Niech położenie dowolnego punktu na płaszczyźnie będzie jednoznacznie określone przez dwie liczby, gdzie

.

Pozwalać
nieujemna, ciągła na segmencie
funkcjonować,
.

Rozważ zestaw punktów

co można zinterpretować jako trójkąt krzywoliniowy

Aby obliczyć pole trójkąta krzywoliniowego, dzielimy ten trójkąt na elementarne trójkąty krzywoliniowe.

Zastąpmy elementarne trójkąty krzywoliniowe trójkątami prostokątnymi.

Niech wysokości tych trójkątów będą równe,

i podstawy, odpowiednio, to .

Kwadrat elementarny trójkąt będzie oczywiście równy

.

Obszar trójkąta krzywoliniowego będzie w przybliżeniu równe

. (1)

Wyrażenie (1) można uznać za sumę całkowitą funkcji
na segmencie
.

Wprowadźmy notację
.- to drobnostka

partycje
.

Następnie obszar trójkąta krzywoliniowego

otrzymujemy przechodząc wyrażenie (1) do granicy w

=
. (2)

Zatem obszar figury płaskiej w biegunowym układzie współrzędnych jest równy

.

PRZYKŁAD Oblicz pole figury zamkniętej krzywą (kardioidalną)

.

Rozwiązanie. Narysujmy wykres kardioidy

Jak widzimy, kardioida jest linią symetryczną względem osi
.

P 15. Obliczanie długości krzywej

Niech krzywa określone parametrycznie

,
.

Podzielmy segment
NA części z kropkami.

Oznaczmy przez
odpowiednie punkty na krzywej . Połączmy te punkty liniami prostymi.

Powstały złamany
nazywaną linią przerywaną wpisaną w krzywą .

Podstawowa długość łącza
równy

Długość linii
w tym przypadku będzie równa

. (1)

Oznaczmy przez
. Następnie długość krzywej otrzymujemy przekazując wyrażenie (1) do granicy w

. (2)

A więc długość krzywej zgodnie z wyrażeniem (2) określa się ze wzoru

. (3)

Długość krzywej przestrzennej , określone parametrycznie

,
,

będzie równe

.

Jeśli krzywa płaska jest podana jawnie

,
,

następnie równania parametryczne krzywej

można w tym przypadku przedstawić w formie

,
,
.

W efekcie otrzymujemy wyrażenie (3) w postaci

.

PRZYKŁAD Znajdź długość krzywej zadanej parametrycznie.

Rozwiązanie. Narysujmy daną krzywą

Ponieważ krzywa jest symetryczna względem osi współrzędnych, wystarczy znaleźć .

Dlatego długość krzywej będzie równa

.

P 16. Całka niewłaściwa pierwszego rodzaju. Kryterium Cauchy'ego. Znaki porównania.

Student został zatrzymany podczas próby odebrania

Niewłaściwa integralność. Trwa wyjaśnianie właściciela całki.

Wprowadzona wcześniej definicja całki Riemanna nie ma zastosowania, jeżeli funkcja f(x) jest nieograniczona na przedziale lub przedział całkowania jest nieskończony. W takich przypadkach można uogólnić pojęcie całki oznaczonej i wprowadzić pojęcie całki niewłaściwej.

Niech funkcja f(x) będzie zdefiniowana na nieskończonym półprzedziale V x≥a. Wtedy mamy funkcję F(x) zdefiniowaną przez całkę

(1)

ze zmiennym górnym limitem.

Przejdźmy do granicy w (1) jako x→+∞ i formalnie wprowadźmy następującą notację

F(x)=
(2)

Symbol
nazywamy całką niewłaściwą pierwszego rodzaju. Ponadto, jeżeli istnieje granica (2), to całkę niewłaściwą nazywamy zbieżną. Jeżeli granica nie istnieje lub jest równa ∞, wówczas całkę niewłaściwą nazywamy rozbieżną.

Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju na (-∞, b] i

,

(3)

Zauważ, że w (3) aib dążą do nieskończoności niezależnie od siebie.

Należy również zauważyć, że jeśli funkcja f(x) jest ciągła na . Oznacza to, że nie są brane pod uwagę linie takie jak nacięcie grzyba, którego łodyga dobrze pasuje do tego segmentu, a kapelusz jest znacznie szerszy.

