Rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych (SLAE) jest niewątpliwie najważniejszy temat kurs algebry liniowej. Ogromna liczba problemów ze wszystkich działów matematyki sprowadza się do rozwiązywania systemów równania liniowe. Czynniki te wyjaśniają powód powstania tego artykułu. Materiał artykułu jest tak dobrany i skonstruowany, abyś przy jego pomocy mógł to zrobić

  • wybrać optymalną metodę rozwiązania swojego układu liniowych równań algebraicznych,
  • przestudiować teorię wybranej metody,
  • rozwiązuj swój układ równań liniowych, rozważając szczegółowe rozwiązania typowych przykładów i problemów.

Krótki opis materiału artykułu.

Najpierw podajemy wszystkie niezbędne definicje, pojęcia i wprowadzamy oznaczenia.

Następnie rozważymy metody rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych, w których liczba równań jest równa liczbie nieznanych zmiennych i które mają jednoznaczne rozwiązanie. Po pierwsze skupimy się na metodzie Cramera, po drugie pokażemy macierzową metodę rozwiązywania takich układów równań, a po trzecie przeanalizujemy metodę Gaussa (metodę sekwencyjnej eliminacji nieznanych zmiennych). Aby utrwalić teorię, na pewno rozwiążemy kilka SLAE na różne sposoby.

Następnie przejdziemy do rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych o postaci ogólnej, w których liczba równań nie pokrywa się z liczbą nieznanych zmiennych lub główna macierz układu jest pojedyncza. Sformułujmy twierdzenie Kroneckera-Capelliego, które pozwala nam ustalić zgodność SLAE. Przeanalizujmy rozwiązanie układów (o ile są kompatybilne) wykorzystując pojęcie molowej podstawy macierzy. Rozważymy również metodę Gaussa i szczegółowo opiszemy rozwiązania przykładów.

Na pewno zatrzymamy się na strukturze ogólnego rozwiązania jednorodnych i niejednorodnych układów liniowych równań algebraicznych. Podajmy pojęcie podstawowego układu rozwiązań i pokażmy, jak zapisuje się rozwiązanie ogólne SLAE za pomocą wektorów podstawowego układu rozwiązań. Dla lepszego zrozumienia spójrzmy na kilka przykładów.

Podsumowując, rozważymy układy równań, które można zredukować do równań liniowych, a także różne zadania, w rozwiązaniu którego powstają SLAE.

Nawigacja strony.

Definicje, pojęcia, oznaczenia.

Rozważymy układy p równań algebraicznych liniowych z n nieznanymi zmiennymi (p może być równe n) postaci

Nieznane zmienne - współczynniki (niektóre rzeczywiste lub Liczby zespolone), - terminy dowolne (również liczby rzeczywiste i zespolone).

Ta forma nagrywania SLAE nazywa się koordynować.

W postać matrycowa zapisanie tego układu równań ma postać,
Gdzie - macierz główna układu, - macierz kolumnowa nieznanych zmiennych, - macierz kolumnowa wolni członkowie.

Jeśli do macierzy A dodamy macierz-kolumnę wolnych wyrazów jako (n+1)-tą kolumnę, otrzymamy tzw. rozszerzona matryca układy równań liniowych. Zazwyczaj macierz rozszerzona jest oznaczona literą T, a kolumna wolnych terminów jest oddzielona pionową linią od pozostałych kolumn, czyli

Rozwiązywanie układu liniowych równań algebraicznych nazywany zbiorem wartości nieznanych zmiennych, który zamienia wszystkie równania układu w tożsamości. Równanie macierzowe dla danych wartości nieznanych zmiennych również staje się tożsamością.

Jeśli układ równań ma co najmniej jedno rozwiązanie, nazywa się go wspólny.

Jeśli układ równań nie ma rozwiązań, nazywa się go nie wspólne.

Jeśli SLAE ma unikalne rozwiązanie, nazywa się je niektórzy; jeśli istnieje więcej niż jedno rozwiązanie, to – niepewny.

Jeśli wolne wyrazy wszystkich równań układu są równe zeru , wówczas system zostaje wywołany jednorodny, W przeciwnym razie - heterogeniczny.

Rozwiązywanie elementarnych układów liniowych równań algebraicznych.

Jeżeli liczba równań układu jest równa liczbie nieznanych zmiennych, a wyznacznik jego macierzy głównej nie jest równy zeru, wówczas takie SLAE będą nazywane podstawowy. Takie układy równań mają unikalne rozwiązanie, a w przypadku układu jednorodnego wszystkie nieznane zmienne są równe zeru.

Zaczęliśmy badać takie SLAE w Liceum. Rozwiązując je, braliśmy jedno równanie, wyrażaliśmy jedną nieznaną zmienną w kategoriach innych i podstawialiśmy ją do pozostałych równań, następnie braliśmy następne równanie, wyrażaliśmy kolejną nieznaną zmienną i podstawialiśmy ją do innych równań i tak dalej. Lub zastosowali metodę dodawania, to znaczy dodali dwa lub więcej równań, aby wyeliminować niektóre nieznane zmienne. Nie będziemy szczegółowo omawiać tych metod, ponieważ są one zasadniczo modyfikacjami metody Gaussa.

Głównymi metodami rozwiązywania elementarnych układów równań liniowych są metoda Cramera, metoda macierzowa i metoda Gaussa. Uporządkujmy je.

Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą Cramera.

Załóżmy, że musimy rozwiązać układ liniowych równań algebraicznych

w którym liczba równań jest równa liczbie nieznanych zmiennych, a wyznacznik macierzy głównej układu jest różny od zera, czyli .

Niech będzie wyznacznikiem głównej macierzy układu i - wyznaczniki macierzy otrzymanych z A przez podstawienie 1., 2.,…, n-te kolumna odpowiednio do kolumny wolnych członków:

Przy takim zapisie nieznane zmienne są obliczane przy użyciu wzorów metody Cramera jako . W ten sposób znajduje się rozwiązanie układu liniowych równań algebraicznych metodą Cramera.

Przykład.

Metoda Cramera .

Rozwiązanie.

Główna macierz układu ma postać . Obliczmy jego wyznacznik (jeśli to konieczne, zobacz artykuł):

Ponieważ wyznacznik macierzy głównej układu jest różny od zera, układ ma unikalne rozwiązanie, które można znaleźć metodą Cramera.

Skomponujmy i obliczmy niezbędne wyznaczniki (wyznacznik otrzymujemy zastępując pierwszą kolumnę macierzy A kolumną wyrazów wolnych, wyznacznik zastępując drugą kolumnę kolumną wyrazów wolnych, a trzecią kolumnę macierzy A kolumną wyrazów wolnych) :

Znajdowanie nieznanych zmiennych za pomocą wzorów :

Odpowiedź:

Główną wadą metody Cramera (jeśli można to nazwać wadą) jest złożoność obliczania wyznaczników, gdy liczba równań w układzie jest większa niż trzy.

Rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych metodą macierzową (z wykorzystaniem macierzy odwrotnej).

Niech układ liniowych równań algebraicznych będzie dany w postaci macierzowej, gdzie macierz A ma wymiar n na n, a jej wyznacznik jest różny od zera.

Ponieważ , macierz A jest odwracalna, to znaczy istnieje macierz odwrotna. Jeśli pomnożymy obie strony równości przez lewą stronę, otrzymamy wzór na znalezienie macierzy-kolumny nieznanych zmiennych. W ten sposób otrzymaliśmy rozwiązanie układu liniowych równań algebraicznych metodą macierzową.

Przykład.

Rozwiązywać układ równań liniowych metoda matrycowa.

Rozwiązanie.

Zapiszmy układ równań w postaci macierzowej:

Ponieważ

wówczas SLAE można rozwiązać metodą macierzową. Korzystając z macierzy odwrotnej, rozwiązanie tego układu można znaleźć jako .

Skonstruujmy macierz odwrotną, korzystając z macierzy z dodatki algebraiczne elementy macierzy A (jeśli to konieczne, patrz artykuł):

Pozostaje obliczyć macierz nieznanych zmiennych poprzez pomnożenie macierzy odwrotnej do kolumny macierzy wolnych członków (jeśli to konieczne, zobacz artykuł):

Odpowiedź:

lub w innym zapisie x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Głównym problemem przy znajdowaniu rozwiązań układów liniowych równań algebraicznych metodą macierzową jest złożoność znajdowania macierzy odwrotnej, zwłaszcza dla macierzy kwadratowych rzędu wyższego niż trzeci.

Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą Gaussa.

Załóżmy, że musimy znaleźć rozwiązanie układu n równań liniowych z n nieznanymi zmiennymi
którego wyznacznik macierzy głównej jest różny od zera.

Istota metody Gaussa polega na sekwencyjnym eliminowaniu nieznanych zmiennych: najpierw x 1 jest wykluczane ze wszystkich równań układu, zaczynając od drugiego, następnie x 2 jest wykluczane ze wszystkich równań, zaczynając od trzeciego i tak dalej, aż pozostanie tylko nieznana zmienna x n w ostatnim równaniu. Ten proces przekształcania równań układu w celu sekwencyjnego eliminowania nieznanych zmiennych nazywa się bezpośrednia metoda Gaussa. Po wykonaniu skoku do przodu metodą Gaussa, z ostatniego równania oblicza się x n, wykorzystując tę ​​​​wartość z przedostatniego równania, oblicza się x n-1 i tak dalej, z pierwszego równania oblicza się x 1. Nazywa się proces obliczania nieznanych zmiennych podczas przechodzenia od ostatniego równania układu do pierwszego odwrotność metody Gaussa.

