) a n a n =0Û a n a n – nieskończenie mały Sekwencja nazywa się BBP(w kolejności), jeśli piszą. Oczywiście BBP nie jest ograniczone. Stwierdzenie przeciwne jest na ogół fałszywe (przykład). Jeśli dla dużych N członków, a następnie napisz to oznacza, że tak szybko. Znaczenie wpisu określa się w podobny sposób Nieskończenie duże sekwencje za n = 2 n ;
b n =(-1) n 2 n ;c n =-2 n Definicja(nieskończenie duże sekwencje) 1) lim(n ® ¥)a n =+¥, jeśli "ε>0$N:"n>N Þ a n >ε gdzie ε jest dowolnie małe. 2) lim(n ® ¥)a n =-¥, jeśli "ε>0 $N:"n>N Þ a n<-ε 3) lim(n ® ¥)a n =¥ Û "ε>0 $N:"n>N Þ |a n |>ε BILET 7 Twierdzenie „O zbieżności monotonii. ostatni" Każdy ciąg monotoniczny jest zbieżny, tj. ma granice. Dokument Niech ciąg (xn) będzie monotonicznie rosnący. i jest ograniczona od góry. X – cały zbiór liczb, który zgodnie z konwencją przyjmuje element tego ciągu. Liczba twierdzeń jest zatem ograniczona, zgodnie z Twierdzenie, że ma skończoną dokładną górną granicę. twarz supX xn®supX (oznaczamy supX przez x*). Ponieważ x* dokładnie od góry. twarz, wtedy xn£x* " n. " e >0 nerw jest na zewnątrz $ xm (niech m będzie n z pokrywką): xm>x*-e gdzie " n>m => ze wskazanych 2 nierówności otrzymujemy druga nierówność x*-e£xn£x*+e dla n>m jest równa ½xn-x*1 BILET 8 Wykładnik lub liczba e Liczba R-rzymska ciąg o wspólnym wyrazie xn=(1+1/n)^n (do potęgi n)(1) . Okazuje się, że ciąg (1) rośnie monotonicznie, jest ograniczony z góry i zbieżny, granica tego ciągu nazywana jest wykładniczą i oznaczona symbolem e»2,7128... Numer mi BILET 9 Zasada zagnieżdżonych segmentów Niech na osi liczbowej będzie podany ciąg odcinków ,,...,,... Ponadto segmenty te spełniają następujące wymagania. stan : schorzenie: 1) każdy kolejny jest zagnieżdżony w poprzednim, tj. М, "n=1,2,…; 2) Długości odcinków ®0 w miarę wzrostu n, tj. lim(n®¥)(bn-an)=0. Sekwencje z określonymi świętymi nazywane są zagnieżdżonymi. Twierdzenie Dowolna sekwencja zagnieżdżonych segmentów zawiera pojedyncze t-ku należące jednocześnie do wszystkich segmentów sekwencji wspólny punkt wszystkich segmentów, do których są przypisane. Dokument(an) - sekwencja lewych końców segmentów zjawisk. monotonicznie nie malejący i ograniczony powyżej przez liczbę b1. (bn) - ciąg prawych końców nie jest monotonicznie rosnący, stąd te ciągi zjawisk. zbieżny, tj. są liczby c1=lim(n®¥)an i c2=lim(n®¥)bn => c1=c2 => c - ich Ogólne znaczenie. Rzeczywiście ma granicę lim(n®¥)(bn-an)= lim(n®¥)(bn)- lim(n®¥)(an) ze względu na warunek 2) o= lim(n®¥) (bn- an)=с2-с1=> с1=с2=с Jasne jest, że t.c jest wspólne dla wszystkich segmentów, ponieważ „n an£c£bn. Teraz udowodnimy, że jest to jeden. Załóżmy, że $ jest kolejnym c', do którego są zaciągnięte wszystkie segmenty. Jeśli weźmiemy jakieś nieprzecinające się odcinki c i c', to z jednej strony cały „ogon” ciągów (an), (bn) powinien znajdować się w pobliżu punktu c'' (ponieważ an i bn zbiegają się do c i c' jednocześnie). Sprzeczność jest prawdziwa. BILET 10 Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa
