Kurs wideo „Zdobądź piątkę” obejmuje wszystkie tematy niezbędne do osiągnięcia sukcesu zdanie jednolitego egzaminu państwowego z matematyki na 60-65 punktów. Kompletnie wszystkie zadania 1-13 Profil Ujednolicony egzamin państwowy matematyka. Nadaje się również do zdania podstawowego jednolitego egzaminu państwowego z matematyki. Jeśli chcesz zdać Unified State Exam z 90-100 punktami, musisz rozwiązać część 1 w 30 minut i bez błędów!

Kurs przygotowawczy do Jednolitego Egzaminu Państwowego dla klas 10-11, a także dla nauczycieli. Wszystko, czego potrzebujesz, aby rozwiązać część 1 egzaminu państwowego Unified State Exam z matematyki (pierwsze 12 zadań) i zadanie 13 (trygonometria). A to ponad 70 punktów na egzaminie Unified State Exam i ani 100-punktowy student, ani student nauk humanistycznych nie mogą się bez nich obejść.

Cała niezbędna teoria. Szybkie sposoby rozwiązania, pułapki i tajemnice Unified State Exam. Przeanalizowano wszystkie aktualne zadania części 1 z Banku Zadań FIPI. Kurs w pełni odpowiada wymogom Unified State Exam 2018.

Kurs zawiera 5 dużych tematów, każdy po 2,5 godziny. Każdy temat jest podany od podstaw, prosto i przejrzyście.

Setki zadań z egzaminu Unified State Exam. Zadania tekstowe i teoria prawdopodobieństwa. Proste i łatwe do zapamiętania algorytmy rozwiązywania problemów. Geometria. Teoria, materiał referencyjny, analiza wszystkich typów zadań Unified State Examation. Stereometria. Podstępne rozwiązania, przydatne ściągawki, rozwój wyobraźni przestrzennej. Trygonometria od podstaw do zadania 13. Zrozumienie zamiast wkuwania. Jasne wyjaśnienia skomplikowanych pojęć. Algebra. Pierwiastki, potęgi i logarytmy, funkcja i pochodna. Podstawa rozwiązania złożone zadania 2 części jednolitego egzaminu państwowego.

Sinus, cosinus, tangens – wymawiając te słowa w obecności uczniów szkół średnich, możesz być pewien, że dwie trzecie z nich straci zainteresowanie dalsza rozmowa. Powodem jest to, że podstaw trygonometrii w szkole uczy się w całkowitym oderwaniu od rzeczywistości, dlatego uczniowie nie widzą sensu studiowania wzorów i twierdzeń.

Rzeczywiście, po bliższym przyjrzeniu się, ta dziedzina wiedzy okazuje się bardzo interesująca, a także stosowana - trygonometrię wykorzystuje się w astronomii, budownictwie, fizyce, muzyce i wielu innych dziedzinach.

Zapoznajmy się z podstawowymi pojęciami i wymieńmy kilka powodów, dla których warto studiować tę gałąź nauk matematycznych.

Fabuła

Nie wiadomo, w którym momencie ludzkość zaczęła od zera tworzyć przyszłą trygonometrię. Udokumentowano jednak, że już w drugim tysiącleciu p.n.e. Egipcjanie znali podstawy tej nauki: archeolodzy znaleźli papirus z zadaniem, w którym należało znaleźć kąt nachylenia piramidy z dwóch znanych stron.

Naukowcy starożytnego Babilonu odnieśli poważniejsze sukcesy. Na przestrzeni wieków, studiując astronomię, opanowali szereg wprowadzonych twierdzeń specjalne sposoby miary kątów, których, nawiasem mówiąc, używamy dzisiaj: stopnie, minuty i sekundy zostały zapożyczone przez naukę europejską w kulturze grecko-rzymskiej, do której jednostki te przybyły z Babilończyków.

Zakłada się, że słynne twierdzenie Pitagorasa, dotyczące podstaw trygonometrii, było znane Babilończykom prawie cztery tysiące lat temu.

