Jakie są siły wewnętrzne układu. Siły działające na organizm człowieka. Czym jest wewnętrzna siła

W mechanice siłami zewnętrznymi w stosunku do danego układu punktów materialnych (tj. takiego zbioru punktów materialnych, w którym ruch każdego punktu zależy od położenia lub ruchu wszystkich pozostałych punktów) są te siły, które reprezentują działanie innych punktów ciała znajdujące się w tym układzie (inne układy punktów materialnych) nieuwzględnione przez nas w tym układzie. Siły wewnętrzne to siły oddziaływania pomiędzy poszczególnymi punktami materialnymi danego układu. Podział sił na zewnętrzne i wewnętrzne jest całkowicie warunkowy: gdy zmienia się dany skład układu, niektóre siły, które wcześniej były zewnętrzne, mogą stać się wewnętrznymi i odwrotnie. Tak więc, na przykład, rozważając

ruch układu składającego się z Ziemi i jej satelity Księżyca, siły interakcji między tymi ciałami będą siłami wewnętrznymi dla tego układu, a siły grawitacyjne Słońca, pozostałych planet, ich satelitów i wszystkich gwiazd będą zewnętrznymi siły w stosunku do określonego układu. Ale jeśli zmienimy skład układu i uznamy ruch słońca i wszystkich planet za ruch jednej wspólny system, następnie zewnętrzne siłami będą jedynie siły przyciągania wywierane przez gwiazdy; niemniej jednak siły interakcji między planetami, ich satelitami i Słońcem stają się siłami wewnętrznymi tego układu. Dokładnie w ten sam sposób, jeśli podczas jazdy lokomotywy parowej dobieramy tłok cylindra parowego jako oddzielny system punkty materialne podlegające naszemu rozważaniu, wówczas będzie ciśnienie pary na tłoku w stosunku do niego siła zewnętrzna, i to samo ciśnienie pary będzie jednym z siły wewnętrzne, jeśli weźmiemy pod uwagę ruch całej lokomotywy jako całości; w tym przypadku siłami zewnętrznymi w stosunku do całej lokomotywy, traktowanej jako jeden układ, będą: tarcie pomiędzy szynami a kołami lokomotywy, ciężar lokomotywy, reakcja szyn i opór powietrza; siłami wewnętrznymi będą na przykład wszystkie siły oddziaływania pomiędzy częściami lokomotywy. siły interakcji między parą a tłokiem cylindra, między suwakiem a jego równoleżnikami, między korbowodem a czopem korbowym itp. Jak widzimy, zasadniczo nie ma różnicy między siłami zewnętrznymi i wewnętrznymi, ale określa się różnicę względną między nimi tylko w zależności od tego, które podmioty włączymy do rozpatrywanego systemu, a które uznamy za nieobjęte systemem. Jednakże wskazana względna różnica sił jest bardzo znacząca przy badaniu ruchu danego układu; zgodnie z trzecim prawem Newtona (o równości akcji i reakcji) wewnętrzne siły oddziaływania pomiędzy każdymi dwoma punktami materialnymi układu są równe co do wielkości i skierowane wzdłuż tej samej linii prostej w przeciwnych kierunkach; Dzięki temu przy rozwiązywaniu różnorodnych zagadnień dotyczących ruchu układu punktów materialnych możliwe jest wykluczenie z równań ruchu układu wszystkich sił wewnętrznych i tym samym umożliwienie badania ruchu całego układu. Ta metoda eliminacji wewnętrznych, w większości przypadków nieznanych sił sprzęgających, jest niezbędna do wyprowadzenia różnych praw mechaniki układu.

Absolutnie elastyczne uderzenie- zderzenie dwóch ciał, w wyniku którego w obu ciałach biorących udział w zderzeniu nie pozostają żadne odkształcenia, a cała energia kinetyczna ciał przed zderzeniem, po zderzeniu, ponownie zamienia się w pierwotną energię kinetyczną (zauważ, że jest to wyidealizowana sprawa).

W przypadku uderzenia absolutnie sprężystego spełnione są prawo zachowania energii kinetycznej i prawo zachowania pędu.

Oznaczmy prędkości kulek o masach m 1 i m 2 przed uderzeniem ν 1 I ν 2, po uderzeniu - przez ν 1 " I ν 2"(ryc. 1). W przypadku bezpośredniego uderzenia centralnego wektory prędkości piłek przed i po uderzeniu leżą na linii prostej przechodzącej przez ich środki. Rzuty wektorów prędkości na tę prostą są równe modułom prędkości. Kierunki ich uwzględnimy za pomocą znaków: pozytywne będą kojarzone z ruchem w prawo, negatywne z ruchem w lewo.

Ryc.1

Przy tych założeniach prawa zachowania mają postać

(1)

(2)

Po dokonaniu odpowiednich przekształceń w wyrażeniach (1) i (2) otrzymujemy

(3)

(4)

Rozwiązując równania (3) i (5), znajdujemy

(7)

Spójrzmy na kilka przykładów.

1. Kiedy ν 2=0

(8)
(9)

Przeanalizujmy wyrażenia (8) w (9) dla dwóch kul o różnych masach:

a) m 1 = m 2. Jeżeli druga kula przed uderzeniem wisiała nieruchomo ( ν 2=0) (rys. 2), to po uderzeniu pierwsza kula zatrzyma się ( ν 1 "=0), a druga będzie poruszać się z tą samą prędkością i w tym samym kierunku, w jakim poruszała się pierwsza kula przed uderzeniem ( ν 2"=ν 1);

Ryc.2

b) m 1 > m 2. Pierwsza kula nadal porusza się w tym samym kierunku, co przed uderzeniem, ale z mniejszą prędkością ( ν 1 "<ν 1). Prędkość drugiej piłki po uderzeniu jest większa niż prędkość pierwszej piłki po uderzeniu ( ν 2">ν 1 ") (ryc. 3);

Ryc.3

c) m 1 ν 2"<ν 1(ryc. 4);

Ryc.4

d) m 2 >>m 1 (np. zderzenie piłki ze ścianą). Z równań (8) i (9) wynika, że ν 1 "= -ν 1; ν 2"≈ 2m 1 ν 2"/m 2 .

2. Gdy m 1 = m 2 wyrażenia (6) i (7) będą miały postać ν 1 "= ν 2; ν 2"= ν 1; to znaczy, że kule o jednakowej masie wydają się wymieniać prędkości.

Absolutnie nieelastyczny wpływ- zderzenie dwóch ciał, w wyniku którego ciała te łączą się, poruszając się dalej jako jedna całość. Całkowicie nieelastyczne uderzenie można wykazać za pomocą kulek plasteliny (gliny), które poruszają się ku sobie (ryc. 5).

