Dla dwóch linii w przestrzeni możliwe są cztery przypadki:

Linie proste pokrywają się;

Linie są równoległe (ale nie pokrywają się);

Linie przecinają się;

Linie proste przecinają się, tj. nie mają punktów wspólnych i nie są równoległe.

Rozważmy dwa sposoby opisu linii prostych: równania kanoniczne i równania ogólne. Niech linie L 1 i L 2 zostaną podane za pomocą równań kanonicznych:

L 1: (x - x 1)/l 1 = (y - y 1)/m 1 = (z - z 1)/n 1, L 2: (x - x 2)/l 2 = (y - y 2)/m 2 = (z - z 2)/n 2 (6,9)

Dla każdej linii z jej równań kanonicznych natychmiast wyznaczamy na niej punkt M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) ∈ L 1, M 2 (x 2 ; y 2 ​​​​; z 2) ∈ L 2 i współrzędne wektorów kierunkowych s 1 = (l 1; m 1; n 1) dla L 1, s 2 = (l 2; m 2; n 2) dla L 2.

Jeżeli linie pokrywają się lub są równoległe, to ich wektory kierunkowe s 1 i s 2 są współliniowe, co jest równoważne równości stosunków współrzędnych tych wektorów:

l 1 /l 2 = m 1 /m 2 = n 1 /n 2. (6.10)

Jeżeli linie się pokrywają, to wektor M 1 M 2 jest współliniowy z wektorami kierunkowymi:

(x 2 - x 1)/l 1 = (y 2 - y 1)/m 1 = (z 2 - z 1)/n 1. (6.11)

Ta podwójna równość oznacza również, że punkt M 2 należy do prostej L 1. Zatem warunkiem zbieżności prostych jest jednoczesne spełnienie równości (6.10) i (6.11).

Jeśli linie przecinają się lub krzyżują, wówczas ich wektory kierunkowe są niewspółliniowe, tj. warunek (6.10) jest naruszony. Linie przecinające się leżą w tej samej płaszczyźnie, dlatego wektory s 1 , s 2 i M 1 M 2 są współpłaszczyznowywyznacznik trzeciego rzędu, złożony z ich współrzędnych (patrz 3.2):

Warunek (6.12) jest spełniony w trzech z czterech przypadków, ponieważ dla Δ ≠ 0 proste nie należą do tej samej płaszczyzny i dlatego się przecinają.

Zbierzmy wszystkie warunki razem:


Wzajemne porozumienie linie proste charakteryzują się liczbą rozwiązań układu (6.13). Jeżeli linie się pokrywają, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Jeśli linie się przecinają, oznacza to, że ten system tak jedyna decyzja. W przypadku równoległości lub skrzyżowania nie ma bezpośrednich rozwiązań. Dwa ostatnie przypadki można rozdzielić, znajdując wektory kierunkowe linii. Aby to zrobić, wystarczy obliczyć dwa grafika wektorowa n 1 × n 2 i n 3 × n 4, gdzie n ja = (A ja; B ja; C i), i = 1, 2, 3,4. Jeśli powstałe wektory są współliniowe, wówczas dane proste są równoległe. W przeciwnym razie krzyżują się.

Przykład 6.4.


Wektor kierunkowy s 1 linii prostej L 1 znajduje się według równania kanoniczne ta linia: s 1 = (1; 3; -2). Wektor kierunkowy s 2 linii prostej L 2 oblicza się za pomocą produkt wektorowy wektory normalne płaszczyzn, których przecięciem jest:

Ponieważ s 1 = -s 2, to linie są równoległe lub pokrywają się. Przekonajmy się, która z tych sytuacji jest realizowana dla tych linii. W tym celu podstawiamy współrzędne punktu M 0 (1; 2; -1) ∈ L 1 do równania ogólne linia prosta L2. Dla pierwszego z nich otrzymujemy 1 = 0. W związku z tym punkt M 0 nie należy do prostej L 2 i rozpatrywane proste są równoległe.

