The kalkulator internetowy oblicza iloczyn wektorowy wektorów. Dany szczegółowe rozwiązanie. Aby obliczyć iloczyn wektorów, wpisz współrzędne wektorów w komórkach i kliknij przycisk „Oblicz”.

×

Ostrzeżenie

Wyczyścić wszystkie komórki?

Zamknij Wyczyść

Instrukcje wprowadzania danych. Liczby wprowadza się jako liczby całkowite (przykłady: 487, 5, -7623 itd.), ułamki dziesiętne (np. 67., 102,54 itd.) lub ułamki zwykłe. Ułamek należy wpisać w formie a/b, gdzie a i b (b>0) są liczbami całkowitymi lub dziesiętnymi. Przykłady 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 itd.

Iloczyn wektorowy wektorów

Zanim przejdziemy do definicji iloczynu wektorów wektorów, rozważmy pojęcia uporządkowana trójka wektorów, lewa trójka wektorów, prawa trójka wektorów.

Definicja 1. Nazywa się trzy wektory zamówił potrójnie(lub potrójny), jeśli wskaże się, który z tych wektorów jest pierwszy, który drugi, a który trzeci.

Nagrywać cba- oznacza - pierwszy jest wektorem C, drugi to wektor B a trzeci to wektor A.

Definicja 2. Trójka wektorów niewspółpłaszczyznowych ABC nazywa się prawym (lewym), jeśli po sprowadzeniu do wspólnego początku wektory te są umiejscowione w taki sam sposób, jak odpowiednio duży, niezagięty palec wskazujący i środkowy prawej (lewej) ręki.

Definicja 2 może być sformułowana inaczej.

Definicja 2”. Trójka wektorów niewspółpłaszczyznowych ABC nazywa się prawym (lewym), jeśli po zredukowaniu do wspólnego początku wektor C znajduje się po drugiej stronie płaszczyzny określonej przez wektory A I B, skąd jest najkrótszy zakręt A Do B wykonywane w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (zgodnie z ruchem wskazówek zegara).

Trójka wektorów ABC, pokazany na ryc. 1 ma rację i trzy ABC pokazany na ryc. 2 to lewy.

Jeśli dwie trójki wektorów są prawe lub lewe, wówczas mówi się, że mają tę samą orientację. W przeciwnym razie mówi się, że mają przeciwną orientację.

Definicja 3. Kartezjański lub afiniczny układ współrzędnych nazywa się prawym (lewym), jeśli trzy wektory bazowe tworzą prawą (lewą) potrójną.

Dla pewności w dalszej części rozważymy tylko prawoskrętne układy współrzędnych.

Definicja 4. Grafika wektorowa wektor A do wektora B zwany wektorem Z, oznaczony symbolem c=[ok] (Lub c=[a, b], Lub c=a×b) i spełniające trzy następujące wymagania:

• długość wektora Z równy iloczynowi długości wektorów A I B przez sinus kąta φ między nimi:

|C|=|[ok]|=|A||B|sinφ;

(1)

• wektor Z ortogonalne do każdego z wektorów A I B;
• wektor C skierowany tak, że trzy ABC jest w porządku.

Iloczyn krzyżowy wektorów ma następujące właściwości:

• [ok]=−[ba] (anty-permutowalność czynniki);
• [(λa)B]=λ [ok] (połączenie w stosunku do czynnika liczbowego);
• [(a+b)C]=[AC]+[BC] (dystrybutywność względem sumy wektorów);
• [aa]=0 dla dowolnego wektora A.

Właściwości geometryczne iloczynu wektorów wektorów

Twierdzenie 1. Aby dwa wektory były współliniowe, konieczne i wystarczające jest, aby ich iloczyn wektorowy był równy zero.

Dowód. Konieczność. Niech wektory A I B współliniowy. Wtedy kąt między nimi wynosi 0 lub 180° i sinφ=grzech180=grzech 0=0. Dlatego biorąc pod uwagę wyrażenie (1), długość wektora C równy zeru. Następnie C wektor zerowy.

Adekwatność. Niech iloczyn wektorowy wektorów A I B oczywiście zero: [ ok]=0. Udowodnijmy, że wektory A I B współliniowy. Jeśli co najmniej jeden z wektorów A I B zero, to wektory te są współliniowe (ponieważ wektor zerowy ma nieokreślony kierunek i można go uznać za współliniowy z dowolnym wektorem).

