Procenty w matematyce. Zadania dotyczące procentów.
Uwaga!
Są dodatkowe
materiały w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy są bardzo „nie bardzo…”
A dla tych, którzy „bardzo…”)
Procenty w matematyce.
Co się stało procenty w matematyce? Jak zdecydować procentowe problemy? Te pytania pojawiają się, niestety, nagle... Kiedy absolwent czyta zadanie z egzaminu Unified State Exam. I postawili go w ślepym zaułku. Ale na próżno. To są bardzo proste pojęcia.
Jedyne o czym musisz pamiętać to to co to jest jeden procent . Ta koncepcja jest klucz główny do rozwiązywania problemów związanych z procentami i ogólnie do pracy z procentami.
Jeden procent to jedna setna liczby . To wszystko. Nie ma już mądrości.
Rozsądne pytanie – co z częścią setną? jaka data ? Ale liczba omawiana w zadaniu. Jeśli mowa o cenie, jeden procent to jedna setna ceny. Jeśli mówimy o prędkości, jeden procent to jedna setna prędkości. I tak dalej. Oczywiste jest, że sama liczba, o której mowa, zawsze wynosi 100%. A jeśli nie ma samej liczby, to procenty nie mają żadnego znaczenia...
Inna sprawa, że w złożone zadania och, sam numer będzie tak ukryty, że go nie znajdziesz. Ale nie skupiamy się jeszcze na sprawach skomplikowanych. Zajmijmy się procenty w matematyce.
Nie bez powodu podkreślam słowa jeden procent, jedna setna. Pamiętając, co to jest jeden procent, możesz łatwo znaleźć dwa procent, trzydzieści cztery, siedemnaście i sto dwadzieścia sześć! Znajdziesz tyle, ile potrzebujesz.
Nawiasem mówiąc, jest to główna umiejętność rozwiązywania problemów związanych z procentami.
Powinniśmy spróbować?
Znajdźmy 3% z 400. Najpierw znajdźmy jeden procent. Będzie to jedna setna, tj. 400/100 = 4. Jeden procent to 4. Ile procent potrzebujemy? Trzy. Więc mnożymy 4 przez trzy. Dostajemy 12. To wszystko. Trzy procent z 400 to 12.
5% z 20 to 20 podzielone przez 100 (jedna setna to 1%) i pomnożone przez pięć (5%):
5% z 20 będzie wynosić 1. To wszystko.
To nie mogłoby być prostsze. Poćwiczmy szybko, zanim zapomnimy!
Dowiedz się, ile to będzie:
5% od 200 rubli.
8% z 350 kilometrów.
120% od 10 litrów.
15% z 60 stopni.
4% uczniów wyróżniających się na 25 uczniów.
10% biednych studentów na 20 osób.
Odpowiedzi (w całkowitym nieładzie): 9, 10, 2, 1, 28, 12.
Liczby te to liczba rubli, stopni naukowych, studentów itp. Nie napisałam ile z czego, żeby ciekawiej było zdecydować...
A co jeśli będziemy musieli to zapisać? X% od jakiejś liczby, na przykład od 50? Tak, wszystko jest takie samo. Jeden procent z 50 – ile? Zgadza się, 50/100 = 0,5. I mamy ten procent - X. Cóż, pomnóżmy 0,5 przez X! Rozumiemy to X% od 50 to jest – 0,5x.
mam nadzieję procenty w matematyce masz to. I możesz łatwo znaleźć dowolny procent dowolnej liczby. To proste. Możesz teraz poradzić sobie z około 60% wszystkich problemów procentowych! Już ponad połowa. Cóż, dokończmy resztę? OK, cokolwiek powiesz!
W zadaniach dotyczących procentów często występuje sytuacja odwrotna. Dają nam wielkie ilości (jakiegokolwiek rodzaju), ale musimy znaleźć odsetki . Opanujmy ten prosty proces.
3 osoby na 120 – jaki procent? Nie wiem? No cóż, niech tak będzie X procent.
Obliczmy X% od 120 osób. W ludziach. To jest to, co możemy zrobić. Podziel 120 przez 100 (oblicz 1%) i pomnóż przez X(obliczamy X%). Dostajemy 1,2 X.
Rozumiemy wynik.
X procent na 120 osób jest to 1,2 X Człowiek . A mamy trzy takie osoby. Pozostaje zrównać:
Pamiętamy, że dla X przyjęliśmy liczbę procentów. Oznacza to, że 3 osoby na 120 osób to 2,5%.
To wszystko.
Można to zrobić inaczej. Można to zrobić z prostą pomysłowością, bez żadnych równań. Pomyślmy , ile razy 3 osoby poniżej 120? Podziel 120 przez 3 i otrzymaj 40. Oznacza to, że 3 jest 40 razy mniejsze niż 120.
Wymagana liczba osób w procentach będzie wynosić taką samą ilość razy mniej niż 100%. Przecież 120 osób to 100%. Podziel 100 przez 40, 100/40 = 2,5
To wszystko. Otrzymaliśmy 2,5%.
Istnieje również metoda proporcji, ale w zasadzie jest to to samo w wersji skróconej. Wszystkie te metody są prawidłowe. Cokolwiek jest dla Ciebie wygodniejsze, znajome i zrozumiałe – rozważ to w ten sposób.
Znowu trenujemy.
Oblicz procent:
3 osoby z 12.
10 rubli od 800.
4 podręczniki spośród 160 książek.
24 poprawne odpowiedzi na 32 pytania.
2 odgadnięte odpowiedzi na 32 pytania.
9 trafień na 10 strzałów.
Odpowiedzi (w kolejności): 75%, 25%, 90%, 1,25%, 2,5%, 6,25%.
W procesie obliczeń możesz napotkać ułamki. Łącznie z niewygodnymi, jak 1.333333... Kto kazał Ci używać kalkulatora? Się? Nie ma potrzeby. Liczyć bez kalkulatora , jak napisano w temacie „Ułamki”. Są różne procenty...
Zatem opanowaliśmy przejście od ilości do procentów i odwrotnie. Możesz podjąć się zadań.
Zadania dotyczące procentów.
W Zadania egzaminu ujednoliconego stanu na procentach są bardzo popularne. Od najprostszych do najbardziej skomplikowanych. W tej sekcji pracujemy z prostymi zadaniami. W proste zadania z reguły trzeba przejść od procentów do ilości omawianych w zadaniu. Na ruble, kilogramy, sekundy, metry i tak dalej. Lub odwrotnie. Wiemy już, jak to zrobić. Po tym problem staje się jasny i łatwy do rozwiązania. Nie wierzysz mi? Sam zobacz.
Pozwól nam mieć taki problem.
„Przejazd autobusem kosztuje 14 rubli. W dniach wakacje Dla studentów wprowadzono 25% zniżkę. Ile kosztuje podróż autobusem w czasie wakacji szkolnych?
Jak zdecydować? Jeśli dowiemy się, ile 25% w rublach– wtedy nie ma o czym decydować. Od ceny pierwotnej odejmiemy rabat – i gotowe!
Ale my już wiemy, jak to rozpoznać! Ile będzie jeden procent od 14 rubli? Część setna. Oznacza to, że 14/100 = 0,14 rubla. A takich procentów mamy 25. Pomnóżmy więc 0,14 rubla przez 25, otrzymamy 3,5 rubla. To wszystko. Ustaliliśmy kwotę zniżki w rublach, pozostaje tylko dowiedzieć się o nowej taryfie:
14 – 3,5 = 10,5.
Dziesięć i pół rubla. To jest odpowiedź.
Gdy tylko przeszliśmy z odsetek na ruble, wszystko stało się proste i jasne. Jest to ogólne podejście do rozwiązywania problemów procentowych.
Oczywiste jest, że nie wszystkie zadania są równie elementarne. Są bardziej skomplikowane. Pomyśl! Rozwiążemy je także teraz. Trudność w tym, że jest odwrotnie. Podane są pewne ilości, ale musimy znaleźć procenty. Na przykład to zadanie:
„Wcześniej Wasia rozwiązała poprawnie dwa problemy z dwudziestu. Po przestudiowaniu tematu na jednej przydatnej stronie Vasya zaczęła poprawnie rozwiązywać 16 z 20 problemów. O jaki procent Vasya stała się mądrzejsza? Uważamy, że 20 rozwiązanych problemów jest w 100% inteligentnych.”
Ponieważ pytanie dotyczy procentów (a nie rubli, kilogramów, sekund itp.), Zatem przechodzimy do procentów. Dowiedzmy się, jaki procent rozwiązała Vasya zanim rozumiem, jaki procent Po – i jest w torbie!
Liczymy. Dwa problemy na 20 – jaki procent? 2 to 10 razy mniej niż 20, prawda? Oznacza to liczbę problemów w procentach będzie 10 razy mniejsza niż 100%. Oznacza to, że 100/10 = 10.
10%. Tak, Wasia trochę się zdecydowała... Na jednolitym egzaminie państwowym nie ma nic do roboty. Ale teraz stał się mądrzejszy i rozwiązuje 16 problemów z 20. Obliczmy, jaki to będzie procent? Ile razy 16 jest mniejsze od 20? Nie możesz tego stwierdzić od razu... Będziesz musiał to podzielić.
5/4 razy. Cóż, teraz dzielimy 100 przez 5/4:
Tutaj. 80% jest już solidne. A co najważniejsze – niebo jest limitem!
Ale to jeszcze nie jest odpowiedź! Czytamy problem ponownie, aby nie popełnić błędu od razu. Tak, pytają nas jak długo Czy Wasia stała się choć w procentach mądrzejsza? Cóż, to proste. 80% - 10% = 70%. O 70%.
70% to prawidłowa odpowiedź.
Jak widać w prostych zadaniach wystarczy przeliczyć podane wartości na procenty, lub podane procenty na wartości i wszystko staje się jaśniejsze. Oczywiste jest, że problem może wiązać się z dodatkowymi ciekawostkami. Które często nie mają nic wspólnego z procentami. Tutaj najważniejsze jest uważne przeczytanie warunku i krok po kroku, powolne rozwijanie problemu. Porozmawiamy o tym w następnym temacie.
Ale w problemach związanych z procentami jest jedna poważna zasadzka! Tak, wiele osób w to wpada... Ta zasadzka wygląda całkiem niewinnie. Na przykład tutaj jest problem.
„Piękny notatnik kosztował latem 40 rubli. Przed początkiem rok szkolny, sprzedawca podniósł cenę o 25%. Jednak notebooki zaczęły sprzedawać się tak słabo, że obniżył cenę o 10%. Nadal tego nie przyjmują! Musiał obniżyć cenę o kolejne 15%. To tu zaczął się handel! Jaka była ostateczna cena notebooka?”
Jak? Podstawowy?
Jeśli szybko i radośnie odpowiedziałeś „40 rubli!”, Wpadłeś w zasadzkę…
Sztuczka polega na tym, że odsetki są zawsze naliczane od coś .
Więc liczymy. Jak długo ruble czy sprzedawca zawyżył cenę? 25% od 40 rubli - to 10 rubli. Oznacza to, że notebook, który stał się droższy, kosztuje teraz 50 rubli. To zrozumiałe, prawda?
A teraz musimy obniżyć cenę o 10% z 50 rubli. Od 50, a nie 40! 10% z 50 rubli to 5 rubli. W rezultacie po pierwszej obniżce ceny notebook zaczął kosztować 45 rubli.
Rozważamy drugą obniżkę ceny. 15% od 45 rubli ( od 45, a nie 40 czy 50! ) wynosi 6,75 rubla. Zatem ostateczna cena notebooka wynosi:
45 – 6,75 = 38,25 rubli.
Jak widać haczyk polega na tym, że odsetki naliczane są każdorazowo od nowej ceny. Od ostatniego. Dzieje się tak prawie zawsze. Jeżeli w problemie sekwencyjnego zwiększania i zmniejszania wartości nie jest to podane zwykłym tekstem, od czego Aby policzyć procenty, należy je policzyć od ostatniej wartości. I to prawda. Skąd sprzedawca wie, ile razy cena tego notebooka przed nim rosła i spadała oraz ile kosztował na samym początku...
Nawiasem mówiąc, teraz możesz pomyśleć, dlaczego w zadaniu o mądrej Wasyi napisano ostatnie zdanie? Ten: " Czy uważamy, że 20 rozwiązanych problemów jest w 100% mądrych? Wydaje się, że wszystko jest jasne... Uh-uh... Jak to powiedzieć. Jeśli nie ma tego wyrażenia, Vasya może zaliczyć swoje początkowe sukcesy jako 100%. Czyli dwa rozwiązane problemy. A 16 zadań to osiem razy więcej. Te. 800%! Vasya będzie mógł słusznie mówić o własnej mądrości aż w 700%!
Możesz także podjąć się 16 zadań na 100%. I uzyskaj nową odpowiedź. Również poprawne...
