- Odcinek łączący środki przekątnych trapezu jest równy połowie różnicy podstaw
- Trójkąty utworzone przez podstawy trapezu i odcinki przekątnych aż do ich punktu przecięcia są podobne
- Trójkąty utworzone z odcinków przekątnych trapezu, których boki leżą na bokach trapezu - mają jednakową wielkość (mają tę samą powierzchnię)
- Jeśli przedłużymy boki trapezu w kierunku mniejszej podstawy, to przetną się one w jednym punkcie z linią prostą łączącą środki podstaw
- Odcinek łączący podstawy trapezu i przechodzący przez punkt przecięcia przekątnych trapezu dzieli się przez ten punkt w proporcji równej stosunkowi długości podstaw trapezu
- Odcinek równoległy do podstaw trapezu i poprowadzony przez punkt przecięcia przekątnych jest podzielony przez ten punkt na pół, a jego długość jest równa 2ab/(a + b), gdzie a i b są podstawami trapezu trapez
Własności odcinka łączącego środki przekątnych trapezu
Połącz środki przekątnych trapez ABCD, w wyniku czego otrzymamy segment LM.
Odcinek łączący środki przekątnych trapezu leży na środku trapezu.
Ten segment równolegle do podstaw trapezu.
Długość odcinka łączącego środki przekątnych trapezu jest równa połowie różnicy jego podstaw.
LM = (AD - BC)/2
Lub
LM = (a-b)/2
Własności trójkątów utworzonych przez przekątne trapezu
Trójkąty utworzone przez podstawy trapezu i punkt przecięcia przekątnych trapezu - są podobne.
Trójkąty BOC i AOD są podobne. Ponieważ kąty BOC i AOD są pionowe, są one równe.
Kąty OCB i OAD są kątami wewnętrznymi leżącymi poprzecznie z prostymi równoległymi AD i BC (podstawy trapezu są do siebie równoległe) i sieczną AC, zatem są sobie równe.
Kąty OBC i ODA są równe z tego samego powodu (wewnętrzne w poprzek).
Ponieważ wszystkie trzy kąty jednego trójkąta są równe odpowiednim kątom innego trójkąta, wówczas trójkąty te są podobne.
Co z tego wynika?
Aby rozwiązać problemy geometryczne, podobieństwo trójkątów stosuje się w następujący sposób. Jeśli znamy długości dwóch odpowiednich elementów trójkątów podobnych, to znajdujemy współczynnik podobieństwa (dzielimy jeden przez drugi). Stąd długości wszystkich pozostałych elementów są powiązane ze sobą dokładnie tą samą wartością.
Właściwości trójkątów leżących na boku i przekątnych trapezu
Rozważmy dwa trójkąty leżące po bokach trapezu AB i CD. Są to trójkąty AOB i COD. Pomimo tego, że rozmiary poszczególnych boków tych trójkątów mogą być zupełnie inne, ale pola trójkątów utworzonych przez boki boczne i punkt przecięcia przekątnych trapezu są równe, to znaczy, że trójkąty są równej wielkości.
Jeśli przedłużymy boki trapezu w kierunku mniejszej podstawy, to punkt przecięcia boków będzie pokrywają się z linią prostą przechodzącą przez środek podstaw.
W ten sposób każdy trapez można uzupełnić w trójkąt. W tym przypadku:
- Trójkąty utworzone przez podstawy trapezu o wspólnym wierzchołku w miejscu przecięcia przedłużonych boków są podobne
- Linia prosta łącząca środki podstaw trapezu jest jednocześnie środkową zbudowanego trójkąta
Właściwości odcinka łączącego podstawy trapezu
Jeśli narysujemy odcinek, którego końce leżą na podstawach trapezu, który leży w punkcie przecięcia przekątnych trapezu (KN), to stosunek jego odcinków składowych od boku podstawy do punktu przecięcia przekątnych (KO/ON) będzie równy stosunkowi podstaw trapezu(BC/AD).
