W liczbie googolpleksów jest więcej zer niż cząstek w znanym wszechświecie. Jak nazywa się największa liczba na świecie? Czy numer Google istnieje?

Istnieją liczby tak niewiarygodnie, niewiarygodnie duże, że nawet spisanie ich zajęłoby cały wszechświat. Ale oto, co jest naprawdę szalone... niektóre z tych niewyobrażalnie dużych liczb są kluczowe dla zrozumienia świata.

Kiedy mówię „największa liczba we wszechświecie”, naprawdę mam na myśli największą istotne liczba, maksymalna możliwa liczba, która jest w jakiś sposób użyteczna. Kandydatów do tego tytułu jest wielu, ale od razu ostrzegam: naprawdę istnieje ryzyko, że próba zrozumienia tego wszystkiego zaskoczy Cię. A poza tym, ze zbyt dużą ilością matematyki, nie będziesz się dobrze bawić.

Googol i googolplex

Edwarda Kasnera

Moglibyśmy zacząć od prawdopodobnie dwóch największych liczb, o jakich kiedykolwiek słyszeliście, i rzeczywiście są to dwie największe liczby, które mają ogólnie przyjęte definicje w język angielski. (Istnieje dość precyzyjna nomenklatura określająca liczby tak duże, jak sobie tego życzysz, ale tych dwóch liczb nie znajdziesz obecnie w słownikach.) Googol, odkąd stał się sławny na całym świecie (choć z błędami, uwaga. w rzeczywistości jest to googol ) w formie Google, powstał w 1920 roku jako sposób na zainteresowanie dzieci dużymi liczbami.

W tym celu Edward Kasner (na zdjęciu) zabrał swoich dwóch siostrzeńców, Miltona i Edwina Sirottów, na spacer po Palisades w New Jersey. Zaprosił ich do przedstawienia wszelkich pomysłów, a następnie dziewięcioletni Milton zasugerował „googol”. Nie wiadomo, skąd wziął to słowo, ale Kasner tak zdecydował lub liczba, w której po jednostce znajduje się sto zer, będzie odtąd nazywana googolem.

Ale młody Milton na tym nie poprzestał; zaproponował jeszcze większą liczbę, googolplex. Jest to liczba, według Miltona, w której na pierwszym miejscu znajduje się 1, a następnie tyle zer, ile zdołasz zapisać, zanim się znudzisz. Chociaż pomysł jest fascynujący, Kasner zdecydował, że potrzebna jest bardziej formalna definicja. Jak wyjaśnił w swojej książce Matematyka i wyobraźnia z 1940 r., definicja Miltona pozostawia otwartą ryzykowną możliwość, że przypadkowy błazen mógłby zostać matematykiem przewyższającym Alberta Einsteina tylko dlatego, że ma większą wytrzymałość.

Zatem Kasner zdecydował, że googolplex będzie wynosił , czyli 1, a następnie googol zer. W przeciwnym razie, w notacji podobnej do tej, z którą będziemy mieli do czynienia w przypadku innych liczb, powiemy, że googolplex to . Aby pokazać, jakie to fascynujące, Carl Sagan zauważył kiedyś, że zapisanie wszystkich zer googolplexu jest fizycznie niemożliwe, ponieważ we wszechświecie po prostu nie ma wystarczającej ilości miejsca. Jeśli wypełnimy całą objętość obserwowalnego Wszechświata małymi cząsteczkami pyłu o wielkości około 1,5 mikrona, wówczas liczba różnych sposobów ułożenia tych cząstek będzie w przybliżeniu równa jednemu googolpleksowi.

Z językowego punktu widzenia googol i googolplex to prawdopodobnie dwie największe liczby znaczące (przynajmniej w języku angielskim), ale, jak teraz ustalimy, istnieje nieskończenie wiele sposobów definiowania „znaczenia”.

Prawdziwy świat

Jeśli mówimy o największej liczbie znaczącej, istnieje rozsądny argument, że tak naprawdę oznacza to, że musimy znaleźć największą liczbę o wartości, która faktycznie istnieje na świecie. Możemy zacząć od obecnej populacji ludzkiej, która obecnie wynosi około 6920 milionów. Światowy PKB w 2010 roku oszacowano na około 61 960 miliardów dolarów, ale obie te liczby są nieistotne w porównaniu z około 100 bilionami komórek tworzących ludzkie ciało. Oczywiście żadnej z tych liczb nie da się porównać z całkowitą liczbą cząstek we Wszechświecie, która powszechnie uważa się za około , a liczba ta jest tak duża, że ​​w naszym języku nie ma na nią słowa.

Możemy pobawić się trochę systemami miar, zwiększając liczby. Zatem masa Słońca w tonach będzie mniejsza niż w funtach. Świetnym sposobem na osiągnięcie tego jest użycie układu jednostek Plancka, czyli najmniejszych możliwych miar, dla których nadal obowiązują prawa fizyki. Na przykład wiek Wszechświata w czasie Plancka wynosi ok. Jeśli cofniemy się do pierwszej jednostki czasu Plancka po Wielkim Wybuchu, zobaczymy, że gęstość Wszechświata wynosiła wtedy . Jest nas coraz więcej, a nawet nie dotarliśmy jeszcze do googola.

Największa liczba w jakimkolwiek zastosowaniu w świecie rzeczywistym – lub w tym przypadku w świecie rzeczywistym – to prawdopodobnie jedno z najnowszych szacunków liczby wszechświatów w wieloświecie. Liczba ta jest tak duża, że ludzki mózg dosłownie nie będzie w stanie tego wszystkiego dostrzec różne wszechświaty, ponieważ mózg jest zdolny tylko do przybliżonych konfiguracji. W rzeczywistości liczba ta jest prawdopodobnie największą liczbą, która ma jakikolwiek praktyczny sens, chyba że weźmie się pod uwagę ideę wieloświata jako całości. Jednak jest ich o wiele więcej duże liczby którzy się tam ukrywają. Aby je jednak znaleźć, musimy wejść w dziedzinę czystej matematyki, a nie ma lepszego miejsca na rozpoczęcie niż liczby pierwsze.

