Odpowiedź:

Właściwości projekcji:

Właściwości projekcji wektorowych

Właściwość 1.

Rzut sumy dwóch wektorów na oś jest równy sumie rzutów wektorów na tę samą oś:

Ta właściwość pozwala zastąpić rzut sumy wektorów sumą ich rzutów i odwrotnie.

Własność 2. Jeśli wektor zostanie pomnożony przez liczbę λ, to jego rzut na oś zostanie również pomnożony przez tę liczbę:

Własność 3.

Rzut wektora na oś l jest równy iloczynowi modułu wektora i cosinusa kąta między wektorem a osią:

Oś Orth. Rozkład wektora na wektory jednostkowe współrzędnych. Współrzędne wektora. Właściwości współrzędnych

Odpowiedź:

Wektory jednostkowe osi.

Prostokątny układ współrzędnych (o dowolnym wymiarze) opisuje się także zbiorem wektorów jednostkowych ustawionych zgodnie z osiami współrzędnych. Liczba wektorów jednostkowych jest równa wymiarowi układu współrzędnych i wszystkie są do siebie prostopadłe.

W przypadku trójwymiarowym zwykle oznacza się wektory jednostkowe

Można również użyć symboli strzałek i.

W takim przypadku w przypadku prawidłowego układu współrzędnych obowiązują następujące wzory z iloczynami wektorowymi wektorów jednostkowych:

Rozkład wektora na wektory jednostkowe współrzędnych.

Jednostkę osi współrzędnych oznaczono przez , osie przez , osie przez (rys. 1)

Dla dowolnego wektora leżącego na płaszczyźnie następuje rozwinięcie:

Jeśli wektor znajdujących się w przestrzeni, to rozwinięcie w wektory jednostkowe osi współrzędnych ma postać:

Współrzędne wektora:

Aby obliczyć współrzędne wektora, znając współrzędne (x1; y1) jego początku A i współrzędne (x2; y2) jego końca B, należy odjąć współrzędne początku od współrzędnych końca: ( x2 – x1; y2 – y1).

Właściwości współrzędnych.

Rozważmy linię współrzędnych z początkiem w punkcie O i wektorem jednostkowym i. Następnie dla dowolnego wektora a na tej linii: a = axi.

Oś liczbowa nazywana jest współrzędną wektora a na osi współrzędnych.

Właściwość 1. Podczas dodawania wektorów na osi dodawane są ich współrzędne.

Własność 2. Kiedy wektor jest mnożony przez liczbę, jego współrzędna jest mnożona przez tę liczbę.

Iloczyn skalarny wektorów. Nieruchomości.

Odpowiedź:

Iloczyn skalarny dwóch niezerowych wektorów jest liczbą



równy iloczynowi tych wektorów i cosinusowi kąta między nimi.

Nieruchomości:

1. Iloczyn skalarny ma właściwość przemienności: ab=ba

Iloczyn skalarny wektorów jednostek współrzędnych. Wyznaczanie iloczynu skalarnego wektorów określonych przez ich współrzędne.

Odpowiedź:

Iloczyn skalarny (×) wektorów jednostkowych

(X) I J K
I
J
K

Wyznaczanie iloczynu skalarnego wektorów określonych przez ich współrzędne.

Iloczyn skalarny dwóch wektorów i podany przez ich współrzędne można obliczyć za pomocą wzoru

Iloczyn krzyżowy dwóch wektorów. Właściwości produktu wektorowego.

Odpowiedź:

Trzy niewspółpłaszczyznowe wektory tworzą prawoskrętną trójkę, jeśli od końca trzeciego obrót od pierwszego wektora do drugiego odbywa się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Jeśli zgodnie z ruchem wskazówek zegara, to w lewo. Jeśli nie, to w przeciwnym kierunku ( pokaż jak pokazał z „uchwytami”)

Iloczyn krzyżowy wektora A do wektora B zwany wektorem z którego:

1. Prostopadłe do wektorów A I B

2. Ma długość równą liczbowo powierzchni utworzonego równoległoboku A I B wektory

3. Wektory, a, b, I C tworzą prawą trójkę wektorów

Nieruchomości:

1.

3.

4.

Iloczyn wektorowy wektorów jednostek współrzędnych. Wyznaczanie iloczynu wektorów określonych przez ich współrzędne.

Odpowiedź:

Iloczyn wektorowy wektorów jednostek współrzędnych.

Wyznaczanie iloczynu wektorów określonych przez ich współrzędne.

Niech wektory a = (x1; y1; z1) i b = (x2; y2; z2) będą dane przez ich współrzędne w prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych O, i, j, k, a potrójna i, j, k wynosi praworęczny.