Segmenty boczne mogą przerodzić się w punkty . Jeśli zobaczysz taką figurę na rysunku, nie powinno Cię to dezorientować, ponieważ ten punkt zawsze ma swoją wartość na osi „x”. Oznacza to, że wszystko jest w porządku z granicami całkowania.

Teraz możesz przejść do wzorów i obliczeń. A więc obszar S zakrzywiony trapez można obliczyć za pomocą wzoru

Jeśli F(X) ≤ 0 (wykres funkcji znajduje się poniżej osi Wół), To obszar zakrzywionego trapezu można obliczyć za pomocą wzoru

Zdarzają się również przypadki, gdy zarówno górna, jak i dolna granica figury są odpowiednio funkcjami y = F(X) I y = φ (X) , wówczas obszar takiej figury oblicza się ze wzoru

. (3)

Wspólne rozwiązywanie problemów

Zacznijmy od przypadków, w których pole figury można obliczyć za pomocą wzoru (1).

Przykład 1.Wół) i prosto X = 1 , X = 3 .

Rozwiązanie. Ponieważ y = 1/X> 0 na odcinku , wówczas pole trapezu krzywoliniowego wyznacza się za pomocą wzoru (1):

.

Przykład 2. Znajdź obszar figury ograniczony wykresem funkcji, linią X= 1 i oś x ( Wół ).

Rozwiązanie. Wynik zastosowania wzoru (1):

Jeśli następnie S= 1/2; Jeśli następnie S= 1/3 itd.

Przykład 3. Znajdź obszar figury ograniczony wykresem funkcji, osią odciętych ( Wół) i prosto X = 4 .

Rozwiązanie. Figurą odpowiadającą warunkom zadania jest trapez krzywoliniowy, w którym lewy odcinek uległ degeneracji w punkt. Granice całkowania wynoszą 0 i 4. Ponieważ , korzystając ze wzoru (1) znajdujemy pole trapezu krzywoliniowego:

.

Przykład 4. Znajdź obszar figury ograniczony liniami , i znajdujący się w 1. ćwiartce.

Rozwiązanie. Aby skorzystać ze wzoru (1), wyobraźmy sobie pole figury podane przez warunki z przykładu jako sumę pól trójkąta OAB i zakrzywiony trapez ABC. Przy obliczaniu pola trójkąta OAB granicami całkowania są odcięte punktów O I A i dla figury ABC- odcięte punktów A I C (A jest punktem przecięcia prostej O.A. i parabole, i C- punkt przecięcia paraboli z osią Wół). Rozwiązując łącznie (jako układ) równania prostej i paraboli, otrzymujemy (odciętą punktu A) i (odcięta innego punktu przecięcia prostej i paraboli, która nie jest potrzebna do rozwiązania). Podobnie otrzymujemy , (odcięta punktów C I D). Teraz mamy wszystko, czego potrzebujemy, aby znaleźć obszar figury. Znaleźliśmy:

Przykład 5. Znajdź obszar zakrzywionego trapezu ACDB, jeśli równanie krzywej płyta CD i odcięte A I B Odpowiednio 1 i 2.

Rozwiązanie. Wyraźmy to równanie krzywej poprzez grę: Pole trapezu krzywoliniowego oblicza się za pomocą wzoru (1):

.

Przejdźmy do przypadków, w których obszar figury można obliczyć za pomocą wzoru (2).

Przykład 6. Znajdź obszar figury ograniczony parabolą i osią x ( Wół ).

Rozwiązanie. Liczba ta znajduje się poniżej osi x. Dlatego do obliczenia jego powierzchni skorzystamy ze wzoru (2). Granicami całkowania są odcięta i punkty przecięcia paraboli z osią Wół. Stąd,

Przykład 7. Znajdź obszar zawarty pomiędzy osią odciętych ( Wół) i dwie sąsiednie fale sinusoidalne.

Rozwiązanie. Pole tej figury można znaleźć za pomocą wzoru (2):

.

Znajdźmy każdy termin osobno:

.

.

Wreszcie znajdujemy obszar:

.

Przykład 8. Znajdź obszar figury zawarty między parabolą a krzywą.

