Uczniowie w klasie V zapoznają się z ułamkami zwykłymi. Wcześniej ludzie, którzy umieli wykonywać operacje na ułamkach, byli uważani za bardzo inteligentnych. Pierwszą frakcją było 1/2, czyli połowa, potem pojawiła się 1/3 itd. Przez kilka stuleci przykłady uważano za zbyt złożone. Teraz opracowano szczegółowe zasady konwersji ułamków zwykłych, dodawania, mnożenia i innych operacji. Wystarczy trochę zrozumieć materiał, a rozwiązanie będzie łatwe.
Ułamek zwykły, zwany ułamkiem prostym, zapisuje się jako dzielenie dwóch liczb: m i n.
M jest dywidendą, to znaczy licznikiem ułamka, a dzielnik n nazywany jest mianownikiem.
Wskaż ułamki właściwe (m< n) а также неправильные (m >N).
Ułamek właściwy jest mniejszy niż jeden (np. 5/6 - oznacza to, że z jednego bierze się 5 części; 2/8 - z jednego pobiera się 2 części). Ułamek niewłaściwy jest równy lub większy od 1 (8/7 - jednostką jest 7/7, a jeszcze jedną część przyjmuje się jako plus).
Tak więc jeden ma miejsce wtedy, gdy licznik i mianownik pokrywają się (3/3, 12/12, 100/100 i inne).
Działania na ułamkach zwyczajnych, klasa 6
Z ułamkami prostymi możesz wykonać następujące czynności:
- Rozwiń ułamek. Jeśli pomnożysz górną i dolną część ułamka przez dowolną identyczną liczbę (ale nie przez zero), wówczas wartość ułamka nie ulegnie zmianie (3/5 = 6/10 (po prostu pomnożone przez 2).
- Zmniejszanie ułamków jest podobne do rozszerzania, ale tutaj dzielą się przez liczbę.
- Porównywać. Jeśli dwa ułamki mają takie same liczniki, to ułamek o mniejszym mianowniku będzie większy. Jeśli mianowniki są takie same, większy będzie ułamek o największym liczniku.
- Wykonaj dodawanie i odejmowanie. Przy tych samych mianownikach jest to łatwe (podsumowujemy górne części, ale dolna część się nie zmienia). Jeśli są różne, będziesz musiał znaleźć wspólny mianownik i dodatkowe czynniki.
- Mnożyć i dzielić ułamki zwykłe.
Przyjrzyjmy się przykładom operacji na ułamkach poniżej.
Ułamki zredukowane stopień 6
Redukcja polega na podzieleniu góry i dołu ułamka przez jakąś równą liczbę.
Na rysunku przedstawiono proste przykłady redukcji. W pierwszej opcji możesz od razu zgadnąć, że licznik i mianownik są podzielne przez 2.
Notatka! Jeśli liczba jest parzysta, to i tak jest podzielna przez 2. Liczby parzyste- to jest 2, 4, 6...32 8 (kończy się liczbą parzystą) itp.
W drugim przypadku, dzieląc 6 przez 18, od razu widać, że liczby są podzielne przez 2. Dzieląc otrzymujemy 3/9. Ułamek ten dzieli się dalej przez 3. Odpowiedź brzmi: 1/3. Jeśli pomnożysz oba dzielniki: 2 przez 3, otrzymasz 6. Okazuje się, że ułamek został podzielony przez sześć. Ten stopniowy podział nazywa się sukcesywna redukcja ułamków przez wspólne dzielniki.
Niektórzy ludzie natychmiast podzielą przez 6, inni będą musieli podzielić przez części. Najważniejsze, że na końcu pozostaje ułamek, którego nie można w żaden sposób zmniejszyć.
Zauważ, że jeśli liczba składa się z cyfr, których dodanie daje liczbę podzielną przez 3, to pierwotną liczbę można również zmniejszyć o 3. Przykład: liczba 341. Dodaj liczby: 3 + 4 + 1 = 8 (8 nie jest podzielna przez 3, oznacza to, że liczby 341 nie można zmniejszyć o 3 bez reszty). Inny przykład: 264. Dodaj: 2 + 6 + 4 = 12 (podzielne przez 3). Otrzymujemy: 264:3 = 88. Ułatwi to redukcję dużych liczb.
Oprócz metody sekwencyjnego zmniejszania ułamków przez wspólne dzielniki, istnieją inne metody.
GCD jest największym dzielnikiem liczby. Po znalezieniu gcd dla mianownika i licznika możesz natychmiast zmniejszyć ułamek do żądanej liczby. Wyszukiwanie odbywa się poprzez stopniowe dzielenie każdej liczby. Następnie sprawdzają, które dzielniki się pokrywają, a jeśli jest ich kilka (jak na obrazku poniżej), należy je pomnożyć.