Liczby pierwsze Mersenne’a

Częścią wyzwania jest znalezienie dobrej definicji „znaczącej” liczby. Jednym ze sposobów jest myślenie w kategoriach liczb pierwszych i złożonych. Liczba pierwsza, jak zapewne pamiętasz ze szkolnej matematyki, to dowolna liczba naturalna (uwaga nie równa się jeden), która dzieli się tylko przez siebie. Zatem i są liczbami pierwszymi, a i są liczbami złożonymi. Oznacza to, że dowolną liczbę złożoną można ostatecznie przedstawić za pomocą jej czynników pierwszych. W pewnym sensie liczba jest ważniejsza niż, powiedzmy, , ponieważ nie można jej wyrazić w kategoriach iloczynu mniejszych liczb.

Oczywiście możemy pojechać trochę dalej. na przykład jest właściwie po prostu , co oznacza, że ​​w hipotetycznym świecie, w którym nasza wiedza o liczbach ogranicza się do , matematyk nadal może wyrazić tę liczbę . Ale następna liczba jest liczbą pierwszą, co oznacza, że ​​jedynym sposobem jej wyrażenia jest bezpośrednia wiedza o jej istnieniu. Oznacza to, że największe znane liczby pierwsze odgrywają ważną rolę, ale, powiedzmy, googol – który ostatecznie jest tylko zbiorem liczb i , pomnożone przez siebie – w rzeczywistości nie. A ponieważ liczby pierwsze są w zasadzie losowe, nie ma znanego sposobu przewidzenia, że ​​niewiarygodnie duża liczba będzie w rzeczywistości liczbą pierwszą. Odkrywanie nowych liczb pierwszych do dziś jest trudnym przedsięwzięciem.

Matematycy starożytnej Grecji mieli koncepcję liczb pierwszych co najmniej już 500 rpne, a 2000 lat później ludzie nadal wiedzieli, które liczby są pierwsze tylko do około 750. Myśliciele z czasów Euklidesa dostrzegli możliwość uproszczenia, ale tak się nie stało dopóki matematycy renesansu nie mogli go tak naprawdę zastosować w praktyce. Liczby te znane są jako liczby Mersenne’a, nazwane na cześć XVII-wiecznego francuskiego naukowca Marina Mersenne’a. Pomysł jest dość prosty: liczba Mersenne'a to dowolna liczba w postaci . Na przykład , a ta liczba jest liczbą pierwszą, to samo dotyczy .

Wyznaczanie liczb pierwszych Mersenne’a jest znacznie szybsze i łatwiejsze niż jakikolwiek inny rodzaj liczb pierwszych, a komputery ciężko pracowały, szukając ich przez ostatnie sześć dekad. Do 1952 roku największą znaną liczbą pierwszą była liczba — liczba zawierająca cyfry. W tym samym roku komputer obliczył, że jest to liczba pierwsza, a liczba ta składa się z cyfr, co czyni ją znacznie większą niż googol.

Od tamtej pory komputery poszukiwały informacji i obecnie liczba Mersenne’a jest największą liczbą pierwszą znaną ludzkości. Odkryty w 2008 roku, oznacza liczbę liczącą prawie miliony cyfr. Jest to największa znana liczba, której nie można wyrazić w postaci mniejszych liczb. Jeśli potrzebujesz pomocy w znalezieniu jeszcze większej liczby Mersenne’a, Ty (i Twój komputer) zawsze możecie dołączyć do poszukiwań na stronie http://www.mersenne.org /.

Numer Skewesa

Stanley Skews

Spójrzmy jeszcze raz na liczby pierwsze. Jak powiedziałem, zachowują się one zasadniczo źle, co oznacza, że ​​nie można przewidzieć, jaka będzie następna liczba pierwsza. Matematycy zmuszeni byli uciekać się do całkiem fantastycznych pomiarów, aby znaleźć sposób przewidywania przyszłych liczb pierwszych, nawet w jakiś mglisty sposób. Najbardziej udaną z tych prób jest prawdopodobnie funkcja liczenia liczb pierwszych, która została wynaleziona pod koniec XVIII wieku przez legendarnego matematyka Carla Friedricha Gaussa.

Oszczędzę ci więcej złożona matematyka- tak czy inaczej, mamy jeszcze wiele do zrobienia - ale istota tej funkcji jest następująca: dla dowolnej liczby całkowitej możemy oszacować, ile liczb pierwszych jest mniejszych niż . Na przykład, jeśli , funkcja przewiduje, że powinny istnieć liczby pierwsze, jeśli powinny być liczby pierwsze mniejsze niż , a jeśli , to powinny istnieć mniejsze liczby pierwsze.

Układ liczb pierwszych jest rzeczywiście nieregularny i stanowi jedynie przybliżenie rzeczywistej liczby liczb pierwszych. W rzeczywistości wiemy, że istnieją liczby pierwsze mniejsze niż , liczby pierwsze mniejsze niż , i liczby pierwsze mniejsze niż . Jest to z pewnością doskonałe oszacowanie, ale zawsze jest to tylko oszacowanie... a dokładniej oszacowanie z góry.

We wszystkich znanych przypadkach aż do , funkcja znajdująca liczbę liczb pierwszych nieznacznie zawyża rzeczywistą liczbę liczb pierwszych mniejszych niż . Matematycy kiedyś myśleli, że tak będzie zawsze, w nieskończoność, i że z pewnością będzie to dotyczyć niektórych niewyobrażalnie ogromnych liczb, ale w 1914 roku John Edensor Littlewood udowodnił, że dla jakiejś nieznanej, niewyobrażalnie ogromnej liczby funkcja ta zacznie dawać mniej liczb pierwszych , a następnie będzie przełączać się pomiędzy górnym i dolnym oszacowaniem nieskończoną liczbę razy.