Rozwiązanie. Wyraźmy równania linii w grze:

Pole według wzoru (2) otrzymuje się jako

,

Gdzie A I B- odcięte punktów A I B. Znajdźmy je, rozwiązując razem równania:

Wreszcie znajdujemy obszar:

I wreszcie przypadki, w których obszar figury można obliczyć za pomocą wzoru (3).

Przykład 9. Znajdź obszar figury zawarty między parabolami I .

Określona całka. Jak obliczyć pole figury

Przejdźmy do rozważenia zastosowań rachunku całkowego. W tej lekcji przeanalizujemy typowe i najczęstsze zadania – jak wykorzystać całkę oznaczoną do obliczenia pola figury płaskiej. Wreszcie ci, którzy szukają sensu w wyższej matematyce – oby go znaleźli. Nigdy nie wiesz. W prawdziwym życiu będziesz musiał przybliżyć działkę daczy za pomocą funkcji elementarnych i znaleźć jej pole za pomocą całki oznaczonej.

Aby pomyślnie opanować materiał, musisz:

1) Zrozumieć całkę nieoznaczoną przynajmniej na poziomie średniozaawansowanym. Dlatego manekiny powinny najpierw przeczytać lekcję Nie.

2) Potrafić zastosować wzór Newtona-Leibniza i obliczyć całkę oznaczoną. Z pewnymi całkami na stronie możesz nawiązać ciepłe przyjazne relacje Określona całka. Przykłady rozwiązań.

Tak naprawdę, aby znaleźć pole figury, nie potrzeba aż tak dużej wiedzy o całce nieoznaczonej i oznaczonej. Zadanie „obliczyć pole za pomocą całki oznaczonej” zawsze wiąże się z wykonaniem rysunku, więc Twoja wiedza i umiejętności rysowania będą znacznie bardziej palącą kwestią. W związku z tym przydatne jest odświeżenie pamięci o wykresach podstawowych funkcji elementarnych i przynajmniej umiejętność skonstruowania linii prostej, paraboli i hiperboli. Można to zrobić (dla wielu jest to konieczne) za pomocą materiału metodologicznego i artykułu na temat przekształceń geometrycznych grafów.

Właściwie zadanie wyznaczania pola za pomocą całki oznaczonej zna każdy od czasów szkolnych i nie wyjdziemy daleko poza szkolny program nauczania. Ten artykuł mógłby w ogóle nie istnieć, ale faktem jest, że problem pojawia się w 99 przypadkach na 100, gdy uczeń cierpi na znienawidzoną szkołę i z entuzjazmem opanowuje kurs wyższej matematyki.

Materiały z tych warsztatów są prezentowane w sposób prosty, szczegółowy i zawierający minimum teorii.

Zacznijmy od zakrzywionego trapezu.

Trapez krzywoliniowy jest figurą płaską ograniczoną osią, liniami prostymi i wykresem funkcji ciągłej na przedziale, który nie zmienia znaku na tym przedziale. Niech ta liczba zostanie zlokalizowana nie mniej oś x:

Następnie powierzchnia trapezu krzywoliniowego jest liczbowo równa całce oznaczonej. Każda całka oznaczona (która istnieje) ma bardzo dobre znaczenie geometryczne. Na lekcji Określona całka. Przykłady rozwiązań Powiedziałem, że całka oznaczona jest liczbą. A teraz czas podać kolejny przydatny fakt. Z punktu widzenia geometrii całką oznaczoną jest POLE.

To jest, całka oznaczona (jeśli istnieje) geometrycznie odpowiada obszarowi określonej figury. Rozważmy na przykład całkę oznaczoną. Całka definiuje krzywą na płaszczyźnie znajdującej się nad osią (chętni mogą narysować), a sama całka oznaczona jest liczbowo równa powierzchni odpowiedniego trapezu krzywoliniowego.

Przykład 1

Jest to typowa instrukcja przypisania. Pierwszym i najważniejszym punktem decyzji jest konstrukcja rysunku. Ponadto rysunek musi zostać skonstruowany PRAWIDŁOWY.