Nazwa

Dosłownie termin „trygonometria” można przetłumaczyć jako „pomiar trójkątów”. Głównym przedmiotem badań w tej sekcji nauki przez wiele stuleci był trójkąt prostokątny, a ściślej związek między wielkościami kątów a długościami jego boków (dziś badanie trygonometrii od podstaw rozpoczyna się od tej sekcji) . Często w życiu zdarzają się sytuacje, gdy praktycznie niemożliwe jest zmierzenie wszystkich wymaganych parametrów obiektu (lub odległości do obiektu), a wtedy konieczne staje się uzyskanie brakujących danych poprzez obliczenia.

Na przykład w przeszłości ludzie nie potrafili mierzyć odległości do obiektów kosmicznych, ale próby obliczenia tych odległości miały miejsce na długo przed nadejściem naszej ery. Trygonometria również odegrała kluczową rolę w nawigacji: przy odrobinie wiedzy kapitan mógł zawsze nawigować nocą według gwiazd i korygować kurs.

Podstawowe koncepcje

Opanowanie trygonometrii od podstaw wymaga zrozumienia i zapamiętania kilku podstawowych pojęć.

Sinus pewnego kąta to stosunek przeciwnej strony do przeciwprostokątnej. Wyjaśnijmy, że przeciwna noga to strona leżąca naprzeciwko kąta, który rozważamy. Zatem, jeśli kąt wynosi 30 stopni, sinus tego kąta będzie zawsze, dla dowolnej wielkości trójkąta, równy ½. Cosinus kąta to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej.

Tangens to stosunek strony przeciwnej do strony sąsiedniej (lub, co jest takie samo, stosunek sinusa do cosinusa). Cotangens to jednostka podzielona przez styczną.

Warto wspomnieć o słynnej liczbie Pi (3,14...), która stanowi połowę długości koła o promieniu jednej jednostki.

Popularne błędy

Osoby uczące się trygonometrii od podstaw popełniają szereg błędów – głównie z powodu nieuwagi.

Po pierwsze, rozwiązując problemy z geometrii, należy pamiętać, że użycie sinusów i cosinusów jest możliwe tylko w trójkąt prostokątny. Zdarza się, że uczeń „automatycznie” przyjmuje za przeciwprostokątną najdłuższy bok trójkąta i otrzymuje błędne wyniki obliczeń.

Po drugie, na początku łatwo jest pomylić wartości sinusa i cosinusa dla wybranego kąta: pamiętaj, że sinus 30 stopni jest liczbowo równy cosinusowi 60 i odwrotnie. Jeśli zastąpisz nieprawidłową liczbę, wszystkie dalsze obliczenia będą nieprawidłowe.

Po trzecie, dopóki problem nie zostanie całkowicie rozwiązany, nie należy zaokrąglać żadnych wartości, wyodrębniać pierwiastków, pisać ułamek wspólny jako ułamek dziesiętny. Często uczniowie starają się uzyskać „piękną” liczbę w zadaniu trygonometrycznym i natychmiast wyodrębniają pierwiastek z trzech, chociaż po dokładnie jednym działaniu pierwiastek ten można zmniejszyć.

Etymologia słowa „sinus”

Historia słowa „sinus” jest naprawdę niezwykła. Faktem jest, że dosłowne tłumaczenie tego słowa z łaciny oznacza „pusty”. Dzieje się tak dlatego, że podczas tłumaczenia z jednego języka na drugi utracone zostało prawidłowe zrozumienie tego słowa.

Podstawowe nazwy funkcje trygonometryczne wywodzi się z Indii, gdzie pojęcie sinusa w sanskrycie oznaczano słowem „sznurek” – faktem jest, że ten odcinek wraz z łukiem koła, na którym spoczywał, wyglądał jak łuk. W okresie rozkwitu cywilizacji arabskiej zapożyczono osiągnięcia Indii w dziedzinie trygonometrii, a termin ten przeszedł do arabski w formie transkrypcji. Tak się złożyło, że w tym języku już było podobne słowo, oznaczający depresję, i jeśli Arabowie rozumieli różnicę fonetyczną między słowem rodzimym a zapożyczonym, to Europejczycy, tłumacząc traktaty naukowe na łacinę, błędnie tłumaczyli dosłownie Arabskie słowo, co nie ma nic wspólnego z pojęciem sinusa. Używamy go do dziś.

