Z przebiegu geometrii i matematyki uczniowie są przyzwyczajeni do tego, że pojęcie pochodnej jest im przekazywane poprzez obszar figury, różniczki, granice funkcji, a także granice. Spróbujmy spojrzeć na pojęcie pochodnej pod innym kątem i ustalić, w jaki sposób można powiązać pochodną z funkcją trygonometryczną.

Rozważmy więc dowolną krzywą opisaną przez funkcję abstrakcyjną y = f(x).

Wyobraźmy sobie, że wykres jest mapą trasa turystyczna. Przyrost ∆x (delta x) na rysunku oznacza pewną odległość ścieżki, a ∆y oznacza zmianę wysokości ścieżki nad poziomem morza.
Następnie okazuje się, że stosunek ∆x/∆y będzie charakteryzował złożoność trasy na każdym jej odcinku. Znając tę ​​wartość, możesz śmiało stwierdzić, czy podejście/zejście jest strome, czy będziesz potrzebować sprzętu wspinaczkowego i czy turyści potrzebują pewnego trening fizyczny. Ale ten wskaźnik będzie ważny tylko dla jednego małego przedziału ∆x.

Jeżeli organizator wycieczki przyjmie wartości dla punktów początkowego i końcowego szlaku, czyli ∆x jest równe długości trasy, to nie będzie mógł uzyskać obiektywnych danych o stopniu trudności podróży. Dlatego konieczne jest skonstruowanie kolejnego wykresu, który będzie charakteryzował prędkość i „jakość” zmian na ścieżce, czyli innymi słowy wyznaczy stosunek ∆x/∆y dla każdego „metru” trasy.

Wykres ten będzie wizualną pochodną konkretnej ścieżki i obiektywnie opisuje jej zmiany w każdym interesującym nas przedziale. Bardzo łatwo to sprawdzić; wartość ∆x/∆y jest niczym innym jak różnicą przyjętą dla określonej wartości x i y. Zastosujmy różniczkowanie nie do konkretnych współrzędnych, ale do funkcji jako całości:

Funkcje pochodne i trygonometryczne

Funkcje trygonometryczne są nierozerwalnie związane z pochodnymi. Można to zrozumieć na podstawie poniższego rysunku. Rysunek osi współrzędnych przedstawia funkcję Y = f (x) - niebieska krzywa.

K (x0; f (x0)) to dowolny punkt, x0 + ∆x to przyrost wzdłuż osi OX, a f (x0 + ∆x) to przyrost wzdłuż osi OY w pewnym punkcie L.

Narysujmy linię prostą przechodzącą przez punkty K i L i skonstruujmy prawy trójkąt KLN. Jeśli przesuniesz w myślach odcinek LN wzdłuż wykresu Y = f (x), wówczas punkty L i N będą dążyć do wartości K (x0; f (x0)). Nazwijmy ten punkt warunkowym początkiem wykresu – granicą, ale jeśli funkcja jest nieskończona, przynajmniej na jednym z przedziałów, to tendencja ta również będzie nieskończona, a jej wartość graniczna będzie bliska 0.

Naturę tej tendencji można opisać styczną do wybranego punktu y = kx + b lub wykresem pochodnej pierwotnej funkcji dy – zielonej prostej.

Ale gdzie tu jest trygonometria?! Wszystko jest bardzo proste, rozważ trójkąt prostokątny KLN. Wartość różniczkowa dla określonego punktu K jest tangensem kąta α lub ∠K:

W ten sposób możemy opisać geometryczne znaczenie pochodnej i jej związek z funkcjami trygonometrycznymi.

Wzory pochodne na funkcje trygonometryczne

Należy zapamiętać przekształcenia sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa przy wyznaczaniu pochodnej.

Dwa ostatnie wzory nie są błędem, chodzi o to, że istnieje różnica pomiędzy określeniem pochodnej prostego argumentu a funkcją o tym samym charakterze.

