Obliczanie rzutu wektora na oś. Rzut siły na oś. Rzut sumy wektorów sił na oś. Wielkości skalarne i wektorowe

Wprowadzenie……………………………………………………………………………3

1. Wartość wektora i skalara………………………………….4

2. Definicja rzutu, osi i współrzędnej punktu............5

3. Rzut wektora na oś………………………………………………………...6

4. Podstawowy wzór algebry wektorowej……………………………..8

5. Obliczanie modułu wektora z jego rzutów…………………...9

Zakończenie……………………………………………………………………………...11

Literatura……………………………………………………………………………...12

Wstęp:

Fizyka jest nierozerwalnie związana z matematyką. Matematyka dostarcza fizyce środków i technik służących do ogólnego i precyzyjnego wyrażania zależności między wielkościami fizycznymi odkrywanymi w wyniku eksperymentów lub badań teoretycznych.Wszak główną metodą badań w fizyce jest eksperyment. Oznacza to, że naukowiec ujawnia obliczenia za pomocą pomiarów. Oznacza związek między różnymi wielkościami fizycznymi. Następnie wszystko zostaje przetłumaczone na język matematyki. Tworzy się model matematyczny. Fizyka jest nauką badającą najprostsze i jednocześnie najbardziej ogólne prawa. Zadaniem fizyki jest stworzenie w naszym umyśle obrazu świata fizycznego, który najpełniej odzwierciedla jego właściwości i zapewnia takie relacje pomiędzy elementami modelu, jakie istnieją pomiędzy elementami.

Fizyka tworzy więc model otaczającego nas świata i bada jego właściwości. Ale każdy model jest ograniczony. Tworząc modele konkretnego zjawiska, uwzględnia się jedynie właściwości i powiązania, które są istotne dla danego zakresu zjawisk. Na tym polega sztuka naukowca – wybrać to, co najważniejsze z całej różnorodności.

Modele fizyczne są matematyczne, ale matematyka nie jest ich podstawą. Ilościowe zależności pomiędzy wielkościami fizycznymi wyznaczane są w wyniku pomiarów, obserwacji i badań eksperymentalnych i wyrażane są wyłącznie w języku matematyki. Jednakże nie ma innego języka do konstruowania teorii fizycznych.

1. Znaczenie wektora i skalara.

W fizyce i matematyce wektor jest wielkością charakteryzującą się wartością liczbową i kierunkiem. W fizyce istnieje wiele ważnych wielkości będących wektorami, na przykład siła, położenie, prędkość, przyspieszenie, moment obrotowy, pęd, natężenie pola elektrycznego i magnetycznego. Można je skontrastować z innymi wielkościami, takimi jak masa, objętość, ciśnienie, temperatura i gęstość, które można opisać zwykłą liczbą i nazywane są „ skalary”.

Są one pisane zwykłą czcionką lub cyframi (a, b, t, G, 5, -7….). Wielkości skalarne mogą być dodatnie lub ujemne. Jednocześnie niektóre obiekty badań mogą posiadać takie właściwości, dla których pełnego opisu nie wystarczy znajomość jedynie miary numerycznej, konieczne jest także scharakteryzowanie tych właściwości za pomocą kierunku w przestrzeni. Właściwości takie charakteryzują się wielkościami wektorowymi (wektorami). Wektory w odróżnieniu od skalarów oznaczane są pogrubionymi literami: a, b, g, F, C....
Często wektor jest oznaczony literą napisaną zwykłą (nie pogrubioną) czcionką, ale ze strzałką nad nią:

Ponadto wektor jest często oznaczony parą liter (zwykle wielką literą), przy czym pierwsza litera wskazuje początek wektora, a druga jego koniec.

Moduł wektora, czyli długość skierowanego odcinka prostej, oznacza się tymi samymi literami, co sam wektor, ale pismem normalnym (nie pogrubionym) i bez strzałki nad nimi lub dokładnie w ten sam sposób jako wektor (czyli pogrubiony lub zwykły, ale ze strzałką), ale wtedy oznaczenie wektora jest ujęte w pionowe kreski.
Wektor to złożony obiekt, który charakteryzuje się jednocześnie wielkością i kierunkiem.