Opiszmy pokrótce algorytm eliminacji nieznanych zmiennych.

Założymy, że , ponieważ zawsze możemy to osiągnąć, przestawiając równania układu. Wyeliminujmy nieznaną zmienną x 1 ze wszystkich równań układu, zaczynając od drugiego. W tym celu do drugiego równania układu dodajemy pierwsze pomnożone przez , do trzeciego równania dodajemy pierwsze pomnożone przez , i tak dalej, do n-tego równania dodajemy pierwsze pomnożone przez . Układ równań po takich przekształceniach przyjmie postać

gdzie i .

Doszlibyśmy do tego samego wyniku, gdybyśmy w pierwszym równaniu układu wyrazili x 1 w kategoriach innych nieznanych zmiennych i podstawieli otrzymane wyrażenie do wszystkich pozostałych równań. Zatem zmienna x 1 jest wykluczona ze wszystkich równań, zaczynając od drugiego.

Następnie postępujemy w podobny sposób, ale tylko z częścią powstałego układu, co zaznaczono na rysunku

W tym celu do trzeciego równania układu dodajemy drugie pomnożone przez , do czwartego równania dodajemy drugie pomnożone przez , i tak dalej, do n-tego równania dodajemy drugie pomnożone przez . Układ równań po takich przekształceniach przyjmie postać

gdzie i . Zatem zmienna x 2 jest wykluczona ze wszystkich równań, zaczynając od trzeciego.

Następnie przystępujemy do eliminacji niewiadomej x 3, analogicznie postępujemy z zaznaczoną na rysunku częścią układu

Kontynuujemy zatem bezpośredni postęp metody Gaussa, aż system przyjmie formę

Od tego momentu zaczynamy odwrotność metody Gaussa: obliczamy x n z ostatniego równania jako , wykorzystując otrzymaną wartość x n z przedostatniego równania znajdujemy x n-1 i tak dalej, z pierwszego równania znajdujemy x 1 .

Przykład.

Rozwiązywać układ równań liniowych Metoda Gaussa.

Rozwiązanie.

Wykluczmy nieznaną zmienną x 1 z drugiego i trzeciego równania układu. Aby to zrobić, do obu stron drugiego i trzeciego równania dodajemy odpowiednie części pierwszego równania, odpowiednio pomnożone przez i przez:

Teraz eliminujemy x 2 z trzeciego równania, dodając do jego lewej i prawej strony lewą i prawą stronę drugiego równania, pomnożone przez:

Na tym kończy się ruch do przodu w metodzie Gaussa; rozpoczynamy ruch w tył.

Z ostatniego równania powstałego układu równań znajdujemy x 3:

Z drugiego równania otrzymujemy .

Z pierwszego równania znajdujemy pozostałą nieznaną zmienną i w ten sposób uzupełniamy odwrotność metody Gaussa.

Odpowiedź:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych postaci ogólnej.

Generalnie liczba równań układu p nie pokrywa się z liczbą nieznanych zmiennych n:

Takie SLAE mogą nie mieć rozwiązań, mieć jedno rozwiązanie lub mieć nieskończenie wiele rozwiązań. To stwierdzenie dotyczy także układów równań, których główna macierz jest kwadratowa i osobliwa.

Twierdzenie Kroneckera–Capelliego.

Przed znalezieniem rozwiązania układu równań liniowych należy ustalić jego zgodność. Odpowiedź na pytanie, kiedy SLAE jest kompatybilne, a kiedy niespójne, daje Twierdzenie Kroneckera–Capelliego:
Aby układ p równań z n niewiadomymi (p może być równe n) był spójny, konieczne i wystarczające jest, aby rząd macierzy głównej układu był równy rządowi macierzy rozszerzonej, czyli , Pozycja (A) = Pozycja (T).

Rozważmy jako przykład zastosowanie twierdzenia Kroneckera – Capelliego do określenia zgodności układu równań liniowych.

Przykład.

Dowiedz się, czy układ równań liniowych ma rozwiązania.

Rozwiązanie.

. Zastosujmy metodę graniczących nieletnich. Minor drugiego rzędu różny od zera. Spójrzmy na graniczące z nim nieletnie trzeciego rzędu:

Ponieważ wszystkie graniczące nieletni trzeciego rzędu są równe zeru, ranga macierzy głównej jest równa dwa.

Z kolei ranga rozszerzonej macierzy jest równe trzy, ponieważ moll jest trzeciego rzędu

różny od zera.

Zatem, Rang(A), korzystając zatem z twierdzenia Kroneckera–Capelliego, możemy stwierdzić, że pierwotny układ równań liniowych jest niespójny.

Odpowiedź:

System nie ma rozwiązań.

Nauczyliśmy się więc ustalać niespójność systemu za pomocą twierdzenia Kroneckera–Capelliego.

Ale jak znaleźć rozwiązanie dla SLAE, jeśli zostanie ustalona jego kompatybilność?

Aby to zrobić, potrzebujemy pojęcia podstawy mniejszej macierzy i twierdzenia o rzędzie macierzy.

Nazywa się moll najwyższego rzędu macierzy A, różny od zera podstawowy.

Z definicji bazy minor wynika, że ​​jej rząd jest równy rządowi macierzy. W przypadku niezerowej macierzy A może być kilka drugorzędnych baz; zawsze jest jeden moll bazowy.

Rozważmy na przykład macierz .

Wszystkie nieletnie trzeciego rzędu tej macierzy są równe zeru, ponieważ elementy trzeciego rzędu tej macierzy są sumą odpowiednich elementów pierwszego i drugiego rzędu.

Poniższe nieletni drugiego rzędu są podstawowe, ponieważ są niezerowe

Nieletni nie są podstawowe, ponieważ są równe zeru.

Twierdzenie o rangach macierzy.

Jeżeli rząd macierzy rzędu p na n jest równy r, to wszystkie elementy wierszowe (i kolumnowe) macierzy nie tworzące wybranej podstawy mniejszej są wyrażone liniowo w postaci odpowiadających im elementów wierszowych (i kolumnowych) tworzących podstawa niewielka.

Co mówi nam twierdzenie o rankingu macierzy?

Jeżeli zgodnie z twierdzeniem Kroneckera–Capelliego ustaliliśmy zgodność układu, to wybieramy dowolną bazę mniejszą macierzy głównej układu (jej rząd jest równy r) i wykluczamy z układu wszystkie równania, które spełniają nie tworzą wybranej podstawy drobnej. Otrzymany w ten sposób SLAE będzie równoważny pierwotnemu, gdyż odrzucone równania są w dalszym ciągu zbędne (zgodnie z twierdzeniem o randze macierzy są one liniową kombinacją pozostałych równań).

W efekcie po odrzuceniu zbędnych równań układu możliwe są dwa przypadki.

    Jeżeli liczba równań r w otrzymanym układzie będzie równa liczbie nieznanych zmiennych, to będzie to określone i jedyne rozwiązanie można znaleźć metodą Cramera, metodą macierzową lub metodą Gaussa.

    Przykład.

    .

    Rozwiązanie.

    Ranga głównej macierzy systemu jest równe dwa, ponieważ moll jest drugiego rzędu różny od zera. Rozszerzony ranking matrycy jest również równe dwa, ponieważ jedynym drugorzędnym trzecim rzędem jest zero

    a drugorzędna drugorzędna rozważana powyżej jest różna od zera. Na podstawie twierdzenia Kroneckera–Capelliego można stwierdzić zgodność pierwotnego układu równań liniowych, gdyż Ranga(A)=Rank(T)=2.

    Jako podstawę bierzemy mniej . Tworzą go współczynniki pierwszego i drugiego równania:

    Trzecie równanie układu nie bierze udziału w tworzeniu podstawy moll, dlatego wykluczamy je z układu w oparciu o twierdzenie o rzędzie macierzy:

    W ten sposób otrzymaliśmy elementarny układ liniowych równań algebraicznych. Rozwiążmy to metodą Cramera:

    Odpowiedź:

    x 1 = 1, x 2 = 2.

    Jeżeli liczba równań r w wynikowym SLAE jest mniejsza niż liczba nieznanych zmiennych n, to po lewej stronie równań pozostawiamy wyrazy tworzące podstawę minor, a pozostałe wyrazy przenosimy na prawą stronę równania równania układu o przeciwnym znaku.

    Wywoływane są nieznane zmienne (z nich r) pozostałe po lewej stronie równań główny.

    Wywoływane są nieznane zmienne (jest n - r elementów), które znajdują się po prawej stronie bezpłatny.

    Teraz wierzymy, że wolne nieznane zmienne mogą przyjmować dowolne wartości, podczas gdy r główne nieznane zmienne zostaną wyrażone w postaci wolnych nieznanych zmiennych jedyny sposób. Ich ekspresję można znaleźć rozwiązując wynikowy SLAE metodą Cramera, metodą macierzową lub metodą Gaussa.