Stąd wniosek: Najważniejszą rzeczą w zadaniach z procentami jest jasne określenie, z jakiego procentu należy obliczyć.
Nawiasem mówiąc, jest to również konieczne w życiu. Gdzie stosuje się wartości procentowe. W sklepach, bankach, na wszelkiego rodzaju promocjach. W przeciwnym razie oczekujesz 70% zniżki, a otrzymasz 7%. I nie obniżki, ale podwyżki cen... I wszystko jest w porządku, przeliczyłem się.
Cóż, masz pojęcie o procentach w matematyce. Zwróćmy uwagę na najważniejszą rzecz.
1. W zadaniach dotyczących procentów przechodzimy od procentów do konkretnych wielkości. Lub, jeśli to konieczne, od konkretnych wartości do procentów. Przeczytaj uważnie zadanie!
2. Uczymy się bardzo uważnie, od czego należy naliczyć odsetki. Jeśli nie jest to powiedziane bezpośrednio, jest to koniecznie sugerowane. Przy zmianie wartości sekwencyjnej przyjmuje się wartości procentowe od ostatniej wartości. Przeczytaj uważnie zadanie!
3. Po zakończeniu rozwiązywania problemu przeczytaj go ponownie. Jest całkiem możliwe, że znalazłeś odpowiedź pośrednią, a nie ostateczną. Przeczytaj uważnie zadanie!
Rozwiąż kilka problemów związanych z procentami. Konsolidować, że tak powiem. W tych łamigłówkach starałem się zebrać wszystkie główne trudności, jakie czekają na rozwiązujących. Te grabie, na które najczęściej się depcze. Tutaj są:
1. Logika elementarna w analizie prostych problemów.
2. Właściwy wybór kwota, od której należy obliczyć odsetki. Ilu ludzi się na to natknęło! Ale jest bardzo prosta zasada...
3. Odsetki od odsetek. To drobnostka, ale naprawdę denerwująca...
4. I kolejne widły. Zależność procentów od ułamków i części. Tłumaczenie ich na siebie.
„W Olimpiadzie Matematycznej wzięło udział 50 osób. 68% uczniów rozwiązało kilka problemów. 75% pozostałych rozwiązało umiarkowane problemy, a reszta rozwiązała wiele problemów. Ile osób rozwiązało wiele problemów?
Wskazówka. Jeśli masz uczniów ułamkowych, jest to błędne. Przeczytaj uważnie problem, jest tam jedno ważne słowo... Kolejny problem:
„Wasia (tak, ta sama!) bardzo lubi pączki z dżemem. Które piecze się w piekarni, jeden przystanek od domu. Pączki kosztują 15 rubli za sztukę. Mając do dyspozycji 43 ruble, Wasia pojechała autobusem do piekarni za 13 rubli. A w piekarni była promocja „Rabat na wszystko - 30%!!!”. Pytanie: ilu dodatkowych pączków Wasya nie mógł kupić z powodu lenistwa (mógł wyjść na spacer, prawda?)”
Krótkie problemy.
Jaki procent 4 jest mniejszy od 5?
Jaki procent 5 jest większy od 4?
Długie zadanie...
Kola dostał proste zadanie polegające na naliczaniu odsetek. Podczas rozmowy szef z chytrym uśmiechem zaproponował Kolyi dwie opcje wynagrodzenia. Zgodnie z pierwszą opcją Kolyi natychmiast przyznano stawkę 15 000 rubli miesięcznie. Według drugiego Kolyi, jeśli się zgodzi, przez pierwsze 2 miesiące będzie płacił pensję obniżoną o 50%. Trochę jak nowicjusz. Ale wtedy podwyższą mu obniżoną pensję aż o 80%!
Kolya odwiedził przydatną stronę w Internecie... Dlatego po sześciu sekundach zastanowienia wybrał pierwszą opcję z lekkim uśmiechem. Szef uśmiechnął się i ustalił Kolyi stałą pensję w wysokości 17 000 rubli.
Pytanie: Ile pieniędzy rocznie (w tysiącach rubli) wygrał Kola w tym wywiadzie? W porównaniu z najgorszą opcją? I jeszcze jedno: dlaczego cały czas się uśmiechali!?)
Kolejny krótki problem.
Znajdź 20% z 50%.
I znowu długo.)
Pociąg pospieszny nr 205 „Krasnojarsk – Anapa” zatrzymał się na stacji „Syzran-Gorod”. Wasilij i Cyryl poszli do sklepu dworcowego po lody dla Leny i hamburgera dla siebie. Kiedy już kupili wszystko, co potrzebne, sprzątaczka sklepu powiedziała, że ich pociąg już odjechał... Wasilij i Cyryl szybko pobiegli i udało im się wskoczyć do wagonu. Pytanie: czy mistrz świata w bieganiu miałby czas wskoczyć do bryczki w takich warunkach?
Wierzymy, że w normalnych warunkach mistrz świata biega o 30% szybciej niż Wasilij i Cyryl. Jednak chęć dogonienia powozu (był to ostatni), częstowania Leny lodami i zjedzenia hamburgera, zwiększyła ich prędkość o 20%. A lody z hamburgerem w rękach mistrza i klapkami na nogach zmniejszyłyby jego prędkość o 10%...
Ale tu jest problem bez procentów... Zastanawiam się, po co to tutaj jest?)
Oblicz, ile waży 3/4 jabłka, jeśli całe jabłko waży 200 gramów?
I ostatni.
W pospiesznym pociągu nr 205 „Krasnojarsk – Anapa” towarzysze podróży rozwiązywali krzyżówkę. Lena odgadła 2/5 wszystkich słów, a Wasilij jedną trzecią pozostałych. Wtedy dołączył się Cyryl i rozwiązał 30% całej krzyżówki! Seryozha odgadł ostatnie 5 słów. Ile słów było w skanowym słowie? Czy to prawda, że Lena odgadła najwięcej słów?
Odpowiedzi znajdują się w tradycyjnym nieporządku i bez nazw jednostek. Gdzie są pączki, gdzie studenci, gdzie ruble z odsetkami – to ty...
10; 50; Tak; 4; 20; NIE; 54; 2; 25; 150.
Więc jak to jest? Jeśli wszystko się zgadza - gratulacje! Zainteresowania nie są Twoim problemem. Możesz bezpiecznie iść do pracy w banku.)
Czy jest coś nie tak? Nie działa? Nie wiesz, jak szybko obliczyć procenty liczby? Nie znasz bardzo prostych i jasnych zasad? Od czego na przykład naliczyć odsetki? Albo jak zamienić ułamki zwykłe na procenty?
Jeśli podoba Ci się ta strona...
Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)
Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)
Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.
Pieniądze tak mocno zadomowiły się w naszym życiu, że każdy z nas, bez względu na wiek, płeć i sposób uzyskiwania dochodów, od czasu do czasu znajduje się w sytuacjach, w których zmuszony jesteśmy do podjęcia decyzji wymagających kalkulacji finansowej. A wtedy od naszej umiejętności operowania konkretnymi kategoriami finansowymi zależy, jak opłacalna będzie wybrana przez nas opcja. W tym artykule przyjrzymy się głównym kategoriom matematyki finansowej i pokażemy, jak z nich korzystać, aby podejmować właściwe decyzje w różnorodnych sytuacjach.
Odsetki. Odsetki składane. Kapitalizacja odsetek (Łączenie)
Odsetki to dochód uzyskiwany jako zapłata za pożyczanie pieniędzy w jakiejkolwiek formie. Procenty można wyrazić w formie bezwzględnej lub względnej. Forma absolutna to konkretna kwota na dany okres. Względne - w formie stopy procentowej powiązanej z określonym okresem (rok, miesiąc lub dzień). Aby obliczyć skumulowaną kwotę (S), przez którą rozumiemy kwotę główną plus skumulowane odsetki, należy skorzystać ze wzoru:
(1) S = P * (1 + ja * n),
gdzie P to kwota, od której naliczane są odsetki, i to stopa procentowa, N to liczba okresów naliczania.
Przykład
Udzieliłeś znajomemu pożyczki w wysokości 10 000 zł na 3 miesiące, na warunkach której obiecuje płacić Ci 2% miesięcznie. Musisz obliczyć kwotę, którą otrzymasz na koniec okresu pożyczki. Otrzymujemy 10 000 * (1 + 2% * 3) = 10 600 USD.
Często można spotkać się z sytuacją, że odsetki nie są płacone, lecz doliczane do zainwestowanej kwoty, a od nowego okresu naliczanie następuje od kwoty z uwzględnieniem wcześniej doliczonych odsetek. Takie odsetki nazywane są odsetkami składanymi, a proces naliczania odsetek od odsetek nazywany jest kapitalizacją odsetek. W przypadku odsetek składanych naliczoną kwotę oblicza się inaczej:
(2) S = P * (1 + ja) ^ n,
gdzie znaczenie liter jest takie samo jak we wzorze powyżej, a znak „^” oznacza potęgowanie.
Jaka jest różnica między odsetkami składanymi a prostymi? Jeśli odsetki proste rosną liniowo (o tę samą kwotę w każdym okresie), to odsetki składane rosną wykładniczo (w każdym kolejnym okresie kwota odsetek jest większa niż w poprzednim). Dzięki temu efektowi kwota oprocentowania złożonego na długi okres jest wielokrotnie większa niż wzrost kwoty oprocentowania prostego. Poniżej przedstawiamy wyniki wzrostu depozytów (6% rocznie) o oprocentowaniu prostym i składanym. Jeśli na początku różnica pozostaje niewielka, później osiąga się wartość krytyczną. Tak więc w roku 80 depozyt o prostym oprocentowaniu osiągnie poziom 58 000 dolarów, natomiast depozyt o złożonym oprocentowaniu osiągnie poziom 1 057 960 dolarów.
W praktyce często spotyka się praktykę, w której okres naliczania odsetek różni się od liczby całkowitej. W takiej sytuacji wzór na obliczenie naliczonej kwoty wraz z odsetkami prostymi przyjmuje postać:
(3) S = P* (1 + ja * d / 365),
gdzie d to okres odsetkowy wyrażony w dniach.
Zdarzają się również sytuacje, gdy oprocentowanie wyrażane jest w ujęciu rocznym, lecz odsetki naliczane są miesięcznie. W takich przypadkach wzór na obliczenie naliczonej kwoty (z reguły stosuje się w tym przypadku odsetki składane) będzie wyglądał następująco:
(4) S = P * (1 + i/m) ^ (n*m),
gdzie m to liczba okresów naliczania odsetek w danym okresie (zwykle 12 stosuje się w zależności od liczby miesięcy w roku).
I na koniec zauważmy, że niezależnie od rodzaju odsetek wszystkie wzory na obliczenie naliczonej kwoty można sprowadzić do ogólnej postaci:
(5) S = P * k,
gdzie k jest współczynnikiem akumulacji, który jest obliczany na różne sposoby w zależności od rodzaju zastosowanych odsetek. Wniosek ten znacznie ułatwi nam zrozumienie kolejnych operacji matematycznych.
Rabatowanie i jego istota
Pojęcie odsetek, które omówiliśmy powyżej, odzwierciedla wartość pieniądza w czasie. Innymi słowy, w związku z tym, że pieniądze, które dzisiaj posiadamy, mogą jutro przynieść nam dochód w wyniku ich zainwestowania po określonej stopie procentowej, przyszłe wpływy gotówkowe mają niższą wartość bieżącą. Zasada ta stanowi podstawę operacji matematycznej zwanej dyskontowaniem. Dyskontowanie oznacza doprowadzenie przyszłych płatności do wartości bieżącej i jest w swoim znaczeniu odwrotną operacją zwiększania odsetek. Oznacza to, że dyskontowanie traktuje przyszłe płatności jako kwotę naliczoną (S), a zadaniem inwestora jest obliczenie ich bieżącej wartości (P) w oparciu o dostępną dla niego stopę procentową (i). W zależności od rodzaju odsetek formuła rabatu będzie wyglądać następująco: lub
(6) P = S/(1+i*n)
(7) P = S/(1+i)^n
Celem dyskontowania jest pokazanie nam, ile dzisiaj warte są pieniądze, które otrzymamy w przyszłości, aby nie przepłacać za przyszłe płatności w zakresie dostępnej nam alternatywy inwestycyjnej. Przyjrzyjmy się kilku typowym operacjom, w których stosuje się dyskontowanie.
Zakup strumienia przyszłych płatności (transakcji księgowych)
Do nabycia oferowana jest obligacja o wartości nominalnej 1000 dolarów i oprocentowaniu 6% w skali roku, z odsetkami płatnymi kwartalnie i wykupem na koniec roku. Zadanie polega na wyliczeniu aktualnej wartości zobowiązania w oparciu o stopę dyskontową 15% rocznie.