Nie ma również wektorów dodatnich i ujemnych. Ale wektory mogą być sobie równe. Dzieje się tak, gdy na przykład a i b mają te same moduły i są skierowane w tym samym kierunku. W tym przypadku zapis jest prawdziwy A= b. Należy również pamiętać, że symbol wektora może być poprzedzony znakiem minus, na przykład - c, jednak znak ten symbolicznie wskazuje, że wektor -c ma ten sam moduł co wektor c, ale jest skierowany w przeciwną stronę kierunek.

Wektor -c nazywany jest przeciwieństwem (lub odwrotnością) wektora c.
W fizyce każdy wektor jest wypełniony określoną treścią, a przy porównywaniu wektorów tego samego typu (na przykład sił) istotne mogą być również punkty ich zastosowania.

2. Wyznaczanie rzutu, osi i współrzędnych punktu.

Oś- To jest linia prosta, która ma określony kierunek.
Oś oznaczona jest jakąś literą: X, Y, Z, s, t... Zwykle wybierany jest (dowolny) punkt na osi, który nazywa się początkiem i z reguły jest oznaczony literą O. Od tego miejsca mierzone są odległości do innych interesujących nas miejsc.

Rzut punktu na osi jest podstawa prostopadłej poprowadzonej z tego punktu na daną oś. Oznacza to, że rzut punktu na oś jest punktem.

Współrzędna punktu na danej osi to liczba, której wartość bezwzględna jest równa długości odcinka osi (w wybranej skali) zawartego pomiędzy początkiem osi a rzutem punktu na tę oś. Liczbę tę przyjmuje się ze znakiem plus, jeśli rzut punktu znajduje się w kierunku osi od jego początku, i ze znakiem minus, jeśli w kierunku przeciwnym.

3. Rzut wektora na oś.

Rzut wektora na oś to wektor, który uzyskuje się poprzez pomnożenie rzutu skalarnego wektora na tę oś przez wektor jednostkowy tej osi. Na przykład, jeśli a x jest rzutem skalarnym wektora a na oś X, to a x·i jest jego rzutem wektorowym na tę oś.

Oznaczmy rzut wektora w taki sam sposób, jak sam wektor, ale z indeksem osi, na którą wektor jest rzutowany. Zatem rzut wektorowy wektora a na oś X oznaczamy jako a x (pogrubiona litera oznaczająca wektor i indeks dolny nazwy osi) lub

(niska pogrubiona litera oznaczająca wektor, ale ze strzałką u góry (!) i indeksem dolnym nazwy osi).

Projekcja skalarna wektor na oś nazywa się numer, którego wartość bezwzględna jest równa długości odcinka osi (w wybranej skali) zawartego pomiędzy rzutami punktu początkowego i punktu końcowego wektora. Zwykle zamiast wyrażenia projekcja skalarna po prostu mówią - występ. Rzut jest oznaczony tą samą literą, co wektor rzutowany (normalnym, niepogrubionym pismem), z niższym indeksem (zwykle) nazwy osi, na którą rzutowany jest ten wektor. Na przykład, jeśli wektor jest rzutowany na oś X A, wówczas jego rzut jest oznaczony przez x. Podczas rzutowania tego samego wektora na inną oś, jeśli osią jest Y, jego rzut zostanie oznaczony jako y.

Aby obliczyć projekcję wektor na osi (na przykład osi X) należy odjąć współrzędną punktu początkowego od współrzędnej jego punktu końcowego, czyli

za x = x k - x n.

Rzut wektora na oś jest liczbą. Co więcej, rzut może być dodatni, jeżeli wartość x k jest większa od wartości x n,

ujemna, jeśli wartość x k jest mniejsza niż wartość x n

i równe zeru, jeśli x k równa się x n.

Rzut wektora na oś można również znaleźć, znając moduł wektora i kąt, jaki tworzy z tą osią.

Z rysunku jasno wynika, że a x = a Cos α

Oznacza to, że rzut wektora na oś jest równy iloczynowi modułu wektora i cosinusa kąta między kierunkiem osi i kierunek wektora. Jeśli kąt jest ostry, to
Cos α > 0 i a x > 0, a jeśli jest rozwarty, to cosinus kąta rozwartego jest ujemny i rzut wektora na oś również będzie ujemny.