Jeśli oba wektory A I B niezerowe, wtedy | A|>0, |B|>0. Następnie od [ ok]=0 i z (1) wynika, że sinφ=0. Dlatego wektory A I B współliniowy.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Twierdzenie 2. Długość (moduł) iloczynu wektorowego [ ok] równa się powierzchni S równoległobok zbudowany na wektorach zredukowanych do wspólnego początku A I B.

Dowód. Jak wiadomo, powierzchnia równoległoboku jest równa iloczynowi sąsiednich boków tego równoległoboku i sinusa kąta między nimi. Stąd:

Wtedy iloczyn wektorowy tych wektorów ma postać:

Rozbudowując wyznacznik po elementach pierwszego rzędu, otrzymujemy rozkład wektora a×b według podstawy ja, j, k, co jest równoważne formule (3).

Dowód twierdzenia 3. Utwórzmy wszystkie możliwe pary wektorów bazowych ja, j, k i obliczyć ich iloczyn wektorowy. Należy wziąć pod uwagę, że wektory bazowe są wzajemnie ortogonalne, tworzą prawoskrętną trójkę i mają jednostkową długość (innymi słowy, możemy założyć, że I={1, 0, 0}, J={0, 1, 0}, k=(0, 0, 1)). Następnie mamy:

Z ostatniej równości i zależności (4) otrzymujemy:

Stwórzmy macierz 3x3, której pierwszy rząd to wektory bazowe ja, j, k, a pozostałe linie są wypełnione elementami wektorowymi A I B:

Zatem wynik iloczynu wektorów wektorów A I B będzie wektorem:

.

Przykład 2. Znajdź iloczyn wektorowy wektorów [ ok], gdzie jest wektor A reprezentowane przez dwa punkty. Punkt początkowy wektora a: , punkt końcowy wektora A: , wektor B wygląda jak .

Rozwiązanie: Przesuń pierwszy wektor do początku. Aby to zrobić, odejmij współrzędne punktu początkowego od odpowiednich współrzędnych punktu końcowego:

Obliczmy wyznacznik tej macierzy, rozwijając ją wzdłuż pierwszego wiersza. Wynikiem tych obliczeń jest iloczyn wektorowy wektorów A I B.

Grafika wektorowa jest pseudowektorem prostopadłym do płaszczyzny zbudowanej z dwóch czynników, będącym wynikiem operacji binarnej „mnożenia wektorów” po wektorach w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej. Iloczyn wektorowy nie ma właściwości przemienności i skojarzeń (jest antyprzemienny) i w przeciwieństwie do iloczynu skalarnego wektorów jest wektorem. Szeroko stosowane w wielu zastosowaniach inżynieryjnych i fizycznych. Na przykład moment pędu i siła Lorentza są zapisywane matematycznie jako iloczyn wektorowy. Iloczyn krzyżowy jest przydatny do „pomiaru” prostopadłości wektorów - moduł iloczynu krzyżowego dwóch wektorów jest równy iloczynowi ich modułów, jeśli są one prostopadłe, i maleje do zera, jeśli wektory są równoległe lub antyrównoległe.

Iloczyn wektorowy można definiować na różne sposoby i teoretycznie w przestrzeni o dowolnym wymiarze n można obliczyć iloczyn n-1 wektorów, otrzymując w ten sposób pojedynczy wektor, prostopadle do nich wszystkich. Jeśli jednak iloczyn ogranicza się do nietrywialnych produktów binarnych z wynikami wektorowymi, wówczas tradycyjny iloczyn wektorowy jest definiowany tylko w przestrzeniach trójwymiarowych i siedmiwymiarowych. Wynik iloczynu wektorowego, podobnie jak iloczynu skalarnego, zależy od metryki przestrzeni euklidesowej.

W przeciwieństwie do wzoru na obliczanie wektorów iloczynu skalarnego ze współrzędnych w trójwymiarowym prostokątnym układzie współrzędnych, wzór na iloczyn poprzeczny zależy od orientacji prostokątnego układu współrzędnych, czyli innymi słowy od jego „chiralności”.