KO/ON = BC/AD
Właściwość ta wynika z podobieństwa odpowiednich trójkątów (patrz wyżej).
Własności odcinka równoległego do podstaw trapezu
Jeśli narysujemy odcinek równoległy do podstaw trapezu i przechodzący przez punkt przecięcia przekątnych trapezu, to będzie on miał następujące właściwości:
- Określona odległość (KM) podzieloną przez punkt przecięcia przekątnych trapezu
- Długość sekcji przechodzący przez punkt przecięcia przekątnych trapezu i równoległy do podstaw jest równy KM = 2ab/(a + b)
Wzory na znalezienie przekątnych trapezu
a, b- podstawy trapezowe
płyta CD- boki trapezu
d1 d2- przekątne trapezu
α β - kąty o większej podstawie trapezu
Wzory na znalezienie przekątnych trapezu poprzez podstawy, boki i kąty u podstawy
Pierwsza grupa wzorów (1-3) odzwierciedla jedną z głównych właściwości przekątnych trapezowych:
1. Suma kwadratów przekątnych trapezu jest równa sumie kwadratów boków plus dwukrotność iloczynu jego podstaw. Tę właściwość przekątnych trapezowych można udowodnić jako osobne twierdzenie
2 . Wzór ten uzyskuje się poprzez przekształcenie poprzedniego wzoru. Kwadrat drugiej przekątnej jest rzucany przez znak równości, po czym pierwiastek kwadratowy jest wyodrębniany z lewej i prawej strony wyrażenia.
3 . Ten wzór na znalezienie długości przekątnej trapezu jest podobny do poprzedniego, z tą różnicą, że po lewej stronie wyrażenia pozostaje kolejna przekątna
Kolejna grupa formuł (4-5) ma podobne znaczenie i wyraża podobną zależność.
Grupa wzorów (6-7) pozwala znaleźć przekątną trapezu, jeśli znana jest większa podstawa trapezu, jeden bok i kąt przy podstawie.
Wzory na znalezienie przekątnych trapezu na podstawie wysokości
Zadanie.
Przekątne trapezu ABCD (AD | | BC) przecinają się w punkcie O. Znajdź długość podstawy BC trapezu, jeśli podstawa AD = 24 cm, długość AO = 9 cm, długość OS = 6 cm.
Rozwiązanie.
Rozwiązanie tego problemu jest całkowicie identyczne ideologicznie z poprzednimi problemami.
Trójkąty AOD i BOC są podobne pod trzema kątami - AOD i BOC są pionowe, a pozostałe kąty są parami równe, ponieważ powstają przez przecięcie jednej linii i dwóch równoległych linii.
Ponieważ trójkąty są podobne, wszystkie ich wymiary geometryczne są ze sobą powiązane, podobnie jak znane nam wymiary geometryczne odcinków AO i OC zgodnie z warunkami zadania. To jest
AO/OC = AD/BC
9/6 = 24 / p.n.e
BC = 24 * 6 / 9 = 16
Odpowiedź: 16cm
Zadanie .
W trapezie ABCD wiadomo, że AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. Znajdź obszar trapezu. 
Rozwiązanie .
Aby obliczyć wysokość trapezu licząc od wierzchołków mniejszych podstaw B i C, obniżamy o dwie wysokości do większej podstawy. Ponieważ trapez jest nierówny, oznaczamy długość AM = a, długość KD = b ( nie mylić z zapisem we wzorze znalezienie pola trapezu). Ponieważ podstawy trapezu są równoległe i obniżyliśmy dwie wysokości prostopadle do większej podstawy, wówczas MBCK jest prostokątem.