Z dowolnego cięcia. Następnie możesz wybrać spotkanie. Podprogram 1. Ponieważ ciąg jest ograniczony, wówczas $ m i M, takie że " m£xn£M, " n. D1= – odcinek, w którym leżą wszystkie ciągi t-ki. Podzielmy to na pół. Co najmniej jedna z połówek będzie zawierać nieskończoność numer t-k Po. D2 to połowa, w której znajduje się nieskończona liczba sekwencji t-k. Dzielimy go na pół. Przynajmniej w jednej z połówek neg. D2 ma nieskończoną liczbę sekwencji. Ta połowa to D3. Podziel odcinek D3... itd. otrzymujemy ciąg zagnieżdżonych segmentów, których długości dążą do 0. Zgodnie z regułą o zagnieżdżonych segmentach, $ jednostek. t-ka S, kat. należący wszystkie odcinki D1, dowolne t-tu Dn1. W odcinku D2 wybieram punkt xn2 tak, aby n2>n1. W segmencie D3... itd. W rezultacie ostatnim słowem jest xnkÎDk. BILET 11 BILET 12 fundamentalny Podsumowując, rozważamy kwestię kryterium zbieżności ciągu liczbowego. Niech tj.: Otrzymaliśmy następujące oświadczenie: Jeśli ciąg jest zbieżny, warunek jest spełniony Cauchy'ego: Nazywa się ciąg liczbowy spełniający warunek Cauchy’ego fundamentalny. Można udowodnić, że jest też odwrotnie. Mamy zatem kryterium (warunek konieczny i wystarczający) zbieżności ciągu. Kryterium Cauchy'ego. Aby ciąg miał granicę, konieczne i wystarczające jest, aby był fundamentalny. Drugie znaczenie kryterium Cauchy’ego. Członkowie sekwencji i gdzie N I M– dowolne podejście bez limitu o godz. BILET 13 Granice jednostronne. Definicja 13.11. Numer A nazywamy granicą funkcji y = f(x) Na X, dążenie do x 0 lewy (prawy), jeśli taki, że | f(x)-A|<ε при x 0 – x< δ
(x - x 0< δ
). Oznaczenia: Twierdzenie 13.1 (druga definicja granicy). Funkcjonować y=f(x) ma o X, dążenie do X 0, granica równa A, wtedy i tylko wtedy, gdy obie jego jednostronne granice w tym punkcie istnieją i są równe A. Dowód. 1) Jeśli , to i dla x 0 – x< δ, и для x - x 0< δ
|f(x) - A|<ε, то есть 1) Jeżeli , to istnieje δ 1: | f(x) - A| < ε при x 0 – x< δ 1 и δ 2: |f(x) - A| < ε при x - x 0<
δ2. Wybierając mniejszą spośród liczb δ 1 i δ 2 i przyjmując ją jako δ, otrzymujemy, że dla | x - x 0| < δ |f(x) - A| < ε, то есть . Теорема доказана. Komentarz. Ponieważ udowodniono równoważność wymagań zawartych w definicji granicy 13.7 oraz warunków istnienia i równości granic jednostronnych, warunek ten można uznać za drugą definicję granicy. Definicja 4 (według Heinego) Numer A nazywa się granicą funkcji, jeśli dowolny BBP wartości argumentów, sekwencja odpowiednich wartości funkcji zbiega się do A. Definicja 4 (wg Cauchy’ego). Numer A zadzwonił, jeśli. Udowodniono, że definicje te są równoważne. BILET 14 i 15 Własności granicy funkcji w punkcie 1) Jeśli istnieje granica, to jest ona jedyna 2) Jeżeli w tka x0 granica funkcji f(x) lim(x®x0)f(x)=A lim(x®x0)g(x)£B=> to w tym przypadku $ jest granicą sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu. Rozdzielenie tych 2 funkcji. a) lim(x®x0)(f(x)±g(x))=A±B b) lim(x®x0)(f(x)*g(x))=A*B c) lim(x®x0)(f(x):g(x))=A/B d) lim(x®x0)C=C e) lim(x®x0)C*f(x)=C*A Twierdzenie 3. Jeśli ( odpowiednio A ), to $ sąsiedztwo, w którym zachodzi nierówność >B (odp Zakładając w Twierdzeniu 3 B=0, otrzymujemy: jeśli ( odpowiednio), następnie $ , we wszystkich punktach, co będzie >0 (odp<0),