Polowanie było na początek gonitw, po czym pojawił się Stanley Skewes (patrz zdjęcie). W 1933 roku udowodnił, że górną granicą, gdy funkcja aproksymująca liczbę liczb pierwszych daje najpierw mniejszą wartość, jest liczba . Trudno jest naprawdę zrozumieć, nawet w najbardziej abstrakcyjnym sensie, co ta liczba faktycznie reprezentuje, a z tego punktu widzenia była to największa liczba, jaką kiedykolwiek wykorzystano w poważnym dowodzie matematycznym. Od tego czasu matematycy byli w stanie zredukować górną granicę do stosunkowo małej liczby, ale pierwotna liczba pozostaje znana jako liczba Skewesa.

Jak duża jest liczba, która przyćmiewa nawet potężny googolplex? W The Penguin Dictionary of Curious and Interest Numbers David Wells opisuje jeden ze sposobów, w jaki matematyk Hardy był w stanie wyobrazić sobie wielkość liczby Skuse:

„Hardy uważał, że jest to „największa liczba, jaką kiedykolwiek wykorzystano w jakimkolwiek konkretnym celu w matematyce” i zasugerował, że gdyby rozgrywać partię szachów ze wszystkimi cząsteczkami wszechświata jako pionkami, jeden ruch polegałby na zamianie dwóch cząstek, a gra zakończy się, gdy ta sama pozycja zostanie powtórzona po raz trzeci, wówczas liczba wszystkich możliwych partii będzie w przybliżeniu równa liczbie Skuse.

Ostatnia rzecz, zanim przejdziemy dalej: rozmawialiśmy o mniejszej z dwóch liczb Skewesa. Istnieje jeszcze jedna liczba Skuse, którą matematyk odkrył w 1955 roku. Pierwsza liczba wynika z faktu, że prawdziwa jest tzw. hipoteza Riemanna – jest to hipoteza szczególnie trudna w matematyce, która pozostaje niepotwierdzona, bardzo przydatna w przypadku liczb pierwszych. Jeśli jednak hipoteza Riemanna jest fałszywa, Skuse stwierdził, że punkt początkowy skoków wzrasta do .

Problem wielkości

Zanim przejdziemy do liczby, która sprawia, że ​​nawet liczba Skewesa wydaje się niewielka, musimy porozmawiać trochę o skali, bo w przeciwnym razie nie będziemy w stanie ocenić, dokąd zmierzamy. Najpierw weźmy liczbę – jest to niewielka liczba, tak mała, że ​​ludzie mogą intuicyjnie zrozumieć, co ona oznacza. Bardzo niewiele liczb pasuje do tego opisu, ponieważ liczby większe niż sześć przestają być liczbami oddzielnymi i stają się „kiloma”, „wieloma” itp.

Weźmy teraz, tj. . Chociaż w rzeczywistości nie jesteśmy w stanie intuicyjnie, tak jak zrobiliśmy to w przypadku liczby, zrozumieć, co to jest, bardzo łatwo jest sobie wyobrazić, co to jest. Jak na razie dobrze. Ale co się stanie, jeśli przejdziemy do ? To jest równe , lub . Daleko nam do wyobrażenia sobie tej ilości, jak każdej innej bardzo dużej - tracimy zdolność pojmowania poszczególnych części gdzieś w okolicach miliona. (Naprawdę, to szalone duża liczba Doliczenie miliona zajęłoby trochę czasu, ale faktem jest, że wciąż jesteśmy w stanie dostrzec tę liczbę.)

Jednak choć nie potrafimy sobie tego wyobrazić, to przynajmniej jesteśmy w stanie zrozumieć Ogólny zarys, czyli 7600 miliardów, być może porównując to do poziomu PKB USA. Przeszliśmy od intuicji przez reprezentację do prostego zrozumienia, ale przynajmniej nadal mamy pewną lukę w naszym rozumieniu tego, czym jest liczba. To się wkrótce zmieni, gdy wspinamy się o kolejny szczebel w drabinie.

W tym celu należy przejść do notacji wprowadzonej przez Donalda Knutha, zwanej notacją strzałkową. Notację tę można zapisać jako . Kiedy następnie przejdziemy do , otrzymamy liczbę . To jest równe sumie trójek. Obecnie znacznie i naprawdę przekroczyliśmy wszystkie inne liczby, o których już mówiliśmy. Przecież nawet największy z nich miał w szeregu wskaźników zaledwie trzy, cztery wyrazy. Na przykład nawet liczba super-Skuse jest „tylko” – nawet po uwzględnieniu faktu, że zarówno podstawa, jak i wykładniki są znacznie większe niż , to wciąż zupełnie nic w porównaniu z rozmiarem wieży liczbowej liczącej miliard członków .

Oczywiście nie da się pojąć tak ogromnych liczb... a jednak proces ich powstawania jest nadal możliwy do zrozumienia. Nie mogliśmy zrozumieć rzeczywistej ilości, jaką podaje wieża mocy z miliardem trójek, ale w zasadzie możemy sobie wyobrazić taką wieżę z wieloma terminami, a naprawdę przyzwoity superkomputer byłby w stanie przechowywać takie wieże w pamięci, nawet jeśli nie udało się obliczyć ich rzeczywistych wartości.

To staje się coraz bardziej abstrakcyjne, ale będzie tylko gorzej. Można by pomyśleć, że jest to wieża stopni, której wykładnik jest równy (właściwie w poprzedniej wersji tego wpisu popełniłem dokładnie ten błąd), ale jest to proste. Innymi słowy, wyobraź sobie, że możesz obliczyć dokładną wartość wieży mocy złożonej z trójek, która składa się z elementów, a następnie wziąłeś tę wartość i stworzyłeś nową wieżę z taką liczbą elementów, jak... to daje .

Powtórz ten proces z każdym kolejnym numerem ( notatka zaczynając od prawej), aż zrobisz to kilka razy, a potem w końcu otrzymasz . Jest to liczba, która jest po prostu niewiarygodnie duża, ale przynajmniej kroki, aby ją uzyskać, wydają się zrozumiałe, jeśli robisz wszystko bardzo powoli. Nie możemy już zrozumieć liczb ani wyobrazić sobie procedury ich uzyskiwania, ale przynajmniej możemy zrozumieć podstawowy algorytm, tylko w wystarczająco długim czasie.