    Spójrzmy na to na przykładzie.

    Przykład.

    Rozwiązać układ liniowych równań algebraicznych .

    Rozwiązanie.

    Znajdźmy rangę głównej macierzy układu metodą graniczących nieletnich. Przyjmijmy 1 1 = 1 jako niezerową liczbę drugorzędną pierwszego rzędu. Zacznijmy szukać niezerowego molla drugiego rzędu graniczącego z tym mollem:

    W ten sposób znaleźliśmy niezerową mollę drugiego rzędu. Zacznijmy szukać niezerowej granicy moll trzeciego rzędu:

    Zatem ranga głównej macierzy wynosi trzy. Ranga rozszerzonej macierzy jest również równa trzy, czyli system jest spójny.

    Jako podstawę przyjmujemy znalezioną niezerową mollę trzeciego rzędu.

    Dla przejrzystości pokazujemy elementy tworzące podstawę moll:

    Wyrazy związane z mollą bazową pozostawiamy po lewej stronie równań układu, a resztę z przeciwnymi znakami przenosimy na prawą stronę:

    Dajmy wolnym nieznanym zmiennym x 2 i x 5 dowolne wartości, czyli akceptujemy , gdzie są dowolnymi liczbami. W tym przypadku SLAE przybierze formę

    Rozwiążmy powstały elementarny układ liniowych równań algebraicznych metodą Cramera:

    Stąd, .

    W swojej odpowiedzi nie zapomnij wskazać wolnych nieznanych zmiennych.

    Odpowiedź:

    Gdzie są liczby dowolne.

Podsumować.

Aby rozwiązać układ ogólnych równań algebraicznych liniowych, najpierw określamy jego zgodność za pomocą twierdzenia Kroneckera – Capelliego. Jeżeli ranga macierzy głównej nie jest równa rangi macierzy rozszerzonej, wówczas stwierdzamy, że system jest niekompatybilny.

Jeżeli ranga macierzy głównej jest równa rangi macierzy rozszerzonej, wówczas wybieramy moll bazowy i odrzucamy równania układu, które nie biorą udziału w tworzeniu wybranego molla bazowego.

Jeśli rząd moll podstawy jest równy liczbie nieznanych zmiennych, wówczas SLAE ma unikalne rozwiązanie, które można znaleźć dowolną znaną nam metodą.

Jeśli rząd podstawy mniejszej jest mniejszy niż liczba nieznanych zmiennych, to po lewej stronie równań układu pozostawiamy wyrazy z głównymi nieznanymi zmiennymi, pozostałe wyrazy przenosimy na prawą stronę i podajemy dowolne wartości wolne nieznane zmienne. Z powstałego układu równań liniowych znajdujemy główne niewiadome zmienne metodą Cramera, metoda macierzowa lub metoda Gaussa.

Metoda Gaussa rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych o postaci ogólnej.

Metodę Gaussa można zastosować do rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych dowolnego rodzaju bez uprzedniego sprawdzania ich pod kątem zgodności. Proces sekwencyjnej eliminacji nieznanych zmiennych pozwala wyciągnąć wniosek zarówno o zgodności, jak i niezgodności SLAE, a jeśli istnieje rozwiązanie, umożliwia jego znalezienie.

Z obliczeniowego punktu widzenia preferowana jest metoda Gaussa.

Jej szczegółowy opis i przeanalizowane przykłady można znaleźć w artykule Metoda Gaussa rozwiązywania układów ogólnych równań algebraicznych liniowych.

Zapisywanie rozwiązań ogólnych jednorodnych i niejednorodnych liniowych układów algebraicznych z wykorzystaniem wektorów podstawowego układu rozwiązań.

W tej sekcji omówimy jednoczesne jednorodne i niejednorodne układy liniowych równań algebraicznych, które mają nieskończoną liczbę rozwiązań.

Zajmijmy się najpierw systemami jednorodnymi.

Podstawowy system rozwiązań jednorodny układ p równań algebraicznych liniowych z n nieznanymi zmiennymi to zbiór (n – r) liniowo niezależnych rozwiązań tego układu, gdzie r jest rządem mniejszej podstawy macierzy głównej układu.

Jeśli oznaczymy liniowo niezależne rozwiązania jednorodnego SLAE jako X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) są macierzami kolumnowymi o wymiarze n przez 1) , wówczas ogólne rozwiązanie tego jednorodnego układu jest reprezentowane jako liniowa kombinacja wektorów podstawowego układu rozwiązań o dowolnych stałych współczynnikach C 1, C 2, ..., C (n-r), to znaczy .

Co oznacza termin ogólne rozwiązanie jednorodnego układu liniowych równań algebraicznych (oroslau)?

Znaczenie jest proste: wzór określa wszystkie możliwe rozwiązania pierwotnego SLAE, innymi słowy, przyjmując dowolny zbiór wartości dowolnych stałych C 1, C 2, ..., C (n-r), korzystając ze wzoru, który zrobimy otrzymać jedno z rozwiązań pierwotnego jednorodnego SLAE.

Zatem jeśli znajdziemy podstawowy system rozwiązań, wówczas możemy zdefiniować wszystkie rozwiązania tego jednorodnego SLAE jako .

Pokażmy proces konstruowania podstawowego systemu rozwiązań do jednorodnego SLAE.

Wybieramy bazę mniejszą pierwotnego układu równań liniowych, wykluczamy z układu wszystkie pozostałe równania i przenosimy wszystkie wyrazy zawierające wolne nieznane zmienne na prawą stronę równań układu o przeciwnych znakach. Niewiadomym swobodnym nadajmy wartości 1,0,0,...,0 i obliczmy główne niewiadome rozwiązując w dowolny sposób otrzymany elementarny układ równań liniowych, na przykład metodą Cramera. W rezultacie otrzymamy X (1) - pierwsze rozwiązanie układu podstawowego. Jeśli podamy wolnym niewiadomym wartości 0,1,0,0,…,0 i obliczymy główne niewiadome, otrzymamy X (2) . I tak dalej. Jeżeli niewiadomym wolnym przypiszemy wartości 0,0,…,0,1 i obliczymy niewiadome główne, otrzymamy X (n-r). W ten sposób zostanie skonstruowany podstawowy system rozwiązań jednorodnego SLAE, a jego rozwiązanie ogólne będzie można zapisać w postaci .

W przypadku niejednorodnych układów liniowych równań algebraicznych rozwiązanie ogólne jest reprezentowane w postaci , gdzie jest rozwiązaniem ogólnym odpowiedniego układu jednorodnego i jest rozwiązaniem szczególnym pierwotnego niejednorodnego SLAE, które otrzymujemy podając wartości niewiadomym wolnym ​0,0,...,0 i obliczenie wartości głównych niewiadomych.

Spójrzmy na przykłady.

Przykład.

Znajdź podstawowy układ rozwiązań i rozwiązanie ogólne jednorodnego układu liniowych równań algebraicznych .

Rozwiązanie.

Ranga macierzy głównej jednorodnych układów równań liniowych jest zawsze równa rangi macierzy rozszerzonej. Znajdźmy rząd macierzy głównej, stosując metodę graniczących nieletnich. Jako niezerową liczbę drugorzędną pierwszego rzędu bierzemy element a 1 1 = 9 macierzy głównej układu. Znajdźmy graniczący niezerowy moll drugiego rzędu:

Znaleziono moll drugiego rzędu, różny od zera. Przejdźmy przez nieletnie trzeciego rzędu graniczące z nim w poszukiwaniu niezerowej jedynki:

Wszystkie nieletnie graniczące trzeciego rzędu są równe zeru, dlatego ranga macierzy głównej i rozszerzonej jest równa dwa. Weźmy . Dla jasności zwróćmy uwagę na elementy systemu, które go tworzą:

Trzecie równanie pierwotnego SLAE nie uczestniczy w tworzeniu podstawy moll, dlatego można je wykluczyć:

Wyrazy zawierające główne niewiadome pozostawiamy po prawej stronie równań, a wyrazy z wolnymi niewiadomymi przenosimy na prawe strony:

Skonstruujmy podstawowy układ rozwiązań pierwotnego jednorodnego układu równań liniowych. Podstawowy system rozwiązań tego SLAE składa się z dwóch rozwiązań, ponieważ pierwotny SLAE zawiera cztery nieznane zmienne, a rząd jego molowej podstawy jest równy dwa. Aby znaleźć X (1), wolnym nieznanym zmiennym nadajemy wartości x 2 = 1, x 4 = 0, następnie znajdujemy główne niewiadome z układu równań
.

Rozwiążmy to metodą Cramera:

Zatem, .

Teraz skonstruujmy X (2) . W tym celu wolnym nieznanym zmiennym nadajemy wartości x 2 = 0, x 4 = 1, następnie znajdujemy główne niewiadome z układu równań liniowych
.

Zastosujmy jeszcze raz metodę Cramera:

Dostajemy.

