UKD 517.17+517.51
OKRES SUMY DWÓCH FUNKCJI OKRESOWYCH
A/O. Ewnin
Praca całkowicie rozwiązuje pytanie, jaki może być okres główny funkcji okresowej, będącej sumą dwóch funkcji okresowych o znanych okresach głównych. Badany jest także przypadek braku okresu głównego dla sumy funkcji okresowych.
Rozważamy funkcje zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych. W wydaniu encyklopedycznym w artykule „Funkcje okresowe” można przeczytać: „Suma funkcji okresowych o różnych okresach jest okresowa tylko wtedy, gdy ich okresy są współmierne”. To stwierdzenie jest prawdziwe dla funkcje ciągłe 1, ale nie występuje w przypadku ogólnym. Kontrprzykład bardzo ogólnej formy został skonstruowany w . W tym artykule dowiemy się, jaki może być okres główny funkcji okresowej, będącej sumą dwóch funkcji okresowych o znanych okresach głównych.
Wstępne informacje
Przypomnijmy, że funkcja / nazywa się okresową, jeśli dla pewnej liczby T F O dla dowolnego x z dziedziny definicji D(f) liczby x + T i x - T należą do D(f), a równości f(x + T) = f(x) =f(x ~ T). W tym przypadku liczbę Г nazywa się okresem funkcji.
Najmniejszy dodatni okres funkcji (jeśli oczywiście istnieje) nazwiemy okresem głównym. Znany jest następujący fakt.
Twierdzenie 1. Jeśli funkcja ma główny okres To, to dowolny okres funkcji ma postać nTo, gdzie n Ф 0 jest liczbą całkowitą.
Mówi się, że liczby T\ i T2 są współmierne, jeśli istnieje liczba T0, która pasuje zarówno do T\, jak i T2 liczbę całkowitą razy: T\ = T2 = n2T0, n2e Z. W przeciwnym razie liczby T\ i T2 są nazwać niewspółmiernym. Współmierność (niewspółmierność) okresów oznacza zatem, że ich stosunek jest liczbą wymierną (niewymierną).
Z Twierdzenia 1 wynika, że dla funkcji, która ma okres podstawowy, dowolne dwa okresy są proporcjonalne.
Klasycznym przykładem funkcji, która nie ma najmniejszego okresu, jest funkcja Dirichleta, która w punktach wymiernych wynosi 1, a w punktach niewymiernych zero. Każdy Liczba wymierna, różny od zera, jest okresem funkcji Dirichleta, a każda liczba niewymierna nie jest jej okresem. Jak widzimy, również tutaj dowolne dwa okresy są porównywalne.
Podajmy przykład niestałej funkcji okresowej, która ma niewspółmierne okresy.
Niech funkcja /(x) będzie równa 1 w punktach postaci /u + la/2, m, n e Z i równa
zero. Wśród okresów tej funkcji znajdują się 1 i l
Okres sumy funkcji o proporcjonalnych okresach
Twierdzenie 2. Niech fug będzie funkcjami okresowymi z okresami głównymi mT0 i „To, gdzie typ
Wzajemnie liczby pierwsze. Następnie główny okres ich sumy (jeśli istnieje) jest równy -
gdzie k - Liczba naturalna, względnie pierwsze do liczby tn.
Dowód. Niech h = / + g. Oczywiście liczba mnT0 jest okresem h. Na mocy
z Twierdzenia 1, okres główny h ma postać, gdzie k jest pewną liczbą naturalną. Prawdopodobnie
Załóżmy, że k nie jest liczbą pierwszą względnie pierwszą, czyli k - dku m = dm\, gdzie d> 1 jest najbardziej
1 Piękny dowód na to, że suma any skończoną liczbą funkcje ciągłe z okresami niewspółmiernymi parami są nieokresowe, zawarte w artykule Zobacz także.
większy wspólny dzielnik liczb m i k. Wtedy okres funkcji k jest równy
oraz funkcja f=h-g
ma okres mxnTo, który nie jest wielokrotnością jego głównego okresu mTQ. Otrzymuje się sprzeczność z Twierdzeniem 1. Oznacza to, że k jest względnie pierwsze z m. Podobnie liczby k i n są względnie pierwsze. Zatem A: jest względnie pierwsze z m. □
Twierdzenie 3. Niech m, n i k będą liczbami względnie pierwszymi parami, a T0 będzie liczbą dodatnią. Istnieją wówczas funkcje okresowe fug takie, że główne okresy f, g i (f + g) wynoszą
jesteśmy odpowiednio tT$, nTQ i -
Dowód. Dowód twierdzenia będzie konstruktywny: po prostu skonstruujemy odpowiedni przykład. Sformułujmy najpierw następujący wynik. Oświadczenie. Niech m będzie liczbami względnie pierwszymi. Następnie funkcje
fx - cos- + cos--- i f2= cos- m n m
cos- mają okres podstawowy 2ktp. P
Dowód oświadczenia. Oczywiście liczba 2ptn jest okresem obu funkcji. Łatwo możesz sprawdzić, że ten okres jest okresem głównym dla funkcji.Wyznaczmy jej maksymalne punkty.
x = 2 lM, te Z.