Podczas konstruowania rysunku zalecam następującą kolejność: najpierw lepiej jest konstruować wszystkie linie proste (jeśli istnieją) i tylko Następnie– parabole, hiperbole, wykresy innych funkcji. Bardziej opłacalne jest budowanie wykresów funkcji punkt po punkcie, technikę konstrukcji punkt po punkcie można znaleźć w materiale referencyjnym Wykresy i własności funkcji elementarnych. Znajdziesz tam również bardzo przydatny materiał do naszej lekcji - jak szybko zbudować parabolę.

W przypadku tego problemu rozwiązanie może wyglądać następująco.
Narysujmy rysunek (zwróć uwagę, że równanie definiuje oś):

Nie będę cieniował zakrzywionego trapezu, widać tutaj, o jakim obszarze mówimy. Rozwiązanie jest kontynuowane w następujący sposób:

Na segmencie znajduje się wykres funkcji nad osią, Dlatego:

Odpowiedź:

Kto ma trudności z obliczeniem całki oznaczonej i zastosowaniem wzoru Newtona-Leibniza , zapoznaj się z wykładem Określona całka. Przykłady rozwiązań.

Po wykonaniu zadania zawsze warto spojrzeć na rysunek i dowiedzieć się, czy odpowiedź jest prawdziwa. W tym przypadku liczbę komórek na rysunku liczymy „na oko” - cóż, będzie ich około 9, wydaje się, że to prawda. Jest całkowicie jasne, że jeśli otrzymamy odpowiedź powiedzmy: 20 jednostek kwadratowych, to oczywiste jest, że gdzieś popełniono błąd - 20 komórek oczywiście nie mieści się w omawianej liczbie, najwyżej kilkanaście. Jeśli odpowiedź jest negatywna, to zadanie również zostało rozwiązane niepoprawnie.

Przykład 2

Oblicz pole figury ograniczone liniami , i osią

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Co zrobić, jeśli znajduje się zakrzywiony trapez pod osią?

Przykład 3

Oblicz obszar figury ograniczony liniami i osiami współrzędnych.

Rozwiązanie: Zróbmy rysunek:

Jeśli znajduje się zakrzywiony trapez pod osią(Lub przynajmniej nie wyżej danej osi), to jej pole można obliczyć korzystając ze wzoru:
W tym przypadku:

Uwaga! Nie należy mylić tych dwóch rodzajów zadań:

1) Jeśli zostaniesz poproszony o rozwiązanie całki oznaczonej bez żadnego znaczenia geometrycznego, wówczas może ona być ujemna.

2) Jeśli zostaniesz poproszony o znalezienie obszaru figury za pomocą całki oznaczonej, wówczas obszar jest zawsze dodatni! Dlatego we wzorze, który właśnie omówiliśmy, pojawia się minus.

W praktyce najczęściej figura znajduje się zarówno w górnej, jak i dolnej półpłaszczyźnie, dlatego od najprostszych problemów szkolnych przechodzimy do bardziej znaczących przykładów.

Przykład 4

Znajdź obszar figury płaskiej ograniczony liniami , .

Rozwiązanie: Najpierw musisz ukończyć rysunek. Ogólnie rzecz biorąc, konstruując rysunek w zagadnieniach obszarowych, najbardziej interesują nas punkty przecięcia prostych. Znajdźmy punkty przecięcia paraboli i linii prostej. Można to zrobić na dwa sposoby. Pierwsza metoda ma charakter analityczny. Rozwiązujemy równanie:

Oznacza to, że dolna granica całkowania to , górna granica całkowania to .
Jeśli to możliwe, lepiej nie stosować tej metody..

O wiele bardziej opłaca się i szybciej jest konstruować linie punkt po punkcie, a granice integracji stają się jasne „same z siebie”. Technikę konstruowania punkt po punkcie dla różnych wykresów szczegółowo omówiono w pomocy Wykresy i własności funkcji elementarnych. Niemniej jednak czasami trzeba zastosować analityczną metodę wyznaczania granic, jeśli np. wykres jest wystarczająco duży lub szczegółowa konstrukcja nie ujawniła granic całkowania (mogą one być ułamkowe lub niewymierne). Rozważymy również taki przykład.