Kąt pomiędzy liniami prostymi. Kąt między dwiema prostymi można znaleźć za pomocą wektory kierunkowe prosty Kąt ostry między liniami prostymi równy kątowi między ich wektorami kierunkowymi (ryc. 6.5) lub jest do niego dodatkowy, jeśli kąt między wektorami kierunkowymi jest rozwarty. Zatem, jeśli dla linii L 1 i L 2 znane są ich wektory kierunkowe s xi s 2, to ostry rógφ między tymi liniami wyznacza się poprzez iloczyn skalarny:

cosφ = |S 1 S 2 |/|S 1 ||S 2 |

Na przykład niech s i = (l i ; m i ; n ja ), i = 1, 2. Korzystając ze wzorów (2.9) i (2.14) obliczyć długość wektora i iloczyn skalarny we współrzędnych, otrzymujemy

Jeśli dwie linie leżą na płaszczyźnie, możliwe są trzy różne przypadki ich względnego położenia: 1) linie przecinają się (to znaczy mają jeden wspólny punkt), 2) linie są równoległe i nie pokrywają się, 3) linie się pokrywają.

Dowiedzmy się, jak dowiedzieć się, który z tych przypadków ma miejsce, jeśli liniom zostaną podane własne równania

Jeżeli proste przecinają się, czyli mają jeden punkt wspólny, to współrzędne tego punktu muszą spełniać oba równania (15). W związku z tym, aby znaleźć współrzędne punktu przecięcia prostych, konieczne jest wspólne rozwiązanie ich równań. W tym celu wyeliminujmy najpierw niewiadome x, dla którego mnożymy pierwsze równanie przez , a drugie przez A i odejmujemy pierwsze od drugiego. Będzie miał:

Aby wykluczyć niewiadome y z równań (15), mnożymy pierwsze z nich przez, drugie przez i odejmujemy drugie od pierwszego. Otrzymujemy:

Jeżeli wówczas z równań (15) i (15") otrzymamy rozwiązanie układu (15):

Wzory (16) podają współrzędne x, y przecięcia dwóch prostych.

Zatem jeśli linie się przecinają. Jeżeli wówczas wzory (16) nie mają sensu. Jak w tym przypadku rozmieszczone są linie? Łatwo zauważyć, że w tym przypadku proste są równoległe. Rzeczywiście z warunku wynika, że ​​(jeżeli , to proste są równoległe do osi Oy, a zatem równoległe do siebie).

Jeśli więc linie są równoległe. Rozważany warunek można zapisać w postaci, w której można powiedzieć, że jeśli w równaniach prostych odpowiednie współczynniki dla bieżących współrzędnych są proporcjonalne, to proste są równoległe.

W szczególności linie równoległe mogą się pokrywać. Dowiedzmy się, jaki jest znak analityczny zbieżności linii. Aby to zrobić, rozważ równania (15) i ). Jeśli oba wolne wyrazy tych równań są równe zeru, tj.

tj. współczynniki niewiadomych i składniki wolne równań (15) są proporcjonalne. W tym przypadku jedno z równań układu uzyskuje się z drugiego, mnożąc wszystkie jego wyrazy przez jakiś wspólny czynnik, tj. Równania (15) są równoważne. W związku z tym rozważane równoległe linie pokrywają się.

Jeśli chociaż jeden z wolni członkowie równania (15) i ) będą różne od zera (lub lub

wówczas równania (15) i (15"), a co za tym idzie równania (15), nie będą miały rozwiązań (przynajmniej jedna z równości (15) lub (15") będzie niemożliwa). W takim przypadku linie równoległe nie będą się pokrywać.