Rozwiązanie
Obliczmy kwartalny dochód odsetkowy i zbudujmyw programie Przewyższać tabela przepływów pieniężnych. Znajdźmy aktualną wartość korzystając z wbudowanej formuły NPV. Zatem przy stopie dyskontowej wynoszącej 15% rocznie bieżąca wartość tego zobowiązania finansowego wynosi 916,22 USD
Notatka
2) We wzorze NPV zamiast stopy procentowej podajemy procent roczny podzielony przez 12
Równoważność finansowa
Strony ustalają warunki płatności za powierzchnię biurową. Cena lokalu to 24 000 dolarów. Sprzedawca wyraża zgodę na płatność ratalną na warunkach: 8.000$ natychmiast, reszta w równych częściach w ciągu 4 miesięcy. Jest jednak gotowy rozważyć dłuższy okres raty, jeśli sprzedawca zaproponuje mu większą kwotę za sprzedawany lokal.
Rozwiązanie
Odzwierciedlmy początkowe warunki planu ratalnego w formie tabeli w Excelu. Zamodelujmy w tej samej tabeli ofertę z rosnącymi opłatami miesięcznymi, w efekcie czego cena lokalu wzrośnie do 24 400 dolarów. Obliczmy aktualną wartość każdej opcji, aby porównać ich równoważność w oparciu o stopę procentową wynoszącą 10% w skali roku. Z kalkulacji wynika, że druga opcja, nawet przy wyższej cenie zakupu, jest dla kupującego bardziej opłacalna niż pierwsza
Konsolidacja płatności
Konsolidacja płatności to operacja połączenia kilku zobowiązań płatniczych w jedną płatność (S0) w określonym przedziale czasu (T0). Cechą tej operacji jest to, że wszystkie płatności, których otrzymania oczekuje się przed tą datą, oblicza się metodą memoriałową, a te oczekiwane po niej oblicza się poprzez dyskontowanie. W zależności od rodzaju zastosowanego procentu wzór konsolidacji wygląda następująco:
(8) S = ∑ Pn * (1 + i * (T0 - Tn))
(9) S = ∑ Pn* (1 + i) ^ (T0 - Ta))
Przykład
Otworzyłeś lokatę bankową w wysokości 10 000 USD na 12 miesięcy przy oprocentowaniu 10% rocznie. Ile pieniędzy musisz wpłacić na swoje konto w 14 miesiącu, aby po 3 latach mieć na koncie 15 000 dolarów?
Rozwiązanie
Wyobraźmy sobie problem w postaci konsolidacji wpłat, gdzie dotychczasowy wkład zostanie wyrażony liczbą dodatnią, a oczekiwana kwota w przyszłości wyrażona zostanie liczbą ujemną. Biorąc pod uwagę, że odsetki naliczane są według złożonej stopy procentowej, otrzymujemy następujące obliczenie: 10 000 * (1 + 10% / 12) ^ (14-0) - 15 000 * (1 + 10% / 12) ^ (14-36) = 11 232 - 12 496 = -1 264 USD.
Wyznaczanie wewnętrznej stopy zwrotu
W biznesie i inwestowaniu często zdarzają się sytuacje, gdy inwestor zna przyszłe wpłaty i kwotę inwestycji i musi obliczyć tempo wzrostu, przy którym kwota przyszłych wpłat sprowadzona do wartości bieżącej będzie liczbowo równa kwocie inwestycji . Współczynnik przyrostu, dla którego jest wykonywany ten warunek, nazywana jest wewnętrzną stopą zwrotu (IRR, w języku angielskim - IRR, wewnętrzna stopa zwrotu). Do obliczenia wewnętrznej stopy zwrotu wykorzystywana jest wbudowana funkcja programu Excel – IRR.
Przykład
Inwestor rozważa propozycję inwestycji, która stanowi udział kapitałowy w otwarciu pizzerii (zobacz tutaj). Znamy: a) kwotę wnioskowanej inwestycji; b) plan finansowy (prognoza przepływów pieniężnych); c) schemat dystrybucji przepływów pieniężnych. Podsumowanie propozycji inwestycyjnej (patrz tabela) zawiera 6 opcji rentowności. Konieczne jest określenie całkowitej rentowności propozycji inwestycyjnejporównania z innymi opcjami inwestycyjnymi.
Rozwiązanie
Zbudujmy w Excelu tabelę przepływów pieniężnych, które inwestor otrzyma zgodnie z planem finansowym (patrz tabela). Obliczmy wewnętrzną stopę zwrotu korzystając z wbudowanej formuły IRR, gdzie jako zakres wartości wskazujemy wszystkie wartości płatności, łącznie z inwestycją początkową. Otrzymana wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) = 38,47%. Zatem całkowity oczekiwany zwrot z rozważanej propozycji inwestycyjnej wynosi 38,47% w skali roku.
Notatka
1) W okresach, w których nie ma płatności, ustaw „0”.
2) Aby otrzymać roczną stawkę VSD, wynikową wartość należy pomnożyć przez 12.
Renta (czynsz finansowy)
Przepływ płatności, którego wszystkie składniki są dodatnie, a odstępy czasowe między płatnościami są takie same, nazywany jest rentą dożywotnią lub rentą finansową. Na przykład renta to sekwencja otrzymywania odsetek od obligacji, spłat kredytu konsumenckiego, regularnych składek w ramach kumulacyjnych umów ubezpieczenia i wypłaty emerytur. Renty charakteryzują się następującymi parametrami: 1) wysokość każdej indywidualnej płatności; 2) odstęp między płatnościami; 3) czas trwania płatności (istnieją renty wieczyste); 4) stopa procentowa. Ze względu na złożoność wzoru obliczeniowego do obliczenia poszczególnych składników renty najlepiej jest skorzystać z wbudowanych formuł programu Excel. Spójrzmy na główne.
Przy obliczaniu kredytu stosuje się następujące wzory: PLT (oblicza wysokość miesięcznej raty), OSPLT (oblicza kwotę spłaty zadłużenia głównego w ramach określonej miesięcznej spłaty), PRPLT (oblicza wysokość odsetek część określonej miesięcznej płatności).
Przykład
Należy obliczyć miesięczną ratę i sporządzić harmonogram spłaty pożyczki, kwota wynosi 10 000 USD, oprocentowanie 20%, okres spłaty 20 miesięcy.
Rozwiązanie
Do obliczenia płatności używamy wzoru PMT. W miejsce stopy procentowej podstawiamy wartość miesięczną (wartość roczna podzielona przez 12), jako wartość bieżąca wskazujemy kwotę kredytu, wartość przyszłą – wskazujemy 0. Tych samych wartości używamy we wzorach OSPLT i PRPLT , w którym tylko numer seryjny okres. Uzyskane wartości prezentujemy w formie tabeli:
Tę samą formułę PMT można zastosować do obliczenia miesięcznych składek, na które należy zgromadzić kwotę danej chwili czas. W tym celu w miejsce wartości bieżącej wstawiamy kwotę zadatku, a w miejsce wartości przyszłej wymaganą kwotę.
Przykład
Masz 25 lat. Otwierasz konto oszczędnościowe emerytalne z oprocentowaniem 6% w skali roku i wpłacasz na nie 10 000 dolarów swoich oszczędności. Obliczmy miesięczną opłatę, jaką musisz wpłacić na swoje konto, aby osiągnąć 100 000 dolarów do 45 roku życia.
Rozwiązanie
Używamy funkcji PMT. Stopa procentowa wynosi 6% / 12, liczba okresów wynosi 20 * 12, wartość bieżąca wynosi 10 000 USD, wartość przyszła wynosi 100 000 USD. W tym przypadku wypełniona formuła będzie wyglądać następująco =PLT(6%/12;20*12;10000;100 000). Otrzymujemy miesięczną kwotę płatności w wysokości 288 USD.
Jak zauważyłeś, w powyższych przykładach obliczyliśmy wysokość miesięcznej raty, inne parametry renty były nam znane. Excel pozwala nam obliczyć inne parametry renty - wartość bieżąca, wartość przyszła, ilość płatności okresowych. Przyjrzyjmy się przykładom działania tych formuł.
Przykład obliczenia wartości bieżącej
Z okazji 10. urodzin Twojego syna decydujesz się otworzyć konto oszczędnościowe, aby mógł zaoszczędzić 10 000 dolarów w dniu swoich 18. urodzin. Jaką zaliczkę musisz wpłacić na to konto, jeśli Twoje planowane miesięczne składki wynoszą 50 USD?
Rozwiązanie
Używamy funkcji PS. Oprocentowanie wynosi 6% / 12, liczba płatności 8 * 12, płatność okresowa wynosi 50 USD, przyszła wartość wynosi minus 10 000 USD. W tym przypadku wypełniona formuła będzie wyglądać następująco =PS(6%/12;8*12;50;-10000). Wynikowa wartość zaliczki wynosi 2390 USD.
Notatka
Wartość ujemna we wzorach PS i BS oznacza „otrzymam”, wartość dodatnia oznacza „płacę”.
Przykład obliczenia przyszłej wartości i liczby płatności
Dwóch przyjaciół postanowiło zapewnić sobie dodatkową emeryturę. W tym celu każdy z nich otworzył konto oszczędnościowe z oprocentowaniem 6% w skali roku, jeden wpłacił na nie początkową kwotę 3000 dolarów, a drugi 5000 dolarów. Pierwszy ma 25 lat, drugi 30, obaj chcą przejść na emeryturę w wieku 45 lat. Obaj są gotowi wpłacać 50 dolarów miesięcznie. Należy obliczyć wysokość ich oszczędności emerytalnych oraz liczbę miesięcy naliczania emerytury ze zgromadzonych środków, jeśli planowane są wypłaty emerytury w wysokości 150 dolarów.
Rozwiązanie
Najpierw obliczmy wysokość oszczędności emerytalnych. W tym celu korzystamy ze wzoru BS. W pierwszym przypadku liczba płatności będzie równa 20 * 12, w drugim - 15 * 12, wartość bieżąca w pierwszym przypadku wynosi 3000 USD, w drugim - 5000 USD, stopa procentowa w obu przypadkach będzie równa do 6% / 12, a płatność okresowa wyniesie 50 USD. Złożona formuła w pierwszym przypadku będzie wyglądać następująco = BS(6%/12;20*12;50;3000), w drugim = BS(6%/12;15*12;50;5000). W pierwszym przypadku oszczędności emerytalne wyniosą 33 032 dolary, w drugim – 26 811 dolarów. Obliczmy teraz okres, w którym zgromadzona kwota może zapewnić powyższe wypłaty emerytury. W tym celu skorzystamy z funkcji NPER, gdzie jako stopę procentową wskazujemy 6%/12, jako kwotę płatności ustalamy 150 dolarów, a otrzymane wartości podstawiamy jako wartość bieżącą. Kwotę otrzymujemy w miesiącach – 149 za pierwszą i 128 za drugą.
Notatka
Wartość ujemna we wzorze oznacza, że otrzymujemy płatności, w przypadku zastosowania formuły do obliczenia wpłat do zapłaty, wynikowa wartość będzie dodatnia.
Renta wieczysta (perpetuity) i model Gordona
Szczególnym przypadkiem renty jest sekwencja płatności, której czas trwania nie jest określony warunkowo, dlatego też rentę tę uważa się za wieczystą. Przykładem renty wieczystej mogą być konsole, rodzaj papierów wartościowych (obligacji), od których odsetki naliczane są na czas nieokreślony, ale nie jest zwracana wartość nominalna. W praktyce takie papiery wartościowe są dość rzadkie. Bardziej powszechnym przykładem renty wieczystej są długoterminowe wypłaty dywidendy, które niektóre spółki wypłacają swoim akcjonariuszom. Do obliczenia kosztu renty wieczystej stosuje się model Gordona:
(10) S = P * (1+g) / (r - g) , gdzie S to koszt renty, P to bieżąca płatność, g to stopa wzrostu bieżącej płatności, r to stopa zwrotu.
Powyższe wzory stanowią główną listę narzędzi do różnego rodzaju obliczeń i pozwalają na wykonywanie obliczeń w odniesieniu do dowolnej sytuacji. W komentarzach do tego artykułu możesz opisać sytuacje wymagające obliczeń finansowych, a ja postaram się pokazać, jak powyższy aparat matematyczny pomoże Ci w ich rozwiązaniu.
Przygotowując artykuł wykorzystano materiały z pomoc nauczania„Matematyka finansowa” Shirshova E.V., N.I. Petrika, Tutygina A.G., Menshikova T.V., Moskwa, wyd. „Knorus”, 2010
Spójrzmy na przykład:
Cena lodówki w sklepie wzrosła o. Jaka była cena, jeśli lodówka początkowo kosztowała RUR?
Rozwiązanie:
Najpierw określmy, ile rubli zmienił się koszt lodówki (w tym przypadku wzrósł).