Ryc.5

Jeżeli masy kulek wynoszą m 1 i m 2, ich prędkości przed uderzeniem ν 1 I ν 2, a następnie korzystając z prawa zachowania pędu

Gdzie w- prędkość ruchu piłek po uderzeniu. Następnie

(15.10)

Jeśli kule zbliżą się do siebie, będą razem nadal poruszać się w kierunku, w którym piłka poruszała się z dużym pędem. W konkretnym przypadku, jeśli masy kulek są równe (m 1 = m 2), to

Określmy, jak zmienia się energia kinetyczna kulek podczas centralnego uderzenia absolutnie niesprężystego. Ponieważ podczas zderzenia kulek między nimi działają siły zależne od ich prędkości, a nie od samych odkształceń, mamy do czynienia z siłami rozpraszającymi podobnymi do sił tarcia, dlatego w tym przypadku nie należy przestrzegać prawa zachowania energii mechanicznej . W wyniku odkształcenia następuje spadek energii kinetycznej, która zamienia się w energię cieplną lub inną formę energii. Spadek ten można określić na podstawie różnicy energii kinetycznej ciał przed i po uderzeniu:

Korzystając z (10) otrzymujemy

Jeżeli uderzone ciało było początkowo nieruchome (ν 2 = 0), to

Gdy m 2 >>m 1 (masa ciała nieruchomego jest bardzo duża), to ν <<ν 1 i praktycznie cała energia kinetyczna ciała jest przekształcana w inne formy energii po uderzeniu. Dlatego np. aby uzyskać znaczne odkształcenie, kowadło musi być znacznie masywniejsze od młotka. I odwrotnie, przy wbijaniu gwoździ w ścianę masa młotka powinna być znacznie większa (m 1 >>m 2), niż ν≈ν 1 i prawie całą energię należy wydać na maksymalne wbicie gwoździa, a nie na resztkowe odkształcenie ściany.

Uderzenie całkowicie niesprężyste jest przykładem utraty energii mechanicznej pod wpływem sił rozpraszających.

1. Praca siły zmiennej.
Rozważmy punkt materialny poruszający się pod wpływem siły P po linii prostej. Jeśli siła skuteczna jest stała i skierowana po linii prostej, a przemieszczenie wynosi s, wówczas, jak wiadomo z fizyki, praca A tej siły jest równa iloczynowi Ps. Wyprowadźmy teraz wzór na obliczenie pracy wykonanej przez zmienną siłę.

Niech punkt porusza się wzdłuż osi Ox pod wpływem siły, której rzut na oś Ox jest funkcją f od x. W tym przypadku założymy, że f jest funkcja ciągła. Pod wpływem tej siły punkt materialny przesunął się z punktu M (a) do punktu M (b) (ryc. 1, a). Pokażmy, że w tym przypadku pracę A oblicza się ze wzoru

(1)

Podzielmy odcinek [a; b] na n odcinków o tej samej długości. Są to odcinki [a; x 1 ], ,..., (ryc. 1.6). Praca siły na całym odcinku [a; b] jest równa sumie pracy wykonanej przez tę siłę na powstałych odcinkach. Ponieważ f jest ciągłą funkcją x, dla wystarczająco małego odcinka [a; x 1 ] praca wykonana przez siłę na tym odcinku jest w przybliżeniu równa f (a) (x 1 -a) (zaniedbujemy fakt, że f zmienia się na odcinku). Podobnie praca wykonana przez siłę na drugim segmencie jest w przybliżeniu równa f (x 1) (x 2 - x 1) itd.; praca wykonana przez siłę na n-tym odcinku jest w przybliżeniu równa f (x n-1)(b - x n-1). W konsekwencji działanie siły na cały odcinek [a; b] jest w przybliżeniu równe:

i dokładność przybliżonej równości jest tym większa, im krótsze są odcinki, na które podzielony jest odcinek [a;b].Oczywiście ta przybliżona równość staje się dokładna, jeśli przyjmiemy, że n → ∞:

Ponieważ An dąży do całki rozważanej funkcji od a do b jako n →∞, wyprowadzamy wzór (1).
2. Moc.

Moc P to szybkość wykonanej pracy,

Tutaj v to prędkość punkt materialny, na który przykładana jest siła

Wszystkie siły spotykane w mechanice dzieli się zwykle na konserwatywny i niekonserwatywny.

Siłę działającą na punkt materialny nazywamy zachowawczą (potencjalną), jeśli praca wykonana przez tę siłę zależy tylko od początkowego i końcowego położenia punktu. Praca siły zachowawczej nie zależy ani od rodzaju trajektorii, ani od prawa ruchu punktu materialnego po trajektorii (patrz ryc. 2): .

Zmiana kierunku ruchu punktu po małej powierzchni na przeciwny powoduje zmianę znaku pracy elementarnej, zatem . Dlatego praca siły konserwatywnej po zamkniętej trajektorii 1 A 2B 1 równa się zero: .

Punkty 1 i 2 oraz odcinki zamkniętej trajektorii 1 A 2 i 2 B 1 można wybrać całkowicie dowolnie. Zatem praca siły zachowawczej wzdłuż dowolnej zamkniętej trajektorii L punktu jej przyłożenia jest równa zeru:

W tym wzorze okrąg na znaku całki pokazuje, że całkowanie odbywa się po ścieżce zamkniętej. Często zamknięta trajektoria L zwany pętlą zamkniętą L(ryc. 3). Zwykle określany przez kierunek przemieszczania się po konturze L zgodnie ze wskazówkami zegara. Kierunek wektora przemieszczenia elementarnego pokrywa się z kierunkiem przemieszczania się po konturze L. W tym przypadku wzór (5) stwierdza: cyrkulacja wektora po zamkniętej pętli L jest równa zeru.

Należy zauważyć, że siły grawitacji i sprężystości są zachowawcze, a siły tarcia niezachowawcze. W rzeczywistości, ponieważ siła tarcia jest skierowana w kierunku przeciwnym do przemieszczenia lub prędkości, praca sił tarcia po zamkniętej drodze jest zawsze ujemna, a zatem nie równa zeru.

System rozpraszający(Lub struktura rozpraszająca, z łac. rozproszenie- „rozproszyć, zniszczyć”) to układ otwarty, który działa daleko od równowagi termodynamicznej. Innymi słowy, jest to stan stabilny, który powstaje w środowisku nierównowagowym pod warunkiem rozproszenia (rozproszenia) energii pochodzącej z zewnątrz. Czasami nazywany jest także systemem rozpraszającym stacjonarny otwarty system Lub nierównowagowego układu otwartego.

System rozpraszający charakteryzuje się spontanicznym pojawieniem się złożonej, często chaotycznej struktury. Osobliwość takich układów - niezachowanie objętości w przestrzeni fazowej, czyli niespełnienie twierdzenia Liouville'a.

Prosty przykład Takim układem są ogniwa Benarda. Jako więcej złożone przykłady zwane laserami, reakcją Biełousowa-Żabotyńskiego i życiem biologicznym.

Termin „struktura rozpraszająca” wprowadził Ilya Prigogine.

Najnowsze badania z zakresu „struktur dyssypatywnych” pozwalają stwierdzić, że proces „samoorganizacji” zachodzi znacznie szybciej w obecności „szumu” zewnętrznego i wewnętrznego w systemie. Zatem efekty hałasu prowadzą do przyspieszenia procesu „samoorganizacji”.