Wróćmy do naszego zadania: bardziej racjonalnie jest najpierw skonstruować linię prostą, a dopiero potem parabolę. Zróbmy rysunek:

Powtarzam, że konstruując punktowo, granice całkowania najczęściej odkrywane są „automatycznie”.

A teraz działająca formuła: Jeśli w segmencie istnieje jakaś funkcja ciągła większe bądź równe jakaś funkcja ciągła , wówczas obszar figury ograniczony wykresami tych funkcji i liniami , można znaleźć za pomocą wzoru:

Tutaj nie musisz już myśleć o tym, gdzie znajduje się figura - nad osią lub pod osią i, z grubsza mówiąc, ważne jest, który wykres jest WYŻSZY(w stosunku do innego wykresu), i który jest PONIŻEJ.

W rozważanym przykładzie oczywiste jest, że na odcinku parabola znajduje się powyżej linii prostej, dlatego należy odjąć od niej

Gotowe rozwiązanie może wyglądać następująco:

Pożądana figura jest ograniczona parabolą powyżej i linią prostą poniżej.
Na segmencie, zgodnie z odpowiednim wzorem:

Odpowiedź:

W rzeczywistości szkolny wzór na obszar krzywoliniowego trapezu w dolnej półpłaszczyźnie (patrz prosty przykład nr 3) jest szczególnym przypadkiem wzoru . Ponieważ oś jest określona przez równanie i znajduje się wykres funkcji nie wyżej w takim razie osie

A teraz kilka przykładów własnego rozwiązania

Przykład 5

Przykład 6

Znajdź obszar figury ograniczony liniami , .

Podczas rozwiązywania problemów związanych z obliczaniem pola za pomocą całki oznaczonej czasami zdarza się zabawny incydent. Rysunek został wykonany poprawnie, obliczenia były prawidłowe, ale przez nieostrożność... znaleziono obszar niewłaściwej figury, dokładnie tak kilka razy schrzanił twój pokorny sługa. Oto przypadek z życia wzięty:

Przykład 7

Oblicz pole figury ograniczone liniami , , , .

Rozwiązanie: Najpierw zróbmy rysunek:

...Ech, rysunek wyszedł tandetnie, ale wszystko wydaje się być czytelne.

Figura, której obszar musimy znaleźć, jest zacieniowana na niebiesko(przyjrzyj się uważnie stanowi - jak liczba jest ograniczona!). Ale w praktyce z powodu nieuwagi często pojawia się „błąd”, polegający na tym, że trzeba znaleźć obszar figury zacieniony na zielono!

Ten przykład jest również przydatny, ponieważ oblicza pole figury za pomocą dwóch całek oznaczonych. Naprawdę:

1) Na odcinku powyżej osi znajduje się wykres linii prostej;

2) Na odcinku powyżej osi znajduje się wykres hiperboli.

Jest rzeczą oczywistą, że obszary można (i należy) dodać, zatem:

Odpowiedź:

Przejdźmy do innego znaczącego zadania.

Przykład 8

Oblicz pole figury ograniczone liniami,
Przedstawmy równania w formie „szkolnej” i wykonajmy rysunek punkt po punkcie:

Z rysunku jasno wynika, że ​​nasza górna granica jest „dobra”: .
Ale jaka jest dolna granica?! Oczywiste jest, że nie jest to liczba całkowita, ale co to jest? Może ? Ale gdzie jest gwarancja, że ​​rysunek zostanie wykonany z idealną dokładnością, może się okazać, że... Lub korzeń. A co jeśli nieprawidłowo zbudowaliśmy wykres?

W takich przypadkach trzeba poświęcić dodatkowy czas i analitycznie wyjaśnić granice integracji.

Znajdźmy punkty przecięcia linii prostej i paraboli.
W tym celu rozwiązujemy równanie:


,

Naprawdę, .

Dalsze rozwiązanie jest trywialne, najważniejsze jest, aby nie pomylić się z podstawieniami i znakami, obliczenia tutaj nie są najprostsze.

Na segmencie zgodnie z odpowiednim wzorem:

Odpowiedź:

Cóż, na zakończenie lekcji, spójrzmy na dwa trudniejsze zadania.

Przykład 9

Oblicz pole figury ograniczone liniami , ,

Rozwiązanie: Przedstawmy tę figurę na rysunku.