Rozwińmy a i b na wektory bazowe:

za = x 1 ja + y 1 jot + z 1 k, b = x 2 ja + y 2 jot + z 2 k.

Korzystając z właściwości produktu wektorowego, otrzymujemy

[A; b] = =

= x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 1 z 2 +

+ r 1 x 2 + r 1 r 2 + r 1 z 2 +

+ z 1 x 2 + z 1 y 2 + z 1 z 2 . (1)

Z definicji iloczynu wektorowego znajdujemy

= 0, = k, = - j,

= - k, = 0, = i,

= j, = - ja. = 0.

Uwzględniając te równości, wzór (1) można zapisać następująco:

[A; b] = x 1 y 2 k - x 1 z 2 jot - y 1 x 2 k + y 1 z 2 ja + z 1 x 2 jot - z 1 y 2 ja

[A; b] = (y 1 z 2 - z 1 y 2) ja + (z 1 x 2 - x 1 z 2) jot + (x 1 y 2 - y 1 x 2) k. (2)

Wzór (2) podaje wyrażenie na iloczyn wektorowy dwóch wektorów określonych przez ich współrzędne.

Otrzymany wzór jest uciążliwy. Korzystając z zapisu wyznaczników, możesz zapisać go w innej formie, wygodniejszej do zapamiętania:

Zwykle wzór (3) jest zapisywany jeszcze krócej:

Z fizyki dla klasy 9 (I.K.Kikoin, A.K.Kikoin, 1999),
zadanie №5
do rozdziału” ROZDZIAŁ 1. OGÓLNE INFORMACJE O RUCHU».

1. Jak nazywa się rzut wektora na oś współrzędnych?

1. Rzut wektora a na oś współrzędnych to długość odcinka pomiędzy rzutami początku i końca wektora a (prostopadłymi wyrzuconymi z tych punktów na oś) na tę oś współrzędnych.

2. Jak wektor przemieszczenia ciała jest powiązany z jego współrzędnymi?

2. Rzuty wektora przemieszczenia s na osie współrzędnych są równe zmianie odpowiednich współrzędnych ciała.

3. Jeżeli współrzędna punktu rośnie w czasie, to jaki znak ma rzut wektora przemieszczenia na oś współrzędnych? A co jeśli się zmniejszy?

3. Jeżeli współrzędna punktu rośnie w czasie, to rzut wektora przemieszczenia na oś współrzędnych będzie dodatni, ponieważ w tym przypadku przejdziemy od rzutu początku do rzutu końca wektora w kierunku samej osi.

Jeśli współrzędna punktu zmniejsza się w czasie, wówczas rzut wektora przemieszczenia na oś współrzędnych będzie ujemny, ponieważ w tym przypadku przejdziemy od rzutu początku do rzutu końca wektora na prowadnicę samej osi.

4. Jeżeli wektor przemieszczenia jest równoległy do ​​osi X, to jaki jest moduł rzutu wektora na tę oś? A co z modułem rzutu tego samego wektora na oś Y?

4. Jeżeli wektor przemieszczenia jest równoległy do ​​osi X, to moduł rzutu wektora na tę oś jest równy modułowi samego wektora, a jego rzut na oś Y wynosi zero.

5. Wyznacz znaki rzutów na oś X wektorów przemieszczeń pokazanych na rysunku 22. Jak zmieniają się współrzędne ciała podczas tych przemieszczeń?

5. We wszystkich poniższych przypadkach współrzędna Y ciała nie zmienia się, a współrzędna X ciała zmienia się w następujący sposób:

a) s 1;

rzut wektora s 1 na oś X jest ujemny i jest w wartości bezwzględnej równy długości wektora s 1 . Przy takim ruchu współrzędna X ciała zmniejszy się o długość wektora s 1.

b) s 2;

rzut wektora s 2 na oś X jest dodatni i ma wielkość równą długości wektora s 1 . Przy takim ruchu współrzędna X ciała wzrośnie o długość wektora s 2.

c) s 3;

rzut wektora s 3 na oś X jest ujemny i równy długości wektora s 3 . Przy takim ruchu współrzędna X ciała zmniejszy się o długość wektora s 3.

d) s 4;

rzut wektora s 4 na oś X jest dodatni i ma wielkość równą długości wektora s 4 . Przy takim ruchu współrzędna X ciała wzrośnie o długość wektora s 4.

e) s 5;

rzut wektora s 5 na oś X jest ujemny i równy co do długości wektorowi s 5 . Przy takim ruchu współrzędna X ciała zmniejszy się o długość wektora s 5.

