Trzy zasady ruchu postępowego Newtona. Dynamika ruchu postępowego punktu materialnego. Prawa Newtona. Pytania do samodzielnej nauki

1. Inercyjne układy odniesienia. Prawa Newtona. Masa, pęd, siła. Równanie ruchu punkt materialny.

2. Koncepcja układu zamkniętego. Prawo zachowania pędu. Środek masy układu mechanicznego, prawo ruchu środka masy.

3. Ruch ciał o zmiennej masie. Równanie Meshchersky'ego. Wzór Ciołkowskiego.

Cele:

· wprowadzić pojęcia inercjalnego i nieinercyjnego układu odniesienia, masy, pędu, siły, układu zamkniętego;

· studiować prawa Newtona;

· wyprowadzić i sformułować prawo zachowania pędu;

· opisywać ruch ciał o zmiennej masie;

· wyprowadź równanie Meshchersky'ego i wzór Ciołkowskiego.

Literatura:

1. Trofimova T.I. Kurs fizyki: instruktaż dla specjalności inżynieryjno-technicznych uczelni - M.: Academia, 2006, 2007 i 2008.

2. Kurs fizyki Grabovsky R.I. [ Zasób elektroniczny]: podręcznik / R. I. Grabovsky – St. Petersburg [i inne]: Lan, 2012.

3. Kurs Zismana G. A fizyka ogólna[Zasoby elektroniczne]: [podręcznik dla studentów szkół wyższych instytucje edukacyjne studenci kierunków i specjalności technicznych, przyrodniczo-pedagogicznych]: W 3 tomach / G. A. Zisman, O. M. Todes - St. Petersburg [itp.]: Lan, 2007- T. 2: Elektryczność i magnetyzm.

4. Liventsev N.M. Kurs fizyki [Zasoby elektroniczne]: podręcznik - St. Petersburg: Lan, 2012.

5. Babaev V.S., Legusha F.F. Kurs korekcyjny z fizyki [Zasoby elektroniczne] – St.Petersburg: Lan, 2011.

6. Kałasznikow N.P. Podstawy fizyki: podręcznik dla uniwersytetów: w 2 tomach / N.P. Kałasznikow, M.A. Smondyrev - M.: Drop, 2007.

7. Rogachev N. M. Kurs fizyki [Zasoby elektroniczne]: [podręcznik dla studentów studiujących na kierunku inżynieria i technologia] / N. M. Rogachev - St. Petersburg [itd.]: Lan, 2010.

8. Aleksandrow I.V. itd. Nowoczesna fizyka[Zasoby elektroniczne]: Podręcznik dla studentów wszystkich form kształcenia studiujących na kierunkach i specjalnościach technicznych i technologicznych - Ufa: UGATU, 2008.

Dynamika punktu materialnego i ruch translacyjny solidny

Pierwsze prawo Newtona. Waga. Siła

Dynamika jest głównym działem mechaniki, opiera się na trzech prawach Newtona, sformułowanych przez niego w 1687 r. Prawa Newtona odgrywają w mechanice wyjątkową rolę i są (jak wszystkie prawa fizyczne) uogólnienie wyników rozległego ludzkiego doświadczenia. Są postrzegani jako system powiązanych ze sobą praw i to nie każde indywidualne prawo jest poddawane testom eksperymentalnym, ale cały system jako całość.

Pierwsze prawo Newtona: każdy punkt materialny (ciało) utrzymuje stan spoczynku lub jednolity ruch prostoliniowy dopóki wpływ innych ciał nie zmusi jej do zmiany tego stanu. Nazywa się dążenie ciała do utrzymania stanu spoczynku lub jednostajnego ruchu prostoliniowego bezwładność. Dlatego nazywa się również pierwszą zasadą Newtona prawo bezwładności.

Ruch mechaniczny jest względny, a jego charakter zależy od układu odniesienia. Pierwsza zasada Newtona nie jest spełniona w każdym układzie odniesienia i nazywa się te układy, w odniesieniu do których jest ona spełniona inercyjne układy odniesienia. Inercyjny układ odniesienia to układ odniesienia, względem którego punkt materialny, wolny od wpływów zewnętrznych, albo w spoczynku, albo w ruchu jednostajnym i po linii prostej. Pierwsze prawo Newtona stwierdza istnienie inercjalnych układów odniesienia.

Ustalono eksperymentalnie, że heliocentryczny (gwiazdowy) układ odniesienia można uznać za inercyjny (początek współrzędnych znajduje się w centrum Słońca, a osie są skierowane w stronę niektórych gwiazd). Układ odniesienia związany z Ziemią jest, ściśle mówiąc, nieinercyjny, ale efekty wynikające z jego nieinercyjności (Ziemia obraca się wokół własną oś i wokół Słońca), przy rozwiązywaniu wielu problemów są znikome i w takich przypadkach można je uznać za inercyjne.

Z doświadczenia wiadomo, że pod tymi samymi wpływami różne ciała inaczej zmieniają prędkość swojego ruchu, czyli innymi słowy uzyskują różne przyspieszenia. Przyspieszenie zależy nie tylko od wielkości uderzenia, ale także od właściwości samego ciała (jego masy).

Waga ciała - wielkość fizyczna, co jest jedną z głównych cech materii, określającą jej bezwładność ( masa obojętna) i grawitacyjny ( masa grawitacyjna) nieruchomości. Obecnie można uznać za udowodnione, że masy bezwładności i grawitacji są sobie równe (z dokładnością co najmniej 10–12 ich wartości).

Aby opisać wpływy wspomniane w pierwszym prawie Newtona, wprowadzono pojęcie siły. Pod wpływem sił ciała albo zmieniają prędkość ruchu, czyli uzyskują przyspieszenie (dynamiczny przejaw sił), albo ulegają deformacji, czyli zmieniają swój kształt i rozmiar (statyczny przejaw sił). W każdym momencie siła charakteryzuje się wartością liczbową, kierunkiem w przestrzeni i punktem przyłożenia. Więc, siła jest wielkością wektorową będącą miarą mechanicznego oddziaływania na ciało innych ciał lub pól, w wyniku którego ciało uzyskuje przyspieszenie lub zmienia swój kształt i rozmiar.

Drugie prawo Newtona

Drugie prawo Newtona – podstawowe prawo dynamiki ruchu postępowego - odpowiada na pytanie, jak zmienia się ruch mechaniczny punktu materialnego (ciała) pod wpływem przyłożonych do niego sił.

Jeśli weźmiemy pod uwagę działanie różnych sił na to samo ciało, okaże się, że przyspieszenie uzyskane przez ciało jest zawsze wprost proporcjonalne do wypadkowej przyłożonych sił:

a ~ F (t = stała). (6.1)

Kiedy ta sama siła działa na ciała o różnych masach, ich przyspieszenia okazują się różne, a mianowicie

~ 1 /t (F= stała). (6.2)

Korzystając ze wyrażeń (6.1) i (6.2) oraz biorąc pod uwagę, że siła i przyspieszenie są wielkościami wektorowymi, możemy napisać

a = kF/m. (6.3)

Zależność (6.3) wyraża drugie prawo Newtona: przyspieszenie uzyskane przez punkt materialny (ciało), proporcjonalne do wywołującej go siły, pokrywa się z nim w kierunku i jest odwrotnie proporcjonalne do masy punktu materialnego (ciała).

We współczynniku proporcjonalności SI k= 1. Następnie

(6.4)

Biorąc pod uwagę, że masa punktu materialnego (ciała) w mechanice klasycznej jest wielkością stałą, w wyrażeniu (6.4) można ją zapisać pod znakiem pochodnej:

Wielkość wektorowa

nazywa się liczbowo równy iloczynowi masy punktu materialnego i jego prędkości oraz mający kierunek prędkości impuls (ilość ruchu) ten materialny punkt.

Podstawiając (6.6) do (6.5) otrzymujemy

To wyrażenie - bardziej ogólne sformułowanie drugiego prawa Newtona: szybkość zmiany pędu punktu materialnego jest równa działającej na niego sile. Wywołuje się wyrażenie (6.7). równanie ruchu punktu materialnego.

Jednostką siły w układzie SI jest niuton(N): 1 N to siła, która nadaje przyspieszenie 1 m/s 2 masie 1 kg w kierunku siły:

1 N = 1 kg×m/s 2.

Drugie prawo Newtona obowiązuje tylko w inercjalnych układach odniesienia. Pierwszą zasadę Newtona można wyprowadzić z drugiej. Rzeczywiście, jeśli siły wypadkowe są równe zeru (przy braku wpływu innych ciał na ciało), przyspieszenie (patrz (6.3)) również wynosi zero. Jednakże Pierwsze prawo Newtona Widziany jako niezależne prawo(a nie w konsekwencji drugiego prawa), gdyż to on stwierdza istnienie inercjalnych układów odniesienia, w których spełnione jest jedynie równanie (6.7).

