Kwadratowy kształt f(x 1, x 2,...,x n) n zmiennych to suma, której każdy wyraz jest albo kwadratem jednej ze zmiennych, albo iloczynem dwóch różnych zmiennych, przyjętym z pewnym współczynnikiem: f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij =a ji).

Macierz A złożona z tych współczynników nazywana jest macierzą postaci kwadratowej. Zawsze symetryczny macierz (tj. macierz symetryczna względem głównej przekątnej, a ij =a ji).

W notacji macierzowej postać kwadratowa to f(X) = X T AX, gdzie

Rzeczywiście

Na przykład zapiszmy postać kwadratową w postaci macierzowej.

Aby to zrobić, znajdujemy macierz w postaci kwadratowej. Jego elementy przekątne są równe współczynnikom kwadratowych zmiennych, a pozostałe elementy są równe połówkom odpowiednich współczynników postaci kwadratowej. Dlatego

Niech macierz-kolumnę zmiennych X otrzymamy poprzez niezdegenerowaną transformację liniową macierzy-kolumny Y, tj. X = CY, gdzie C jest macierzą nieosobliwą n-tego rzędu. Wtedy postać kwadratowa f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) =Y T (C T AC)Y.

Zatem przy niezdegenerowanej transformacji liniowej C macierz postaci kwadratowej przyjmuje postać: A * =C T AC.

Na przykład znajdźmy postać kwadratową f(y 1, y 2), otrzymaną z postaci kwadratowej f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 poprzez transformację liniową.

Forma kwadratowa nazywa się kanoniczny(ma pogląd kanoniczny), jeśli wszystkie jego współczynnikia ij = 0 dla i≠j, tj. f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Jego matryca jest diagonalna.

Twierdzenie(nie podano tutaj dowodu). Dowolną postać kwadratową można sprowadzić do postaci kanonicznej za pomocą niezdegenerowanej transformacji liniowej.

Przykładowo sprowadźmy do postaci kanonicznej postać kwadratową f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3.

Aby to zrobić, najpierw wybieramy idealny kwadrat ze zmienną x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3.

Teraz wybieramy cały kwadrat ze zmienną x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 = = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10)x 3) 2 - (1/20)x 3 2.

Następnie niezdegenerowana transformacja liniowa y 1 = x 1 + x 2,y 2 = x 2 – (1/10)x 3 i y 3 = x 3 sprowadza tę postać kwadratową do postaci kanonicznejf(y 1,y 2, r 3) = 2 lata 1 2 - 5 lat 2 2 - (1/20) lata 3 2 .

Należy zauważyć, że postać kanoniczna postaci kwadratowej jest wyznaczana niejednoznacznie (tę samą postać kwadratową można sprowadzić do postaci kanonicznej na różne sposoby 1). Jednak formy kanoniczne uzyskane różnymi metodami mają wiele wspólnych właściwości. W szczególności liczba wyrazów o dodatnich (ujemnych) współczynnikach postaci kwadratowej nie zależy od sposobu sprowadzenia formy do tej postaci (przykładowo w rozważanym przykładzie zawsze będą dwa współczynniki ujemne i jeden dodatni). Ta właściwość nazywa się prawo bezwładności form kwadratowych.

Sprawdźmy to, sprowadzając tę ​​samą formę kwadratową do postaci kanonicznej w inny sposób. Transformację zacznijmy od zmiennej x 2:f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = -3(x 2 2 – - 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) +((1/6) x 3 + (2 /3) x 1) 2) – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = = -3(x 2 – (1/6) x 3 - (2 /3) x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =f(y 1 ,y 2 ,y 3) = -3y 1 2 - - 3y 2 2 + 2y 3 2 , gdzie y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3 ,y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 i y 3 = x 1 . Tutaj mamy współczynnik dodatni 2 dla y 3 i dwa współczynniki ujemne (-3) dla y 1 i y 2 (a inną metodą otrzymaliśmy współczynnik dodatni 2 dla y 1 i dwa ujemne - (-5) dla y 2 i (-1/20) dla y 3 ).