Tablice wartości

Istnieją tabele zawierające wartości liczbowe sinusów, cosinusów i stycznych wszystkich możliwych kątów. Poniżej prezentujemy dane dla kątów 0, 30, 45, 60 i 90 stopni, których trzeba się nauczyć jako obowiązkowej części trygonometrii dla „manekinów”, na szczęście są one dość łatwe do zapamiętania.

Jeśli zdarzy się, że wartość liczbowa sinusa lub cosinusa kąta „wyleciała ci z głowy”, istnieje sposób, aby wyprowadzić ją samodzielnie.

Reprezentacja geometryczna

Narysujmy okrąg i przez jego środek narysujmy odciętą i osie rzędnych. Oś odciętych jest pozioma, oś rzędnych jest pionowa. Zazwyczaj są one oznaczone odpowiednio jako „X” i „Y”. Teraz narysujemy linię prostą ze środka okręgu, aby uzyskać potrzebny kąt między nim a osią X. Wreszcie z punktu, w którym prosta przecina okrąg, upuszczamy prostopadłą do osi X. Długość powstałego odcinka będzie równa liczbowej wartości sinusa naszego kąta.

Ta metoda jest bardzo istotna, jeśli zapomniałeś Pożądana wartość na przykład podczas egzaminu, a pod ręką nie ma podręcznika z trygonometrii. W ten sposób nie uzyskasz dokładnej liczby, ale na pewno zobaczysz różnicę między ½ a 1,73/2 (sinus i cosinus kąta 30 stopni).

Aplikacja

Jednymi z pierwszych ekspertów, którzy zastosowali trygonometrię, byli żeglarze, którzy nie mieli innego punktu odniesienia na otwartym morzu poza niebem nad głowami. Dziś kapitanowie statków (samolotów i innych środków transportu) nie szukają najkrótszej drogi korzystając z gwiazd, lecz aktywnie korzystają z nawigacji GPS, co nie byłoby możliwe bez zastosowania trygonometrii.

Niemal w każdym dziale fizyki znajdziesz obliczenia z wykorzystaniem sinusów i cosinusów: czy to zastosowanie siły w mechanice, obliczenia toru obiektów w kinematyce, drgania, propagacja fal, załamanie światła - bez podstawowej trygonometrii po prostu się nie obejdzie w formułach.

Kolejnym zawodem, który jest nie do pomyślenia bez trygonometrii, jest geodeta. Za pomocą teodolitu i poziomicy lub bardziej złożonego urządzenia - tachometru, osoby te mierzą różnicę wysokości pomiędzy różnymi punktami na powierzchni ziemi.

Powtarzalność

Trygonometria zajmuje się nie tylko kątami i bokami trójkąta, chociaż od tego zaczęła swoje istnienie. We wszystkich dziedzinach, w których występuje cykliczność (biologia, medycyna, fizyka, muzyka itp.) napotkasz wykres, którego nazwa jest prawdopodobnie Ci znana - jest to fala sinusoidalna.

Taki wykres jest okręgiem rozwiniętym wzdłuż osi czasu i wygląda jak fala. Jeśli kiedykolwiek pracowałeś z oscyloskopem na lekcjach fizyki, wiesz, o czym mówimy. Zarówno korektor muzyczny, jak i pulsometr wykorzystują w swoim działaniu wzory trygonometryczne.

Wreszcie

Myśląc o tym, jak nauczyć się trygonometrii, większość drugorzędnych i Liceum zaczynają uważać to za złożoną i niepraktyczną naukę, ponieważ zapoznają się tylko z nudnymi informacjami z podręcznika.