W mechanice bardzo ważne To ma zasada niezależnego działania sił: jeśli na punkt materialny działa jednocześnie kilka sił, to każda z tych sił nadaje przyspieszenie punktowi materialnemu zgodnie z drugim prawem Newtona, tak jakby nie było innych sił. Zgodnie z tą zasadą siły i przyspieszenia można rozłożyć na składowe, których zastosowanie prowadzi do znacznego uproszczenia rozwiązywania problemów. Na przykład na ryc. 10 siła skuteczna F= M a rozkłada się na dwie składowe: siłę styczną F t (skierowaną stycznie do trajektorii) i siłę normalną F N(skierowany normalnie do środka krzywizny). Używanie wyrażeń i i , możemy pisać:

Jeżeli na punkt materialny działa jednocześnie kilka sił, to zgodnie z zasadą niezależności działania sił przez siłę wypadkową rozumie się F w drugim prawie Newtona.

Trzecie prawo Newtona

Wyznacza się interakcję pomiędzy punktami materialnymi (ciałami). Trzecie prawo Newtona: każde oddziaływanie punktów materialnych (ciał) na siebie ma charakter interakcji; siły, z którymi punkty materialne działają na siebie, są zawsze równej wielkości, przeciwnie skierowane i działają wzdłuż linii prostej łączącej te punkty:

F 12 = – F 21, (7.1)

gdzie F 12 jest siłą działającą na pierwszy punkt materialny z drugiego;

F 21 - siła działająca na drugi punkt materialny od pierwszego. Siły te są przykładane różny punkty materialne (ciała), zawsze działajcie W parach i są siłami o tym samym charakterze.

Trzecie prawo Newtona pozwala na przejście od dynamiki oddzielny materiał wskazuje na dynamikę systemy punkty materialne. Wynika to z faktu, że dla układu punktów materialnych oddziaływanie sprowadza się do sił oddziaływania parami pomiędzy punktami materialnymi.

Siły tarcia

Omawiając siły dotychczas nie interesowało nas ich pochodzenie. Jednak w mechanice będziemy rozważać różne siły: tarcie, sprężystość, grawitację.

Z doświadczenia wiadomo, że każde ciało poruszające się po poziomej powierzchni innego ciała, przy braku działających na nie innych sił, z czasem spowalnia swój ruch, aż w końcu się zatrzymuje. Można to wytłumaczyć istnieniem siły tarcia, co zapobiega przesuwaniu się stykających się ciał względem siebie. Siły tarcia zależą od prędkości względnych ciał. Siły tarcia mogą mieć różną naturę, jednak w wyniku ich działania energia mechaniczna zawsze zamienia się w energię wewnętrzną stykających się ciał.

Istnieje tarcie zewnętrzne (suche) i wewnętrzne (ciekłe lub lepkie). Tarcie zewnętrzne nazywa się tarciem, które występuje w płaszczyźnie styku dwóch stykających się ciał podczas ich względnego ruchu. Jeżeli stykające się ciała są nieruchome względem siebie, mówią o tarciu statycznym, natomiast jeśli następuje względny ruch tych ciał, to w zależności od charakteru ich względnego ruchu mówią o tarciu tarcie ślizgowe, walcowanie Lub spinning.

Tarcie wewnętrzne nazywa się tarciem pomiędzy częściami tego samego ciała, na przykład pomiędzy różnymi warstwami cieczy lub gazu, którego prędkość różni się w zależności od warstwy. W przeciwieństwie do tarcia zewnętrznego, nie ma tu tarcia statycznego. Jeżeli ciała ślizgają się względem siebie i oddziela je warstwa lepkiej cieczy (smaru), wówczas w warstwie smaru następuje tarcie. W tym przypadku o tym mówią tarcie hydrodynamiczne(warstwa smaru jest dość gruba) i tarcie graniczne (grubość warstwy smaru wynosi »0,1 mikrona lub mniej).

Omówmy niektóre wzorce tarcia zewnętrznego. Tarcie to jest spowodowane chropowatością stykających się powierzchni; w przypadku bardzo gładkich powierzchni tarcie wynika z sił przyciągania międzycząsteczkowego.

Rozważmy ciało leżące na płaszczyźnie (rys. 11), na które przyłożona jest pozioma siła F. Ciało zacznie się poruszać dopiero wtedy, gdy przyłożona siła F będzie większa od siły tarcia F tr. Francuscy fizycy G. Amonton (1663-1705) i C. Coulomb (1736-1806) ustalili eksperymentalnie, co następuje: prawo: siła tarcia ślizgowego F tr jest proporcjonalna do siły N ciśnienie normalne, z jakim jedno ciało oddziałuje na drugie:

F tr = f N ,

Gdzie F- współczynnik tarcia ślizgowego, zależny od właściwości stykających się powierzchni.

Znajdźmy wartość współczynnika tarcia. Jeżeli ciało znajduje się na nachylonej płaszczyźnie o kącie nachylenia a (rys. 12), to zaczyna się poruszać dopiero wtedy, gdy składowa styczna F siły ciężkości P jest większa od siły tarcia F tr. Zatem w przypadku granicznym (początek przesuwania się nadwozia) F=F tr. Lub P grzech 0 = fa N = fa P cos 0, skąd

f = tga 0.

Zatem współczynnik tarcia równy tangensowi kąt a 0, przy którym ciało zaczyna się ślizgać równia pochyła.

W przypadku gładkich powierzchni przyciąganie międzycząsteczkowe zaczyna odgrywać pewną rolę. Dla nich jest to stosowane Prawo tarcia ślizgowego

F tr = F jest ( N + Sp 0) ,

Gdzie R 0 - dodatkowe ciśnienie wywołane siłami przyciągania międzycząsteczkowego, które szybko maleją wraz ze wzrostem odległości między cząsteczkami; S- obszar styku ciał; F ist - rzeczywisty współczynnik tarcia ślizgowego.

Tarcie odgrywa dużą rolę w przyrodzie i technologii. Dzięki tarciu pojazdy poruszają się, utrzymuje się gwóźdź wbity w ścianę itp.

W niektórych przypadkach siły tarcia mają szkodliwy wpływ i dlatego należy je zmniejszyć. W tym celu na trące się powierzchnie nakłada się smar (siła tarcia zmniejsza się około 10-krotnie), który wypełnia nierówności pomiędzy tymi powierzchniami i umieszcza się cienką warstwą pomiędzy nimi tak, aby powierzchnie przestały się stykać , a poszczególne warstwy cieczy ślizgają się względem siebie. W ten sposób tarcie zewnętrzne ciał stałych zostaje zastąpione znacznie mniejszym tarciem wewnętrznym cieczy.

Radykalnym sposobem zmniejszenia tarcia jest zastąpienie tarcia ślizgowego tarciem tocznym (łożyska kulkowe, wałeczkowe itp.). Siłę tarcia tocznego określa się zgodnie z prawem ustanowionym przez Coulomba:

F tr = F Do N/r , (8.1)

Gdzie R- promień korpusu tocznego; F k - współczynnik tarcia tocznego, mający wymiar śm F k = L. Z (8.1) wynika, że siła tarcia tocznego jest odwrotnie proporcjonalna do promienia toczącego się korpusu.

Prawo zachowania pędu. Środek masy

Aby wyprowadzić prawo zachowania pędu, rozważ kilka koncepcji. Zbiór punktów materialnych (ciał) traktowanych jako jedna całość nazywa się układ mechaniczny. Siły oddziaływania pomiędzy punktami materialnymi układu mechanicznego nazywane są - wewnętrzny. Nazywa się siły, z którymi ciała zewnętrzne działają na materialne punkty układu zewnętrzny. Układ mechaniczny nazywa się ciało, na które nie działają siły zewnętrzne Zamknięte(Lub odosobniony). Jeśli mamy układ mechaniczny składający się z wielu ciał, to zgodnie z trzecim prawem Newtona siły działające pomiędzy tymi ciałami będą równe i przeciwnie skierowane, czyli suma geometryczna siły wewnętrzne równy zeru.

Rozważmy układ mechaniczny składający się z N ciała, których masa i prędkość są odpowiednio równe M 1 , M 2 , .... m n i w. 1, w. 2,..., w N. Niech będzie wypadkową sił wewnętrznych działających na każde z tych ciał, a będzie wypadkową siły zewnętrzne. Zapiszmy drugie prawo Newtona dla każdego z nich N korpusy układów mechanicznych:

Dodając te równania termin po wyrazie, otrzymujemy

Ale ponieważ suma geometryczna sił wewnętrznych układu mechanicznego zgodnie z trzecim prawem Newtona jest równa zero, to

(9.1)

gdzie jest pęd układu. Zatem pochodna czasowa pędu układu mechanicznego jest równa sumie geometrycznej sił zewnętrznych działających na układ.

W przypadku braku sił zewnętrznych (rozważamy układ zamknięty)

Ostatnie wyrażenie to prawo zachowania pędu: Pęd układu zamkniętego jest zachowany, to znaczy nie zmienia się w czasie.