Energia kinetyczna

energia układ mechaniczny, w zależności od prędkości ruchu jego punktów. K. e. T punkt materialny mierzy się przez połowę iloczynu masy M tego punktu przez kwadrat jego prędkości υ, tj. T = 1/ 2 mυ 2 . K. e. układ mechaniczny jest równy suma arytmetyczna K. e. wszystkie jego punkty: T =Σ 1 / 2 m k υ 2 k . Wyrażenie K. e. systemy można również przedstawić w formie T = 1 / 2 Mυ s 2 + Tc, Gdzie M- masa całego układu, υ do- prędkość środka masy, Tc - K. e. układ w ruchu wokół środka masy. K. e. solidny, poruszając się translacyjnie, oblicza się w taki sam sposób jak K. e. punkt z masą równa masie całego ciała. Wzory do obliczania K. e. ciała obracającego się wokół stałej osi, zob. art. Ruch obrotowy.

Zmiana w K. e. system po przesunięciu ze swojego miejsca (konfiguracja) 1 na pozycję 2 zachodzi pod wpływem sił zewnętrznych i wewnętrznych przyłożonych do układu i jest równa sumie pracy . Równość ta wyraża twierdzenie o zmianie energii dynamicznej, za pomocą którego rozwiązuje się wiele problemów dynamiki.

Przy prędkościach bliskich prędkości światła K. e. punkt materialny

Gdzie m 0- masa punktu w spoczynku, Z- prędkość światła w próżni ( m 0 s 2- energia punktu w spoczynku). Przy małych prędkościach ( υ<< c ) ostatnia relacja przechodzi do zwykłego wzoru 1/2 mυ 2.

Energia kinetyczna.

Energia kinetyczna - energia poruszającego się ciała. (Od greckiego słowa kinema - ruch). Z definicji energia kinetyczna ciała znajdującego się w spoczynku w danym układzie odniesienia zanika.

Pozwól ciału poruszać się pod wpływem stały siła w kierunku siły.

Następnie: .

Ponieważ ruch jest jednostajnie przyspieszany, wówczas: .

Stąd: .

- nazywa się energią kinetyczną

Siły działające na dowolny punkt układu mechanicznego dzielą się na wewnętrzne i zewnętrzne.

Fi- wewnętrzna siła

Fe– siła zewnętrzna

Wewnętrzny nazywane są siłami, z którymi działają na siebie punkty zawarte w układzie.

Zewnętrzny nazywane są siłami przykładanymi do punktów z zewnątrz, to znaczy z innych punktów lub ciał nieuwzględnionych w układzie. Podział sił na wewnętrzne i zewnętrzne jest warunkowy.

mg – siła zewnętrzna

Ftr – siła wewnętrzna

Układ mechaniczny. Siły zewnętrzne i wewnętrzne.

Mechaniczny system punktów lub ciał materialnych to ich zbiór, w którym położenie lub ruch każdego punktu (lub ciała) zależy od położenia i ruchu wszystkich pozostałych.

Materialne ciało absolutnie stałe będziemy również rozważać jako układ punktów materialnych tworzących to ciało i połączonych ze sobą w taki sposób, że odległości między nimi nie zmieniają się i pozostają przez cały czas stałe.

Klasycznym przykładem układu mechanicznego jest układ słoneczny, w którym wszystkie ciała są połączone siłami wzajemnego przyciągania. Innym przykładem układu mechanicznego jest dowolna maszyna lub mechanizm, w którym wszystkie korpusy są połączone zawiasami, prętami, kablami, paskami itp. (tj. różne połączenia geometryczne). W tym przypadku na korpusy układu działają wzajemne siły nacisku lub rozciągania przenoszone poprzez połączenia.

Zbiór ciał, pomiędzy którymi nie występują siły oddziaływania (na przykład grupa samolotów lecących w powietrzu), nie tworzy układu mechanicznego.

Zgodnie z tym, co zostało powiedziane, siły działające na punkty lub ciała układu można podzielić na zewnętrzne i wewnętrzne.

Siły zewnętrzne to siły działające na punkty układu z punktów lub ciał, które nie są częścią danego układu.

Siły wewnętrzne to siły działające na punkty układu z innych punktów lub ciał tego samego układu. Siły zewnętrzne będziemy oznaczać symbolem - , a siły wewnętrzne - .

Zarówno siły zewnętrzne, jak i wewnętrzne mogą z kolei być aktywne lub reagować na połączenia.

Reakcje połączeń, czyli po prostu reakcje, to siły ograniczające ruch punktów w układzie (ich współrzędne, prędkość itp.). W statyce były to siły zastępujące połączenia. W dynamice wprowadzono dla nich bardziej ogólną definicję.

Siły aktywne lub dane nazywane są wszystkimi innymi siłami, wszystkimi z wyjątkiem reakcji.

Konieczność takiej klasyfikacji sił stanie się jasna w następnych rozdziałach.

Podział sił na zewnętrzne i wewnętrzne jest warunkowy i zależy od ruchu, jaki układ ciał rozważamy. Na przykład, jeśli weźmiemy pod uwagę ruch całego Układu Słonecznego jako całości, wówczas siła przyciągania Ziemi do Słońca będzie wewnętrzna; badając ruch Ziemi na orbicie wokół Słońca, ta sama siła będzie uważana za zewnętrzną.

Siły wewnętrzne mają następujące właściwości:

1. Suma geometryczna (wektor główny) wszystkich sił wewnętrznych F12 i F21 układu jest równa zero. W rzeczywistości, zgodnie z trzecią zasadą dynamiki, dowolne dwa punkty układu (ryc. 31) działają na siebie z równą wielkością i przeciwnie skierowanymi siłami, których suma jest równa zero. Ponieważ podobny wynik obowiązuje dla dowolnej pary punktów w systemie, to

2. Suma momentów (momentu głównego) wszystkich sił wewnętrznych układu względem dowolnego środka lub osi jest równa zeru. Rzeczywiście, jeśli weźmiemy dowolne centrum O, to z ryc. 18 jasno wynika, że ​​. Podobny wynik uzyskamy obliczając momenty wokół osi. Zatem dla całego systemu będzie:

Z udowodnionych właściwości nie wynika jednak, że siły wewnętrzne wzajemnie się równoważą i nie wpływają na ruch układu, gdyż siły te przykładane są do różnych punktów lub ciał materialnych i mogą powodować wzajemne ruchy tych punktów lub ciał. Siły wewnętrzne zrównoważą się, gdy rozważany układ będzie ciałem absolutnie sztywnym.

30Twierdzenie o ruchu środka masy.