Oznacza
AD = AM+BC+KD
za + 8 + b = 24
a = 16 - b
Trójkąty DBM i ACK są prostokątne, zatem ich kąty proste utworzone są przez wysokości trapezu. Oznaczmy wysokość trapezu przez h. Następnie z twierdzenia Pitagorasa
H. 2 + (24 - a) 2 = (5√17) 2
I
godz 2 + (24 - b) 2 = 13 2
Weźmy pod uwagę, że a = 16 - b, to w pierwszym równaniu
godz. 2 + (24 - 16 + b) 2 = 425
godz. 2 = 425 - (8 + b) 2
Podstawiamy wartość kwadratu wysokości do drugiego równania otrzymanego z twierdzenia Pitagorasa. Otrzymujemy:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12
Zatem KD = 12
Gdzie
godz 2 = 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
h = 5
Znajdź obszar trapezu poprzez jego wysokość i połowę sumy jego podstaw
, gdzie a b - podstawa trapezu, h - wysokość trapezu
S = (24 + 8) * 5/2 = 80 cm 2
Odpowiedź: pole trapezu wynosi 80 cm2.
Linia środkowa figury w planimetrii - odcinek łączący środki dwóch boków danej figury. Pojęcie to stosuje się do figur: trójkąta, czworoboku, trapezu.
Środkowa linia trójkąta
Właściwości
- środkowa linia trójkąta jest równoległa do podstawy i równa jej połowie.
- linia środkowa odcina trójkąt podobny i homotetyczny do pierwotnego o współczynniku 1/2; jego powierzchnia jest równa jednej czwartej powierzchni pierwotnego trójkąta.
- trzy środkowe linie dzielą pierwotny trójkąt na cztery równy trójkąt. Środek tych trójkątów nazywany jest trójkątem dopełniającym lub środkowym.
Znaki
- Jeśli odcinek trójkąta przechodzi przez środek jednego z jego boków, przecina drugi i jest równoległy do trzeciego, to ten odcinek jest linią środkową.
- Pole i odpowiednio objętość trójkąta odciętego linią środkową jest równa 1/4 pola i odpowiednio objętości całego danego trójkąta.
Linia środkowa czworokąta
Linia środkowa czworokąta- odcinek łączący środki przeciwległych boków czworoboku.
Właściwości
Pierwsza linia łączy 2 przeciwne strony. Drugi łączy pozostałe 2 przeciwne strony. Trzecia łączy środki dwóch przekątnych (nie we wszystkich czworokątach przekątne są podzielone na pół w miejscu przecięcia).
- Jeśli w czworokącie wypukłym linia środkowa tworzy kąty równe z przekątnymi czworoboku, to przekątne są równe.
- Długość linii środkowej czworokąta jest mniejsza od połowy sumy dwóch pozostałych boków lub jej równa, jeśli te boki są równoległe, i tylko w tym przypadku.
- Środki boków dowolnego czworokąta są wierzchołkami równoległoboku. Jego powierzchnia jest równa połowie powierzchni czworoboku, a jego środek leży w punkcie przecięcia linii środkowych. Ten równoległobok nazywany jest równoległobokiem Varignona;
- Ostatni punkt oznacza, co następuje: W wypukłym czworokącie możesz narysować cztery linie środkowe drugiego rodzaju. Linie środkowe drugiego rodzaju- cztery odcinki wewnątrz czworoboku, przechodzące przez środki sąsiednich boków równoległych do przekątnych. Cztery linie środkowe drugiego rodzaju wypukły czworobok podziel go na cztery trójkąty i jeden środkowy czworobok. Ten centralny czworobok jest równoległobokiem Varignona.
- Punkt przecięcia linii środkowych czworokąta jest ich wspólnym punktem środkowym i przecina odcinek łączący środki przekątnych na pół. Ponadto jest to środek ciężkości wierzchołków czworoboku.
- W dowolnym czworokącie wektor linii środkowej jest równy połowie sumy wektorów podstaw.
Linia środkowa trapezu
Linia środkowa trapezu
Linia środkowa trapezu- odcinek łączący środki boków tego trapezu. Odcinek łączący środki podstaw trapezu nazywa się drugą linią środkową trapezu.