Zgodnie z warunkiem - włączone.
Ale z czego?
Oczywiście od samego początkowego kosztu lodówki - pocierać.
Okazuje się, że musimy znaleźć z rubli:
Teraz już wiemy, że cena wzrosła o RUB.
Pozostaje tylko, zgodnie z zasadą, dodać kwotę reszty do kosztu początkowego:
Nowa cena w rublach.
Inny przykład(spróbuj sam zdecydować):
Książka „Matematyka dla opornych” kosztuje w sklepie RUR. W czasie promocji wszystkie książki sprzedawane są z rabatem
Ile trzeba będzie teraz zapłacić za tę książkę?
Rozwiązanie:
Co to jest zniżka, czy prawdopodobnie wiesz? Rabat oznacza, że koszt produktu został obniżony o
O ile spadł koszt książki (w rublach)?
Musisz znaleźć od początkowego kosztu w rublach:
Cena spadła, co oznacza, że od kosztu początkowego należy odjąć o ile spadła:
Nowa cena w rublach.
Czy to nie proste?
Ale jest sposób, aby uczynić tę decyzję jeszcze łatwiejszą i krótszą!
Spójrzmy na przykład:
Zwiększ liczbę o.
Od czego są równe?
Jak już się dowiedzieliśmy, tak się stanie.
Teraz zwiększmy samą liczbę x o tę kwotę:
Okazuje się, że w rezultacie dodaliśmy zapis dziesiętny i pomnożyliśmy przez liczbę.
Podsumujmy tę zasadę:
Powiedzmy, że musimy zwiększyć liczbę o.
z numeru - to jest.
Wtedy nowa liczba będzie równa: .
Na przykład zwiększmy liczbę o:
Teraz spróbuj sam:
- Zwiększ liczbę o
- Zwiększ liczbę o
- O ile procent liczba jest większa od liczby?
Rozwiązania:
3) Niech wymagana ilość procent równa się.
Oznacza to, że jeśli liczbę zwiększymy o, będzie to:
Odpowiedz.
Jeśli trzeba zmniejszyć liczbę x, wszystko wygląda podobnie:
Zatem zasada:
Przykłady:
1) Zmniejsz liczbę o.
2) Włączone jaki procent czy liczba jest mniejsza od liczby?
3) Cena produktu objętego rabatem wynosi pkt. Jaka jest cena bez rabatu?
Rozwiązania:
2) Liczbę zmniejszono o x procent i dostał:
Odpowiedz.
3) Niech cena bez rabatu będzie równa. Okazuje się, że x zostało zredukowane przez i otrzymaliśmy:
Na koniec spójrzmy na inny rodzaj problemu, który często powoduje zamieszanie.
Rozwiązywanie złożonych problemów z udziałem procentów
Liczba jest większa niż liczba o. NA jaki procent czy liczba jest mniejsza od liczby?
Cóż za dziwne pytanie: oczywiście, że nie!
Prawidłowy?
Ale nie.
Jeśli na przykład masa jednej szafki wynosi 25 kg więcej masy kolejna, to bez wątpienia masa drugiej szafki jest o 25 kg mniejsza niż masa pierwszej.
Nos procent To nie zadziała w ten sposób!
Istotnie, w pierwszym przypadku, gdy mówimy, że liczba jest większa od liczby, liczymy od tej liczby; w drugim przypadku, gdy mówimy, że liczba jest mniejsza od liczby, liczymy od tej liczby. A ponieważ liczby są różne, to te liczby również będą inne!
Aby poprawnie rozwiązać ten problem, zapiszemy warunek w postaci równania:
Liczba jest większa niż liczba o. Oznacza to, że jeśli liczbę zwiększymy o, otrzymamy liczbę:
Zapiszmy teraz pytanie w tej samej formie: jeśli liczba a zostanie zmniejszona o procent, otrzymujemy liczbę:
Wyraźmy liczbę z równości (1):
I zamień w (2):
Wynika, że:
Otrzymujemy więc, że liczba jest mniejsza niż liczba!
Podobne problemy często pojawiają się na egzaminie Unified State Exam.
Na przykład:
W poniedziałek akcje spółki drożały o pewną kwotę procent, a we wtorek ich cena spadła o tę samą liczbę procent. W rezultacie stały się tańsze niż w momencie otwarcia notowań w poniedziałek. NA jaki procent czy akcje spółki wzrosły w poniedziałek?
Rozwiązanie:
Niech cena akcji w poniedziałek będzie równa i wymagana ilość procent, zapisany jako ułamek dziesiętny (to znaczy już podzielony przez), jest równy.
Zapiszmy wzór na wartość akcji po wzroście ceny:
Wiadomo, że ta ostateczna cena jest niższa od ceny początkowej. Oznacza to, że jeśli zmniejszymy przez, otrzymamy:
Zastąpmy to, co zostało wyrażone wcześniej:
Według zdrowy rozsądek Odpowiednie jest tylko pozytywne rozwiązanie:
Pamiętajmy, że jest to nadal tylko zapis dziesiętny wymaganej ilości procent, czyli tę ilość procent, podzielony przez. Aby przekonwertować na odsetki, musisz pomnożyć przez 100%:
Gdzie w życiu używamy procentów?
Cóż, na przykład w produktach bankowych: lokatach, pożyczkach, kredytach hipotecznych itp.
Jeśli dobrze rozumiesz, czym są odsetki i wiesz, jak rozwiązywać równania, to możesz łatwo obliczyć na przykład wysokość miesięcznej spłaty kredytu.
Albo ile będziesz musiał przepłacić zaciągając kredyt hipoteczny. Jest takie zadanie w ujednoliconym egzaminie państwowym pod numerem 17.
Odsetki. Krótko o najważniejszej sprawie
Jeden procent dowolnej liczby to jedna setna tej liczby.
1. Procenty i ułamki dziesiętne
2. Zmień liczbę o określony procent
Powiedzmy, że musimy zwiększyć liczbę o.
z numeru - to jest.
Wtedy nowa liczba będzie równa: .
Aby zwiększyć liczbę o, należy ją pomnożyć.
Jeśli trzeba zmniejszyć liczbę o:
Aby zmniejszyć liczbę o pewną kwotę, należy odjąć od niej tę wartość:
Aby zmniejszyć liczbę przez, należy ją pomnożyć.
, cykl artykułów na temat finansów osobistych.Dziś porozmawiamy o zainteresowaniach.
Nie da się inwestować bez zrozumienia, czym są odsetki i jak obliczana jest rentowność.
Z reguły nie ma problemów z prostymi odsetkami, każdy, kto kiedykolwiek trzymał pieniądze na depozycie w banku, rozumie, że na przykład oprocentowanie wynosi 10% rocznie przy depozycie w wysokości 50 000 rubli. da 5000 dochodu rocznie.
Trudniej zrozumieć wpływ odsetek składanych, ale jest on bardzo ważny w inwestowaniu długoterminowym, czyli tzw. gdy inwestycje są dokonywane w celu osiągnięcia wolności finansowej.
Zasadniczo w przypadku odsetek składanych dochód odsetkowy jest reinwestowany, zwiększając wielkość depozytu. Oto przykład, załóżmy, że masz 100 000 rubli. i na nich otrzymujesz 10% dochodu, tj. 10 000 rubli. W roku.
W pierwszym roku otrzymałeś 10 000 rubli. a twój wkład wzrósł o te 10 000, wynoszący 110 000 rubli.
W drugim roku Twój dochód wyniesie już 10% ze 110 000 rubli, tj. 11 000 rubli, które również dodajesz do depozytu, co daje 110 000 + 11 000 = 121 000 rubli.
Trzeci rok: Twoje 121 tysięcy rubli ponownie przynosi 10%, czyli 12 100 rubli w rublach, a twój wkład na koniec trzeciego roku wyniesie 121 000 + 12 100 = 133 100 rubli.
Itp.
W sformalizowanej formie odsetki składane zapisuje się w następujący sposób:
FV = PV (1 + r)^n
Gdzie F.V.– przyszła wartość depozytu;PV– koszt początkowy depozytu;R– stopa zwrotu (rentowność);N– liczba okresów.
Cóż, sprawdź formułę na naszym przykładzie FV = 10 000 (1 + 0,1)^3 = 133 100 rubli. Jak widać wszystko się połączyło :)
Kiedy inwestujesz długoterminowo, znaczenie odsetek składanych znacznie wzrasta.
Wyobraźmy sobie taki przykład: jeśli cena mleka wzrośnie o 10% rocznie, ile będzie ono kosztować za 20 lat? Jeśli dzisiaj mleko kosztuje 30 rubli za litr, to przy wzroście ceny mleka o 10% rocznie, za 20 lat mleko będzie kosztować FV = 30 (1+0,1)^20 = 201 rubli 82 kopiejek!
Swoją drogą ten przykład bardzo dobrze pokazuje potrzebę inwestowania i ochrony kapitału, który również traci na wartości zgodnie ze wzorem procentu składanego.
Formuła ta nazywana jest także „formułą Rothschilda”, „formułą diabła”, a w języku angielskim i w kręgach finansowych nazywa się ją „łączeniem”.
Wszystko na ziemi zmienia się według wzoru procentu składanego: inflacja, zwiększone zużycie ropy lub pszenicy, zmiany populacji ziemi itp.
Kiedy inwestujesz, procent działa dla Ciebie, oto przykładO emeryturach wspomniałem wcześniej:
Ile pieniędzy będzie w stanie zaoszczędzić przeciętny Rosjanin, jeśli zainwestuje 3000 rubli? miesięcznie przez 30 lat? Załóżmy, że wzrost jego inwestycji wyniesie 5% rocznie, a zwrot z inwestycji wyniesie 17% rocznie.
Po 30 latach zgromadzi się 32 022 812 rubli. W ten sposób działają dla Ciebie odsetki składane, działające jako dźwignia zwiększająca Twój wkład.
Ale działa to również przeciwko niemu, gdy na przykład zaciągasz pożyczki.
Zasadniczo istnieją programy, które pozwalają obliczyć odsetki składane i związane z nimi wzory renty (rentę traktuje się jako szereg płatności, które są takie same (lub zmieniają się według wzoru) i są od siebie oddalone o tę samą okres czasu; przykład, w którym zgromadzono 3000 rubli w miesiącu, jest również uważany za rentę. Miesiąc wyższa i równa miesięcznych spłat kredytu w czasie).
Możesz spróbować sam, ja tego używamjak ten program na iPada , jest bezpłatny i oferuje również opcje dla Androida.
Na rysunku przedstawiono przykład obliczenia kwoty spłaty kredytu za pomocą tego programu.
Tam możesz także wypróbować inne obliczenia finansowe, na przykład obliczenie odsetek składanych i rent.
Spróbuj, najważniejsze jest zrozumienie samej zasady.
Kontynuujemy naukę elementarnych problemów z matematyki. Ta lekcja dotyczy problemów procentowych. Przyjrzymy się kilku problemom, a także poruszymy te punkty, o których nie wspomnieliśmy wcześniej podczas badania procentów, biorąc pod uwagę, że na początku stwarzają one trudności w nauce.
Większość problemów związanych z procentami sprowadza się do znalezienia procentu liczby, znalezienia liczby w procentach, wyrażenia części w procentach lub wyrażenia w procentach związku między kilkoma obiektami, liczbami, ilościami.
Umiejętności wstępne Treść lekcjiMetody znajdowania procentu
Procent można znaleźć na różne sposoby. Najpopularniejszym sposobem jest podzielenie liczby przez 100 i pomnożenie wyniku przez żądaną wartość procentową.
Na przykład, aby znaleźć 60% z 200 rubli, musisz najpierw podzielić te 200 rubli na sto równych części:
200 rubli: 100 = 2 ruble.
Dzieląc liczbę przez 100, znajdujemy jeden procent tej liczby. Tak więc, dzieląc 200 rubli na 100 części, automatycznie znaleźliśmy 1% z dwustu rubli, to znaczy dowiedzieliśmy się, ile rubli przypada na część. Jak widać z przykładu, jedna część (jeden procent) stanowi 2 ruble.
1% z 200 rubli - 2 ruble
Wiedząc, ile rubli jest w jednej części (1%), możesz dowiedzieć się, ile rubli jest w dwóch częściach, trzech, czterech, pięciu itd. Oznacza to, że możesz znaleźć dowolną liczbę procentów. Aby to zrobić, po prostu pomnóż te 2 ruble przez wymaganą liczbę części (procenty). Znajdźmy sześćdziesiąt sztuk (60%)
2 ruble × 60 = 120 rubli.
2 ruble × 5 = 10 rubli.
Znajdźmy 90%
2 ruble × 90 = 180 rubli.
Znajdziemy na 100%
2 ruble × 100 = 200 rubli.
100% to wszystkie sto części i stanowią one wszystkie 200 rubli.
