Nierówności irracjonalne. 10. Nierówności irracjonalne. Przykłady rozwiązywania problemów

Cele:

Kształcenie ogólne: systematyzować, uogólniać, poszerzać wiedzę i umiejętności uczniów w zakresie stosowania metod rozwiązywania nierówności.
Rozwojowe: rozwijanie umiejętności słuchania wykładu poprzez zapisywanie go w zeszycie.
Edukacyjne: kształtowanie motywacji poznawczej do studiowania matematyki.

Podczas zajęć

I. Rozmowa wprowadzająca:

Zakończyliśmy temat „Rozwiązywanie równań niewymiernych” i dziś zaczynamy uczyć się rozwiązywania nierówności niewymiernych.

Na początek przypomnijmy sobie, jakie rodzaje nierówności można rozwiązać i jakimi metodami?

Odpowiedź: Liniowe, kwadratowe, wymierne, trygonometryczne. Rozwiązujemy liniowe w oparciu o własności nierówności, sprowadzamy trygonometryczne do najprostszych trygonometrycznych, które można rozwiązać za pomocą okrąg trygonometryczny, a reszta, głównie metodą interwałową.

Pytanie: Na jakim stwierdzeniu opiera się metoda interwałowa?

Odpowiedź: Na podstawie twierdzenia, że funkcja ciągła, który nie zanika w pewnym przedziale, zachowuje swój znak w tym przedziale.

II. Przyjrzyjmy się irracjonalnej nierówności, takiej jak >

Pytanie: Czy można rozwiązać ten problem za pomocą metody interwałowej?

Odpowiedź: Tak, ponieważ funkcja y =– ciągły przez D(y).

Rozwiązanie tej nierówności metoda interwałowa .

Wniosek: dość łatwo rozwiązaliśmy tę irracjonalną nierówność za pomocą metody przedziałowej, w rzeczywistości sprowadzając ją do rozwiązania równania irracjonalnego.

Spróbujmy rozwiązać inną nierówność tą metodą.

3)k(x) ciągłe włączone D(f)

4) Zera funkcji:

Szukanie zajmuje dużo czasu D(f).
Trudno obliczyć punkty kontrolne.

Powstaje pytanie: „Czy istnieją inne sposoby rozwiązania tej nierówności?”

Oczywiście, że są i teraz je poznamy.

III. Więc, temat Dzisiaj lekcja: „Metody rozwiązywania nierówności irracjonalnych”.

Lekcja odbędzie się w formie wykładu, gdyż podręcznik nie zawiera szczegółowej analizy wszystkich metod. Dlatego naszym ważnym zadaniem jest sporządzenie szczegółowego podsumowania tego wykładu.

IV. Mówiliśmy już o pierwszej metodzie rozwiązywania irracjonalnych nierówności.

Ten - metoda interwałowa , uniwersalną metodę rozwiązywania wszystkich typów nierówności. Nie zawsze jednak prowadzi to do celu w sposób krótki i prosty.

V. Rozwiązując nierówności irracjonalne, można posługiwać się tymi samymi pomysłami, co przy rozwiązywaniu równań niewymiernych, jednak ponieważ prosta weryfikacja rozwiązań jest niemożliwa (w końcu rozwiązania nierówności to najczęściej całe przedziały liczbowe), konieczne jest stosowanie równoważności.

Przedstawiamy schematy rozwiązywania głównych typów nierówności irracjonalnych metoda przejść równoważnych z jednej nierówności do układu nierówności.

2. Podobnie udowodniono, że

Zapiszmy te schematy na tablicy pomocniczej. Pomyśl o dowodach typów 3 i 4 w domu, omówimy je na następnej lekcji.

VI. Rozwiążmy nierówność w nowy sposób.

Oryginalna nierówność jest równoważna zbiorowi systemów.

VII. Istnieje trzecia metoda, która często pomaga rozwiązać złożone irracjonalne nierówności. Mówiliśmy już o tym w odniesieniu do nierówności z modułem. Ten metoda zastępowania funkcji (zastępowania czynników). Przypomnę, że istota metody zastępczej polega na tym, że różnicę wartości funkcji monotonicznych można zastąpić różnicą wartości ich argumentów.