Zatem warunkiem (koniecznym i wystarczającym) zbieżności dwóch prostych jest proporcjonalność odpowiednich współczynników ich równań:

Przykład 1. Znajdź punkt przecięcia prostych

Rozwiązując równania razem, pomnóż sekundę przez 3.

https://accounts.google.com


Podpisy slajdów:

Prezentacja na temat sztuk pięknych na temat: „Linie proste i organizacja przestrzeni” Wykonał: nauczyciel plastyki I Liceum MOBU im. I.D. Buvaltseva Region Krasnodarski Korenovsk Popovich Galina Iwanowna

Połączenie różnych prostokątów i linii daje kompozycję większa różnorodność i rozrywka.

Proste linie to element prosty, ale bardzo wyrazisty.

Zanim zaczniesz pracować, określ rolę linii w kompozycji. Przede wszystkim linia dzieli płaszczyznę na osobne części.

Linia dzieli przestrzeń i jednocześnie wzmacnia połączenie wszystkich elementów kompozycji. Linie pomagają połączyć je w obrazową całość.

Linia wprowadza dynamikę i dodaje wyrazistości rytmicznej kompozycji.

Obrazy emocjonalne

Złote deski

Na kompozycję składają się nie tylko elementy wizualne, ale także przestrzenie pomiędzy nimi. Naprzemienność elementów obrazowych i wolnych przestrzeni, ich częstotliwość, zagęszczenie i rozrzedzenie to RYTM. Na rytm wpływa stopień jasności elementów i ich kształt.

Najważniejsze jest osiągnięcie harmonijnego układu linii i prostokątów, aby stworzyć holistyczną, rytmiczną, zrównoważoną kompozycję.

Więcej linii niż prostokątów. Wpływają one na strukturę rytmiczną kompozycji. Poprzez swój kierunek, gęstość i przecięcia determinują ruch i ekspresję całego obrazu.

Osiągnij różnice w zbliżeniu planów - tworzy to wizualną polifonię, bogactwo intonacji i odpowiednio większą wyrazistość kompozycji.

Rytm i akcent planów

ZADANIA: Linie proste są elementem organizacji planarnej kompozycji. 1. Umieszczając i przecinając wzajemnie 3-4 proste linie o różnej grubości, uzyskaj harmonijny podział przestrzeni (zastosuj linie przedłużające). 2. Stwórz kompozycję z 2-3 prostokątów i 3-4 linii prostych, które swoim ułożeniem łączą elementy w jedną całość kompozycyjną. Utwórz: a) kompozycję frontalną; b) głęboka kompozycja. 3. Stwórz ciekawą kompozycję z dowolnej liczby elementów. Układając rytmicznie elementy na płaszczyźnie, uzyskaj wrażenie emocjonalne i figuratywne (na przykład „lot”, „zwężenie”, „zwolnienie” itp.)

Linia nie jest „cieńszym prostokątem”, ale samodzielnym elementem graficznym. W pracach, w których linia jest płynna, wydaje się, że akcja obrazowa wychodzi poza ramy i sprawia, że ​​kompozycja jest otwarta, nieograniczona i ciekawsza.

Linie proste są elementem organizacji płaskiej kompozycji. 1. Umieszczając i przecinając wzajemnie 3-4 proste linie o różnej grubości, uzyskaj harmonijny podział przestrzeni (zastosuj linie przedłużające). 2. Stwórz kompozycję z 2-3 prostokątów i 3-4 linii prostych, które swoim ułożeniem łączą elementy w jedną całość kompozycyjną. Utwórz: a) kompozycję frontalną; b) głęboka kompozycja. 3. Stwórz ciekawą kompozycję z dowolnej liczby elementów. Układając rytmicznie elementy na płaszczyźnie, uzyskaj wrażenie emocjonalne i figuratywne (na przykład „lot”, „zwężenie”, „zwolnienie” itp.)

Wykorzystana literatura: Podręcznik dla klas 7-8 instytucje edukacyjne pod redakcją B.M. Niemenski, Moskwa „Oświecenie” 2008, praca nauczyciela.