Mamy więc dwa wektory podstawowego układu rozwiązań i teraz możemy zapisać ogólne rozwiązanie jednorodnego układu liniowych równań algebraicznych:

, gdzie C 1 i C 2 są liczbami dowolnymi., są równe zero. Przyjmiemy również moll jako podstawowy, wyeliminujemy z układu trzecie równanie i przeniesiemy wyrazy z wolnymi niewiadomymi na prawą stronę równań układu:

Aby znaleźć, nadajemy wolnym nieznanym zmiennym wartości x 2 = 0 i x 4 = 0, wtedy układ równań przyjmie postać , skąd znajdujemy główne nieznane zmienne metodą Cramera:

Mamy , stąd,

gdzie C 1 i C 2 są liczbami dowolnymi.

Należy zauważyć, że powstają rozwiązania nieokreślonego jednorodnego układu liniowych równań algebraicznych przestrzeń liniowa

Rozwiązanie.

Równanie kanoniczne elipsoidy w prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych ma postać . Naszym zadaniem jest wyznaczenie parametrów a, b i c. Ponieważ elipsoida przechodzi przez punkty A, B i C, to po podstawieniu ich współrzędnych do równanie kanoniczne elipsoida, musi przekształcić się w tożsamość. Otrzymujemy więc układ trzech równań:

Oznaczmy , wówczas układ stanie się układem liniowych równań algebraicznych .

Obliczmy wyznacznik macierzy głównej układu:

Ponieważ jest ona niezerowa, rozwiązanie możemy znaleźć metodą Cramera:
). Oczywiście x = 0 i x = 1 są pierwiastkami tego wielomianu. Iloraz z dzielenia NA Jest . Zatem mamy rozwinięcie i oryginalne wyrażenie przyjmuje formę .

Zastosujmy metodę współczynników nieokreślonych.

Przyrównując odpowiednie współczynniki liczników, otrzymujemy układ liniowych równań algebraicznych . Jego rozwiązanie da nam pożądane nieokreślone współczynniki A, B, C i D.

Rozwiążmy układ metodą Gaussa:

Stosując odwrotność metody Gaussa, znajdujemy D = 0, C = -2, B = 1, A = 1.

Dostajemy

Odpowiedź:

.

  • Systemy M równania liniowe z N nieznany.
    Rozwiązywanie układu równań liniowych- to jest taki zbiór liczb ( x 1 , x 2 , …, x rz), po podstawieniu do każdego z równań układu otrzymuje się poprawną równość.
    Gdzie a ij , ja = 1, …, m; j = 1, …, n— współczynniki systemowe;
    b ja , ja = 1, …, m- wolni członkowie;
    x jot, jot = 1, …, n- nieznany.
    Powyższy układ można zapisać w postaci macierzowej: A X = B,




    Gdzie ( A|B) jest główną macierzą układu;
    A— rozbudowana matryca systemu;
    X— kolumna niewiadomych;
    B— kolumna wolnych członków.
    Jeśli macierz B nie jest macierzą zerową ∅, to taki układ równań liniowych nazywa się niejednorodnym.
    Jeśli macierz B= ∅, wówczas ten układ równań liniowych nazywa się jednorodnym. Układ jednorodny ma zawsze rozwiązanie zerowe (trywialne): x 1 = x 2 = …, x n = 0.
    Wspólny układ równań liniowych jest układem równań liniowych, który ma rozwiązanie.
    Niespójny układ równań liniowych jest nierozwiązywalnym układem równań liniowych.
    Pewien układ równań liniowych jest układem równań liniowych, który ma unikalne rozwiązanie.
    Nieokreślony układ równań liniowych jest układem równań liniowych o nieskończonej liczbie rozwiązań.
  • Układy n równań liniowych z n niewiadomymi
    Jeśli liczba niewiadomych jest równa liczbie równań, wówczas macierz jest kwadratowa. Wyznacznik macierzy nazywany jest głównym wyznacznikiem układu równań liniowych i jest oznaczony symbolem Δ.
    Metoda Cramera do rozwiązywania systemów N równania liniowe z N nieznany.
    Reguła Cramera.
    Jeżeli główna wyznacznika układu równań liniowych nie jest równa zeru, to układ jest spójny i zdefiniowany, a jedyne rozwiązanie oblicza się za pomocą wzorów Cramera:
    gdzie Δ i są wyznacznikami otrzymanymi z głównego wyznacznika układu Δ poprzez zastąpienie I kolumnę do kolumny wolnych członków. .
  • Układy m równań liniowych z n niewiadomymi
    Twierdzenie Kroneckera–Capelliego.


    Aby dany układ równań liniowych był spójny, konieczne i wystarczające jest, aby stopień macierzy układu był równy rządowi rozszerzonej macierzy układu, zadzwonił(Α) = zadzwonił(Α|B).
    Jeśli zadzwonił(Α) ≠ zadzwonił(Α|B), to układ oczywiście nie ma rozwiązań.
    Jeśli zadzwonił(Α) = zadzwonił(Α|B), to możliwe są dwa przypadki:
    1) ranga (Α) = n(liczba niewiadomych) – rozwiązanie jest unikalne i można je otrzymać korzystając ze wzorów Cramera;
    2) ranga (Α)< n - istnieje nieskończenie wiele rozwiązań.
  • Metoda Gaussa do rozwiązywania układów równań liniowych


    Stwórzmy rozszerzoną macierz ( A|B) danego układu ze współczynników niewiadomych i prawych stron.
    Metoda Gaussa, czyli metoda eliminowania niewiadomych, polega na redukcji rozszerzonej macierzy ( A|B) stosując elementarne przekształcenia po swoich wierszach do postaci ukośnej (do postaci górnego trójkąta). Wracając do układu równań, wszystkie niewiadome są określone.
    Elementarne przekształcenia ciągów obejmują:
    1) zamień dwie linie;
    2) pomnożenie ciągu przez liczbę inną niż 0;
    3) dodanie kolejnego ciągu do ciągu pomnożonego przez dowolną liczbę;
    4) wyrzucenie linii zerowej.
    Rozbudowana macierz sprowadzona do postaci diagonalnej odpowiada układowi liniowemu równoważnemu podanemu, którego rozwiązanie nie nastręcza trudności. .
  • Układ jednorodnych równań liniowych.
    Układ jednorodny ma postać:

    odpowiada to równaniu macierzowemu X = 0.
    1) System jednorodny jest zawsze spójny, ponieważ r(A) = r(A|B), zawsze istnieje rozwiązanie zerowe (0, 0, …, 0).
    2) Aby układ jednorodny miał rozwiązanie niezerowe, jest to konieczne i wystarczające r = r(A)< n , co jest równoważne Δ = 0.
    3) Jeśli R< n , to oczywiście Δ = 0, wtedy powstają wolne niewiadome do 1 , do 2 , …, do nr-r, układ ma rozwiązania nietrywialne, a jest ich nieskończenie wiele.
    4) Rozwiązanie ogólne X Na R< n można zapisać w postaci macierzowej w następujący sposób:
    X = do 1 X 1 + do 2 X 2 + … + do n-r X n-r,
    gdzie są rozwiązania X 1, X 2, …, X n-r tworzą podstawowy układ rozwiązań.
    5) Podstawowy układ rozwiązań można otrzymać z ogólnego rozwiązania układu jednorodnego:

    ,
    jeśli ustawimy kolejno wartości parametrów równe (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1).
    Rozbudowa rozwiązania ogólnego w zakresie podstawowego układu rozwiązań jest zapisem rozwiązania ogólnego w postaci kombinacji liniowej rozwiązań należących do układu podstawowego.
    Twierdzenie. Aby układ liniowych równań jednorodnych miał rozwiązanie niezerowe, konieczne i wystarczające jest, aby Δ ≠ 0.
    Jeśli więc wyznacznik Δ ≠ 0, to układ ma rozwiązanie jednoznaczne.
    Jeśli Δ ≠ 0, to układ liniowych równań jednorodnych ma nieskończoną liczbę rozwiązań.
    Twierdzenie. Aby układ jednorodny miał rozwiązanie niezerowe, jest to konieczne i wystarczające r(A)< n .
    Dowód:
    1) R nie może być więcej N(Rząd macierzy nie przekracza liczby kolumn lub wierszy);
    2) R< n , ponieważ Jeśli r = n, to główna wyznacznika układu Δ ≠ 0 i zgodnie ze wzorami Cramera istnieje jednoznaczne rozwiązanie trywialne x 1 = x 2 = … = x n = 0, co jest sprzeczne z warunkiem. Oznacza, r(A)< n .
    Konsekwencja. W celu uzyskania jednorodnego systemu N równania liniowe z N niewiadome miały niezerowe rozwiązanie, konieczne i wystarczające jest, aby Δ = 0.
Przykład 1. Znajdź rozwiązanie ogólne i rozwiązanie szczególne układu

Rozwiązanie Robimy to za pomocą kalkulatora. Zapiszmy macierze rozszerzone i główne:

Macierz główną A oddzielono linią przerywaną.Nieznane układy zapisujemy na górze, pamiętając o możliwości przestawienia wyrazów w równaniach układu. Wyznaczając rangę macierzy rozszerzonej, jednocześnie znajdujemy rangę macierzy głównej. W macierzy B pierwsza i druga kolumna są proporcjonalne. Z dwóch kolumn proporcjonalnych tylko jedna może wpaść w moll podstawowy, zatem przesuńmy np. pierwszą kolumnę poza linię przerywaną z przeciwległym znakiem. Dla układu oznacza to przeniesienie wyrazów z x 1 na prawą stronę równań.