6. Jeżeli wartość przebytej drogi jest duża, to czy moduł przemieszczenia może być mały?

6. Może. Wynika to z faktu, że przemieszczenie (wektor przemieszczenia) jest wielkością wektorową, tj. jest skierowanym odcinkiem linii prostej łączącym początkowe położenie ciała z jego kolejnymi położeniami. A ostateczna pozycja ciała (niezależnie od przebytej odległości) może być jak najbardziej zbliżona do początkowej pozycji ciała. Jeżeli położenie końcowe i początkowe ciała pokrywają się, moduł przemieszczenia będzie równy zeru.

7. Dlaczego w mechanice wektor ruchu ciała jest ważniejszy niż droga, jaką ono przebyło?

7. Głównym zadaniem mechaniki jest określenie w dowolnym momencie położenia ciała. Znając wektor ruchu ciała, możemy wyznaczyć współrzędne ciała, tj. położenia ciała w dowolnym momencie, a znając jedynie przebytą drogę, nie jesteśmy w stanie określić współrzędnych ciała, gdyż nie mamy informacji o kierunku ruchu, możemy jedynie ocenić długość przebytej drogi w danym momencie.

§ 3. Rzuty wektora na osie współrzędnych

1. Znajdowanie rzutów geometrycznych.

Wektor
- rzut wektora na oś WÓŁ
- rzut wektora na oś OJ

Definicja 1. Projekcja wektorowa na dowolnej osi współrzędnych jest liczba prowadzona ze znakiem plus lub minus, odpowiadająca długości odcinka znajdującego się pomiędzy podstawami prostopadłych opuszczonych z początku i końca wektora na oś współrzędnych.

Znak projekcji definiuje się w następujący sposób. Jeżeli podczas poruszania się wzdłuż osi współrzędnych nastąpi ruch od punktu rzutu początku wektora do punktu rzutu końca wektora w dodatnim kierunku osi, wówczas rzut wektora uważa się za dodatni . Jeśli jest przeciwny do osi, wówczas rzut uważa się za ujemny.

Z rysunku wynika, że ​​jeśli wektor jest zorientowany w jakiś sposób przeciwnie do osi współrzędnych, to jego rzut na tę oś jest ujemny. Jeśli wektor jest zorientowany w jakiś sposób w dodatnim kierunku osi współrzędnych, to jego rzut na tę oś jest dodatni.


Jeżeli wektor jest prostopadły do ​​osi współrzędnych, to jego rzut na tę oś wynosi zero.
Jeżeli wektor jest współkierunkowy z osią, to jego rzut na tę oś jest równy wartości bezwzględnej wektora.
Jeżeli wektor jest skierowany przeciwnie do osi współrzędnych, to jego rzut na tę oś jest w wartości bezwzględnej równy wartości bezwzględnej wektora wziętego ze znakiem minus.

2. Najbardziej ogólna definicja projekcji.


Z trójkąta prostokątnego ABD: .

Definicja 2. Projekcja wektorowa na dowolnej osi współrzędnych jest liczbą równą iloczynowi modułu wektora i cosinusa kąta utworzonego przez wektor z dodatnim kierunkiem osi współrzędnych.


Znak rzutu wyznacza znak cosinusa kąta utworzonego przez wektor z dodatnim kierunkiem osi.
Jeśli kąt jest ostry, wówczas cosinus ma znak dodatni, a rzuty są dodatnie. Dla kątów rozwartych cosinus ma znak ujemny, więc w takich przypadkach rzuty na oś są ujemne.
- dlatego dla wektorów prostopadłych do osi rzut wynosi zero.

Niech dwa wektory i będą podane w przestrzeni. Odłóżmy z dowolnego punktu O wektory i . Kąt między wektorami nazywa się najmniejszym z kątów. Wyznaczony .

Rozważ oś l i narysuj na nim wektor jednostkowy (tj. wektor, którego długość jest równa jedności).

Pod kątem między wektorem a osią l zrozumieć kąt między wektorami i .

Więc pozwól l jest pewną osią i jest wektorem.

Oznaczmy przez 1 I B 1 rzuty na oś l odpowiednio punkty A I B. Udawajmy, że 1 ma współrzędną x 1, A B 1– współrzędna x 2 na osi l.

Następnie występ wektor na oś l zwana różnicą x 1 – x 2 pomiędzy współrzędnymi rzutów końca i początku wektora na tę oś.

Rzut wektora na oś l będziemy oznaczać.

Oczywiste jest, że jeśli kąt między wektorem a osią l wtedy pikantnie x 2> x 1 i projekcja x 2 – x 1> 0; jeśli ten kąt jest rozwarty, to x 2< x 1 i projekcja x 2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l, To x 2= x 1 I x 2– x 1=0.