Oblicza się go za pomocą wzoru: mi fa = ZA re + b do 2 (\ displaystyle EF = (\ frac (AD + BC) (2))), Gdzie OGŁOSZENIE I przed Chrystusem- podstawa trapezu.
W tym artykule postaramy się jak najpełniej odzwierciedlić właściwości trapezu. W szczególności będziemy rozmawiać znaki ogólne i własnościach trapezu, a także o własnościach trapezu wpisanego i o okręgu wpisanym w trapez. Dotkniemy także właściwości trapezu równoramiennego i prostokątnego.
Przykład rozwiązania problemu z wykorzystaniem omawianych właściwości pomoże Ci uporządkować go w miejsca w głowie i lepiej zapamiętać materiał.
Trapez i wszystko-wszystko
Na początek przypomnijmy sobie krótko, czym jest trapez i jakie inne pojęcia są z nim związane.
Zatem trapez jest figurą czworoboczną, której dwa boki są do siebie równoległe (są to podstawy). I te dwa nie są równoległe - to są boki.
W trapezie wysokość można obniżyć - prostopadle do podstaw. Rysowana jest linia środkowa i przekątne. Możliwe jest również narysowanie dwusiecznej z dowolnego kąta trapezu.
Porozmawiamy teraz o różnych właściwościach związanych ze wszystkimi tymi elementami i ich kombinacjami.
Własności przekątnych trapezowych
Aby było to jaśniejsze, podczas czytania naszkicuj trapez ACME na kartce papieru i narysuj w nim przekątne.
- Jeśli znajdziesz środki każdej z przekątnych (nazwijmy te punkty X i T) i połącz je, otrzymasz odcinek. Jedną z właściwości przekątnych trapezu jest to, że odcinek HT leży na linii środkowej. A jego długość można uzyskać, dzieląc różnicę podstaw przez dwa: ХТ = (a – b)/2.
- Przed nami ten sam trapez ACME. Przekątne przecinają się w punkcie O. Przyjrzyjmy się trójkątom AOE i MOK utworzonym z odcinków przekątnych wraz z podstawami trapezu. Te trójkąty są podobne. Współczynnik podobieństwa k trójkątów wyraża się stosunkiem podstaw trapezu: k = AE/KM.
Stosunek pól trójkątów AOE i MOK opisuje współczynnik k 2 . - Ten sam trapez, te same przekątne przecinające się w punkcie O. Tylko tym razem rozważymy trójkąty, które utworzyły odcinki przekątnych razem z bokami trapezu. Pola trójkątów AKO i EMO są równej wielkości - ich pola są takie same.
- Inną właściwością trapezu jest konstrukcja przekątnych. Tak więc, jeśli będziesz kontynuować boki AK i ME w kierunku mniejszej podstawy, to prędzej czy później przetną się w pewnym punkcie. Następnie narysuj linię prostą przez środek podstaw trapezu. Przecina podstawy w punktach X i T.
Jeśli teraz przedłużymy linię XT, to połączy ona ze sobą punkt przecięcia przekątnych trapezu O, punkt, w którym przecinają się przedłużenia boków i środki podstaw X i T. - Przez punkt przecięcia przekątnych narysujemy odcinek, który połączy podstawy trapezu (T leży na mniejszej podstawie KM, X na większej AE). Punkt przecięcia przekątnych dzieli ten odcinek w następującym stosunku: TO/OX = KM/AE.
- Teraz przez punkt przecięcia przekątnych narysujemy odcinek równoległy do podstaw trapezu (a i b). Punkt przecięcia podzieli go na dwie równe części. Długość odcinka można znaleźć za pomocą wzoru 2ab/(a + b).
Właściwości linii środkowej trapezu
Narysuj środkową linię trapezu równolegle do jego podstaw.
- Długość linii środkowej trapezu można obliczyć, dodając długości podstaw i dzieląc je na pół: m = (a + b)/2.