Mamy = n!. Z wzajemnej prostoty typu wynika, że 5 jest wielokrotnością /r, tj. ja = ja mi b. Oznacza to, że /x(x) = 2 o x = 2mstp1,1 e 2, a odległość pomiędzy sąsiednimi punktami maksimum funkcji /\ jest równa 2ktp, a okres dodatni /1 nie może być mniejszy niż liczba 2 spp .
W przypadku funkcji stosujemy rozumowanie innego rodzaju (które jest również odpowiednie dla funkcji ale
mniej elementarne). Jak pokazuje Twierdzenie 1, okres główny Г funkcji/2 ma postać -,
gdzie k jest liczbą naturalną względnie pierwszą do wpisania. Liczba G będzie jednocześnie okresem funkcji
(2 ^ 2 xn g t t /2 + /2 = - -1 sałata
których wszystkie okresy mają postać 2pp1. Więc,
2nnl, tj. t = kl. Ponieważ t i k są wzajemnie
sty, wynika z tego, że k = 1.
Teraz, aby udowodnić Twierdzenie 3, możemy skonstruować wymagany przykład. Przykład. Niech m, n i k będą parami względnie pierwszymi liczbami i przynajmniej jedna z liczb n lub k jest różna od 1. Wtedy pf k i na mocy udowodnionego stwierdzenia funkcji
/ (x) = cos--- + koszt do
I g(x) = cos-cos – p do
mają główne okresy odpowiednio 2 ltk i 2 tk oraz ich sumę
k(x) = f(x) + = cos- + cos-
główny okres wynosi 2 ttp.
Jeżeli n = k = 1, wówczas wystarczy para funkcji
f(x)-2 cos- + COS X i g(x) - COS X. m
Ich główne okresy, jak i okres funkcji k(x) - 2, wynoszą odpowiednio 2lm, 2/gi 2type.
jak łatwo to sprawdzić.
Matematyka
Oznaczmy T = 2lx. Dla dowolnych par liczb względnie pierwszych mn, n i k funkcje f i £ są oznaczone w taki sposób, że główne okresy funkcji f, g i f + g są równe mT, nT i
Warunki twierdzenia spełniają funkcje / - n;
Okres sumy funkcji o niewspółmiernych okresach
Następne stwierdzenie jest niemal oczywiste.
Twierdzenie 4. Niech fug będą funkcjami okresowymi o niewspółmiernych okresach głównych T) i T2, a suma tych funkcji h = f + g jest okresowa i ma okres główny T. Wtedy liczba T nie jest współmierna ani z T], ani z T2.
Dowód. Z jednej strony, jeśli liczby TnT) są współmierne, to funkcja g = h-f ma okres równy Г]. Natomiast na mocy Twierdzenia 1 dowolny okres funkcji g jest wielokrotnością liczby T2. Otrzymujemy sprzeczność z niewspółmiernością liczb T\ i T2. W podobny sposób udowadnia się niewspółmierność liczb T i T2, d
Godnym uwagi, a nawet nieco zaskakującym faktem jest to, że prawdą jest także odwrotność Twierdzenia 4. Istnieje powszechne błędne przekonanie, że suma dwóch funkcji okresowych o niewspółmiernych okresach nie może być funkcją okresową. W rzeczywistości tak nie jest. Ponadto okresem sumy może być dowolna liczba dodatnia, która spełnia stwierdzenie Twierdzenia 4.
Twierdzenie 5. Niech T\, T2 i T~ będą parami niewspółmiernymi liczbami dodatnimi. Istnieją wówczas funkcje okresowe fug takie, że ich suma h =/+ g jest okresowa, a główne okresy funkcji f guh są równe odpowiednio Th T2 i T.
Dowód. Dowód znów będzie konstruktywny. Nasze konstrukcje będą w istotny sposób zależeć od tego, czy liczba T jest reprezentowalna, czy nie, w postaci kombinacji wymiernej T = aT\ + pT2 (a i P są liczbami wymiernymi) okresów T\ i T2.