Frakcje mieszane klasa 6
Wszystkie ułamki niewłaściwe można zamienić na ułamki mieszane, oddzielając od nich całą część. Cały numer jest zapisany po lewej stronie.
Często trzeba utworzyć liczbę mieszaną z ułamka niewłaściwego. Proces konwersji pokazano na poniższym przykładzie: 22/4 = 22 podzielone przez 4, otrzymamy 5 liczb całkowitych (5 * 4 = 20). 22 - 20 = 2. Otrzymujemy 5 liczb całkowitych i 2/4 (mianownik się nie zmienia). Ponieważ ułamek można zmniejszyć, dzielimy górną i dolną część przez 2.
Liczbę mieszaną łatwo zamienić na ułamek niewłaściwy (jest to konieczne przy dzieleniu i mnożeniu ułamków). Aby to zrobić: pomnóż liczbę całkowitą przez dolną część ułamka i dodaj do niej licznik. Gotowy. Mianownik się nie zmienia.
Obliczenia z ułamkami 6. klasa
Można dodawać liczby mieszane. Jeśli mianowniki są takie same, jest to łatwe: dodaj części całkowite i liczniki, mianownik pozostaje na swoim miejscu.
Dodawanie liczb o różnych mianownikach jest bardziej skomplikowane. Najpierw redukujemy liczby do jednego najmniejszego mianownika (LSD).
W poniższym przykładzie dla liczb 9 i 6 mianownikiem będzie 18. Następnie potrzebne są dodatkowe czynniki. Aby je znaleźć, należy podzielić 18 przez 9, w ten sposób znajduje się dodatkową liczbę - 2. Mnożymy ją przez licznik 4, aby otrzymać ułamek 8/18). To samo robią z drugą frakcją. Dodajemy już przeliczone ułamki zwykłe (liczby całkowite i liczniki oddzielnie, nie zmieniamy mianownika). W przykładzie odpowiedź trzeba było zamienić na ułamek właściwy (początkowo licznik okazywał się większy od mianownika).
Należy pamiętać, że gdy ułamki się różnią, algorytm działań jest taki sam.
Przy mnożeniu ułamków ważne jest, aby oba ułamki umieścić pod tą samą linią. Jeśli liczba jest mieszana, zamieniamy ją na ułamek prosty. Następnie pomnóż górną i dolną część i zapisz odpowiedź. Jeśli jest jasne, że ułamki można zredukować, wówczas natychmiast je redukujemy.
W powyższym przykładzie nie musiałeś niczego wycinać, po prostu zapisałeś odpowiedź i podświetliłeś całą część.
W tym przykładzie musieliśmy zmniejszyć liczby do jednej linii. Chociaż możesz skrócić gotową odpowiedź.
Podczas dzielenia algorytm jest prawie taki sam. Najpierw przekształcamy frakcja mieszana do błędnej, następnie wpisz liczby pod jednym wierszem, zastępując dzielenie mnożeniem. Nie zapomnij zamienić miejscami górnej i dolnej części drugiego ułamka (taka jest zasada dzielenia ułamków).
W razie potrzeby zmniejszamy liczby (w poniższym przykładzie zmniejszyliśmy je o pięć i dwa). Przeliczamy ułamek niewłaściwy, podkreślając całą część.
Podstawowe zadania ułamkowe dla klasy 6
Film pokazuje jeszcze kilka zadań. Używane dla przejrzystości obrazy graficzne rozwiązania, które pomogą Ci wizualizować ułamki.
Przykłady mnożenia ułamków zwykłych klasa 6 wraz z objaśnieniami
Ułamki mnożące zapisuje się pod jedną linią. Następnie są one redukowane poprzez podzielenie przez te same liczby (na przykład 15 w mianowniku i 5 w liczniku można podzielić przez pięć).
Porównywanie ułamków klasa 6
Aby porównać ułamki, musisz pamiętać o dwóch prostych zasadach.
Zasada 1. Jeśli mianowniki są różne
Zasada 2. Kiedy mianowniki są takie same
Na przykład porównaj ułamki 7/12 i 2/3.
- Patrzymy na mianowniki, nie pasują. Więc musisz znaleźć wspólny.
- W przypadku ułamków wspólnym mianownikiem jest 12.
- Najpierw dzielimy 12 przez dolną część pierwszego ułamka: 12:12 = 1 (jest to dodatkowy współczynnik dla pierwszego ułamka).
- Teraz dzielimy 12 przez 3, otrzymujemy 4 - ekstra. współczynnik drugiego ułamka.
- Otrzymane liczby mnożymy przez liczniki, aby przeliczyć ułamki: 1 x 7 = 7 (pierwszy ułamek: 7/12); 4 x 2 = 8 (drugi ułamek: 8/12).