- Jeśli przeciągniesz dowolny odcinek (na przykład wysokość) przez obie podstawy trapezu, środkowa linia podzieli go na dwie równe części.
Własność dwusiecznej trapezu
Wybierz dowolny kąt trapezu i narysuj dwusieczną. Weźmy na przykład kąt KAE naszego trapezu ACME. Po samodzielnym wykonaniu konstrukcji łatwo sprawdzić, czy dwusieczna odcina od podstawy (lub jej kontynuacji na linii prostej poza samą figurą) odcinek o tej samej długości co bok.
Właściwości kątów trapezowych
- Niezależnie od tego, którą z dwóch par kątów przylegających do boku wybierzesz, suma kątów w parze wynosi zawsze 180 0: α + β = 180 0 i γ + δ = 180 0.
- Połączmy środki podstaw trapezu z odcinkiem TX. Przyjrzyjmy się teraz kątom u podstaw trapezu. Jeżeli suma kątów któregokolwiek z nich wynosi 90 0, długość odcinka TX można łatwo obliczyć na podstawie różnicy długości podstaw podzielonej na pół: TX = (AE – KM)/2.
- Jeśli przez boki kąta trapezowego poprowadzono równoległe linie, podzielą one boki kąta na proporcjonalne odcinki.
Właściwości trapezu równobocznego
- W trapezie równoramiennym kąty przy każdej podstawie są równe.
- Teraz zbuduj ponownie trapez, aby łatwiej było sobie wyobrazić, o czym mówimy. Przyjrzyj się uważnie bazie AE - wierzchołek przeciwnej podstawy M jest rzutowany do pewnego punktu na linii zawierającej AE. Odległość wierzchołka A od punktu rzutu wierzchołka M i linii środkowej trapezu równoramiennego są równe.
- Kilka słów o własności przekątnych trapezu równoramiennego - ich długości są równe. A także kąty nachylenia tych przekątnych do podstawy trapezu są takie same.
- Okrąg można opisać tylko wokół trapezu równoramiennego, ponieważ suma przeciwnych kątów czworoboku wynosi 180 0 - jest to warunek wstępny.
- Właściwość trapezu równoramiennego wynika z poprzedniego akapitu - jeśli w pobliżu trapezu można opisać okrąg, jest to równoramienny.
- Z cech trapezu równoramiennego wynika właściwość wysokości trapezu: jeśli jego przekątne przecinają się pod kątem prostym, wówczas długość wysokości jest równa połowie sumy podstaw: h = (a + b)/2.
- Ponownie narysuj odcinek TX przez środki podstaw trapezu - w trapezie równoramiennym jest on prostopadły do podstaw. Jednocześnie TX jest osią symetrii trapezu równoramiennego.
- Tym razem obniż wysokość z przeciwnego wierzchołka trapezu na większą podstawę (nazwijmy to a). Otrzymasz dwa segmenty. Długość jednego można obliczyć, dodając długości podstaw i dzieląc je na pół: (a + b)/2. Drugą otrzymamy, gdy od większej podstawy odejmiemy mniejszą i uzyskaną różnicę podzielimy przez dwa: (a – b)/2.
Właściwości trapezu wpisanego w okrąg
Ponieważ mówimy już o trapezie wpisanym w okrąg, zastanówmy się nad tym zagadnieniem bardziej szczegółowo. W szczególności, gdzie środek okręgu znajduje się w stosunku do trapezu. Tutaj również zaleca się poświęcenie czasu na chwycenie ołówka i narysowanie tego, co zostanie omówione poniżej. W ten sposób szybciej zrozumiesz i lepiej zapamiętasz.
- Położenie środka okręgu wyznacza kąt nachylenia przekątnej trapezu na jego bok. Na przykład przekątna może rozciągać się od góry trapezu pod kątem prostym do boku. W tym przypadku większa podstawa przecina środek opisanego okręgu dokładnie w środku (R = ½AE).