Prawo zachowania pędu obowiązuje nie tylko w fizyka klasyczna, chociaż uzyskano to w wyniku praw Newtona. Eksperymenty dowodzą, że dotyczy to również zamkniętych układów mikrocząstek (przestrzegają one praw mechaniki kwantowej). Prawo to jest uniwersalne, tj. prawo zachowania pędu - podstawowe prawo natury.

Prawo zachowania pędu jest konsekwencją pewnej właściwości symetrii przestrzeni - jej jednorodności. Jednorodność przestrzeni polega na tym, że podczas równoległego przenoszenia w przestrzeni zamkniętego układu ciał jako całości właściwości fizyczne a prawa ruchu nie zmieniają się, innymi słowy, nie zależą od wyboru położenia początku inercjalnego układu odniesienia.

Należy zauważyć, że zgodnie z (9.1) pęd układu otwartego jest zachowany, jeśli suma geometryczna wszystkich sił zewnętrznych jest równa zeru.

W mechanice Galileo-Newtona, ze względu na niezależność masy od prędkości, pęd układu można wyrazić w postaci prędkości jego środka masy. Środek masy(Lub środek bezwładności) układu punktów materialnych nazywa się punktem urojonym Z, którego położenie charakteryzuje rozkład masy tego układu. Jego wektor promienia jest równy

Gdzie ja I r ja- odpowiednio wektor masy i promienia I punkt materialny; N- liczba punktów materialnych w systemie; – masa układu. Środek prędkości masy

Biorąc pod uwagę, że Liczba Pi = ja w I, jest impuls R systemów, możesz pisać

to znaczy pęd układu jest równy iloczynowi masy układu i prędkości jego środka masy.

Podstawiając wyrażenie (9.2) do równania (9.1) otrzymujemy

(9.3)

to znaczy środek masy układu porusza się jako punkt materialny, w którym skupia się masa całego układu i na który działa siła równa geometrycznej sumie wszystkich sił zewnętrznych przyłożonych do układu. Wyrażenie (9.3) jest zasada ruchu środka masy.

Zgodnie z (9.2) z prawa zachowania pędu wynika, że środek masy układu zamkniętego albo porusza się prostoliniowo i równomiernie, albo pozostaje nieruchomy.

Równanie ruchu ciała o zmiennej masie

Ruchowi niektórych ciał towarzyszy zmiana ich masy, na przykład masa rakiety maleje w wyniku wypływu gazów powstałych podczas spalania paliwa itp.

Wyprowadźmy równanie ruchu ciała o zmiennej masie na przykładzie ruchu rakiety. Jeśli w tej chwili T masa rakietowa M, a jego prędkość wynosi v, to po czasie d T jego masa zmniejszy się o d M i staną się równe T - D M, a prędkość stanie się równa v + dv. Zmiana pędu układu w czasie d T

gdzie u jest prędkością przepływu gazu względem rakiety. Następnie

(weź pod uwagę, że d M dv - mały wyższy porządek mały w porównaniu do innych). Jeżeli na układ działają siły zewnętrzne, to dp=Fd T, Dlatego

(10.1)

Nazywa się drugi wyraz po prawej stronie (10.1). siła reakcji Fp. Jeśli u jest przeciwne do v, rakieta przyspiesza, a jeśli pokrywa się z v, to zwalnia.

Więc mamy równanie ruchu ciała o zmiennej masie

który został po raz pierwszy opracowany przez IV Meshchersky'ego (1859-1935).

Pomysł wykorzystania siły reaktywnej do budowy samolotów wyraził w 1881 roku N. I. Kibalchich (1854-1881). K. E. Ciołkowski (1857-1935) opublikował w 1903 roku artykuł, w którym zaproponował teorię ruchu rakiety i podstawy teorii silnika odrzutowego na ciecz. Dlatego uważany jest za twórcę rosyjskiej kosmonautyki.

Zastosujmy równanie (10.1) do ruchu rakiety, na którą nie działają żadne siły zewnętrzne. Zakładając F=0 i zakładając, że prędkość emitowanych gazów względem rakiety jest stała (rakieta porusza się po linii prostej), otrzymujemy

Wartość stała całkowania Z ustalamy z warunków początkowych. Jeżeli w początkowej chwili prędkość rakiety wynosi zero, a jej masa startowa M 0, zatem Z= ty ln( M 0). Stąd,

w= ty ln ( M 0 /M). (10.3)

Ten stosunek nazywa się Wzór Ciołkowskiego. Wynika z tego, że: 1) tym większa jest końcowa masa rakiety T, tym większa powinna być masa startowa rakiety M 0 ; 2) im większa prędkość spalin I gazów, tym większa może być masa końcowa dla danej masy startowej rakiety.

Wyrażenia (10.2) i (10.3) otrzymano dla ruchów nierelatywistycznych, tj. dla przypadków, gdy prędkości w i u są małe w porównaniu z prędkością c propagacji światła w próżni.

Pytania kontrolne

Równanie na dynamikę ruchu postępowego ciała:

Gdzie M- masa ciała, – jego przyspieszenie,
– suma wszystkich sił działających na ciało.

Pęd ciała jest iloczynem masy ciała i jego prędkości:
.

Prawo zmiany pędu:

=
.

Praca siły F w ruchu ds Iloczyn rzutu siły na kierunek ruchu i ten ruch nazywa się:

dA = F S ds = FDS cosα,

gdzie α jest kątem pomiędzy kierunkami siły i przemieszczenia.

Pracę wykonaną przez zmienną siłę oblicza się ze wzoru:

A =
.

Moc to praca wykonana w jednostce czasu: N = .

Moc chwilowa jest równa iloczynowi skalarnemu siły działającej na ciało i jego prędkości:

N =
.

Energia kinetyczna ciała podczas ruchu postępowego:

Gdzie M- masa ciała, υ - jego prędkość.

Energia potencjalna ciała

– w jednolitym polu grawitacyjnym:

mi P = mgh

(M - masa ciała, G – przyspieszenie swobodny spadek, H – wysokość ciała powyżej punktu, w którym przyjmuje się, że energia potencjalna wynosi zero);

– w zakresie sił sprężystych:

mi n =

(k– współczynnik sztywności ciała sprężystego, X– przemieszczenie z położenia równowagi).

W zamkniętym układzie cząstek całkowity pęd układu nie zmienia się podczas jego ruchu:

Σ = konst.

W zamkniętym, konserwatywnym układzie cząstek całkowita energia mechaniczna jest zachowana:

E=mi k + mi P = konst.

Praca wykonana przez siły oporu jest równa spadkowi całkowitej energii układu cząstek lub ciała: A konp = mi 1 – mi 2 .

Przykłady rozwiązywania problemów

Problem 5

Lina leży na stole w taki sposób, że jej część zwisa ze stołu i zaczyna się ślizgać, gdy długość wiszącej części wynosi 25% jej całkowitej długości. Jaki jest współczynnik tarcia między liną a stołem?

Rozwiązanie

Przetnijmy w myślach linę na zakręcie i połączmy obie części nieważką, nierozciągliwą nicią. Kiedy lina zacznie się ślizgać, wszystkie siły się zrównoważą (ponieważ lina nadal porusza się bez przyspieszenia), a siła tarcia osiągnie wielkość siły tarcia ślizgowego, F tr = μ Ν .

Warunki równowagi sił:

mg = N

Ftr = T

mg = T M

Stąd: m mg= mg,

Problem 6

Nieważki klocek ustawiono na wierzchu pochyłej płaszczyzny tworzącej z horyzontem kąt α = 30°. Ciała A I W równa masa M 1 = M 2 = 1 kg połączone gwintem. Znajdź: 1) przyspieszenie, z jakim poruszają się ciała, 2) napięcie nici. Blokuj tarcie i tarcie ciała W pomiń pochyłą płaszczyznę.

Rozwiązanie

X y Zapiszmy równania ruchu obu ciał:

A:M = M +

x x xW:M = M + +

W projekcjach na ciało A:

– mama= T–mg (3)

Dla ciała W wzdłuż osi X:

– mam =–T+mg grzech  (4)

0= N–mg sałata  (5)

Jeśli dodamy równania (3) i (4), otrzymamy:

–2mam =– mg + mg grzech , Lub

A = G

Podstawiając tę wartość np. do równania (3) (może być w (4)), otrzymujemy: T = mg – mama = mg

Zastępcze wartości liczbowe:

A = 9,8 = = 2,45

T = 1 ∙ 9,8= 7,35 godz

Zadanie 7

Samochód o masie 20 ton, poruszający się ruchem jednostajnym, po pewnym czasie zatrzymał się pod wpływem siły tarcia 6 kN. Prędkość początkowa samochodu wynosi 54 km/h. Znajdź: 1) pracę sił tarcia; 2) odległość, jaką przejedzie samochód przed zatrzymaniem.

Rozwiązanie

Praca jest równa przyrostowi energii kinetycznej ciała:

A tr = 0 – = – ,

Znak „–” oznacza, że praca sił tarcia jest ujemna, gdyż siły tarcia są skierowane przeciwnie do ruchu.