- Teraz możemy porównać: 7/12 i 8/12. Okazało się: 7/12< 8/12.
Aby lepiej przedstawić ułamki, możesz dla przejrzystości użyć obrazów, gdy obiekt jest podzielony na części (na przykład ciasto). Jeśli chcesz porównać 4/7 i 2/3, to w pierwszym przypadku ciasto dzieli się na 7 części i wybiera się 4 z nich. W drugiej dzielą się na 3 części i biorą 2. Gołym okiem będzie jasne, że 2/3 będzie większe niż 4/7.
Przykłady z ułamkami klasy 6 do ćwiczeń
W ramach ćwiczeń możesz wykonać następujące zadania.
- Porównaj ułamki
- wykonać mnożenie
Wskazówka: jeśli trudno jest znaleźć najniższy wspólny mianownik ułamków (zwłaszcza jeśli ich wartości są małe), możesz pomnożyć mianownik pierwszego i drugiego ułamka. Przykład: 2/8 i 5/9. Znalezienie ich mianownika jest proste: pomnóż 8 przez 9, otrzymasz 72.
Rozwiązywanie równań z ułamkami zwykłymi 6. klasa
Rozwiązywanie równań wymaga zapamiętywania operacji na ułamkach zwykłych: mnożenia, dzielenia, odejmowania i dodawania. Jeśli jeden z czynników jest nieznany, wówczas iloczyn (ogółem) dzieli się przez znany współczynnik, to znaczy ułamki mnoży się (drugi jest odwracany).
Jeśli dywidenda nie jest znana, mianownik jest mnożony przez dzielnik, a aby znaleźć dzielnik, należy podzielić dywidendę przez iloraz.
Przedstawmy proste przykłady rozwiązywania równań:
Tutaj wystarczy podać różnicę ułamków, nie prowadząc do wspólnego mianownika.
Odpowiedź okazała się ułamkiem niewłaściwym. Można go zamienić na 1 całość i 3/5.
W drugiej metodzie licznik i mianownik zostały pomnożone przez 4, aby usunąć dolną część zamiast odwracać mianownik.
Teraz, gdy nauczyliśmy się dodawać i mnożyć poszczególne ułamki, możemy przyjrzeć się więcej złożone projekty. Na przykład, co się stanie, jeśli ten sam problem dotyczy dodawania, odejmowania i mnożenia ułamków zwykłych?
Przede wszystkim musisz zamienić wszystkie ułamki zwykłe na niewłaściwe. Następnie wykonujemy wymagane czynności sekwencyjnie - w tej samej kolejności, co w przypadku zwykłych liczb. Mianowicie:
- Najpierw wykonuje się potęgowanie - pozbądź się wszystkich wyrażeń zawierających wykładniki;
- Następnie - dzielenie i mnożenie;
- Ostatnim krokiem jest dodawanie i odejmowanie.
Oczywiście, jeśli w wyrażeniu znajdują się nawiasy, zmienia się kolejność operacji - najpierw należy policzyć wszystko, co jest w nawiasach. I pamiętaj o ułamkach niewłaściwych: całą część musisz podświetlić dopiero wtedy, gdy wszystkie inne czynności zostały już wykonane.
Zamieńmy wszystkie ułamki z pierwszego wyrażenia na niewłaściwe, a następnie wykonaj następujące kroki:
Znajdźmy teraz wartość drugiego wyrażenia. Tutaj ułamki z cała część nie, ale są nawiasy, więc najpierw dodajemy, a dopiero potem dzielimy. Zauważ, że 14 = 7 · 2. Następnie:
Na koniec rozważmy trzeci przykład. Są tu nawiasy i stopień - lepiej je policzyć osobno. Biorąc pod uwagę, że 9 = 3 3, mamy:
Zwróć uwagę na ostatni przykład. Aby podnieść ułamek do potęgi, należy osobno podnieść licznik do tej potęgi i osobno mianownik.
Możesz zdecydować inaczej. Jeśli przypomnimy sobie definicję stopnia, problem zostanie zredukowany do zwykłego mnożenia ułamków:
Ułamki wielopiętrowe
Do tej pory rozważaliśmy tylko ułamki „czyste”, gdy licznik i mianownik były liczbami zwykłymi. Jest to całkiem zgodne z definicją ułamka liczbowego podaną na pierwszej lekcji.