Sprowadźmy macierz do postaci trójkątnej. Będziemy pracować tylko z wierszami, gdyż pomnożenie wiersza macierzy przez liczbę różną od zera i dodanie go do innego wiersza dla układu oznacza pomnożenie równania przez tę samą liczbę i dodanie go przez inne równanie, co nie zmienia rozwiązania układu system. Pracujemy z pierwszym wierszem: pomnóż pierwszy wiersz macierzy przez (-3) i dodaj kolejno do drugiego i trzeciego wiersza. Następnie pomnóż pierwszą linię przez (-2) i dodaj do czwartej.

Druga i trzecia linia są proporcjonalne, dlatego jedną z nich, na przykład drugą, można przekreślić. Jest to równoznaczne z przekreśleniem drugiego równania układu, ponieważ jest konsekwencją trzeciego.

Teraz pracujemy z drugą linią: pomnóż ją przez (-1) i dodaj do trzeciej.

Moll zakreślony linią przerywaną ma najwyższy rząd (z możliwych minorów) i jest niezerowy (jest równy iloczynowi elementów na głównej przekątnej), a ten minor należy zarówno do macierzy głównej, jak i rozszerzonej, zatem rangA = rangB = 3.
Drobny jest podstawowe. Zawiera współczynniki dla niewiadomych x 2 , x 3 , x 4 , co oznacza, że ​​niewiadome x 2 , x 3 , x 4 są zależne, a x 1 , x 5 są wolne.
Przekształćmy macierz, pozostawiając po lewej stronie jedynie bazę mniejszą (co odpowiada punktowi 4 powyższego algorytmu rozwiązania).

Układ o współczynnikach tej macierzy jest równoważny układowi pierwotnemu i ma postać

Stosując metodę eliminacji niewiadomych znajdujemy:
x 4 =3-4x 5 , x 3 =3-4x 5 -2x 4 =3-4x 5 -6+8x 5 =-3+4x 5
x 2 =x 3 +2x 4 -2+2x 1 +3x 5 = -3+4x 5 +6-8x 5 -2+2x 1 +3x 5 = 1+2x 1 -x 5
Otrzymaliśmy relacje wyrażające zmienne zależne x 2, x 3, x 4 poprzez wolne x 1 i x 5, czyli znaleźliśmy rozwiązanie ogólne:

Przypisując dowolne wartości wolnym niewiadomym otrzymujemy dowolną liczbę rozwiązań szczegółowych. Znajdźmy dwa konkretne rozwiązania:
1) niech x 1 = x 5 = 0, następnie x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) wstaw x 1 = 1, x 5 = -1, następnie x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
Znaleziono zatem dwa rozwiązania: (0,1,-3,3,0) – jedno rozwiązanie, (1,4,-7,7,-1) – drugie rozwiązanie.

Przykład 2. Sprawdź kompatybilność, znajdź ogólne i jedno szczególne rozwiązanie dla systemu

Rozwiązanie. Przekształćmy pierwsze i drugie równanie tak, aby mieć jedynkę w pierwszym równaniu i napiszmy macierz B.

Zera w czwartej kolumnie otrzymujemy operując na pierwszym wierszu:

Teraz uzyskujemy zera w trzeciej kolumnie za pomocą drugiej linii:

Trzecia i czwarta linia są proporcjonalne, więc jedną z nich można przekreślić bez zmiany rangi:
Pomnóż trzecią linię przez (–2) i dodaj do czwartej:

Widzimy, że szeregi macierzy głównej i rozszerzonej są równe 4, a stopień pokrywa się z liczbą niewiadomych, dlatego układ ma unikalne rozwiązanie:
-x 1 =-3 → x 1 =3; x 2 = 3-x 1 → x 2 = 0; x 3 =1-2x 1 → x 3 =5.
x 4 = 10- 3x 1 – 3x 2 – 2x 3 = 11.

Przykład 3. Sprawdź system pod kątem kompatybilności i znajdź rozwiązanie, jeśli istnieje.

Rozwiązanie. Tworzymy rozbudowaną matrycę systemu.

Przekształcamy pierwsze dwa równania tak, aby w lewym górnym rogu znajdowała się liczba 1:
Mnożąc pierwszą linię przez (-1), dodając ją do trzeciej:

Pomnóż drugą linię przez (-2) i dodaj ją do trzeciej:

System jest niespójny, ponieważ w macierzy głównej otrzymaliśmy wiersz składający się z zer, który przy znalezieniu rangi jest przekreślany, natomiast w macierzy rozszerzonej pozostaje ostatni wiersz, czyli r B > r A .

Ćwiczenia. Badania ten system równania zgodności i rozwiązać je za pomocą rachunku macierzowego.
Rozwiązanie

Przykład. Udowodnić zgodność układu równań liniowych i rozwiązać go na dwa sposoby: 1) metodą Gaussa; 2) Metoda Cramera. (wpisz odpowiedź w formie: x1,x2,x3)
Rozwiązanie :doc :doc :xls
Odpowiedź: 2,-1,3.

Przykład. Podano układ równań liniowych. Udowodnij jego zgodność. Znajdź rozwiązanie ogólne układu i jedno rozwiązanie szczególne.
Rozwiązanie
Odpowiedź: x 3 = - 1 + x 4 + x 5 ; x 2 = 1 - x 4 ; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5

Ćwiczenia. Znajdź rozwiązania ogólne i szczegółowe każdego układu.
Rozwiązanie. Badamy ten układ, korzystając z twierdzenia Kroneckera-Capelliego.
Zapiszmy macierze rozszerzone i główne:

1 1 14 0 2 0
3 4 2 3 0 1
2 3 -3 3 -2 1
x 1x 2x 3x 4x 5

Tutaj macierz A jest wyróżniona pogrubioną czcionką.
Sprowadźmy macierz do postaci trójkątnej. Będziemy pracować tylko z wierszami, gdyż pomnożenie wiersza macierzy przez liczbę różną od zera i dodanie go do innego wiersza dla układu oznacza pomnożenie równania przez tę samą liczbę i dodanie go przez inne równanie, co nie zmienia rozwiązania układu system.
Pomnóżmy pierwszą linię przez (3). Pomnóż drugą linię przez (-1). Dodajmy drugą linię do pierwszej:
0 -1 40 -3 6 -1
3 4 2 3 0 1
2 3 -3 3 -2 1

Pomnóżmy drugą linię przez (2). Pomnóż trzecią linię przez (-3). Dodajmy trzecią linię do drugiej:
0 -1 40 -3 6 -1
0 -1 13 -3 6 -1
2 3 -3 3 -2 1

Pomnóż drugą linię przez (-1). Dodajmy drugą linię do pierwszej:
0 0 27 0 0 0
0 -1 13 -3 6 -1
2 3 -3 3 -2 1

Wybrany moll ma najwyższy rząd (z możliwych minorów) i jest niezerowy (jest równy iloczynowi elementów na odwrotnej przekątnej), a ten minor należy zarówno do macierzy głównej, jak i rozszerzonej, zatem rang( A) = rang(B) = 3 Ponieważ ranga macierzy głównej jest równa rangi macierzy rozszerzonej, to system współpracuje.
Ten drobny element jest podstawowy. Zawiera współczynniki dla niewiadomych x 1 , x 2 , x 3 , co oznacza, że ​​niewiadome x 1 , x 2 , x 3 są zależne (podstawowe), a x 4 , x 5 są wolne.
Przekształćmy macierz, pozostawiając po lewej stronie tylko podstawę mollową.
0 0 27 0 0 0
0 -1 13 -1 3 -6
2 3 -3 1 -3 2
x 1x 2x 3 x 4x 5
Układ o współczynnikach tej macierzy jest równoważny układowi pierwotnemu i ma postać:
27x 3 =
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
Stosując metodę eliminacji niewiadomych znajdujemy:
Otrzymaliśmy relacje wyrażające zmienne zależne x 1 , x 2 , x 3 poprzez wolne x 4 , x 5 , czyli znaleźliśmy wspólna decyzja:
x 3 = 0
x 2 = 1 - 3x 4 + 6x 5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
niepewny, ponieważ ma więcej niż jedno rozwiązanie.

Ćwiczenia. Rozwiązać układ równań.
Odpowiedź:x 2 = 2 - 1,67x 3 + 0,67x 4
x 1 = 5 - 3,67 x 3 + 0,67 x 4
Przypisując dowolne wartości wolnym niewiadomym otrzymujemy dowolną liczbę rozwiązań szczegółowych. System jest niepewny

Jak wynika z Twierdzenie Cramera, przy rozwiązywaniu układu równań liniowych mogą wystąpić trzy przypadki:

Przypadek pierwszy: układ równań liniowych ma unikalne rozwiązanie

(system jest spójny i określony)

Przypadek drugi: układ równań liniowych ma nieskończoną liczbę rozwiązań

(system jest spójny i niepewny)

** ,

te. współczynniki niewiadomych i wyrazy wolne są proporcjonalne.

Przypadek trzeci: układ równań liniowych nie ma rozwiązań

(system jest niespójny)

A więc system M równania liniowe z N zwane zmiennymi nie wspólne, jeśli nie ma jednego rozwiązania, i wspólny, jeśli ma co najmniej jedno rozwiązanie. Nazywa się równoczesny układ równań, który ma tylko jedno rozwiązanie niektórzy i więcej niż jeden – niepewny.