Jeśli chodzi o niepraktyczność, widzieliśmy już, że w takim czy innym stopniu umiejętność obsługi sinusów i stycznych jest wymagana w prawie każdej dziedzinie działalności. A co do złożoności... Pomyśl: jeśli ludzie korzystali z tej wiedzy ponad dwa tysiące lat temu, kiedy dorosły miał mniejszą wiedzę niż dzisiejszy licealista, czy dla Ciebie realne jest studiowanie tej dziedziny nauki na poziomie podstawowym? Kilka godzin przemyślanej praktyki rozwiązywania problemów - a dzięki nauce osiągniesz swój cel kurs podstawowy, tak zwana trygonometria dla manekinów.

Już w 1905 roku rosyjscy czytelnicy mogli przeczytać w książce Williama Jamesa „Psychologia” jego rozumowanie na temat: „Dlaczego uczenie się na pamięć jest tak złym sposobem uczenia się?”

„Wiedza zdobyta poprzez proste uczenie się na pamięć jest prawie nieuchronnie całkowicie zapominana bez śladu. Wręcz przeciwnie, materiał mentalny, przyswajany przez pamięć stopniowo, dzień po dniu, w powiązaniu z różnymi kontekstami, skojarzony skojarzeniowo z innymi zdarzeniami zewnętrznymi i wielokrotnie poddawany dyskusji, tworzy taki system, wchodzi w takie powiązanie z innymi aspektami naszego życia. intelekt, łatwo zostaje przywrócony w pamięci dzięki masie zewnętrznych okoliczności, co pozostaje trwałym nabytkiem przez długi czas.”

Od tego czasu minęło ponad 100 lat, a słowa te pozostają niezwykle aktualne. Przekonujesz się o tym każdego dnia, pracując z dziećmi w wieku szkolnym. Ogromne luki w wiedzy są tak duże, że można postawić tezę: szkolny kurs matematyki w ujęciu dydaktycznym i psychologicznym nie jest systemem, ale rodzajem urządzenia zachęcającego do pamięć krótkotrwała i w ogóle nie przejmują się pamięcią długoterminową.

Wiedzieć kurs szkolny Matematyka oznacza opanowanie materiału z każdego z obszarów matematyki, możliwość uaktualnienia dowolnego z nich w dowolnym momencie. Aby to osiągnąć należy systematycznie kontaktować się z każdym z nich, co czasami nie zawsze jest możliwe ze względu na duże obciążenie pracą na lekcji.

Istnieje inny sposób długotrwałego zapamiętywania faktów i formuł - są to sygnały referencyjne.

Trygonometria to jeden z dużych działów matematyki szkolnej, którego uczy się na kursie geometrii w klasach 8 i 9 oraz algebry w klasie 9, algebry i analizy elementarnej w klasie 10.

Największa ilość materiału badanego w trygonometrii przypada na 10. klasę. Większości materiału z trygonometrii można się nauczyć i zapamiętać okrąg trygonometryczny(okrąg o promieniu jednostkowym, którego środek znajduje się w początku prostokątnego układu współrzędnych). Dodatek 1.ppt

Są to następujące pojęcia trygonometrii:

  • definicje sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensu kąta;
  • pomiar kąta radianowego;
  • dziedzina definicji i zakres wartości funkcji trygonometrycznych
  • wartości funkcji trygonometrycznych dla niektórych wartości argumentu liczbowego i kątowego;
  • okresowość funkcji trygonometrycznych;
  • parzystość i nieparzystość funkcji trygonometrycznych;
  • zwiększanie i zmniejszanie funkcji trygonometrycznych;
  • wzory redukcyjne;
  • wartości odwrotnych funkcji trygonometrycznych;
  • rozwiązywanie prostych równań trygonometrycznych;
  • rozwiązywanie prostych nierówności;
  • podstawowe wzory trygonometrii.

Rozważmy przestudiowanie tych pojęć na okręgu trygonometrycznym.

1) Definicja sinusa, cosinusa, tangensa i kotangensa.

