Z definicji różnicę (pierwszą różnicę) funkcji oblicza się ze wzoru
Jeśli – zmienna niezależna.

PRZYKŁAD.

Pokażmy, że postać pierwszej różniczki pozostaje niezmieniona (jest niezmienna) nawet w przypadku, gdy argument funkcji samo w sobie jest funkcją, to znaczy dla złożona funkcja
.

Pozwalać
są różniczkowalne, to z definicji

Co więcej, właśnie to należało udowodnić.

PRZYKŁADY.

Udowodniona niezmienność postaci pierwszej różniczki pozwala nam to założyć
to jest pochodna jest równa stosunkowi różniczki funkcji do różnica jej argumentacji, niezależnie od tego, czy argument jest zmienną niezależną, czy funkcją.

Różniczkowanie funkcji określonej parametrycznie

Niech funkcja If
ma na planie w takim razie odwrotnie
Potem równości
zdefiniowany na planie funkcja określona parametrycznie, – parametr (zmienna pośrednia).

PRZYKŁAD. Wykres funkcji
.

Skonstruowana krzywa nazywa się cykloida(ryc. 25) i jest trajektorią punktu na okręgu o promieniu 1, który toczy się bez przesuwania wzdłuż osi OX.

KOMENTARZ. Czasami, ale nie zawsze, parametr można wyeliminować z równań krzywej parametrycznej.

PRZYKŁADY.
– równania parametryczne kółka, bo oczywiście

–parametryczne równania elipsy, ponieważ

–równania parametryczne paraboli

Znajdźmy pochodną funkcji zdefiniowanej parametrycznie:

Pochodna funkcji określonej parametrycznie jest także funkcją określoną parametrycznie: .

DEFINICJA. Druga pochodna funkcji jest pochodną jej pierwszej pochodnej.

Pochodna rząd th jest pochodną pochodnej rzędu
.

Oznacz pochodne drugiego i -ta kolejność w ten sposób:

Z definicji drugiej pochodnej i reguły różniczkowania parametrycznie określonej funkcji wynika, że
Aby obliczyć trzecią pochodną, ​​należy przedstawić drugą pochodną w formularzu
i ponownie użyj wynikowej reguły. W podobny sposób oblicza się instrumenty pochodne wyższego rzędu.

PRZYKŁAD. Znajdź pochodne pierwszego i drugiego rzędu funkcji

.

Podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego

TWIERDZENIE(Gospodarstwo rolne). Niech funkcja
ma w tym punkcie
ekstremum. Jeśli istnieje
, To

DOWÓD. Pozwalać
jest na przykład punktem minimalnym. Z definicji punktu minimalnego istnieje sąsiedztwo tego punktu
, w ramach którego
, to jest
– przyrost
w tym punkcie
. A-przeorat
Obliczmy jednostronne pochodne w tym punkcie
:

przez twierdzenie o przejściu do granicy nierówności,

ponieważ

, ponieważ
Ale zgodnie z warunkiem
istnieje, zatem lewa pochodna jest równa prawej i jest to możliwe tylko wtedy, gdy

Założenie, że
– punkt maksymalny prowadzi do tego samego.

Znaczenie geometryczne twierdzenia:

TWIERDZENIE(Rola). Niech funkcja
ciągły
, różniczkowalny
I
wtedy jest
takie, że

DOWÓD. Ponieważ
ciągły
, to zgodnie z drugim twierdzeniem Weierstrassa dochodzi do
ich największy
i najmniej
wartości albo w punktach ekstremalnych, albo na końcach segmentu.

1. Niech
, Następnie

2. Niech
Ponieważ
albo
, Lub
zostaje osiągnięty w punkcie ekstremalnym
, ale zgodnie z twierdzeniem Fermata
co było do okazania

TWIERDZENIE(Lagrange’a). Niech funkcja
ciągły
i różniczkowalne
, wtedy jest
takie, że
.

Znaczenie geometryczne twierdzenia:

Ponieważ
, to sieczna jest równoległa do stycznej. Zatem twierdzenie stwierdza, że ​​istnieje styczna równoległa do siecznej przechodzącej przez punkty A i B.