- Przekątna i bok mogą również spotykać się pod kąt ostry– wówczas środek okręgu znajduje się wewnątrz trapezu.
- Środek okręgu opisanego może znajdować się na zewnątrz trapezu, poza jego większą podstawą, jeśli między przekątną trapezu a jego bokiem istnieje kąt rozwarty.
- Kąt utworzony przez przekątną i większą podstawę trapezu ACME (kąt wpisany) jest o połowę mniejszy kąt środkowy, co mu odpowiada: MAE = ½MOE.
- Krótko o dwóch sposobach wyznaczania promienia opisanego okręgu. Metoda pierwsza: przyjrzyj się uważnie swojemu rysunkowi – co widzisz? Łatwo zauważyć, że przekątna dzieli trapez na dwa trójkąty. Promień można obliczyć ze stosunku boku trójkąta do sinusa przeciwnego kąta pomnożonego przez dwa. Na przykład, R = AE/2*sinAME. Wzór można zapisać w podobny sposób dla dowolnego boku obu trójkątów.
- Metoda druga: znajdź promień opisanego koła przez obszar trójkąta utworzonego przez przekątną, bok i podstawę trapezu: R = AM*ME*AE/4*S AME.
Właściwości trapezu opisanego na okręgu
Można zmieścić okrąg w trapezie, jeśli spełniony jest jeden warunek. Przeczytaj więcej na ten temat poniżej. Razem ta kombinacja liczb ma wiele interesujących właściwości.
- Jeśli w trapez wpisano okrąg, długość jego linii środkowej można łatwo obliczyć, dodając długości boków i dzieląc otrzymaną sumę na pół: m = (c + d)/2.
- Dla trapezu ACME opisanego na okręgu suma długości podstaw jest równa sumie długości boków: AK + ME = KM + AE.
- Z tej właściwości podstaw trapezu wynika stwierdzenie odwrotne: w trapezoid, którego suma podstaw jest równa sumie jego boków, można wpisać okrąg.
- Punkt styczny okręgu o promieniu r wpisanego w trapez dzieli bok na dwa odcinki, nazwijmy je a i b. Promień okręgu można obliczyć ze wzoru: r = √ab.
- I jeszcze jedna nieruchomość. Aby uniknąć nieporozumień, sam również narysuj ten przykład. Mamy stary, dobry trapez ACME opisany wokół okręgu. Zawiera przekątne przecinające się w punkcie O. Trójkąty AOK i EOM utworzone przez odcinki przekątnych i boki boczne są prostokątne.
Wysokości tych trójkątów, obniżone do przeciwprostokątnych (tj. bocznych boków trapezu), pokrywają się z promieniami okręgu wpisanego. A wysokość trapezu pokrywa się ze średnicą wpisanego koła.
Właściwości trapezu prostokątnego
Trapez nazywa się prostokątnym, jeśli jeden z jego kątów jest prosty. I z tej okoliczności wynikają jego właściwości.
- Trapez prostokątny ma jeden bok prostopadły do podstawy.
- Wysokość i boczny bok trapezu przylegającego do prosty kąt, są równe. Pozwala to obliczyć pole prostokątnego trapezu (wzór ogólny S = (a + b) * godz/2) nie tylko przez wysokość, ale także przez bok przylegający do kąta prostego.
- W przypadku trapezu prostokątnego istotne są ogólne właściwości przekątnych trapezu opisane już powyżej.
Dowody na niektóre właściwości trapezu
Równość kątów u podstawy trapezu równoramiennego:
- Prawdopodobnie już zgadłeś, że tutaj znów będziemy potrzebować trapezu AKME - narysuj trapez równoramienny. Narysuj linię prostą MT z wierzchołka M, równoległą do boku AK (MT || AK).
Powstały czworobok AKMT jest równoległobokiem (AK || MT, KM || AT). Ponieważ ME = KA = MT, ∆ MTE jest równoramienne, a MET = MTE.