Należy również zauważyć, że rząd macierzy postaci kwadratowej, tzw ranga postaci kwadratowej, jest równa liczbie niezerowych współczynników postaci kanonicznej i nie zmienia się pod wpływem przekształceń liniowych.

Nazywa się postać kwadratową f(X). pozytywnie(negatywny)niektórzy, jeśli dla wszystkich wartości zmiennych, które nie są jednocześnie zerowe, jest ono dodatnie, tj. f(X) > 0 (ujemne, tj. f(X)< 0).

Na przykład forma kwadratowa f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 jest dodatnio określona, ​​ponieważ jest sumą kwadratów, a forma kwadratowa f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 jest ujemnie określona, ​​ponieważ reprezentuje, można to przedstawić w postacif 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

W większości praktycznych sytuacji nieco trudniej jest ustalić znak określony formy kwadratowej, dlatego w tym celu używamy jednego z następujących twierdzeń (sformułujemy je bez dowodu).

Twierdzenie. Forma kwadratowa jest dodatnia (ujemna) określona wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie wartości własne jej macierzy są dodatnie (ujemne).

Twierdzenie (kryterium Sylwestra). Forma kwadratowa jest dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie wiodące molle macierzy tej postaci są dodatnie.

Główny (narożny) mniejszy Macierze k-tego rzędu rzędu An-tego nazywane są wyznacznikiem macierzy złożonej z k pierwszych wierszy i kolumn macierzy A ().

Należy zauważyć, że w przypadku ujemnych określonych form kwadratowych znaki drugorzędnych głównych są naprzemienne, a moll pierwszego rzędu musi być ujemny.

Na przykład przeanalizujmy formę kwadratową f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 pod kątem określoności znaku.

= (2 -)* *(3 -) – 4 = (6 - 2- 3+ 2) – 4 = 2 - 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17; . Dlatego forma kwadratowa jest dodatnio określona.

Metoda 2. Moll główny pierwszego rzędu macierzy A  1 =a 11 = 2 > 0. Moll główny drugiego rzędu  2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Zatem zgodnie z kryterium Sylwestra kwadrat forma jest dodatnio określona.

Badamy inną postać kwadratową określającą określoność znaku, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Metoda 1. Skonstruujmy macierz postaci kwadratowej A = . Równanie charakterystyczne będzie wyglądać = (-2 -)* *(-3 -) – 4 = (6 + 2+ 3+ 2) – 4 = 2 + 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17 ; . Dlatego forma kwadratowa jest ujemnie określona.

Metoda 2. Moll główny pierwszego rzędu macierzy A  1 =a 11 = = -2< 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 >0. Zatem, zgodnie z kryterium Sylwestra, forma kwadratowa jest ujemnie określona (znaki głównych drugorzędnych występują naprzemiennie, zaczynając od minus).

Jako kolejny przykład zbadamy postać kwadratową o znaku f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Metoda 1. Skonstruujmy macierz postaci kwadratowej A = . Równanie charakterystyczne będzie miało postać = (2 -)* *(-3 -) – 4 = (-6 - 2+ 3+ 2) – 4 = 2 +- 10 = 0;D= 1 + 40 = 41; . Jedna z tych liczb jest ujemna, a druga dodatnia. Znaki wartości własnych są różne. W związku z tym forma kwadratowa nie może być ani ujemna, ani dodatnio określona, ​​tj. ta forma kwadratowa nie jest określona znakiem (może przyjmować wartości dowolnego znaku).

Metoda 2. Moll główny pierwszego rzędu macierzy A  1 =a 11 = 2 > 0. Moll główny drugiego rzędu 2 = = -6 – 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

1Rozważana metoda redukcji postaci kwadratowej do postaci kanonicznej jest wygodna w zastosowaniu, gdy z kwadratami zmiennych spotyka się niezerowe współczynniki. Jeśli ich tam nie ma, nadal można przeprowadzić konwersję, ale trzeba zastosować inne techniki. Na przykład niech f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 - x 1 2 - x 2 2 =

= (x 1 + x 2) 2 - x 1 2 - x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 2 - 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – - (x 1 - x 2) 2 - 2x 1 x 2 ; 4x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 - x 2) 2 ;f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = (1/2)* *(x 1 + x 2 ) 2 – (1/2)*(x 1 - x 2) 2 =f(y 1 ,y 2) = (1/2)y 1 2 – (1/2)y 2 2, gdzie y 1 = x 1 + x 2, ay 2 = x 1 – x 2.