Drugi sposób polega na przedstawieniu wartości procentowej jako ułamek wspólny i znajdź ten ułamek liczby, z której chcesz znaleźć procent.
Na przykład znajdźmy te same 60% z 200 rubli. Najpierw przedstawmy 60% jako ułamek. 60% to sześćdziesiąt części ze stu, czyli sześćdziesiąt setnych:
Teraz zadanie można rozumieć jako « znaleźć od 200ruble” . To jest to, co badaliśmy wcześniej. Przypomnijmy, że aby znaleźć ułamek liczby, należy podzielić tę liczbę przez mianownik ułamka i uzyskany wynik pomnożyć przez licznik ułamka
200: 100 = 2
2 × 60 = 120
Lub pomnóż liczbę przez ułamek ():
Trzeci sposób polega na przedstawieniu wartości procentowej w postaci ułamka dziesiętnego i pomnożeniu liczby przez ułamek dziesiętny.
Na przykład znajdźmy te same 60% z 200 rubli. Na początek przedstaw 60% jako ułamek. 60% procent to sześćdziesiąt części na sto
Zróbmy dzielenie w tym ułamku. Przesuńmy przecinek w liczbie 60 o dwie cyfry w lewo:
Teraz znajdujemy 0,60 z 200 rubli. Aby znaleźć ułamek dziesiętny liczby, należy pomnożyć tę liczbę przez ułamek dziesiętny:
200 × 0,60 = 120 rubli.
Powyższa metoda znajdowania procentu jest najwygodniejsza, szczególnie jeśli dana osoba jest przyzwyczajona do korzystania z kalkulatora. Ta metoda pozwala znaleźć procent w jednym kroku.
Zazwyczaj wyrażanie procentu jako ułamka dziesiętnego nie jest takie proste specjalna praca. Wystarczy dodać „zerową liczbę całkowitą” przed procentem, jeśli procent reprezentuje liczba dwucyfrowa lub dodaj „zero całkowite” i kolejne zero, jeśli wartość procentowa jest liczbą jednocyfrową. Przykłady:
60% = 0,60 - przed liczbą 60 dodano zero liczb całkowitych, ponieważ liczba 60 jest dwucyfrowa
6% = 0,06 - dodano zero liczb całkowitych i jeszcze jedno zero przed liczbą 6, ponieważ liczba 6 jest jednocyfrowa.
Przy dzieleniu przez 100 zastosowaliśmy metodę przesuwania przecinka o dwie cyfry w lewo. W odpowiedzi 0,60 pozostawiono zero po cyfrze 6. Ale jeśli wykonasz to dzielenie narożnikiem, zero zniknie - otrzymasz odpowiedź 0,6
Musimy pamiętać, że ułamki dziesiętne 0,60 i 0,6 mają tę samą wartość:
0,60 = 0,6
W tym samym „rogu” możesz kontynuować dzielenie w nieskończoność, za każdym razem dodając zero do reszty, ale będzie to akcja bez znaczenia:
Procenty można wyrazić w postaci ułamka dziesiętnego nie tylko dzieląc przez 100, ale także mnożąc. Sam symbol procentu (%) zastępuje mnożnik 0,01. A jeśli weźmiemy pod uwagę, że liczba procentów i znak procentu są zapisane razem, to między nimi znajduje się „niewidoczny” znak mnożenia (×).
Zatem wpis 45% faktycznie wygląda następująco:
Zastąp znak procentu współczynnikiem 0,01
Mnożenie przez 0,01 wykonuje się poprzez przesunięcie przecinka o dwie cyfry w lewo:
Problem 1. Budżet rodzinny wynosi 75 tysięcy rubli miesięcznie. Spośród nich 70% to pieniądze zarobione przez tatę. Ile mama zarabiała?
Rozwiązanie
Suma wynosi 100 procent. Jeśli tata zarobił 70% pieniędzy, to mama zarobiła pozostałe 30% pieniędzy.
Problem 2. Budżet rodzinny wynosi 75 tysięcy rubli miesięcznie. Spośród nich 70% to pieniądze zarobione przez tatę, a 30% to pieniądze zarobione przez mamę. Ile pieniędzy zarobiła każda osoba?
Rozwiązanie
Znajdziemy 70 i 30 procent z 75 tysięcy rubli. W ten sposób ustalimy, ile pieniędzy zarobiła każda osoba. Dla wygody zapisujemy 70% i 30% jako ułamki dziesiętne:
75 × 0,70 = 52,5 (tysiąc rubli zarobił tata)
75 × 0,30 = 22,5 (tysiąc rubli zarobionych przez matkę)
Badanie
52,5 + 22,5 = 75
75 = 75
Odpowiedź: 52,5 tysiąca rubli. Tata zarobił 22,5 rubla. Mama zarabiała pieniądze.
Problem 3. Chleb podczas chłodzenia traci do 4% swojej masy na skutek odparowania wody. Ile kilogramów wyparuje, gdy 12 ton chleba ostygnie?
Rozwiązanie
Zamieńmy 12 ton na kilogramy. Jedna tona zawiera tysiąc kilogramów, a 12 ton zawiera 12 razy więcej:
1000 × 12 = 12 000 kg
Znajdźmy teraz 4% z 12000. Uzyskany wynik będzie odpowiedzią na zadanie:
12 000 × 0,04 = 480 kg
Odpowiedź: Kiedy 12 ton chleba ostygnie, wyparuje 480 kilogramów.
Problem 4. Po wysuszeniu jabłka tracą 84% swojej masy. Ile suszonych jabłek otrzymasz z 300 kg świeżych?
Znajdźmy 84% z 300 kg
300: 100 × 84 = 252 kg
300 kg świeżych jabłek w wyniku suszenia straci 252 kg masy. Aby odpowiedzieć na pytanie, ile suszonych jabłek otrzymasz, należy od 300 odjąć 252
300 - 252 = 48 kg
Odpowiedź: z 300 kg świeżych jabłek otrzymasz 48 kg suszonych.
Problem 5. Nasiona soi zawierają 20% oleju. Ile oleju znajduje się w 700 kg nasion soi?
Rozwiązanie
Znajdźmy 20% z 700 kg
700 × 0,20 = 140 kg
Odpowiedź: 700 kg nasion soi zawiera 140 kg oleju
Problem 6. Gryka zawiera 10% białek, 2,5% tłuszczów i 60% węglowodanów. Ile tych produktów mieści się w 14,4 kg kaszy gryczanej?
Rozwiązanie
Zamieńmy 14,4 centa na kilogramy. W jednym centenie jest 100 kilogramów, w 14,4 centarze jest 14,4 razy więcej
100 × 14,4 = 1440 kg
Znajdźmy 10%, 2,5% i 60% z 1440 kg
1440 × 0,10 = 144 (kg białek)
1440 × 0,025 = 36 (kg tłuszczu)
1440 × 0,60 = 864 (kg węglowodanów)
Odpowiedź: 14,4 kg kaszy gryczanej zawiera 144 kg białka, 36 kg tłuszczu, 864 kg węglowodanów.
Problem 7. Uczniowie zebrali dla szkółki drzewnej 60 kg nasion dębu, akacji, lipy i klonu. Żołędzie stanowiły 60%, nasiona klonu 15%, nasiona lipy 20% wszystkich nasion, resztę stanowiły nasiona akacji. Ile kilogramów nasion akacji zebrali uczniowie?
Rozwiązanie
Za 100% przyjmijmy nasiona dębu, akacji, lipy i klonu. Od tych 100% odejmijmy procenty wyrażające nasiona dębu, lipy i klonu. W ten sposób dowiadujemy się, jaki procent nasion akacji stanowią:
100% − (60% + 15% + 20%) = 100% − 95% = 5%
Teraz znajdujemy nasiona akacji:
60 × 0,05 = 3 kg
Odpowiedź: Uczniowie zebrali 3 kg nasion akacji.
Badanie:
60 × 0,60 = 36
60 × 0,15 = 9
60 × 0,20 = 12
60 × 0,05 = 3
36 + 9 + 12 + 3 = 60
60 = 60
Problem 8. Mężczyzna kupił artykuły spożywcze. Mleko kosztuje 60 rubli, co stanowi 48% kosztów wszystkich zakupów. Oblicz łączną kwotę wydaną na zakupy spożywcze.
Rozwiązanie
Jest to zadanie polegające na znalezieniu liczby na podstawie jej procentu, czyli znanej części. Problem ten można rozwiązać na dwa sposoby. Pierwszy polega na wyrażeniu znanej liczby procentów w postaci ułamka dziesiętnego i znalezieniu nieznanej liczby z tego ułamka
Wyraź 48% w postaci ułamka dziesiętnego
48% : 100 = 0,48
Wiedząc, że 0,48 to 60 rubli, możemy określić kwotę wszystkich zakupów. Aby to zrobić, musisz znaleźć nieznaną liczbę w ułamku dziesiętnym:
60: 0,48 = 125 rubli
Oznacza to, że łączna kwota wydana na artykuły spożywcze wynosi 125 rubli.
Drugi sposób polega na tym, aby najpierw dowiedzieć się, ile pieniędzy przypada na jeden procent, a następnie pomnożyć wynik przez 100
48% to 60 rubli. Jeśli podzielimy 60 rubli przez 48, dowiemy się, ile rubli stanowi 1%
60: 48% = 1,25 rubla
1% stanowi 1,25 rubla. Suma wynosi 100 procent. Jeśli pomnożymy 1,25 rubla przez 100, otrzymamy całkowitą kwotę wydaną na produkty
1,25 × 100 = 125 rubli
Problem 9. Świeże śliwki dają 35% suszonych śliwek. Ile świeżych śliwek potrzeba, aby uzyskać 140 kg suszonych śliwek? Ile suszonych śliwek otrzymasz z 600 kg świeżych?
Rozwiązanie
Wyraźmy 35% jako ułamek dziesiętny i znajdź nieznaną liczbę za pomocą tego ułamka:
35% = 0,35
140: 0,35 = 400 kg
Aby otrzymać 140 kg suszonych śliwek, należy zebrać 400 kg świeżych.
Odpowiedzmy sobie na drugie pytanie problemu - ile suszonych śliwek otrzymasz z 600 kg świeżych? Jeśli 35% suszonych śliwek pochodzi ze świeżych śliwek, to wystarczy znaleźć te 35% z 600 kg świeżych śliwek
600 × 0,35 = 210 kg
Odpowiedź: aby otrzymać 140 kg suszonych śliwek, należy zebrać 400 kg świeżych. Z 600 kg świeżych śliwek otrzymasz 210 kg suszonych.
Problem 10. Wchłanianie tłuszczów przez organizm człowieka wynosi 95%. W ciągu miesiąca studentka spożyła 1,2 kg tłuszczu. Ile tłuszczu może wchłonąć jego organizm?
Rozwiązanie
Zamień 1,2 kg na gramy
1,2 × 1000 = 1200 g
Znajdźmy 95% z 1200 g
1200 × 0,95 = 1140 g
Odpowiedź: Organizm ucznia może wchłonąć 1140 g tłuszczu.
Wyrażanie liczb w procentach
Procent, jak wspomniano wcześniej, można przedstawić jako ułamek dziesiętny. Aby to zrobić, po prostu podziel liczbę tych procentów przez 100. Na przykład wyobraź sobie 12% jako ułamek dziesiętny:
Komentarz. Teraz nie znajdujemy procentu czegoś, ale po prostu zapisujemy to jako ułamek dziesiętny.
Ale możliwy jest również proces odwrotny. Ułamek dziesiętny można przedstawić jako procent. Aby to zrobić, musisz pomnożyć ten ułamek przez 100 i umieścić znak procentu (%)
Przedstawmy ułamek dziesiętny 0,12 jako procent
0,12 × 100 = 12%
Ta akcja nazywa się wyrażanie liczby w procentach Lub wyrażanie liczb w setnych.
Mnożenie i dzielenie to operacje odwrotne. Na przykład, jeśli 2 × 5 = 10, to 10: 5 = 2
W ten sam sposób dzielenie można zapisać w odwrotnej kolejności. Jeśli 10: 5 = 2, to 2 × 5 = 10:
To samo dzieje się, gdy wyrażamy ułamek dziesiętny jako procent. Zatem 12% wyrażono w ułamku dziesiętnym w następujący sposób: 12:100 = 0,12, ale potem to samo 12% „zwrócono” za pomocą mnożenia, zapisując wyrażenie 0,12 × 100 = 12%.
