Pozycja punkt materialny w kosmosie ten moment czas jest określony w stosunku do jakiegoś innego ciała, które nazywa się organ referencyjny.

Kontaktuje się z nim ramy Odniesienia- zespół układów współrzędnych i zegarów związanych z ciałem, względem którego badany jest ruch innych punktów materialnych. Wybór układu odniesienia zależy od celów badania. W badaniach kinematycznych wszystkie układy odniesienia są równe (kartezjański, polarny). W zagadnieniach dynamiki dominującą rolę odgrywają układy inercyjne odliczanie, względem którego różniczkowe równania ruchu mają prostszą postać.

W kartezjańskim układzie współrzędnych położenie punktu A w danym momencie w stosunku do tego układu wyznaczają trzy współrzędne X, Na I z lub wektor promienia (ryc. 1.1). Kiedy punkt materialny się porusza, jego współrzędne zmieniają się w czasie. Ogólnie rzecz biorąc, jego ruch jest określony przez równania

lub równanie wektorowe

=(T). (1.2)

Równania te nazywane są kinematyczne równania ruchu punkt materialny.

Z wyłączeniem czasu T w układzie równań (1.1) otrzymujemy równanie trajektorie ruchu punkt materialny. Przykładowo, jeżeli kinematyczne równania ruchu punktu podane są w postaci:

wtedy, z wyłączeniem T, otrzymujemy:

te. punkt porusza się po płaszczyźnie z= 0 wzdłuż ścieżki eliptycznej z równymi półosiami A I B.

Trajektoria ruchu punktu materialnego jest linią opisaną przez ten punkt w przestrzeni. W zależności od kształtu trajektorii ruch może być prosty I krzywolinijny.

Rozważmy ruch punktu materialnego po dowolnej trajektorii AB(ryc. 1.2). Czas zaczniemy odliczać od momentu, kiedy punkt znalazł się na swoim miejscu A (T= 0). Długość odcinka trajektorii AB przemierzany przez punkt materialny od chwili T= 0, tzw długość ścieżki i jest skalarną funkcją czasu. Nazywa się wektor narysowany od początkowego położenia poruszającego się punktu do jego położenia w danym momencie wektor przemieszczenia. Podczas ruchu prostoliniowego wektor przemieszczenia pokrywa się z odpowiednim odcinkiem trajektorii, a jego moduł jest równy przebytej drodze.

Prędkość- to jest wektor wielkość fizyczna, wprowadzone w celu określenia prędkości ruchu i jego kierunku w danym momencie.

Niech punkt materialny porusza się po zakrzywionej ścieżce i w danym momencie T odpowiada to wektorowi promienia. (ryc. 1.3). W krótkim odstępie czasu punkt przebędzie ścieżkę i doznaje nieskończenie małego przemieszczenia. Istnieją prędkości średnie i chwilowe.


Wektor średniej prędkości nazywa się stosunkiem przyrostu wektora promienia punktu do okresu czasu:

Wektor jest skierowany w taki sam sposób jak . Przy nieograniczonym spadku średnia prędkość dąży do wartości granicznej, która nazywa się chwilowa prędkość lub po prostu prędkość:

Zatem prędkość jest wielkością wektorową równą pierwszej pochodnej wektora promienia poruszającego się punktu po czasie. Ponieważ sieczna granicy pokrywa się ze styczną, wektor prędkości jest skierowany stycznie do trajektorii w kierunku ruchu.

W miarę zmniejszania się długości łuku coraz bardziej zbliża się on do długości cięciwy go zaciskającej, tj. wartość liczbowa prędkości punktu materialnego jest równa pierwszej pochodnej długości jego drogi po czasie:

Zatem,

Z wyrażenia (1.5) otrzymujemy Całkując w czasie od do , znajdujemy długość drogi przebytej przez materialny punkt w czasie:

Jeżeli kierunek wektora prędkości chwilowej nie zmienia się podczas ruchu punktu materialnego, oznacza to, że punkt porusza się po trajektorii, do której styczne we wszystkich punktach mają ten sam kierunek. Tylko proste trajektorie mają tę właściwość. Oznacza to, że dany ruch będzie prosty.

Jeżeli kierunek wektora prędkości punktu materialnego zmienia się w czasie, punkt ten będzie się opisywał krzywolinijny trajektoria.

Jeżeli wartość liczbowa prędkości chwilowej punktu podczas ruchu pozostaje stała, wówczas nazywa się taki ruch mundur. W tym przypadku

Oznacza to, że w dowolnych równych okresach czasu punkt materialny przemieszcza się po ścieżkach o jednakowej długości.