Waga systemu równa się algebraicznej sumie mas wszystkich punktów lub ciał układu w jednorodnym polu grawitacyjnym, dla których ciężar dowolnej cząstki ciała jest proporcjonalny do jej masy. Dlatego rozkład mas w ciele można określić na podstawie położenia jego środka ciężkości - punktu geometrycznego C, którego współrzędne nazywane są środkiem masy lub środkiem bezwładności układu mechanicznego

Twierdzenie o ruchu środka masy układu mechanicznego : środek masy układu mechanicznego porusza się jak punkt materialny, którego masa jest równa masie układu i do którego przyłożone są wszystkie siły zewnętrzne działające na układ

Wnioski:

Układ mechaniczny lub ciało sztywne można uznać za punkt materialny w zależności od charakteru jego ruchu, a nie od jego wielkości.

Twierdzenie o ruchu środka masy nie uwzględnia sił wewnętrznych.

Twierdzenie o ruchu środka masy nie charakteryzuje ruchu obrotowego układu mechanicznego, a jedynie ruch translacyjny

Prawo zachowania ruchu środka masy układu:

1. Jeżeli suma sił zewnętrznych (wektor główny) jest stale równa zeru, to środek masy układu mechanicznego pozostaje w spoczynku lub porusza się równomiernie i prostoliniowo.

2. Jeżeli suma rzutów wszystkich sił zewnętrznych na dowolną oś jest równa zeru, to rzut prędkości środka masy układu na tę samą oś jest wartością stałą.

Równanie wyraża twierdzenie o ruchu środka masy układu: iloczyn masy układu i przyspieszenia jego środka masy jest równy sumie geometrycznej wszystkich sił zewnętrznych działających na układ. Porównując z równaniem ruchu punktu materialnego, otrzymujemy inny wyraz twierdzenia: środek masy układu porusza się jak punkt materialny, którego masa jest równa masie całego układu i do którego dochodzą wszystkie zewnętrzne przyłożone są siły działające na układ.

Jeżeli wyrażenie (2) wstawimy do (3), to biorąc pod uwagę fakt, że otrzymamy:

(4’) – wyraża twierdzenie o ruchu środka masy układu: środek masy układu porusza się jako punkt materialny, na który działają wszystkie siły układu.

Wnioski:

1. Siły wewnętrzne nie wpływają na ruch środka masy układu.

2. Jeżeli , ruch środka masy układu odbywa się ze stałą prędkością.

3., wówczas ruch środka masy układu w rzucie na oś następuje ze stałą prędkością.

Równania te są równaniami różniczkowymi ruchu środka masy w rzutach na osie kartezjańskiego układu współrzędnych.

Znaczenie udowodnionego twierdzenia jest następujące.

1) Twierdzenie uzasadnia metody dynamiki punktowej. Z równań wynika, że ​​rozwiązania, które otrzymujemy, uznając dane ciało za punkt materialny, wyznaczają prawo ruchu środka masy tego ciała, tj. mają bardzo konkretne znaczenie.

W szczególności, jeśli ciało porusza się translacyjnie, to jego ruch jest całkowicie zdeterminowany ruchem środka masy. Zatem ciało poruszające się translacyjnie można zawsze uznać za punkt materialny o masie równej masie ciała. W pozostałych przypadkach ciało można uznać za punkt materialny tylko wtedy, gdy w praktyce do określenia położenia ciała wystarczy znać położenie jego środka masy.

2) Twierdzenie pozwala przy wyznaczaniu prawa ruchu środka masy dowolnego układu wykluczyć z rozważań wszystkie nieznane wcześniej siły wewnętrzne. Na tym polega jego wartość praktyczna.

Zatem ruch samochodu w płaszczyźnie poziomej może nastąpić jedynie pod wpływem sił zewnętrznych, sił tarcia działających na koła z drogi. Hamowanie samochodu jest również możliwe tylko przy tych siłach, a nie przy tarciu między klockami hamulcowymi a bębnem hamulcowym. Jeśli droga jest gładka, to niezależnie od tego, jak mocno zahamujesz koła, będą się one ślizgać i nie zatrzymają samochodu.

Lub po eksplozji lecącego pocisku (pod wpływem sił wewnętrznych) jego części, fragmenty rozproszą się, tak że ich środek masy będzie poruszał się po tej samej trajektorii.

Twierdzenie o ruchu środka masy układu mechanicznego należy stosować do rozwiązywania problemów mechaniki wymagających:

Wykorzystując siły działające na układ mechaniczny (najczęściej na ciało stałe), wyznacz prawo ruchu środka masy;

Zgodnie z podanym prawem ruchu ciał wchodzących w skład układu mechanicznego znaleźć reakcje połączeń zewnętrznych;

Na podstawie zadanego wzajemnego ruchu ciał wchodzących w skład układu mechanicznego wyznaczyć prawo ruchu tych ciał względem jakiegoś ustalonego układu odniesienia.

Korzystając z tego twierdzenia, można utworzyć jedno z równań ruchu układu mechanicznego o kilku stopniach swobody.

Przy rozwiązywaniu problemów często wykorzystuje się wnioski z twierdzenia o ruchu środka masy układu mechanicznego.

Wniosek 1. Jeżeli główny wektor sił zewnętrznych przyłożonych do układu mechanicznego jest równy zeru, to środek masy układu pozostaje w spoczynku lub porusza się równomiernie i prostoliniowo. Ponieważ przyspieszenie środka masy wynosi zero, .

Wniosek 2. Jeżeli rzut głównego wektora sił zewnętrznych na dowolną oś wynosi zero, to środek masy układu albo nie zmienia swojego położenia względem tej osi, albo porusza się względem niej równomiernie.

Na przykład, jeśli na ciało zaczną działać dwie siły, tworząc parę sił (ryc. 38), wówczas jego środek masy C będzie przemieszczał się po tej samej trajektorii. A samo ciało będzie się obracać wokół środka masy. I nie ma znaczenia, gdzie przyłożone zostaną te siły.

Układ mechaniczny to zbiór materialnych punktów lub ciał, w którym położenie lub ruch każdego punktu lub ciała zależy od położenia i ruchu wszystkich pozostałych. Tak więc, na przykład, badając ruch Ziemi i Księżyca względem Słońca, całość Ziemi i Księżyca jest układem mechanicznym składającym się z dwóch punktów materialnych; kiedy pocisk rozpada się na fragmenty, uważamy je za układ mechaniczny. Układ mechaniczny to dowolny mechanizm lub maszyna.

Jeżeli odległości między punktami układu mechanicznego nie zmieniają się podczas ruchu lub spoczynku układu, wówczas taki układ mechaniczny nazywa się niezmienny.

Koncepcja niezmiennego układu mechanicznego umożliwia badanie dowolnego ruchu ciał stałych w dynamice. W tym przypadku, podobnie jak w statyce i kinematyce, przez ciało sztywne będziemy rozumieć ciało materialne, w którym odległość pomiędzy każdym z dwóch punktów nie zmienia się podczas ruchu ciała lub jego spoczynku. Każde ciało stałe można mentalnie podzielić na wystarczająco dużą liczbę wystarczająco małych części, których całość można w przybliżeniu uznać za układ mechaniczny. Ponieważ ciało stałe tworzy ciągłą rozciągłość, aby ustalić jego dokładne (a nie przybliżone) właściwości, konieczne jest dokonanie granicznego przejścia, ostatecznego rozdrobnienia ciała, gdy rozmiary rozważanych części ciała jednocześnie mają tendencję do zero.