Kąty mierzone od osi przeciwnie do ruchu wskazówek zegara uważa się za dodatnie, a kąty mierzone wzdłuż osi za ujemne. Ponieważ jednak cosinus jest funkcją parzystą, to znaczy Cos α = Cos (− α), przy obliczaniu rzutów kąty można liczyć zarówno zgodnie z ruchem wskazówek zegara, jak i przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Aby znaleźć rzut wektora na oś, moduł tego wektora należy pomnożyć przez cosinus kąta między kierunkiem osi a kierunkiem wektora.

4. Podstawowy wzór algebry wektorowej.

Rzutujmy wektor a na osie X i Y prostokątnego układu współrzędnych. Znajdźmy rzuty wektora a na te osie:

a x = a x ·i i y = a y ·j.

Ale zgodnie z zasadą dodawania wektorów

a = a x + a y.

a = za x ja + za y j.

W ten sposób wyraziliśmy wektor w kategoriach jego rzutów i wektorów prostokątnego układu współrzędnych (lub w kategoriach jego rzutów wektorowych).

Rzuty wektorów a x i y nazywane są składnikami lub składnikami wektora a. Operacja, którą wykonaliśmy, nazywa się rozkładem wektora wzdłuż osi prostokątnego układu współrzędnych.

Jeżeli wektor jest dany w przestrzeni, to

a = za x ja + za y jot + za z k.

Wzór ten nazywany jest podstawowym wzorem algebry wektorowej. Oczywiście, że można to zapisać w ten sposób.

W tym artykule zrozumiemy rzutowanie wektora na oś i nauczymy się, jak znaleźć numeryczny rzut wektora. Najpierw podamy definicję rzutu wektora na oś, wprowadzimy oznaczenie, a także przedstawimy ilustrację graficzną. Następnie przedstawimy definicję numerycznego rzutowania wektora na oś, rozważymy metody jego znajdowania i pokażemy rozwiązania kilku przykładów, w których konieczne jest znalezienie numerycznego rzutu wektora na oś.

Nawigacja strony.

Rzut wektora na oś – definicja, oznaczenie, ilustracje, przykład.

Zacznijmy od kilku informacji ogólnych.

Oś to linia prosta, dla której wskazany jest kierunek. Zatem rzut wektora na oś i rzut wektora na linię skierowaną to jedno i to samo.

Rzut wektora na oś można rozpatrywać w dwóch znaczeniach: geometrycznym i algebraicznym. W sensie geometrycznym rzut wektora na oś jest wektorem, a w sensie algebraicznym jest liczbą. Często to rozróżnienie nie jest wyraźnie określone, ale jest rozumiane na podstawie kontekstu. Nie będziemy ignorować tego rozróżnienia: określenia „” będziemy używać, gdy będziemy mówić o rzucie wektora w sensie geometrycznym, zaś określenia „”, gdy będziemy mówić o rzucie wektora w sensie algebraicznym (tzw. następny akapit tego artykułu poświęcony jest numerycznemu rzutowaniu wektora na oś).

Teraz przechodzimy do określenia rzutu wektora na oś. Aby to zrobić, nie zaszkodzi powtórzyć.

Dajmy sobie oś L i niezerowy wektor na płaszczyźnie lub w przestrzeni trójwymiarowej. Oznaczmy rzuty punktów A i B na prostą L odpowiednio jako A 1 i B 1 i skonstruujmy wektor. Patrząc w przyszłość, powiedzmy, że wektor jest rzutem wektora na oś L.

Definicja.

Rzut wektora na oś jest wektorem, którego początek i koniec są odpowiednio rzutami początku i końca danego wektora.

Rzut wektora na oś L oznaczamy jako .

Aby skonstruować rzut wektora na oś L, należy obniżyć prostopadłe z punktów A i B na skierowaną prostą L - podstawy tych prostopadłych wyznaczą początek i koniec żądanego rzutu.

Podajmy przykład rzutu wektorowego na oś.

Niech na płaszczyznę zostanie wprowadzony prostokątny układ współrzędnych Oxy i określony punkt. Przedstawmy wektor promienia punktu M 1 i skonstruujmy jego rzuty na osie współrzędnych Ox i Oy. Są to oczywiście wektory ze współrzędnymi i odpowiednio.