Jeżeli w dowolnych równych odstępach czasu punkt przemierza ścieżki o różnej długości, to wartość liczbowa jego prędkości zmienia się w czasie. Ten ruch nazywa się nierówny. W tym przypadku użyj wielkości skalarnej tzw średnia prędkość nierównomiernego ruchu na tym odcinku trajektorii. Jest ona równa liczbowej wartości prędkości takiego ruchu jednostajnego, w jakim na przebycie ścieżki przypada taki sam czas, jak dla danego ruchu nierównego:

Jeśli punkt materialny uczestniczy jednocześnie w kilku ruchach, to prawo niezależności ruchów powstałe w ten sposób przemieszczenie jest równe sumie wektorów przemieszczeń, jakie wykonuje w tym samym czasie w każdym z ruchów z osobna. Dlatego prędkość powstałego ruchu określa się jako suma wektorowa prędkości wszystkich ruchów, w których uczestniczy punkt materialny.

W naturze najczęściej obserwuje się ruchy, w których prędkość zmienia się zarówno pod względem wielkości (modułu), jak i kierunku, tj. muszą sobie radzić z nierównymi ruchami. Aby scharakteryzować zmianę prędkości takich ruchów, wprowadzono pojęcie przyśpieszenie.

Niech ruchomy punkt przesunie się z pozycji A na pozycję W(ryc. 1.4). Wektor wyznacza prędkość punktu w danej pozycji A. W ciąży W punkt nabrał prędkości różniącej się zarówno pod względem wielkości, jak i kierunku, i stał się równy . Przesuńmy wektor do punktu A i znajdziemy.

Średnie przyspieszenie nierówny ruch w przedziale czasu od do nazywany jest wielkością wektorową, równy stosunkowi zmiany prędkości w odstępie czasu:

Oczywiście wektor pokrywa się w kierunku z wektorem zmiany prędkości.

Natychmiastowe przyspieszenie Lub przyśpieszenie materialnym, w danym momencie będzie istniała granica średniego przyspieszenia:

Zatem przyspieszenie jest wielkością wektorową równą pierwszej pochodnej prędkości po czasie.

Rozłóżmy wektor na dwie składowe. Aby to zrobić od razu A w kierunku prędkości wykreślamy wektor równy . Następnie wektor równy wyznacza zmianę prędkości modulo(wartość) na czas, tj. . Druga składowa wektora charakteryzuje zmianę prędkości w czasie w kierunku - .

Nazywa się składową przyspieszenia, która określa zmianę wielkości prędkości składnik styczny. Numerycznie jest to pierwsza pochodna czasowa modułu prędkości:

Znajdźmy drugą składową przyspieszenia, tzw normalny komponent. Załóżmy, że o to chodzi W wystarczająco blisko celu A, dlatego ścieżkę można uznać za łuk koła o pewnym promieniu R, niewiele różniący się od akordu AB. Z podobieństwa trójkątów AOB I ED wynika z tego

skąd W granicy w zatem druga składowa przyspieszenia jest równa:

Jest skierowany w kierunku środka krzywizny trajektorii wzdłuż normalnej. Ona też jest nazywana przyspieszenie dośrodkowe.

Pełne przyspieszenie ciała jest sumą geometryczną składowych stycznych i normalnych:

Z ryc. 1.5 wynika, że ​​moduł całkowitego przyspieszenia jest równy:

Kierunek całkowitego przyspieszenia wyznaczany jest przez kąt pomiędzy wektorami i . To oczywiste

W zależności od wartości składowej stycznej i normalnej przyspieszenia, ruch ciała jest różnie klasyfikowany. Jeśli (wielkość prędkości nie zmienia się pod względem wielkości), ruch jest mundur. Jeśli > 0, ruch jest wywoływany przyśpieszony, Jeśli< 0 - powolny. Jeśli = const0, to ruch jest wywoływany równie zmienne. Wreszcie w dowolnym ruchu po linii prostej (nie ma zmiany kierunku prędkości).

Zatem ruch punktu materialnego może być następujących typów:

1) - prostoliniowy ruch jednostajny ();

2) - prostoliniowy ruch jednostajny. Z tego typu ruchem

Jeśli początkowy moment czasu wynosi , a prędkość początkowa wynosi , to oznaczając i , otrzymujemy:

Gdzie . (1.16)

Całkując to wyrażenie w zakresie od zera do dowolnego punktu w czasie, otrzymujemy wzór na obliczenie długości drogi, którą przebył punkt podczas ruchu jednostajnego:

3) - ruch liniowy ze zmiennym przyspieszeniem;

4) - prędkość bezwzględna się nie zmienia, co pokazuje, że promień krzywizny musi być stały. Dlatego ten ruch kołowy jest jednolity;

5) - równomierny ruch krzywoliniowy;

6) - krzywoliniowy ruch jednostajny;

7) - ruch krzywoliniowy ze zmiennym przyspieszeniem.

Kinematyka ruchu obrotowego ciała sztywnego

Jak już wspomniano, ruch obrotowy ciała absolutnie sztywnego wokół ustalonej osi to taki ruch, w którym wszystkie punkty ciała poruszają się w płaszczyznach prostopadłych do ustalonej prostej, zwanej osią obrotu, i opisują okręgi, których środki leżą na tę oś.