DOWÓD. Przez punkty A
oraz b
Narysujmy sieczną AB. Jej równanie
Rozważ funkcję

– odległość pomiędzy odpowiednimi punktami na wykresie i na siecznej AB.

1.
ciągły
jako różnica funkcji ciągłych.

2.
różniczkowalne
jako różnica funkcji różniczkowalnych.

3.

Oznacza,
spełnia warunki twierdzenia Rolle’a, zatem istnieje
takie, że

Twierdzenie zostało udowodnione.

KOMENTARZ. Formuła nazywa się Wzór Lagrange’a.

TWIERDZENIE(Cauchy’ego). Niech funkcje
ciągły
, różniczkowalny
I
, wtedy jest sens
takie, że
.

DOWÓD. Pokażmy to
. Jeśli
, a następnie funkcja
spełniałoby warunki twierdzenia Rolle’a, więc byłby sens
takie, że
– sprzeczność z warunkiem. Oznacza,
, a obie strony wzoru są zdefiniowane. Przyjrzyjmy się funkcji pomocniczej.

ciągły
, różniczkowalny
I
, to jest
spełnia warunki twierdzenia Rolle'a. Wtedy jest pewien punkt
, w której
, Ale

co było do okazania

Sprawdzona formuła to tzw Formuła Cauchy’ego.

Reguła L'Hopitala(Twierdzenie L'Hopitala-Bernoulliego). Niech funkcje
ciągły
, różniczkowalny
,
I
. Ponadto istnieje skończone lub nieskończone
.

Wtedy jest

DOWÓD. Ponieważ według warunku
, następnie definiujemy
w tym punkcie
, zakładając
Następnie
stanie się ciągły
. Pokażmy to

Udawajmy, że tak
wtedy jest
takie, że
, ponieważ funkcja
NA
spełnia warunki twierdzenia Rolle'a. Ale zgodnie z warunkiem
– sprzeczność. Dlatego

. Funkcje
spełniają warunki twierdzenia Cauchy’ego na dowolnym przedziale
, który zawarty jest w
. Napiszmy wzór Cauchy'ego:

,
.

Stąd mamy:
, ponieważ jeśli
, To
.

Przeprojektowując zmienną w ostatniej granicy, otrzymujemy wymagane:

NOTATKA 1. Reguła L'Hopitala pozostaje ważna nawet wtedy, gdy
I
. Pozwala ujawnić nie tylko niepewność typu , ale także rodzaj :

.

UWAGA 2. Jeżeli po zastosowaniu reguły L'Hopitala niepewność nie ujawni się, należy ją zastosować ponownie.

PRZYKŁAD.

KOMENTARZ 3 . Reguła L'Hopitala jest uniwersalnym sposobem ujawniania niepewności, istnieją jednak ograniczenia, które można ujawnić, stosując tylko jedną z wcześniej zbadanych poszczególnych technik.

Ale oczywiście
, ponieważ stopień licznika jest równy stopniowi mianownika i granicy równy stosunkowi współczynniki przy wyższych potęgach

Funkcja różnicowa

Funkcja nazywa się różniczkowalna w punkcie, ograniczające dla zestawu mi, jeśli jego przyrost wynosi Δ F(X 0), co odpowiada przyrostowi argumentu X, można przedstawić w postaci

Δ F(X 0) = A(X 0)(X - X 0) + ω (X - X 0), (1)

Gdzie ω (X - X 0) = O(X - X 0) o godz X → X 0 .

Wyświetlacz nazywa się mechanizm różnicowy Funkcje F w tym punkcie X 0 i wartość A(X 0)H - wartość różnicowa w tym momencie.

Dla wartości różnicy funkcji F przyjęte oznaczenie zm Lub zm(X 0), jeśli chcesz wiedzieć, w którym momencie zostało to obliczone. Zatem,

zm(X 0) = A(X 0)H.

Dzielenie w (1) przez X - X 0 i celowanie X Do X 0, otrzymujemy A(X 0) = F"(X 0). Dlatego mamy

zm(X 0) = F"(X 0)H. (2)

Porównując (1) i (2) widzimy, że wartość różniczki zm(X 0) (przy F"(X 0) ≠ 0) tak Głównym elementem przyrosty funkcji F w tym punkcie X 0, liniowy i jednocześnie jednorodny względem przyrostu H = X - X 0 .