Cholera, zapomniałem podpisać harmonogram i przepraszam, nie chciałem przerabiać zdjęcia. Krótko mówiąc, to nie jest dzień rysowania, dzisiaj jest ten dzień =)

W przypadku konstrukcji punktowej konieczna jest znajomość wyglądu sinusoidy (i ogólnie warto znać wykresy wszystkich funkcji elementarnych), a także niektóre wartości sinusoidalne, w których można je znaleźć tablica trygonometryczna. W niektórych przypadkach (jak w tym przypadku) możliwe jest skonstruowanie schematycznego rysunku, na którym powinny być zasadniczo poprawnie wyświetlone wykresy i granice całkowania.

Nie ma tu problemów z granicami całkowania, wynikają one bezpośrednio z warunku: „x” zmienia się od zera na „pi”. Podejmijmy dalszą decyzję:

Na odcinku wykres funkcji znajduje się nad osią, zatem:

Obliczanie pola figury- Jest to być może jeden z najtrudniejszych problemów teorii obszaru. W geometrii szkolnej uczą się znajdować pola podstawowych kształtów geometrycznych takich jak np. trójkąt, romb, prostokąt, trapez, okrąg itp. Jednak często masz do czynienia z obliczaniem pól bardziej skomplikowanych figur. Przy rozwiązywaniu takich problemów bardzo wygodne jest stosowanie rachunku całkowego.

Definicja.

Trapez krzywoliniowy nazwijmy jakąś figurę G ograniczoną liniami y = f(x), y = 0, x = a i x = b, a funkcja f(x) jest ciągła na odcinku [a; b] i nie zmienia na nim swojego znaku (ryc. 1). Obszar zakrzywionego trapezu można oznaczyć jako S(G).

Całka oznaczona ʃ a b f(x)dx dla funkcji f(x), która jest ciągła i nieujemna na przedziale [a; b] i jest obszarem odpowiedniego zakrzywionego trapezu.

Oznacza to, że aby znaleźć pole figury G ograniczone liniami y = f(x), y = 0, x = a i x = b, należy obliczyć całkę oznaczoną ʃ a b f(x)dx .

Zatem, S(G) = ʃ a b f(x)dx.

Jeśli funkcja y = f(x) nie jest dodatnia na [a; b], wówczas obszar zakrzywionego trapezu można znaleźć za pomocą wzoru S(G) = -ʃ a b f(x)dx.

Przykład 1.

Oblicz obszar figury ograniczony liniami y = x 3; y = 1; x = 2.

Rozwiązanie.

Podane linie tworzą figurę ABC, którą zaznaczamy kreskowaniem Ryż. 2.

Wymagana powierzchnia jest równa różnicy między polami zakrzywionego trapezu DACE i kwadratu DABE.

Korzystając ze wzoru S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a), znajdujemy granice całkowania. W tym celu rozwiązujemy układ dwóch równań:

(y = x 3,
(y = 1.

Mamy więc x 1 = 1 – dolną granicę i x = 2 – górną granicę.

Zatem S = S DACE – S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx – 1 = x 4 /4| 1 2 – 1 = (16 – 1)/4 – 1 = 11/4 (jednostki kwadratowe).

Odpowiedź: 11/4 mkw. jednostki

Przykład 2.

Oblicz obszar figury ograniczony liniami y = √x; y = 2; x = 9.

Rozwiązanie.

Podane proste tworzą figurę ABC, która jest ograniczona powyżej wykresem funkcji

y = √x, a poniżej znajduje się wykres funkcji y = 2. Wynikową liczbę pokazano kreskowaniem Ryż. 3.

Wymagana powierzchnia to S = ʃ a b (√x – 2). Znajdźmy granice całkowania: b = 9, aby znaleźć a, rozwiązujemy układ dwóch równań:

(y = √x,
(y = 2.

Zatem mamy, że x = 4 = a - to jest dolna granica.

Zatem S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 – 2х| 4 9 = (18 – 16/3) – (18 – 8) = 2 2/3 (jednostki kwadratowe).

Odpowiedź: S = 2 2/3 kwadratowe. jednostki

Przykład 3.

Oblicz pole figury ograniczone liniami y = x 3 – 4x; y = 0; x ≥ 0.