Zatem znajomość praw ruchu układów mechanicznych pozwala nam badać prawa dowolnego ruchu ciał stałych.

Wszystkie siły działające na punkty układu mechanicznego dzielą się na siły zewnętrzne i wewnętrzne.

Siły zewnętrzne w stosunku do danego układu mechanicznego to siły działające na punkty tego układu od punktów materialnych lub ciał nie wchodzących w skład układu. Oznaczenia: - siła zewnętrzna przyłożona do th punktu; -główny wektor sił zewnętrznych; - główny moment sił zewnętrznych względem bieguna.

Siły wewnętrzne to siły, którymi punkty lub ciała materialne wchodzące w skład danego układu mechanicznego działają na punkty lub ciała tego samego układu. Inaczej mówiąc, siły wewnętrzne to siły oddziaływania pomiędzy punktami lub ciałami danego układu mechanicznego. Oznaczenia: - siła wewnętrzna przyłożona do th punktu; -główny wektor sił wewnętrznych; - główny moment sił wewnętrznych względem bieguna.

3.2 Właściwości sił wewnętrznych.

Pierwsza nieruchomość.To znaczy główny wektor wszystkich sił wewnętrznych układu mechanicznego jest równy zeru

. (3.1)

Druga nieruchomość.Główny moment wszystkich sił wewnętrznych układu mechanicznego względem dowolnego bieguna lub osi jest równy zero

, . (3.2)

Ryc.17

Aby udowodnić te właściwości, zauważamy, że skoro siły wewnętrzne są siłami oddziaływania punktów materialnych wchodzących w skład układu, to zgodnie z trzecim prawem Newtona dowolne dwa punkty układu (ryc. 17) działają na siebie siłami i równymi co do wielkości i odwrotnie.

Zatem dla każdej siły wewnętrznej istnieje bezpośrednio przeciwna siła wewnętrzna i dlatego siły wewnętrzne tworzą pewien zbiór parami przeciwnych sił. Ale suma geometryczna dwóch bezpośrednio przeciwnych sił wynosi zero, więc

.

Jak wykazano w statyce, suma geometryczna momentów dwóch bezpośrednio przeciwnych sił względem tego samego bieguna jest równa zeru, zatem

.

Podobny wynik uzyskuje się przy obliczaniu głównego momentu wokół osi

.

3.3 Różniczkowe równania ruchu układu mechanicznego.

Rozważmy układ mechaniczny składający się z punktów materialnych, których masy wynoszą . Dla każdego punktu stosujemy podstawowe równanie dynamiki punktu

, ,

, (3.3)

de jest wypadkową sił zewnętrznych przyłożonych do th punktu i jest wypadkową sił wewnętrznych.

Nazywa się układ równań różniczkowych (3.3). równania różniczkowe ruchu układu mechanicznego w postaci wektorowej.

Otrzymujemy rzutując równania wektorowe (3.3) na prostokątne osie współrzędnych kartezjańskich równania różniczkowe ruchu układu mechanicznego w postaci współrzędnych:

,

, (3.4)

,

.

Równania te są układem równań różniczkowych zwyczajnych drugiego rzędu. W konsekwencji, aby znaleźć ruch układu mechanicznego przy zadanych siłach i warunkach początkowych dla każdego punktu tego układu, konieczne jest całkowanie układu równań różniczkowych. Całkowanie układu równań różniczkowych (3.4), ogólnie rzecz biorąc, wiąże się ze znacznymi, często nie do pokonania, trudnościami matematycznymi. Jednakże w mechanice teoretycznej opracowano metody, które pozwalają ominąć główne trudności, które pojawiają się przy stosowaniu różniczkowych równań ruchu układu mechanicznego w postaci (3.3) lub (3.4). Należą do nich metody dostarczające ogólnych twierdzeń o dynamice układu mechanicznego, ustanawiające prawa zmian niektórych całkowitych (integralnych) cech układu jako całości, a nie wzorców ruchu jego poszczególnych elementów. Są to tak zwane miary ruchu – główny wektor pędu; główny moment pędu; energia kinetyczna. Znając charakter zmiany tych wielkości, można stworzyć częściowy, a czasem pełny obraz ruchu układu mechanicznego.

IV. PODSTAWOWE (OGÓLNE) TWIERDZENIA DYNAMIKI PUNKTU I UKŁADU

4.1 Twierdzenie o ruchu środka masy.

4.1.1 Środek masy układu mechanicznego.

Rozważmy układ mechaniczny składający się z punktów materialnych, których masy wynoszą .

Masa układu mechanicznego, składający się z punktów materialnych, sumę mas punktów układu nazwiemy:

Definicja.Środek masy układu mechanicznego jest punktem geometrycznym, którego wektor promienia jest określony wzorem:

gdzie jest wektorem promienia środka masy; -wektory promieni punktów układu; -ich masy (ryc. 18).

; ; . (4.1")

Środek masy nie jest punktem materialnym, ale geometryczny. Nie może pokrywać się z żadnym materialnym punktem układu mechanicznego. W jednolitym polu grawitacyjnym środek masy pokrywa się ze środkiem ciężkości. Nie oznacza to jednak, że pojęcia środka masy i środka ciężkości są takie same. Pojęcie środka masy ma zastosowanie do wszelkich układów mechanicznych, a pojęcie środka ciężkości ma zastosowanie tylko do układów mechanicznych znajdujących się pod wpływem grawitacji (to znaczy przyciągania do Ziemi). I tak na przykład w mechanice nieba, rozpatrując problem ruchu dwóch ciał, na przykład Ziemi i Księżyca, można uwzględnić środek masy tego układu, ale nie można uwzględnić środka ciężkości.

Zatem pojęcie środka masy jest szersze niż pojęcie środka ciężkości.

4.1.2. Twierdzenie o ruchu środka masy układu mechanicznego.

Twierdzenie. Środek masy układu mechanicznego porusza się jako punkt materialny, którego masa jest równa masie całego układu i do którego przyłożone są wszystkie siły zewnętrzne działające na układ, czyli

. (4.2)

Tutaj -główny wektor sił zewnętrznych.

Dowód. Rozważmy układ mechaniczny, którego punkty materialne poruszają się pod wpływem sił zewnętrznych i wewnętrznych. jest wypadkową sił zewnętrznych przyłożonych do th punktu i jest wypadkową sił wewnętrznych. Zgodnie z (3.3) równanie ruchu tego punktu ma postać

, .

Dodając lewą i prawą stronę tych równań, otrzymujemy

.

Ponieważ główny wektor sił wewnętrznych jest równy zero (sekcja 3.2, pierwsza właściwość), to

.