Wstęp…………………………………………………………….......................... ........... ..............3

1 Informacje teoretyczne o formach kwadratowych……………………………4

1.1 Definicja formy kwadratowej……………………………………….…4

1.2 Sprowadzenie postaci kwadratowej do postaci kanonicznej……………...6

1.3 Prawo bezwładności…………………………………………………………….….11

1.4 Formy określone dodatnio…………………………………...18

2 Praktyczne zastosowanie formy kwadratowe …………………………22

2.1 Rozwiązywanie typowych problemów……………………………………………………………22

2.2 Zadania do samodzielnego rozwiązania……………………….………...26

2.3 Zadania testowe……………………………………………………………...27

Zakończenie…………………………………...…………………………29

Wykaz wykorzystanej literatury…………………………………………………...30

WSTĘP

Początkowo teorię form kwadratowych stosowano do badania krzywych i powierzchni określonych równaniami drugiego rzędu zawierającymi dwie lub trzy zmienne. Później teoria ta znalazła inne zastosowania. W szczególności kiedy modelowanie matematyczne procesy gospodarcze funkcje celu mogą zawierać wyrazy kwadratowe. Liczne zastosowania form kwadratowych wymagały konstrukcji ogólna teoria, gdy liczba zmiennych jest równa dowolnej

, a współczynniki postaci kwadratowej nie zawsze są liczbami rzeczywistymi.

Teorię form kwadratowych jako pierwszy opracował francuski matematyk Lagrange, który był właścicielem wielu pomysłów w tej teorii, w szczególności wprowadził ważne pojęcie formy zredukowanej, za pomocą której udowodnił skończoność liczby klas; binarne formy kwadratowe danego dyskryminatora. Następnie teorię tę znacznie rozwinął Gauss, wprowadzając wiele nowych koncepcji, na podstawie których udało mu się uzyskać dowody na trudne i głębokie twierdzenia teorii liczb, które umykały jego poprzednikom w tej dziedzinie.

Celem pracy jest zbadanie rodzajów form kwadratowych oraz sposobów redukcji form kwadratowych do postaci kanonicznej.

W pracy tej postawiono następujące zadania: wybrać niezbędną literaturę, rozważyć definicje, rozwiązać szereg problemów i przygotować testy.

1 INFORMACJE TEORETYCZNE O FORMACH KWADRATOWYCH

1.1 DEFINICJA FORMY KWADRATOWEJ

Kwadratowy kształt

niewiadomych to suma, której każdy wyraz jest albo kwadratem jednej z tych niewiadomych, albo iloczynem dwóch różnych niewiadomych. Postać kwadratowa występuje w dwóch postaciach: rzeczywistej i zespolonej, w zależności od tego, czy jej współczynniki są liczbami rzeczywistymi czy zespolonymi.

Oznaczając współczynnik przy

poprzez i podczas produkcji , Poprzez , postać kwadratową można przedstawić jako: .

Ze współczynników

można skonstruować kwadratową macierz porządku; nazywa się ją macierzą postaci kwadratowej, a jej rząd nazywa się rangą postaci kwadratowej. Jeśli w szczególności , gdzie , to znaczy macierz nie jest zdegenerowana, wówczas postać kwadratową nazywa się niezdegenerowaną. Dla dowolnej macierzy symetrycznej rzędu można ją określić w całkowicie określonej postaci kwadratowej: (1.1) - niewiadome posiadające elementy macierzy wraz ze współczynnikami.

Oznaczmy teraz przez

kolumna złożona z niewiadomych: . jest macierzą z wierszami i jedną kolumną. Transponując tę ​​macierz otrzymujemy macierz: , złożony z jednej linii.

Postać kwadratowa (1.1) z macierzą

można teraz zapisać jako iloczyn:.