I. T nie jest racjonalną kombinacją Tg i J2-
Niech A = (mT\ + nT2 + kT\m,n, k ∈ Z) będzie zbiorem całkowitych kombinacji liniowych liczb T1 T2 i T. Zauważmy od razu, że jeśli liczbę można przedstawić w postaci mT\ + nT2 + kT, to taka reprezentacja jest unikalna. Rzeczywiście, jeśli mxT\ + n\Tg + k\T- m2Tx + n2T2 + k2T9 to
(k) - k2)T - (ot2 - m\)T] + (n2 - π)Тъ i dla k\ * k2 otrzymujemy, że T jest racjonalnie wyrażone poprzez T] i T2. Oznacza to k\ = k2. Teraz z niewspółmierności liczb T\ i T2 natychmiast otrzymuje się równości m\ = m2 i u = n2.
Istotnym faktem jest, że zbiór A i jego uzupełnienie A są domknięte przez dodanie liczb z A: jeśli x e A i y e A, to x + y e A; jeśli x e A i y e A, to x + y e A.
Załóżmy, że we wszystkich punktach zbioru A funkcje / i g są równe zero, a na zbiorze A definiujemy te funkcje następująco:
f(mTi + nT2 + kT) = nT2 + kT g(mT1 + nT2 + kT) - gnT\ - kT.
Ponieważ, jak pokazano, z liczby x e A współczynniki m, szczyt kombinacji liniowej okresów T1, T2 i T są odtwarzane w sposób jednoznaczny, wskazane przypisania funkcji / i g są prawidłowe.
Funkcja h =/ + g na zbiorze A jest równa zeru, a w punktach zbioru A jest równa
h(mT\ + nT2 + kT) - mT\ + nT2.
Przez bezpośrednie podstawienie łatwo sprawdzić, że liczba T\ jest okresem funkcji f, liczba T2 jest okresem g, a T~ jest okresem h. Pokażmy, że te okresy są główne.
Po pierwsze zauważamy, że dowolny okres funkcji / należy do zbioru A. Rzeczywiście,
jeśli 0 fx w A,y e A, to wół + y e A i f(x + y) = 0 *f(x). Oznacza to, że y e A nie jest okresem funkcji /
Niech teraz x2 będzie liczbami nierównymi i f(x 1) ~f(x2). Z definicji funkcji / otrzymujemy stąd, że x\ - x2 = 1Т gdzie I jest pewną niezerową liczbą całkowitą. Zatem dowolny okres funkcji jest wielokrotnością T\. Zatem Tx jest tak naprawdę głównym okresem/
W ten sam sposób sprawdzane są stwierdzenia dotyczące T2 i T.
Komentarz. W książce na str. 172-173 podana jest kolejna ogólna konstrukcja dla przypadku I.
II. T jest racjonalną kombinacją T\ i T2.
Przedstawmy racjonalną kombinację okresów T\ i T2 w postaci Г = - (кхТх + к2Т2), gdzie кх i
liczby całkowite k2 ™ względnie pierwsze, k(Γ\ + k2T2 > 0, a/? i d są liczbami naturalnymi. Wprowadźmy leZ>.
reni zestaw B----
Załóżmy, że we wszystkich punktach zbioru B funkcje f i g są równe zeru, a na zbiorze B definiujemy te funkcje następująco:
^ mT\ + nT2 L I
Bibliografia ^ mTx + nT2 L
Tutaj, jak zwykle, [x] i (x) oznaczają odpowiednio część całkowitą i ułamkową liczb. Funkcja k =/+ d na zbiorze B jest równa zeru, a w punktach zbioru B jest równa
fmTx +pT: l H
Przez bezpośrednie podstawienie łatwo sprawdzić, że liczba Tx jest okresem funkcji /, liczba T2 jest okresem g, a T jest okresem h. Pokażmy, że te okresy są główne.