Przykłady rozwiązywania układów równań liniowych metodą Cramera

Niech będzie dany system

.

Na podstawie twierdzenia Cramera

………….
,

Gdzie
-

wyznacznik systemu. Pozostałe wyznaczniki uzyskujemy zastępując kolumnę współczynnikami odpowiedniej zmiennej (nieznanej) o terminach dowolnych:

Przykład 2.

.

Zatem system jest określony. Aby znaleźć rozwiązanie, obliczamy wyznaczniki

Korzystając ze wzorów Cramera znajdujemy:

Zatem (1; 0; -1) jest jedynym rozwiązaniem tego układu.

Aby sprawdzić rozwiązania układów równań 3 X 3 i 4 X 4, możesz skorzystać z kalkulatora online, zdecydowana metoda Kramera.

Jeśli w układzie równań liniowych nie ma zmiennych w jednym lub większej liczbie równań, to w wyznaczniku odpowiednie elementy są równe zeru! To jest następny przykład.

Przykład 3. Rozwiąż układ równań liniowych metodą Cramera:

.

Rozwiązanie. Znajdujemy wyznacznik układu:

Przyjrzyj się uważnie układowi równań i wyznacznikowi układu i powtórz odpowiedź na pytanie, w jakich przypadkach jeden lub więcej elementów wyznacznika jest równe zero. Zatem wyznacznik nie jest równy zero, zatem układ jest określony. Aby znaleźć rozwiązanie, obliczamy wyznaczniki niewiadomych

Korzystając ze wzorów Cramera znajdujemy:

Zatem rozwiązaniem układu jest (2; -1; 1).

6. Układ ogólny liniowe równania algebraiczne. Metoda Gaussa.

Jak pamiętamy, reguła Cramera i metoda macierzowa nie nadają się w przypadkach, gdy układ ma nieskończenie wiele rozwiązań lub jest niespójny. Metoda Gaussa – najpotężniejsze i wszechstronne narzędzie do znajdowania rozwiązań dowolnego układu równań liniowych, Który w każdym przypadku doprowadzi nas do odpowiedzi! Sam algorytm metody działa tak samo we wszystkich trzech przypadkach. Jeśli metody Cramera i macierzowe wymagają znajomości wyznaczników, to do zastosowania metody Gaussa wystarczy znajomość działań arytmetycznych, co czyni ją przystępną nawet dla uczniów zajęcia podstawowe.



Na początek usystematyzujmy trochę wiedzy o układach równań liniowych. Układ równań liniowych może:

1) Mieć unikalne rozwiązanie.
2) Mają nieskończenie wiele rozwiązań.
3) Nie mają rozwiązań (być nie wspólne).

Metoda Gaussa jest najpotężniejszym i najbardziej uniwersalnym narzędziem do znalezienia rozwiązania każdy układy równań liniowych. Jak pamiętamy, Reguła Cramera i metoda macierzowa są nieodpowiednie w przypadkach, gdy układ ma nieskończenie wiele rozwiązań lub jest niespójny. Oraz metoda sekwencyjnej eliminacji niewiadomych W każdym razie doprowadzi nas do odpowiedzi! W tej lekcji ponownie rozważymy metodę Gaussa dla przypadku nr 1 (jedyne rozwiązanie układu), artykuł poświęcony jest sytuacjom z punktów nr 2-3. Zwracam uwagę, że algorytm samej metody działa tak samo we wszystkich trzech przypadkach.

Wróćmy do najprostszego systemu z lekcji Jak rozwiązać układ równań liniowych?
i rozwiązać go metodą Gaussa.

Pierwszym krokiem jest zapisanie rozbudowana matryca systemu:
. Myślę, że każdy może zobaczyć, według jakiej zasady zapisywane są współczynniki. Pionowa linia wewnątrz matrycy nie ma żadnego znaczenia matematycznego – jest po prostu przekreśleniem dla ułatwienia projektowania.

Odniesienie:Polecam pamiętać warunki algebra liniowa. Matryca systemu jest macierzą złożoną wyłącznie ze współczynników niewiadomych, w w tym przykładzie matryca systemowa: . Rozszerzona matryca systemu– jest to ta sama macierz układu plus kolumna wolnych terminów, w tym przypadku: . Dla uproszczenia każdą z macierzy można po prostu nazwać macierzą.



Po napisaniu rozszerzonej macierzy systemu należy wykonać z nią pewne działania, które są również nazywane elementarne przemiany.

Istnieją następujące przekształcenia elementarne:

1) Smyczki matryce można przearanżować w niektórych miejscach. Na przykład w rozważanej macierzy możesz bezboleśnie zmienić układ pierwszego i drugiego wiersza:

2) Jeśli macierz jest (lub pojawiła się) proporcjonalna (np szczególny przypadek– identyczne) linie, to następuje usuwać Wszystkie te wiersze pochodzą z macierzy, z wyjątkiem jednego. Rozważmy na przykład macierz . W tej macierzy ostatnie trzy wiersze są proporcjonalne, dlatego wystarczy pozostawić tylko jeden z nich: .

3) Jeżeli podczas przekształceń w macierzy pojawia się wiersz zerowy, to też powinien tak być usuwać. Nie będę oczywiście rysować, linia zerowa to linia, w której wszystkie zera.

4) Wiersz macierzy może być mnożyć (dzielić) na dowolny numer niezerowy. Rozważmy na przykład macierz . W tym przypadku wskazane jest podzielenie pierwszej linii przez –3 i pomnożenie drugiej linii przez 2: . Akcja ta jest bardzo przydatna, gdyż ułatwia dalsze przekształcenia macierzy.

5) Ta transformacja sprawia najwięcej trudności, ale tak naprawdę nie ma też nic skomplikowanego. Do rzędu macierzy można dodaj kolejny ciąg pomnożony przez liczbę, różny od zera. Rozważmy naszą macierz praktyczny przykład: . Najpierw opiszę bardzo szczegółowo transformację. Pomnóż pierwszą linię przez –2: , I do drugiej linii dodajemy pierwszą linię pomnożoną przez –2: . Teraz pierwszą linię można podzielić „wstecz” przez –2: . Jak widać, linia, która jest DODANA LI – nie uległo zmianie. Zawsze zmienia się linia DO KTÓREGO JEST DODAWANA UT.

W praktyce oczywiście nie piszą tego tak szczegółowo, ale piszą krótko:

Jeszcze raz: do drugiej linii dodano pierwszą linię pomnożoną przez –2. Wiersz jest zwykle mnożony ustnie lub w wersji roboczej, a proces obliczeń w myślach przebiega mniej więcej tak:

„Przepisuję macierz i przepisuję pierwszą linijkę: »

"Pierwsza kolumna. Na dole muszę uzyskać zero. Dlatego mnożę tę na górze przez –2: , a pierwszą dodaję do drugiej linii: 2 + (–2) = 0. Wynik zapisuję w drugiej linii: »

„Teraz druga kolumna. Na górze mnożę -1 przez -2: . Pierwszy dodaję do drugiej linii: 1 + 2 = 3. Wynik zapisuję w drugiej linii: »

„I trzecia kolumna. Na górze mnożę -5 przez -2: . Pierwszy dodaję do drugiego wiersza: –7 + 10 = 3. Wynik zapisuję w drugim wierszu: »

Proszę dokładnie zrozumieć ten przykład i zrozumieć algorytm obliczeń sekwencyjnych, jeśli to rozumiesz, to metoda Gaussa jest praktycznie w twojej kieszeni. Ale oczywiście nadal będziemy pracować nad tą transformacją.

Przekształcenia elementarne nie zmieniają rozwiązania układu równań

! UWAGA: uważane za manipulacje nie można użyć, jeśli zaproponowano ci zadanie, w którym macierze są podawane „same w sobie”. Na przykład w przypadku „klasycznego” operacje na macierzach W żadnym wypadku nie należy przestawiać czegokolwiek wewnątrz macierzy!

Wróćmy do naszego systemu. Jest praktycznie rozebrany na kawałki.

Zapiszmy rozszerzoną macierz układu i korzystając z przekształceń elementarnych sprowadźmy ją do postaci widok schodkowy:

(1) Pierwsza linia została dodana do drugiej linii, pomnożona przez –2. I jeszcze raz: dlaczego mnożymy pierwszą linię przez –2? Aby uzyskać zero na dole, co oznacza pozbycie się jednej zmiennej w drugiej linii.

(2) Podziel drugą linię przez 3.

Cel przekształceń elementarnych – sprowadź macierz do postaci krokowej: . Projektując zadanie, po prostu zaznaczają „schody” prostym ołówkiem, a także zakreślają liczby znajdujące się na „stopniach”. Sam termin „widok krokowy” nie jest całkowicie teoretyczny, zarówno z naukowego, jak i z punktu widzenia naukowego literatura edukacyjna często się to nazywa widok trapezowy Lub widok trójkątny.

W wyniku elementarnych przekształceń otrzymaliśmy równowartość oryginalny układ równań:

Teraz należy system „rozwinąć”. odwrotny kierunek– od dołu do góry, proces ten nazywa się odwrotność metody Gaussa.