1.2 SPROWADZENIE DO FORMY KWADRATOWEJ

DO POGLĄDU KANONICZNEGO

Załóżmy, że forma kwadratowa

z niewiadomych została już zredukowana poprzez niezdegenerowaną transformację liniową do postaci kanonicznej , gdzie znajdują się nowe niewiadome. Niektóre współczynniki mogą wynosić zero. Udowodnimy, że liczba niezerowych współczynników jest z konieczności równa rangi postaci. Macierz tej postaci kwadratowej ma postać diagonalną ,

oraz wymóg, aby ta macierz miała rangę

, jest równoznaczne z założeniem, że jej główna przekątna zawiera dokładnie niezerowe elementy.

Twierdzenie. Dowolną postać kwadratową można sprowadzić do postaci kanonicznej za pomocą niezdegenerowanej transformacji liniowej. Jeśli weźmiemy pod uwagę rzeczywistą postać kwadratową, wówczas wszystkie współczynniki określonej transformacji liniowej można uznać za rzeczywiste.

Dowód. Twierdzenie to jest prawdziwe w przypadku form kwadratowych z jedną niewiadomą, ponieważ każda taka forma ma postać

, co jest kanoniczne. Wprowadźmy dowód przez indukcję, czyli udowodnijmy twierdzenie o formach kwadratowych z niewiadomymi, biorąc pod uwagę, że zostało ono już udowodnione dla form z mniejszą liczbą niewiadomych.

Niech forma kwadratowa (1.1) z

Kwadratowy kształt litery L z N zmienne to suma, której każdy wyraz jest albo kwadratem jednej z tych zmiennych, albo iloczynem dwóch różnych zmiennych.

Zakładając, że jest to postać kwadratowa L Redukcja podobnych wyrazów została już dokonana, wprowadźmy następujące oznaczenie współczynników tej postaci: współczynnik dla oznaczamy przez , a współczynnik w iloczynie dla oznaczamy przez . Ponieważ , współczynnik tego iloczynu można również oznaczyć jako , tj. Wprowadzony przez nas zapis zakłada ważność równości. Termin można teraz zapisać w postaci

i cała forma kwadratowa L– w postaci sumy wszystkich możliwych wyrazów, gdzie I I J przyjmują już wartości niezależnie od siebie
od 1 do N:

(6.13)

Współczynniki można wykorzystać do skonstruowania macierzy kwadratowej rzędu n; to się nazywa macierz postaci kwadratowej L, a jego ranga to stopień tę formę kwadratową. Jeżeli w szczególności, tj. macierz nie jest zdegenerowana, wówczas jest formą kwadratową L zwany niezdegenerowany. Ponieważ , to elementy macierzy A, symetryczne względem głównej przekątnej, są sobie równe, tj. macierz A – symetryczny. I odwrotnie, dla dowolnej macierzy symetrycznej A N rzędu można podać dobrze zdefiniowaną postać kwadratową (6.13). N zmienne posiadające elementy macierzy A wraz z ich współczynnikami.

Postać kwadratową (6.13) można przedstawić w postaci macierzowej, stosując mnożenie macierzy wprowadzone w podrozdziale 3.2. Oznaczmy przez X kolumnę złożoną ze zmiennych

X jest macierzą mającą n wierszy i jedną kolumnę. Transponując tę ​​macierz, otrzymujemy macierz , złożony z jednej linii. Postać kwadratową (6.13) z macierzą można teraz zapisać jako iloczyn:

W rzeczywistości:

i ustalono równoważność wzorów (6.13) i (6.14).

Zapisz to w formie macierzowej.

○ Znajdźmy macierz w postaci kwadratowej. Jego elementy przekątne są równe współczynnikom zmiennych kwadratowych, tj. 4, 1, –3 i inne elementy – do połówek odpowiednich współczynników postaci kwadratowej. Dlatego

. ●

Przekonajmy się, jak zmienia się postać kwadratowa pod wpływem niezdegenerowanej transformacji liniowej zmiennych.