Z drugiej strony pracę wykonaną przez siłę tarcia można obliczyć, mnożąc siłę i ścieżkę:

A tr = F tr. S,

stąd S= =

Podstawianie wartości liczbowych:

M = 2 . 10 4 kg, F tr = 6 . 10 3 N, υ = 15 ,

A tr =
= 2,25. 10 6 J = 2,25 MJ,

S =
= 358 m.

Problem 8

Kamień rzucono pod kątem α = 60 o do horyzontu przy dużej prędkości υ 0 =15 m/s. Znajdź energię kinetyczną, potencjalną i całkowitą kamienia: 1) sekundę po rozpoczęciu ruchu; 2) w najwyższym punkcie trajektorii. Masa kamienia M = 0,2 kg. Pomiń opór powietrza.

Rozwiązanie

Wybierzmy oś X- poziomo i oś Na- pionowo.

Projekcje prędkości:

υ X = υ 0 sałata , (6)

υ O υ y = υ 0 grzech  – GT (7)

 X W pewnym momencie T Moduł prędkości zostanie wyznaczony z zależności:

υ 2 = υ 0 2 sałata 2  + (υ 0 grzech – GT) 2 = υ 0 2 – 2 υ 0 GT grzech  + G 2 T 2 .

Wysokość kamienia nad ziemią w danym momencie T wyznacza się z zależności:

H = υ 0 grzechów  - . (8)

Znalezienie energii kinetycznej, potencjalnej i całkowitej w danym momencie T:

mi k = = ( υ 0 2 – 2 υ 0 GT grzech  + G 2 T 2),

mi P =mgh= (2 υ 0 GT grzech  – G 2 T 2),

mi = mi k + mi P = .

W najwyższym punkcie trajektorii υ y= 0. Kamień osiąga ten punkt w czasie =
(z (7)) i maksymalną wysokość podnoszenia H maks. =
(z (8)).

mi k = =
,

mi P = mgh maks =
,

mi = mi k +mi P = .

Zastąp wartości liczbowe. W pewnym momencie T = 1 s.

mi k = 17,4J, mi P = 5,1J, mi = 22,5 J.

W najwyższym punkcie trajektorii:

mi k = 16,9J, mi n = 5,6 J, mi = 22,5 J.

Zadanie9

Na szynach znajduje się platforma z masą M 1 = 10 t, działo o masie M 2 = 5 ton, z których oddaje się strzał wzdłuż szyn. Masa pocisku M 3 = 100 kg, jego prędkość początkowa względem działa υ 0 = 500 m/s. Określ prędkość υ X peronów w pierwszej chwili, jeżeli: 1) peron był nieruchomy, 2) peron poruszał się z dużą prędkością υ 1 = 18 km/h, a strzał oddano w kierunku jego ruchu, 3) platforma poruszała się z prędkością υ 1 = 18 km/h, a strzał został oddany w kierunku przeciwnym do jego ruchu.

Rozwiązanie

Zgodnie z prawem zachowania pędu pęd układu zamkniętego przed jakimkolwiek zdarzeniem (w tym przypadku strzałem) musi być równy jego pędowi po zdarzeniu. Dla wartości dodatniej wybieramy kierunek prędkości pocisku. Przed strzałem cały układ miał pęd ( M 1 +M 2 +M 3)υ 1, po strzale platforma z działem porusza się z dużą prędkością υ X, ich pęd ( M 1 +M 2)υ X, a pocisk względem ziemi porusza się z prędkością υ 0 + υ 1, jego pęd M 3 (υ 0 +υ 1). Prawo zachowania pędu zapisuje się w następujący sposób:

(M 1 + M 2 + M 3) υ 1 = (M 1 + M 2) υ X + M 3 (υ 0 + υ 1),

stąd υ X =
=υ 1 –
υ 0 .

Zastępujemy wartości mas, υ 1 i υ 0:

1) υ 1 = 0

υ X = – 3,33 m/s.

Znak minus oznacza, że platforma z działem porusza się w kierunku przeciwnym do kierunku pocisku;

2) υ 1 = 18 km/h = 5 m/s,

υ X = 5 – 3,33 = 1,67 m/s.

Platforma z działem nadal porusza się w kierunku strzału, ale z mniejszą prędkością;

3) υ 1 = – 18 km/h = – 5 m/s

υ X = – 5 – 3,33 = – 8,33 m/s.

Zwiększa się prędkość poruszania się platformy w kierunku przeciwnym do kierunku strzału.

Problem 10

Pocisk lecący poziomo uderza w kulę zawieszoną na lekkim sztywnym pręcie i utknie w niej. Masa pocisku jest 1000 razy mniejsza niż masa kuli. Odległość od punktu zawieszenia pręta do środka kuli wynosi 1 m. Znajdź prędkość pocisku, jeśli wiadomo, że pręt z kulką odchylił się od uderzenia o kąt 10°.

Rozwiązanie.

mi Jeśli kula utknie w kuli, następuje cios

całkowicie niesprężysty i spełniona jest jedynie zasada zachowania pędu. Przed uderzeniem kula miała pęd Mυ , piłka nie miała pędu. Natychmiast po uderzeniu kula i kula mają wspólną prędkość υ 1, ich pęd ( M+ M) υ 1 .

Prawo zachowania pędu:

M υ = (M+ M) υ 1 ,

stąd υ 1 =
υ.

Piłka i pocisk uzyskały energię kinetyczną w momencie uderzenia:

mi k =
υ 1 2 =

υ 2 =
.

Dzięki tej energii piłka wzniosła się na wysokość H, natomiast jego energia kinetyczna zamienia się w potencjalną:

mi k = mi p 
= (M+ M) gh. (9)

Wysokość H można wyrazić poprzez odległość od punktu zawieszenia do środka kuli i kąt odchylenia od pionu

H = L – L sałata  = L(1 – cos ).

Podstawiając ostatnie wyrażenie do relacji (9) otrzymujemy:

L
= gL(1 – cos ),

H i określ prędkość pocisku:

υ =
.

Podstawiając wartości liczbowe, otrzymujemy:

υ = 1001
 543 m/s.

Problem 11

Kamień przywiązany do liny obraca się równomiernie w płaszczyźnie pionowej. Znajdź masę kamienia, jeśli wiadomo, że różnica między maksymalnym i minimalnym naprężeniem liny wynosi 9,8 N.

Rozwiązanie

W najwyższym punkcie trajektorii zarówno grawitacja, jak i
Siła naciągu liny skierowana jest w dół.

L Równanie ruchu w górnym punkcie ma postać:

L mama N = M = mg + T 1 .

W najniższym punkcie trajektorii siła ciężkości jest skierowana w dół, a siła naciągu liny i normalne przyspieszenie są skierowane w górę. Równanie ruchu w dolnym punkcie:

mama N = M = T 2 – mg.

Pod warunkiem, że kamień obraca się ze stałą prędkością, więc lewe strony obu równań są takie same. Oznacza to, że możemy zrównać prawe strony:

mg + T 1 = T 2 – mg,

stąd T 2 – T 1 = 2mg,

M =
.

Zastępowanie liczb: M = = 0,5 kg.

Problem 12

Autostrada posiada zakręt o nachyleniu 10° i promieniu łuku drogi 100 m. Dla jakiej prędkości jest przeznaczony ten zakręt?

Rozwiązanie

Dodawana jest siła działająca na samochód

od grawitacji
i normalne siły nacisku . Suma tych sił określa normalne przyspieszenie samochodu podczas skręcania.

Z trójkąta sił wynika, że: =tg .

Obliczmy A N, redukując masę

= opalenizna ,

stąd υ =
=41,5 m/s.

DYNAMIKA RUCHU DO PRZODU

Pierwsze prawo Newtona

W kinematyce rozważa się opis najprostszych typów ruchy mechaniczne. W takim przypadku nie ma to wpływu na przyczyny powodujące zmiany położenia ciała względem innych ciał, a układ odniesienia wybiera się ze względu na wygodę przy rozwiązywaniu konkretnego problemu. W zasadzie można przyjąć dowolny z nieskończonej liczby układów odniesienia.

Jednak prawa mechaniki w różne systemy czytania mają, ściśle rzecz biorąc, różne formy. Powstaje problem wyboru układu odniesienia, w którym prawa mechaniki byłyby możliwie najprostsze. Taki układ odniesienia jest oczywiście najwygodniejszy do opisu zjawisk mechanicznych.

Przekonajmy się, od czego zależy przyspieszenie cząstki w dowolnym układzie odniesienia. Jaki jest powód tego przyspieszenia? Ustalono eksperymentalnie, że powodem tym może być zarówno działanie niektórych ciał na daną cząstkę, jak i właściwości samego układu odniesienia (patrz. §1.8).