Przekształćmy lewą stronę tej równości. Ze wzoru (4.1), który wyznacza wektor promienia środka masy, wynika:

.

W dalszej części będziemy zakładać, że brane są pod uwagę tylko układy mechaniczne o stałym składzie, to znaczy i . Weźmy drugą pochodną po czasie z obu stron tej równości

Ponieważ , - przyspieszenie środka masy układu, a następnie ostatecznie

.

Rzutując obie strony tej równości wektora na osie współrzędnych, otrzymujemy:

,

, (4.3)

,

gdzie , , to rzuty siły;

Rzuty wektora głównego sił zewnętrznych na osie współrzędnych.

Równania (4.3)- równania różniczkowe ruchu środka masy układu mechanicznego w rzutach na osie współrzędnych kartezjańskich.

Z równań (4.2) i (4.3) wynika, że Same siły wewnętrzne nie mogą zmienić charakteru ruchu środka masy układu mechanicznego. Siły wewnętrzne mogą mieć pośredni wpływ na ruch środka masy jedynie poprzez siły zewnętrzne. Na przykład w samochodzie siły wewnętrzne wytwarzane przez silnik wpływają na ruch środka masy poprzez siły tarcia kół i nawierzchni.

4.1.3. Prawa zachowania ruchu środka masy

(wnioski z twierdzenia).

Z twierdzenia o ruchu środka masy można wyciągnąć następujące wnioski.

Wniosek 1.Jeżeli główny wektor sił zewnętrznych działających na układ wynosi zero, to jego środek masy pozostaje w spoczynku lub porusza się prostoliniowo i równomiernie.

Rzeczywiście, jeśli wektor główny sił zewnętrznych wynosi , to z równania (4.2):

Jeżeli w szczególności prędkość początkowa środka masy wynosi , to środek masy znajduje się w spoczynku. Jeżeli prędkość początkowa wynosi , to środek masy porusza się prostoliniowo i równomiernie.

Konsekwencja 2.Jeżeli rzut wektora głównego sił zewnętrznych na dowolną stałą oś wynosi zero, to rzut prędkości środka masy układu mechanicznego na tę oś nie ulega zmianie.

Konsekwencja ta wynika z równań (4.3). Niech więc np

,

stąd. Jeżeli w chwili początkowej , to:

to znaczy rzut środka masy układu mechanicznego na oś w tym przypadku nie będzie się przesuwał wzdłuż osi. Jeżeli , to rzut środka masy na oś porusza się równomiernie.

4.2 Wielkość ruchu punktu i układu.

Twierdzenie o zmianie pędu.

4.2.1. Wielkość ruchu punktu i układu.

Definicja. Wielkość ruchu punktu materialnego jest wektorem równym iloczynowi masy punktu i jego prędkości, tj

. (4.5)

Wektor współliniowy z wektorem i skierowany stycznie do trajektorii punktu materialnego (ryc. 19).

W fizyce często nazywany jest pęd punktu impuls punktu materialnego.

Wymiar pędu w SI-kg·m/s lub N·s.

Definicja. Wielkość ruchu układu mechanicznego jest wektorem równym sumie wektorowej wielkości ruchów (wektor główny wielkości ruchów) poszczególnych punktów wchodzących w skład układu, czyli

(4.6)

Rzuty pędu na prostokątne osie współrzędnych kartezjańskich:

Wektor pędu układu w przeciwieństwie do wektora pędu punktu, nie ma on punktu przyłożenia. Wektor pędu punktu jest przykładany do najbardziej poruszającego się punktu i wektora jest wektorem swobodnym.

Lemat wielkości ruchu. Pęd układu mechanicznego jest równy masie całego układu pomnożonej przez prędkość jego środka masy, czyli

Dowód. Ze wzoru (4.1), który wyznacza wektor promienia środka masy, wynika:

.

Weźmy pochodną czasu obu stron

, Lub .

Stąd dostajemy , co należało udowodnić.

Ze wzoru (4.8) wynika, że ​​jeżeli ciało porusza się w taki sposób, że jego środek masy pozostaje nieruchomy, to pęd ciała wynosi zero. Na przykład wielkość ruchu ciała obracającego się wokół stałej osi przechodzącej przez jego środek masy (ryc. 20),

, ponieważ

Jeśli ruch ciała jest płaszczyznowo-równoległy, wówczas wielkość ruchu nie będzie charakteryzowała obrotowej części ruchu wokół środka masy. Przykładowo dla koła, które się toczy (rys. 21), niezależnie od tego, jak koło obraca się wokół środka masy. Wielkość ruchu charakteryzuje jedynie część translacyjną ruchu wraz ze środkiem masy.

4.2.2. Twierdzenie o zmianie pędu układu mechanicznego

w formie różnicowej.

Twierdzenie.Pochodna czasowa pędu układu mechanicznego jest równa sumie geometrycznej (wektorowi głównemu) sił zewnętrznych działających na ten układ, tj.

. (4.9)

Dowód. Rozważmy układ mechaniczny składający się z punktów materialnych, których masy wynoszą ; -wynik sił zewnętrznych przyłożonych do th punktu. Zgodnie z lematem o pędzie wzór (4.8):

Weźmy pochodną po czasie z obu stron tej równości

.

Prawa strona tej równości z twierdzenia o ruchu środka masy to wzór (4.2):

.

Wreszcie:

i twierdzenie zostało udowodnione .

W rzutach na prostokątne osie współrzędnych kartezjańskich:

; ; , (4.10)

to jest pochodna czasu rzutu pędu układu mechanicznego na dowolną oś współrzędnych jest równa sumie rzutów (rzutu wektora głównego) wszystkich sił zewnętrznych układu na tę samą oś.

4.2.3. Prawa zachowania pędu

(wnioski z twierdzenia)

Wniosek 1.Jeżeli główny wektor wszystkich sił zewnętrznych układu mechanicznego jest równy zeru, wówczas wielkość ruchu układu jest stała pod względem wielkości i kierunku.

Rzeczywiście, jeśli , to z twierdzenia o zmianie pędu, czyli z równości (4.9) wynika, że

Konsekwencja 2.Jeżeli rzut wektora głównego wszystkich sił zewnętrznych układu mechanicznego na pewną stałą oś jest równy zeru, to rzut pędu układu na tę oś pozostaje stały.

Niech rzut wektora głównego wszystkich sił zewnętrznych na oś będzie równy zero: . Następnie z pierwszej równości (4.10):

4.2.4. Twierdzenie o zmianie pędu układu mechanicznego

w formie integralnej.

Elementarny impuls siły nazywa się wielkością wektorową równą iloczynowi wektora siły i elementarnego przedziału czasu

. (4.11)

Kierunek impulsu elementarnego pokrywa się z kierunkiem wektora siły.

Impuls siły w skończonym okresie czasu równy pewnej całce pędu elementarnego

. (4.12)

Jeśli siła jest stała pod względem wielkości i kierunku (), to jej impuls w czasie równy:

Rzuty impulsu siły na osie współrzędnych:

Udowodnijmy twierdzenie o zmianie pędu układu mechanicznego w postaci całkowej.