Do zbioru B należy dowolny okres funkcji /. Rzeczywiście, jeśli 0 * x e B, y e B, to f(x) Ф 0, j(x + y) = 0 */(*)■ Zatem y e B _ Nie okres funkcjonowania/
Zatem każdy okres funkcji / ma postać Тy =
Gdzie 5i i 52 są liczbami całkowitymi. Pozwalać
x = -7] 4- -Г2, x e 5. Jeśli i = 0, to f(i) jest liczbą wymierną. Teraz z racjonalności liczby /(x + 7)) wynika równość -I - I - 0. Oznacza to, że mamy równość 52 = Xp, gdzie X jest pewną liczbą całkowitą
numer. Relacja /(x + 7)) = /(x) przyjmuje postać
^P + ja + ja w +
Ta równość musi obowiązywać dla wszystkich typów całkowitych. W t-n~ 0 prawa strona (1) jest równa
do zera. Ponieważ części ułamkowe są nieujemne, otrzymujemy z tego, że -<0, а при
m = n = d - ] suma części ułamkowych po prawej stronie równości (1) jest nie mniejsza niż suma części ułamkowych h-X
te po lewej stronie. Oznacza to - >0. Zatem X = 0 i 52 = 0. Zatem okres funkcji / ma postać
i równość (1) staje się
n\ | i 52 to liczby całkowite. Z relacji
th(0) = 0 = th(GA) =
stwierdzamy, że liczby 51 i ^ muszą być wielokrotnościami p, tj. dla niektórych liczb całkowitych Ax i A2 mamy 51 = A\p, E2 = A2p. Wówczas relację (3) można zapisać jako
Z równości A2kx = k2A\ i względnej liczby pierwszej liczb k\ i k2 wynika, że A2 jest podzielne przez k2. Stąd
dla pewnej liczby całkowitej t obowiązują równości A2 = k2t i Ax ~ kxt, tj. Th ~-(kxTx + k2T2).
Pokazujemy, że dowolny okres funkcji h jest wielokrotnością okresu T = - (k(Gx + k2T2)9, co zatem
zom, jest głównym. □
Brak okresu głównego
Twierdzenie 6. Niech Tx i T2~ będą dowolnymi liczbami dodatnimi. Istnieją wówczas funkcje okresowe fug takie, że ich okresy główne są równe odpowiednio T\ i T2, a ich suma h=f+g jest okresowa, ale nie ma okresu głównego.
Dowód. Rozważmy dwa możliwe przypadki.
I. Okresy Tx i T2 są niewspółmierne.
Niech A = + nT2 +kT\ . Jak wyżej, łatwo pokazać, że jeśli liczba
można przedstawić w postaci mTx + nT2 + kT, wówczas taka reprezentacja jest jednoznaczna.
Załóżmy, że we wszystkich punktach zbioru A funkcje / i g są równe zero, a na zbiorze A definiujemy te funkcje następująco:
/z; + nT2 + kT) = nT2 + kT, g(mTx + nT2 + kT) = mTx - kT.
Łatwo sprawdzić, że liczba Tx jest okresem głównym funkcji /, liczba T2 jest okresem głównym g, a dla dowolnego wymiernego k liczba kT jest okresem funkcji h – f + g, co dlatego nie ma najmniejszego okresu.
II. Okresy Tx i T2 są porównywalne.
Niech Tx = mT0, T2 = nT0, gdzie T0 > O, m i n są liczbami naturalnymi. Wprowadźmy pod uwagę zbiór I = +.
Załóżmy, że we wszystkich punktach zbioru B funkcje fug są równe zero, a na zbiorze B definiujemy te funkcje następująco:
/((/ + ShT0) = Szch + Jit, g((/ + 4lk)T0) - Szch - 42 tys.
Funkcja h ~ / + g na zbiorze B jest równa zeru, a w punktach zbioru B jest równa
Łatwo sprawdzić, że liczba 7j = mTQ jest głównym okresem funkcji /, liczba T2 ~ nT0 jest głównym okresem g, natomiast wśród okresów funkcji h~ f + g znajdują się wszystkie liczby postać l/2kT0, gdzie k jest dowolną liczbą wymierną. □
Konstrukcje potwierdzające Twierdzenie 6 opierają się na niewspółmierności okresów funkcji h~ / + g z okresami funkcji / i g. Podsumowując, podamy przykład funkcji fug takiej, że wszystkie okresy funkcji /, g i / + g są sobie współmierne, ale / i g mają okresy podstawowe, natomiast f + g nie.
Niech m będzie jakąś ustaloną liczbą naturalną, M zbiorem nieredukowalnych ułamków niecałkowitych, których liczniki są wielokrotnościami m. Włóżmy
1 jeśli heM; 1
jeśli mZ;
EcnuxeZXmZ; 2
O w innych przypadkach; 1 jeśli xeMU
~,ifhe2 2
[Och, inaczej.
Łatwo zauważyć, że główne okresy funkcji fug są równe odpowiednio m i 1, natomiast suma / + g ma okres dowolnej liczby postaci m/n, gdzie n jest dowolną liczbą naturalną względnie pierwszą M.