Teraz przygotujmy umysł na naprawdę mocne uderzenie.

Liczba Grahama (Graham)

Ronalda Grahama

W ten sposób otrzymujesz liczbę Grahama, która znajduje się w Księdze Rekordów Guinnessa jako największa liczba kiedykolwiek użyta w dowodzie matematycznym. Absolutnie nie da się sobie wyobrazić, jak duży jest, i równie trudno dokładnie wyjaśnić, co to jest. Zasadniczo liczba Grahama pojawia się w przypadku hipersześcianów, które są teoretyczne figury geometryczne z więcej niż trzema wymiarami. Matematyk Ronald Graham (patrz zdjęcie) chciał się dowiedzieć, przy jakiej najmniejszej liczbie wymiarów pewne właściwości hipersześcianu pozostaną stabilne. (Przepraszam za tak niejasne wyjaśnienie, ale jestem pewien, że wszyscy potrzebujemy co najmniej dwóch stopnie naukowe w matematyce, aby była dokładniejsza.)

W każdym razie liczba Grahama jest górnym oszacowaniem tej minimalnej liczby wymiarów. Jak duża jest ta górna granica? Wróćmy do liczby tak dużej, że możemy jedynie niejasno zrozumieć algorytm jej uzyskania. Teraz zamiast po prostu przeskakiwać o jeden poziom więcej do , policzymy liczbę ze strzałkami pomiędzy pierwszą a ostatnią trójką. Jesteśmy teraz daleko poza nawet najmniejszym zrozumieniem, czym jest ta liczba, ani nawet tym, co musimy zrobić, aby ją obliczyć.

Teraz powtórzmy ten proces raz ( notatka w każdym kolejnym kroku zapisujemy liczbę strzałek równą liczbie uzyskanej w poprzednim kroku).

To, panie i panowie, jest liczba Grahama, która jest o rząd wielkości wyższa niż punkt ludzkiego zrozumienia. Jest to liczba o wiele większa niż jakakolwiek liczba, jaką możesz sobie wyobrazić – o wiele większa niż jakakolwiek nieskończoność, jaką możesz sobie wyobrazić – po prostu wymyka się nawet najbardziej abstrakcyjnemu opisowi.

Ale tutaj jest dziwna rzecz. Ponieważ liczba Grahama to w zasadzie po prostu trojaczki pomnożone przez siebie, znamy niektóre jej właściwości, bez konieczności ich obliczania. Nie możemy przedstawić liczby Grahama w żadnej znanej notacji, nawet jeśli do jej zapisania użylibyśmy całego wszechświata, ale mogę teraz podać ostatnie dwanaście cyfr liczby Grahama: . A to nie wszystko: znamy przynajmniej ostatnie cyfry numeru Grahama.

Oczywiście warto pamiętać, że liczba ta stanowi jedynie górną granicę pierwotnego problemu Grahama. Jest całkiem możliwe, że rzeczywista liczba pomiarów wymaganych do osiągnięcia pożądanej właściwości jest znacznie, znacznie mniejsza. Większość ekspertów w tej dziedzinie wierzy, że od lat 80. XX wieku istnieje tylko sześć wymiarów – liczba tak mała, że ​​możemy ją zrozumieć intuicyjnie. Od tego czasu dolna granica została podniesiona do , ale nadal istnieje bardzo duża szansa, że ​​rozwiązanie problemu Grahama nie będzie znajdować się w pobliżu liczby tak dużej jak liczba Grahama.

W stronę nieskończoności

Czy istnieją liczby większe od liczby Grahama? Jest oczywiście na początek liczba Grahama. Dotyczący znacząca liczba...no dobra, istnieją pewne diabelsko złożone obszary matematyki (w szczególności obszar znany jako kombinatoryka) i informatyki, w których występują liczby nawet większe niż liczba Grahama. Ale prawie osiągnęliśmy granicę tego, co, mam nadzieję, zostanie kiedykolwiek racjonalnie wyjaśnione. Tym, którzy są na tyle odważni, aby pójść jeszcze dalej, zaleca się dalszą lekturę na własne ryzyko.

Więc teraz niesamowity cytat, co przypisuje się Douglasowi Rayowi ( notatka Szczerze mówiąc, brzmi to dość zabawnie:

„Widzę skupiska niewyraźnych liczb ukrytych w ciemności, za małą plamką światła, jaką daje świeca rozumu. Szepczą do siebie; spiskowanie na temat nie wiadomo czego. Być może nie bardzo nas lubią za to, że zatrzymujemy w pamięci ich młodszych braci. A może po prostu prowadzą tam, jednocyfrowe życie, wykraczające poza nasze zrozumienie.

Jako dziecko dręczyło mnie pytanie, jaka istnieje największa liczba, i dręczyłem prawie wszystkich tym głupim pytaniem. Poznawszy liczbę milion, zapytałem, czy istnieje liczba większa niż milion. Miliard? A co powiesz na ponad miliard? Bilion? A co powiesz na ponad bilion? Wreszcie znalazł się ktoś mądry, który mi wyjaśnił, że pytanie jest głupie, bo wystarczy dodać jeden do największej liczby, a okazuje się, że nigdy nie była największa, bo przecież są jeszcze większe liczby.

I tak, wiele lat później, postanowiłem zadać sobie kolejne pytanie, a mianowicie: Jaka jest największa liczba, która ma swoją nazwę? Na szczęście teraz jest Internet i można nim zagadywać wyszukiwarki pacjentów, co nie uzna moich pytań za idiotyczne ;-). Właściwie to właśnie zrobiłem i oto, czego się dowiedziałem.

Istnieją dwa systemy nazewnictwa numerów - amerykański i angielski.