Po zapoznaniu się z pojęciami okręgu trygonometrycznego (okrąg o promieniu jednostkowym mającym środek w początku), promienia początkowego (promień okręgu w kierunku osi Ox) oraz kąta obrotu, uczniowie samodzielnie uzyskują definicje dla sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensu na okręgu trygonometrycznym, korzystając z definicji z geometrii przebiegu, czyli biorąc pod uwagę trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej równej 1.

Cosinus kąta to odcięta punktu na okręgu, gdy początkowy promień zostanie obrócony o zadany kąt.

Sinus kąta jest rzędną punktu na okręgu, gdy promień początkowy zostanie obrócony o zadany kąt.

2) Radianowy pomiar kątów na okręgu trygonometrycznym.

Po wprowadzeniu radianowej miary kąta (1 radian to kąt centralny, co odpowiada długości łuku równej długości promienia okręgu), uczniowie dochodzą do wniosku, że radialna miara kąta to numeryczna wartość kąta obrotu po okręgu, równa długości odpowiedniego łuku, gdy obrót promienia początkowego o zadany kąt. .

Okrąg trygonometryczny dzieli się na 12 równych części poprzez średnicę koła. Wiedząc, że kąt jest wyrażony w radianach, można określić miarę w radianach dla kątów będących wielokrotnościami .

W podobny sposób uzyskuje się radiacyjne pomiary kątów, wielokrotności:

3) Dziedzina definicji i zakres wartości funkcji trygonometrycznych.

Czy zgodność między kątami obrotu a wartościami współrzędnych punktu na okręgu będzie funkcją?

Każdy kąt obrotu odpowiada pojedynczemu punktowi na okręgu, co oznacza, że ​​ta zgodność jest funkcją.

Uzyskanie funkcji

Na okręgu trygonometrycznym widać, że dziedziną definicji funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, a zakres wartości wynosi .

Wprowadźmy pojęcia linii stycznych i cotangensów na okręgu trygonometrycznym.

1) Niech Wprowadźmy pomocniczą prostą równoległą do osi Oy, na której wyznaczane są styczne dla dowolnego argumentu liczbowego.

2) Podobnie otrzymujemy linię kotangentów. Niech y=1, wtedy . Oznacza to, że wartości cotangensów wyznacza się na linii prostej równoległej do osi Wółu.

Na okręgu trygonometrycznym można łatwo określić dziedzinę definicji i zakres wartości funkcji trygonometrycznych:

dla stycznej -

dla cotangensu -

4) Wartości funkcji trygonometrycznych na okręgu trygonometrycznym.

Noga przeciwna do kąta w jest równa połowie przeciwprostokątnej, czyli drugiej nogi zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa:

Oznacza to, że definiując sinus, cosinus, tangens, cotangens, można określić wartości kątów będących wielokrotnościami lub radianami. Wartości sinus wyznacza się wzdłuż osi Oy, cosinus wzdłuż osi Ox, natomiast wartości tangensa i cotangensu można wyznaczyć za pomocą dodatkowych osi równoległych odpowiednio do osi Oy i Ox.

Tabelaryczne wartości sinusa i cosinusa znajdują się na odpowiednich osiach w następujący sposób:

Wartości tabeli tangensów i cotangensów -

5) Okresowość funkcji trygonometrycznych.

Na okręgu trygonometrycznym widać, że wartości sinusa i cosinusa powtarzają się w każdym radianie, a tangens i cotangens - w każdym radianie.

6) Parzystość i nieparzystość funkcji trygonometrycznych.

Właściwość tę można uzyskać porównując wartości dodatnich i przeciwnych kątów obrotu funkcji trygonometrycznych. Rozumiemy to

Więc cosinus - nawet funkcjonować, wszystkie inne funkcje są nieparzyste.

7) Rosnące i malejące funkcje trygonometryczne.

Okrąg trygonometryczny pokazuje, że funkcja sinus rośnie i maleje

Rozumując podobnie, otrzymujemy przedziały rosnących i malejących funkcji cosinusa, stycznej i cotangensa.

8) Wzory redukcyjne.

Za kąt przyjmujemy mniejszą wartość kąta na okręgu trygonometrycznym. Wszystkie wzory uzyskujemy poprzez porównanie wartości funkcji trygonometrycznych na ramionach wybranych trójkątów prostokątnych.