te. funkcja zachowuje znak swojej granicy. Twierdzenie 4(o przejściu do granicy nierówności). Jeżeli w jakimś sąsiedztwie punktu (być może z wyjątkiem samego tego punktu) warunek jest spełniony i funkcje te mają w tym punkcie granice, to . W języku i. Przedstawmy funkcję. Wiadomo, że w okolicach t. . Następnie, na podstawie twierdzenia o zachowaniu funkcji, mamy wartość jej granicy, ale Twierdzenie 5.(na granicy funkcji pośredniej). (1) Jeśli BILET 16 Definicja 14.1. Funkcjonować y=α(x) nazywa się nieskończenie małym w x → x 0, Jeśli Własności nieskończenie małe. 1. Suma dwóch nieskończenie małych jest nieskończenie mała. Dowód. Jeśli α(x) I β(x) – nieskończenie przy x → x 0, to istnieją δ 1 i δ 2 takie, że | α(x)|<ε/2 и |β(X)|<ε/2 для выбранного значения ε. Тогда |α(x)+β(x)|≤|α(x)|+|β(x)|<ε, то есть |(α(x)+β(x))-0|<ε. Следовательно, Komentarz. Wynika z tego, że suma dowolnej skończonej liczby nieskończenie małych jest nieskończenie mała. 2. Jeśli α( X) – nieskończenie przy x → x 0, A f(x) – funkcja ograniczona pewnym otoczeniem x 0, To α(x)f(x) – nieskończenie przy x → x 0. Dowód. Wybierzmy liczbę M taki, że | f(x)| Wniosek 1. Iloczyn nieskończonej liczby przez liczbę skończoną jest nieskończenie mały. Wniosek 2. Iloczyn dwóch lub więcej nieskończenie małych jest nieskończenie mały. Wniosek 3. Liniowa kombinacja nieskończenie małych jest nieskończenie mała. 3. (Trzecia definicja granicy). Jeśli , to warunkiem koniecznym i wystarczającym jest to, że funkcja f(x) można przedstawić w postaci f(x)=A+α(x), Gdzie α(x) – nieskończenie przy x → x 0. Dowód. 1)
Niech więc | f(x)-A|<ε при x → x 0, to jest α(x)=f(x)-A– nieskończenie mały przy x → x 0 . Stąd , f(x)=A+α(x). 2) Niech f(x)=A+α(x). Następnie Komentarz. W ten sposób uzyskuje się inną definicję granicy, równoważną dwóm poprzednim. Nieskończenie duże funkcje. Definicja 15.1. Mówi się, że funkcja f(x) jest nieskończenie duża dla x x 0, jeśli Dla nieskończenie dużych można wprowadzić ten sam system klasyfikacji, co dla nieskończenie małych, a mianowicie: 1. Nieskończenie duże f(x) i g(x) są uważane za wielkości tego samego rzędu, jeśli 2. Jeśli , to f(x) uważa się za nieskończenie duże wyższego rzędu niż g(x). 3. Nieskończenie duże f(x) nazywa się wielkością k-tego rzędu względem nieskończenie dużego g(x), jeśli . Komentarz. Zauważ, że a x jest nieskończenie duże (dla a>1 i x) wyższego rzędu niż x k dla dowolnego k, a log a x jest nieskończenie duże niższego rzędu niż dowolna potęga x k. Twierdzenie 15.1. Jeśli α(x) jest nieskończenie małe jako x → x 0, to 1/α(x) jest nieskończenie duże jako x → x 0. Dowód. Udowodnijmy to dla |x - x 0 |< δ. Для этого достаточно выбрать в качестве ε 1/M. Тогда при |x - x 0 | < δ |α(x)|<1/M, следовательно, |1/α(x)|>M. Oznacza to, że 1/α(x) jest nieskończenie duże jako x → x 0. BILET 17 Twierdzenie 14.7 (pierwsza niezwykła granica). . Dowód. Rozważ okrąg o promieniu jednostkowym ze środkiem w początku i załóż, że kąt AOB jest równy x (radianów). Porównajmy pola trójkąta AOB, odcinka AOB i trójkąta AOC, gdzie prosta OS jest styczna do okręgu przechodzącego przez punkt (1;0). To oczywiste. Stosując odpowiednie wzory geometryczne na pola figur, otrzymujemy z tego, że LICZBY PRAWDZIWE II § 37 Reprezentacja geometryczna liczb wymiernych Pozwalać Δ
jest odcinkiem traktowanym jako jednostka długości, oraz l
- dowolna linia prosta (ryc. 51). Zajmijmy się tym jakimś punktem i oznaczmy go literą O. Każda dodatnia liczba wymierna M /
N
dopasujmy punkt do linii prostej l
, leżącego na prawo od C w odległości M /
N