Rozważmy solidny, który obraca się wokół stałej osi (ryc. 1.6). Wtedy poszczególne punkty tego ciała będą opisywać okręgi o różnych promieniach, których środki leżą na osi obrotu. Niech jakiś punkt A porusza się po okręgu o promieniu R. Jego pozycja po pewnym czasie zostanie wyznaczona przez kąt.

Prędkość kątowa obrót to wektor, który jest liczbowo równy pierwszej pochodnej kąta obrotu ciała po czasie i skierowany wzdłuż osi obrotu zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej:

Jednostką prędkości kątowej są radiany na sekundę (rad/s).

W ten sposób wektor określa kierunek i prędkość obrotu. Jeśli , to nazywa się obrót mundur.

Prędkość kątową można powiązać z prędkością liniową dowolnego punktu A. Niech punkt przebędzie w czasie drogę po łuku koła. Wtedy prędkość liniowa punktu będzie równa:

Można go scharakteryzować przy równomiernym obrocie okres rotacji T- czas, w którym punkt ciała wykonuje jeden pełny obrót, tj. obraca się o kąt 2π:

Nazywa się liczbą pełnych obrotów wykonanych przez ciało podczas ruchu jednostajnego po okręgu w jednostce czasu prędkość obrotowa:

Aby scharakteryzować nierówny obrót ciała, wprowadzono pojęcie przyspieszenie kątowe. Przyspieszenie kątowe jest wielkością wektorową równą pierwszej pochodnej prędkości kątowej po czasie:

Kiedy ciało obraca się wokół ustalonej osi, wektor przyspieszenia kątowego jest skierowany wzdłuż osi obrotu w stronę wektora prędkości kątowej (rys. 1.7); przy ruchu przyspieszonym wektor jest skierowany w tym samym kierunku co , a przy wolnym obrocie w przeciwnym kierunku.

Wyraźmy składową styczną i normalną przyspieszenia punktu A obracającego się ciała poprzez prędkość kątową i przyspieszenie kątowe:

W przypadku ruchu jednostajnego punktu po okręgu ():

gdzie jest początkowa prędkość kątowa.

Ruchy postępowe i obrotowe ciała sztywnego to tylko najprostsze rodzaje jego ruchu. Ogólnie rzecz biorąc, ruch ciała sztywnego może być bardzo złożony. Jednakże w mechanice teoretycznej udowodniono, że każdy złożony ruch ciała sztywnego można przedstawić jako kombinację ruchów postępowych i obrotowych.

Równania kinematyczne ruchów translacyjnych i obrotowych zestawiono w tabeli. 1.1.

Tabela 1.1

Progresywny Rotacyjny
Mundur
Równie zmienne
Nierówny

Krótkie wnioski:

Część fizyki zajmująca się badaniem wzorów ruch mechaniczny a przyczyny, które powodują lub zmieniają ten ruch, nazywane są mechanika. Mechanika klasyczna (mechanika Newtona-Galileo) bada prawa ruchu ciał makroskopowych, których prędkości są małe w porównaniu z prędkością światła w próżni.

- Kinematyczny- dział mechaniki, którego przedmiotem badań jest ruch ciał bez uwzględnienia przyczyn powodujących ten ruch.

W mechanice do opisu ruchu ciał, w zależności od warunków konkretnych problemów, różne modele fizyczne: punkt materialny, ciało absolutnie sztywne, ciało absolutnie sprężyste, ciało absolutnie niesprężyste.

Ruch ciał odbywa się w przestrzeni i czasie. Dlatego, aby opisać ruch punktu materialnego, należy wiedzieć, w jakich miejscach w przestrzeni ten punkt się znajdował i w jakich momentach minął tę lub inną pozycję. Nazywa się kombinacją ciała odniesienia, powiązanego z nim układu współrzędnych i zsynchronizowanych ze sobą zegarów układu odniesienia.

Nazywa się wektor narysowany od początkowego położenia poruszającego się punktu do jego położenia w danym momencie wektor przemieszczenia. Nazywa się linię opisaną przez poruszający się punkt materialny (ciało) względem wybranego układu odniesienia trajektorię ruchu. W zależności od kształtu trajektorii istnieją prostoliniowy I krzywolinijny ruch. Nazywa się długość odcinka trajektorii, którą przebył punkt materialny w danym okresie czasu długość ścieżki.