System amerykański jest zbudowany dość prosto. Wszystkie nazwy dużych liczb są zbudowane w ten sposób: na początku znajduje się łacińska liczba porządkowa, a na końcu dodaje się do niej przyrostek -million. Wyjątkiem jest nazwa „milion”, która jest nazwą liczby tysiąc (łac. mile) i przyrostek powiększający -illion (patrz tabela). W ten sposób otrzymujemy liczby: bilion, kwadrylion, kwintylion, sekstylion, septylion, oktylion, nonillion i decylion. System amerykański stosowany jest w USA, Kanadzie, Francji i Rosji. Liczbę zer w liczbie zapisanej według systemu amerykańskiego można sprawdzić za pomocą prostego wzoru 3 x + 3 (gdzie x jest cyfrą łacińską).

Angielski system nazewnictwa jest najpowszechniejszy na świecie. Stosowany jest na przykład w Wielkiej Brytanii i Hiszpanii, a także w większości byłych kolonii angielskich i hiszpańskich. Nazwy liczb w tym systemie są zbudowane w następujący sposób: w ten sposób: do cyfry łacińskiej dodawany jest przyrostek -million, kolejna liczba (1000 razy większa) jest budowana zgodnie z zasadą - ta sama cyfra łacińska, ale przyrostek - miliard. Oznacza to, że po bilionie w systemie angielskim następuje bilion, a dopiero potem biliard, po którym następuje biliard itd. Zatem biliard według systemu angielskiego i amerykańskiego to zupełnie różne liczby! Liczbę zer zapisaną zgodnie z systemem angielskim i kończącą się przyrostkiem -million można znaleźć, korzystając ze wzoru 6 x + 3 (gdzie x jest cyfrą łacińską) i korzystając ze wzoru 6 x + 6 dla liczb kończąc na - miliard.

Z System angielski Do języka rosyjskiego przeszła tylko liczba miliard (10 9), którą nadal trafniej byłoby nazwać, jak nazywają ją Amerykanie, miliardem, ponieważ przyjęliśmy system amerykański. Ale kto w naszym kraju robi cokolwiek zgodnie z przepisami! ;-) Swoją drogą, czasami w języku rosyjskim używa się słowa bilion (możesz się o tym przekonać, wpisując w wyszukiwarkę Google lub Yandex) i oznacza to najwyraźniej 1000 bilionów, czyli. kwadrylion.

Oprócz liczb zapisywanych z użyciem przedrostków łacińskich według systemu amerykańskiego lub angielskiego znane są także tzw. liczby niesystemowe, tj. liczby, które mają własne nazwy bez żadnych przedrostków łacińskich. Takich liczb jest kilka, ale opowiem o nich więcej nieco później.

Wróćmy do pisania za pomocą cyfr łacińskich. Wydawałoby się, że potrafią zapisywać liczby w nieskończoność, ale nie jest to do końca prawdą. Teraz wyjaśnię dlaczego. Zobaczmy najpierw, jak nazywają się liczby od 1 do 10 33:

I teraz pojawia się pytanie, co dalej. Co kryje się za decylionem? W zasadzie możliwe jest oczywiście, poprzez łączenie przedrostków, wygenerowanie takich potworów jak: andecillion, duodecillion, tredecillion, quattordecillion, quindecillion, sexdecillion, septemdecillion, octodecillion i novemdecillion, ale będą to już nazwy złożone, a my zainteresowani numerami naszych imion. Dlatego zgodnie z tym systemem, oprócz wskazanych powyżej, nadal można uzyskać tylko trzy nazwy własne - vigintillion (od łac. viginti- dwadzieścia), centylion (od łac. centum- sto) i miliony (od łac. mile- tys.). Rzymianie nie mieli więcej niż tysiąc nazw własnych liczb (wszystkie liczby powyżej tysiąca były złożone). Na przykład Rzymianie nazywali milion (1 000 000) decies centena milia, czyli „dziesięćset tysięcy”. A teraz właściwie tabela:

Zatem według takiego systemu nie da się uzyskać liczb większych niż 10 3003, które miałyby własną, niezłożoną nazwę! Niemniej jednak znane są liczby większe niż milion - są to te same liczby niesystemowe. Porozmawiajmy w końcu o nich.

Najmniejsza taka liczba to miriada(jest nawet w słowniku Dahla), co oznacza sto setek, czyli 10 000. To słowo jest jednak przestarzałe i praktycznie nie używane, ale ciekawe, że powszechnie używa się słowa „miriady”, co nie oznacza w ogóle określoną liczbę, ale niezliczone, niepoliczalne mnogości czegoś. Uważa się, że słowo niezliczone przyszło do języków europejskich ze starożytnego Egiptu.

Google(od angielskiego googol) to liczba dziesięć do potęgi setnej, to znaczy jeden, po którym następuje sto zer. O „googolu” po raz pierwszy wspomniał amerykański matematyk Edward Kasner w 1938 roku w artykule „Nowe nazwy w matematyce” w styczniowym numerze czasopisma Scripta Mathematica. Według niego to jego dziewięcioletni bratanek Milton Sirotta zasugerował nazwanie tej dużej liczby „googolem”. Liczba ta stała się powszechnie znana dzięki wyszukiwarce nazwanej jej imieniem. Google. Należy pamiętać, że „Google” to nazwa marki, a googol to liczba.

W słynnym traktacie buddyjskim Jaina Sutra, datowanym na 100 rok p.n.e., pojawia się ta liczba asankheja(z Chin asenzi- niepoliczalne), równe 10 140. Uważa się, że liczba ta jest równa liczbie cykli kosmicznych wymaganych do osiągnięcia nirwany.

Googolplex(Język angielski) googolplex) - liczba również wymyślona przez Kasnera i jego siostrzeńca i oznaczająca jedynkę z googolem zerowym, czyli 10 10 100. Sam Kasner tak opisuje to „odkrycie”:

Mądre słowa wypowiadają dzieci co najmniej tak samo często, jak naukowcy. Nazwę „googol” wymyśliło dziecko (dziewięcioletni siostrzeniec doktora Kasnera), które poproszono o wymyślenie nazwy dla bardzo dużej liczby, czyli 1 ze setką zer. Był tego pewien. liczba ta nie była nieskończona, i zanim był równie pewien, że musi mieć nazwę. Sugerując „googol”, podał nazwę jeszcze większej liczby: „Googolplex”. Googolplex jest znacznie większy niż googol, ale nadal jest skończony, jak szybko zauważył wynalazca nazwy.