Ale co, jeśli umieścisz bardziej złożony obiekt w liczniku lub mianowniku? Na przykład inny ułamek liczbowy? Takie konstrukcje powstają dość często, szczególnie podczas pracy z długimi wyrażeniami. Oto kilka przykładów:
Istnieje tylko jedna zasada pracy z ułamkami wielopiętrowymi: musisz się ich natychmiast pozbyć. Usunięcie „dodatkowych” pięter jest dość proste, jeśli pamięta się, że ukośnik oznacza standardową operację dzielenia. Dlatego dowolny ułamek można przepisać w następujący sposób:
Korzystając z tego faktu i postępując zgodnie z procedurą, możemy łatwo sprowadzić dowolny ułamek wielopiętrowy do zwykłego. Spójrz na przykłady:
Zadanie. Zamień ułamki wielopiętrowe na zwykłe:
W każdym przypadku przepisujemy ułamek główny, zastępując linię podziału znakiem podziału. Pamiętaj też, że każdą liczbę całkowitą można przedstawić jako ułamek o mianowniku 1. To znaczy 12 = 12/1; 3 = 3/1. Otrzymujemy:
W ostatni przykład ułamki zostały anulowane przed ostatecznym mnożeniem.
Specyfika pracy z ułamkami wielopoziomowymi
Jest jedna subtelność w ułamkach wielopoziomowych, o której należy zawsze pamiętać, w przeciwnym razie możesz uzyskać złą odpowiedź, nawet jeśli wszystkie obliczenia były prawidłowe. Spójrz:
- Licznik zawiera pojedynczą liczbę 7, a mianownik zawiera ułamek 12/5;
- Licznik zawiera ułamek 7/12, a mianownik zawiera oddzielną liczbę 5.
Zatem w przypadku jednego nagrania otrzymaliśmy dwie zupełnie różne interpretacje. Jeśli policzysz, odpowiedzi również będą inne:
Aby mieć pewność, że zapis będzie zawsze odczytywany jednoznacznie, należy stosować prostą zasadę: linia podziału ułamka głównego musi być dłuższa od linii ułamka zagnieżdżonego. Najlepiej kilka razy.
Jeśli zastosujesz się do tej zasady, powyższe ułamki należy zapisać w następujący sposób:
Tak, prawdopodobnie jest to nieestetyczne i zajmuje zbyt dużo miejsca. Ale policzysz poprawnie. Na koniec kilka przykładów, w których faktycznie powstają ułamki wielopiętrowe:
Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażeń:
Zajmijmy się więc pierwszym przykładem. Zamieńmy wszystkie ułamki zwykłe na niewłaściwe, a następnie wykonajmy operacje dodawania i dzielenia:
Zróbmy to samo z drugim przykładem. Zamieńmy wszystkie ułamki na niewłaściwe i wykonajmy wymagane operacje. Aby nie zanudzać czytelnika, pominę pewne oczywiste wyliczenia. Mamy:
Ze względu na to, że licznik i mianownik ułamków podstawowych zawierają sumy, zasada zapisywania ułamków wielopiętrowych jest przestrzegana automatycznie. Ponadto w ostatnim przykładzie celowo pozostawiliśmy 46/1 w formie ułamkowej, aby wykonać dzielenie.
Zwrócę też uwagę, że w obu przykładach kreska ułamkowa właściwie zastępuje nawiasy: najpierw znaleźliśmy sumę, a dopiero potem iloraz.
Niektórzy powiedzą, że przejście na ułamki niewłaściwe w drugim przykładzie było wyraźnie zbędne. Być może to prawda. Ale robiąc to, zabezpieczamy się przed błędami, bo następnym razem przykład może okazać się znacznie bardziej skomplikowany. Wybierz dla siebie, co jest ważniejsze: szybkość czy niezawodność.
Kolejną czynnością, którą można wykonać na ułamkach zwykłych, jest odejmowanie. W ramach tego materiału przyjrzymy się, jak poprawnie obliczyć różnicę między ułamkami o podobnych i różnych mianownikach, jak odjąć ułamek od Liczba naturalna i wzajemnie. Wszystkie przykłady zostaną zilustrowane problemami. Wyjaśnijmy z góry, że zbadamy tylko przypadki, w których różnica ułamków daje liczbę dodatnią.
Jak znaleźć różnicę między ułamkami o podobnych mianownikach
Zacznijmy od razu od jasnego przykładu: powiedzmy, że mamy jabłko podzielone na osiem części. Zostawmy pięć części na talerzu i weźmy dwie z nich. Działanie to można zapisać w następujący sposób:
W rezultacie pozostały nam 3 ósme, ponieważ 5 - 2 = 3. Okazuje się, że 5 8 - 2 8 = 3 8.
A tym samym prosty przykład Widzieliśmy dokładnie, jak działa zasada odejmowania w przypadku ułamków, których mianowniki są takie same. Sformułujmy to.
Definicja 1
Aby znaleźć różnicę między ułamkami o takich samych mianownikach, należy odjąć licznik drugiego ułamka od licznika jednego i pozostawić mianownik bez zmian. Regułę tę można zapisać jako a b - c b = a - c b.
Będziemy korzystać z tej formuły w przyszłości.
Weźmy konkretne przykłady.