Twierdzenie.Zmiana pędu układu mechanicznego w pewnym okresie czasu jest równa sumie geometrycznej impulsów sił zewnętrznych układu w tym samym okresie czasu, tj.

(4.14)

Dowód. Niech w chwili czasu wielkość ruchu układu mechanicznego będzie równa, a w chwili czasu -; -impuls siły zewnętrznej działającej na th punkt czasu.

Korzystamy z twierdzenia o zmianie pędu w postaci różniczkowej - równość (4.9):

.

Mnożąc obie strony tej równości przez i całkując w zakresie od do , otrzymujemy

, , .

Udowodniono twierdzenie o zmianie pędu w postaci całkowej.

W rzutach na osie współrzędnych zgodnie z (4.14):

,

, (4.15)

.

4.3. Twierdzenie o zmianie momentu pędu.

4.3.1. Moment kinetyczny punktu i układu.

W statyce wprowadzono i szeroko zastosowano pojęcia momentów siły względem bieguna i osi. Ponieważ pęd punktu materialnego jest wektorem, można wyznaczyć jego momenty względem bieguna i osi w taki sam sposób, jak wyznacza się momenty siły.

Definicja. względem bieguna nazywa się momentem jego wektora pędu względem tego samego bieguna, tj.

. (4.16)

Pęd punktu materialnego względem bieguna jest wektorem (ryc. 22) skierowanym prostopadle do płaszczyzny zawierającej wektor i biegun w kierunku, z którego wektor jest względem bieguna widoczne w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Moduł wektorowy

równa iloczynowi modułu i ramienia - długość pionu opuszczonego ze słupa na linii działania wektora:

Moment pędu względem bieguna można przedstawić jako iloczyn wektorowy: moment pędu punktu materialnego względem bieguna jest równy iloczynowi wektora promienia wektora poprowadzonego od bieguna do punktu przez wektor pędu:

(4.17)

Definicja. Moment kinetyczny punktu materialnego stosunkowo oś nazywa się momentem jej wektora pędu względem tej samej osi, tj.

. (4.18)

Moment kinetyczny punktu materialnego względem osi (ryc. 23) jest równy iloczynowi rzutu wektora ze znakiem plus lub minus na płaszczyznę prostopadłą do osi , na ramieniu tej projekcji:

gdzie ramię jest długością prostopadłej opuszczonej z punktu skrzyżowania osi z płaszczyzną na linii działania rzutu i patrząc w kierunku osi , rzut względem punktu jest widoczny skierowane przeciwnie do ruchu wskazówek zegara i w inny sposób.

Wymiar momentu kinetycznego w SI-kg m 2 /s lub N m s.

Definicja. Moment kinetyczny lub główny moment pędu układu mechanicznego względem bieguna jest wektorem równym geometrycznej sumie momentów kinetycznych wszystkich punktów materialnych układu względem tego bieguna:

. (4.19)

Definicja. Moment kinetyczny lub główny moment pędu układu mechanicznego względem osi to algebraiczna suma momentów kinetycznych wszystkich punktów materialnych układu względem tej osi:

. (4.20)

Momenty kinetyczne układu mechanicznego względem bieguna i osi przechodzącej przez ten biegun powiązane są tą samą zależnością, co momenty główne układu sił względem bieguna i osi:

-rzut momentu kinetycznego układu mechanicznego względem bieguna na oś ,przejście przez ten biegun jest równe momentowi pędu układu względem tej osi, tj.

. (4.21)

4.3.2. Twierdzenia o zmianie momentu kinetycznego układu mechanicznego.

Rozważmy układ mechaniczny składający się z punktów materialnych, których masy wynoszą . Udowodnijmy twierdzenie o zmianie momentu pędu układu mechanicznego względem bieguna.

Twierdzenie.Pochodna po czasie momentu kinetycznego układu mechanicznego względem nieruchomego bieguna jest równa głównemu momentowi sił zewnętrznych układu względem tego samego bieguna, tj.

. (4.22)

Dowód. Wybierzmy jakiś stały słup . Moment kinetyczny układu mechanicznego względem tego bieguna z definicji jest równy (4.19):

.

Zróżniczkujmy to wyrażenie ze względu na czas:

Spójrzmy na prawą stronę tego wyrażenia. Obliczanie pochodnej iloczynu:

, (4.24)

Bierze się tu pod uwagę, że. Wektory i mają ten sam kierunek, ich iloczyn wektorowy jest równy zero, zatem pierwsza suma jest równa (4.24).

Siły zewnętrzne to siły działające na ciało z punktów lub ciał, które nie są częścią danego ciała lub układu. Siły wewnętrzne to takie, z którymi punkty danego ciała oddziałują na siebie.

Zniszczenie lub nawet zwykła awaria elementu konstrukcyjnego jest możliwa tylko przy wzroście sił wewnętrznych i przejściu przez pewną barierę ograniczającą. Wygodnie jest obliczyć wysokość tej bariery od poziomu odpowiadającego brakowi sił zewnętrznych. Zasadniczo należy uwzględnić tylko dodatkowe siły wewnętrzne, które powstają tylko w obecności sił zewnętrznych. W mechanice te dodatkowe siły wewnętrzne nazywane są po prostu siłami wewnętrznymi w wąskim, mechanicznym znaczeniu.

Siły wewnętrzne określa się za pomocą „metody przekrojów”, która opiera się na dość oczywistym stwierdzeniu: jeśli ciało jako całość znajduje się w równowadze, to każda odizolowana od niego część również jest w tym stanie

Rysunek 2.1.5

Rozważmy pręt będący w równowadze pod działaniem układu sił zewnętrznych, rys. 2.1.5, za. Podzielmy to mentalnie na dwie części, korzystając z odcinka AB, ryc. 2.1.5, b. Do każdego z odcinków AB lewej i prawej części przyłożymy układ sił odpowiadający siłom wewnętrznym działającym w rzeczywistym ciele, rys. 1.7, ok. Zatem metodą przekrojów siły wewnętrzne przekształcane są w siły zewnętrzne w stosunku do każdej z odciętych części ciała, co pozwala wyznaczyć je z warunków równowagi każdej z tych części z osobna.

Przekrój AB można zorientować w dowolny sposób, jednak do dalszych rozważań wygodniejszy okazuje się przekrój prostopadły do ​​osi podłużnej pręta.

Wprowadźmy następującą notację:

główne wektory i główne momenty sił zewnętrznych i wewnętrznych przyłożonych do lewej części odciętej. Uwzględniając wprowadzoną notację, warunki równowagi tego ciała można zapisać jako:

0, + =0 (2.1.1)

Podobne wyrażenia można zestawić dla prawej odciętej części pręta. Po prostych przekształceniach można otrzymać:

=- , =- (2.1.1)

co można zinterpretować jako konsekwencję znanego prawa mechaniki: działaniu zawsze towarzyszy równa i przeciwna reakcja.