Rozważmy irracjonalną nierówność formy<,

to jest -< 0.

Według twierdzenia, jeśli p(x) rośnie w pewnym przedziale, do którego należą A I B, I A>B, a następnie nierówności p(a) – p(b) > 0 i a–b> 0 są równoważne D(p), to jest

VIII. Rozwiążmy nierówność zastępując czynniki.

Oznacza to, że ta nierówność jest równoważna systemowi

Widzieliśmy zatem, że zastosowanie metody zastępowania czynników w celu zredukowania rozwiązania nierówności do metody przedziałowej znacznie zmniejsza ilość pracy.

IX. Teraz, gdy omówiliśmy trzy główne metody rozwiązywania równań, przejdźmy do rzeczy niezależna praca z autotestem.

Należy uzupełnić następujące liczby (zgodnie z podręcznikiem A. M. Mordkovicha): 1790 (a) - rozwiązać metodą przejść równoważnych, 1791 (a) - rozwiązać metodą zastępowania czynników. Aby rozwiązać nierówności irracjonalne, należy proponuje się zastosować metody omówione wcześniej przy rozwiązywaniu równań niewymiernych:

zastępowanie zmiennych;
korzystanie z ODZ;
wykorzystując własności monotoniczności funkcji.

Zaliczenie przestudiowania tematu jest sprawdzianem.

Analiza praca testowa przedstawia:

typowymi błędami słabych uczniów, oprócz arytmetyki i algebry, są nieprawidłowe równoważne przejścia do układu nierówności;
Metodę zastępowania czynników z powodzeniem stosują tylko silni uczniowie.

Cele:

Kształcenie ogólne: systematyzować, uogólniać, poszerzać wiedzę i umiejętności uczniów w zakresie stosowania metod rozwiązywania nierówności.
Rozwojowe: rozwijanie umiejętności słuchania wykładu poprzez zapisywanie go w zeszycie.
Edukacyjne: kształtowanie motywacji poznawczej do studiowania matematyki.

Podczas zajęć

I. Rozmowa wprowadzająca:

Zakończyliśmy temat „Rozwiązywanie równań niewymiernych” i dziś zaczynamy uczyć się rozwiązywania nierówności niewymiernych.

Na początek przypomnijmy sobie, jakie rodzaje nierówności można rozwiązać i jakimi metodami?

Odpowiedź: Liniowe, kwadratowe, wymierne, trygonometryczne. Rozwiązujemy liniowe w oparciu o własności nierówności, trygonometryczne sprowadzamy do najprostszych trygonometrycznych, rozwiązywanych za pomocą koła trygonometrycznego, a resztę głównie metodą przedziałów.

Pytanie: Na jakim stwierdzeniu opiera się metoda interwałowa?

Odpowiedź: Na twierdzeniu stwierdzającym, że funkcja ciągła, która nie zanika w pewnym przedziale, zachowuje swój znak w tym przedziale.

II. Przyjrzyjmy się irracjonalnej nierówności, takiej jak >

Pytanie: Czy można rozwiązać ten problem za pomocą metody interwałowej?

Odpowiedź: Tak, ponieważ funkcja y =– ciągły przez D(y).

Rozwiązanie tej nierówności metoda interwałowa .

Wniosek: dość łatwo rozwiązaliśmy tę irracjonalną nierówność za pomocą metody przedziałowej, w rzeczywistości sprowadzając ją do rozwiązania równania irracjonalnego.

Spróbujmy rozwiązać inną nierówność tą metodą.

3)k(x) ciągłe włączone D(f)

4) Zera funkcji:

Szukanie zajmuje dużo czasu D(f).
Trudno obliczyć punkty kontrolne.

Powstaje pytanie: „Czy istnieją inne sposoby rozwiązania tej nierówności?”

Oczywiście, że są i teraz je poznamy.

III. Więc, temat Dzisiaj lekcja: „Metody rozwiązywania nierówności irracjonalnych”.

IV. Mówiliśmy już o pierwszej metodzie rozwiązywania irracjonalnych nierówności.

Ten - metoda interwałowa , uniwersalną metodę rozwiązywania wszystkich typów nierówności. Nie zawsze jednak prowadzi to do celu w sposób krótki i prosty.