Często można usłyszeć o rzucie jednego wektora na inny niezerowy wektor lub rzucie wektora na kierunek wektora. W tym przypadku mamy na myśli rzut wektora na pewną oś, której kierunek pokrywa się z kierunkiem wektora (ogólnie istnieje nieskończenie wiele osi, których kierunki pokrywają się z kierunkiem wektora). Rzut wektora na linię prostą, której kierunek wyznacza wektor, oznaczamy jako .

Zauważ, że jeśli kąt między wektorami i jest ostry, to wektory i są współkierunkowe. Jeżeli kąt między wektorami i jest rozwarty, to wektory i są skierowane przeciwnie. Jeżeli wektor jest zerowy lub prostopadły do wektora, to rzut wektora na prostą, której kierunek jest określony przez wektor, jest wektorem zerowym.

Rzut numeryczny wektora na oś - definicja, oznaczenie, przykłady lokalizacji.

Numeryczną charakterystyką rzutowania wektora na oś jest numeryczny rzut tego wektora na daną oś.

Definicja.

Numeryczne odwzorowanie wektora na oś jest liczbą równą iloczynowi długości danego wektora i cosinusa kąta między tym wektorem a wektorem wyznaczającym kierunek osi.

Numeryczny rzut wektora na oś L oznaczamy (bez strzałki u góry), a numeryczny rzut wektora na oś określoną przez wektor oznaczamy jako .

W zapisie tym przyjmiemy postać numerycznego rzutowania wektora na linię skierowaną jako wektor , gdzie jest długością wektora, jest kątem między wektorami i .

Mamy więc pierwszy wzór na obliczenie rzutu numerycznego wektora: . Wzór ten stosuje się, gdy znana jest długość wektora i kąt między wektorami. Niewątpliwie wzór ten można zastosować, gdy znane są współrzędne wektorów i względem danego prostokątnego układu współrzędnych, jednak w tym przypadku wygodniej jest skorzystać z innego wzoru, który otrzymamy poniżej.

Przykład.

Oblicz rzut numeryczny wektora na linię skierowaną jako wektor, jeśli długość wektora wynosi 8, a kąt między wektorami i jest równy .

Rozwiązanie.

Z warunków problemowych, które mamy . Pozostaje tylko zastosować wzór w celu określenia wymaganego rzutu numerycznego wektora:

Odpowiedź:

Wiemy to , gdzie jest iloczynem skalarnym wektorów i . Następnie formuła , która pozwala znaleźć numeryczny rzut wektora na prostą skierowaną jako wektor, przybierze postać . Oznacza to, że możemy sformułować inną definicję numerycznego rzutowania wektora na oś, która jest równoważna definicji podanej na początku tego akapitu.

Definicja.

Numeryczne odwzorowanie wektora na oś, którego kierunek pokrywa się z kierunkiem wektora, jest stosunkiem iloczynu skalarnego wektorów i długości wektora.

Wygodnie jest użyć otrzymanego wzoru w celu znalezienia rzutu numerycznego wektora na linię prostą, której kierunek pokrywa się z kierunkiem wektora, gdy znane są współrzędne wektorów i. Pokażemy to rozwiązując przykłady.

Przykład.

Wiadomo, że wektor określa kierunek osi L. Znajdź numeryczny rzut wektora na oś L.

Rozwiązanie.

Formuła w postaci współrzędnych to , gdzie i . Używamy go do znalezienia wymaganego rzutu numerycznego wektora na oś L:

Odpowiedź:

Przykład.

W odniesieniu do prostokątnego układu współrzędnych Oxyz w przestrzeni trójwymiarowej dane są dwa wektory I . Znajdź numeryczny rzut wektora na oś L, którego kierunek pokrywa się z kierunkiem wektora.

Rozwiązanie.

Według współrzędnych wektorowych I możemy obliczyć iloczyn skalarny tych wektorów: . Długość wektora na podstawie jego współrzędnych oblicza się za pomocą poniższego wzoru . Wówczas wzór na wyznaczenie rzutu numerycznego wektora na oś L we współrzędnych ma postać .

Zastosujmy to:

Odpowiedź:

Znajdźmy teraz związek pomiędzy numerycznym rzutem wektora na oś L, którego kierunek wyznacza wektor, a długością rzutu wektora na oś L. W tym celu przedstawiamy oś L, nanosimy wektory i z punktu leżącego na L obniżamy prostopadłą od końca wektora do prostej L i konstruujemy rzut wektora na oś L. W zależności od miary kąta między wektorami możliwych jest pięć następujących opcji:

W pierwszym przypadku jest oczywiste, że zatem więc .