Zatem rzut wektora na oś l jest długością odcinka A 1 B 1, podjęte z pewnym znakiem. Dlatego rzut wektora na oś jest liczbą lub skalarem.

W podobny sposób wyznacza się rzut jednego wektora na drugi. W tym przypadku znajdują się rzuty końców tego wektora na linię, na której leży drugi wektor.

Spójrzmy na podstawowe właściwości rzutów.

LINIOWO ZALEŻNE I LINIOWO NIEZALEŻNE UKŁADY WEKTOROWE

Rozważmy kilka wektorów.

Kombinacja liniowa z tych wektorów jest dowolny wektor w postaci , gdzie są pewne liczby. Liczby nazywane są współczynnikami kombinacji liniowej. Mówią też, że w tym przypadku wyraża się to liniowo poprzez te wektory, tj. uzyskuje się z nich za pomocą działań liniowych.

Na przykład, jeśli podane są trzy wektory, to za ich kombinację liniową można uznać następujące wektory:

Jeśli wektor jest reprezentowany jako liniowa kombinacja niektórych wektorów, to mówimy, że tak jest rozłożone wzdłuż tych wektorów.

Wektory nazywane są liniowo zależne, jeśli istnieją liczby, nie wszystkie równe zero, tak że . Jest oczywiste, że dane wektory będą liniowo zależne, jeśli którykolwiek z tych wektorów zostanie wyrażony liniowo w odniesieniu do pozostałych.

W przeciwnym razie, tj. kiedy stosunek wykonywane tylko wtedy, gdy , wektory te nazywane są liniowo niezależny.

Twierdzenie 1. Każde dwa wektory są liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy są współliniowe.

Dowód:

W podobny sposób można udowodnić następujące twierdzenie.

Twierdzenie 2. Trzy wektory są liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy są współpłaszczyznowe.

Dowód.

PODSTAWA

Podstawa jest zbiorem niezerowych wektorów liniowo niezależnych. Elementy podstawy będziemy oznaczać przez .

W poprzednim akapicie widzieliśmy, że dwa niewspółliniowe wektory na płaszczyźnie są liniowo niezależne. Zatem, zgodnie z Twierdzeniem 1 z poprzedniego akapitu, bazą na płaszczyźnie są dowolne dwa niewspółliniowe wektory na tej płaszczyźnie.

Podobnie dowolne trzy niewspółpłaszczyznowe wektory są liniowo niezależne w przestrzeni. W związku z tym trzy wektory niewspółpłaszczyznowe nazywamy bazą w przestrzeni.

Poniższe stwierdzenie jest prawdziwe.

Twierdzenie. Niech baza będzie podana w przestrzeni. Wtedy dowolny wektor można przedstawić jako kombinację liniową , Gdzie X, y, z- kilka liczb. To jedyny rozkład.

Dowód.

Zatem podstawa pozwala na jednoznaczne powiązanie każdego wektora z potrójną liczbą - współczynnikami rozwinięcia tego wektora na wektory bazowe: . Odwrotna sytuacja jest również prawdziwa dla każdych trzech liczb x, y, z korzystając z podstawy, możesz porównać wektor, jeśli wykonasz kombinację liniową .

Jeśli podstawa i , a następnie liczby x, y, z są nazywane współrzędne wektor w danej bazie. Współrzędne wektora są oznaczone przez .


KARTEZJAŃSKI UKŁAD WSPÓŁRZĘDNYCH

Niech będzie dany punkt w przestrzeni O i trzy wektory niewspółpłaszczyznowe.

Kartezjański układ współrzędnych w przestrzeni (na płaszczyźnie) jest zbiorem punktu i podstawy, tj. zbiór punktu i trzech wektorów niewspółpłaszczyznowych (2 wektory niewspółliniowe) wychodzących z tego punktu.

Kropka O zwane pochodzeniem; linie proste przechodzące przez początek współrzędnych w kierunku wektorów bazowych nazywane są osiami współrzędnych - osią odciętych, rzędnych i osią zastosowania. Płaszczyzny przechodzące przez osie współrzędnych nazywane są płaszczyznami współrzędnych.

Rozważ dowolny punkt w wybranym układzie współrzędnych M. Wprowadźmy pojęcie współrzędnych punktu M. Wektor łączący początek z punktem M. zwany wektor promienia zwrotnica M.

Wektor w wybranej bazie można powiązać z trójką liczb – jej współrzędnymi: .