Przykład 1
Odejmij ułamek zwykły 17 15 od ułamka 24 15.
Rozwiązanie
Widzimy, że te ułamki mają te same mianowniki. Wszystko, co musimy zrobić, to odjąć 17 od 24. Dostajemy 7 i dodajemy do tego mianownik, otrzymujemy 7 15.
Nasze obliczenia można zapisać w następujący sposób: 24 15 - 17 15 = 24 - 17 15 = 7 15
Jeśli to konieczne, możesz zmniejszyć frakcja złożona lub wybierz całą część z nieprawidłowej, aby ułatwić policzenie.
Przykład 2
Znajdź różnicę 37 12 - 15 12.
Rozwiązanie
Skorzystajmy ze wzoru opisanego powyżej i obliczmy: 37 12 - 15 12 = 37 - 15 12 = 22 12
Łatwo zauważyć, że licznik i mianownik można podzielić przez 2 (mówiliśmy już o tym wcześniej, badając znaki podzielności). Skracając odpowiedź, otrzymujemy 11 6. Jest to ułamek niewłaściwy, z którego wybierzemy całą część: 11 6 = 1 5 6.
Jak znaleźć różnicę ułamków o różnych mianownikach
Tę operację matematyczną można sprowadzić do tego, co już opisaliśmy powyżej. Aby to zrobić, po prostu redukujemy niezbędne ułamki do tego samego mianownika. Sformułujmy definicję:
Definicja 2
Aby znaleźć różnicę ułamków dla których różne mianowniki, należy doprowadzić je do tego samego mianownika i znaleźć różnicę między licznikami.
Spójrzmy na przykład, jak to się robi.
Przykład 3
Odejmij ułamek 1 15 od 2 9.
Rozwiązanie
Mianowniki są różne i należy je zredukować do najmniejszego ogólna wartość. W tym przypadku LCM wynosi 45. Pierwszy ułamek wymaga dodatkowego współczynnika 5, a drugi - 3.
Obliczmy: 2 9 = 2 5 9 5 = 10 45 1 15 = 1 3 15 3 = 3 45
Mamy dwa ułamki o tym samym mianowniku i teraz możemy łatwo znaleźć ich różnicę, korzystając z algorytmu opisanego wcześniej: 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45
Krótkie podsumowanie rozwiązania wygląda następująco: 2 9 - 1 15 = 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45.
Nie zaniedbuj zmniejszenia wyniku lub oddzielenia od niego całej części, jeśli to konieczne. W w tym przykładzie nie musimy tego robić.
Przykład 4
Znajdź różnicę 19 9 - 7 36.
Rozwiązanie
Skróćmy ułamki wskazane w warunku do najniższego wspólnego mianownika 36 i otrzymajmy odpowiednio 76 9 i 7 36.
Obliczamy odpowiedź: 76 36 - 7 36 = 76 - 7 36 = 69 36
Wynik można zmniejszyć o 3 i uzyskać 23 12. Licznik jest większy od mianownika, co oznacza, że możemy wybrać całą część. Ostateczna odpowiedź to 1 11 12.
Krótkie podsumowanie całego rozwiązania to 19 9 - 7 36 = 1 11 12.
Jak odjąć liczbę naturalną od ułamka zwykłego
Czynność tę można również łatwo sprowadzić do prostego odejmowania zwykłe ułamki. Można to zrobić, przedstawiając liczbę naturalną w postaci ułamka. Pokażmy to na przykładzie.
Przykład 5
Znajdź różnicę 83 21 – 3 .
Rozwiązanie
3 to to samo co 3 1. Następnie możesz to obliczyć w ten sposób: 83 21 - 3 = 20 21.
Jeśli warunek wymaga odjęcia liczby całkowitej od ułamka niewłaściwego, wygodniej jest najpierw oddzielić od niej liczbę całkowitą, zapisując ją jako liczbę mieszaną. Wtedy poprzedni przykład można rozwiązać inaczej.
Z ułamka 83 21, oddzielając całą część, wynik wynosi 83 21 = 3 20 21.
Teraz odejmijmy od tego 3: 3 20 21 - 3 = 20 21.
Jak odjąć ułamek od liczby naturalnej
Czynność tę wykonujemy analogicznie do poprzedniej: zapisujemy liczbę naturalną jako ułamek, sprowadzamy obie do jednego mianownika i znajdujemy różnicę. Zilustrujmy to przykładem.
Przykład 6
Znajdź różnicę: 7 - 5 3 .
Rozwiązanie
Zróbmy 7 ułamkiem 7 1. Dokonujemy odejmowania i wynik końcowy przekształcamy, oddzielając od niego całą część: 7 - 5 3 = 5 1 3.
Istnieje inny sposób wykonywania obliczeń. Ma pewne zalety, które można wykorzystać w przypadkach, gdy liczniki i mianowniki ułamków w zadaniu są dużymi liczbami.