Definicja:
Iloczyn wektorowy wektora a i wektora b w przestrzeni R3 jest wektorem c spełniającym następujące wymagania:
długość wektora c jest równa iloczynowi długości wektorów a i b oraz sinusa kąta φ między nimi:
|c|=|a||b|sin φ;
wektor c jest ortogonalny do każdego z wektorów aib;
wektor c jest skierowany tak, że trójka wektorów abc jest prawoskrętna;
w przypadku przestrzeni R7 wymagana jest łączność trójki wektorów a, b, c.
Przeznaczenie:
c===a × b

Ryż. 1. Powierzchnia równoległoboku jest równa modułowi iloczynu wektorowego

Właściwości geometryczne iloczynu krzyżowego:
Warunkiem koniecznym i wystarczającym kolinearności dwóch niezerowych wektorów jest to, że ich iloczyn wektorowy jest równy zero.

Moduł krzyżowy produktów równa się powierzchni S równoległobok zbudowany na wektorach zredukowanych do wspólnego początku A I B(patrz ryc. 1).

Jeśli mi- wektor jednostkowy ortogonalny do wektorów A I B i wybrałem tak, że trzy a, b, e- prawda i S jest obszarem zbudowanego na nich równoległoboku (sprowadzonego do wspólnego pochodzenia), wówczas obowiązuje wzór na iloczyn wektorowy:
=S mi

Ryc.2. Objętość równoległościanu przy użyciu wektora i iloczynu skalarnego wektorów; linie przerywane pokazują rzuty wektora c na a × b i wektora a na b × c, pierwszym krokiem jest znalezienie iloczynów skalarnych

Jeśli C- jakiś wektor, π - dowolna płaszczyzna zawierająca ten wektor, mi- wektor jednostkowy leżący na płaszczyźnie π i ortogonalne do c, dz- wektor jednostkowy prostopadły do ​​płaszczyzny π i skierowane tak, aby trójka wektorów ekg ma rację, to dla każdego leżącego w samolocie π wektor A formuła jest poprawna:
=Pr e a |c|g
gdzie Pre e a jest rzutem wektora e na a
|c|-moduł wektora c

Używając produktów wektorowych i skalarnych, możesz obliczyć objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach zredukowanych do wspólnego początku a, b I C. Taki iloczyn trzech wektorów nazywa się mieszanym.
V=|a (b×c)|
Rysunek pokazuje, że objętość tę można znaleźć na dwa sposoby: wynik geometryczny zostaje zachowany nawet po zamianie iloczynów „skalarnych” i „wektorowych”:
V=a×b c=a b×c

Wielkość iloczynu poprzecznego zależy od sinusa kąta pomiędzy pierwotnymi wektorami, zatem iloczyn poprzeczny można postrzegać jako stopień „prostopadłości” wektorów, tak jak iloczyn skalarny można postrzegać jako stopień „równoległości” ”. Iloczyn wektorowy dwóch wektorów jednostkowych jest równy 1 (wektor jednostkowy), jeśli pierwotne wektory są prostopadłe, i równy 0 (wektor zerowy), jeśli wektory są równoległe lub antyrównoległe.

Wyrażenie iloczynu krzyżowego we współrzędnych kartezjańskich
Jeśli dwa wektory A I B określone przez ich prostokątne współrzędne kartezjańskie, lub dokładniej, przedstawione w bazie ortonormalnej
a=(a x, a y, a z)
b=(b x, b y, b z)
a układ współrzędnych jest prawoskrętny, to ich iloczyn wektorowy ma postać
=(a y b z -a z b y ,a z b x -a x b z ,a x b y -a y b x)
Aby zapamiętać tę formułę:
i =∑ε ijk a jot b k
Gdzie ε tak- symbol Levi-Civita.

W tej lekcji przyjrzymy się dwóm kolejnym operacjom na wektorach: iloczyn wektorowy wektorów I mieszany produkt wektorów (link natychmiastowy dla potrzebujących). W porządku, czasami zdarza się, że dla pełnego szczęścia, w dodatku Iloczyn skalarny wektorów potrzeba coraz więcej. To jest uzależnienie od wektorów. Może się wydawać, że wkraczamy w dżunglę geometrii analitycznej. To jest źle. W tej części wyższej matematyki jest ogólnie mało drewna, może z wyjątkiem Pinokia. W rzeczywistości materiał jest bardzo powszechny i ​​​​prosty - niewiele bardziej skomplikowany niż ten sam produkt skalarny, będzie jeszcze mniej typowych zadań. Najważniejsze w geometrii analitycznej, o czym wielu się przekona lub już przekonało, to NIE POPEŁNIAĆ BŁĘDÓW W OBLICZENIACH. Powtarzaj jak zaklęcie, a będziesz szczęśliwy =)