Współrzędne wektora promienia punktu M. są nazywane współrzędne punktu M. w rozważanym układzie współrzędnych. M(x,y,z). Pierwsza współrzędna nazywana jest odciętą, druga rzędną, a trzecia aplikacją.

W podobny sposób wyznacza się współrzędne kartezjańskie na płaszczyźnie. Tutaj punkt ma tylko dwie współrzędne - odciętą i rzędną.

Łatwo zauważyć, że dla danego układu współrzędnych każdy punkt ma określone współrzędne. Z drugiej strony dla każdej trójki liczb istnieje unikalny punkt, którego współrzędne stanowią te liczby.

Jeżeli wektory przyjęte za podstawę w wybranym układzie współrzędnych mają długość jednostkową i są parami prostopadłe, wówczas układ współrzędnych nazywa się Kartezjański prostokątny.

Łatwo to pokazać.

Cosinusy kierunkowe wektora całkowicie określają jego kierunek, ale nie mówią nic o jego długości.

Wektorowy opis ruchu jest przydatny, ponieważ na jednym rysunku zawsze możesz przedstawić wiele różnych wektorów i uzyskać wizualny „obraz” ruchu przed oczami. Jednak każdorazowe używanie linijki i kątomierza do wykonywania operacji na wektorach jest bardzo pracochłonne. Dlatego działania te sprowadzają się do działań z liczbami dodatnimi i ujemnymi - rzutami wektorów.

Rzut wektora na oś nazywana wielkością skalarną równą iloczynowi modułu rzutowanego wektora i cosinusa kąta między kierunkami wektora a wybraną osią współrzędnych.

Rysunek po lewej stronie przedstawia wektor przemieszczenia, którego moduł wynosi 50 km, oraz kształty jego kierunku kąt rozwarty 150° z kierunkiem osi X. Korzystając z definicji znajdujemy rzut przemieszczenia na oś X:

sx = s cos(α) = 50 km cos(150°) = –43 km

Ponieważ kąt między osiami wynosi 90°, łatwo obliczyć, że kierunek ruchu tworzy kąt ostry 60° z kierunkiem osi Y. Korzystając z definicji znajdujemy rzut przemieszczenia na oś Y:

sy = s cos(β) = 50 km cos(60°) = +25 km

Jak widać, jeśli kierunek wektora tworzy kąt ostry z kierunkiem osi, rzutowanie jest dodatnie; jeśli kierunek wektora tworzy kąt rozwarty z kierunkiem osi, rzut jest ujemny.

Prawy rysunek przedstawia wektor prędkości, którego moduł wynosi 5 m/s, a kierunek tworzy kąt 30° z kierunkiem osi X. Znajdźmy rzuty:

υx = υ · cos(α) = 5 m/s · cos( 30°) = +4,3 m/s
υy = υ · cos(β) = 5 m/s · cos( 120°) = –2,5 m/s

Znacznie łatwiej jest znaleźć rzuty wektorów na osie, jeśli rzutowane wektory są równoległe lub prostopadłe do wybranych osi. Należy pamiętać, że w przypadku równoległości możliwe są dwie opcje: wektor jest współkierunkowy do osi i wektor jest przeciwny do osi, natomiast w przypadku prostopadłości istnieje tylko jedna opcja.

Rzut wektora prostopadłego do osi wynosi zawsze zero (patrz sy i ay na lewym rysunku oraz sx i υx na prawym rysunku). Rzeczywiście, dla wektora prostopadłego do osi kąt między nim a osią wynosi 90°, więc cosinus wynosi zero, co oznacza, że ​​rzut wynosi zero.

Rzut wektora współkierunkowego z osią jest dodatni i równy jego wartości bezwzględnej, na przykład sx = +s (patrz rysunek po lewej). Rzeczywiście, dla wektora współkierunkowego z osią kąt między nim a osią wynosi zero, a jego cosinus wynosi „+1”, czyli rzut jest równy długości wektora: sx = x – xo = + S .

Rzut wektora na przeciwną oś jest ujemny i równy jego modułowi wziętemu ze znakiem minus, np. sy = –s (patrz rysunek po prawej). Rzeczywiście, dla wektora przeciwnego do osi kąt między nim a osią wynosi 180°, a jego cosinus wynosi „–1”, to znaczy rzut jest równy długości wektora wziętego ze znakiem ujemnym: sy = y – yo = –s .

Prawa strona obu rysunków przedstawia inne przypadki, w których wektory są równoległe do jednej z osi współrzędnych i prostopadłe do drugiej. Zapraszamy do sprawdzenia, czy i w tych przypadkach przestrzegane są zasady sformułowane w poprzednich akapitach.