Literatura
1. Matematyczny słownik encyklopedyczny/Rozdz. wyd. Yu.V. Prochorow - M.: Sow. encyklopedia, 1988.
2. Mikaelyan L.V., Sedrakyan N.M. O okresowości sumy funkcji okresowych.//Edukacja matematyczna. - 2000 r. - nr 2(13). - s. 29-33.
3. Gerenshtein A.B., Evnin A.Yu. O sumie funkcji okresowych // Matematyka w szkole. -2002. - nr 1. - s. 68-72.
4. Ivlev B.M. i inne Zbiór zadań z algebry i zasad analizy dla klas 9 i 10. - M.: Edukacja, 1978.
Cel: podsumować i usystematyzować wiedzę uczniów na temat „Okresowości funkcji”; kształcić umiejętności stosowania własności funkcji okresowej, znajdowania najmniejszego dodatniego okresu funkcji, konstruowania wykresów funkcji okresowych; promowanie zainteresowania studiowaniem matematyki; pielęgnuj obserwację i dokładność.
Wyposażenie: komputer, rzutnik multimedialny, karty zadań, zjeżdżalnie, zegary, tablice ozdobne, elementy rzemiosła ludowego
„Matematyka jest tym, czego ludzie używają do kontrolowania natury i siebie”.
JAKIŚ. Kołmogorow
Podczas zajęć
I. Etap organizacyjny.
Sprawdzanie gotowości uczniów do zajęć. Podaj temat i cele lekcji.
II. Sprawdzanie pracy domowej.
Najczęściej sprawdzamy zadania domowe na podstawie próbek trudne chwile Podyskutujmy.
III. Generalizacja i systematyzacja wiedzy.
1. Praca czołowa ustna.
Zagadnienia teorii.
1) Utwórz definicję okresu funkcji
2) Podaj najmniejszy dodatni okres funkcji y=sin(x), y=cos(x)
3). Jaki jest najmniejszy dodatni okres funkcji y=tg(x), y=ctg(x)
4) Za pomocą okręgu udowodnij poprawność zależności:
y=grzech(x) = grzech(x+360°)
y=cos(x) = cos(x+360°)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180°)
tg(x+π n)=tgx, n € Z
ctg(x+π n)=ctgx, n € Z
grzech(x+2π n)=sinx, n € Z
cos(x+2π n)=cosx, n € Z
5) Jak wykreślić funkcję okresową?
Ćwiczenia ustne.
1) Udowodnij następujące zależności
A) grzech(740°) = grzech(20°)
B) cos(54°) = cos(-1026°)
C) grzech(-1000°) = grzech(80°)
2. Udowodnij, że kąt 540° jest jednym z okresów funkcji y= cos(2x)
3. Udowodnić, że kąt 360° jest jednym z okresów funkcji y=tg(x)
4. Przekształć te wyrażenia tak, aby kąty w nich zawarte nie przekraczały wartości bezwzględnej 90°.
A) tg375°
B) ctg530°
C) grzech1268°
D) cos(-7363°)
5. Gdzie spotkałeś się ze słowami OKRES, OKRESOWOŚĆ?
Odpowiedzi uczniów: Okres w muzyce to struktura, w której prezentowana jest mniej lub bardziej kompletna myśl muzyczna. Okres geologiczny jest częścią ery i dzieli się na epoki trwające od 35 do 90 milionów lat.
Okres półtrwania substancji radioaktywnej. Ułamek okresowy. Periodyki to publikacje drukowane, ukazujące się w ściśle określonych terminach. Układ okresowy Mendelejew.
6. Rysunki przedstawiają fragmenty wykresów funkcji okresowych. Wyznacz okres funkcji. Wyznacz okres funkcji.
Odpowiedź: T=2; T=2; T=4; T=8.
7. Gdzie w swoim życiu spotkałeś się z konstrukcją elementów powtarzalnych?
Odpowiedź studenta: Elementy zdobnictwa, sztuka ludowa.
IV. Wspólne rozwiązywanie problemów.
(Rozwiązywanie problemów na slajdach.)
Rozważmy jeden ze sposobów badania funkcji okresowości.
Metoda ta pozwala uniknąć trudności związanych z udowodnieniem, że dany okres jest najmniejszy, a także eliminuje potrzebę poruszania pytań o działania arytmetyczne na funkcjach okresowych i okresowość funkcji zespolonej. Rozumowanie opiera się wyłącznie na definicji funkcji okresowej i na następującym fakcie: jeśli T jest okresem funkcji, to nT(n?0) jest jej okresem.