Matematyka i wyobraźnia(1940) Kasnera i Jamesa R. Newmana.

Jeszcze większą liczbę niż googolplex, liczbę Skewesa, zaproponował Skewes w 1933 roku. J. Londyn Matematyka. Towarzystwo 8 , 277-283, 1933.) w udowadnianiu hipotezy Riemanna dotyczącej liczb pierwszych. To znaczy mi do pewnego stopnia mi do pewnego stopnia mi do potęgi 79, czyli e e e 79. Później te Riele, HJJ „Na znaku różnicy P(x)-Li(x).” Matematyka. Oblicz. 48 , 323-328, 1987) zredukował liczbę Skuse do e e 27/4, co w przybliżeniu wynosi 8,185 · 10 370. Oczywiste jest, że ponieważ wartość liczby Skuse zależy od liczby mi, to nie jest to liczba całkowita, więc nie będziemy jej rozważać, w przeciwnym razie musielibyśmy pamiętać inne liczby nienaturalne - pi, e, liczbę Avogadra itp.

Należy jednak zauważyć, że istnieje druga liczba Skuse, która w matematyce jest oznaczana jako Sk 2, która jest nawet większa niż pierwsza liczba Skuse (Sk 1). Drugi numer Skewesa, zostało wprowadzone przez J. Skuse w tym samym artykule w celu oznaczenia liczby, do której obowiązuje hipoteza Riemanna. Sk 2 jest równe 10 10 10 10 3, czyli 10 10 10 1000.

Jak rozumiesz, im więcej stopni, tym trudniej jest zrozumieć, która liczba jest większa. Na przykład, patrząc na liczby Skewesa, bez specjalnych obliczeń, prawie niemożliwe jest zrozumienie, która z tych dwóch liczb jest większa. Zatem w przypadku bardzo dużych liczb używanie potęg staje się niewygodne. Co więcej, możesz wymyślić takie liczby (a już je wymyślono), gdy stopnie stopni po prostu nie mieszczą się na stronie. Tak, jest to na stronie! Nie zmieszczą się nawet w książce wielkości całego Wszechświata! W takim przypadku pojawia się pytanie, jak je zapisać. Jak rozumiesz, problem można rozwiązać, a matematycy opracowali kilka zasad zapisywania takich liczb. To prawda, że ​​\u200b\u200bkażdy matematyk, który zastanawiał się nad tym problemem, wymyślił własny sposób pisania, co doprowadziło do istnienia kilku, niepowiązanych ze sobą metod zapisywania liczb - są to oznaczenia Knutha, Conwaya, Steinhouse'a itp.

Rozważmy notację Hugo Stenhouse’a (H. Steinhaus. Matematyczne migawki, wyd. 3. 1983), co jest dość proste. Stein House zasugerował zapisywanie dużych liczb wewnątrz kształtów geometrycznych - trójkąta, kwadratu i koła:

Steinhouse wymyślił dwie nowe, bardzo duże liczby. Podał numer - Mega, a liczba jest Megiston.

Matematyk Leo Moser udoskonalił notację Stenhouse'a, co ograniczał fakt, że w przypadku konieczności zapisywania liczb znacznie większych od megistonu pojawiały się trudności i niedogodności, gdyż trzeba było narysować wiele okręgów jedno w drugim. Moser zasugerował, aby po kwadratach nie rysować kół, ale pięciokąty, potem sześciokąty i tak dalej. Zaproponował także formalny zapis tych wielokątów, aby można było zapisywać liczby bez rysowania skomplikowanych obrazów. Notacja Mosera wygląda następująco:

Zatem zgodnie z notacją Mosera mega Steinhouse'a zapisuje się jako 2, a megiston jako 10. Ponadto Leo Moser zaproponował nazwanie wielokąta o liczbie boków równej mega - megagonowi. I zaproponował liczbę „2 w megagonie”, czyli 2. Liczba ta stała się znana jako liczba Mosera lub po prostu jako Mosera.

Ale Moser nie jest największą liczbą. Największa liczba kiedykolwiek użyta w dowodzie matematycznym to granica znana jako Liczba Grahama(liczba Grahama), użyta po raz pierwszy w 1977 r. w dowodzie jednego oszacowania w teorii Ramseya. Jest związana z bichromatycznymi hipersześcianami i nie można jej wyrazić bez specjalnego 64-poziomowego systemu specjalnych symboli matematycznych wprowadzonego przez Knutha w 1976 r.

Niestety, liczby zapisanej w notacji Knutha nie można przekształcić na zapis w systemie Mosera. Dlatego będziemy musieli wyjaśnić również ten system. W zasadzie też nie ma w tym nic skomplikowanego. Donald Knuth (tak, tak, to ten sam Knuth, który napisał „Sztukę programowania” i stworzył edytor TeX-owy) wpadł na koncepcję supermocy, którą zaproponował zapisanie strzałkami skierowanymi w górę:

Ogólnie wygląda to tak:

Myślę, że wszystko jest jasne, więc wróćmy do liczby Grahama. Graham zaproponował tak zwane liczby G:

Zaczęto nazywać numer G 63 Liczba Grahama(często jest oznaczony po prostu jako G). Liczba ta jest największą znaną liczbą na świecie i jest nawet wpisana do Księgi Rekordów Guinnessa. Cóż, liczba Grahama jest większa niż liczba Mosera.

P.S. Aby przynieść wielkie korzyści całej ludzkości i zyskać sławę na przestrzeni wieków, postanowiłem sam wymyślić i nazwać największą liczbę. Numer ten zostanie wywołany stasplex i jest równa liczbie G 100. Zapamiętajcie to, a kiedy Wasze dzieci zapytają, jaka jest największa liczba na świecie, powiedzcie im, że ta liczba się nazywa stasplex.