W dolnym równaniu mamy już gotowy wynik: .

Rozważmy pierwsze równanie układu i podstawmy do niego znaną już wartość „y”:

Rozważmy najczęstszą sytuację, gdy metoda Gaussa wymaga rozwiązania układu trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi.

Przykład 1

Rozwiąż układ równań metodą Gaussa:

Napiszmy rozszerzoną macierz układu:

Teraz od razu narysuję wynik, do którego dojdziemy podczas rozwiązania:

I powtarzam, naszym celem jest doprowadzenie macierzy do postaci krokowej za pomocą elementarnych przekształceń. Gdzie zacząć?

Najpierw spójrz na liczbę w lewym górnym rogu:

Powinien prawie zawsze tu być jednostka. Ogólnie rzecz biorąc, wystarczy –1 (a czasami inne liczby), ale jakoś tradycyjnie tak się złożyło, że zwykle umieszczano je w tym miejscu. Jak zorganizować jednostkę? Patrzymy na pierwszą kolumnę - mamy gotową jednostkę! Transformacja pierwsza: zamień pierwszą i trzecią linię:

Teraz pierwsza linia pozostanie niezmieniona aż do końca rozwiązania. Teraz dobrze.

Jednostka w lewym górnym rogu jest zorganizowana. Teraz musisz uzyskać zera w tych miejscach:

Zera otrzymujemy stosując „trudną” transformację. Najpierw zajmujemy się drugą linią (2, –1, 3, 13). Co należy zrobić, aby na pierwszym miejscu pojawiło się zero? Potrzebować do drugiej linii dodaj pierwszą linię pomnożoną przez –2. W myślach lub w szkicu pomnóż pierwszą linię przez –2: (–2, –4, 2, –18). I konsekwentnie przeprowadzamy (znowu w myślach lub na szkicu) dodawanie, do drugiej linii dodajemy pierwszą linię, już pomnożoną przez –2:

Wynik zapisujemy w drugiej linii:

W ten sam sposób postępujemy z trzecią linią (3, 2, –5, –1). Aby uzyskać zero na pierwszej pozycji, potrzebujesz do trzeciej linii dodaj pierwszą linię pomnożoną przez –3. W myślach lub w szkicu pomnóż pierwszą linię przez –3: (–3, –6, 3, –27). I do trzeciej linii dodajemy pierwszą linię pomnożoną przez –3:

Wynik zapisujemy w trzeciej linii:

W praktyce czynności te najczęściej wykonywane są ustnie i spisywane w jednym kroku:

Nie trzeba liczyć wszystkiego na raz i w tym samym czasie. Kolejność obliczeń i „wpisywania” wyników spójny i zwykle jest tak: najpierw przepisujemy pierwszą linijkę i powoli się zaciągamy - KONSEKWENCJONALNIE i UWAŻNIE:


Omówiłem już proces mentalny samych obliczeń powyżej.

W tym przykładzie jest to łatwe do zrobienia; dzielimy drugą linię przez –5 (ponieważ wszystkie liczby w niej są podzielne przez 5 bez reszty). Jednocześnie dzielimy trzecią linię przez –2, bo im mniejsze liczby, tym prostsze rozwiązanie:

Na ostatnim etapie elementarnych przekształceń musisz tutaj uzyskać kolejne zero:

Dla tego do trzeciej linii dodajemy drugą linię pomnożoną przez –2:


Spróbuj sam wymyślić tę akcję - pomnóż w myślach drugą linię przez –2 i wykonaj dodawanie.

Ostatnią wykonaną akcją jest fryzura wyniku, podziel trzecią linię przez 3.

W wyniku elementarnych przekształceń otrzymano równoważny układ równań liniowych:

Fajny.

Teraz wchodzi w grę odwrotność metody Gaussa. Równania „rozwijają się” od dołu do góry.

W trzecim równaniu mamy już gotowy wynik:

Spójrzmy na drugie równanie: . Znaczenie słowa „zet” jest już znane, a zatem:

I na koniec pierwsze równanie: . „Igrek” i „zet” są znane, to tylko kwestia drobiazgów:


Odpowiedź:

Jak już kilkakrotnie zaznaczano, dla każdego układu równań możliwe i konieczne jest sprawdzenie znalezionego rozwiązania, na szczęście jest to łatwe i szybkie.

Przykład 2


To jest przykład dla niezależna decyzja, przykładowe wykończenie i odpowiedź na końcu lekcji.

Warto zauważyć, że Twój postęp decyzji może nie pokrywać się z moim procesem decyzyjnym, i jest to cecha metody Gaussa. Ale odpowiedzi muszą być takie same!

Przykład 3

Rozwiązać układ równań liniowych metodą Gaussa

Zapiszmy rozszerzoną macierz układu i za pomocą elementarnych przekształceń sprowadźmy ją do postaci krokowej:

Patrzymy na lewy górny „krok”. Powinniśmy go tam mieć. Problem polega na tym, że w pierwszej kolumnie w ogóle nie ma jednostek, więc zmiana kolejności wierszy niczego nie rozwiąże. W takich przypadkach jednostka musi być zorganizowana przy użyciu transformacji elementarnej. Zwykle można to zrobić na kilka sposobów. Ja to zrobiłem:
(1) Do pierwszej linii dodajemy drugą linię pomnożoną przez –1. Oznacza to, że mentalnie pomnożyliśmy drugą linię przez –1 i dodaliśmy pierwszą i drugą linię, podczas gdy druga linia się nie zmieniła.

Teraz w lewym górnym rogu znajduje się „minus jeden”, co nam całkiem odpowiada. Każdy, kto chce otrzymać +1, może wykonać dodatkowy ruch: pomnożyć pierwszą linię przez –1 (zmienić jej znak).

(2) Do drugiej linii dodano pierwszą linię pomnożoną przez 5. Pierwszą linię pomnożoną przez 3 dodano do trzeciej linii.

(3) Pierwsza linia została pomnożona przez –1, w zasadzie dotyczy to piękna. Zmieniono także znak trzeciej linii i przesunięto go na drugie miejsce, dzięki czemu na drugim „kroku” mieliśmy już wymaganą jednostkę.

(4) Druga linia została dodana do trzeciej linii, pomnożona przez 2.

(5) Trzecia linia została podzielona przez 3.

Zły znak wskazujący na błąd w obliczeniach (rzadziej literówkę) to „zły” wynik końcowy. To znaczy, jeśli mamy coś takiego jak poniżej i odpowiednio , to z dużym prawdopodobieństwem można powiedzieć, że przy przekształceniach elementarnych popełniono błąd.

My obciążamy odwrotnie, przy projektowaniu przykładów często nie przepisuje się samego układu, ale równania „bierze się bezpośrednio z danej macierzy”. Przypominam, że odwrotny skok działa od dołu do góry. Tak, oto prezent:


Odpowiedź: .

Przykład 4

Rozwiązać układ równań liniowych metodą Gaussa

To jest przykład do samodzielnego rozwiązania, jest nieco bardziej skomplikowany. Nie ma problemu, jeśli ktoś się pomyli. Pełne rozwiązanie i przykładowy projekt na końcu lekcji. Twoje rozwiązanie może różnić się od mojego.

W ostatniej części przyjrzymy się niektórym cechom algorytmu Gaussa.
Pierwszą cechą jest to, że czasami w równaniach układu brakuje niektórych zmiennych, na przykład:

Jak poprawnie napisać rozszerzoną macierz systemu? Mówiłem już o tym punkcie na zajęciach. Reguła Cramera. Metoda matrycowa. W rozszerzonej macierzy systemu w miejsce brakujących zmiennych wstawiamy zera:

Nawiasem mówiąc, jest to dość łatwy przykład, ponieważ pierwsza kolumna ma już jedno zero, a do wykonania jest mniej elementarnych transformacji.

Druga cecha jest taka. We wszystkich rozważanych przykładach umieściliśmy „kroki” albo –1, albo +1. Czy mogą być tam inne numery? W niektórych przypadkach mogą. Rozważ system: .

Tutaj, w lewym górnym „kroku”, mamy dwójkę. Ale zauważamy, że wszystkie liczby w pierwszej kolumnie są podzielne przez 2 bez reszty - a druga to dwa i sześć. A te dwa w lewym górnym rogu będą nam odpowiadać! W pierwszym kroku należy wykonać następujące przekształcenia: dodać do drugiej linii pierwszą linię pomnożoną przez –1; do trzeciej linii dodaj pierwszą linię pomnożoną przez –3. W ten sposób uzyskamy wymagane zera w pierwszej kolumnie.

Lub coś w tym stylu przykład warunkowy: . Tutaj trójka w drugim „kroku” również nam odpowiada, ponieważ 12 (miejsce, w którym musimy uzyskać zero) jest podzielne przez 3 bez reszty. Należy przeprowadzić następującą transformację: dodać drugą linię do trzeciej linii, pomnożoną przez –4, w wyniku czego otrzymamy potrzebne nam zero.