Jeśli wektory błyszczą gdzieś daleko, jak błyskawica na horyzoncie, nie ma to znaczenia, zacznij od lekcji Wektory dla manekinów przywrócenie lub ponowne zdobycie podstawowej wiedzy o wektorach. Bardziej przygotowani czytelnicy mogą zapoznać się z informacjami wybiórczo, starałem się zebrać jak najpełniejszy zbiór przykładów, które często spotykane są w praktyczna praca

Co sprawi, że od razu będziesz szczęśliwy? Kiedy byłem mały, umiałem żonglować dwiema, a nawet trzema piłkami. To zadziałało dobrze. Teraz nie będziesz musiał w ogóle żonglować, ponieważ rozważymy tylko wektory przestrzenne , a wektory płaskie z dwiema współrzędnymi zostaną pominięte. Dlaczego? Tak narodziły się te działania - wektor i iloczyn mieszany wektorów są definiowane i działają w przestrzeni trójwymiarowej. To już jest łatwiejsze!

Operacja ta, podobnie jak iloczyn skalarny, obejmuje dwa wektory. Niech to będą listy niezniszczalne.

Sama akcja oznaczony przez w następujący sposób: . Istnieją inne opcje, ale jestem przyzwyczajony do oznaczania iloczynu wektorów w ten sposób, w nawiasach kwadratowych z krzyżykiem.

I od razu pytanie: jeśli w Iloczyn skalarny wektorów w grę wchodzą dwa wektory i tutaj także dwa wektory są mnożone jaka jest różnica? Oczywistą różnicą jest przede wszystkim WYNIK:

Wynikiem iloczynu skalarnego wektorów jest LICZBA:

Wynikiem iloczynu wektorów jest WEKTOR: , czyli mnożymy wektory i ponownie otrzymujemy wektor. Zamknięty klub. Właściwie stąd wzięła się nazwa operacji. W różnych literatura edukacyjna oznaczenia mogą się również różnić, będę używał litery .

Definicja produktu krzyżowego

Najpierw będzie definicja ze zdjęciem, potem komentarze.

Definicja: Produkt wektorowy niewspółliniowy wektory, przyjęty w tej kolejności , zwany WEKTOREM, długość czyli liczbowo równy obszarowi równoległoboku, zbudowane na tych wektorach; wektor ortogonalne do wektorów, i jest skierowany tak, aby podstawa miała właściwą orientację:

Rozłóżmy definicję kawałek po kawałku, jest tu wiele interesujących rzeczy!

Można zatem wyróżnić następujące istotne punkty:

1) Oryginalne wektory, z definicji oznaczone czerwonymi strzałkami nie współliniowy. Przypadek wektorów współliniowych będzie odpowiedni do rozważenia nieco później.

2) Pobierane są wektory w ściśle określonej kolejności: – „a” jest mnożone przez „być”, a nie „być” z „a”. Wynik mnożenia wektorów to WEKTOR, zaznaczony na niebiesko. Jeśli wektory pomnożymy w odwrotnej kolejności, otrzymamy wektor o równej długości i przeciwnym kierunku (kolor malinowy). Oznacza to, że równość jest prawdziwa .

3) Teraz zapoznajmy się z geometrycznym znaczeniem iloczynu wektorowego. To bardzo ważny punkt! DŁUGOŚĆ niebieskiego wektora (a zatem wektora szkarłatnego) jest liczbowo równa POWIERZCHNI równoległoboku zbudowanego na wektorach. Na rysunku ten równoległobok jest zacieniowany na czarno.

Notatka : rysunek jest schematyczny i oczywiście nominalna długość produktu wektorowego nie jest równa powierzchni równoległoboku.

Przypomnijmy sobie jedno wzory geometryczne: Pole równoległoboku jest równe iloczynowi sąsiednich boków i sinusowi kąta między nimi. Dlatego na podstawie powyższego obowiązuje wzór na obliczenie DŁUGOŚCI iloczynu wektorowego:

Podkreślam, że wzór dotyczy DŁUGOŚCI wektora, a nie samego wektora. Jakie jest praktyczne znaczenie? Znaczenie jest takie, że w problemach geometrii analitycznej obszar równoległoboku często znajduje się poprzez koncepcję iloczynu wektorowego:

Uzyskajmy drugi ważny wzór. Przekątna równoległoboku (czerwona linia przerywana) dzieli go na dwie części równy trójkąt. Dlatego pole trójkąta zbudowanego na wektorach (czerwone cieniowanie) można znaleźć za pomocą wzoru:

4) Równie ważnym faktem jest to, że wektor jest ortogonalny do wektorów, tzn . Oczywiście wektor skierowany przeciwnie (malinowa strzałka) jest również ortogonalny do wektorów oryginalnych.