Spójrzmy na tabelę porównawczą ze wzorami na pochodne sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa:

Wyprowadzono także wzory na pochodne arcsine, arccosinus, arcustangens i arccotangens, chociaż są one używane niezwykle rzadko:

Warto zaznaczyć, że powyższe formuły wyraźnie nie wystarczą do pomyślnego rozwiązania typowe zadania Jednolite badanie stanu, które zostanie zademonstrowane przy rozwiązywaniu konkretnego przykładu znajdowania pochodnej wyrażenia trygonometrycznego.

Ćwiczenia: Należy znaleźć pochodną funkcji i znaleźć jej wartość dla π/4:

Rozwiązanie: Aby znaleźć y’, należy przypomnieć sobie podstawowe wzory na przekształcenie funkcji pierwotnej na pochodną, ​​a mianowicie.

Najczęściej zadawane pytania

Czy możliwe jest wykonanie stempla na dokumencie według dostarczonego wzoru? Odpowiedź Tak, to możliwe. Wyślij zeskanowaną kopię lub dobrej jakości zdjęcie na nasz adres e-mail, a my wykonamy niezbędny duplikat.

Jakie rodzaje płatności akceptujesz? Odpowiedź Za dokument możesz zapłacić przy odbiorze przez kuriera, po sprawdzeniu poprawności wypełnienia i jakości wykonania dyplomu. Można tego również dokonać w placówkach firm pocztowych oferujących usługę płatności za pobraniem.
Wszelkie warunki dostawy i płatności za dokumenty opisane są w dziale „Płatność i dostawa”. Chętnie wysłuchamy także Państwa sugestii dotyczących warunków dostawy i płatności za dokument.

Czy mogę mieć pewność, że po złożeniu zamówienia nie znikniesz z moimi pieniędzmi? Odpowiedź Mamy dość długie doświadczenie w zakresie produkcji dyplomów. Mamy kilka stron internetowych, które są stale aktualizowane. Nasi specjaliści pracują w różnych częściach kraju, wytwarzając ponad 10 dokumentów dziennie. Na przestrzeni lat nasze dokumenty pomogły wielu osobom rozwiązać problemy z zatrudnieniem lub przejść na kolejne dobrze płatna praca. Zdobyliśmy zaufanie i uznanie wśród klientów, więc nie ma powodu, abyśmy to robili. Co więcej, fizycznie nie da się tego zrobić: płacisz za swoje zamówienie, gdy otrzymasz je do rąk, nie ma przedpłaty.

Czy mogę zamówić dyplom z dowolnej uczelni? Odpowiedź Ogólnie rzecz biorąc, tak. Działamy w tej branży już prawie 12 lat. W tym czasie powstała niemal kompletna baza dokumentów wydawanych przez niemal wszystkie uczelnie w kraju i poza nim. różne lata wydanie. Wystarczy wybrać uczelnię, specjalność, dokument i wypełnić formularz zamówienia.

Co zrobić, jeśli znajdziesz literówki i błędy w dokumencie? Odpowiedź Otrzymując dokument od naszej firmy kurierskiej lub pocztowej, zalecamy dokładne sprawdzenie wszystkich szczegółów. W przypadku wykrycia literówki, błędu lub nieścisłości masz prawo nie odebrać dyplomu, ale wykryte wady musisz zgłosić osobiście kurierowi lub pisemnie, wysyłając list na adres e-mail.
Poprawimy dokument tak szybko, jak to możliwe i wyślemy go ponownie na podany adres. Oczywiście przesyłkę pokrywa nasza firma.
Aby uniknąć takich nieporozumień, przed wypełnieniem pierwotnego formularza, wysyłamy e-mailem do klienta makieta przyszłego dokumentu w celu sprawdzenia i zatwierdzenia wersji ostatecznej. Przed wysłaniem dokumentu kurierem lub pocztą wykonujemy także dodatkowe zdjęcia i filmy (m.in. w świetle ultrafioletowym), abyś miał jasny obraz tego, co ostatecznie otrzymasz.