Przedstawiamy schematy rozwiązywania głównych typów nierówności irracjonalnych metoda przejść równoważnych z jednej nierówności do układu nierówności.

2. Podobnie udowodniono, że

Zapiszmy te schematy na tablicy pomocniczej. Pomyśl o dowodach typów 3 i 4 w domu, omówimy je na następnej lekcji.

VI. Rozwiążmy nierówność w nowy sposób.

Oryginalna nierówność jest równoważna zbiorowi systemów.

Rozważmy irracjonalną nierówność formy<,

to jest -< 0.

Według twierdzenia, jeśli p(x) rośnie w pewnym przedziale, do którego należą A I B, I A>B, a następnie nierówności p(a) – p(b) > 0 i a–b> 0 są równoważne D(p), to jest

VIII. Rozwiążmy nierówność zastępując czynniki.

Oznacza to, że ta nierówność jest równoważna systemowi

Widzieliśmy zatem, że zastosowanie metody zastępowania czynników w celu zredukowania rozwiązania nierówności do metody przedziałowej znacznie zmniejsza ilość pracy.

IX. Teraz, gdy omówiliśmy trzy główne metody rozwiązywania równań, przejdźmy do rzeczy niezależna praca z autotestem.

zastępowanie zmiennych;
korzystanie z ODZ;
wykorzystując własności monotoniczności funkcji.

Zaliczenie przestudiowania tematu jest sprawdzianem.

Analiza pracy testowej pokazuje:

typowymi błędami słabych uczniów, oprócz arytmetyki i algebry, są nieprawidłowe równoważne przejścia do układu nierówności;
Metodę zastępowania czynników z powodzeniem stosują tylko silni uczniowie.

T.D. Iwanowa

METODY ROZWIĄZYWANIA IRRRACYJNYCH NIERÓWNOŚCI

CDO i NIT SRPTL

UDC 511 (O75.3)

BBK 22. 1Y72

Opracowane przez T.D.Ivanova

Recenzent: Baisheva M.I.– Kandydat nauk pedagogicznych, profesor nadzwyczajny Katedry

analiza matematyczna Wydziału Matematyki

Instytut Matematyki i Informatyki w Jakucku

Uniwersytet stanowy

Metody rozwiązywania nierówności irracjonalnych: Podręcznik metodologiczny

M 34 dla uczniów klas 9-11 / komp. Ivanova T.D. z Suntar Suntarsky ulus

RS (Y): CDO NIT SRPTL, 2007, – 56 s.

Podręcznik adresowany jest do uczniów szkół ponadgimnazjalnych, a także do rozpoczynających naukę na studiach, jako przewodnik metodyczny do rozwiązywania irracjonalnych nierówności. Podręcznik szczegółowo bada główne metody rozwiązywania irracjonalnych nierówności, podaje przykłady rozwiązywania irracjonalnych nierówności za pomocą parametrów, a także oferuje przykłady samodzielnego ich rozwiązywania. Nauczyciele mogą korzystać z przewodnika jako materiał dydaktyczny Do niezależna praca, z recenzją przeglądową tematu „Nierówności irracjonalne”.

Podręcznik odzwierciedla doświadczenie nauczyciela w studiowaniu z uczniami tematu „Irracjonalne nierówności”.

Zadania zaczerpnięte z materiałów egzaminy wstępne, gazety i czasopisma metodyczne, pomoce dydaktyczne, których wykaz znajduje się na końcu podręcznika

UDC 511 (O75.3)

BBK 22. 1Y72

 T.D. Ivanova, comp., 2006.

 CDO NIT SRPTL, 2007.