Aktualizacja (4.09.2003): Dziękuję wszystkim za komentarze. Okazało się, że pisząc tekst popełniłem kilka błędów. Spróbuję to teraz naprawić.

1. Popełniłem kilka błędów, wspominając o numerze Avogadra. Najpierw kilka osób zwróciło mi uwagę, że 6,022 10 23 jest w rzeczywistości liczbą najbardziej naturalną. Po drugie, istnieje opinia, która wydaje mi się słuszna, że ​​liczba Avogadra w ogóle nie jest liczbą we właściwym, matematycznym znaczeniu tego słowa, gdyż zależy od układu jednostek. Teraz jest ona wyrażona w „mol -1”, ale jeśli zostanie wyrażona na przykład w molach lub czymś innym, to zostanie wyrażona jako zupełnie inna liczba, ale to wcale nie przestanie być liczbą Avogadra.
2. zwróciło moją uwagę na fakt, że starożytni Słowianie także nadali liczbom swoje nazwy i nie warto o nich zapominać. Oto lista staroruskich nazw liczb:
   10 000 - ciemność
   100 000 - legion
   1 000 000 - leodr
   10 000 000 - kruk lub krukowaty
   100 000 000 - talia
   Co ciekawe, starożytni Słowianie również kochali duże liczby i potrafili liczyć do miliarda. Co więcej, takie konto nazwali „małym kontem”. W niektórych rękopisach autorzy uwzględniali także „wielkie liczenie”, sięgające liczby 10 50. O liczbach większych niż 10 50 mówiono: „I więcej niż to umysł ludzki nie jest w stanie pojąć”. Imiona użyte w „małym rachunku” zostały przeniesione do „wielkiego hrabiego”, ale w innym znaczeniu. Zatem ciemność nie oznaczała już 10 000, ale milion legionów – ciemność tych (milion milionów); leodre – legion legionów (od 10 do 24 stopnia), potem mówiono – dziesięć leodres, sto leodres,…, a na koniec sto tysięcy tych legionów leodres (od 10 do 47); leodr leodrov (10 na 48) nazywany był krukiem, a w końcu talią (10 na 49).
3. Temat narodowych nazw liczb można rozwinąć, jeśli przypomnimy sobie o japońskim systemie nazewnictwa liczb, o którym zapomniałem, który bardzo różni się od systemów angielskiego i amerykańskiego (hieroglifów nie będę rysował, jeśli kogoś to interesuje, są one ):
   10 0 - ichi
   10 1 - jyuu
   10 2 - hyaku
   10 3 - sen
   10 4 - mężczyzna
   10 8 - ok
   10 12 - chou
   10 16 - kei
   10 20 - gai
   10 24 - jojo
   10 28 - jty
   10 32 - kou
   10 36 - kan
   10 40 - sei
   10 44 - saj
   10 48 - goku
   10 52 - gougasya
   10 56 - asougi
   10 60 - nayuta
   10 64 - fukashigi
   10 68 - muryoutaisuu
4. Jeśli chodzi o numery Hugo Steinhausa (w Rosji z jakiegoś powodu jego nazwisko zostało przetłumaczone jako Hugo Steinhaus). botew zapewnia, że ​​pomysł zapisywania superdużych liczb w postaci liczb w kręgach nie należy do Steinhouse’a, ale Daniila Kharmsa, który na długo przed nim opublikował ten pomysł w artykule „Podnoszenie liczby”. Chcę także podziękować Evgeny'emu Sklyarevsky'emu, autorowi najciekawszej strony internetowej zabawna matematyka w rosyjskojęzycznym Internecie - Arbuza, za informację, że Steinhouse wymyślił nie tylko liczby mega i megiston, ale także zasugerował inną liczbę strefa medyczna, równy (w jego zapisie) „3 w okręgu”.
5. Teraz o numerze miriada lub mirioi. Jeśli chodzi o pochodzenie tej liczby, istnieją różne zdania. Niektórzy uważają, że pochodzi z Egiptu, inni uważają, że narodził się dopiero w starożytnej Grecji. Tak czy inaczej, niezliczona ilość zyskała sławę właśnie dzięki Grekom. Miriada była nazwą określającą 10 000, ale nie było nazw dla liczb większych niż dziesięć tysięcy. Jednak w swojej notatce „Psammit” (czyli rachunku piasku) Archimedes pokazał, jak systematycznie konstruować i nazywać dowolnie duże liczby. W szczególności, umieszczając 10 000 (miriady) ziaren piasku w maku, stwierdza, że ​​we Wszechświecie (kula o średnicy niezliczonej liczby średnic Ziemi) zmieściłoby się nie więcej niż 10 63 ziaren piasku (w nasz zapis). Ciekawe, że współczesne obliczenia liczby atomów w widzialnym Wszechświecie prowadzą do liczby 10 67 (w sumie niezliczona ilość razy więcej). Archimedes zaproponował następujące nazwy liczb:
   1 miriada = 10 4 .
   1 di-miriada = niezliczona ilość miriad = 10 8 .
   1 tri-miriada = di-miriada di-miriada = 10 16 .
   1 tetra-miriada = trzy-miriady trzy-miriady = 10 32 .
   itp.

Jeśli masz jakieś uwagi -

Amerykański matematyk Edward Kasner (1878 – 1955) w pierwszej połowie XX wieku zaproponował nazwaniegoogol. W 1938 roku Kasner spacerował po parku ze swoimi dwoma siostrzeńcami, Miltonem i Edwinem Sirottami, i omawiał z nimi duże liczby. Podczas rozmowy rozmawialiśmy o liczbie zawierającej sto zer, która nie miała własnej nazwy. Dziewięcioletni Milton zaproponował, aby zadzwonić pod ten numergoogol (googol).