Newton zasugerował, że istnieje układ odniesienia, w którym przyspieszenie punktu materialnego wynika jedynie z jego oddziaływania z innymi ciałami i nie zależy od wyboru układu odniesienia. Punkt materialny, niepodlegający działaniu innych ciał, porusza się względem takiego układu odniesienia prostoliniowo i równomiernie, czyli, jak mówią, na zasadzie bezwładności. Taki układ odniesienia nazywa się inercyjny,

Stwierdzenie, że układy inercyjne istnieją odniesienia, stanowi treść pierwszej zasady mechaniki klasycznej - Galileusz – Prawo bezwładności Newtona – czy to jest: Istnieją układy odniesienia zwane inercjalnymi, w których przy braku wpływu innych ciał cząstka utrzymuje stacjonarny stan ruchu: porusza się równomiernie i prostoliniowo (w konkretnym przypadku jest w spoczynku).

Inercjalny układ odniesienia to heliocentryczny układ odniesienia, którego pochodzenie jest związane ze Słońcem. Układy odniesienia poruszające się ruchem jednostajnym po linii prostej względem układu inercjalnego są również inercjalne. Układy odniesienia poruszające się z przyspieszeniem względem układu inercjalnego to: nieinercyjny.

Z tych powodów powierzchnia Ziemi jest, ściśle rzecz biorąc, nieinercjalnym układem odniesienia. Jednak w wielu problemach układ odniesienia związany z Ziemią można uznać za inercyjny w pierwszym przybliżeniu.

Pytania do samokontroli

Jakie układy odniesienia nazywane są inercyjnymi? Dlaczego systemy te są bardzo przydatne do opisu ruchów mechanicznych?
Jakie czynniki determinują wartość przyspieszenia w inercyjnych układach odniesienia?
Czy układ odniesienia związany z Ziemią można uznać za inercyjny?
Podaj pierwsze prawo Newtona.

§2.2. Podstawowe prawa dynamiki w inercjalnych układach odniesienia

Nazywa się zdolność ciała do utrzymywania stanu jednostajnego ruchu prostoliniowego lub spoczynku w inercjalnych układach odniesienia bezwładność ciała. Miarą bezwładności ciała jest waga. Masa to wielkość skalarna mierzona w kilogramach (kg) w układzie SI.

Miarą interakcji jest wielkość tzw siłą. Siła jest wielkością wektorową mierzoną w Newtonach (N) w układzie SI.

Drugie prawo Newtona. W układach inercjalnych punkt materialny porusza się z przyspieszeniem, jeśli suma wszystkich działających na niego sił nie jest równa zeru, a iloczyn masy punktu i jego przyspieszenia jest równy sumie tych sił, czyli:

Ponieważ masa punktu jest wielkością dodatnią, jego wektor przyspieszenia jest zawsze skierowany wzdłuż sumy wszystkich działających na niego sił, tj.
.

Rozwiązując problemy, korzystając z drugiej zasady Newtona, należy pamiętać o następujących kwestiach:

jeżeli punkt porusza się po linii prostej, to jego wektor przyspieszenia jest kierowany wzdłuż ruchu o przyspieszonym charakterze ruchu, dla powolnego charakteru ruchu - przeciw ruchowi;
jeśli punkt porusza się po okręgu z przyspieszeniem, to styczny wektor przyspieszenia jest skierowany wzdłuż liniowego wektora prędkości, jeśli ruch jest powolny, sytuacja jest odwrotna. Normalny wektor przyspieszenia jest skierowany w stronę środka obrotu.

Trzecie prawo Newtona. Siły, z którymi ciała oddziałują na siebie, są równe co do wielkości i przeciwne w kierunku, tj.:

Należy pamiętać, że siły, jako miary interakcji, zawsze rodzą się parami.

Jeżeli ciało wykonuje ruch postępowy 1, to wektory działających na nie sił przechodzą na środek masy tego ciała. Pozwala nam to sprowadzić problem do ruchu jednego punktu materialnego ciała sztywnego.

Aby skutecznie rozwiązać większość problemów za pomocą praw Newtona, konieczne jest przestrzeganie określonej sekwencji działań (rodzaj algorytmu).

Główne punkty algorytmu.

1. Przeanalizuj stan problemu i dowiedz się, z jakimi ciałami oddziałuje dany punkt materialny. Na tej podstawie określ wielkość sił działających na niego. (Załóżmy, że liczba sił działających na ciało jest równa .) Następnie wykonaj schematycznie poprawny rysunek, na którym narysujesz wszystkie siły działające na punkt.

2. Korzystając z warunku zadania, określ kierunek przyspieszenia rozpatrywanego punktu i przedstaw na rysunku wektor przyspieszenia.

3. Zapisz drugie prawo Newtona w postaci wektorowej, tj.:

Gdzie
siły działające na punkt.

4. Wybierz inercyjny układ odniesienia. Narysuj na rysunku prostokątny kartezjański układ współrzędnych, którego oś OX jest zwykle skierowana wzdłuż wektora przyspieszenia, osie OY i OZ są skierowane prostopadle do osi OX.

5. Korzystając z podstawowej własności równości wektorów, zapisz drugie prawo Newtona dotyczące rzutów wektorów na osie współrzędnych, tj.:

(2.3)

6. Jeżeli w zadaniu oprócz sił i przyspieszeń konieczne jest określenie współrzędnych i prędkości, to oprócz drugiej zasady Newtona konieczne jest również skorzystanie z kinematycznych równań ruchu. Po zapisaniu układu równań należy zwrócić uwagę na to, że liczba równań jest równa liczbie niewiadomych w tym zadaniu.

Pytania do samokontroli

Zdefiniuj siłę. W jakich jednostkach SI mierzy się siłę?
Jaka jest własność bezwładności ciała? Jaka wielkość fizyczna jest miarą bezwładności ciała? W jakich jednostkach SI mierzy się masę ciał?
Podaj sformułowanie drugiego prawa Newtona dla inercjalnych układów odniesienia.
Podaj sformułowanie trzeciego prawa Newtona.

Przykłady rozwiązywania problemów

Przykład 1. W kabinie windy ładunek wisi na hamowni
. Dynamometr pokazuje siłę
. Wyznacz przyspieszenie ładunku. Czy można odpowiedzieć na pytanie, w którą stronę porusza się ładunek?

R decyzja. Na ciele poruszającym się z przyspieszeniem , działają dwa ciała: Ziemia z grawitacją
i sprężynuj z siłą . Przedstawmy siły na rysunku. Załóżmy, że wektor przyspieszenia windy jest skierowany w górę. Przedstawmy wektor na rysunku. Drugie prawo Newtona zapisujemy w postaci wektorowej:

Wybieramy oś OX w kierunku przyspieszenia. Piszemy drugie prawo Newtona dla rzutów wektorów na tę oś:

Z tej równości znajdujemy rzut przyspieszenia na oś OX:

Ponieważ rzut przyspieszenia na oś OX jest dodatni, założenie, że wektor przyspieszenia windy jest skierowany pionowo w górę, jest prawdziwe. Nie jest możliwe określenie kierunku ruchu windy, ponieważ wskazany kierunek wektora przyspieszenia odpowiada dwóm rodzajom ruchu: a) ruch jednostajnie przyspieszony pionowo w górę; b) równomiernie powolny ruch pionowo w dół.

Drugie prawo Newtona w nieinercjalnych układach odniesienia. Siły bezwładności.

2 Rozważmy nieinercyjny układ odniesienia
, obracający się ze stałą prędkością kątową
wokół osi poruszającej się translacyjnie z dużą prędkością w stosunku do inercji
systemy.

W tym przypadku przyspieszenie punktu w układzie inercjalnym () jest powiązane z przyspieszeniem w układzie nieinercjalnym ( ) stosunek (patrz §1.8):

Gdzie – przyspieszenie układu nieinercjalnego względem układu inercjalnego
,
prędkość liniowa punktu w układzie nieinercjalnym.

Z ostatniej zależności zamiast przyspieszenia podstawiamy w równości (1) otrzymujemy wyrażenie:

Ten stosunek jest Drugie prawo Newtona dla nieinercjalnego układu odniesienia.

Siły bezwładności. Wprowadźmy kilka konwencji:

1.
– siła bezwładności skierowana do przodu;

2.
– Siła Coriolisa;

3
– siła odśrodkowa bezwładność.

W zadaniach postępowa siła bezwładności jest przedstawiana względem wektora przyspieszenia ruchu postępowego nieinercjalnego układu odniesienia ( ), odśrodkowa siła bezwładności –– od środka obrotu wzdłuż promienia ( ); kierunek siły Coriolisa określa reguła świder ręczny Dla produkt wektorowy wektory
.

Ściśle mówiąc, siły bezwładności nie są W każdym sensie, na siłę, ponieważ Nie obowiązuje ich trzecie prawo Newtona, tj. nie są one sparowane i powstają dopiero podczas przejścia od układów inercjalnych do układów nieinercjalnych.

Pytania do samokontroli

§2.4. Siły w mechanice

W mechanice rozważa się jedną bezkontaktową siłę dalekiego zasięgu - siła uniwersalna grawitacja , które mogą działać na dane ciało z dużej odległości (na przykład Ziemia przyciąga Księżyc) oraz pięć sił kontaktowych: siła sprężysta, siła reakcji, masa ciała, siła sprężystości, siła tarcia i siła oporu.