Algorytm stosowania formuł redukcyjnych:

1) Określ znak funkcji przy obrocie o zadany kąt.

Podczas skręcania za róg funkcja zostaje zachowana po obróceniu o kąt - liczba całkowita, liczba nieparzysta, kofunkcja (

9) Wartości odwrotnych funkcji trygonometrycznych.

Wprowadźmy funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych, korzystając z definicji funkcji.

Każda wartość sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensu na okręgu trygonometrycznym odpowiada tylko jednej wartości kąta obrotu. Oznacza to, że dla funkcji dziedziną definicji jest zakres wartości - Dla funkcji dziedziną definicji jest zakres wartości. Podobnie otrzymujemy dziedzinę definicji i zakres wartości funkcje odwrotne dla cosinusa i cotangensu.

Algorytm znajdowania wartości odwrotnych funkcji trygonometrycznych:

1) znalezienie wartości argumentu odwrotnej funkcji trygonometrycznej na odpowiedniej osi;

2) znalezienie kąta obrotu promienia początkowego, biorąc pod uwagę zakres wartości odwrotnej funkcji trygonometrycznej.

Na przykład:

10) Rozwiązywanie prostych równań na okręgu trygonometrycznym.

Aby rozwiązać równanie postaci, znajdujemy punkty na okręgu, których rzędne są równe i zapisujemy odpowiadające im kąty, biorąc pod uwagę okres funkcji.

Do równania znajdujemy punkty na okręgu, których odcięte są równe i zapisujemy odpowiadające im kąty, biorąc pod uwagę okres funkcji.

Podobnie dla równań postaci Wartości wyznaczane są na liniach stycznych i cotangensów oraz rejestrowane są odpowiadające im kąty obrotu.

Wszystkie koncepcje i wzory trygonometrii są odbierane przez samych uczniów pod jasnym kierunkiem nauczyciela za pomocą okrąg trygonometryczny. W przyszłości ten „okrąg” będzie dla nich sygnałem odniesienia lub Czynnik zewnętrzny do odtwarzania w pamięci pojęć i wzorów trygonometrycznych.

Badanie trygonometrii na okręgu trygonometrycznym pomaga:

  • wybór optymalnego stylu komunikacji na danej lekcji, organizacja współpracy edukacyjnej;
  • cele lekcji stają się osobiście istotne dla każdego ucznia;
  • nowy materiał oparte na osobiste doświadczenie działania, myślenie, odczucia ucznia;
  • lekcja obejmuje różne kształty praca i metody zdobywania i przyswajania wiedzy; istnieją elementy wzajemnego i samodzielnego uczenia się; samokontrola i wzajemna kontrola;
  • istnieje szybka reakcja na nieporozumienia i błędy (wspólna dyskusja, wskazówki wsparcia, wzajemne konsultacje).

Wykonując przekształcenia trygonometryczne postępuj zgodnie z tymi wskazówkami:

  1. Nie próbuj od razu wymyślać rozwiązania przykładu od początku do końca.
  2. Nie próbuj konwertować całego przykładu na raz. Rób małe kroki do przodu.
  3. Pamiętaj, że oprócz wzorów trygonometrycznych w trygonometrii nadal możesz używać wszystkich sprawiedliwych przekształceń algebraicznych (nawiasy, skracanie ułamków, skrócone wzory na mnożenie i tak dalej).
  4. Uwierz, że wszystko będzie dobrze.