Zauważ, że jeśli macierze A i B są takie, że ich iloczyn jest zdefiniowany, to zachodzi równość:

(6.15)

Rzeczywiście, jeśli zdefiniowano iloczyn AB, to iloczyn również zostanie zdefiniowany: liczba kolumn macierzy jest równa liczbie wierszy macierzy. Element matrycy stojący w jego I linia i J kolumna, w macierzy AB znajduje się J linia i I kolumna. Jest zatem równa sumie iloczynów odpowiednich elementów J-ty rząd macierzy A i I kolumna macierzy B, tj. równa sumie iloczynów odpowiednich elementów linii J kolumna macierzy i I rząd macierzy. Dowodzi to równości (6.15).


Niech zmienne kolumnowe macierzy I są powiązane zależnością liniową X = CY, gdzie C = ( c ij) istnieje pewna macierz nieosobliwa N-ta kolejność. Następnie forma kwadratowa

Lub , Gdzie .

Macierz będzie symetryczna, gdyż wobec równości (6.15), która oczywiście obowiązuje dla dowolnej liczby czynników, oraz równości, która jest równoważna symetrii macierzy A, mamy:

Zatem przy niezdegenerowanej transformacji liniowej X=CY, macierz postaci kwadratowej przyjmuje postać

Komentarz. Ranga postaci kwadratowej nie zmienia się podczas wykonywania niezdegenerowanej transformacji liniowej.

Przykład. Biorąc pod uwagę postać kwadratową

Znajdź postać kwadratową otrzymaną z podanej transformacji liniowej

, .

○ Macierz danej postaci kwadratowej oraz macierz transformacji liniowej . Dlatego zgodnie z (6.16) macierzą pożądanej postaci kwadratowej

a forma kwadratowa ma postać . ●

Dzięki dobrze dobranym przekształceniom liniowym postać postaci kwadratowej można znacznie uprościć.

Kwadratowy kształt zwany kanoniczny(lub ma pogląd kanoniczny), jeśli wszystkie jego współczynniki w I≠ J:

,

a jego macierz jest diagonalna.

Poniższe twierdzenie jest prawdziwe.

Twierdzenie 6.1. Dowolną postać kwadratową można sprowadzić do postaci kanonicznej za pomocą niezdegenerowanej transformacji liniowej zmiennych.

Przykład. Sprowadź formę kwadratową do postaci kanonicznej

○ Najpierw wybieramy pełny kwadrat zmiennej, której współczynnik kwadratu jest różny od zera:

.

Wybierzmy teraz kwadrat zmiennej, której współczynnik kwadratu jest różny od zera:

Zatem niezdegenerowana transformacja liniowa

redukuje tę postać kwadratową do postaci kanonicznej

.●

Postać kanoniczna formy kwadratowej nie jest jednoznacznie zdefiniowana, ponieważ tę samą formę kwadratową można sprowadzić do postaci kanonicznej na wiele sposobów. Jednak formy kanoniczne uzyskane różnymi metodami mają wiele właściwości ogólne. Sformułujmy jedną z tych własności w formie twierdzenia.

Twierdzenie 6.2.(prawo bezwładności form kwadratowych).

Liczba wyrazów o dodatnich (ujemnych) współczynnikach postaci kwadratowej nie zależy od metody redukcji postaci do tej postaci.

Na przykład postać kwadratowa

które w przykładzie omawianym na stronie 131 przenieśliśmy do formularza

było to możliwe dzięki zastosowaniu niezdegenerowanej transformacji liniowej

przypominać

.

Jak widać, liczba współczynników dodatnich i ujemnych (odpowiednio dwa i jeden) została zachowana.

Należy zauważyć, że ranga postaci kwadratowej jest równa liczbie niezerowych współczynników postaci kanonicznej.

Kwadratowy kształt nazywa się dodatnią (ujemną) określoną, jeśli dla wszystkich wartości zmiennych, z których przynajmniej jedna jest różna od zera,

().

Podczas rozwiązywania różnych stosowane problemy Często musimy uczyć się form kwadratowych.