Zapowiedź:

Aby skorzystać z podglądu prezentacji utwórz konto Google i zaloguj się na nie: https://accounts.google.com


Podpisy slajdów:

Prezentacja na temat sztuk pięknych na temat: „Podstawy kompozycji w sztukach konstrukcyjnych. Harmonia, kontrast i emocjonalna ekspresja planarnej kompozycji” Wykonali: nauczyciel plastyki I Liceum im. I.D. Buvaltseva, Terytorium Krasnodarskie, Korenovsk Popovich Galina Ivanovna

elementy kompozycji Nie dajcie się zwieść temu, że wszystkie ćwiczenia wykonywane są za pomocą prostokątów. Po pierwsze, są dość wyraziste i nie rozpraszając różnorodnością form, ułatwiają opanowanie technik kompozytorskich. Po drugie, są prototypem przyszłych układów mas tekstowych i ilustracji. Projekt okładki książki

Wszystkie prostokątne elementy kompozycji należy wyciąć z czarnego lub białego papieru (w zależności od wybranego tła). Zanim ostatecznie je skleisz, musisz je przesuwać po arkuszu w poszukiwaniu najlepsza opcja układ, zmniejszyć lub zwiększyć ich rozmiar, uzyskując zrównoważoną kompozycję.

Stwórz konflikt pomiędzy białym polem a czarną plamą. Fabuła, jeśli kto woli – intryga, konstrukcja konstrukcyjna polega właśnie na opozycji, kontraście, stosunku mas (w tym przypadku – prostokątów).

PRACA PRAKTYCZNA Wykonajmy ćwiczenia poznające zasady równowagi i ruchu w układzie planarnym. Jako elementy kompozycji wybierzemy prostokąty. Złóż kartkę A4 na pół i jeszcze raz na pół - otrzymamy cztery prostokąty na cztery ćwiczenia. Ćwiczenia te można wykonywać także na komputerze. Ćwiczenie 1. Bilans masy. Rozważ biały prostokąt, oceń białą przestrzeń i wybierz dla niego czarny prostokąt o takim rozmiarze, aby kolory czarno-białe były zrównoważone, zrównoważone

Ćwiczenie 2. Dynamika masy. Skomplikujmy zadanie i umieśćmy czarny prostokąt pod kątem do białej płaszczyzny. Co jest bardziej interesujące? Bardziej wyraziste? Czarny prostokąt ze względu na swoje położenie stwarza wrażenie „ruchu”. Wprowadzając do kompozycji dodatkowe elementy, możesz wzmocnić wrażenie ruchu lub wręcz przeciwnie, możesz je „zatrzymać”

Symetria Równowaga kompozycji jest często kojarzona z symetrią. Od czasów starożytnych symetria była uważana za jeden z warunków piękna. Starożytni Grecy wierzyli, że wszechświat jest symetryczny po prostu dlatego, że symetria jest piękna. Idea symetrii często była punktem wyjścia w hipotezach i teoriach naukowców minionych stuleci, którzy wierzyli w matematyczną harmonię wszechświata. Pojęcie symetrii nie ogranicza się do symetrii obiektów. Dotyczy to również zjawiska fizyczne i ich menadżerowie prawa fizyczne. To symetria pozwala nam objąć różnorodne ciała w jednej pozycji. „Symetria” przetłumaczona z języka greckiego oznacza „proporcjonalność”

Asymetria Metoda harmonii, w której obraz po lewej stronie jest podobny do prawego, góra jest podobna do dołu po przekątnej, w poziomie, w pionie lub wzdłuż innej załamanej osi, nazywa się symetrią, a sama kompozycja jest symetryczna. Symetria osiąga harmonię poprzez zanik obrazowego konfliktu, a sama kompozycja staje się ozdobą. Rezultatem jest jednolitość i monotonia. Przypomnijmy sobie słowa Puszkina z „Damowej pik”: „Meble starej kobiety miały smutną symetrię”. Asymetria pozwala osiągnąć dynamikę i napięcie w kompozycji, nie tracąc przy tym harmonii całości. Dzięki zastosowaniu asymetrii kompozycja staje się bardziej wyrazista i interesująca. W przypadku asymetrii nie ma osi ani płaszczyzny symetrii (tabela Gaudiego) 14 lat