Zadanie 1. Znajdź najmniejszy dodatni okres funkcji f(x)=1+3(x+q>5)
Rozwiązanie: Załóżmy, że okres T tej funkcji. Wtedy f(x+T)=f(x) dla wszystkich x € D(f), tj.
1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)
Postawmy x=-0,25 i otrzymamy
(T)=0<=>T=n, n € Z
Otrzymaliśmy, że wszystkie okresy danej funkcji (jeśli istnieją) należą do liczb całkowitych. Wybierzmy najmniejszą liczbę dodatnią spośród tych liczb. Ten 1 . Sprawdźmy, czy rzeczywiście będzie to okres 1 .
f(x+1) =3(x+1+0,25)+1
Ponieważ (T+1)=(T) dla dowolnego T, to f(x+1)=3((x+0,25)+1)+1=3(x+0,25)+1=f(x ), tj. 1 – okres f. Ponieważ 1 jest najmniejszą ze wszystkich dodatnich liczb całkowitych, wówczas T=1.
Zadanie 2. Pokaż, że funkcja f(x)=cos 2 (x) jest okresowa i znajdź jej okres główny.
Zadanie 3. Znajdź okres główny funkcji
f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)
Załóżmy zatem okres T funkcji, a następnie dla dowolnego X stosunek jest ważny
sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)
Jeśli x=0, to
grzech(1,5T)+5cos(0,75T)=sin0+5cos0
grzech (1,5 T) + 5 cos (0,75 T) = 5
Jeśli x=-T, to
sin0+5cos0=sin(-1,5T)+5cos0,75(-T)
5= – grzech(1,5T)+5cos(0,75T)
| grzech (1,5 T) + 5 cos (0,75 T) = 5 – sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5 |
Dodając to otrzymujemy:
10 cos (0,75 T) = 10
2π n, n € Z
Spośród wszystkich „podejrzanych” liczb dla okresu wybierzmy najmniejszą liczbę dodatnią i sprawdźmy, czy jest to okres dla f. Ten numer
f(x+)=sin(1,5x+4π)+5cos(0,75x+2π)= sin(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x)
Oznacza to, że jest to okres główny funkcji f.
Zadanie 4. Sprawdźmy, czy funkcja f(x)=sin(x) jest okresowa
Niech T będzie okresem funkcji f. Następnie dla dowolnego x
grzech|x+Т|=grzech|x|
Jeżeli x=0, to sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т=π n, n € Z.
Załóżmy. Że dla pewnego n liczba π n jest okresem
rozważana funkcja π n>0. Wtedy grzech|π n+x|=grzech|x|
Oznacza to, że n musi być zarówno liczbą parzystą, jak i nieparzystą, ale jest to niemożliwe. Zatem funkcja ta nie jest okresowa.
Zadanie 5. Sprawdź, czy funkcja jest okresowa
f(x)= 
Niech T będzie okresem f
, stąd sinT=0, Т=π n, n € Z. Załóżmy, że dla pewnego n liczba π n jest rzeczywiście okresem tej funkcji. Wtedy liczbą 2π n będzie okres
Ponieważ liczniki są równe, ich mianowniki są więc równe
Oznacza to, że funkcja f nie jest okresowa.
Praca w grupach.
Zadania dla grupy 1.
Zadania dla grupy 2.
Sprawdź, czy funkcja f jest okresowa i znajdź jej okres podstawowy (jeśli istnieje).
f(x)=cos(2x)+2sin(2x)
Zadania dla grupy 3.
Na zakończenie pracy grupy prezentują swoje rozwiązania.
VI. Podsumowanie lekcji.
Odbicie.
Nauczyciel rozdaje uczniom karty z rysunkami i prosi o pokolorowanie części pierwszego rysunku zgodnie z tym, na ile ich zdaniem opanowali metody badania funkcji na okresowość, a części drugiego rysunku – zgodnie z ich wkład w pracę na lekcji.
VII. Praca domowa
1). Sprawdź, czy funkcja f jest okresowa i znajdź jej okres podstawowy (jeśli istnieje)
B). f(x)=x 2 -2x+4
C). f(x)=2tg(3x+5)
2). Funkcja y=f(x) ma okres T=2 i f(x)=x 2 +2x dla x € [-2; 0]. Znajdź wartość wyrażenia -2f(-3)-4f(3,5)
Literatura/
- Mordkovich A.G. Algebra i początki analizy z pogłębioną nauką.