Przedmowa 5

Wprowadzenie 6

Rozdział I. Przykłady rozwiązywania najprostszych nierówności irracjonalnych 7

Rozdział II Nierówności formy
>g(x), g(x), g(x) 9

Sekcja III. Nierówności formy
;
;

;
13

Sekcja IV. Nierówności zawierające kilka pierwiastków stopnia parzystego 16

Rozdział V. Metoda zastępowania (wprowadzenie nowej zmiennej) 20

Sekcja VI. Nierówności postaci f(x)
0; f(x)0;

Sekcja VII. Nierówności formy
25

Sekcja VIII. Stosowanie radykalnych przekształceń wyrażeń

w irracjonalnych nierównościach 26

Sekcja IX. Graficzne rozwiązanie nierówności irracjonalnych 27

Rozdział X. Nierówności typu mieszanego 31

Sekcja XI. Korzystanie z właściwości monotoniczności funkcji 41

Sekcja XII. Metoda zastępowania funkcji 43

Sekcja XIII. Przykłady bezpośredniego rozwiązywania nierówności

metoda interwałowa 45

Sekcja XIV. Przykłady rozwiązywania niewymiernych nierówności z parametrami 46

Literatura 56

RECENZJA

Niniejsza pomoc dydaktyczna przeznaczona jest dla uczniów klas 10-11. Jak pokazuje praktyka, uczniowie i kandydaci mają szczególne trudności w rozwiązywaniu irracjonalnych nierówności. Wynika to z faktu, że w matematyce szkolnej ta sekcja nie jest wystarczająco uwzględniona, różne metody rozwiązywania takich nierówności nie są rozważane bardziej szczegółowo. Również nauczyciele szkolni odczuwają brak literatury metodycznej, co objawia się ograniczoną ilością materiału problemowego wskazującego na różne podejścia i sposoby rozwiązania.

W podręczniku omówiono metody rozwiązywania nierówności irracjonalnych. Ivanova T.D. na początku każdej sekcji wprowadza uczniów w główną ideę metody, następnie pokazuje przykłady z objaśnieniami, a także oferuje problemy do samodzielnego rozwiązania.

Kompilator wykorzystuje najbardziej „spektakularne” metody rozwiązywania irracjonalnych nierówności, które pojawiają się podczas wchodzenia na studia wyższe placówki oświatowe ze zwiększonymi wymaganiami wobec wiedzy uczniów.

Studenci po przeczytaniu tego podręcznika mogą zdobyć bezcenne doświadczenie i umiejętności w rozwiązywaniu złożonych nierówności irracjonalnych. Wierzę, że podręcznik ten będzie przydatny także dla nauczycieli matematyki pracujących w klasach specjalistycznych, a także dla twórców zajęć fakultatywnych.

Kandydat nauk pedagogicznych, profesor nadzwyczajny Katedry Analizy Matematycznej, Wydział Matematyki, Instytut Matematyki i Informatyki, Jakucki Uniwersytet Państwowy

Baisheva M.I.

PRZEDMOWA

Podręcznik adresowany jest do uczniów szkół ponadgimnazjalnych, a także do rozpoczynających naukę na studiach, jako przewodnik metodyczny do rozwiązywania irracjonalnych nierówności. Podręcznik szczegółowo bada główne metody rozwiązywania niewymiernych nierówności, podaje przybliżone przykłady rozwiązywania irracjonalnych nierówności, podaje przykłady rozwiązywania irracjonalnych nierówności za pomocą parametrów, a także oferuje przykłady ich samodzielnego rozwiązywania; w przypadku niektórych z nich krótkie odpowiedzi i instrukcje są podane.

Analizując przykłady i samodzielnie rozwiązując nierówności, zakłada się, że student umie rozwiązywać nierówności liniowe, kwadratowe i inne oraz zna różne metody rozwiązywania nierówności, w szczególności metodę przedziałów. Proponuje się rozwiązanie nierówności na kilka sposobów.

Nauczyciele mogą wykorzystać podręcznik jako materiał dydaktyczny do samodzielnej pracy podczas powtarzania tematu „Nieracjonalne nierówności”.

Podręcznik odzwierciedla doświadczenie nauczyciela w studiowaniu z uczniami tematu „Irracjonalne nierówności”.

Zadania zostały wybrane z materiałów egzaminów wstępnych do szkół wyższych, gazet i czasopism metodycznych z matematyki „Pierwszy września”, „Matematyka w szkole”, „Kwant”, podręczników, których lista znajduje się na końcu podręcznika .

WSTĘP

Nierówności irracjonalne to takie, w których zmienne lub funkcja zmiennej znajdują się pod znakiem pierwiastka.