jednostki długości. Przykładowo liczba 2 będzie odpowiadać punktowi A leżącemu na prawo od O w odległości 2 jednostek długości, a liczba 5/4 będzie odpowiadać punktowi B leżącemu na prawo od O w odległości 5 /4 jednostki długości. Każda ujemna liczba wymierna k /
l
powiążmy punkt z linią prostą leżącą na lewo od O w odległości | k /
l
| jednostki długości. Zatem liczba - 3 będzie odpowiadać punktowi C, leżącemu na lewo od O w odległości 3 jednostek długości, a liczba - 3/2 punktowi D, leżącemu na lewo od O w odległości 3/ 2 jednostki długości. Na koniec kojarzymy liczbę wymierną „zero” z punktem O. Oczywiście przy wybranej korespondencji równe liczby wymierne (na przykład 1/2 i 2/4) będą odpowiadać temu samemu punktowi, a różne punkty linii nie będą odpowiadać równym liczbom. Załóżmy, że liczba M /
N
punkt P odpowiada i liczba k /
l
punkt Q. To jeśli M /
N
> k /
l
, wówczas punkt P będzie leżeć na prawo od punktu Q (ryc. 52, a); Jeśli M /
N
< k /
l
, wówczas punkt P będzie zlokalizowany na lewo od punktu Q (ryc. 52, b). Zatem każdą liczbę wymierną można przedstawić geometrycznie w postaci dobrze określonego punktu na linii. Czy stwierdzenie przeciwne jest prawdziwe? Czy każdy punkt na prostej można uznać za obraz geometryczny jakiejś liczby wymiernej? Decyzję w tej sprawie odroczymy do § 44. Ćwiczenia
296. Narysuj następujące liczby wymierne jako punkty na prostej: 3; - 7 / 2 ; 0 ; 2,6. 297. Wiadomo, że punkt A (ryc. 53) służy jako obraz geometryczny liczby wymiernej 1/3. Jakie liczby reprezentują punkty B, C i D? 298. Na prostej podane są dwa punkty, które służą jako geometryczna reprezentacja liczb wymiernych A
I B
a + b
I a - b
. 299. Na prostej podane są dwa punkty, które służą jako geometryczna reprezentacja liczb wymiernych a + b
I a - b
. Znajdź punkty reprezentujące liczby na tej linii A
I B
. Wyrazistą geometryczną reprezentację układu liczb wymiernych można uzyskać w następujący sposób. Ryż. 8. Oś liczbowa Na pewnej prostej, „osi liczb”, zaznaczamy odcinek od 0 do 1 (ryc. 8). Określa to długość odcinka jednostkowego, który, ogólnie rzecz biorąc, można wybrać dowolnie. Dodatnie i ujemne liczby całkowite są następnie przedstawiane przez zbiór równomiernie rozmieszczonych punktów na osi liczb, czyli liczby dodatnie są zaznaczane po prawej stronie, a liczby ujemne po lewej stronie punktu 0. Aby przedstawić liczby za pomocą mianownika, dzielimy każdą z nich powstałe odcinki długości jednostkowej na równe części; punkty dzielenia będą reprezentować ułamki z mianownikiem.Jeśli zrobimy to dla wartości odpowiadających wszystkim liczbom naturalnym, to każda liczba wymierna zostanie przedstawiona przez jakiś punkt na osi liczb. Zgodzimy się nazwać te punkty „racjonalnymi”; Ogólnie rzecz biorąc, będziemy używać terminów „liczba wymierna” i „punkt wymierny” jako synonimów. W rozdziale I § 1 zdefiniowano relację nierówności dla liczb naturalnych. Na osi liczb zależność tę odzwierciedla się następująco: jeżeli liczba naturalna A jest mniejsza od liczby naturalnej B, to punkt A leży na lewo od punktu B. Ponieważ wskazana zależność geometryczna jest ustalana dla dowolnej pary punktów wymiernych, to rzeczą naturalną jest próba uogólnienia w ten sposób relacji nierówności arytmetycznej, aby zachować ten porządek geometryczny dla rozpatrywanych punktów. Jest to możliwe, jeśli