Co zrobić, żeby zamówić dyplom w Waszej firmie? Odpowiedź Aby zamówić dokument (świadectwo, dyplom, świadectwo akademickie itp.) należy wypełnić formularz zamówienia online na naszej stronie internetowej lub podać swój adres e-mail, abyśmy mogli przesłać Państwu formularz zgłoszeniowy, który należy wypełnić i odesłać do nas.
Jeżeli nie wiesz co wpisać w którymkolwiek polu formularza zamówienia/ankiety, zostaw je puste. Dlatego wszelkie brakujące informacje wyjaśnimy telefonicznie.

Najnowsze recenzje

Torywild:

Zdecydowałem się na zakup dyplomu w Waszej firmie po przeprowadzce do innego miasta i nie mogłem znaleźć dyplomu wśród swoich rzeczy. Bez niego nie zostałbym zatrudniony do dobrej, dobrze płatnej pracy. Twój konsultant zapewnił mnie, że ta informacja nie jest ujawniana i nikt nie będzie odróżniał dokumentu od oryginału. Nie było wątpliwości, ale musiałem zaryzykować. Podobało mi się, że nie jest wymagana przedpłata. Generalnie dyplom otrzymałem w terminie i nie dałem się oszukać. Dziękuję!

Oksana Iwanowna:

Kiedy skradziono mi dyplom, bardzo się zdenerwowałem. W końcu zwolniono mnie wtedy, ale teraz mogę ich znaleźć dobra robota bez dyplomu wykształcenie wyższe prawie niemożliwe. Na szczęście sąsiad zasugerował skontaktowanie się z Twoją organizacją. Na początku byłem sceptyczny, ale zdecydowałem się zaryzykować. Zadzwoniłem do menadżera firmy i wyjaśniłem moją sytuację. I mam szczęście! Zrobili wszystko błyskawicznie, a co najważniejsze obiecali nie zdradzać mojego sekretu. Martwiłam się, że fakt, że kupiłam dyplom, nie wyjdzie później na jaw.

Masza Kutenkowa:

Dziękuję za pracę! Zamówiłem dyplom z 1991 roku. Kiedy zaczęli zbierać dokumenty, okazało się, że doświadczenia są niewielkie, potrzebowali też zaświadczenia potwierdzającego wykształcenie. Ja nie miałam, a szefowa o tym wiedziała i sama poleciła Waszą firmę (najwyraźniej nie jestem pracownikiem). Na dokumencie wskazała mi szczegóły - mówią, w jakich latach używają atramentu lub atramentu, grubość podpisu itp. Dziękuję za skrupulatność i jakość!

LenOK:

Po przeczytaniu historii o haniebnych zwolnieniach pracowników, których dyplomy wydrukowano na kolorowej drukarce, poszedłem aplikować na uczelnię. Niestety, nie ma budżetu, nie ma pieniędzy na naukę ani na opłacenie sesji, więc musiałem zaryzykować. Chociaż bardzo się cieszę, że poznałem Waszą firmę. Choć nie zostałem zatrudniony z Twoim dyplomem ze względu na niezaliczenie bloku praktycznego, to nie jest to Twoja wina. Gdy tylko znajdę nowe miejsce, bezzwłocznie przyjdę prosto do Ciebie!

Jerry Terry:

Patrząc z jakim zawstydzeniem wyrzucono mojego kolegę z pracy za fałszywy dyplom, aż strach było pójść za jego przykładem. Gdyby nie moja matka chrzestna, która u Was zamówiła, nie podjęłabym ryzyka. Zapewniła, że ​​tutaj wszystko jest w porządku, a moje nazwisko będzie wszędzie, gdzie będzie potrzebne. Miałem 4 dni na zrobienie wszystkiego. Dziękujemy za szybkość - wykonaliśmy to w 3, udało nam się też dokładnie przestudiować metody fałszowania dokumentów, ale Twój formularz nie kwalifikuje się jako podróbka, czyli będzie uchodził za oryginał.