§2.5. Siła powszechnej grawitacji. Powaga.

Przyśpieszenie grawitacyjne.

Siła powszechnego ciążenia powstaje w procesie oddziaływania ciał z masami i obliczana jest z zależności:

.
. (2.6)

dostałem to imię stała grawitacyjna. Jego wartość w układzie SI jest równa
.

Z Siły wzajemnego przyciągania skierowane są wzdłuż jednej linii prostej łączącej te punkty materialne. Prawo powszechnego ciążenia obowiązuje dla ciał, których rozmiary są małe w porównaniu z odległością między nimi. Jeżeli rozmiary ciał są porównywalne z odległością między nimi, to aby obliczyć siłę oddziaływania między nimi, postępuj w następujący sposób.

Każde z ciał jest podzielone na nieskończenie małe części, których rozmiary można pominąć w porównaniu z odległością między nimi. Następnie obliczane są siły oddziaływania pomiędzy każdą częścią jednego ciała i każdą częścią innego ciała. Całkowita siła wzajemnego przyciągania jest równa sumie sił działających ze wszystkich elementów jednego ciała na wszystkie elementy drugiego ciała.

Po przeprowadzeniu takiego rozumowania dla kul jednorodnych można wykazać, że wynikową siłę przyciągania oblicza się według podanego wcześniej wzoru. W tym przypadku przyjmuje się masę kulek, a jako odległość przyjmuje się odległość między środkami kulek.

W przypadku ciała oddziałującego z planetą za odległość przyjmuje się odległość od środka planety do środka masy ciała. Podajmy wzór na siłę przyciągania ciał i planet:

. (2.7)

Zwykle siła przyciągania ciała do planety nazywana jest grawitacją, której wartość zwykle oblicza się za pomocą wzoru
, Gdzie
masa ciała,
wielkość wektora przyspieszenia swobodnego spadania . Siła ciężkości skierowana jest w stronę środka Ziemi i przyłożona do środka ciężkości ciała.

Zależność (2.7) pozwala ustalić związek pomiędzy wielkością przyspieszenia ziemskiego a masą planety, jej promieniem i wysokością od rozpatrywanego punktu do powierzchni planety:

. (2.8)

Na powierzchni planety, tj. Gdy
, dla przyspieszenia swobodnego spadania wzór jest ważny

. (2.9)

Pytania do samokontroli

W jakim stosunku oblicza się wielkość siły powszechnej grawitacji?
Zdefiniuj grawitację.
Od czego zależy przyspieszenie swobodnie spadających ciał?

Siła reakcji. Masy ciała.

Siły reakcji powstają, gdy ciało oddziałuje z różnymi strukturami, które ograniczają jego położenie w przestrzeni. Na przykład na ciało zawieszone na nitce działa siła reakcji, zwykle nazywana siłą napięcie. Siła naciągu nici jest zawsze skierowana wzdłuż nici. Nie ma wzoru na obliczenie jego wartości. Zwykle jego wartość oblicza się z pierwszego lub drugiego prawa Newtona.

Siły reakcji obejmują także siły działające na cząstkę na gładkiej powierzchni. Dzwonią do niej normalna siła reakcji, oznacz . Siła reakcji jest zawsze skierowana prostopadle do rozpatrywanej powierzchni. Nazywa się siłę działającą na gładką powierzchnię od strony ciała normalna siła nacisku (
). Zgodnie z trzecim prawem Newtona siła reakcji jest równa sile ciśnienia normalnego, ale wektory tych sił mają przeciwny kierunek.

Masy ciała- jest to siła, z jaką ciało pod wpływem grawitacji Ziemi naciska na podporę poziomą lub rozciąga zawieszenie pionowe.

Jeśli waga porusza się z przyspieszeniem, wówczas ciężar może być większy lub mniejszy niż siła grawitacji.

Pytania do samokontroli

Jakie siły są powszechnie nazywane siłami reakcji?
Zdefiniuj masę ciała.
W jakich przypadkach masa ciała i grawitacja są takie same?

Przykłady rozwiązywania problemów

P przykład5 . Oblicz masę ciała chłopca
w windzie poruszającej się pionowo w górę z przyspieszeniem
. Ile razy waga chłopca różni się od grawitacji?

Rozwiązanie. Na chłopca w windzie działają dwa ciała: a) Ziemia z grawitacją; b) podłoga windy z siłą reakcji
. Przedstawmy te siły na rysunku. Pokażmy na tym rysunku kierunek wektora przyspieszenia windy. Zapiszmy drugie prawo Newtona w postaci wektorowej:

Jako inercyjny układ odniesienia wybieramy powierzchnię Ziemi i kierujemy oś OX wzdłuż wektora przyspieszenia windy. Zapiszmy drugie prawo Newtona w rzucie na tę oś:

Z tego równania znajdujemy wielkość siły reakcji:

Podstawiając dane cyfrowe w układzie SI, znajdujemy siłę reakcji:

Z definicji waga jest liczbowa równa sile reakcje, tj.
.

Obliczmy, ile razy waga chłopca różni się od siły grawitacji:

Z elastyczność mułu.

Siły sprężyste powstają w ciałach, jeśli ciała są odkształcone, tj. w przypadku zmiany kształtu ciała lub jego objętości. Kiedy odkształcenie ustanie, siły sprężyste zanikają. Należy zauważyć, że chociaż podczas odkształcania ciał powstają siły sprężyste, to odkształcenie nie zawsze prowadzi do pojawienia się sił sprężystych.

Siły sprężyste powstają w ciałach, które po ustaniu wpływu zewnętrznego są w stanie przywrócić swój kształt. Takie ciała i odpowiadające im odkształcenia nazywane są elastyczny. Na Plastikowy zmiany odkształceń nie zanikają całkowicie po ustaniu wpływu zewnętrznego.

Uderzającym przykładem przejawu sił sprężystych mogą być siły powstające w sprężynach podlegających odkształceniom. Dla odkształceń sprężystych występujących w ciałach odkształconych siła sprężystości jest zawsze proporcjonalna do wielkości odkształcenia, tj.:

, (5)

Gdzie
współczynnik sprężystości (lub sztywności) sprężyny,
wektor odkształcenia sprężyny.

To stwierdzenie nazywa się Prawo Hooke’a.

Im większa sztywność ciała, tym mniej odkształca się ono pod wpływem danej siły. Ogrom zależy od wymiarów geometrycznych korpusu i materiału, z którego jest wykonany. Jeśli kształt korpusu (pręt, sprężyna lub gumka) zaczyna się znacząco zmieniać, wówczas proporcjonalność pomiędzy
I
jest naruszony (patrz ryc. 2.2).

Siła sprężystości skierowana jest wzdłuż nici, pręta lub sprężyny. Siła jest przykładana w punkcie styku.

Wątek– model ciała o zerowej masie i dedykowanej osi, który jest w stanie ugiąć się pod nieskończenie małym obciążeniem. Dlatego można go rzucić na blok, a siła naciągu będzie wszędzie taka sama.

Wiosna– model ciała (zwykle o zerowej masie), które działa na dane ciało nie tylko w stanie rozciągniętym, ale także ściśniętym. Co więcej, prawo Hooke'a obowiązuje nie tylko dla sprężyny naprężonej, ale także ściskanej.

Pytania do samokontroli

Jakie siły są powszechnie nazywane siłami sprężystymi?
Które odkształcenia nazywamy sprężystymi, a jakie plastycznymi?
Sformułuj prawo Hooke'a i wskaż granice stosowalności prawa Hooke'a.

Przykłady rozwiązywania problemów

Przykład 6 . Nić jest przerzucana przez lekki, obracający się blok bez tarcia. Na jednym końcu nici znajduje się bryła masy
, z drugiej - ciało masowe
. Określ wielkość siły rozciągającej nitkę i wielkość przyspieszenia ciał.

Rozwiązanie. Przedstawmy wszystkie siły działające na ciała i na klocek. Rozważmy proces ruchu ciał połączonych nitką przerzuconą przez klocek. Nić jest nieważka i nierozciągliwa, dlatego wielkość siły rozciągającej na dowolnym odcinku nici będzie taka sama, tj.
I
.

P przemieszczenia ciał w dowolnym okresie czasu będą takie same, a zatem w dowolnym momencie wartości prędkości i przyspieszeń tych ciał będą takie same.

Ponieważ klocek obraca się bez tarcia i jest nieważki, wynika z tego, że siła naciągu gwintu po obu stronach klocka będzie taka sama, tj.:
.

Oznacza to równość sił rozciągających nici działających na pierwszy i drugi korpus, tj.
.

Przedstawmy na rysunku wektory przyspieszenia pierwszego i drugiego ciała. Przedstawmy dwie osie OX. Skierujmy pierwszą oś wzdłuż wektora przyspieszenia pierwszego ciała, drugą - wzdłuż wektora przyspieszenia drugiego ciała.