- Prędkość jest wektorową wielkością fizyczną charakteryzującą prędkość ruchu i jego kierunek w danym momencie. Chwilowa prędkość wyznaczana jest przez pierwszą pochodną wektora promienia poruszającego się punktu po czasie:

Wektor prędkości chwilowej skierowany jest stycznie do trajektorii w kierunku ruchu. Wartość bezwzględna prędkości chwilowej punktu materialnego jest równa pierwszej pochodnej długości jego drogi po czasie:

- Przyśpieszenie- wektorowa wielkość fizyczna cechy nierówny ruchy. Określa szybkość zmiany prędkości pod względem wielkości i kierunku. Natychmiastowe przyspieszenie- wielkość wektorowa równa pierwszej pochodnej prędkości po czasie:

Składowa styczna przyspieszenia charakteryzuje szybkość zmiany prędkości W rozmiarze(skierowane stycznie do trajektorii ruchu):

Normalna składowa przyspieszenia charakteryzuje szybkość zmiany prędkości w kierunku(skierowany w stronę środka krzywizny toru):

Pełne przyspieszenie dla ruchu krzywoliniowego - suma geometryczna składowej stycznej i normalnej:

3. Co to jest układ odniesienia? Co to jest wektor przemieszczenia?

4. Jaki ruch nazywa się translacyjnym? Rotacyjny?

5. Czym charakteryzuje się prędkość i przyspieszenie? Zdefiniuj średnią prędkość i średnie przyspieszenie, prędkość chwilową i chwilowe przyspieszenie.

6. Napisz równanie na trajektorię ciała rzuconego poziomo z prędkością v 0 z określonej wysokości. Pomiń opór powietrza.

7. Czym charakteryzują się składowa styczna i normalna przyspieszenia? Jakie są ich moduły?

8. Jak można klasyfikować ruch ze względu na składową styczną i normalną przyspieszenia?

9. Jak nazywa się prędkość kątowa i przyspieszenie kątowe? Jak wyznaczane są ich kierunki?

10. Jakie wzory wiążą liniowe i kątowe charakterystyki ruchu?

Przykłady rozwiązywania problemów

Problem 1. Pomijając opór powietrza, określ kąt pod jakim ciało zostanie wyrzucone do horyzontu, jeżeli maksymalna wysokość wzniesienia ciała będzie równa 1/4 zasięgu jego lotu (rys. 1.8).

Prędkość jest wielkością wektorową, która charakteryzuje nie tylko prędkość ruchu cząstki po trajektorii, ale także kierunek, w którym cząstka porusza się w każdym momencie.

Średnia prędkość w czasie z t 1 zanim t 2 jest równy stosunkowi ruchu w tym czasie do okresu, w którym ten ruch miał miejsce:

Zauważymy, że jest to prędkość średnia, umieszczając wartość średnią w nawiasach kątowych:<...>, jak zrobiono powyżej.

Powyższy wzór na wektor średniej prędkości jest bezpośrednią konsekwencją zasady ogólnej definicja matematycznaŚrednia wartość<k(x)> dowolna funkcja k(x) w przedziale [ a, b]:

Naprawdę

Średnia prędkość może być zbyt przybliżoną miarą ruchu. Na przykład średnia prędkość w okresie oscylacji zawsze wynosi zero, niezależnie od charakteru tych oscylacji, z prostego powodu, że w pewnym okresie – z definicji okresu – ciało oscylacyjne powróci do punktu początkowego, a zatem , przesunięcie w okresie jest zawsze równe zeru. Z tego i wielu innych powodów wprowadza się prędkość chwilową – prędkość w danym momencie. W przyszłości, mając na myśli prędkość chwilową, będziemy pisać po prostu: „prędkość”, pomijając słowa „chwilowa” lub „w danym momencie”, o ile nie może to prowadzić do nieporozumień. T musi być zrobione oczywista rzecz: obliczyć granicę stosunku w miarę upływu czasu t 2 – t 1 do zera. Dokonajmy kilku przeróbek: t 1 = t I t 2 = t + i przepisz górną relację jako:

Prędkość w czasie T równy granicy stosunku ruchu w czasie do okresu czasu, w którym ten ruch miał miejsce, przy czym ten ostatni dąży do zera

Ryż. 2.5. W kierunku definicji prędkości chwilowej.

W tej chwili nie rozważamy kwestii istnienia tej granicy, zakładając, że ona istnieje. Zauważ, że jeśli istnieje skończone przemieszczenie i skończony okres czasu, to i - ich wartości graniczne: nieskończenie małe przemieszczenie i nieskończenie mały okres czasu. A więc prawa strona definicji prędkości

to nic innego jak ułamek - iloraz dzielenia przez, dlatego ostatnią relację można przepisać i bardzo często używa się jej w postaci

Przez zmysł geometryczny pochodną, ​​wektor prędkości w każdym punkcie trajektorii jest skierowany stycznie do trajektorii w tym punkcie w kierunku jej ruchu.

Wideo 2.1. Wektor prędkości jest skierowany stycznie do trajektorii. Poeksperymentuj z temperówką.