5) Wektor jest skierowany tak, że podstawa To ma Prawidłowy orientacja. Na lekcji o przejście na nową podstawę Mówiłem wystarczająco szczegółowo o orientacja płaska, a teraz dowiemy się, jaka jest orientacja przestrzenna. Wyjaśnię ci to na palcach prawa ręka. Mentalnie połącz palec wskazujący z wektorem i środkowy palec z wektorem. Palec serdeczny i mały palec wciśnij go w dłoń. W rezultacie kciuk– produkt wektorowy wyświetli się. Jest to podstawa zorientowana na prawo (jest to ta na rysunku). Teraz zmień wektory ( palce wskazujące i środkowe) w niektórych miejscach, w wyniku czego kciuk się obróci, a produkt wektorowy będzie już patrzył w dół. Jest to również podstawa zorientowana na prawo. Możesz mieć pytanie: która podstawa opuściła orientację? „Przypisz” do tych samych palców lewa ręka wektory i uzyskaj lewą podstawę i lewą orientację przestrzeni (w tym przypadku kciuk będzie zlokalizowany w kierunku dolnego wektora). Mówiąc obrazowo, podstawy te „skręcają” lub orientują przestrzeń różne strony. I tej koncepcji nie należy uważać za coś naciąganego lub abstrakcyjnego - na przykład najzwyklejsze lustro zmienia orientację przestrzeni, a jeśli „wyciągniesz odbity obiekt z lustra”, to w ogólnym przypadku będzie to nie będzie możliwości połączenia go z „oryginałem”. Przy okazji podnieś trzy palce do lustra i przeanalizuj odbicie ;-)

...jak dobrze, że teraz o tym wiesz zorientowane na prawo i lewo baz, bo wypowiedzi niektórych wykładowców o zmianie orientacji są przerażające =)

Iloczyn krzyżowy wektorów współliniowych

Definicja została omówiona szczegółowo, pozostaje dowiedzieć się, co się dzieje, gdy wektory są współliniowe. Jeśli wektory są współliniowe, to można je ułożyć na jednej prostej i nasz równoległobok również „składa się” w jedną prostą. Obszar taki, jak mówią matematycy, zdegenerowany równoległobok jest równy zero. To samo wynika ze wzoru - sinus zera lub 180 stopni jest równy zeru, co oznacza, że ​​pole wynosi zero

Zatem jeśli , to I . Należy pamiętać, że sam iloczyn wektorowy jest równy wektorowi zerowemu, ale w praktyce jest to często zaniedbywane i pisze się, że jest również równy zero.

Szczególny przypadek– iloczyn wektorowy wektora samego siebie:

Używając iloczynu krzyżowego, możesz sprawdzić kolinearność wektorów trójwymiarowych, oraz to zadanie między innymi będziemy również analizować.

Dla rozwiązań praktyczne przykłady może być wymagane tablica trygonometryczna znaleźć z niego wartości sinusów.

No to rozpalmy ogień:

Przykład 1

a) Znajdź długość iloczynu wektorów wektorów jeśli

b) Znajdź obszar równoległoboku zbudowanego na wektorach, jeśli

Rozwiązanie: Nie, to nie jest literówka, celowo ustaliłem, że początkowe dane w klauzulach są takie same. Ponieważ projekt rozwiązań będzie inny!

a) Zgodnie z warunkiem musisz znaleźć długość wektor (iloczyn krzyżowy). Zgodnie z odpowiednim wzorem:

Odpowiedź:

Jeśli zapytano Cię o długość, w odpowiedzi podajemy wymiar - jednostki.

b) Zgodnie z warunkiem musisz znaleźć kwadrat równoległobok zbudowany na wektorach. Pole tego równoległoboku jest liczbowo równe długości iloczynu wektorowego:

Odpowiedź:

Należy pamiętać, że odpowiedź w ogóle nie mówi o produkcie wektorowym; o to nas pytano obszar figury odpowiednio wymiar jest jednostkami kwadratowymi.