Zapiszmy drugie prawo Newtona dla każdego ciała w rzucie na te osie współrzędnych:

Biorąc pod uwagę, że
i wyrażając z pierwszego równania , podstawiamy to do drugiego równania i otrzymamy

Z ostatniej równości znajdujemy wartość przyspieszenia:

Z równości (1) znajdujemy wielkość siły rozciągającej:

Siła tarcia. Prawo tarcia suchego.

Kiedy ciała się stykają, obserwuje się między nimi interakcję. Siła charakteryzująca tę interakcję nazywana jest siłą reakcji powierzchniowej i oznaczana jest , i są reprezentowane jako suma sił, które go tworzą:
, Gdzie
– normalna siła reakcji powierzchni, skierowany prostopadle do tej powierzchni,
– siła tarcia, skierowane wzdłuż tej powierzchni.

W przypadku kontaktu z gładkimi powierzchniami
I
. Najprostszą zależność między modułami sił składających się na siłę reakcji powierzchniowej formułuje się w postaci prawa tarcia suchego:

Podczas przesuwania moduł siły tarcia jest wprost proporcjonalny do modułu normalnej siły reakcji:

Czynnik proporcjonalności – współczynnik tarcia ślizgowego nie zależy ani od powierzchni stykających się powierzchni, ani od prędkości ich względnego ruchu.

Jeśli poślizg nie nastąpi, wówczas maksymalna możliwa wartość Siła tarcia statycznego jest równa sile tarcia ślizgowego:

Z Wartość i kierunek siły tarcia statycznego wyznacza się na podstawie stanu nieruchomego ciała względem podpory.

Ze stopniowym wzrostem (w miarę upływu czasu) siły nałożony wzdłuż powierzchni trących następuje podobny wzrost siły tarcia statycznego (rys. 2.3). Siły działające wzdłuż powierzchni kompensują się, dzięki czemu ciało znajduje się w spoczynku.

Gdy moduł siły osiągnie wartość
, moduł siły tarcia statycznego osiąga wartość maksymalną, a następnie siła tarcia nie równoważy już siły zewnętrznej i ciało zaczyna się ślizgać, przyspieszając (ryc. 2.3).

Pytania do samokontroli

Przykłady rozwiązywania problemów

Przykład 9 . Na pochyłej płaszczyźnie o kącie nachylenia
istnieje ciało masowe
. Współczynnik tarcia między ciałem a pochyłą płaszczyzną jest równy
. Na ciało działa siła skierowana w górę wzdłuż pochyłej płaszczyzny. Jaka musi być wielkość tej siły, aby ciało mogło poruszać się z przyspieszeniem po pochyłej płaszczyźnie?

R decyzja. Na ciało poruszające się w górę po nachylonej płaszczyźnie działają ciała zewnętrzne: a) Ziemia z grawitacją skierowaną pionowo w dół; b) płaszczyzna pochyła z siłą reakcji skierowaną prostopadle do płaszczyzny pochyłej; c) pochyła płaszczyzna z siłą tarcia
, skierowany przeciwko ruchowi ciała; d) ciało zewnętrzne z siłą , skierowane w górę wzdłuż pochyłej płaszczyzny.

Pod wpływem tych sił ciało porusza się z jednostajnym przyspieszeniem w górę po nachylonej płaszczyźnie, dlatego wektor przyspieszenia jest skierowany wzdłuż ruchu ciała.

Przedstawmy wektor przyspieszenia na rysunku. Zapiszmy drugie prawo Newtona w postaci wektorowej:

Wybierzmy prostokątny kartezjański układ współrzędnych, którego oś OX jest skierowana wzdłuż przyspieszenia ciała, a oś OY jest skierowana prostopadle do płaszczyzny pochyłej.

Zapiszmy drugie prawo Newtona w rzutach na te osie współrzędnych i uzyskajmy następujące równania:

Siła tarcia ślizgowego jest powiązana z siłą reakcji następującą zależnością:

. (3)

Z równości (2) znajdujemy wielkość siły reakcji i podstawiamy do równości (3), otrzymujemy następujące wyrażenie na siłę tarcia:

. (4)

Podstawiając prawą stronę równości (4) do równości (1) zamiast siły tarcia, otrzymujemy następujące równanie do obliczenia wielkości wymaganej siły:

Obliczmy wielkość siły
:

Siła oporu.

Kiedy ciała poruszają się w cieczach i gazach, powstają również siły tarcia, ale różnią się one znacznie od sił tarcia suchego. Siły te nazywane są lepkie siły tarcia, Lub siły oporu. Siły tarcia lepkiego powstają tylko podczas względnego ruchu ciał. Siły oporu zależą od wielu czynników, a mianowicie: od wielkości i kształtu ciał, od właściwości ośrodka (gęstość, lepkość), od prędkości ruchu względnego. Przy małych prędkościach siła oporu jest wprost proporcjonalna do prędkości ciała względem ośrodka, tj.:

, (2.11)

Gdzie
– wektor prędkości ruchu ciała względem ośrodka.

Przy dużych prędkościach siła oporu jest proporcjonalna do kwadratu prędkości ciała względem ośrodka, tj.:

, (2.12)

Gdzie
niektóre współczynniki proporcjonalności, tzw współczynniki oporu.

Pytania do samokontroli

W jakich warunkach powstaje siła oporu?
Jakiego wzoru używa się do obliczenia siły tarcia przy małych prędkościach?
Jakiego wzoru używa się do obliczenia siły tarcia przy dużej prędkości?

Podstawowe równanie dynamiki

Podstawowe równanie dynamiki punktu materialnego jest niczym innym jak matematycznym wyrażeniem drugiej zasady Newtona:

. (2.13)

W prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych podstawowe równanie dynamiki w rzutach na osie współrzędnych ma postać:

(2.14)

W inercjalnym układzie odniesienia suma wszystkich sił obejmuje tylko siły będące miarą interakcji; w układach nieinercjalnych suma sił obejmuje siły bezwładności.

Z matematycznego punktu widzenia relacja (9) jest równanie różniczkowe ruchy punktów w postaci wektorowej. Jego rozwiązanie jest głównym problemem dynamiki punktu materialnego.

Pytania do samokontroli

Jaki związek ma podstawowe równanie dynamiki?
Jak wyglądają równania dynamiki w prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych?

Przykłady rozwiązywania problemów

Przykład 1. , otrzymujemy pożądaną zależność prędkości od czasu:

1 Ruch postępowy ciała sztywnego to taki ruch, w którym każda prosta niezmiennie połączona z ciałem porusza się równolegle do siebie.

2 Materiał do dodatkowych badań

*Zadanie o zwiększonej złożoności

Dynamika punktu materialnego i ruch translacyjny ciała sztywnego

Pierwsze prawo Newtona. Waga. Siła

Pierwsze prawo Newtona: każdy punkt materialny (ciało) utrzymuje stan spoczynku lub jednostajny ruch prostoliniowy do czasu, aż wpływ innych ciał zmusi go do zmiany tego stanu. Nazywa się dążenie ciała do utrzymania stanu spoczynku lub jednostajnego ruchu prostoliniowego bezwładność. Dlatego nazywa się również pierwszą zasadą Newtona prawo bezwładności.

Pierwsza zasada Newtona nie jest spełniona w każdym układzie odniesienia i nazywa się te układy, w odniesieniu do których jest ona spełniona inercyjny systemy referencyjne.

Waga ciało - wielkość fizyczna będąca jedną z głównych cech materii, określająca jej bezwładność ( masa obojętna) i grawitacyjny ( masa grawitacyjna) nieruchomości. Obecnie można uznać za udowodnione, że masy bezwładności i grawitacji są sobie równe (z dokładnością co najmniej 10–12 ich wartości).

Więc, siła jest wielkością wektorową będącą miarą mechanicznego oddziaływania na ciało innych ciał lub pól, w wyniku którego ciało uzyskuje przyspieszenie lub zmienia swój kształt i rozmiar.

Drugie prawo Newtona

a~ F (T = konst) . (6.1)

a~ 1 /t (F = stała). (6.2)

a =kF/ M. (6.3)

We współczynniku proporcjonalności SI k= 1. Następnie

(6.4)

(6.5)

Wielkość wektorowa

(6.6)

nazywa się liczbowo równy iloczynowi masy punktu materialnego i jego prędkości oraz mający kierunek prędkości impuls (ilość ruchu) ten materialny punkt.

Podstawiając (6.6) do (6.5) otrzymujemy

(6.7)

Wywołuje się wyrażenie (6.7). równanie ruchu punktu materialnego.

Jednostką siły w układzie SI jest niuton(N): 1 N to siła, która nadaje przyspieszenie 1 m/s 2 masie 1 kg w kierunku siły:

1 N = 1 kg SM 2 .

Drugie prawo Newtona obowiązuje tylko w inercjalnych układach odniesienia. Pierwszą zasadę Newtona można wyprowadzić z drugiej.