Definicja 3
Jeśli ułamek, który należy odjąć, jest właściwy, wówczas liczbę naturalną, od której odejmujemy, należy przedstawić jako sumę dwóch liczb, z których jedna jest równa 1. Następnie musisz odjąć żądany ułamek od jedności i uzyskać odpowiedź.
Przykład 7
Oblicz różnicę 1 065 - 13 62.
Rozwiązanie
Ułamek, który należy odjąć, jest ułamkiem właściwym, ponieważ jego licznik jest mniejszy od mianownika. Dlatego musimy odjąć jeden od 1065 i odjąć od niego żądany ułamek: 1065 - 13 62 = (1064 + 1) - 13 62
Teraz musimy znaleźć odpowiedź. Korzystając z właściwości odejmowania, wynikowe wyrażenie można zapisać jako 1064 + 1 - 13 62. Obliczmy różnicę w nawiasach. Aby to zrobić, wyobraźmy sobie jednostkę jako ułamek 1 1.
Okazuje się, że 1 - 13 62 = 1 1 - 13 62 = 62 62 - 13 62 = 49 62.
Przypomnijmy sobie teraz około 1064 i sformułujmy odpowiedź: 1064 49 62.
Używamy starej metody, aby udowodnić, że jest mniej wygodna. Oto obliczenia, które byśmy wykonali:
1065 - 13 62 = 1065 1 - 13 62 = 1065 62 1 62 - 13 62 = 66030 62 - 13 62 = = 66030 - 13 62 = 66017 62 = 1064 4 6
Odpowiedź jest taka sama, ale obliczenia są oczywiście bardziej kłopotliwe.
Przyjrzeliśmy się przypadkowi, w którym musimy odjąć ułamek właściwy. Jeśli jest niepoprawna, zastępujemy ją liczbą mieszaną i odejmujemy według znanych nam zasad.
Przykład 8
Oblicz różnicę 644 - 73 5.
Rozwiązanie
Drugi ułamek jest ułamkiem niewłaściwym i należy od niego oddzielić całą część.
Teraz obliczamy podobnie jak w poprzednim przykładzie: 630 - 3 5 = (629 + 1) - 3 5 = 629 + 1 - 3 5 = 629 + 2 5 = 629 2 5
Właściwości odejmowania podczas pracy z ułamkami
Właściwości odejmowanie liczb naturalnych dotyczą również przypadków odejmowania ułamków zwykłych. Przyjrzyjmy się, jak z nich korzystać przy rozwiązywaniu przykładów.
Przykład 9
Znajdź różnicę 24 4 - 3 2 - 5 6.
Rozwiązanie
Rozwiązaliśmy już podobne przykłady odejmowania sumy od liczby, więc postępujemy zgodnie ze znanym już algorytmem. Najpierw obliczmy różnicę 25 4 - 3 2, a następnie odejmijmy od niej ostatni ułamek:
25 4 - 3 2 = 24 4 - 6 4 = 19 4 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12
Przekształćmy odpowiedź, oddzielając od niej całą część. Wynik - 3 11 12.
Krótkie podsumowanie całego rozwiązania:
25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 6 4 - 5 6 = = 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12 = 3 11 12
Jeśli wyrażenie zawiera zarówno ułamki zwykłe, jak i liczby naturalne, podczas obliczeń zaleca się pogrupowanie ich według typu.
Przykład 10
Znajdź różnicę 98 + 17 20 - 5 + 3 5.
Rozwiązanie
Znając podstawowe prawa odejmowania i dodawania, możemy pogrupować liczby w następujący sposób: 98 + 17 20 - 5 + 3 5 = 98 + 17 20 - 5 - 3 5 = 98 - 5 + 17 20 - 3 5
Dokończmy obliczenia: 98 - 5 + 17 20 - 3 5 = 93 + 17 20 - 12 20 = 93 + 5 20 = 93 + 1 4 = 93 1 4
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter
Wspólnym mianownikiem kilku ułamków jest LCM (najmniejsza wspólna wielokrotność) liczb naturalnych będących mianownikami danych ułamków.
Do liczników podanych ułamków należy dodać dodatkowe czynniki, równy stosunkowi LOC i odpowiadający mu mianownik.
Liczniki danych ułamków mnoży się przez ich dodatkowe współczynniki, w wyniku czego liczniki ułamków mają jeden wspólny mianownik. Znaki akcji („+” lub „-”) w zapisie ułamków zredukowanych do wspólnego mianownika są przechowywane przed każdym ułamkiem. W przypadku ułamków o wspólnym mianowniku znaki akcji są zachowywane przed każdym zredukowanym licznikiem.