W 1940 roku Kasner wraz z Jamesem Newmanem opublikowali książkę "Matematyka i wyobraźnia" (Matematyka i wyobraźnia ), gdzie termin ten został użyty po raz pierwszy. Według innych źródeł o googolu po raz pierwszy pisał w 1938 roku w artykule „ Nowe nazwy w matematyce” w styczniowym numerze magazynu Skrypt matematyczny.

Termin googol nie ma żadnego poważnego znaczenia teoretycznego ani praktycznego. Kasner zaproponował to, aby zilustrować różnicę między niewyobrażalnie dużą liczbą a nieskończonością i termin ten jest czasami używany w tym celu w nauczaniu matematyki.

Termin cztery dekady po śmierci Edwarda Kasnera googol używane do pseudonimu przez obecnie znaną na całym świecie korporację Google .

Sami oceńcie, czy googol jest dobry i wygodny jako jednostka miary dla wielkości, które faktycznie istnieją w granicach naszego Układ Słoneczny:

• średnią odległość Ziemi od Słońca (1,49598 · 10 11 m) przyjmuje się jako jednostkę astronomiczną (AU) - nieistotną drobnostkę w skali googola;
• Pluton, planeta karłowata Układu Słonecznego, do niedawna klasyczna planeta najbardziej oddalona od Ziemi, ma średnicę orbity 80 jednostek astronomicznych. (12 · 10 13 m);
• ilość cząstki elementarne, z których zbudowane są atomy całego Wszechświata, fizycy szacują, że jest ich nie więcej niż 10 88 .

Na potrzeby mikrokosmosu – cząstek elementarnych jądra atomowego – jednostką długości (nieukładową) jest angstrem(Å = 10 -10 m). Wprowadzony w 1868 roku przez szwedzkiego fizyka i astronoma Andersa Angströma. Ta jednostka miary jest często używana w fizyce, ponieważ

10 -10 m = 0,000 000 000 1 m

Jest to przybliżona średnica orbity elektronowej w niewzbudzonym atomie wodoru. Skok sieci atomowej w większości kryształów ma ten sam rząd.

Ale nawet w tej skali liczby wyrażające nawet odległości międzygwiazdowe są dalekie od jednego googola. Na przykład:

• Średnicę naszej Galaktyki uważa się za 10 5 lat świetlnych, tj. równa 10 5-krotności odległości przebytej przez światło w ciągu jednego roku; w angstremach to po prostu

10 31 Å;

• odległość do rzekomo istniejących bardzo odległych galaktyk nie przekracza

10 40 · Å.

Starożytni myśliciele nazywali wszechświat przestrzenią ograniczoną widoczną kulą gwiazdową o skończonym promieniu. Starożytni uważali Ziemię za centrum tej kuli, natomiast Archimedes i Arystarch z Samos ustąpili miejsca Słońcu jako centrum wszechświata. Jeśli więc ten wszechświat jest wypełniony ziarenkami piasku, to jak pokazują obliczenia Archimedesa w „ Psamit" ("Rachunek ziaren piasku „), potrzeba byłoby około 10 63 ziaren piasku – to jest liczba

10 37 = 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

razy mniejszy niż googol.

A jednak różnorodność zjawisk nawet w ziemskim życiu organicznym jest tak wielka, że ​​odkryto wielkości fizyczne przekraczające jednego googola. Rozwiązując problem szkolenia robotów w zakresie postrzegania głosów i rozumienia poleceń werbalnych, naukowcy odkryli, że różnice w charakterystyce ludzkiego głosu sięgają wielu

45 · 10 100 = 45 googol.

W samej matematyce istnieje wiele przykładów gigantycznych liczb, które mają określoną przynależność.Na przykład zapis pozycyjnynajwiększa znana liczba pierwsza według stanu na wrzesień 2013 r., Liczby Mersenne’a

2 57885161 - 1,

Składałby się z ponad 17 milionów cyfr.

Nawiasem mówiąc, Edward Kasner i jego siostrzeniec Milton wymyślili nazwę dla jeszcze większej liczby niż googol - dla liczby równej 10 do potęgi googola -

10 10 100 .

Numer ten nazywa się - googolplex. Uśmiechnijmy się – liczba zer po jedynce w zapisie dziesiętnym googolplexu przekracza liczbę wszystkich cząstek elementarnych naszego Wszechświata.

Słynna wyszukiwarka, a także firma, która stworzyła ten system i wiele innych produktów, nosi nazwę od liczby googol - jednej z największych liczb w nieskończonym zbiorze liczby naturalne. Jednak największa liczba to nawet nie googol, ale googolplex.

Liczba googolplex została po raz pierwszy zaproponowana przez Edwarda Kasnera w 1938 roku i reprezentuje jedynkę, po której następuje niesamowita liczba zer. Nazwa pochodzi od innej liczby – googol – jedynki, po której następuje sto zer. Zwykle liczba googol jest zapisywana jako 10 100 lub 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 0 00 000 000 000 000 000 000 000.

Googolplex to z kolei liczba dziesięć do potęgi googol. Zwykle zapisuje się to w ten sposób: 10 10 ^100, a to dużo, dużo zer. Jest ich tak wiele, że gdybyś zdecydował się policzyć liczbę zer przy użyciu poszczególnych cząstek we wszechświecie, skończyłyby Ci się cząstki, zanim skończyłyby Ci się zera w googolplexie.

Według Carla Sagana zapisanie tej liczby jest niemożliwe, ponieważ zapisanie jej wymagałoby więcej miejsca niż istnieje w widzialnym wszechświecie.

Jak działa „brainmail” – przesyłanie wiadomości z mózgu do mózgu za pośrednictwem Internetu

10 tajemnic świata, które nauka w końcu odkryła

10 głównych pytań dotyczących Wszechświata, na które naukowcy szukają obecnie odpowiedzi

Naukowa tajemnica sprzed 2500 lat: dlaczego ziewamy

3 najgłupsze argumenty, jakimi posługują się przeciwnicy Teorii Ewolucji, aby usprawiedliwić swoją niewiedzę

Według nowej teorii wszechświaty równoległe mogą faktycznie istnieć

Dowolne dwa obiekty w próżni spadną z tą samą prędkością