Podstawowe wzory trygonometryczne

Większość wzorów w trygonometrii jest często używana zarówno od prawej do lewej, jak i od lewej do prawej, dlatego musisz nauczyć się tych wzorów na tyle dobrze, aby móc łatwo zastosować pewne wzory w obu kierunkach. Zapiszmy najpierw definicje funkcji trygonometrycznych. Niech będzie trójkąt prostokątny:

Następnie definicja sinusa:

Definicja cosinusa:

Definicja stycznej:

Definicja kotangensu:

Podstawowa tożsamość trygonometryczna:

Najprostsze wnioski z podstawowej tożsamości trygonometrycznej:

Wzory na kąt podwójny. Sinus podwójnego kąta:

Cosinus podwójnego kąta:

Tangens kąta podwójnego:

Cotangens kąta podwójnego:

Dodatkowe wzory trygonometryczne

Wzory trygonometryczne dodatek. Sinus sumy:

Sinus różnicy:

Cosinus sumy:

Cosinus różnicy:

Tangens sumy:

Tangens różnicy:

Cotangens ilości:

Kotangens różnicy:

Wzory trygonometryczne do przeliczania sumy na iloczyn. Suma sinusów:

Różnica sinusowa:

Suma cosinusów:

Różnica cosinusów:

Suma tangensów:

Różnica styczna:

Suma kotangentów:

Różnica cotangensowa:

Wzory trygonometryczne służące do przeliczania iloczynu na sumę. Iloczyn sinusów:

Iloczyn sinusa i cosinusa:

Iloczyn cosinusów:

Wzory na redukcję stopni.

Wzory na półkąty.

Trygonometryczne wzory redukcyjne

Nazywa się funkcję cosinus współfunkcja funkcje sinusowe i odwrotnie. Podobnie funkcje tangens i cotangens są kofunkcjami. Wzory redukcyjne można sformułować w postaci następującej reguły:

  • Jeśli we wzorze redukcyjnym odejmie się (doda) kąt od 90 stopni lub 270 stopni, wówczas funkcja zredukowana zamienia się w kofunkcję;
  • Jeżeli we wzorze redukcji kąt zostanie odjęty (dodany) od 180 stopni lub 360 stopni, wówczas nazwa funkcji zredukowanej zostaje zachowana;
  • W tym przypadku znak, który funkcja zredukowana (tj. pierwotna) ma w odpowiedniej ćwiartce, umieszcza się przed funkcją zredukowaną, jeśli kąt odjęty (dodany) uznamy za ostry.

Formuły redukcyjne podano w formie tabelarycznej:

Przez okrąg trygonometrycznyłatwe do określenia wartości tabelaryczne funkcji trygonometrycznych:

Równania trygonometryczne

Aby rozwiązać pewne równanie trygonometryczne, należy je sprowadzić do jednego z najprostszych równań trygonometrycznych, które zostaną omówione poniżej. Dla tego:

  • Możesz skorzystać ze wzorów trygonometrycznych podanych powyżej. Jednocześnie nie musisz od razu próbować przekształcać całego przykładu, ale musisz iść do przodu małymi krokami.
  • Nie wolno nam zapominać o możliwości przekształcenia jakiegoś wyrażenia za pomocą metody algebraiczne, tj. na przykład wyjmij coś z nawiasów lub odwrotnie, otwórz nawiasy, zmniejsz ułamek, zastosuj skróconą formułę mnożenia, sprowadź ułamki do wspólnego mianownika i tak dalej.
  • Rozwiązując równania trygonometryczne, możesz użyć metoda grupowania. Należy pamiętać, że aby iloczyn kilku czynników był równy zero, wystarczy, że którykolwiek z nich będzie równy zero, a reszta istniała.
  • Stosowanie metoda zastępowania zmiennych, jak zwykle, równanie po wprowadzeniu zamiany powinno stać się prostsze i nie zawierać pierwotnej zmiennej. Trzeba także pamiętać o wykonaniu odwrotnej wymiany.
  • Pamiętaj, że w trygonometrii często pojawiają się równania jednorodne.
  • Otwierając moduły lub rozwiązując irracjonalne równania za pomocą funkcji trygonometrycznych, należy pamiętać i wziąć pod uwagę wszystkie subtelności rozwiązywania odpowiednich równań za pomocą zwykłych funkcji.
  • Pamiętaj o ODZ (w równaniach trygonometrycznych ograniczenia ODZ sprowadzają się głównie do tego, że nie można dzielić przez zero, ale nie zapominaj o innych ograniczeniach, szczególnie o dodatniości wyrażeń w racjonalne siły i pod pierwiastkami parzystych stopni). Pamiętaj też, że wartości sinusa i cosinusa mogą mieścić się tylko w przedziale od minus jeden do plus jeden włącznie.