Kryterium różniczkowalności funkcji

Aby spełnić funkcję F była różniczkowalna w danym punkcie X 0, konieczne i wystarczające jest, aby miał on w tym punkcie skończoną pochodną.

Niezmienniczość postaci pierwszej różniczki

Jeśli X jest zatem zmienną niezależną dx = X - X 0 (stały przyrost). W tym przypadku mamy

zm(X 0) = F"(X 0)dx. (3)

Jeśli X = φ (T) jest zatem funkcją różniczkowalną dx = φ" (T 0)dt. Stąd,

Widzieliśmy, że różniczkę funkcji można zapisać jako:
(1),

Jeśli istnieje zmienna niezależna. Niech to teraz istnieje złożona funkcja z , tj.
,
i dlatego
. Jeżeli pochodne funkcji
I
istnieć, zatem
, jako pochodna funkcji zespolonej. Mechanizm różnicowy
Lub. Ale
i dlatego możemy pisać
, tj. znowu mam to wyrażenie
jak w (1).

Wniosek: wzór (1) jest poprawny jak w przypadku gdy istnieje zmienna niezależna, tak jest w przypadku, gdy istnieje funkcja zmiennej niezależnej . W pierwszym przypadku pod
rozumiana jest jako różniczka zmiennej niezależnej
, w drugim – różniczka funkcji (w tym przypadku
ogólnie rzecz biorąc). Ta właściwość zachowania kształtu (1) nazywa się niezmienność postaci różniczkowej.

Niezmienniczość postaci różniczkowej zapewnia ogromne korzyści przy obliczaniu różnic funkcji złożonych.

Na przykład: trzeba obliczyć
. Niezależnie od tego, czy zmienna jest zależna czy niezależna , możemy to zapisać. Jeśli - funkcja np
, wtedy znajdziemy
i korzystając z niezmienności postaci różniczki, mamy prawo pisać.

§18. Pochodne wyższych rzędów.

Niech funkcja y =  (x) będzie różniczkowalna na pewnym przedziale X (to znaczy ma skończoną pochodną y 1 =  1 (x) w każdym punkcie tego przedziału). Wtedy  1 (x) jest w X samym funkcją x. Może się okazać, że w niektórych punktach lub w ogóle x 1 (x) samo w sobie ma pochodną, ​​tj. istnieje pochodna pochodnej (y 1) 1 =( 1 (x) 1. W tym przypadku nazywa się to pochodną drugą lub pochodną drugiego rzędu. Oznaczamy symbolami y 11, 11 (x), d 2 y/ dx 2. Jeśli to konieczne, podkreśl, że pochodna jest w t.x 0, następnie napisz

y 11 /x=x 0 lub  11 (x 0) lub d 2 y/ dx 2 /x=x 0

pochodna 1 nazywana jest pochodną pierwszego rzędu lub pierwszą pochodną.

Zatem pochodna drugiego rzędu jest pochodną pochodnej pierwszego rzędu funkcji.

Całkiem podobnie pochodna (jeśli istnieje) pochodnej drugiego rzędu nazywana jest pochodną trzeciego rzędu lub pochodną trzeciego rzędu.

Oznacz (y 11) 1 = y 111 = 111 (x)= d 3 y/ dx 3 = d 3  (x) / dx 3

Generalnie pochodną n-tego rzędu funkcji y = (x) nazywamy pochodną pochodnej (n-1) rzędu tej funkcji. (jeśli oczywiście istnieją).

Wyznaczyć

Przeczytaj: n-ta pochodna y, od (x); d n y przez d x w n-tym.

Czwarty, piąty itd. Niewygodne jest oznaczanie kolejności kreskami, dlatego liczbę należy wpisać w nawias, zamiast  v (x) wpisać  (5) (x).

W nawiasach, żeby nie pomylić n-tego rzędu pochodnej z n-tym stopniem funkcji.

Pochodne rzędu wyższego niż pierwszy nazywane są pochodnymi wyższego rzędu.