Dopiero teraz możesz dodać lub odjąć liczniki i podpisać wspólny mianownik pod wynikiem.
Uwaga! Jeżeli w powstałym ułamku licznik i mianownik mają wspólne czynniki, wówczas ułamek należy zmniejszyć. Zaleca się zamianę ułamka niewłaściwego na ułamek mieszany. Pozostawienie wyniku dodawania lub odejmowania bez anulowania ułamka, jeśli to możliwe, jest niekompletnym rozwiązaniem przykładu!
Dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach. Reguła. Do dodawać lub odejmować ułamki o różnych mianownikach, należy najpierw sprowadzić je do najniższego wspólnego mianownika, a następnie wykonać dodawanie lub odejmowanie jak w przypadku ułamków o tych samych mianownikach.
Procedura dodawania i odejmowania ułamków o różnych mianownikach
- znajdź LCM wszystkich mianowników;
- dodaj dodatkowe czynniki do każdej frakcji;
- pomnóż każdy licznik przez dodatkowy współczynnik;
- przyjmij powstałe produkty jako liczniki, podpisując wspólny mianownik pod każdym ułamkiem;
- dodawać lub odejmować liczniki ułamków, podpisując wspólny mianownik pod sumą lub różnicą.
Ułamki zwykłe można także dodawać i odejmować, jeśli w liczniku znajdują się litery.
Na ułamkach można wykonywać różne operacje, na przykład dodawanie ułamków. Dodawanie frakcji można podzielić na kilka typów. Każdy rodzaj dodawania ułamków ma swoje własne zasady i algorytm działania. Przyjrzyjmy się szczegółowo każdemu rodzajowi dodatku.
Dodawanie ułamków o podobnych mianownikach.
Spójrzmy na przykład dodawania ułamków o wspólnym mianowniku.
Turyści udali się na wędrówkę z punktu A do punktu E. Pierwszego dnia przeszli z punktu A do B czyli \(\frac(1)(5)\) całą ścieżkę. Drugiego dnia przeszli z punktu B do D, czyli \(\frac(2)(5)\) całą drogę. Jaką odległość przebyli od początku podróży do punktu D?
Aby znaleźć odległość punktu A od punktu D, należy dodać ułamki \(\frac(1)(5) + \frac(2)(5)\).
Dodawanie ułamków o podobnych mianownikach oznacza, że trzeba dodać liczniki tych ułamków, ale mianownik pozostanie taki sam.
\(\frac(1)(5) + \frac(2)(5) = \frac(1 + 2)(5) = \frac(3)(5)\)
W formie dosłownej suma ułamków o tych samych mianownikach będzie wyglądać następująco:
\(\bf \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a + b)(c)\)
Odpowiedź: turyści przeszli całą drogę \(\frac(3)(5)\).
Dodawanie ułamków o różnych mianownikach.
Spójrzmy na przykład:
Musisz dodać dwa ułamki \(\frac(3)(4)\) i \(\frac(2)(7)\).
Aby dodać ułamki o różnych mianownikach, musisz najpierw znaleźć, a następnie skorzystaj z reguły dodawania ułamków o podobnych mianownikach.
Dla mianowników 4 i 7 wspólnym mianownikiem będzie liczba 28. Pierwszy ułamek \(\frac(3)(4)\) należy pomnożyć przez 7. Drugi ułamek \(\frac(2)(7)\ ) należy pomnożyć przez 4.
\(\frac(3)(4) + \frac(2)(7) = \frac(3 \times \color(red) (7) + 2 \times \color(red) (4))(4 \ razy \color(czerwony) (7)) = \frac(21 + 8)(28) = \frac(29)(28) = 1\frac(1)(28)\)
W formie dosłownej otrzymujemy następujący wzór:
\(\bf \frac(a)(b) + \frac(c)(d) = \frac(a \times d + c \times b)(b \times d)\)
Dodawanie liczb mieszanych lub ułamków mieszanych.
Dodawanie odbywa się zgodnie z prawem dodawania.
W przypadku ułamków mieszanych dodajemy całe części z pełnymi częściami i części ułamkowe z ułamkami.
Jeśli części ułamkowe liczby mieszane mają te same mianowniki, to dodajemy liczniki, ale mianownik pozostaje taki sam.
Dodajmy liczby mieszane \(3\frac(6)(11)\) i \(1\frac(3)(11)\).
\(3\frac(6)(11) + 1\frac(3)(11) = (\color(czerwony) (3) + \color(blue) (\frac(6)(11))) + ( \color(czerwony) (1) + \color(niebieski) (\frac(3)(11))) = (\color(czerwony) (3) + \color(czerwony) (1)) + (\color( niebieski) (\frac(6)(11)) + \color(niebieski) (\frac(3)(11))) = \color(czerwony)(4) + (\color(niebieski) (\frac(6 + 3)(11))) = \color(red)(4) + \color(blue) (\frac(9)(11)) = \color(red)(4) \color(blue) (\frac (9)(11))\)
Jeśli części ułamkowe liczb mieszanych mają różne mianowniki, wówczas znajdujemy wspólny mianownik.