Zawsze sprawdzamy, CO musimy znaleźć w zależności od warunku, i na tej podstawie formułujemy jasne odpowiedź. Może się to wydawać dosłownością, ale wśród nauczycieli jest wielu literalistów i istnieje duże prawdopodobieństwo, że zadanie zostanie zwrócone do sprawdzenia. Choć nie jest to szczególnie naciągana sprzeczka – jeśli odpowiedź jest błędna, to można odnieść wrażenie, że dana osoba nie rozumie prostych rzeczy i/lub nie zrozumiała istoty zadania. Tę kwestię należy zawsze mieć pod kontrolą przy rozwiązywaniu wszelkich problemów z matematyki wyższej, a także z innych przedmiotów.

Gdzie podziała się wielka litera „en”? W zasadzie można było to dodatkowo podpiąć do rozwiązania, jednak w celu skrócenia wpisu tego nie zrobiłem. Mam nadzieję, że wszyscy to rozumieją i jest to oznaczenie tego samego.

Popularny przykład dla niezależna decyzja:

Przykład 2

Znajdź obszar trójkąta zbudowanego na wektorach jeśli

Wzór na znalezienie pola trójkąta poprzez iloczyn wektorowy podano w komentarzach do definicji. Rozwiązanie i odpowiedź znajdują się na końcu lekcji.

W praktyce zadanie jest naprawdę bardzo częste, trójkąty generalnie mogą cię dręczyć.

Aby rozwiązać inne problemy, będziemy potrzebować:

Własności iloczynu wektorowego wektorów

Rozważaliśmy już niektóre właściwości produktu wektorowego, jednak uwzględnię je na tej liście.

W przypadku dowolnych wektorów i dowolnej liczby prawdziwe są następujące właściwości:

1) W innych źródłach informacji ta pozycja zwykle nie jest wyróżniona we właściwościach, ale jest bardzo ważna z praktycznego punktu widzenia. Niech tak zostanie.

2) – nieruchomość jest również omawiana powyżej, czasami jest nazywana antykomutacyjność. Innymi słowy, kolejność wektorów ma znaczenie.

3) – asocjacyjne lub asocjacyjny prawa dotyczące produktów wektorowych. Stałe można łatwo przenosić poza iloczyn wektorowy. Właściwie, co powinni tam robić?

4) – dystrybucja lub dystrybucyjny prawa dotyczące produktów wektorowych. Nie ma też problemów z otwieraniem zamków.

Aby to zademonstrować, spójrzmy na krótki przykład:

Przykład 3

Znajdź jeśli

Rozwiązanie: Warunek ponownie wymaga znalezienia długości iloczynu wektorowego. Pomalujmy naszą miniaturę:

(1) Zgodnie z prawami asocjacji stałe są poza zakresem iloczynu wektorowego.

(2) Przesuwamy stałą poza moduł, a moduł „zjada” znak minus. Długość nie może być ujemna.

(3) Reszta jest jasna.

Odpowiedź:

Czas dołożyć drewna do ognia:

Przykład 4

Oblicz pole trójkąta zbudowanego na wektorach, jeśli

Rozwiązanie: Znajdź obszar trójkąta za pomocą wzoru . Problem polega na tym, że wektory „tse” i „de” są same w sobie przedstawiane jako sumy wektorów. Algorytm tutaj jest standardowy i nieco przypomina przykłady nr 3 i 4 z lekcji Iloczyn skalarny wektorów. Dla przejrzystości rozwiązanie podzielimy na trzy etapy:

1) W pierwszym kroku wyrażamy iloczyn wektorowy poprzez iloczyn wektorowy, w rzeczywistości wyrażmy wektor za pomocą wektora. Nie ma jeszcze słowa na temat długości!

(1) Zastąp wyrażenia wektorów.

(2) Korzystając z praw rozdzielności, otwieramy nawiasy zgodnie z zasadą mnożenia wielomianów.

(3) Używając praw asocjacji, przenosimy wszystkie stałe poza iloczyny wektorowe. Przy odrobinie doświadczenia kroki 2 i 3 można wykonać jednocześnie.

(4) Pierwszy i ostatni wyraz są równe zeru (wektor zerowy) ze względu na własność nice. W drugim członie korzystamy z własności antyprzemienności iloczynu wektorowego:

(5) Przedstawiamy podobne terminy.