Podobnie możesz wyrazić dowolne inne liczby, w tym liczby całkowite, jako procenty. Na przykład wyraźmy liczbę 3 w procentach.Pomnóżmy podany numer przez 100 i dodaj do wyniku znak procentu:
3 × 100 = 300%
Duże wartości procentowe, takie jak 300%, mogą na początku być mylące, ponieważ ludzie są przyzwyczajeni do myślenia o 100% jako o maksymalnej wartości procentowej. Z dodatkowych informacji o ułamkach wiemy, że jeden cały obiekt można oznaczyć przez jeden. Na przykład, jeśli jest całe niepokrojone ciasto, można je oznaczyć liczbą 1
To samo ciasto można określić jako ciasto 100%. W tym przypadku zarówno jeden, jak i 100% będą oznaczać to samo całe ciasto:
Przekrójmy ciasto na pół. W tym przypadku jeden stanie się liczbą dziesiętną 0,5 (ponieważ jest to połowa jedności), a 100% stanie się 50% (ponieważ 50 to połowa setki)
Zwrócimy całe ciasto, jedną sztukę i 100%
Przedstawmy jeszcze dwa takie ciasta z tymi samymi oznaczeniami:
Jeśli jedno ciasto to jednostka, to trzy ciasta to trzy jednostki. Każde ciasto jest w 100% całe. Jeśli dodasz te trzysta, otrzymasz 300%.
Dlatego przeliczając liczby całkowite na procenty, mnożymy te liczby przez 100.
Problem 2. Wyraź liczbę 5 w procentach
5 × 100 = 500%
Problem 3. Wyraź liczbę 7 w procentach
7 × 100 = 700%
Problem 4. Wyraź liczbę 7,5 w procentach
7,5 × 100 = 750%
Problem 5. Wyraź liczbę 0,5 w procentach
0,5 × 100 = 50%
Problem 6. Wyraź liczbę 0,9 w procentach
0,9 × 100 = 90%
Przykład 7. Wyraź liczbę 1,5 w procentach
1,5 × 100 = 150%
Przykład 8. Wyraź liczbę 2,8 w procentach
2,8 × 100 = 280%
Problem 9. George wraca ze szkoły do domu. W ciągu pierwszych piętnastu minut przeszedł 0,75 drogi. Przez resztę czasu przeszedł pozostałe 0,25 trasy. Wyraź procent drogi przebytej przez Jerzego.
Rozwiązanie
0,75 × 100 = 75%
0,25 × 100 = 25%
Problem 10. John został poczęstowany połówką jabłka. Wyraź tę połowę w procentach.
Rozwiązanie
Pół jabłka zapisuje się jako ułamek 0,5. Aby wyrazić ten ułamek w procentach, pomnóż go przez 100 i dodaj do wyniku znak procentu.
0,5 × 100 = 50%
Analogi w postaci ułamków
Wartość wyrażona procentowo ma swój odpowiednik w postaci ułamka zwykłego. Zatem odpowiednikiem 50% jest ułamek. Pięćdziesiąt procent można również nazwać „połową”.
Odpowiednikiem 25% jest ułamek. Dwadzieścia pięć procent można również nazwać ćwiartką.
Odpowiednikiem 20% jest ułamek. Dwadzieścia procent można również nazwać piątą.
Analogiem dla 40% jest ułamek.
Analogiem dla 60% jest ułamek
Przykład 1. Pięć centymetrów to 50% decymetra, czyli tylko połowa. We wszystkich przypadkach mówimy o tej samej wartości - pięć centymetrów na dziesięć
Przykład 2. Dwa i pół centymetra to 25% decymetra, czyli tylko jedna czwarta
Przykład 3. Dwa centymetry to 20% decymetra lub
Przykład 4. Cztery centymetry to 40% decymetra lub
Przykład 5. Sześć centymetrów to 60% decymetra lub
Spadek i wzrost zainteresowania
Przy zwiększaniu lub zmniejszaniu wartości wyrażonej w procentach używany jest przyimek „do”.
Przykłady:
- Zwiększenie o 50% oznacza zwiększenie wartości o 1,5 razy;
- Zwiększenie o 100% oznacza dwukrotne zwiększenie wartości;
- Wzrost o 200% oznacza wzrost o 3 razy;
- Zmniejsz o 50% oznacza zmniejszenie wartości 2 razy;
- Zmniejszyć o 80% oznacza zmniejszyć o 5 razy.
Przykład 1. Dziesięć centymetrów wzrosło o 50%. Ile centymetrów uzyskałeś?
Aby rozwiązać takie problemy, należy przyjąć wartość początkową jako 100%. Oryginalna wartość to 10 cm, 50% z nich to 5 cm
Pierwotne 10 cm zwiększono o 50% (o 5 cm), czyli wyszło 10+5 cm, czyli 15 cm
Odpowiednikiem zwiększenia dziesięciu centymetrów o 50% jest mnożnik 1,5. Jeśli pomnożysz przez to 10 cm, otrzymasz 15 cm
10 × 1,5 = 15 cm
Dlatego wyrażenia „wzrost o 50%” i „wzrost o 1,5 raza” oznaczają to samo.
Przykład 2. Pięć centymetrów wzrosło o 100%. Ile centymetrów uzyskałeś?
Przyjmijmy oryginalne pięć centymetrów jako 100%. Sto procent z tych pięciu centymetrów będzie stanowić 5 cm. Jeśli zwiększysz 5 cm o te same 5 cm, otrzymasz 10 cm
Analogicznie wzrost o pięć centymetrów o 100% jest współczynnikiem 2. Jeśli pomnożysz przez to 5 cm, otrzymasz 10 cm
5 × 2 = 10 cm
Dlatego wyrażenia „wzrost o 100%” i „wzrost 2-krotny” oznaczają to samo.
Przykład 3. Pięć centymetrów wzrosło o 200%. Ile centymetrów uzyskałeś?
Przyjmijmy oryginalne pięć centymetrów jako 100%. Dwieście procent to dwa razy sto procent. Oznacza to, że 200% z 5 cm będzie 10 cm (5 cm na każde 100%). Jeśli zwiększysz 5 cm o te 10 cm, otrzymasz 15 cm
Odpowiednik zwiększenia pięciu centymetrów o 200% jest współczynnikiem 3. Jeśli pomnożysz przez to 5 cm, otrzymasz 15 cm
5 × 3 = 15 cm
Dlatego wyrażenia „wzrost o 200%” i „wzrost 3-krotny” oznaczają to samo.
Przykład 4. Dziesięć centymetrów zmniejszone o 50%. Ile centymetrów zostało?
Przyjmijmy oryginalne 10 cm jako 100%. Pięćdziesiąt procent z 10 cm to 5 cm. Jeśli zmniejszymy 10 cm o te 5 cm, zostanie nam 5 cm
Analogiem zmniejszania dziesięciu centymetrów o 50% jest dzielnik 2. Jeśli podzielisz przez to 10 cm, otrzymasz 5 cm
10:2 = 5cm
Dlatego wyrażenia „zmniejsz o 50%” i „zmniejsz 2 razy” oznaczają to samo.
Przykład 5. Dziesięć centymetrów zmniejszono o 80%. Ile centymetrów zostało?
Przyjmijmy oryginalne 10 cm jako 100%. Osiemdziesiąt procent z 10 cm to 8 cm. Jeśli zmniejszymy 10 cm o te 8 cm, zostanie nam 2 cm
Analogiem zmniejszania dziesięciu centymetrów o 80% jest dzielnik 5. Jeśli podzielisz przez to 10 cm, otrzymasz 2 cm
10:5 = 2 cm
Dlatego wyrażenia „zmniejsz o 80%” i „zmniejsz o 5 razy” oznaczają to samo.
Rozwiązując problemy polegające na zmniejszaniu i zwiększaniu wartości procentowych, możesz pomnożyć/dzielić wartość przez współczynnik określony w zadaniu.
Problem 1. O ile procent zmieniła się wartość, jeśli wzrosła 1,5 razy?
Wartość, o której mowa w zadaniu, można określić jako 100%. Następnie pomnóż 100% przez współczynnik 1,5
100% × 1,5 = 150%
Teraz od otrzymanych 150% odejmujemy oryginalne 100% i otrzymujemy odpowiedź na problem:
150% − 100% = 50%
Problem 2. O ile procent zmieniła się wartość, jeśli zmniejszyła się 4-krotnie?
Tym razem wartość będzie się zmniejszać, więc dokonamy dzielenia. Oznaczmy wartość wymienioną w zadaniu jako 100%. Następnie podziel tę liczbę 100% przez dzielnik liczby 4
Od początkowych 100% odejmij powstałe 25% i uzyskaj odpowiedź na problem:
100% − 25% = 75%
Oznacza to, że gdy wartość zmniejsza się 4-krotnie, zmniejsza się o 75%.
Problem 3. O ile procent zmieniła się wartość, jeśli zmniejszyła się 5 razy?
Oznaczmy wartość wymienioną w zadaniu jako 100%. Następnie podziel tę liczbę 100% przez dzielnik liczby 5
Od początkowych 100% odejmij powstałe 20% i uzyskaj odpowiedź na problem:
100% − 20% = 80%
Oznacza to, że gdy wartość zmniejsza się 5-krotnie, zmniejsza się o 80%.
Problem 4. O ile procent zmieniła się wartość, jeśli zmniejszyła się 10-krotnie?
Oznaczmy wartość wymienioną w zadaniu jako 100%. Następnie podziel tę liczbę 100% przez dzielnik liczby 10
Od początkowych 100% odejmij powstałe 10% i uzyskaj odpowiedź na problem:
100% − 10% = 90%
Oznacza to, że gdy wartość zmniejsza się 10-krotnie, zmniejsza się o 90%.
Problem ze znalezieniem wartości procentowej
Aby wyrazić coś w procentach, należy najpierw zapisać ułamek pokazujący, jaką częścią drugiej jest pierwsza liczba, następnie podzielić ten ułamek i wynik wyrazić w procentach.
Niech będzie na przykład pięć jabłek. W tym przypadku dwa jabłka są czerwone, a trzy zielone. Wyraźmy czerwone i zielone jabłka w procentach.
Najpierw musisz dowiedzieć się, jaką częścią są czerwone jabłka. W sumie jest pięć jabłek i dwa czerwone. Oznacza to, że dwie z pięciu lub dwie piąte to czerwone jabłka:
Istnieją trzy zielone jabłka. Oznacza to, że trzy z pięciu lub trzy piąte to zielone jabłka:
Mamy dwa ułamki i . Zróbmy dzielenie na te ułamki
Otrzymaliśmy ułamki dziesiętne 0,4 i 0,6. Wyraźmy teraz te ułamki dziesiętne w procentach:
0,4 × 100 = 40%
0,6 × 100 = 60%
Oznacza to, że 40% to jabłka czerwone, a 60% to jabłka zielone.
A wszystkie pięć jabłek stanowi 40% + 60%, czyli 100%
Problem 2. Matka dała moim dwóm synom 200 rubli. Moja mama dała młodszemu bratu 80 rubli, a starszemu 120 rubli. Wyraź jako procent kwotę pieniędzy przekazaną każdemu bratu.
Rozwiązanie
Młodszy brat otrzymał 80 rubli z 200 rubli. Zapisujemy ułamek osiemdziesiąt dwie setne:
Starszy brat otrzymał 120 rubli z 200 rubli. Zapisujemy ułamek sto dwadzieścia dwie setne:
Mamy ułamki i . Zróbmy dzielenie na te ułamki
Uzyskane wyniki wyrażmy w procentach:
0,4 × 100 = 40%
0,6 × 100 = 60%
Oznacza to, że młodszy brat otrzymał 40% pieniędzy, a starszy 60%.
Niektóre ułamki pokazujące, jaką częścią drugiej liczby jest pierwsza liczba, można skrócić.
W ten sposób można zmniejszyć ułamki. Nie zmieni to odpowiedzi na problem:
Problem 3. Budżet rodzinny wynosi 75 tysięcy rubli miesięcznie. Z tego 52,5 tysiąca rubli. - pieniądze zarobione przez tatę. 22,5 tysiąca rubli. - pieniądze zarobione przez mamę. Wyraź w procentach pieniądze zarobione przez mamę i tatę.
Rozwiązanie
To zadanie, podobnie jak poprzednie, polega na znalezieniu procentu.
Wyraźmy pieniądze, które tata zarobił, jako procent. Zarobił 52,5 tysiąca rubli z 75 tysięcy rubli
Zróbmy dzielenie w tym ułamku:
0,7 × 100 = 70%
Oznacza to, że tata zarabiał 70% pieniędzy. Co więcej, nietrudno zgadnąć, że pozostałe 30% pieniędzy zarobiła moja mama. W końcu 75 tysięcy rubli to 100% pieniędzy. Sprawdźmy dla pewności. Mama zarobiła 22,5 tysiąca rubli. z 75 tysięcy rubli. Zapisujemy ułamek, wykonujemy dzielenie i wynik wyrażamy w procentach:
Problem 4. Uczeń trenuje podciąganie na drążku. W zeszłym miesiącu mógł wykonać 8 podciągnięć w serii. W tym miesiącu może wykonać 10 podciągnięć w serii. O ile procent zwiększył liczbę podciągnięć?