AK || MT, zatem MTE = KAE, MET = MTE = KAE.
Gdzie AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.
co było do okazania
Teraz, bazując na własności trapezu równoramiennego (równość przekątnych), udowodnimy to trapez ACME jest równoramienny:
- Najpierw narysujmy linię prostą MX – MX || KE. Otrzymujemy równoległobok KMHE (podstawa – MX || KE i KM || EX).
∆AMX jest równoramienne, ponieważ AM = KE = MX i MAX = MEA.
MH || KE, KEA = MXE, zatem MAE = MXE.
Okazało się, że trójkąty AKE i EMA są sobie równe, ponieważ AM = KE i AE są wspólnymi bokami obu trójkątów. A także MAE = MXE. Możemy stwierdzić, że AK = ME i z tego wynika, że trapez AKME jest równoramienny.
Przejrzyj zadanie
Podstawy trapezu ACME mają długości 9 cm i 21 cm, bok KA równy 8 cm tworzy z mniejszą podstawą kąt 150 0. Musisz znaleźć obszar trapezu.
Rozwiązanie: Z wierzchołka K obniżamy wysokość do większej podstawy trapezu. Zacznijmy patrzeć na kąty trapezu.
Kąty AEM i KAN są jednostronne. Oznacza to, że w sumie dają 180 0. Zatem KAN = 30 0 (na podstawie właściwości kątów trapezowych).
Rozważmy teraz prostokątną ∆ANC (uważam, że ten punkt jest oczywisty dla czytelników bez dodatkowych dowodów). Z niego znajdziemy wysokość trapezu KH - w trójkącie jest to noga leżąca naprzeciw kąta 30 0. Zatem KH = ½AB = 4 cm.
Pole trapezu obliczamy ze wzoru: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.
Posłowie
Jeśli dokładnie i starannie przestudiowałeś ten artykuł, nie byłeś zbyt leniwy, aby narysować trapezy dla wszystkich podanych właściwości ołówkiem w dłoniach i przeanalizować je w praktyce, powinieneś dobrze opanować materiał.
Oczywiście jest tu mnóstwo informacji, różnorodnych, a czasem nawet zagmatwanych: nie tak trudno pomylić właściwości opisywanego trapezu z właściwościami wpisanego. Ale sam widziałeś, że różnica jest ogromna.
Teraz masz szczegółowe podsumowanie wszystkiego właściwości ogólne trapezoidy. A także specyficzne właściwości i cechy trapezów równoramiennych i prostokątnych. Jest bardzo wygodny w użyciu w celu przygotowania się do sprawdzianów i egzaminów. Wypróbuj sam i udostępnij link swoim znajomym!
stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.
Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.
Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych
Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.
Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.
Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.
Jakie dane osobowe zbieramy:
- Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.
Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:
- Zebrane przez nas dane osobowe pozwala nam kontaktować się z Tobą i informować Cię o wyjątkowych ofertach, promocjach i innych wydarzeniach oraz nadchodzących wydarzeniach.
- Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
- Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak audyt, analiza danych i różne badania w celu ulepszania świadczonych przez nas usług i przekazywania Państwu rekomendacji dotyczących naszych usług.
- Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.
Ujawnianie informacji osobom trzecim
Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.
Wyjątki:
- Jeżeli jest to konieczne – zgodnie z prawem, procedurą sądową, postępowaniem sądowym i/lub na podstawie żądań publicznych lub żądań od agencje rządowe na terytorium Federacji Rosyjskiej – ujawnij swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
- W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.
Ochrona danych osobowych
Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.
Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy
Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.
W rozwiązywaniu problemów planimetrycznych oprócz boków i kątów figury często biorą udział inne wielkości - środkowe, wysokości, przekątne, dwusieczne i inne. Należą do nich linia środkowa.