Z samej definicji wynika, że ​​aby znaleźć n-tą pochodną, ​​trzeba znaleźć po kolei wszystkie poprzednie od 1 do (n-1)-tej.

Przykłady: 1) y=x 5; y1 = 5x 4; y 11 = 20x 3;

y 111 = 60x 2; y (4) = 120x; y(5) =120; y (6) =0,…

2) y=e x; y 1 = mi x; y 11 =e x;…;

3) y=grzech; y 1 = cosх; y 11 = -sinх; y 111 = -cosх; y (4) = grzechх;…

Należy zauważyć, że druga pochodna ma pewne znaczenie mechaniczne.

Jeżeli pierwszą pochodną ścieżki po czasie jest prędkość ruchu prostoliniowego niejednostajnego

V=ds/dt, gdzie S=f(t) jest równaniem ruchu, wówczas V 1 =dV/dt= d 2 S/dt 2 jest szybkością zmiany prędkości, tj. przyspieszenie ruchu:

a= fa 11 (t)= dV/dt= d 2 S/dt 2 .

Zatem drugą pochodną ścieżki po czasie jest przyspieszenie ruchu punktu – takie jest mechaniczne znaczenie drugiej pochodnej.

W niektórych przypadkach można zapisać wyrażenie na pochodną dowolnego rzędu, z pominięciem pośrednich.

Przykłady:

y=e x; (y) (n) = (e x) (n) = mi x;

y=ax; y1 =a x lna; y11 =a x (lna) 2; y (n) = a x (lna) n;

y=x α; y1 = αx α-1; y 11 =
; y (n) = α(α-1)… (α-n+1)x α-n, gdzie =n mamy

y (n) = (x n) (n) = n! Wszystkie pochodne rzędu wyższego są równe zeru.

y=sinx; y 1 = cosх; y 11 = -sinх; y 111 = -cosх; y (4) = sinx;... itd.. Ponieważ

y 1 = grzech(x+ /2); y 11 = grzech(x+2 /2); y 111 = grzech(x+3 /2); itd., wówczas y (n) = (sinx) (n) = grzech (x + n /2).

Łatwo to ustalić poprzez kolejne różniczkowanie i wzory ogólne:

1) (СU) (n) = С(U) (n) ; 2) (U±V) (n) = U (n) ± V (n)

Wzór na n-tą pochodną iloczynu dwóch funkcji (U·V) (n) okazuje się bardziej złożony. Nazywa się to formułą Leibniza.

Chodźmy po to

y=U·V; y 1 = U 1 V + UV 1; y 11 = U 11 V+ U 1 V 1 + U 1 V 1 + UV 11 = U 11 V+2U 1 V 1 + UV 11;

y 111 = U 111 V+ U 11 V 1 +2U 11 V 1 +2U 1 V 11 + U 1 V 11 + UV 111 = U 111 V+3U 11 V 1 +3 U 1 V 11 + UV 111;

Podobnie dostajemy

y (4) = U (4) V+4 U 111 V 1 +6 U 11 V 11 +4 U 1 V 111 + UV (4) itd.

Łatwo zauważyć, że prawe strony wszystkich tych wzorów przypominają rozwinięcie potęg dwumianu U + V, (U + V) 2, (U + V) 3 itd. Tylko zamiast potęg U i V występują pochodne odpowiednich rzędów. Podobieństwo będzie szczególnie kompletne, jeśli w otrzymanych wzorach zamiast U i V napiszemy U (0) i V (0), tj. 0-te pochodne funkcji U i V (same funkcje).

Rozszerzając to prawo na przypadek dowolnego n, otrzymujemy wzór ogólny

y (n) = (UV) (n) = U (n) V+ n/1! U (n-1) V 1 + n(n-1)/2! U (n-2) V (2) + n(n-1)(n-2)/3! U (n-3) V (3) +…+ n(n-1)…(n-к+1)/К! U (k) V (n-k) +…+ UV (n) - wzór Leibniza.

Przykład: znajdź (e x x) (n)

(e x) (n) =e x, x 1 =1, x 11 =0 i x (n) =0, zatem (e x x) (n) = (e x) (n) x+ n/1 ! (np. x) (n-1) x 1 = mi x x+ ne x = mi x (x+ n).