Rozwiązanie.

Narysujmy funkcję y = x 3 – 4x dla x ≥ 0. W tym celu znajdź pochodną y’:

y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 przy x = ±2/√3 ≈ 1,1 – punkty krytyczne.

Jeśli nakreślimy punkty krytyczne na osi liczbowej i uporządkujemy znaki pochodnej, okaże się, że funkcja maleje od zera do 2/√3 i rośnie od 2/√3 do plus nieskończoności. Wtedy x = 2/√3 jest punktem minimalnym, minimalną wartością funkcji y min = -16/(3√3) ≈ -3.

Wyznaczmy punkty przecięcia wykresu z osiami współrzędnych:

jeśli x = 0, to y = 0, co oznacza, że ​​A(0; 0) jest punktem przecięcia z osią Oy;

jeśli y = 0, to x 3 – 4x = 0 lub x(x 2 – 4) = 0, lub x(x – 2)(x + 2) = 0, skąd x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = -2 (nieodpowiednie, ponieważ x ≥ 0).

Punkty A(0; 0) i B(2; 0) to punkty przecięcia wykresu z osią Ox.

Podane linie tworzą figurę OAB, która jest pokazana poprzez kreskowanie Ryż. 4.

Ponieważ funkcja y = x 3 – 4x przyjmuje wartość ujemną na (0; 2), to

S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.

Mamy: ʃ 0 2 (x 3 – 4х)dx =(x 4 /4 – 4х 2 /2)| 0 2 = -4, skąd S = 4 mkw. jednostki

Odpowiedź: S = 4 kwadraty. jednostki

Przykład 4.

Znajdź pole figury ograniczone parabolą y = 2x 2 – 2x + 1, liniami x = 0, y = 0 i styczną do tej paraboli w punkcie z odciętą x 0 = 2.

Rozwiązanie.

Najpierw utwórzmy równanie na styczną do paraboli y = 2x 2 – 2x + 1 w punkcie z odciętą x₀ = 2.

Ponieważ pochodna y’ = 4x – 2, to dla x 0 = 2 otrzymujemy k = y’(2) = 6.

Znajdźmy rzędną punktu stycznego: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.

Dlatego równanie styczne ma postać: y – 5 = 6(x ​​– 2) lub y = 6x – 7.

Zbudujmy figurę ograniczoną liniami:

y = 2x 2 – 2x + 1, y = 0, x = 0, y = 6x – 7.

Г у = 2х 2 – 2х + 1 – parabola. Punkty przecięcia z osiami współrzędnych: A(0; 1) – z osią Oy; z osią Wółu - nie ma punktów przecięcia, ponieważ równanie 2x 2 – 2x + 1 = 0 nie ma rozwiązań (D< 0). Найдем вершину параболы:

x b = 2/4 = 1/2;

y b = 1/2, czyli wierzchołek punktu paraboli B ma współrzędne B(1/2; 1/2).

Zatem figura, której pole należy określić, jest zaznaczona kreskowaniem Ryż. 5.

Mamy: S O A B D = S OABC – S ADBC.

Znajdźmy współrzędne punktu D z warunku:

6x – 7 = 0, tj. x = 7/6, co oznacza DC = 2 – 7/6 = 5/6.

Pole trójkąta DBC obliczamy ze wzoru S ADBC ​​= 1/2 · DC · BC. Zatem,

S ADBC ​​\u003d 1/2 · 5/6 · 5 = 25/12 mkw. jednostki

S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 – 2x + 1)dx = (2x 3 /3 – 2x 2 /2 + x)| 0 2 = 10/3 (jednostki kwadratowe).

Ostatecznie otrzymujemy: S O A B D = S OABC – S ADBC ​​​​= 10/3 – 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (jednostki kwadratowe).

Odpowiedź: S = 1 1/4 kwadratowy. jednostki

Przyjrzeliśmy się przykładom znajdowanie pól figur ograniczonych podanymi liniami. Aby skutecznie rozwiązać takie problemy, trzeba umieć rysować linie i wykresy funkcji na płaszczyźnie, znajdować punkty przecięcia prostych, zastosować wzór na obliczenie pola, co implikuje umiejętność obliczania pewnych całek.

stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.