Główną standardową metodą rozwiązywania irracjonalnych nierówności jest sukcesywne podnoszenie obu stron nierówności do potęgi, aby pozbyć się pierwiastka. Ale ta operacja często prowadzi do pojawienia się obcych korzeni, a nawet utraty korzeni, tj. prowadzi do nierówności, która jest różna od pierwotnej. Dlatego musimy bardzo uważnie monitorować równoważność przekształceń i brać pod uwagę tylko te wartości zmiennej, dla których nierówność ma sens:

jeśli pierwiastek jest stopniem parzystym, wówczas wyrażenie radykalne musi być nieujemne, a wartość pierwiastka również musi być liczbą nieujemną.

jeśli pierwiastkiem stopnia jest liczba nieparzysta, wówczas wyrażenie radykalne może przyjąć dowolną liczbę rzeczywistą, a znak pierwiastka pokrywa się ze znakiem wyrażenia radykalnego.

obie strony nierówności można podnieść do potęgi parzystej dopiero po upewnieniu się, że są one nieujemne;

Podniesienie obu stron nierówności do tej samej potęgi nieparzystej jest zawsze równoważną transformacją.

RozdziałI. Przykłady rozwiązywania prostych nierówności niewymiernych

Przykłady 1- 6:

Rozwiązanie:

1. a)
.

B)
.

2. a)

3. a)
.

B)
.

4. a)

5. a)
.

6. a)
.

B)
.

8.a)
.

9.a)
.

11.

12. Znajdź najmniejszą liczbę całkowitą wartość dodatnia x spełniający nierówność

13. a) Znajdź środek przedziału rozwiązania nierówności

b) Znajdź średnią arytmetyczną wszystkich wartości całkowitych x, dla których nierówność ma rozwiązanie 4

14. Znajdź najmniejsze rozwiązanie ujemne nierówności

15.a)
;

Sekcja II. Nierówności postaci >g(x), g(x),g(x)

W taki sam sposób, jak przy rozwiązywaniu przykładów 1-4, rozumujemy przy rozwiązywaniu nierówności wskazanego typu.

Przykład 7 : Rozwiąż nierówność
> X + 1

Rozwiązanie: Nierówność DZ: X-3. Dla prawej strony możliwe są dwa przypadki:

A) X+ 10 (prawa strona jest nieujemna) lub b) X + 1

Rozważ a) Jeśli X+10, tj. X- 1, to obie strony nierówności są nieujemne. Podnosimy obie strony do kwadratu: X + 3 >X+ 2X+ 1. Otrzymujemy nierówność kwadratowa X+ X – 2 X x - 1, otrzymujemy -1

Rozważ b) Jeśli X+1 x x -3

Łączenie rozwiązań przypadku a) -1 i b) X-3, zapiszmy odpowiedź: X
.

Przy rozwiązywaniu Przykładu 7 wygodnie jest zapisać wszystkie argumenty w następujący sposób:

Pierwotna nierówność jest równoważna zbiorowi systemów nierówności
.

Odpowiedź: .

Rozumowanie rozwiązywania nierówności postaci

1.> G(X); 2. G(X); 3. G(X); 4. G(X) można w skrócie zapisać w postaci następujących diagramów:

I. > G(X)

2. G(X)

3. G(X)

4. G(X)
.

Przykład 8 :
X.

Rozwiązanie: Oryginalna nierówność jest równoważna systemowi

x>0

Odpowiedź: X
.

Zadania do samodzielnego rozwiązania:

B)
.

20.a)
X

21.a)

Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

Kiedy przesyłasz żądanie na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres E-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

Zebrane przez nas informacje osobiste pozwala nam kontaktować się z Tobą i informować Cię o wyjątkowych ofertach, promocjach i innych wydarzeniach oraz nadchodzących wydarzeniach.
Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawienia rekomendacji dotyczących naszych usług.
Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.

Ujawnianie informacji osobom trzecim

Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.

Wyjątki:

Jeżeli jest to konieczne – zgodnie z prawem, procedurą sądową, postępowaniem sądowym i/lub na podstawie żądań publicznych lub żądań od agencje rządowe na terytorium Federacji Rosyjskiej – ujawnij swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.