Do bazy można rozwinąć dowolny wektor (w przypadku wektorów jednostkowych bazy, czyli wektorów jednostkowych określających dodatnie kierunki osi WÓŁ,OJ,OZ używamy odpowiednio notacji , lub ). Współczynniki tego rozszerzenia są rzutami wektora na odpowiednie osie. Ważne jest, co następuje: w algebrze wektorowej udowodniono, że rozwinięcie względem podstawy jest jednoznaczne. Rozwińmy wektor promienia jakiegoś poruszającego się punktu materialnego do podstawy

Uwzględniając stałość kartezjańskich wektorów jednostkowych , , , różniczkujemy to wyrażenie ze względu na czas

Natomiast rozwinięcie pod względem podstawy wektora prędkości ma postać

zestawienie dwóch ostatnich wyrażeń, biorąc pod uwagę jednoznaczność rozwinięcia dowolnego wektora względem bazy, daje następujący wynik: rzuty wektora prędkości na osie kartezjańskie są równe pochodnym czasowym odpowiednich współrzędnych, czyli Jest

Wielkość wektora prędkości jest równa

Uzyskajmy inne, ważne wyrażenie na wielkość wektora prędkości.

Zauważono już, że gdy wartość || różni się coraz mniej od odpowiedniej ścieżki (patrz ryc. 2). Dlatego

i w limicie (>0)

Innymi słowy moduł prędkości jest pochodną przebytej drogi po czasie.

Wreszcie mamy:

Średnia wielkość wektora prędkości, definiuje się następująco:

Wartość średnia modułu wektora prędkości jest równa stosunkowi przebytej drogi do czasu przebycia tej drogi:

Tutaj s(t 1 , t 2)- ścieżka w czasie od t 1 zanim t 2 i odpowiednio, s(t 0 , t 2)- ścieżka w czasie od t 0 zanim t 2 I s(t 0 , t 2)- ścieżka w czasie od t 0 zanim t 1.

Wektor średniej prędkości lub po prostu średnia prędkość, jak podano powyżej, to

Należy pamiętać, że jest to przede wszystkim wektor, jego moduł – modułu wektora średniej prędkości nie należy mylić ze średnią wartością modułu wektora prędkości. W ogólnym przypadku nie są one równe: moduł średniego wektora wcale nie jest równy średniemu modułowi tego wektora. Dwie operacje: obliczenie modułu i obliczenie średniej w ogólnym przypadku nie mogą być zamieniane.

Spójrzmy na przykład. Niech punkt porusza się w jednym kierunku. Na ryc. 2.6. pokazuje wykres przebytej drogi S w od czasu (w czasie od 0 zanim T). Używając fizycznego znaczenia prędkości, użyj tego wykresu, aby znaleźć moment, w którym chwilowa prędkość jest równa średniej prędkości względem ziemi w pierwszych sekundach ruchu punktu.

Ryż. 2.6. Wyznaczanie prędkości chwilowej i średniej ciała

Moduł prędkości w zadanym czasie

będąc pochodną ścieżki po czasie, jest równy współczynnikowi kątowemu wychylenia do wykresu zależności punktu odpowiadającego momentowi czasu T*. Średni moduł prędkości w okresie od 0 zanim T* jest współczynnikiem kątowym siecznej przechodzącej przez punkty tego samego wykresu odpowiadające początkowi t = 0 i koniec t = t* Przedział czasowy. Musimy znaleźć taki moment w czasie T*, gdy oba nachylenia się pokrywają. Aby to zrobić, narysuj linię prostą przez początek układu współrzędnych, styczną do trajektorii. Jak widać z rysunku, punkt styczności tego prostego wykresu wynosi s(t) i daje T*. W naszym przykładzie okazuje się

Pięć minut:Prawo ruchu punktu jest określone przez równania

x=2m/s*t; y=2m/s*t-1m/s 2 *t 2

Znajdź współrzędne punktu dla czasów 0, 0,5 s, 1 s, 1,5 s, 2 s. Zaznacz położenie punktu w układzie Współrzędne X-Y, narysuj trajektorię, wyznacz prędkość punktu (|v|) w funkcji czasu.

Ze wzoru (1.3) wynika, że ​​prędkość dowolnego ruchu można przedstawić w wyniku dodania prędkości trzech ruchy prostoliniowe wzdłuż współrzędnych osie X, Y i Z, tj. każdy złożony ruch można przedstawić jako sumę ruchów liniowych (zasada superpozycji ruchów). Korzystając z tej zasady wyznaczamy np. wartość pierwszej prędkości ucieczki, czyli tzw. taką prędkość równoległą do powierzchni ziemi, jaką musi posiadać ciało, aby nigdy nie spadło na ziemię. Problem można rozwiązać w następujący sposób. Ruch ciała po powierzchni ziemi można przedstawić jako sumę dwóch ruchów: jednostajny ruch poziomy z prędkością rzucania v i swobodny spadek ciało do powierzchni Ziemi z przyspieszeniem g (przyspieszenie grawitacyjne).