Andriej:

Nigdy bym nie pomyślała, że ​​będę musiała kupić dyplom. Córka po szkole wyjechała do pracy do Polski, kiedy wróciła po 5 latach, chciała dostać pracę jako projektant odzieży w lokalnym domu mody. Bez dyplomu nikt nie chciał jej zatrudnić. Rozumiał, że jeśli nie dostanie tej pracy, ponownie odejdzie. Wieczór spędziłem surfując po Internecie, a rano byłem już w biurze z dokumentami córki. Tydzień później zabrał ze sobą dyplom, a ona w końcu została, aby pracować w swoim mieście na wymarzonym stanowisku. Nawet nie masz pojęcia, jak bardzo jestem Ci wdzięczny!

Pochodna po zmiennej x z cotangensu x jest równa minus jeden podzielona przez sinus kwadrat x:
(ctgx)′ =.

Wyprowadzenie wzoru na pochodną cotangens

Aby wyprowadzić wzór na pochodną cotangensu, skorzystamy z następujących faktów matematycznych:
1) Wyrażanie kotangensu w postaci cosinusa i sinusa:
(1) ;
2) Wartość pochodnej cosinus:
(2) ;
3) Wartość pochodnej sinusoidalnej:
(3) ;
4) Wzór na pochodną ilorazu:
(4) ;
5) Wzór trygonometryczny:
(5) .

Stosujemy te wzory i reguły do ​​pochodnej kotangensa.

.

W ten sposób otrzymaliśmy wzór na pochodną kotangensa.

Wzór na ułamek pochodny (4) obowiązuje dla tych wartości zmiennej x, dla których istnieją pochodne funkcji i dla których mianownik ułamka nie znika:
.
W naszym przypadku
, .
,
Ponieważ pochodne cosinusa i sinusa są określone dla wszystkich wartości zmiennej x, wzór na pochodną cotangens obowiązuje dla wszystkich x, z wyjątkiem punktów, w których sinus jest równy zero. To znaczy, z wyjątkiem punktów
gdzie jest liczbą całkowitą. Sama funkcja y = ctg x
.
zdefiniowane dla wszystkich x z wyjątkiem punktów Dlatego.

pochodną cotangens definiuje się w całym obszarze definicji funkcji cotangens

Instrumenty pochodne wyższego rzędu Sama funkcja y = Prosty wzór na pochodną n-tego rzędu kotangensa y = , NIE. Ale obliczenia pochodnych wyższego rzędu można uprościć. Sam proces można sprowadzić do.

różniczkowanie wielomianu
.
Aby to zrobić, wyrażamy pochodną kotangensu poprzez sam kotangens:
(6) .

Znaleźliśmy więc: Znajdźmy pochodne lewej i prawej strony równania (6) i zastosujmy zasadę różniczkowania funkcji zespolonej. Dostajemy:
.
pochodna drugiego rzędu
(7) .

Podstawmy (6): Znajdźmy pochodną trzeciego rzędu . W tym celu różniczkujemy równanie (7), stosujemy zasadę różniczkowania złożona funkcja
.

i użyj wyrażenia (6) dla pierwszej pochodnej: W podobny sposób znajdujemy:

;

.

pochodne czwartego i piątego rzędu Ogólnie rzecz biorąc, pochodna n-tego rzędu
.
Współczynniki tego wielomianu są powiązane relacją powtarzalności:
,
Gdzie
; ;
.

Ogólna formuła

Wyobraźmy sobie proces różnicowania za pomocą jednego wzoru. Aby to zrobić, pamiętaj o tym
.
Wtedy n-ta pochodna kotangensu ma postać:
,
Gdzie .