W rezultacie wektor okazał się wyrażony poprzez wektor, co należało osiągnąć:

2) W drugim kroku znajdujemy potrzebną długość iloczynu wektorowego. Ta akcja jest podobna do przykładu 3:

3) Znajdź obszar wymaganego trójkąta:

Etapy 2-3 rozwiązania można było zapisać w jednym wierszu.

Odpowiedź:

Rozważany problem jest dość powszechny w testy, oto przykład niezależnego rozwiązania:

Przykład 5

Znajdź jeśli

Krótkie rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji. Zobaczmy, jak uważny byłeś, studiując poprzednie przykłady ;-)

Iloczyn krzyżowy wektorów we współrzędnych

, określone w bazie ortonormalnej, wyrażone wzorem:

Wzór jest naprawdę prosty: w górnym wierszu wyznacznika zapisujemy wektory współrzędnych, w drugim i trzecim wierszu „ustawiamy” współrzędne wektorów i umieszczamy w ścisłym porządku– najpierw współrzędne wektora „ve”, następnie współrzędne wektora „podwójnego ve”. Jeśli zachodzi potrzeba pomnożenia wektorów w innej kolejności, należy zamienić wiersze:

Przykład 10

Sprawdź, czy następujące wektory przestrzenne są współliniowe:
A)
B)

Rozwiązanie: Sprawdzenie opiera się na jednym ze stwierdzeń z tej lekcji: jeśli wektory są współliniowe, to ich iloczyn wektorowy jest równy zeru (wektor zerowy): .

a) Znajdź iloczyn wektorowy:

Zatem wektory nie są współliniowe.

b) Znajdź iloczyn wektorowy:

Odpowiedź: a) nie współliniowy, b)

Być może tutaj znajdują się wszystkie podstawowe informacje na temat iloczynu wektorów wektorów.

Ta sekcja nie będzie zbyt obszerna, ponieważ istnieje niewiele problemów, gdy używany jest mieszany iloczyn wektorów. Tak naprawdę wszystko będzie zależeć od definicji, znaczenie geometryczne i kilka działających formuł.

Iloczyn mieszany wektorów to iloczyn trzech wektorów:

Ustawili się więc w kolejce jak pociąg i nie mogą się doczekać, aż zostaną zidentyfikowani.

Na początek jeszcze raz definicja i obraz:

Definicja: Praca mieszana niewspółpłaszczyznowe wektory, podjęte w tej kolejności, zwany objętość równoległościenna, zbudowane na tych wektorach, oznaczone znakiem „+”, jeśli podstawa jest prawidłowa, oraz znakiem „–”, jeśli podstawa jest pozostawiona.

Zróbmy rysunek. Linie niewidoczne dla nas rysujemy liniami przerywanymi:

Przejdźmy do definicji:

2) Pobierane są wektory w określonej kolejności, czyli przegrupowanie wektorów w iloczynie, jak można się domyślić, nie następuje bez konsekwencji.

3) Zanim skomentuję znaczenie geometryczne, zwrócę uwagę na oczywisty fakt: mieszany iloczyn wektorów to LICZBA: . W literaturze edukacyjnej projekt może być nieco inny, ja jestem przyzwyczajony do oznaczania produktu mieszanego przez , a wynik obliczeń literą „pe”.

A-przeorat produkt mieszany to objętość równoległościanu, zbudowane na wektorach (figura jest rysowana za pomocą czerwonych wektorów i czarnych linii). Oznacza to, że liczba jest równa objętości danego równoległościanu.

Notatka : Rysunek ma charakter schematyczny.

4) Nie martwmy się już o koncepcję orientacji podstawy i przestrzeni. Znaczenie ostatniej części jest takie, że do objętości można dodać znak minus. W prostych słowach, zmieszany produkt może być ujemny: .

Bezpośrednio z definicji wynika wzór na obliczenie objętości równoległościanu zbudowanego na wektorach.

7.1. Definicja produktu krzyżowego

Trzy niewspółpłaszczyznowe wektory a, b i c, wzięte we wskazanej kolejności, tworzą prawoskrętną trójkę, jeśli od końca trzeciego wektora c widać, że najkrótszy zwrot od pierwszego wektora a do drugiego wektora b być w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, a trójka lewoskrętna, jeśli zgodnie z ruchem wskazówek zegara (patrz ryc. 16).