W krótkim czasie Dt ciało przejdzie, poruszając się prostopadle do promienia Ziemi, z punktu A do punktu B (patrz rys. 1.9). W tym przypadku jego wektor promienia obróci się o pewien mały kąt β. W tym samym czasie prędkość ciała wzrośnie ∆v=g∆t wzdłuż promienia Ziemi, tj. wektor prędkości również obróci się o pewien kąt. Aby ciało mogło nadal poruszać się po powierzchni ziemi, kąt ten musi pokrywać się z kątem obrotu wektora promienia ciała. Zatem kąt obrotu wektora prędkości jest jednocześnie kątem β. Przyrównajmy tangens β znaleziony z trójkąta przemieszczenia i trójkąta prędkości:

(1.7)

Następnie wyrażamy wielkość prędkości:

Jak widać z wyprowadzenia wyrażenia na pierwszą prędkość kosmiczną, każde ciało poruszające się z tą prędkością wokół Ziemi zmienia kierunek prędkości na skutek ciągłego opadania na ziemię. a zmiana ta prowadzi do tego, że wektor prędkości jest zawsze równoległy do ​​powierzchni ziemi.

Ruch wektorem stałej prędkości nazywa się ruchem jednostajnym. Ogólnie rzecz biorąc, prędkość zmienia się zarówno pod względem wielkości, jak i kierunku.

Aby scharakteryzować szybkość zmiany prędkości, wprowadzono pojęcie przyśpieszenie. Przyspieszenie to stosunek wzrostu prędkości w nieskończenie małym przedziale czasu do tego przedziału, tj. pochodna prędkości po czasie

Wektor przyspieszenia można również rozwinąć wzdłuż osi współrzędnych:

Moduł wektora przyspieszenia jest równy:

. (1.11)

Podstawiając do (1.9) wyrażenie na prędkość jako pochodną wektora promienia ciała, otrzymujemy wyrażenie na przyspieszenie w postaci drugiej pochodnej wektora promienia po czasie:

Przykład. Wektor promienia poruszającego się punktu wyraża się następującym wyrażeniem:

Określ charakter ruchu, prędkość i przyspieszenie.

Aby określić charakter ruchu, obliczamy moduł wektora promienia:

Zatem, gdy punkt porusza się |r|-const. Możemy stwierdzić, że jest to ruch po okręgu o promieniu R ze środkiem w początku.

Obliczmy prędkość punktu:

Moduł prędkości:

Moduł prędkości również nie zmienia się w czasie, dlatego jest to ruch po okręgu ze stałym modułem prędkości.

Wyznaczmy przyspieszenie punktu:

Porównując wzory na wektor promienia punktu i jego przyspieszenie, widzimy, że wyrażają one wektory skierowane przeciwnie. Jeżeli wektor promienia jest skierowany od środka trajektorii do punktu, to wektor przyspieszenia jest kierowany od punktu do środka trajektorii. W tym przypadku moduł przyspieszenia nie zmienia się w czasie i wynosi |a|=Rω 2. Obliczmy iloczyn skalarny wektorów prędkości i przyspieszenia:

Dlatego w w tym przykładzie wektory prędkości i przyspieszenia są do siebie prostopadłe.

Ogólnie rzecz biorąc, wektory prędkości i przyspieszenia tworzą pewien rodzaj kąta. W takim przypadku wygodnie jest rozłożyć wektor przyspieszenia na dwie składowe. Jedna z nich jest równoległa (lub antyrównoległa) do wektora prędkości i nazywa się styczny składnik przyspieszenia. Drugi jest prostopadły do ​​wektora prędkości i nazywa się to normalna składnik przyspieszenia. Składowa styczna przyspieszenia wyraża zmianę modułu prędkości, a składowa normalna wyraża zmianę kierunku prędkości. W omówionym powyżej przykładzie składowa styczna przyspieszenia wynosi zero. W rezultacie prędkość zmienia się tylko w kierunku, jej moduł pozostaje niezmieniony.

W ogólnym przypadku moduł całkowitego przyspieszenia jest określony przez twierdzenie Pitagorasa:

1.3. Kinematyka ruchu obrotowego, wektor prędkości kątowej, związek prędkości liniowej z prędkością kątową punktu, wektor przyspieszenia kątowego.

Ruch po okręgu jest szczególnym, ale bardzo powszechnym rodzajem ruchu. Wprowadzono dla niego następujące dodatkowe charakterystyki kinematyczne: prędkość kątowa - ω I przyspieszenie kątowe - ε.

Wielkość prędkości kątowej w definiuje się jako stosunek przyrostu kąta - dj, o który wektor promienia punktu będzie się obracał w czasie dt, do tego przedziału czasu, tj.

Jest to całkowicie naturalna definicja. Jednakże zgodnie z (1.18) zarówno kąt obrotu, jak i prędkość kątową zdefiniowano jako wielkości wektorowe. W przyszłości przekonamy się, że taka definicja wielkości kątowych okazuje się bardzo wygodna i produktywna. Kierunek wektora kąta obrotu określa reguła prawej śruby: jeśli prawą śrubę obrócisz w kierunku dodatniego przyrostu kąta, to ruch śruby do przodu będzie wskazywał kierunek wektora przyrostu kąta.