Najważniejsze jest, jeśli nie wiesz, co robić, zrób przynajmniej coś, a najważniejsze jest prawidłowe użycie wzorów trygonometrycznych. Jeśli to, co otrzymasz, będzie coraz lepsze, kontynuuj rozwiązanie, a jeśli się pogorszy, wróć na początek i spróbuj zastosować inne formuły, rób to, aż znajdziesz właściwe rozwiązanie.

Wzory rozwiązań najprostszych równań trygonometrycznych. Dla sinusa istnieją dwie równoważne formy zapisu rozwiązania:

W przypadku innych funkcji trygonometrycznych zapis jest jednoznaczny. Dla cosinusa:

Dla stycznej:

Dla cotangensu:

Rozwiązywanie równań trygonometrycznych w niektórych szczególnych przypadkach:

  • Naucz się wszystkich wzorów i praw fizyki oraz wzorów i metod matematyki. W rzeczywistości jest to również bardzo proste; w fizyce jest tylko około 200 niezbędnych formuł, a w matematyce jeszcze trochę mniej. W każdym z tych przedmiotów istnieje kilkanaście standardowych metod rozwiązywania problemów o podstawowym stopniu złożoności, których również można się nauczyć, a tym samym rozwiązać je całkowicie automatycznie i bez trudności. odpowiedni moment większość DH. Potem będziesz musiał myśleć tylko o najtrudniejszych zadaniach.
  • Weź udział we wszystkich trzech etapach próbnych testów z fizyki i matematyki. Każdy RT można odwiedzić dwukrotnie, aby zdecydować się na obie opcje. Ponownie na CT oprócz umiejętności szybkiego i sprawnego rozwiązywania problemów oraz znajomości wzorów i metod trzeba także umieć odpowiednio zaplanować czas, rozłożyć siły i co najważniejsze poprawnie wypełnić formularz odpowiedzi, bez myląc liczbę odpowiedzi i problemów lub własne nazwisko. Ponadto podczas RT ważne jest, aby przyzwyczaić się do stylu zadawania pytań w problemach, który może wydawać się bardzo nietypowy dla nieprzygotowanej osoby w DT.

    • Pomyślne, sumienne i odpowiedzialne wdrożenie tych trzech punktów pozwoli Ci pokazać doskonały wynik na CT, maksimum tego, do czego jesteś zdolny.

    Znalazłeś błąd?

    Jeśli uważasz, że znalazłeś błąd w materiały edukacyjne, to proszę napisać o tym mailem. Możesz także zgłosić błąd do sieć społeczna(). W piśmie podaj temat (fizyka lub matematyka), nazwę lub numer tematu lub testu, numer zadania lub miejsce w tekście (stronie), w którym Twoim zdaniem znajduje się błąd. Opisz również, na czym polega podejrzewany błąd. Twój list nie pozostanie niezauważony, błąd zostanie poprawiony lub zostaniesz wyjaśniony, dlaczego nie jest to błąd.

    Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

    Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

    Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

    Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.

    Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

    Jakie dane osobowe zbieramy:

    • Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres E-mail itp.

    Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

    • Zebrane przez nas informacje osobiste pozwala nam kontaktować się z Tobą i informować Cię o wyjątkowych ofertach, promocjach i innych wydarzeniach oraz nadchodzących wydarzeniach.
    • Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
    • Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawienia rekomendacji dotyczących naszych usług.
    • Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.

    Ujawnianie informacji osobom trzecim

    Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.

    Wyjątki:

    • Jeżeli jest to konieczne – zgodnie z prawem, procedurą sądową, postępowaniem sądowym i/lub na podstawie żądań publicznych lub żądań od agencje rządowe na terytorium Federacji Rosyjskiej – ujawnij swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
    • W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.

    Ochrona danych osobowych

    Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

    Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy

    Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.