W drugim przypadku w zaznaczonym trójkącie prostokątnym z definicji cosinusa kąta mamy , stąd, .

W trzecim przypadku jest oczywiste, że i , dlatego i .

W czwartym przypadku z definicji cosinusa kąta wynika, że , Gdzie .

Zatem w tym drugim przypadku
.

Poniższa definicja numerycznego rzutowania wektora na oś łączy otrzymane wyniki.

Definicja.

Numeryczny rzut wektora na oś L, skierowany jako wektor, to jest

Przykład.

Długość rzutu wektora na oś L, której kierunek wyznacza wektor, wynosi . Jaki jest numeryczny rzut wektora na oś L, jeśli kąt między wektorami i jest równy radianom.

A. Rzut punktu A na oś PQ (rys. 4) jest podstawą a prostopadłej spuszczonej z danego punktu na daną oś. Oś, na którą rzutujemy, nazywana jest osią projekcji.

B. Niech będą dane dwie osie i wektor A B, jak pokazano na ryc. 5.

Wektor, którego początek jest rzutem początku, a końcem jest rzutem końca tego wektora, nazywamy rzutem wektora A B na oś PQ i zapisuje się to w ten sposób:

Czasami wskaźnik PQ nie jest zapisany na dole, dzieje się tak w przypadkach, gdy oprócz PQ nie ma innego systemu operacyjnego, na którym można by go zaprojektować.

Z. Twierdzenie I. Wielkości wektorów leżących na jednej osi są powiązane jako wielkości ich rzutów na dowolną oś.

Niech zostaną podane osie i wektory wskazane na ryc. 6. Z podobieństwa trójkątów wynika, że długości wektorów są powiązane jako długości ich rzutów, tj.

Ponieważ wektory na rysunku są skierowane w różnych kierunkach, ich wielkości mają różne znaki, dlatego

Oczywiście wielkości rzutów mają również różne znaki:

podstawiając (2) do (3) do (1), otrzymujemy

Odwracając znaki, otrzymujemy

Jeżeli wektory są jednakowo skierowane, to ich rzuty również będą miały ten sam kierunek; we wzorach (2) i (3) nie będzie znaków minus. Podstawiając (2) i (3) do równości (1) natychmiast otrzymujemy równość (4). Zatem twierdzenie zostało udowodnione dla wszystkich przypadków.

D. Twierdzenie II. Wielkość rzutu wektora na dowolną oś jest równa wielkości wektora pomnożonej przez cosinus kąta między osią rzutów a osią wektora. Niech osie będą podane jako wektor, jak pokazano na ryc. . 7. Skonstruujmy wektor o tym samym kierunku co jego oś i wykreślmy go np. z punktu przecięcia osi. Niech jego długość będzie równa jeden. Następnie jego wielkość

Występ wektor na oś to wektor otrzymywany przez pomnożenie rzutu skalarnego wektora na tę oś przez wektor jednostkowy tej osi. Na przykład, jeśli x – projekcja skalarna wektor A do osi X, a następnie x I- jego rzut wektorowy na tę oś.

Oznaczmy projekcja wektorowa taki sam jak sam wektor, ale z indeksem osi, na którą wektor jest rzutowany. Zatem rzut wektorowy wektora A na osi X, którą oznaczamy A X ( tłuszcz litera oznaczająca wektor i indeks dolny nazwy osi) lub (niepogrubiona litera oznaczająca wektor, ale ze strzałką u góry (!) i indeksem dolnym nazwy osi).

Aby obliczyć projekcję wektor na osi (na przykład osi X) należy odjąć współrzędną punktu początkowego od współrzędnej jego punktu końcowego, czyli
za x = x k - x n.
Rzut wektora na oś jest liczbą. Co więcej, rzut może być dodatni, jeżeli wartość x k jest większa od wartości x n,

ujemna, jeśli wartość x k jest mniejsza niż wartość x n

i równe zeru, jeśli x k równa się x n.

Rzut wektora na oś można również znaleźć, znając moduł wektora i kąt, jaki tworzy z tą osią.