przyjmiemy następującą definicję: mówimy, że liczba wymierna A jest mniejsza od liczby wymiernej lub że liczba B jest większa od liczby, jeśli różnica jest dodatnia. Wynika z tego (w ), że punkty (liczby) pomiędzy to te, które jednocześnie Każda taka para punktów wraz ze wszystkimi punktami pomiędzy nimi nazywana jest odcinkiem (lub odcinkiem) i oznaczana (a sam zbiór punktów pośrednich nazywany jest przedziałem (lub przedziałem), oznaczany Odległość dowolnego punktu A od początku 0, uważana za liczbę dodatnią, nazywana jest wartością bezwzględną A i jest oznaczona symbolem Pojęcie „wartości bezwzględnej” definiuje się następująco: jeśli , to jeśli wtedy Jest oczywiste, że jeśli liczby mają ten sam znak, to jest prawdziwa równość, jeśli mają różne znaki, to . Łącząc te dwa wyniki, dochodzimy do ogólnej nierówności co jest prawdą niezależnie od znaków Fakt o fundamentalnym znaczeniu wyraża następujące zdanie: punkty wymierne są gęsto rozmieszczone w każdym miejscu na osi liczbowej. Znaczenie tego stwierdzenia jest takie, że każdy przedział, niezależnie od tego, jak mały, zawiera punkty wymierne. Aby sprawdzić słuszność podanego twierdzenia, wystarczy przyjąć liczbę tak dużą, że przedział ( będzie mniejszy od podanego przedziału; wtedy przynajmniej jeden z punktów formy będzie się w danym przedziale mieścił. Zatem nie będzie nie ma takiego przedziału na osi liczb (nawet najmniejszego, jaki można sobie wyobrazić), w którym nie byłoby punktów wymiernych. Stąd wynika dalszy wniosek: każdy przedział zawiera nieskończoną liczbę punktów wymiernych. Rzeczywiście, gdyby pewien przedział zawierał tylko skończona liczba punktów wymiernych, to w przedziale utworzonym przez dwa sąsiednie takie punkty nie byłoby już punktów wymiernych, co jest sprzeczne z tym, co właśnie zostało udowodnione. Istnieją następujące formy liczb zespolonych: algebraiczny(x+iy), trygonometryczny(r(cos+isin Dowolną liczbę zespoloną z=x+iy można przedstawić na płaszczyźnie XOU jako punkt A(x,y). Płaszczyzna, na której są przedstawione liczby zespolone, nazywana jest płaszczyzną zmiennej zespolonej z (na płaszczyźnie umieszczamy symbol z). Oś OX jest osią rzeczywistą, tj. zawiera liczby rzeczywiste. Jednostka organizacyjna to urojona oś z liczbami urojonymi. x+i- algebraiczna forma zapisu liczby zespolonej. Wyprowadźmy trygonometryczną formę zapisu liczby zespolonej. Otrzymane wartości podstawiamy do postaci wyjściowej: , tj. r(kos Wykładnicza forma zapisu liczby zespolonej wynika ze wzoru Eulera: z= Odnośnie I 1.
dodatek. z 1 + z 2 =(x1+iy1)+ (x2+iy2)=(x1+x2)+i(y1+y2); 2
. odejmowanie. z 1 -z 2 =(x1+iy1)- (x2+iy2)=(x1-x2)+i(y1-y2); 3.
mnożenie. z 1 z 2 =(x1+iy1)*(x2+iy2)=x1x2+i(x1y2+x2y1+iy1y2)=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1); 4
. dział. z 1 /z 2 =(x1+iy1)/(x2+iy2)=[(x1+iy1)*(x2-iy2)]/[ (x2+iy2)*(x2-iy2)]= Dwie liczby zespolone, które różnią się jedynie znakiem jednostki urojonej, tj. z=x+iy (z=x-iy) nazywane są koniugatem. Praca. z1=r(cos Znaleziono iloczyn z1*z2 liczb zespolonych: , tj. moduł iloczynu jest równy iloczynowi modułów, a argument iloczynu jest równy sumie argumentów czynników. Prywatny. Jeśli liczby zespolone są podane w formie trygonometrycznej. Jeśli liczby zespolone są podane w postaci wykładniczej. Potęgowanie. 1.