W przypadku rozwiązania problemu działania dynamicznego na pręt można zwrócić się do znanej zasady d’Alemberta, zgodnie z którą do sił zewnętrznych dodaje się siły bezwładności, co ponownie sprowadza problem do równań równowagi. Dlatego procedura metody przekroju pozostaje

Wartości i nie zależą od orientacji przekroju AB (patrz ryc. 2.1.5). Jednak w praktycznych obliczeniach najwygodniej jest zastosować przekrój poprzeczny. W tym przypadku normalna do przekroju pokrywa się z osią wzdłużną pręta. Ponadto wektor główny i główny moment sił wewnętrznych są zwykle przedstawiane w postaci ich rzutów na ortogonalne osie współrzędnych, przy czym jedna z osi (na przykład oś x) jest zgodna ze wspomnianą normalną, patrz ryc. 2.1.6.

Rysunek 2.1.6

Rozwińmy wektory , , , wzdłuż osi współrzędnych, rys. 2.1.6, ad. Składniki wektora głównego i momentu głównego mają ogólnie przyjęte nazwy. Siła N x normalna do płaszczyzny przekroju nazywana jest siłą normalną (wzdłużną), a Q x i Q y nazywane są siłami poprzecznymi (tnącymi). Chwile o osiach Na I z, tj. M y i M z będą zginane i moment względem osi podłużnej X, tj. M x - moment obrotowy.

Składowe głównego momentu sił wewnętrznych w oporach materiałów najczęściej przedstawia się w sposób pokazany na rys. 2.1.6, d i f.

Równania równowagi wektorowej można przedstawić jako rzut na osie współrzędnych:

Zatem każdą składową wektora głównego momentu głównego sił wewnętrznych oblicza się jako sumę rzutów wszystkich sił zewnętrznych na odpowiednią oś lub jako sumę momentów wszystkich sił zewnętrznych względem tej osi (uwzględniając przyjęta zasada znaku), umieszczonego po jednej stronie przekroju.

Rzut wektora na oś współrzędnych, będący wielkością skalarną, może być dodatni lub ujemny. Zależy to od tego, czy kierunek rzutu pokrywa się odpowiednio z dodatnim, czy ujemnym kierunkiem osi. W przypadku sił wewnętrznych regułę tę stosuje się tylko w przypadku, gdy jest normalna X jest zewnętrzny, jak miało to miejsce w przypadku lewej odciętej części na ryc. 2.1.6. W sytuacji normalnej X jest wewnętrzny, patrz prawa odcięta część na ryc. 2.1.6 znak siły wewnętrznej przyjmuje się dodatni, gdy jej kierunek pokrywa się z ujemnym kierunkiem osi. Na ryc. 2.1.6 wszystkie rzuty sił wewnętrznych N x , Q x , Q y , M x , M y i M z (zarówno te związane z lewą, jak i prawą częścią odcięcia) są przedstawiane jako dodatnie.

Odkształcenie, wytrzymałość i sztywność. Wytrzymałość materiałów jest częścią mechaniki zajmującą się projektowaniem elementów konstrukcyjnych pod kątem wytrzymałości, sztywności i stabilności.

Wytrzymałość materiałów opiera się na znajomości mechaniki teoretycznej. Jeżeli jednak przedmiotem mechaniki teoretycznej jest ciało absolutnie sztywne, to opór materiałów uwzględnia ciała stałe odkształcalne.

W praktyce rzeczywiste części maszyn i konstrukcji narażone są na działanie różnego rodzaju sił. Pod wpływem tych sił następuje deformacja ciał, tj. zmiana względnego ułożenia cząstek materiału. Jeśli siły będą wystarczająco silne, możliwe jest zniszczenie ciała.

Zdolność ciała do przyjmowania obciążeń bez zniszczenia i dużych odkształceń nazywa się odpowiednio wytrzymałością i sztywnością.

Niektóre stany równowagi ciał i konstrukcji okazują się niestabilne, tj. takie, w których drobne uderzenia mechaniczne, zwykle o charakterze losowym, mogą prowadzić do znacznych odchyleń od tych warunków. Jeśli odchylenia są również małe, wówczas takie stany równowagi nazywamy stabilnymi.

Siły zewnętrzne. Do sił zewnętrznych działających na konstrukcję zalicza się siły czynne (obciążenia) i reakcje połączeń zewnętrznych. Istnieje kilka rodzajów obciążeń.

Skoncentrowana siła przyłożona w jednym punkcie. Wprowadza się go zamiast rzeczywistych sił działających na niewielki obszar powierzchni elementu konstrukcyjnego, którego wymiary można pominąć.

Rozproszone siły. Na przykład siły ciśnienia cieczy na dnie naczynia odnoszą się do obciążeń rozłożonych na powierzchni i są mierzone w jednostkach, a siły ciężaru odnoszą się do obciążeń rozłożonych w objętości i mierzonych w jednostkach. W niektórych przypadkach wprowadza się obciążenie rozłożone wzdłuż linii, którego intensywność jest mierzona

Jedną z opcji obciążenia jest moment skupiony (para sił).

Siły wewnętrzne w pręcie. Najpopularniejszym elementem konstrukcyjnym jest pręt, dlatego w wytrzymałości materiałów przywiązuje się do niego główną uwagę.

Głównymi elementami geometrycznymi pręta jest oś podłużna i przekrój poprzeczny. Zakłada się, że przekroje poprzeczne pręta

prostopadle do osi podłużnej, przy czym oś podłużna przechodzi przez środki ciężkości przekrojów.

Siły wewnętrzne pręta to siły oddziaływania pomiędzy jego poszczególnymi częściami, które powstają pod wpływem sił zewnętrznych (przyjmuje się, że w przypadku braku sił zewnętrznych siły wewnętrzne są równe zeru).

Rozważmy pręt, który jest w równowadze pod działaniem jakiegoś układu sił zewnętrznych (ryc. 1, a). Narysujmy w myślach dowolny przekrój dzielący pręt na dwie części L i P. Na prawą część P pręta z lewą część L działa układ sił rozłożonych na powierzchni przekroju - siły wewnętrzne w stosunku do pręta jako całości. Ten układ sił można sprowadzić do wektora głównego i momentu głównego M, przyjmując za środek redukcji środek ciężkości przekroju – punkt O.

Wewnętrzne współczynniki mocy. Wybierzmy układ współrzędnych, umieszczając osie x, y w przekroju oraz oś prostopadłą do niego i rozłóżmy M na składowe wzdłuż tych osi: (ryc. 1, b).

Te sześć wielkości nazywane są współczynnikami siły wewnętrznej pręta (lub siłami wewnętrznymi) w rozważanym przekroju. Każda z tych sił ma swoją nazwę, odpowiadającą jej kierunkowi lub pewnemu rodzajowi odkształcenia pręta, jakie powoduje ta siła. Siły te nazywane są siłami poprzecznymi (ścinającymi) i siłą normalną (wzdłużną). Momenty te nazywane są momentami zginającymi i momentem obrotowym.