Z rysunku jasno wynika, że a x = a Cos α

oznacza to, że rzut wektora na oś jest równy iloczynowi modułu wektora i cosinusowi kąta między kierunkiem osi i kierunek wektora. Jeśli kąt jest ostry, to
Cos α > 0 i a x > 0, a jeśli jest rozwarty, to cosinus kąta rozwartego jest ujemny i rzut wektora na oś również będzie ujemny.

Aby znaleźć rzut wektora na oś, moduł tego wektora należy pomnożyć przez cosinus kąta między kierunkiem osi a kierunkiem wektora.

Współrzędne wektora— współczynniki jedynej możliwej kombinacji liniowej wektorów bazowych w wybranym układzie współrzędnych, równe danemu wektorowi.

gdzie są współrzędne wektora.

Iloczyn skalarny wektorów

Iloczyn skalarny wektorów[- w skończonych wymiarach Przestrzeń wektorowa definiuje się jako sumę iloczynów identycznych składników wektory.

Na przykład spółka S.p.v. A = (A 1 , ..., jakiś) I B = (B 1 , ..., b n):

(A , B ) = A 1 B 1 + A 2 B 2 + ... + an b n

Rozwiązywanie problemów dotyczących równowagi zbieżnych sił poprzez konstruowanie wielokątów sił zamkniętych wymaga uciążliwych konstrukcji. Uniwersalną metodą rozwiązania tego typu problemów jest przejście do wyznaczania rzutów danych sił na osie współrzędnych i operowanie tymi rzutami. Oś to linia prosta, której przypisano określony kierunek.

Rzut wektora na oś jest wielkością skalarną, którą wyznacza odcinek osi odcięty przez prostopadłe narzucone na nią z początku i końca wektora.

Rzut wektorowy uważa się za dodatni, jeśli kierunek od początku rzutu do jego końca pokrywa się z dodatnim kierunkiem osi. Rzut wektorowy uważa się za ujemny, jeśli kierunek od początku rzutu do jego końca jest przeciwny do dodatniego kierunku osi.

Zatem rzut siły na oś współrzędnych jest równy iloczynowi modułu siły i cosinusa kąta między wektorem siły a dodatnim kierunkiem osi.

Rozważmy kilka przypadków rzutowania sił na oś:

Wektor siły F(Rys. 15) tworzy kąt ostry z dodatnim kierunkiem osi x.

Aby znaleźć rzut, od początku i końca wektora siły obniżamy prostopadłe do osi Oh; dostajemy

1. Fx = F ponieważ α

Rzut wektora w tym przypadku jest dodatni

Siła F(Rys. 16) jest z dodatnim kierunkiem osi X kąt rozwarty α.

Następnie F x = F cos α, ale ponieważ α = 180 0 - φ,

F x = F sałata α = F cos180 0 - φ =- F cos φ.

Projekcja siły F na oś Oh w tym przypadku jest negatywny.

Siła F(Rys. 17) prostopadle do osi Oh.

Rzut siły F na oś X równy zeru

F x = F cos 90° = 0.

Siła zlokalizowana na płaszczyźnie jak(Rys. 18), można rzutować na dwie osie współrzędnych Oh I Jednostka organizacyjna.

Wytrzymałość F można podzielić na elementy: F x i F y. Moduł wektorowy F x jest równe rzutowi wektora F na oś wół i moduł wektorowy F y jest równe rzutowi wektora F na oś Oh.

Od Δ OAV: F x = F cos α, F x = F grzech α.

Od Δ OAS: F x = F cos φ, F x = F grzech φ.

Wielkość siły można wyznaczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

Rzut sumy wektorów lub wypadkowej na dowolną oś jest równy sumie algebraicznej rzutów sum wektorów na tę samą oś.

Rozważ zbieżne siły F 1 , F 2 , F 3 i F 4, (ryc. 19, a). Suma geometryczna lub wypadkowa tych sił F określona przez zamykającą stronę wielokąta sił

Spuśćmy się z wierzchołków wielokąta sił na oś X prostopadłe.

Uwzględniając otrzymane rzuty sił bezpośrednio z ukończonej konstrukcji, mamy

F= F 1x+ F 2x+ F 3x+ F 4x

gdzie n jest liczbą terminów wektorowych. Ich rzuty wchodzą do powyższego równania z odpowiednim znakiem.

Na płaszczyźnie geometryczną sumę sił można rzutować na dwie osie współrzędnych, a w przestrzeni odpowiednio na trzy.