Jeśli łatwo i natychmiast można dostrzec symetryczną formę równowagi, wówczas stopniowo odczytywana jest asymetryczna forma dynamiczna. Zrównoważoną, zrównoważoną kompozycję V. Lebiediewa można skontrastować z dynamiczną, asymetryczną kompozycją D. Shterenberga

Peter Cornelis Mondrian to artysta abstrakcyjny, który poświęcił swoje życie poszukiwaniu równowagi i równowagi, tworząc i prowadząc grupę „Style”, która pozostawiła jasny ślad w historii Sztuka współczesna. W swoich pracach „niszczył” dynamikę. Jego kompozycje są całkowicie wyważone i nienagannie wyważone. Ponadto Mondrian był także twórcą „neoplastycyzmu” – ruchu ściśle abstrakcyjnego, opartego na zastosowaniu siatki przecinających się linii poziomych i pionowych jako głównego motywu kompozycyjnego. Przez trzydzieści lat swojego życia dokonywał aktów sakralnych na płótnach, malował je w prostokąty i kwadraty, a powstałe pola geometryczne malował albo intensywnymi, jasnymi kolorami, albo (później) lekkimi i przezroczystymi odcieniami bieli, szarości, beżu czy niebieskawego

Ćwiczenie 3. Symetria. Biała płaszczyzna jest już zdefiniowana. Wytnij kilka czarnych lub kolorowych prostokątów i utwórz symetryczną kompozycję.

Rytm Wśród schematów kompozycyjnych wyróżnić należy grupę środków, które łączy pojęcie rytmu. Samo słowo „rytm” w tłumaczeniu ze starożytnej greki oznacza „takt” lub „proporcjonalność”. Żyjemy w świecie zmieniających się rytmów. Połóż dłoń na piersi, wsłuchaj się w rytm swojego serca – równy i spokojny. Posłuchaj rytmów miasta – odgłosów samochodów, kroków, podmuchów wiatru, szumu kropel deszczu. Rytm można postrzegać nie tylko słuchowo, ale także wizualnie. Obserwuj naprzemienność światła i cienia podczas ruchu. Rytm jest jednak charakterystyczny nie tylko dla ruchu, ale także dla obiektu statycznego. Spójrz na rzędy ławek w klasie, na zmianę otworów okiennych w szkolnych korytarzach. Rytm dzięki powtarzalności elementów stwarza wrażenie uwarunkowanego ruchu. Naprzemienność elementów obrazowych i wolnych przestrzeni, ich częstotliwość, kondensacja i rzadkość nazywa się rytmem. Rytm może być spokojny i niespokojny, skierowany w jednym kierunku lub zbiegający się do środka, skierowany zarówno poziomo, jak i pionowo. Możesz zmieniać elementy, objętości, plamy kolorów, niektóre szczegóły itp.

Kontrasty wpływają na siłę kompozycji i decydują o jej wyrazistości. Kontrast jest ostro wyrażonym przeciwieństwem: długi - krótki, gruby - cienki, duży - mały. Kontrast jest jednym z głównych środków kompozycji. Występują kontrasty w wielkości, objętości i płaszczyźnie, świetle i cieniu (kontrasty tonalne), ciepłych i zimnych kolorach, różnych fakturach itp. Kontrastowe porównania pomagają wyostrzyć percepcję całości. Kontrast uwypukla i podkreśla różnicę we właściwościach formy, czyniąc ich jedność bardziej intensywną i efektowną. Bardzo silny kontrast może wizualnie zniszczyć strukturę kompozycyjną, dlatego stopień zastosowanego kontrastu jest ograniczony wymogiem zachowania integralności wrażenia. W formie, proporcjach, kolorze, kontraście podkreśla wyraźnie wyrażone przeciwieństwo, a niuans niesie w sobie ledwo zauważalne przejście, odcień. Niuanse, podobnie jak kontrast, są sposobem na ekspresję kompozycji. Ekspresja kompozycji jest ściśle związana z harmonią, której głównym zadaniem jest wywołanie wrażenia równowagi, wdzięku i precyzji dzieła (El Lissitzky. plakat „Bijcie białych czerwonym klinem”, 1920)