Z podobną definicją spotkaliśmy się już dzisiaj przy definiowaniu produkt wektorowy. Rzeczywiście, jeśli wyrazimy przyrost wektora promienia punktu poruszającego się po okręgu podczas jego obrotu o kąt ∆φ, otrzymamy następujący wzór

(1.19)

Wektor prędkości liniowej ruchu punktu po okręgu z prędkością kątową ω zostanie wyznaczony na podstawie (1.19)

Trajektoria ruchu punktu materialnego przez wektor promienia

Zapomniawszy nieco o tej części matematyki, w mojej pamięci równania ruchu punktu materialnego zawsze były przedstawiane za pomocą znanej nam wszystkim zależności y(x) i patrząc na tekst problemu, byłem trochę zaskoczony, gdy zobaczyłem wektory. Okazało się, że istnieje reprezentacja trajektorii punktu materialnego za pomocą wektor promienia— wektor określający położenie punktu w przestrzeni względem jakiegoś wcześniej ustalonego punktu, zwanego początkiem.

W ten sam sposób opisano wzór na trajektorię punktu materialnego, oprócz wektora promienia orty— wektory jednostkowe ja, j, k w naszym przypadku pokrywające się z osiami układu współrzędnych. Na koniec rozważmy przykład równania trajektorii punktu materialnego (w przestrzeni dwuwymiarowej):

Co jest interesującego w tym przykładzie? Trajektorię punktu wyznaczają sinusy i cosinusy. Jak myślisz, jak będzie wyglądał wykres w znanej reprezentacji y(x)? „Prawdopodobnie coś przerażającego” – pomyślałeś, ale wszystko nie jest tak skomplikowane, jak się wydaje! Spróbujmy skonstruować trajektorię punktu materialnego y(x), jeśli porusza się on zgodnie z przedstawionym powyżej prawem:

Tutaj zauważyłem kwadrat cosinusa. Jeśli w jakimkolwiek przykładzie widzisz kwadrat sinusa lub cosinusa, oznacza to, że musisz zastosować podstawowe tożsamość trygonometryczna, co właśnie zrobiłem (druga formuła) i przekształciłem formułę współrzędnych y, tak aby zamiast sinusa podstawić do niego formułę zmiany X:

W rezultacie straszliwe prawo ruchu punktu okazało się zwyczajne parabola, których gałęzie są skierowane w dół. Mam nadzieję, że rozumiesz przybliżony algorytm konstruowania zależności y(x) z reprezentacji ruchu przez wektor promienia. Przejdźmy teraz do naszego głównego pytania: jak znaleźć wektor prędkości i przyspieszenia punktu materialnego oraz ich moduły.

Wektor prędkości punktu materialnego

Wszyscy wiedzą, że prędkość punktu materialnego to odległość przebyta przez ten punkt w jednostce czasu, czyli pochodna wzoru na prawo ruchu. Aby znaleźć wektor prędkości, należy obliczyć pochodną po czasie. Spójrzmy na konkretny przykład znajdowania wektora prędkości.

Przykład wyznaczania wektora prędkości

Mamy prawo ruchu punktu materialnego:

Teraz musisz wziąć pochodną tego wielomianu, jeśli zapomniałeś, jak to zrobić, oto ona. W rezultacie wektor prędkości będzie miał następującą postać:

Wszystko okazało się prostsze niż myślałeś, teraz znajdźmy wektor przyspieszenia punktu materialnego, korzystając z tego samego prawa przedstawionego powyżej.

Jak znaleźć wektor przyspieszenia punktu materialnego

Wektor przyspieszenia punktowego jest to wielkość wektorowa charakteryzująca zmianę w czasie wielkości i kierunku prędkości punktu. Aby znaleźć wektor przyspieszenia punktu materialnego w naszym przykładzie, należy wziąć pochodną, ​​ale ze wzoru na wektor prędkości przedstawionego tuż powyżej:

Moduł wektora prędkości punktowej

Znajdźmy teraz wielkość wektora prędkości punktu materialnego. Jak wiadomo z IX klasy modułem wektora jest jego długość, w prostokątnych współrzędnych kartezjańskich jest on równy pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów jego współrzędnych. A skąd możemy uzyskać jego współrzędne z wektora prędkości, który otrzymaliśmy powyżej, pytasz? Wszystko jest bardzo proste:

Teraz wystarczy zastąpić czas określony w zadaniu i uzyskać konkretną wartość liczbową.