Definicja. Postać kwadratowa L(, x 2, ..., x n) n zmiennych jest sumą, której każdy wyraz jest albo kwadratem jednej ze zmiennych, albo iloczynem dwóch różnych zmiennych przyjętych z pewnym współczynnikiem:

L( ,x 2 ,...,x n) =

Zakładamy, że współczynniki postaci kwadratowej wynoszą liczby rzeczywiste, I

Macierz A=() (i, j = 1, 2, ..., n), złożona z tych współczynników, nazywana jest macierzą postaci kwadratowej.

W zapisie macierzowym postać kwadratowa ma postać: L = X"AX, gdzie X = (x 1, x 2,..., x n)" - macierz-kolumna zmiennych.

Przykład 8.1

Zapisz postać kwadratową L( , x 2 , x 3) = w postaci matrycy.

Znajdźmy macierz w postaci kwadratowej. Jego elementy przekątne są równe współczynnikom zmiennych kwadratowych, tj. 4, 1, -3 i inne elementy - do połówek odpowiednich współczynników postaci kwadratowej. Dlatego

L=( , x 2 , x 3) .

Przy niezdegenerowanej transformacji liniowej X = CY, macierz postaci kwadratowej przyjmuje postać: A * = C „AC. (*)

Przykład 8.2

Biorąc pod uwagę postać kwadratową L(x x, x 2) =2x 1 2 +4x 1 x 2 -3. Znajdź postać kwadratową L(y 1 , y 2) otrzymaną z podanej transformacji liniowej = 2у 1 - 3y 2 , x 2 = y 1 + y 2.

Macierz danej postaci kwadratowej to A= , a macierz transformacji liniowej to

C = . Dlatego wg (*) macierz wymaganej postaci kwadratowej

I wygląda forma kwadratowa

L(y 1, y 2) = .

Należy zauważyć, że przy dobrze dobranych przekształceniach liniowych postać postaci kwadratowej można znacznie uprościć.

Definicja. Postać kwadratową L(,x 2,...,x n) = nazywamy kanoniczną (lub ma postać kanoniczną), jeśli wszystkie jej współczynniki = 0 dla i¹j:

L= , a jego macierz jest diagonalna.

Poniższe twierdzenie jest prawdziwe.

Twierdzenie. Dowolną postać kwadratową można sprowadzić do postaci kanonicznej za pomocą niezdegenerowanej transformacji liniowej zmiennych.

Przykład 8.3

Sprowadź formę kwadratową do postaci kanonicznej

L( , x 2 , x 3) =

Najpierw wybieramy pełny kwadrat zmiennej, której kwadratowy współczynnik jest różny od zera:


Teraz wybieramy idealny kwadrat dla zmiennej, której współczynnik jest różny od zera:

Zatem niezdegenerowana transformacja liniowa

redukuje tę formę kwadratową do postaci kanonicznej:

Postać kanoniczna formy kwadratowej nie jest jednoznacznie zdefiniowana, ponieważ tę samą formę kwadratową można sprowadzić do postaci kanonicznej na wiele sposobów. Jednak formy kanoniczne uzyskane różnymi metodami mają wiele wspólnych właściwości. Sformułujmy jedną z tych własności w formie twierdzenia.

Twierdzenie (prawo bezwładności form kwadratowych). Liczba wyrazów o dodatnich (ujemnych) współczynnikach postaci kwadratowej nie zależy od metody redukcji postaci do tej postaci.

Należy zauważyć, że rząd macierzy postaci kwadratowej jest równy liczbie niezerowych współczynników postaci kanonicznej i nie zmienia się pod wpływem przekształceń liniowych.

Definicja. Forma kwadratowa L(, x 2, ..., x n) nazywana jest dodatnią (ujemną) określoną, jeśli dla wszystkich wartości zmiennych, z których co najmniej jedna jest różna od zera,

L( , x 2 , ..., x n) > 0 (L( , x 2 , ..., x n)< 0).

Więc, Na przykład, forma kwadratowa jest dodatnio określona, ​​a forma jest ujemnie określona.

Twierdzenie. Aby forma kwadratowa L = X"AX była dodatnia (ujemna) określona, ​​konieczne i wystarczające jest, aby wszystkie wartości własne macierzy A były dodatnie (ujemne).