Jeśli pierwotny wielokąt jest trapezem, jaka jest jego linia środkowa? Odcinek ten jest częścią linii prostej, która przecina boki figury w środku i jest umieszczona równolegle do pozostałych dwóch boków - podstaw.
Jak znaleźć linię środkową trapezu poprzez linię środka i podstawy
Jeśli znane są wartości górnej i dolnej podstawy, wyrażenie pomoże obliczyć niewiadomą:
a, b – podstawy, l – linia środkowa.
Jak znaleźć linię środkową trapezu przechodzącego przez obszar
Jeśli dane źródłowe zawierają obszar figury, to za pomocą tej wartości można również obliczyć długość linii pośrodku trapezu. Skorzystajmy ze wzoru S = (a+b)/2*h,
S – powierzchnia,
h – wysokość,
a, b – zasady.
Ale ponieważ l = (a+b)/2, to S = l*h, co oznacza l=S/h.
Jak znaleźć linię środkową trapezu poprzez podstawę i jej kąty
Biorąc pod uwagę długość większej podstawy figury, jej wysokość, a także znaną środki stopnia kąty, wyrażenie na znalezienie linii środka trapezu będzie miało następującą postać:
l=a – h*(ctgα+ctgβ)/2, podczas gdy
l jest pożądaną wartością,
a – większa podstawa,
α, β to kąty przy nim,
h – wysokość figury.
Jeśli znana jest wartość mniejszej podstawy (biorąc pod uwagę te same inne dane), w wyznaczeniu linii środkowej pomoże poniższa zależność:
l=b+h*(ctgα+ctgβ)/2,
l jest pożądaną wartością,
b – mniejsza podstawa,
α, β to kąty przy nim,
h – wysokość figury.
Znajdź linię środkową trapezu, korzystając z wysokości, przekątnych i kątów
Rozważmy sytuację, w której warunki problemowe obejmują wartości przekątnych figury, kąty, jakie tworzą przy przecinaniu się, a także wysokość. Linię środkową można obliczyć za pomocą następujących wyrażeń:
l=(d1*d2)/2h*sinγ lub l=(d1*d2)/2h*sinφ,
l – linia środkowa,
d1, d2 – przekątne,
φ, γ – kąty między nimi,
h – wysokość figury.
Jak znaleźć linię środkową trapezu Dla figury równoramiennej
Jeżeli figurą podstawową jest trapez równoramienny, powyższe wzory będą miały następującą postać.
- Jeśli obecne są wartości podstaw trapezu, w wyrażeniu nie nastąpią żadne zmiany.
l = (a+b)/2, a, b – podstawy, l – linia środkowa.
- Jeżeli znana jest wysokość, podstawa i sąsiadujące z nią kąty, to:
l=a-h*ctgα,
l=b+h*ctgα,
l – linia środkowa,
a, b – zasady (b< a),
α to kąty przy nim,
h – wysokość figury.
- Jeśli znany jest bok trapezu i jedna z podstaw, to żądaną wartość można określić, odwołując się do wyrażenia:
l=a-√(c*c-h*h),
l=b+√(c*c-h*h),
l – linia środkowa,
a, b – zasady (b< a),
h – wysokość figury.
- Przy znanych wartościach wysokości, przekątnych (a są one sobie równe) i kątów powstałych w wyniku ich przecięcia, linię środkową można znaleźć w następujący sposób:
l=(d*d)/2h*sinγ lub l=(d*d)/2h*sinφ,
l – linia środkowa,
d – przekątne,
φ, γ – kąty między nimi,
h – wysokość figury.
- Znane jest pole i wysokość figury, wówczas:
l=S/h,
S – powierzchnia,
h – wysokość.
- Jeżeli wysokość prostopadła nie jest znana, można ją wyznaczyć korzystając z definicji funkcji trygonometrycznej.
h=c*sinα, zatem
l=S/c*sinα,
l – linia środkowa,
S – powierzchnia,
c – bok,
α jest kątem przy podstawie.