Moduł wektora przyspieszenia

Jak zrozumiałeś z tego, co napisano powyżej (i z 9. klasy), znalezienie modułu wektora przyspieszenia odbywa się w taki sam sposób, jak modułu wektora prędkości: bierzemy pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów współrzędnych wektora , To proste! Oto oczywiście przykład dla Ciebie:

Jak widać, przyspieszenie punktu materialnego zgodnie z podanym powyżej prawem nie zależy od czasu i ma stałą wielkość i kierunek.

Więcej przykładów rozwiązań problemu wyznaczania wektora prędkości i przyspieszenia

A tutaj znajdziesz przykłady rozwiązań innych problemów z fizyki. A dla tych, którzy nie do końca rozumieją, jak znaleźć wektor prędkości i przyspieszenia, oto kilka kolejnych przykładów z sieci bez zbędnych wyjaśnień, mam nadzieję, że ci pomogą.

Jeśli masz jakieś pytania, możesz je zadać w komentarzach.

Na podstawie definicji prędkości można stwierdzić, że prędkość jest wektorem. Wyraża się to bezpośrednio poprzez wektor przemieszczenia związany z okresem czasu i musi mieć wszystkie właściwości wektora przemieszczenia.

Kierunek wektora prędkości, a także kierunek wektora fizycznie małego przemieszczenia wyznaczany jest z rysunku trajektorii. Można to wyraźnie zobaczyć na prostych przykładach.

Jeśli dotkniesz żelazną płytką obracającego się kamienia do ostrzenia, usunięte przez niego trociny nabiorą prędkości tych punktów kamienia, z którymi dotknęła się płyta, a następnie odlecą w kierunku wektora tej prędkości. Wszystkie punkty kamienia poruszają się po okręgach. W trakcie doświadczenia wyraźnie widać, że odrywające się gorące trociny stycznie do tych okręgów wyznaczają kierunki wektorów prędkości poszczególnych punktów obracającego się kamienia szlifierskiego.

Zwróć uwagę na umiejscowienie rur wylotowych przy obudowie odśrodkowej pompy wodnej lub przy separatorze mleka. W tych maszynach cząstki płynu zmuszane są do poruszania się po okręgach, a następnie mają możliwość wyjścia do otworu zlokalizowanego w kierunku wektora prędkości, jaką mają w momencie wyjścia. Kierunek wektora prędkości w tym momencie pokrywa się z kierunkiem stycznej do trajektorii cząstek płynu. Rura wylotowa jest również skierowana wzdłuż tej stycznej.

W ten sam sposób zapewniają uzysk cząstek we współczesnych akceleratorach elektronów i protonów podczas badań jądrowych.

Jesteśmy zatem przekonani, że kierunek wektora prędkości jest określony przez trajektorię ciała. Wektor prędkości jest zawsze skierowany wzdłuż stycznej do trajektorii w punkcie, przez który przechodzi poruszające się ciało.

Aby określić, w którym kierunku wzdłuż stycznej skierowany jest wektor prędkości i jaka jest jego wielkość, należy zwrócić się do prawa ruchu. Załóżmy, że prawo ruchu wyraża wykres pokazany na ryc. 1,54. Weźmy przyrost długości ścieżki odpowiadający małemu wektorowi, na podstawie którego wyznaczany jest wektor prędkości. Pamiętajmy, że Znak wskazuje

kierunek ruchu po trajektorii, a tym samym określa orientację wektora prędkości wzdłuż stycznej. Oczywiście moduł prędkości zostanie określony poprzez moduł przyrostu długości ścieżki.

Zatem wielkość wektora prędkości i orientację wektora prędkości wzdłuż stycznej do trajektorii można wyznaczyć z zależności

Oto wielkość algebraiczna, której znak wskazuje, w jakim kierunku wektor prędkości jest skierowany wzdłuż stycznej do trajektorii.

Jesteśmy zatem przekonani, że wielkość wektora prędkości można znaleźć na podstawie wykresu prawa ruchu. Stosunek określa nachylenie a stycznej na tym wykresie. Nachylenie stycznej na wykresie prawa ruchu będzie tym większe, im większe, czyli im większa prędkość ruchu w wybranym momencie.

Jeszcze raz zwróćmy uwagę na fakt, że do pełnego określenia prędkości wymagana jest jednoczesna znajomość trajektorii i prawa ruchu. Rysunek trajektorii pozwala określić kierunek prędkości, a wykres prawa ruchu pozwala określić jej wielkość i znak.

Jeśli teraz ponownie przejdziemy do definicji ruchu mechanicznego, przekonamy się, że po wprowadzeniu pojęcia prędkości dla pełny opis jakikolwiek ruch, nic więcej nie jest potrzebne. Korzystając z pojęć wektora promienia, wektora przemieszczenia, wektora prędkości, długości ścieżki, trajektorii i prawa ruchu, możesz uzyskać odpowiedzi na wszystkie pytania związane z określeniem cech dowolnego ruchu. Wszystkie te pojęcia są ze sobą powiązane, a znajomość trajektorii i prawa ruchu pozwala znaleźć dowolną z tych wielkości.