Iloczyn wektorowy wektora a i wektora b nazywa się wektorem c, który:

1. Prostopadle do wektorów a i b, tj. c ^ a i c ^ B ;

2. Ma długość równą liczbowo powierzchni równoległoboku zbudowanego na wektorach a iB jak po bokach (patrz rys. 17), tj.

3. Wektory a, b i c tworzą prawoskrętną trójkę.

Iloczyn krzyżowy jest oznaczony jako a x b lub [a, b]. Z definicji iloczynu wektorowego wynikają bezpośrednio następujące zależności pomiędzy wektorami jednostkowymi, J I k(patrz rys. 18):

ja x jot = k, jot x k = ja, k x ja = jot.
Udowodnijmy to na przykład ja xj = k.

1) k ^ i, k ^ J ;

2) |k |=1, ale | ja x j| = |i | |J | grzech(90°)=1;

3) wektory i, j oraz k tworzą prawą potrójną (patrz ryc. 16).

7.2. Właściwości produktu krzyżowego

1. Podczas przestawiania czynników iloczyn wektorowy zmienia znak, tj. i xb =(b xa) (patrz rys. 19).

Wektory a xb i b xa są współliniowe, mają te same moduły (obszar równoległoboku pozostaje niezmieniony), ale są skierowane przeciwnie (potrójne a, b, a xb i a, b, b x a o przeciwnej orientacji). To jest axb = -(b xa).

2. Iloczyn wektorowy ma właściwość łączenia w odniesieniu do współczynnika skalarnego, tj. l ​​(a xb) = (l a) x b = a x (l b).

Niech l > 0. Wektor l (a xb) jest prostopadły do ​​wektorów a i b. Wektor ( l topór B jest również prostopadła do wektorów a i B(wektory a, l ale leżą w tej samej płaszczyźnie). Oznacza to, że wektory l(axb) i ( l topór B współliniowy. Oczywiste jest, że ich kierunki są zbieżne. Mają tę samą długość:

Dlatego l(axb)= l xb. Udowodniono to w podobny sposób dla l<0.

3. Dwa niezerowe wektory a i B są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn wektorowy jest równy wektorowi zerowemu, tj. a ||b<=>i xb =0.

W szczególności i *i =j *j =k *k =0 .

4. Iloczyn wektorowy ma właściwość rozkładu:

(a+b) xc = a xc + B xs.

Przyjmiemy bez dowodu.

7.3. Wyrażanie iloczynu krzyżowego we współrzędnych

Będziemy korzystać z tabeli iloczynów krzyżowych wektorów i, J ik:

jeśli kierunek najkrótszej ścieżki od pierwszego wektora do drugiego pokrywa się z kierunkiem strzałki, wówczas iloczyn jest równy trzeciemu wektorowi, jeśli się nie pokrywa, trzeci wektor jest przyjmowany ze znakiem minus.

Niech będą dane dwa wektory a =a x i +a y J+a z k oraz b = bx I+b y J+b z k. Znajdźmy iloczyn wektorowy tych wektorów, mnożąc je jako wielomiany (zgodnie z właściwościami iloczynu wektorowego):

Otrzymaną formułę można zapisać jeszcze krócej:

gdyż prawa strona równości (7.1) odpowiada rozwinięciu wyznacznika trzeciego rzędu pod względem elementów pierwszego rzędu Równość (7.2) jest łatwa do zapamiętania.

7.4. Niektóre zastosowania produktów krzyżowych

Ustalanie kolinearności wektorów

Znalezienie pola równoległoboku i trójkąta

Zgodnie z definicją iloczynu wektorów A oraz b |a xb | =|a | * |b |sing g, tj. S par = |a x b |. A zatem D S =1/2|a x b |.

Wyznaczanie momentu siły względem punktu

Niech w punkcie A zostanie przyłożona siła F = AB Odpuść sobie O- jakiś punkt w przestrzeni (patrz ryc. 20).

Z fizyki wiadomo, że moment siły F względem punktu O zwany wektorem M, który przechodzi przez punkt O I:

1) prostopadle do płaszczyzny przechodzącej przez punkty O, A, B;

2) liczbowo równy iloczynowi siły na ramię

3) tworzy prawą trójkę z wektorami OA i A B.

Dlatego M = OA x F.

Znalezienie liniowej prędkości obrotowej

Prędkość w punkt M ciała sztywnego obracającego się z prędkością kątową w wokół ustalonej osi, wyznacza się wzorem Eulera v = w xr, gdzie r = OM, gdzie O jest pewnym stałym punktem osi (patrz rys. 21).