- Matematyka. Przygotowanie do jednolitego egzaminu państwowego. wyd. Łysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
- Szeremietiewa T.G. , Tarasova E.A. Algebra i analiza początkowa dla klas 10-11.
W zwyczajnym zadania szkolne udowodnić okresowość tej czy innej funkcji zwykle nie jest trudne: aby więc upewnić się, że funkcja $y=sin\frac34 x+sin\frac27 x$ jest okresowa, wystarczy po prostu zauważyć, że iloczyn $T=4\times7\ razy 2\pi$ to jego okres: jeśli dodamy liczbę T do x, to iloczyn ten „pochłonie” oba mianowniki i pod znakiem sinusa będą zbędne jedynie całkowite wielokrotności $2\pi$, czyli „ zjedzony” przez sam sinus.
Ale dowód na nieokresowość tej czy innej funkcji bezpośrednio z definicji może wcale nie być proste. Zatem, aby udowodnić nieokresowość rozpatrywanej powyżej funkcji $y=\sin x^2$, można zapisać równość $sin(x+T)^2=\sin x^2$, ale nie rozwiązywać to z przyzwyczajenia równanie trygonometryczne, i zgadnij, czy podstawić do niego x=0, po czym reszta zadziała prawie automatycznie: $\sin T^2=0$, $T^2=k\pi$, gdzie k jest liczbą całkowitą większą od 0, tj. . $T=\sqrt (k\pi)$ i jeśli teraz domyślimy się podstawić do niego $x=\sqrt (\pi)$, okaże się, że $\sin(\sqrt(\pi)+\sqrt( k\ pi))=0$, skąd $\sqrt(\pi)+\sqrt(k\pi)=n\pi$, $1+\sqrt(k)=n\sqrt(\pi)$, $1+ k+ 2\sqrt(k)=n^2\pi$, $2\sqrt(k)=n^2\pi-1-k=n^2\pi=m$, $4k=n^4(\pi ) ^2+2mn^2x+m^2$, a zatem liczba p jest pierwiastkiem równania $n^4x^2+2mn^2\pi+m^2-4k=0$, czyli jest algebraiczne, co nie jest prawdą: $\pi$ jest, jak wiemy, przestępne, tj. nie jest pierwiastkiem żadnego równania algebraicznego o współczynnikach całkowitych. Jednak w przyszłości otrzymamy znacznie prostszy dowód tego twierdzenia - ale za pomocą analizy matematycznej.
Przy dowodzie nieokresowości funkcji często pomaga elementarny chwyt logiczny: jeśli wszystkie funkcje okresowe mają jakąś własność, a dana funkcja jej nie ma, to w sposób naturalny nie jest okresowy. Zatem funkcja okresowa przyjmuje dowolną wartość nieskończenie wiele razy i dlatego np. funkcja $y=\frac(3x^2-5x+7)(4x^3-x+2)$ nie jest okresowa, gdyż wartość wynosi 7, akceptuje tylko w dwóch punktach. Często, aby udowodnić nieokresowość, wygodnie jest skorzystać z jego funkcji dziedzina definicji, a aby znaleźć pożądaną właściwość funkcji okresowych, czasami trzeba wykazać się wyobraźnią.
Zauważmy też, że bardzo często na pytanie, czym jest funkcja nieokresowa, można usłyszeć odpowiedź w stylu, o którym mówiliśmy w związku z funkcje parzyste i nieparzyste, ma miejsce wtedy, gdy $f(x+T)\neq f(x)$, co oczywiście jest niedopuszczalne.
A poprawna odpowiedź zależy od konkretnej definicji funkcji okresowej i na podstawie definicji podanej powyżej możemy oczywiście powiedzieć, że funkcja jest nieokresowa, jeśli nie ma ani jednego okresu, ale to będzie „złą” definicję, która nie wyznacza kierunku dowód na nieokresowość. A jeśli rozszyfrujemy to dalej, opisując, co oznacza zdanie „funkcja f nie ma ani jednej kropki”, czyli co oznacza, że „żadna liczba $T \neq 0$ nie jest okresem funkcji f”, to otrzymujemy, że funkcja f nie jest okresowa wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $T \neq 0$ istnieje liczba $x\in D(f)$ taka, że co najmniej jedna z liczb $x+T$ i $ x-T$ nie należy do D(f) lub $f(x+T)\neq f(x)$.