Wykonajmy dodawanie liczb mieszanych \(7\frac(1)(8)\) i \(2\frac(1)(6)\).
Mianownik jest inny, więc musimy znaleźć wspólny mianownik, jest on równy 24. Pomnóż pierwszy ułamek \(7\frac(1)(8)\) przez dodatkowy współczynnik 3, a drugi ułamek \( 2\frac(1)(6)\) przez 4.
\(7\frac(1)(8) + 2\frac(1)(6) = 7\frac(1 \times \color(red) (3))(8 \times \color(red) (3) ) = 2\frac(1\times \color(red) (4))(6\times \color(red) (4)) =7\frac(3)(24) + 2\frac(4)(24 ) = 9\frac(7)(24)\)
Pytania na ten temat:
Jak dodawać ułamki?
Odpowiedź: najpierw musisz zdecydować, jaki to rodzaj wyrażenia: ułamki mają te same mianowniki, różne mianowniki lub ułamki mieszane. W zależności od rodzaju wyrażenia przystępujemy do algorytmu rozwiązania.
Jak rozwiązywać ułamki zwykłe o różnych mianownikach?
Odpowiedź: musisz znaleźć wspólny mianownik, a następnie postępować zgodnie z zasadą dodawania ułamków o tych samych mianownikach.
Jak rozwiązywać ułamki mieszane?
Odpowiedź: dodajemy części całkowite do liczb całkowitych i części ułamkowe do ułamków zwykłych.
Przykład 1:
Czy suma dwóch może dać ułamek właściwy? Ułamek niewłaściwy? Daj przykłady.
\(\frac(2)(7) + \frac(3)(7) = \frac(2 + 3)(7) = \frac(5)(7)\)
Ułamek \(\frac(5)(7)\) jest ułamkiem właściwym, jest wynikiem sumy dwóch ułamków właściwych \(\frac(2)(7)\) i \(\frac(3) (7)\).
\(\frac(2)(5) + \frac(8)(9) = \frac(2 \times 9 + 8 \times 5)(5 \times 9) =\frac(18 + 40)(45) = \frac(58)(45)\)
Ułamek \(\frac(58)(45)\) jest ułamkiem niewłaściwym, jest wynikiem sumy ułamków właściwych \(\frac(2)(5)\) i \(\frac(8) (9)\).
Odpowiedź: Odpowiedź na oba pytania brzmi: tak.
Przykład nr 2:
Dodaj ułamki: a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11)\) b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9)\) .
a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11) = \frac(3 + 5)(11) = \frac(8)(11)\)
b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9) = \frac(1 \times \color(red) (3))(3 \times \color(red) (3)) + \frac(2)(9) = \frac(3)(9) + \frac(2)(9) = \frac(5)(9)\)
Przykład nr 3:
Zapisz ułamek mieszany jako sumę liczby naturalnej i ułamka właściwego: a) \(1\frac(9)(47)\) b) \(5\frac(1)(3)\)
a) \(1\frac(9)(47) = 1 + \frac(9)(47)\)
b) \(5\frac(1)(3) = 5 + \frac(1)(3)\)
Przykład nr 4:
Oblicz sumę: a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7)\) b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13 ) \) c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15)\)
a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7) = (8 + 2) + (\frac(5)(7) + \frac(1)(7)) = 10 + \frac(6)(7) = 10\frac(6)(7)\)
b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) = 2 + (\frac(9)(13) + \frac(2)(13)) = 2\frac(11 )(13) \)
c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(2\razy 3)(5\razy 3) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(6)(15) + 3\frac(4)(15) = (7 + 3)+(\frac(6)(15) + \frac(4)(15)) = 10 + \frac (10)(15) = 10\frac(10)(15) = 10\frac(2)(3)\)
Zadanie 1:
Na lunch zjedliśmy \(\frac(8)(11)\) z ciasta, a wieczorem na kolację zjedliśmy \(\frac(3)(11)\). Jak myślisz, czy ciasto zostało zjedzone do końca, czy nie?
Rozwiązanie:
Mianownik ułamka wynosi 11, wskazuje, na ile części podzielono ciasto. Na lunch zjedliśmy 8 kawałków ciasta z 11. Na obiad zjedliśmy 3 kawałki ciasta z 11. Dodajmy 8 + 3 = 11, zjedliśmy kawałki ciasta z 11, czyli całe ciasto.
\(\frac(8)(11) + \frac(3)(11) = \frac(11)(11) = 1\)
Odpowiedź: całe ciasto zostało zjedzone.