Metoda Gaussa jest uniwersalna, ale ma jedną osobliwość. Rozwiązywania układów innymi metodami (metoda Cramera, metoda macierzowa) można śmiało nauczyć się dosłownie za pierwszym razem – mają one bardzo rygorystyczny algorytm. Ale żeby mieć pewność co do metody Gaussa, trzeba ją opanować i rozwiązać przynajmniej 5-10 układów. Dlatego na początku może pojawić się zamieszanie i błędy w obliczeniach i nie ma w tym nic niezwykłego ani tragicznego.

Za oknem deszczowa jesienna pogoda.... A zatem dla każdego, kto chce więcej złożony przykład dla rozwiązania niezależnego:

Przykład 5

Rozwiąż układ czterech równań liniowych z czterema niewiadomymi, stosując metodę Gaussa.

Takie zadanie nie jest w praktyce tak rzadkie. Myślę, że nawet czajniczek, który dokładnie przestudiował tę stronę, zrozumie algorytm intuicyjnego rozwiązania takiego systemu. Zasadniczo wszystko jest takie samo - jest tylko więcej akcji.

Na lekcji omówione zostaną przypadki, gdy układ nie ma rozwiązań (niespójny) lub ma nieskończenie wiele rozwiązań Niekompatybilne systemy i systemy ze wspólnym rozwiązaniem. Tam możesz naprawić rozważany algorytm metody Gaussa.

Życzę Ci sukcesu!

Rozwiązania i odpowiedzi:

Przykład 2: Rozwiązanie: Zapiszmy rozszerzoną macierz układu i za pomocą przekształceń elementarnych sprowadźmy ją do postaci krokowej.


Wykonane przekształcenia elementarne:
(1) Pierwsza linia została dodana do drugiej linii, pomnożona przez –2. Pierwsza linia została dodana do trzeciej linii, pomnożona przez –1. Uwaga! Tutaj możesz pokusić się o odjęcie pierwszej linii od trzeciej linii; zdecydowanie nie radzę tego odejmować – ryzyko błędu znacznie wzrasta. Po prostu złóż!
(2) Zmieniono znak drugiej linii (pomnożony przez –1). Druga i trzecia linia zostały zamienione miejscami. notatka, że na „stopniach” zadowalamy się nie tylko jednym, ale także –1, co jest jeszcze wygodniejsze.
(3) Druga linia została dodana do trzeciej linii, pomnożona przez 5.
(4) Zmieniono znak drugiej linii (pomnożony przez –1). Trzecia linia została podzielona przez 14.

Odwracać:

Odpowiedź: .

Przykład 4: Rozwiązanie: Zapiszmy rozszerzoną macierz układu i za pomocą elementarnych przekształceń sprowadźmy ją do postaci krokowej:

Wykonane konwersje:
(1) Do pierwszego wiersza dodano drugi wiersz. W ten sposób żądana jednostka jest zorganizowana w lewym górnym „kroku”.
(2) Do drugiej linii dodano pierwszą linię pomnożoną przez 7. Do trzeciej linii dodano pierwszą linię pomnożoną przez 6.

Z drugim „krokiem” wszystko się pogarsza, „kandydatami” do tego są liczby 17 i 23, a my potrzebujemy albo jednego, albo –1. Transformacje (3) i (4) będą miały na celu uzyskanie pożądanej jednostki

(3) Druga linia została dodana do trzeciej linii, pomnożona przez –1.
(4) Do drugiej linii dodano trzecią linię pomnożoną przez –3.
Otrzymano wymagany przedmiot w drugim kroku. .
(5) Druga linia została dodana do trzeciej linii i pomnożona przez 6.

W ramach zajęć Metoda Gaussa I Niekompatybilne systemy/systemy ze wspólnym rozwiązaniem rozważaliśmy niejednorodne układy równań liniowych, Gdzie Wolny Członek(który zwykle znajduje się po prawej stronie) przynajmniej jeden z równań była różna od zera.
A teraz, po dobrej rozgrzewce z ranga matrycy, będziemy nadal udoskonalać technikę elementarne przemiany NA jednorodny układ równań liniowych.
Sądząc po pierwszych akapitach, materiał może wydawać się nudny i przeciętny, jednak wrażenie to jest zwodnicze. Oprócz dalszego rozwoju technik technicznych będzie ich wiele Nowa informacja, więc staraj się nie zaniedbywać przykładów w tym artykule.

Rozwiązanie. A= . Znajdźmy r(A). Ponieważ matryca I ma rząd 3x4, to najwyższy rząd nieletnich to 3. Co więcej, wszystkie molle trzeciego rzędu są równe zero (sprawdź to sam). Oznacza, r(A)< 3. Возьмем главный podstawowe drobne = -5-4 = -9 ≠ 0. Zatem r(A) =2.

Rozważmy matryca Z = .

Mała trzecia zamówienie ≠ 0. Zatem r(C) = 3.

Ponieważ r(A) ≠ r(C) , to układ jest niespójny.

Przykład 2. Wyznaczanie zgodności układu równań

Rozwiąż ten układ, jeśli okaże się, że jest spójny.

Rozwiązanie.

A = , C = . Jest oczywiste, że r(A) ≤ 3, r(C) ≤ 4. Ponieważ detC = 0, to r(C)< 4. Rozważmy drobny trzeci zamówienie, znajdujący się w lewym górnym rogu macierzy A i C: = -23 ≠ 0. Zatem r(A) = r(C) = 3.

Numer nieznany w układzie n=3. Oznacza to, że system posiada unikalne rozwiązanie. W tym przypadku czwarte równanie reprezentuje sumę pierwszych trzech i można je zignorować.

Według wzorów Cramera otrzymujemy x 1 = -98/23, x 2 = -47/23, x 3 = -123/23.

2.4. Metoda matrycowa. Metoda Gaussa

system N równania liniowe Z N niewiadome można rozwiązać metoda matrycowa zgodnie ze wzorem X = A -1 B (przy Δ ≠ 0), które otrzymuje się z (2) poprzez pomnożenie obu części przez A -1.

Przykład 1. Rozwiąż układ równań

metoda macierzowa (w podrozdziale 2.2 układ ten został rozwiązany za pomocą wzorów Cramera)

Rozwiązanie. Δ = 10 ≠ 0 A = - macierz niezdegenerowana.

= (sprawdź to sam, dokonując niezbędnych obliczeń).

A -1 = (1/Δ)х= .

X = A -1 V = x= .

Odpowiedź: .

Z praktycznego punktu widzenia metoda i wzory macierzowe Kramera wiążą się z dużą ilością obliczeń, dlatego preferowane jest Metoda Gaussa, która polega na sekwencyjnej eliminacji niewiadomych. W tym celu układ równań sprowadza się do równoważnego układu z rozszerzoną macierzą trójkątną (wszystkie elementy poniżej głównej przekątnej są równe zeru). Działania te nazywane są ruchem do przodu. Z powstałego układu trójkątnego zmienne znajdują się za pomocą kolejnych podstawień (odwrotnie).

Przykład 2. Rozwiązać układ metodą Gaussa

(Powyżej układ ten został rozwiązany za pomocą wzoru Cramera i metody macierzowej).

Rozwiązanie.

Bezpośredni ruch. Zapiszmy rozszerzoną macierz i korzystając z elementarnych przekształceń sprowadźmy ją do postaci trójkątnej:

~ ~ ~ ~ .

Dostajemy system

Ruch odwrotny. Z ostatniego równania, które znajdujemy X 3 = -6 i podstaw tę wartość do drugiego równania:

X 2 = - 11/2 - 1/4X 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

X 1 = 2 -X 2 + X 3 = 2+4-6 = 0.

Odpowiedź: .

2.5. Ogólne rozwiązanie układu równań liniowych

Niech będzie dany układ równań liniowych = b ja(I=). Niech r(A) = r(C) = r, tj. system współpracuje. Dowolny element podrzędny rzędu r inny niż zero to podstawowe drobne. Bez utraty ogólności założymy, że moll bazowy znajduje się w pierwszych r (1 ≤ r ≤ min(m,n)) wierszach i kolumnach macierzy A. Odrzucenie ostatni pan równania układu zapisujemy układ skrócony:


co jest równoznaczne z oryginałem. Nazwijmy niewiadome x 1 ,….x r podstawowe i x r +1 ,…, x r uwolnij i przesuń wyrazy zawierające wolne niewiadome na prawą stronę równań układu obciętego. Otrzymujemy układ ze względu na niewiadome podstawowe:

które dla każdego zestawu wartości wolnych niewiadomych x r +1 = С 1 ,…, x n = С n-r ma tylko jedno rozwiązanie x 1 (C 1 ,…, C n-r),…, x r (C 1 ,…, C n-r), znalezione na podstawie reguły Cramera.

Odpowiednie rozwiązanie skrócony, a zatem oryginalny układ ma postać:

X(C 1 ,…, C n-r) = - ogólne rozwiązanie układu.

Jeśli w rozwiązaniu ogólnym przypiszemy wolnym niewiadomym pewne wartości liczbowe, otrzymamy rozwiązanie układ liniowy, zwany prywatnym.

Przykład. Ustal kompatybilność i znajdź ogólne rozwiązanie systemu

Rozwiązanie. A = , C = .

Więc Jak r(A)= r(C) = 2 (przekonaj się sam), to pierwotny układ jest spójny i ma nieskończoną liczbę rozwiązań (ponieważ r< 4).