Rozwiązanie
Przekonajmy się, o ile więcej podciągnięć uczeń wykonuje w bieżącym miesiącu niż w przeszłości
Dowiedzmy się, jaka część druga podciągnięć składa się z ośmiu podciągnięć. Aby to zrobić, znajdź stosunek od 2 do 8
Zróbmy dzielenie w tym ułamku
Wyraźmy wynik w procentach:
0,25 × 100 = 25%
Oznacza to, że studentka zwiększyła liczbę podciągnięć o 25%.
Ten problem można rozwiązać w sekundę, dłużej szybka metoda— dowiedz się, ile razy 10 podciągnięć jest więcej niż 8 podciągnięć i wyraź wynik w procentach.
Aby dowiedzieć się, ile razy dziesięć podciągnięć jest więcej niż osiem podciągnięć, musisz znaleźć stosunek 10 do 8
Podzielmy powstały ułamek
Wyraźmy wynik w procentach:
1,25 × 100 = 125%
Wskaźnik podwyższenia w bieżącym miesiącu wynosi 125%. To stwierdzenie należy rozumieć dokładnie tak, jak „wynosi 125%”, nie jak „wskaźnik wzrósł o 125%”. Są to dwa różne stwierdzenia wyrażające różne ilości.
Stwierdzenie „wynosi 125%” należy rozumieć jako „osiem podciągnięć, które dają 100% plus dwa podciągnięcia, które stanowią 25% z ośmiu podciągnięć”. Graficznie wygląda to tak:
A stwierdzenie „zwiększono o 125%” należy rozumieć w ten sposób, że „do obecnych ośmiu podciągnięć, które wynosiły 100%, dodano kolejne 100% (więcej 8 podciągnięć) plus kolejne 25% (2 podciągnięcia). ” To w sumie 18 podciągnięć.
100% + 100% + 25% = 8 + 8 + 2 = 18 podciągnięć
Graficznie to stwierdzenie wygląda następująco:
W sumie okazuje się, że jest to 225%. Jeśli znajdziemy 225% z ośmiu podciągnięć, otrzymamy 18 podciągnięć
8 × 2,25 = 18
Problem 5. W zeszłym miesiącu pensja wyniosła 19,2 tys. Rubli. W tym miesiącu wyniosło to 20,16 tys. rubli. O ile procent wzrosła pensja?
Problem ten, podobnie jak poprzedni, można rozwiązać na dwa sposoby. Po pierwsze, najpierw dowiedz się, o ile rubli wzrosła pensja. Następnie dowiedz się, jaka część tej podwyżki pochodzi z wynagrodzenia za ostatni miesiąc
Dowiedzmy się, ile rubli wzrosła pensja:
20,16 - 19,2 = 0,96 tys. Rubli.
Dowiedzmy się, jaka część 0,96 tys. Rubli. waha się od 19,2. Aby to zrobić, znajdujemy stosunek 0,96 do 19,2
Dokonajmy podziału powstałego ułamka. Po drodze pamiętajmy:
Wyraźmy wynik w procentach:
0,05 × 100 = 5%
Oznacza to, że wynagrodzenie wzrosło o 5%.
Rozwiążmy problem w drugi sposób. Dowiedzmy się, ile razy 20,16 tysięcy rubli. ponad 19,2 tys. Rubli. Aby to zrobić, znajdujemy stosunek 20,16 do 19,2
Podzielmy powstały ułamek:
Wyraźmy wynik w procentach:
1,05 × 100 = 105%
Wynagrodzenie wynosi 105%. Oznacza to, że obejmuje to 100%, co wyniosło 19,2 tys. Rubli, plus 5%, co wyniosło 0,96 tys. Rubli.
100% + 5% = 19,2 + 0,96
Problem 6. Cena laptopa wzrosła w tym miesiącu o 5%. Jaka jest jego cena, jeśli w zeszłym miesiącu kosztowała 18,3 tys. Rubli?
Rozwiązanie
Znajdźmy 5% z 18,3:
18,3 × 0,05 = 0,915
Dodajmy to 5% do 18,3:
18,3 + 0,915 = 19,215 tysięcy rubli.
Odpowiedź: cena laptopa wynosi 19 215 tysięcy rubli.
Problem 7. Cena laptopa spadła w tym miesiącu o 10%. Jaka jest jego cena, jeśli w zeszłym miesiącu kosztowała 16,3 tys. Rubli?
Rozwiązanie
Znajdźmy 10% z 16,3:
16,3 × 0,10 = 1,63
Odejmij to 10% od 16,3:
16,3 - 1,63 = 14,67 (tysiąc rubli)
Takie zadania można krótko zapisać:
16,3 - (16,3 × 0,10) = 14,67 (tysiąc rubli)
Odpowiedź: Cena laptopa wynosi 14,67 tys. Rubli.
Problem 8. W zeszłym miesiącu cena laptopa wyniosła 21 tysięcy rubli. W tym miesiącu cena wzrosła do 22,05 tys. Rubli. O ile procent wzrosła cena?
Rozwiązanie
Ustalmy, o ile rubli cena wzrosła
22,05 - 21 = 1,05 (tysiąc rubli)
Dowiedzmy się, jaka część 1,05 tysiąca rubli. wynosi od 21 tysięcy rubli.
Wyraźmy wynik w procentach
0,05 × 100 = 5%
Odpowiedź: cena laptopa wzrosła o 5%
Problem 8. Robotnik miał według planu wyprodukować 600 części, a wyprodukował 900 części. W jakim procencie zrealizował plan?
Rozwiązanie
Przekonajmy się, ile razy więcej 900 części to niż 600 części. Aby to zrobić, znajdź stosunek 900 do 600
Wartość tego ułamka wynosi 1,5. Wyraźmy tę wartość w procentach:
1,5 × 100 = 150%
Oznacza to, że pracownik zrealizował plan w 150%. Oznacza to, że ukończył go w 100%, produkując 600 części. Następnie wykonał kolejne 300 części, co stanowi 50% pierwotnego planu.
Odpowiedź: pracownik wykonał plan w 150%.
Porównanie wartości procentowych
Porównywaliśmy już ilości wielokrotnie na różne sposoby. Naszym pierwszym narzędziem była różnica. Na przykład, aby porównać 5 rubli i 3 ruble, zapisaliśmy różnicę 5–3. Otrzymawszy odpowiedź 2, można było powiedzieć, że „pięć rubli to dwa ruble więcej niż trzy ruble”.
Odpowiedź uzyskana w wyniku odejmowania to Życie codzienne nazywa się nie „różnicą”, ale „różnicą”.
Zatem różnica między pięcioma a trzema rublami wynosi dwa ruble.
Kolejnym narzędziem, którego użyliśmy do porównania wartości, był współczynnik. Stosunek pozwolił nam dowiedzieć się, ile razy jest pierwsza liczba więcej niż drugie(lub ile razy pierwsza liczba zawiera drugą).
Na przykład dziesięć jabłek to pięć razy więcej niż dwa jabłka. Inaczej mówiąc, w dziesięciu jabłkach pięć razy znajdują się dwa jabłka. Porównanie to można zapisać za pomocą relacji
Ale wartości można również porównać w procentach. Na przykład porównaj cenę dwóch towarów nie w rublach, ale oceń, o ile cena jednego produktu jest większa lub mniejsza niż cena drugiego produktu w procentach.
Aby porównać wartości procentowe, jedną z nich należy oznaczyć jako 100%, a drugą w oparciu o uwarunkowania problemu.
Na przykład dowiedzmy się, jaki procent dziesięciu jabłek to więcej niż osiem jabłek.
100% to wartość, z którą coś porównujemy. Porównujemy 10 jabłek z 8 jabłkami. Zatem dla 100% oznaczamy 8 jabłek:
Teraz naszym zadaniem jest porównanie, o jaki procent 10 jabłek jest więcej niż tych 8 jabłek. 10 jabłek to 8+2 jabłka. Oznacza to, że dodając dwa kolejne jabłka do ośmiu jabłek, zwiększymy 100% o kolejną liczbę procentów. Aby dowiedzieć się który, ustalmy, jaki procent ośmiu jabłek stanowią dwa jabłka
Dodanie tych 25% do ośmiu jabłek daje nam 10 jabłek. A 10 jabłek to 8+2, czyli 100% i kolejne 25%. Łącznie otrzymujemy 125%
Oznacza to, że dziesięć jabłek jest o 25% większe niż osiem jabłek.
Rozwiążmy teraz problem odwrotny. Przekonajmy się, ile procent osiem jabłek to mniej niż dziesięć jabłek. Odpowiedź od razu nasuwa się sama: osiem jabłek jest o 25% mniejszych. Jednak tak nie jest.
Porównujemy osiem jabłek do dziesięciu jabłek. Uzgodniliśmy, że za 100% weźmiemy to, z czym porównujemy. Dlatego tym razem bierzemy 10 jabłek na 100%:
Osiem jabłek to 10−2, czyli zmniejszając 10 jabłek o 2 jabłka, zmniejszymy je o określony procent. Aby dowiedzieć się który, ustalmy, jaki procent dziesięciu jabłek stanowią dwa jabłka
Odejmując te 20% od dziesięciu jabłek, otrzymujemy 8 jabłek. A 8 jabłek to 10-2, czyli 100% i minus 20%. Łącznie otrzymujemy 80%
Oznacza to, że osiem jabłek to o 20% mniej niż dziesięć jabłek.
Problem 2. O jaki procent 5000 rubli jest więcej niż 4000 rubli?
Rozwiązanie
Weźmy 4000 rubli za 100%. 5 tysięcy to więcej niż 4 tysiące na 1 tysiąc. Oznacza to, że zwiększając cztery tysiące o tysiąc, zwiększymy cztery tysiące o określoną kwotę procentową. Dowiedzmy się, który. Aby to zrobić, określamy, jaka część tysiąca pochodzi z czterech tysięcy:
Wyraźmy wynik w procentach:
0,25 × 100 = 25%
1000 rubli od 4000 rubli to 25%. Jeśli dodasz te 25% do 4000, otrzymasz 5000 rubli. Oznacza to, że 5000 rubli to o 25% więcej niż 4000 rubli
Problem 3. Jaki procent 4000 rubli jest mniejszy od 5000 rubli?
Tym razem porównujemy 4000 z 5000. Przyjmijmy 5000 jako 100%. Pięć tysięcy to więcej niż cztery tysiące na tysiąc rubli. Dowiedz się, jaka jest część tysiąca z pięciu tysięcy
Tysiąc z pięciu tysięcy to 20%. Jeśli odejmiemy te 20% od 5000 rubli, otrzymamy 4000 rubli.
Oznacza to, że 4000 rubli to mniej niż 5000 rubli o 20%
Zagadnienia koncentracji, stopów i mieszanin
Powiedzmy, że chcesz zrobić sok. Do dyspozycji mamy wodę i syrop malinowy.
Do szklanki wlej 200 ml wody:
Do powstałego płynu dodać 50 ml syropu malinowego i wymieszać. W rezultacie otrzymamy 250 ml soku malinowego (200 ml wody + 50 ml syropu = 250 ml soku)
Jaką częścią powstałego soku jest syrop malinowy?
Syrop malinowy stanowi sok. Obliczmy ten stosunek i uzyskajmy liczbę 0,20. Liczba ta pokazuje ilość rozpuszczonego syropu w powstałym soku. Zadzwońmy pod ten numer stężenie syropu.
Stężenie substancji rozpuszczonej to stosunek ilości substancji rozpuszczonej lub jej masy do objętości roztworu.
Stężenie wyraża się zwykle w procentach. Wyraźmy stężenie syropu w procentach:
0,20 × 100 = 20%
Zatem stężenie syropu w soku malinowym wynosi 20%.
Substancje w roztworze mogą być niejednorodne. Na przykład zmieszaj 3 litry wody i 200 g soli.
Masa 1 litra wody wynosi 1 kg. Wtedy masa 3 litrów wody będzie wynosić 3 kg. Zamieńmy 3 kg na gramy, otrzymamy 3 kg = 3000 g.
Teraz dodaj 200 g soli do 3000 g wody i wymieszaj powstałą ciecz. Rezultatem będzie roztwór soli, którego całkowita masa wyniesie 3000 + 200, czyli 3200 g. Znajdźmy stężenie soli w powstałym roztworze. Aby to zrobić, znajdź stosunek masy rozpuszczonej soli do masy roztworu
Oznacza to, że po zmieszaniu 3 litrów wody i 200 g soli otrzymamy roztwór soli o stężeniu 6,25%.