Ćwiczenie 4. Rytm. Stwórzmy rytmiczną kompozycję za pomocą linii i prostokątów, kół i kropek. Zadanie możesz wykonać wycinając rytmicznie naprzemienne linie. Wskazane jest wycięcie wszystkich elementów kompozycji nie nożyczkami, ale nożem do krojenia chleba.

Statyczna kompozycja frontalna Statyczna kompozycja frontalna lub bardziej dynamiczna kompozycja głęboka powinna być zbudowana na różnicy wielkości prostokątów. Dominanta jest w centrum uwagi kompozycji (ryc. 2). Dominanta nie zawsze jest największym elementem kompozycji, może być najmniejszą izolowaną formą, która tworzy konflikt plastyczny. Aby uzyskać równowagę masową, można w kompozycji „wciskać” prostokąty w siebie. Figura w granicach „zakładki” powinna być biała, jeśli prostokąty są czarne i odwrotnie

Zwróć uwagę na tak banalny moment pracy jak podpis. Upewnij się, że podpis jest napisany na odwrotnej stronie arkusza i ołówkiem. W przyszłości, po zapoznaniu się z czcionką, będziesz mógł stworzyć swój własny znak, swój własny znak, którym każdy będzie oznaczał swoje prace, łącznie z układami.


Proste linie i organizacja przestrzeni

Linie proste - proste, ale bardzo
element wyrazisty:
-linia dzieli płaszczyznę na
oddzielny
Części;
-linia pomaga jednoczyć
kompozycja
w jedną całość;
-line, w większym stopniu niż
prostokąt
wpływa na konstrukcję rytmiczną
kompozycje.

Frontalne i głębokie kompozycje linii
i prostokąty

nawet najprostszymi sposobami
możesz osiągnąć emocje
obrazowość

Linia nie jest „cieńsza”
prostokąt” i niezależny
element graficzny. Dołączony wiersz
wyrazistość całej kompozycji. W
działa tam, gdzie linia przebiega bezpośrednio (od krawędzi do krawędzi
prześcieradło), wydaje się, że wyjmuje
figuratywna akcja poza granicami i
sprawia, że ​​kompozycja jest otwarta, otwarta
i bardziej interesujące.
Cienki, długi i
wycinane są linie proste
wzdłuż linii

Pracujący
powyżej
ich
kompozycje,
osiągnąć różnice w wielkości planów,
ponieważ tworzy obraz
polifonia, bogactwo intonacji i,
odpowiednio większa ekspresja
kompozycje.

ZADANIA
Linie proste – element organizacji planarnej
kompozycje.
1. Położenie i wzajemne przecięcie 3-4 prostych
różne grubości pozwalają uzyskać harmonijny podział
spacja (użyj linii prostych).
2. Utwórz kompozycję z 2-3 prostokątów i 3-4 linii prostych
linie, które ze względu na swoje położenie łączą elementy
jedną całość kompozycyjną. Utwórz: a) czołowy
kompozycja; b) głęboka kompozycja.
3. Zrób ciekawy z dowolnej liczby elementów
kompozycja.
Osiągnij rytmiczne ułożenie elementów na płaszczyźnie
wrażenie emocjonalno-figuratywne (na przykład „lot”, zwężenie”, „zwolnienie” itp.).
Zadania można wykonywać na komputerze.