Liczba zespolona podana w algebraiczny
formularz. z=x+iy, wówczas z n znajduje się według Wzór dwumianowy Newtona: Zastosuj dla liczb zespolonych. W wynikowym wyrażeniu należy zastąpić potęgi i ich wartościami: i 0 =1 Zatem w ogólnym przypadku otrzymujemy: i 4k =1 ja 1 = ja i 4k+1 = ja i 2 =-1 i 4k+2 =-1 i 3 =-i i 4k+3 =-i Przykład. ja 31 = ja 28 i 3 =-i ja 1063 = ja 1062 i=i 2.
trygonometryczny
formularz. z=r(cos -
Wzór Moivre’a. Tutaj n może oznaczać „+” lub „-” (liczba całkowita). 3.
Jeżeli podana jest liczba zespolona orientacyjny
formularz: Ekstrakcja korzeni. Rozważ równanie: Jego rozwiązaniem będzie n-ty pierwiastek liczby zespolonej z: N-ty pierwiastek liczby zespolonej z ma dokładnie n rozwiązań (wartości). N-ty pierwiastek liczby rzeczywistej ma tylko jedno rozwiązanie. W układach złożonych istnieje n rozwiązań. Jeżeli podana jest liczba zespolona trygonometryczny
formularz: z=r(cos Niech zmienna a przyjmuje kolejno wartości a 1, a 2, a 3,…, n. Taki przenumerowany zbiór liczb nazywany jest sekwencją. To jest nieskończone. Seria liczb to wyrażenie a 1 + a 2 + a 3 +…+a n +…= Na przykład. a 1 jest pierwszym wyrazem szeregu. oraz n jest n-tym lub wspólnym wyrazem szeregu. Szereg uważa się za dany, jeśli znany jest n-ty (wspólny wyraz szeregu). Szereg liczbowy ma nieskończoną liczbę wyrazów. Liczniki – postęp arytmetyczny
(1,3,5,7…). N-ty wyraz można znaleźć za pomocą wzoru a n =a 1 +d(n-1); d=a n -a n-1 . Mianownik – postęp geometryczny. b n = b 1 q n-1 ; Rozważ sumę pierwszych n wyrazów serii i oznacz ją Sn. Sn=a1+a2+…+a n. Sn jest n-tą sumą częściową szeregu. Rozważ granicę: S jest sumą szeregu. Wiersz zbieżny
, jeśli ta granica jest skończona (istnieje skończona granica S). Wiersz rozbieżny
, jeśli granica ta jest nieskończona. W przyszłości naszym zadaniem będzie ustalenie, który rząd. Jednym z najprostszych, ale najczęściej spotykanych szeregów jest postęp geometryczny. Postęp geometryczny jestzbieżny
w pobliżu, Jeśli Również szereg harmoniczny(wiersz 
Wraz z liczbą naturalną możemy podstawić inną nierówność do ostatniej nierówności Liczba naturalna 
,Następnie
i w pewnym sąsiedztwie punktu (być może z wyjątkiem samego punktu) warunek (2) jest spełniony, wówczas funkcja ma granicę w punkcie i granica ta jest równa A. według warunku (1) $ for (tutaj jest najmniejsze otoczenie punktu ). Ale wtedy, ze względu na warunek (2), wartość również będzie zlokalizowana w pobliżu punktu A, te. .
, to jest α(x)+β(x) – nieskończenie małe.
oznacza | f(x)-A|<ε при |x - x 0| < δ(ε). Cледовательно, .
lub sinx 
)),
orientacyjny(re ja 
).
+isin
)
- trygonometryczna forma zapisu liczby zespolonej.
,Następnie 
- wykładnicza forma zapisu liczby zespolonej.Operacje na liczbach zespolonych.
+isin 
); z2=r(cos 
+isin 
).
;
;
- liczba kombinacji n elementów m (liczba sposobów, na jakie można pobrać n elementów z m).
; n!=1*2*…*n; 0!=1; 
.
+isin 
), To
.
.
+isin 
), wówczas n-ty pierwiastek z znajduje się ze wzoru:
, gdzie k=0,1…n-1.Wydziwianie. Seria liczb.
. Liczby a 1, a 2, a 3,... i n są elementami szeregu.
.
, C=stała.
i rozbieżne jeśli 
.
). Ten rząd rozbieżny
.