W mechanice ma to ogromne znaczenie zasada niezależnego działania sił: jeśli na punkt materialny działa jednocześnie kilka sił, to każda z tych sił nadaje przyspieszenie punktowi materialnemu zgodnie z drugim prawem Newtona, tak jakby nie było innych sił.

Trzecie prawo Newtona

Wyznacza się interakcję pomiędzy punktami materialnymi (ciałami). Trzecie prawo Newtona.

F 12 = – F 21 , (7.1)

Trzecie prawo Newtona pozwala na przejście od dynamiki oddzielny materiał wskazuje na dynamikę systemy punkty materialne.

Siły tarcia

W mechanice będziemy rozważać różne siły: tarcie, sprężystość, grawitację.

Siły tarcia, które zapobiegają przesuwaniu się stykających się ciał względem siebie.

Tarcie zewnętrzne nazywa się tarciem, które występuje w płaszczyźnie styku dwóch stykających się ciał podczas ich względnego ruchu.

W zależności od charakteru ich względnego ruchu, o którym mówią tarcie ślizgowe, walcowanie Lub spinning.

Tarcie wewnętrzne zwane tarciem pomiędzy częściami tego samego ciała, na przykład pomiędzy różnymi warstwami cieczy lub gazu. Jeżeli ciała ślizgają się względem siebie i oddziela je warstwa lepkiej cieczy (smaru), wówczas w warstwie smaru następuje tarcie. W tym przypadku o tym mówią tarcie hydrodynamiczne(warstwa smaru jest dość gruba) i tarcie graniczne (grubość warstwy smaru wynosi 0,1 µm lub mniej).

Przesuwająca się siła tarcia F tr jest proporcjonalna do siły N ciśnienie normalne, z jakim jedno ciało oddziałuje na drugie:

F tr = F N ,

Gdzie F - współczynnik tarcia ślizgowego, zależny od właściwości stykających się powierzchni.

W przypadku granicznym (początek przesuwania się nadwozia) F=F tr. Lub P grzech  0 = F N = F P cos  0, Gdzie

F = tg 0 .

W przypadku gładkich powierzchni przyciąganie międzycząsteczkowe zaczyna odgrywać pewną rolę. Dla nich jest to stosowane Prawo tarcia ślizgowego

F tr = F jest (N + Sp 0 ) ,

Gdzie R 0 - dodatkowe ciśnienie wywołane siłami przyciągania międzycząsteczkowego, które szybko maleją wraz ze wzrostem odległości między cząsteczkami; S - obszar styku ciał; F ist - rzeczywisty współczynnik tarcia ślizgowego.

F tr = F Do N / R , (8.1)

Prawo zachowania pędu. Środek masy

Zbiór punktów materialnych (ciał) traktowanych jako jedna całość nazywa się układ mechaniczny. Siły oddziaływania pomiędzy punktami materialnymi układu mechanicznego nazywane są - wewnętrzny. Nazywa się siły, z którymi ciała zewnętrzne działają na materialne punkty układu zewnętrzny. Mechaniczny układ ciał, na który nie działają siły zewnętrzne, nazywa się Zamknięte(Lub odosobniony). Jeśli mamy układ mechaniczny składający się z wielu ciał, to zgodnie z trzecim prawem Newtona siły działające pomiędzy tymi ciałami będą równe i przeciwnie skierowane, czyli suma geometryczna sił wewnętrznych będzie równa zeru.

Zapiszmy drugie prawo Newtona dla każdego z nich N korpusy układów mechanicznych:

Dodając te równania termin po wyrazie, otrzymujemy

Ale ponieważ suma geometryczna sił wewnętrznych układu mechanicznego zgodnie z trzecim prawem Newtona jest równa zero, to

(9.1)

Gdzie - impuls układu. Zatem pochodna czasowa pędu układu mechanicznego jest równa sumie geometrycznej sił zewnętrznych działających na układ.

W przypadku braku sił zewnętrznych (rozważamy układ zamknięty)

Ostatnie wyrażenie to prawo zachowania pędu: Pęd układu zamkniętego jest zachowany, to znaczy nie zmienia się w czasie.

Eksperymenty dowodzą, że dotyczy to również zamkniętych układów mikrocząstek (przestrzegają one praw mechaniki kwantowej). Prawo to jest uniwersalne, tj. prawo zachowania pędu - podstawowe prawo natury.

Prawo zachowania pędu jest konsekwencją pewnej właściwości symetrii przestrzeni - jej jednorodności. Jednorodność przestrzeni polega na tym, że podczas równoległego przenoszenia w przestrzeni zamkniętego układu ciał jako całości, jego właściwości fizyczne i prawa ruchu nie ulegają zmianie, czyli nie zależą od wyboru położenia początku układu inercyjny układ odniesienia.

Środek masy(Lub środek bezwładności) układu punktów materialnych nazywa się punktem urojonym Z, którego położenie charakteryzuje rozkład masy tego układu. Jego wektor promienia jest równy

Gdzie M I I R I- odpowiednio wektor masy i promienia I punkt materialny; N- liczba punktów materialnych w systemie; – masa układu. Środek prędkości masy

Biorąc pod uwagę, że Liczba Pi = M I w I, A jest rozmach R systemów, możesz pisać

(9.2)

to znaczy pęd układu jest równy iloczynowi masy układu i prędkości jego środka masy.

Podstawiając wyrażenie (9.2) do równania (9.1) otrzymujemy

(9.3)

Dynamika bada ruch ciał, biorąc pod uwagę przyczyny, które powodują ten ruch.

Dynamika opiera się na prawach Newtona.

Prawo. Istnieją inercyjne układy odniesienia (IRS), w których punkt materialny (ciało) utrzymuje stan spoczynku lub jednostajny ruch prostoliniowy do czasu, aż wpływ innych ciał wyprowadzi go z tego stanu.

Nazywa się właściwością ciała do utrzymywania stanu spoczynku lub jednostajnego ruchu prostoliniowego przy braku wpływu na nie innych ciał bezwładność.

ISO jest układem odniesienia, w którym ciało wolne od wpływów zewnętrznych znajduje się w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym po linii prostej.

Inercyjny układ odniesienia to taki, który znajduje się w spoczynku lub porusza się równomiernie po linii prostej względem dowolnego ISO.

Układ odniesienia poruszający się z przyspieszeniem względem ISO nie jest bezwładny.

Pierwsze prawo Newtona, zwane także prawem bezwładności, zostało po raz pierwszy sformułowane przez Galileusza. Jej treść sprowadza się do 2 stwierdzeń:

1) wszystkie ciała mają właściwość bezwładności;

2) istnieją ISO.

Zasada względności Galileusza: wszystkie zjawiska mechaniczne zachodzą w ten sam sposób we wszystkich ISO, tj. Za pomocą jakichkolwiek eksperymentów mechanicznych wewnątrz ISO nie można ustalić, czy dana ISO jest w spoczynku, czy też porusza się równomiernie po linii prostej.

W większości problemy praktyczne system odniesienia sztywno połączony z Ziemią można uznać za ISO.

Z doświadczenia wiadomo, że pod tymi samymi wpływami różne ciała inaczej zmieniają swoją prędkość, tj. uzyskują różne przyspieszenia, przyspieszenie ciał zależy od ich masy.

Waga- miara właściwości bezwładnościowych i grawitacyjnych ciała. Za pomocą precyzyjnych eksperymentów ustalono, że masy bezwładności i grawitacji są do siebie proporcjonalne. Dobierając jednostki tak, aby współczynnik proporcjonalności był równy jedności, otrzymujemy, że m i = m g, więc mówimy po prostu o masie ciała.

[m]=1kg to masa walca platynowo-irydowego, którego średnica i wysokość wynoszą h=d=39mm.

Aby scharakteryzować działanie jednego ciała na drugie, wprowadzono pojęcie siły.

Siła- miara interakcji ciał, w wyniku której ciała zmieniają prędkość lub ulegają deformacji.

Siłę charakteryzuje się wartością liczbową, kierunkiem i punktem przyłożenia. Nazywa się linię prostą, wzdłuż której działa siła linię działania siły. Jednoczesne działanie kilku sił na ciało jest równoznaczne z działaniem jednej siły, tzw wynikowy lub wypadkowa siła i równa ich sumie geometrycznej:

Drugie prawo Newtona – podstawowe prawo dynamiki ruchu postępowego – odpowiada na pytanie, jak zmienia się ruch ciała pod wpływem przyłożonych do niego sił.

II prawo. Przyspieszenie punktu materialnego jest wprost proporcjonalne do działającej na niego siły, odwrotnie proporcjonalne do jego masy i pokrywa się w kierunku z działającą siłą.

Gdzie jest siła wypadkowa.

Siłę można wyrazić wzorem

1N to siła, pod wpływem której ciało o masie 1 kg otrzymuje przyspieszenie 1 m/s 2 w kierunku działania tej siły.

Drugie prawo Newtona można zapisać w innej formie, wprowadzając pojęcie pędu:

Puls- wielkość wektorowa, liczbowo równa iloczynowi masy ciała i jego prędkości i współkierunkowana z wektorem prędkości.