Można to powiedzieć inaczej: „Istnieje liczba $x\w D(f)$ taka, że równość $f(x+T) = f(x)$ nie jest spełniona” – ta równość może nie zachodzić dla dwóch powody: albo to nie ma sensu, tj. jedna z jego części jest niezdefiniowana lub – w przeciwnym razie – będzie niepoprawna. Dla ciekawości dodajemy, że efekt językowy, o którym mówiliśmy powyżej, objawia się także tutaj: bo równość „nie być prawdą” i „być fałszywym” to nie to samo - równość może jeszcze nie mieć znaczenia.
Szczegółowe wyjaśnienie przyczyn i konsekwencji tego skutku językowego jest bowiem przedmiotem nie matematyki, lecz teorii języka, językoznawstwa, a dokładniej jej szczególnego działu: semantyki – nauki o znaczeniu, gdzie jednak te pytania są bardzo złożone i nie mają jednoznacznego rozwiązania. A matematyka, w tym także szkolna, zmuszona jest stawić czoła tym trudnościom i przezwyciężyć „kłopoty” językowe – jednocześnie i dlatego, że posługuje się, obok symbolicznego, językiem naturalnym.
Argument x, to nazywa się go okresowym, jeśli istnieje liczba T taka, że dla dowolnego x F(x + T) = F(x). Liczba T nazywana jest okresem funkcji.
Może być kilka okresów. Na przykład funkcja F = const przyjmuje tę samą wartość dla dowolnej wartości argumentu, dlatego dowolną liczbę można uznać za jej okres.
Zwykle interesuje Cię najmniejszy niezerowy okres funkcji. W skrócie nazywa się to po prostu okresem.
Klasycznym przykładem funkcji okresowych są funkcje trygonometryczne: sinus, cosinus i tangens. Ich okres jest taki sam i równy 2π, czyli sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) i tak dalej. Jednakże, oczywiście funkcje trygonometryczne- nie są jedynymi okresowymi.
W przypadku prostych, podstawowych funkcji jedynym sposobem ustalenia, czy są one okresowe, czy nieokresowe, są obliczenia. Ale dla złożone funkcje jest już kilka proste zasady.
Jeżeli F(x) ma okres T i jest dla niego zdefiniowana pochodna, to ta pochodna f(x) = F′(x) jest także funkcją okresową z okresem T. Przecież wartość pochodnej w punkcie x jest równe tangensowi kąta stycznego wykresu funkcji pierwotnej w tym punkcie do osi x, a ponieważ funkcja pierwotna powtarza się okresowo, pochodna również musi się powtarzać. Na przykład pochodna funkcji sin(x) jest równa cos(x) i jest okresowa. Biorąc pochodną cos(x) otrzymasz –sin(x). Częstotliwość pozostaje niezmieniona.
Jednak nie zawsze jest odwrotnie. Zatem funkcja f(x) = const jest okresowa, ale jej funkcja pierwotna F(x) = const*x + C nie.
Jeżeli F(x) jest funkcją okresową o okresie T, to G(x) = a*F(kx + b), gdzie a, b i k są stałymi, a k nie jest równe zero - jest także funkcją okresową , a jego okres to T/k. Na przykład sin(2x) jest funkcją okresową, a jej okres wynosi π. Można to wizualnie przedstawić w następujący sposób: mnożąc x przez jakąś liczbę, wydaje się, że kompresujesz wykres funkcji w poziomie dokładnie tyle razy
Jeśli F1(x) i F2(x) są funkcjami okresowymi, a ich okresy są równe odpowiednio T1 i T2, to suma tych funkcji może być również okresowa. Jednak jego okres nie będzie prostą sumą okresów T1 i T2. Jeżeli wynikiem dzielenia T1/T2 jest liczba wymierna, to suma funkcji jest okresowa, a jej okres jest równy najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM) okresów T1 i T2. Na przykład, jeśli okres pierwszej funkcji wynosi 12, a okres drugiej wynosi 15, to okres ich sumy będzie równy LCM (12, 15) = 60.
Można to wizualnie przedstawić w następujący sposób: funkcje mają różne „szerokości kroków”, ale jeśli stosunek ich szerokości jest racjonalny, to prędzej czy później (a raczej właśnie poprzez LCM kroków) znów się wyrównają i ich suma rozpocznie nowy okres.
Jeśli jednak stosunek okresów jest niewymierny, wówczas funkcja całkowita w ogóle nie będzie okresowa. Na przykład niech F1(x) = x mod 2 (reszta z dzielenia x przez 2) i F2(x) = sin(x). T1 tutaj będzie równe 2, a T2 będzie równe 2π. Stosunek okresów jest równy π - Liczba niewymierna. Dlatego funkcja sin(x) + x mod 2 nie jest okresowa.