Podobnie można określić ilość substancji w stopie lub mieszaninie. Na przykład stop zawiera cynę o wadze 210 g i srebro o wadze 90 g. Wtedy masa stopu wyniesie 210 + 90, czyli 300 g. Stop będzie zawierał cynę i srebro. Procent cyny wyniesie 70%, a srebra 30%
Po zmieszaniu dwóch roztworów otrzymuje się nowe rozwiązanie, składające się z pierwszego i drugiego roztworu. Nowy roztwór może mieć inne stężenie substancji. Przydatną umiejętnością jest umiejętność rozwiązywania problemów dotyczących koncentracji, stopów i mieszanin. Generalnie celem takich zadań jest monitorowanie zmian zachodzących podczas mieszania roztworów o różnych stężeniach.
Wymieszaj dwa soki malinowe. Pierwsze 250 ml soku zawiera 12,8% syropu malinowego. A drugi sok, 300 ml, zawiera 15% syropu malinowego. Obydwa soki wlać do dużej szklanki i wymieszać. W rezultacie otrzymujemy nowy sok o pojemności 550 ml.
Teraz określmy stężenie syropu w powstałym soku. Pierwsze 250 ml odsączonego soku zawierało 12,8% syropu. A 12,8% z 250 ml to 32 ml. Oznacza to, że pierwszy sok zawierał 32 ml syropu.
Drugi odcedzony sok o pojemności 300 ml zawierał 15% syropu. A 15% z 300 ml to 45 ml. Oznacza to, że drugi sok zawierał 45 ml syropu.
Podsumujmy ilości syropów:
32 ml + 45 ml = 77 ml
To 77 ml syropu zawarte jest w nowym soku o objętości 550 ml. Określmy stężenie syropu w tym soku. Aby to zrobić, znajdź stosunek 77 ml rozpuszczonego syropu do objętości soku 550 ml:
Oznacza to, że po zmieszaniu soku malinowego 12,8% o objętości 250 ml i soku malinowego 15% o objętości 300 ml otrzymamy sok malinowy 14% o objętości 550 ml.
Problem 1. Istnieją 3 roztwory soli morskiej w wodzie: pierwszy roztwór zawiera 10% soli, drugi zawiera 15% soli, a trzeci zawiera 20% soli. Zmieszać 130 ml pierwszego roztworu, 200 ml drugiego roztworu i 170 ml trzeciego roztworu. Określ, jaki procent soli morskiej znajduje się w powstałym roztworze.
Rozwiązanie
Określmy objętość powstałego rozwiązania:
130 ml + 200 ml + 170 ml = 500 ml
Ponieważ pierwszy roztwór zawierał 130 × 0,10 = 13 ml soli morskiej, drugi roztwór zawierał 200 × 0,15 = 30 ml soli morskiej, a trzeci roztwór zawierał 170 × 0,20 = 34 ml soli morskiej, to powstały roztwór będzie zawierał 13 + 30 + 34 = 77 ml soli morskiej.
Określmy stężenie soli morskiej w powstałym roztworze. Aby to zrobić, znajdź stosunek 77 ml soli morskiej do objętości roztworu wynoszącej 500 ml
Oznacza to, że powstały roztwór zawiera 15,4% soli morskiej.
Problem 2. Ile gramów wody należy dodać do 50 g roztworu zawierającego 8% soli, aby otrzymać 5% roztwór?
Rozwiązanie
Należy pamiętać, że jeśli do istniejącego roztworu doda się wodę, ilość zawartej w niej soli nie ulegnie zmianie. Zmieni się tylko jego procent, ponieważ dodanie wody do roztworu doprowadzi do zmiany jego masy.
Musimy dodać taką ilość wody, aby z ośmiu procent soli powstało pięć procent.
Określmy, ile gramów soli znajduje się w 50 g roztworu. Aby to zrobić, znajdź 8% z 50
50 g × 0,08 = 4 g
8% z 50 gramów to 4 gramy, innymi słowy, osiem części na sto to 4 gramy soli. Zadbajmy o to, aby te 4 gramy pochodziły nie z ośmiu części, ale z pięciu części, czyli 5%
4 gramy - 5%
Teraz wiedząc, że w 5% roztworze znajdują się 4 gramy, możemy znaleźć masę całego roztworu. Aby to zrobić, potrzebujesz:
4 g: 5 = 0,8 g
0,8 g × 100 = 80 g
80 gramów roztworu to masa, przy której na 5% roztwór przypada 4 gramy soli. Aby uzyskać te 80 gramów, musisz dodać 30 gramów wody do pierwotnych 50 gramów.
Oznacza to, że aby otrzymać 5% roztwór soli, do istniejącego roztworu należy dodać 30 g wody.
Problem 2. Winogrona zawierają 91% wilgoci, a rodzynki - 7%. Ile kilogramów winogron potrzeba do wyprodukowania 21 kilogramów rodzynek?
Rozwiązanie
Winogrona składają się z wilgoci i czystej materii. Jeśli świeże winogrona zawierają 91% wilgoci, pozostałe 9% będzie czystą substancją tego winogrona:
Rodzynki zawierają 93% czystej substancji i 7% wilgoci:
Należy pamiętać, że w procesie przekształcania winogron w rodzynki znika tylko wilgoć tych winogron. Czysta substancja pozostaje niezmieniona. Gdy winogrona zamienią się w rodzynki, powstałe rodzynki będą miały 7% wilgoci i 93% czystej substancji.
Ustalmy, ile czystej substancji znajduje się w 21 kg rodzynek. Aby to zrobić, znajdziemy 93% z 21 kg
21 kg × 0,93 = 19,53 kg
Wróćmy teraz do pierwszego rysunku. Naszym zadaniem było określenie, ile winogron potrzeba, aby uzyskać 21 kg rodzynek. Czysta substancja o wadze 19,53 kg będzie stanowić 9% winogron:
Wiedząc, że 9% czystej substancji wynosi 19,53 kg, możemy określić, ile winogron potrzeba do wyprodukowania 21 kg rodzynek. Aby to zrobić, musisz znaleźć liczbę według jej procentu:
19,53 kg: 9 = 2,17 kg
2,17 kg × 100 = 217 kg
Oznacza to, że aby uzyskać 21 kg rodzynek, należy zebrać 217 kg winogron.
Problem 3. W stopie cyny i miedzi miedź stanowi 85%. Ile stopu należy pobrać, aby zawierało 4,5 kg cyny?
Rozwiązanie
Jeśli miedź stanowi 85% stopu, pozostałe 15% będzie cyną:
Pytanie brzmi, ile stopu należy pobrać, aby zawierał 4,5 cyny. Ponieważ stop zawiera 15% cyny, 4,5 kg cyny będzie stanowić te 15%.
A wiedząc, że 4,5 kg stopu stanowi 15%, możemy określić masę całego stopu. Aby to zrobić, musisz znaleźć liczbę według jej procentu:
4,5 kg: 15 = 0,3 kg
0,3 kg × 100 = 30 kg
Oznacza to, że trzeba wziąć 30 kg stopu, aby zawierało 4,5 kg cyny.
Problem 4. Zmieszano pewną ilość 12% roztworu kwasu solnego z taką samą ilością 20% roztworu tego samego kwasu. Znajdź stężenie powstałego kwasu solnego.
Rozwiązanie
Przedstawmy pierwsze rozwiązanie na rysunku jako linię prostą i zaznaczmy na niej 12%.
Ponieważ liczba roztworów jest taka sama, można narysować obok siebie ten sam rysunek, ilustrujący drugi roztwór o zawartości kwasu solnego wynoszącej 20%
Mamy dwieście części roztworu (100% + 100%), z czego trzydzieści dwie części to kwas solny (12% + 20%)
Ustalmy, jaka część 32 części składa się z 200 części
Oznacza to, że po zmieszaniu 12% roztworu kwasu solnego z taką samą ilością 20% roztworu tego samego kwasu otrzyma się 16% roztwór kwasu solnego.
Aby to sprawdzić, wyobraźmy sobie, że masa pierwszego roztworu wynosiła 2 kg. Masa drugiego roztworu również będzie wynosić 2 kg. Następnie mieszając te roztwory otrzymasz 4 kg roztworu. W pierwszym roztworze kwasu solnego było 2 × 0,12 = 0,24 kg, a w drugim 2 × 0,20 = 0,40 kg. Następnie w nowym roztworze kwasu solnego będzie 0,24 + 0,40 = 0,64 kg. Stężenie kwasu solnego wyniesie 16%
Problemy do samodzielnego rozwiązania
na , znajdziemy 60% liczby
Teraz zwiększmy liczbę o znalezione 60%, tj. na numer
Odpowiedź: nowa wartość to
Zadanie 12. Odpowiedz na następujące pytania:
1) Wydano 80% kwoty. Jaki procent tej kwoty pozostał?
2) Mężczyźni stanowią 75% wszystkich pracowników fabryki. Jaki procent pracowników zakładu stanowią kobiety?
3) Dziewczęta stanowią 40% klasy. Jaki procent klasy stanowią chłopcy?
A Rozwiązanie
Użyjmy zmiennej. Pozwalać P jest to oryginalny numer, o którym mowa w problemie. Weźmy tę początkową liczbę P na 100%
Zmniejszmy tę pierwotną liczbę P o 50%
Teraz nowa liczba stanowi 50% pierwotnej liczby. Dowiedz się, ile razy jest pierwotna liczba P więcej niż nowy numer. Aby to zrobić, znajdź stosunek 100% do 50%
Oryginalna liczba jest dwa razy większa od nowej. Widać to nawet na rysunku. Aby nowa liczba była równa pierwotnej, należy ją podwoić. A podwojenie liczby oznacza zwiększenie jej o 100%.
Oznacza to, że nową liczbę, stanowiącą połowę pierwotnej liczby, należy zwiększyć o 100%.
Rozważając nową liczbę, przyjmuje się ją również jako 100%. Zatem na powyższym rysunku nowa liczba stanowi połowę pierwotnej liczby i jest oznaczona jako 50%. W stosunku do pierwotnego numeru, nowy numer to połowa. Ale jeśli rozważymy to oddzielnie od pierwotnego, należy to przyjąć jako 100%.
Dlatego na rysunku nową liczbę przedstawioną linią oznaczono najpierw jako 50%. Ale wtedy wyznaczyliśmy tę liczbę jako 100%.
Odpowiedź: Aby uzyskać pierwotny numer, nowy numer należy zwiększyć o 100%.
Zadanie 16. W zeszłym miesiącu w mieście doszło do 15 wypadków.
W tym miesiącu liczba ta spadła do 6. O jaki procent spadła liczba wypadków?
Rozwiązanie
W zeszłym miesiącu doszło do 15 wypadków. W tym miesiącu jest ich 6. Oznacza to, że liczba wypadków spadła o 9.
Za 100% przyjmijmy 15 wypadków. Zmniejszając 15 wypadków drogowych o 9, zmniejszymy je o określony procent. Aby dowiedzieć się który, dowiemy się, jaka część z 9 wypadków przypada na 15 wypadków
Odpowiedź: stężenie powstałego roztworu wynosi 12%.
Zadanie 18. Zmieszaliśmy pewną ilość 11% roztworu pewnej substancji z taką samą ilością 19% roztworu tej samej substancji. Znajdź stężenie powstałego roztworu.
Rozwiązanie
Masa obu roztworów jest taka sama. Każde rozwiązanie można przyjąć jako 100%. Po dodaniu roztworów otrzymasz rozwiązanie 200%. Pierwszy roztwór zawierał 11% substancji, a drugi roztwór zawierał 19% substancji. Następnie powstały 200% roztwór będzie zawierał 11% + 19% = 30% substancji.
Określmy stężenie powstałego roztworu. Aby to zrobić, dowiadujemy się, jaka część trzydziestu części substancji składa się z dwustu części substancji:
1,10. Oznacza to, że cena za pierwszy miesiąc wyniesie 1,10.
W drugim miesiącu cena również wzrosła o 10%. Dodaj dziesięć procent tej ceny do aktualnej ceny 1,10, otrzymamy 1,10 + 0,10 × 1,10. Kwota ta jest równa wyrażeniu 1,21 . Oznacza to, że cena za drugi miesiąc wyniesie 1,21.
W trzecim miesiącu cena również wzrosła o 10%. Dodaj dziesięć procent tej ceny do aktualnej ceny 1,21, otrzymamy 1,21 + 0,10 × 1,21. Kwota ta jest równa wyrażeniu 1,331 . Wtedy cena za trzeci miesiąc wyniesie 1,331.
Obliczmy różnicę między nową i starą ceną. Jeżeli cena początkowa była równa 1, to wzrosła o 1,331 – 1 = 0,331. Wyraźmy ten wynik w procentach, otrzymamy 0,331 × 100 = 33,1%
Odpowiedź: w ciągu 3 miesięcy ceny żywności wzrosły o 33,1%.
Czy podobała Ci się lekcja?
Dołącz do naszej nowej grupy VKontakte i zacznij otrzymywać powiadomienia o nowych lekcjach
